设$(M^{n}, g)$是任意的紧的光滑的黎曼流形, 它的维数$n\geq2$. $g=(g_{ij})$为$M$上的度量矩阵, 它是正定的对称矩阵, $(g^{ij})$是$g$的逆矩阵.符号$\nabla_{i}, R_{ijkl}, R_{ij}=R^{k}_{ijk}, R=g^{ij}R_{ij}$分别表示$M$上关于$g_{ij}$的协变微分算子, 黎曼曲率张量, 里奇曲率张量, 数量曲率.设$d$是外微分算子, $\delta$是余微分算子, $\triangle=-(d\delta+\delta d)$为拉普拉斯算子.我们约定本文中所有拉丁字母取值为$1, \cdots, n$.除非特别说明外, 指标相同表示求和.

流形$M$上的切丛${T(M)}$中的向量场$\xi$称为共形向量场, 如果存在一个光滑函数$f:M\rightarrow{\mathbb{R}}$满足

$ \begin{eqnarray}\label{0.1} L_{\xi}g=2fg, \end{eqnarray} $

(1.1)

其中$L_{\xi}g$是在度量$g$下关于$\xi$的李导数]^[1].当势能函数$f$是非常数时, 我们称向量场$\xi$为非平凡向量场.注意到若势能函数$f$是常数时, 它一定是零, 这时向量场$\xi$称为Killing型向量场.如果$\xi$是闭的向量场, 那么$\xi$称为闭的共形向量场.如果$\xi$是某个光滑函数的梯度向量场, 那么$\xi$称为共形梯度向量场.

在上个世纪初, 许多数学家想证明在一个紧的黎曼流形上, 若它的数量曲率为常数, 且存在一个非平凡的共形向量场, 则它等距于欧式空间中的球面.例如Nagano和Yano^[2]证明了如果$M$具有爱因斯坦度量, 那么结论是对的. Obata和Yano^[3]证明了如果$L_{X}Ric=\beta g$, 这里$X$是$M$上的共形向量场, 那么结论是对的.关于这个问题其它的结果可以参考文献[4-9].最近Alodan^[10]证明了如果一个紧的黎曼流形的数量曲率为常数, 且存在一个非平凡的共形梯度向量场, 那么它等距于欧式空间中的球面.然而Ejiri得到一个反例^[11], 在$S^{1}\times_{\varphi}N^{n-1}$上, 其中$N^{n-1}$具有常数量曲率, $S^{1}$表示圆周, 存在非平凡的共形向量场, 但它不会与球面等距.具体的细节还可以参考Yano的专著^[12].

下面我们介绍Yano关于紧的具有常数量曲率的黎曼流形的刚性定理^[9].

定理1.1  (Yano)假设紧黎曼流形$(M^{n}, g)$的维数$n\geq2$, 它具有常数量曲率$R$, 存在非平凡的共形向量场$\xi$使得(1.1)成立, 并且满足$\int_{M}G_{ij}f_{i}f_{j}\geq0$, 这里$G_{ij}=Ric_{ij}-\frac{R}{n}g_{ij}$, 那么$M$等距于欧式空间中的球面.

而从Ejiri的结果我们知道, 一个紧的黎曼流形的数量曲率为常数, 且存在一个非平凡的共形向量场, 那么它不一定等距于欧式空间中的球面.像这样的流形, 我们要得到刚性定理, 我们必须添加适当的条件.例如, Deshmukh和Solamy^[13]增加了一些关于里奇曲率和第一特征值$\lambda_{1}$的条件得到了如下刚性定理.

定理1.2  (Deshmukh-Solamy)设$\xi$是$n$维紧黎曼流形$(M, g)$上闭的共形向量场, 且它的数量曲率$R=n(n-1)c$为常数, 如果势能函数$f$满足$Ric(\nabla{f}+c\xi, \nabla{f}+c\xi)\geq0$, 而且不等式$R\leq{n(n-1)\lambda_{1}}$成立, 那么黎曼流形$(M, g)$等距于$S^{n}(c)$.

本文去掉不等式$R\leq{n(n-1)\lambda_{1}}$成立这个条件, 改进里奇曲率的条件得到了同样的结论.

定理1.3  设$\xi$是$n$维紧黎曼流形$(M, g)$上闭的共形向量场, 且它的数量曲率$R=n(n-1)c$为常数, 如果势能函数$f$满足$\int_{M}Ric(\nabla{f}+c\xi, \nabla{f}+c\xi)\geq0$, 那么黎曼流形$(M, g)$等距于$S^{n}(c)$.

在以上的讨论中我们关注一个带有非平凡的共形向量场且数量曲率为常数的紧黎曼流形什么情况下等距于球面, 下面考虑流形的数量曲率为非常数的情况.在上个世纪初, Yano^[9], Obata^[3], Hsiung^[14], 还有其他数学家^[15]利用条件$L_{\xi}R=0 $代替数量曲率为常数这个条件得到了一些刚性定理.例如Ackler和Hsiung^[14]推广了上面的定理1.1得到了如下结果.

定理1.4  (Ackler-Hsiung)假设紧黎曼流形$(M^{n}, g)$的维数$n\geq2$, 它存在一个非平凡的共形向量场$\xi$使得(1.1)式成立, 数量曲率满足$L_{\xi}R=0$和$L_{\nabla f}R=0$, 而且$\int_{M}G_{ij}f_{i}f_{j}\geq0$, 那么$M$等距于球面.

下面我们介绍修正的里奇曲率张量^[16]

$ \begin{eqnarray}\label{0.2} \widetilde{Ric}=Ric+\frac{1}{nu}\nabla^{2}u-\frac{n+1}{2nu}(\Delta{u})g, \end{eqnarray} $

(1.2)

其中$u$是流形$(M^{n}, g)$上光滑的正的函数, $\nabla^{2}u$表示函数$u$的Hessian矩阵. Limoncu^[16]证明了任意的紧的无边黎曼流形如果修正的里奇曲率张量满足$\widetilde{Ric}\geq{(n-1)c}$, 那么$M$上的拉普拉斯算子$\triangle$的第一非零特征值$\lambda_{1}$有下界估计$\lambda_{1}\geq nc$.这个结果是著名的Lichnérowicz-Obata定理^[17-18]的推广.显然, 如果函数$u$为常数, 修正的里奇曲率张量就是普通的里奇曲率.最近本文第二和第三作者证明了Limoncu的估计是最优的^[19], 即如果$\lambda_{1}=nc$, 那么$M$等距于球面.我们知道曲率张量$G_{ij}$是测量流形$M$与爱因斯坦流形的偏差程度, 现在我们引入新的曲率张量$\widetilde{G}_{ij}=\widetilde{Ric}_{ij}-\frac{R}{n}g_{ij}$并把定理1.4的结果推广到具有这种新的曲率张量$\widetilde{G}_{ij}$的流形上.

定理1.5  假设紧黎曼流形$(M^{n}, g)$的维数$n\geq2$, 它存在一个非平凡的共形向量场$\xi$使得(1.1) 式成立, 数量曲率满足$L_{\xi}R=0$和$L_{\nabla f}R=0$, 而且$\int_{M}\widetilde{G}_{ij}f_{i}f_{j}\geq0$, 那么$M$等距于球面.

当数量曲率为常数时, 我们得到如下推论.它是定理1.1的推广, 因为定理1.1是推论1.1的特殊情况, 即$u$为常数时的情况.

推论1.1  假设紧黎曼流形$(M^{n}, g)$的维数$n\geq2$, 它存在一个非平凡的共形向量场$\xi$使得(1.1) 式成立, 数量曲率为常数, 而且$\int_{M}\widetilde{G}_{ij}f_{i}f_{j}\geq0$, 那么$M$等距于球面.

另一方面, 我们注意到若在定理1.5中条件$L_{\nabla f}R=0$用条件$\triangle R+\nabla \ln u\cdot\nabla R\geq 0$替换, 则结论同样成立.

定理1.6  假设紧黎曼流形$(M^{n}, g)$的维数$n\geq2$, 它存在一个非平凡的共形向量场$\xi$使得(1.1)式成立, 数量曲率满足$L_{\xi}R=0$和$\triangle R+\nabla \ln u\cdot\nabla R\geq 0$, 而且$\int_{M}\widetilde{G}_{ij}f_{i}f_{j}\geq0$, 那么$M$等距于球面.

最后我们来回顾一下Obata一个著名的定理^[18], 它在我们结论的证明中起重要的作用, 我们所有的刚性定理都是基于这个结果来证明的.

定理1.7  (Obata)设$M$是$n$维完备的黎曼流形, 则它等距于欧式空间中的球面$S^{n}(c)$当且仅当它存在一个光滑函数$f$使得$\nabla^{2}f=-c{fg}, $这里常数$c$是正的.

设$\xi$是$n$维紧黎曼流形$(M, g)$上闭的非平凡共形向量场, 它的势能函数为$f$.由Kozul公式^[1], 我们立即可以得到下面关于共形向量场$\xi$的等式.

$ \begin{eqnarray}\label{2.2} 2g(\nabla_{X}{\xi}, Y)=(L_{\xi}{g})(X, Y)+d\eta(X, Y), \forall X, Y\in{T(M)}, \end{eqnarray} $

(2.1)

这里$\eta$是对偶于$\xi$的1形式, 即$\eta(X)=g(X, \xi), \forall X\in{T(M)}$.

定义流形$M$上的反对称(1, 1) 型张量场$\varphi$

$ \begin{eqnarray}\label{2.3} d\eta(X, Y)=2g(\varphi{X}, Y), \forall X, Y\in{T(M)}. \end{eqnarray} $

(2.2)

由(1.1) 式, 我们可以得到下面的引理:

引理2.1^[13]  设$\xi$是$n$维紧黎曼流形$(M, g)$上非平凡共形向量场, 它的势能函数为$f$.那么对$\forall X\in{T(M)}$

$ \nabla_{X}\xi=fX+\varphi{X}, \ div{\xi}=nf, $

这里$div{\xi}$表示$\xi$的散度.

在定理1.3的证明中, 我们需要下面的引理:

引理2.2^[13]  设$\xi$是$n$维紧黎曼流形$(M, g)$上非平凡共形向量场, 它的势能函数为$f$.那么

$ \int_{M}\{Ric(\xi, \xi)-n(n-1)f^{2}-\|\varphi\|^{2}\}dv=0. $

由引理2.1, 我们得到

$ \begin{eqnarray}\label{3.1} (\nabla\varphi)(X, Y)&=&{\nabla_{X}}(\varphi Y)-\varphi({\nabla_{X}}Y)\nonumber\\ &=&{\nabla_{X}}({\nabla_{Y}}\xi-fY)-{\nabla_{{\nabla_{X}}Y}}\xi+f{\nabla_{X}}Y\nonumber\\ &=&{\nabla_{X}}{\nabla_{Y}}\xi-{\nabla_{{\nabla_{X}}Y}}\xi-X(f)Y. \end{eqnarray} $

(2.3)

上式中向量场$X$, $Y$用流形$M$上的正交标架$\{e_{1}, \cdots, e_{n}\}$替换, 并求和可知

$ \begin{eqnarray}\label{3.2} \sum\limits_{i=1}^{n}(\nabla{\varphi})(e_{i}, e_{i})=\Delta{\xi}-\nabla{f}. \end{eqnarray} $

(2.4)

由等式(2.3) 还可以得到

$ \begin{eqnarray}\label{3.3} (\nabla{\varphi})(X, Y)-(\nabla{\varphi})(Y, X)=R(X, Y)\xi+Y(f)X-X(f)Y. \end{eqnarray} $

(2.5)

上式中我们取$X=e_{i}$并与$e_{i}$做内积, 可得

$ \begin{eqnarray}\label{3.4} -g\bigg(\sum\limits_{i=1}^{n}(\nabla{\varphi})(e_{i}, e_{i}), Y\bigg)=Ric(Y, \xi)+(n-1)Yf. \end{eqnarray} $

(2.6)

这里我们用到下面一个事实$g((\nabla{\varphi})(X, Y), Z)=-g(Y, (\nabla{\varphi})(X, Z))$, 对$\forall X, Y, Z \in T(M)$, 这个结论可以由$\varphi$反对称性推导得到.

为了计算方便, 我们引入张量$Q$使得$g(QX, Y)=Ric(X, Y)$.下面由(2.4) 式和(2.6) 式, 可得

$ \begin{eqnarray} g(-\Delta\xi+\nabla{f}, Y)&=&Ric(Y, \xi)+(n-1)Yf\nonumber\\ &=&g(Y, Q\xi)+(n-1)g(\nabla{f}, Y)\nonumber\\ &=&g(Q\xi+(n-1)\nabla{f}, Y).\nonumber \end{eqnarray} $

这样

$ Q\xi=-\Delta\xi-(n-2)\nabla{f}. $

所以我们得到

$ \begin{eqnarray}\label{3.5} div(Q\xi)=-div(\Delta\xi)-(n-2)\Delta{f}. \end{eqnarray} $

(2.7)

利用Weitzenbock公式, 我们知道

$ \begin{eqnarray}\label{3.6} \delta{d}\xi+d\delta\xi=-\Delta\xi+Q\xi, \end{eqnarray} $

(2.8)

其中$\delta=-div$.

下面将(2.8) 式的两边用算子$\delta$作用, 并利用$\delta \delta=0$, 我们可以推导出

$ \begin{eqnarray}\label{3.7} \delta{d}\delta\xi=-\delta(\Delta\xi)+\delta(Q\xi). \end{eqnarray} $

(2.9)

再利用引理2.1, 这时(2.9) 式变成

$ \begin{eqnarray}\label{3.8} div(Q\xi)=div(\Delta\xi)-n\Delta{f}. \end{eqnarray} $

(2.10)

结合(2.7) 式和(2.10) 式, 我们得到

$ \begin{eqnarray}\label{3.9} div(Q\xi)=-(n-1)\Delta{f}. \end{eqnarray} $

(2.11)

由引理2.1和恒等式$\sum\limits_{i=1}^{n}(\nabla{Q})(e_{i}, e_{i})=\frac{1}{2}\nabla{R}$, 我们知道

$ \begin{eqnarray}\label{3.11} div(Q\xi)&=&\sum\limits_{i=1}^{n}g({\nabla_{e_{i}}}Q\xi, e_{i})\nonumber\\ &=&\sum\limits_{i=1}^{n}(g(\xi, \nabla Q(e_{i}, e_{i}))+g(\nabla_{e_{i}}\xi, Qe_{i}))\nonumber\\ &=&g(\xi, \frac{1}{2}\nabla R)+\sum\limits_{i=1}^{n}g(fe_{i}+\varphi{e_{i}}, Qe_{i})\nonumber\\ &=&g(\xi, \frac{1}{2}\nabla R)+fR+\sum\limits_{i=1}^{n}g(\varphi{e_{i}, Qe_{i}}). \end{eqnarray} $

(2.12)

选择使得的正交标架将对称算子$Q$进行对角化使得$Q_{kl}=\lambda_{k}\delta_{kl}$, 再利用张量$\varphi$的反对称性, 显然可知

$ \sum\limits_{i=1}^{n}g(\varphi{e_{i}, Qe_{i}})=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}g(\varphi{e_{i}, e_{i}})=0. $

这样由(2.11) 式和(2.12) 式, 我们得到

$ \begin{eqnarray}\label{3.12} -(n-1)\Delta{f}=g(\xi, \frac{1}{2}\nabla R)+fR. \end{eqnarray} $

(2.13)

另一方面, 因为数量曲率$R$是常数, 所以

$ \begin{eqnarray}\label{2.1} \Delta{f}=-\frac{R}{n-1}f=-ncf. \end{eqnarray} $

(2.14)

由Bochner公式, Cauchy-Schwarz不等式$|\nabla^{2}f|^{2}\geq\frac{1}{n}(\triangle{f})^{2}$, 以及分部积分法, 我们看到

$ \begin{eqnarray}\label{4.2} 0&=&\int_{M}|\nabla^{2}f|^{2}+g(\nabla\Delta{f}, \nabla{f})+Ric(\nabla{f}, \nabla{f})\nonumber\\ &\geq&\int_{M}-\frac{n-1}{n}(\Delta{f})^{2}+Ric(\nabla{f}, \nabla{f}). \end{eqnarray} $

(2.15)

即

$ \begin{eqnarray}\label{4.3} \int_{M}Ric(\nabla{f}, \nabla{f})\leq{n(n-1)}c^{2}\int_{M}f^{2}. \end{eqnarray} $

(2.16)

另一方面, 因为$\xi$是闭的共形向量场, 所以$\varphi=0$.又因为

$ \begin{eqnarray}\label{4.4} &&\int_{M}Ric(\nabla{f}+c\xi, \nabla{f}+c\xi)\nonumber\\ &=&\int_{M}Ric(\nabla{f}, \nabla{f})+c^{2}Ric(\xi, \xi)+2cRic(\nabla{f}, \xi)\geq0. \end{eqnarray} $

(2.17)

再结合(2.11) 式, (2.14) 式和引理2.2, 我们得到

$ \begin{eqnarray}\label{4.5} \int_{M}Ric(\nabla{f}, \nabla{f})&\geq&-\int_{M}c^{2}Ric(\xi, \xi)+2cRic(\nabla{f}, \xi)\nonumber\\ &=&\int_{M}-n(n-1)c^{2}f^{2}-2cg(Q\xi, \nabla{f})\nonumber\\ &=&\int_{M}-n(n-1)c^{2}f^{2}+2cdiv(Q\xi)f\nonumber\\ &=&\int_{M}-n(n-1)c^{2}f^{2}+2n(n-1)c^{2}f^{2}\nonumber\\ &=&n(n-1)c^{2}\int_{M}f^{2}. \end{eqnarray} $

(2.18)

上式(2.18) 结合(2.16) 式, 可知

$ \int_{M}Ric(\nabla{f}, \nabla{f})={n(n-1)}c^{2}\int_{M}f^{2}. $

这时我们看到不等式(2.15) 中等式成立, 所以

$ \nabla^{2}f=\frac{1}{n}\Delta{f}g=-cfg. $

这样由定理1.7, 我们证明了$M$等距于球面$S^{n}(c)$.

首先我们给出定理1.5的证明.

定理1.5的证明  由(2.13) 式和条件$L_{\xi}R=0$, 可知

$ \begin{eqnarray}\label{4.6} \Delta{f}=-\frac{1}{n-1}Rf. \end{eqnarray} $

(3.1)

利用假设$L_{\nabla f}R=0$, Bochner公式和分部积分, 我们得到

$ \begin{eqnarray}\label{4.9} \int_{M}\frac{1}{2}\Delta{u}|\nabla{f}|^{2} &=&\int_{M}u|\nabla^{2}f|^{2}+u\nabla\Delta{f}\cdot\nabla{f}+uRic(\nabla{f}, \nabla{f}) \\ &=&\int_{M}u|\nabla^{2}f-\frac{\Delta{f}}{n}g|^{2}+\frac{u}{n}(\triangle{f})^{2}\\ &&-\frac{R}{n-1}u|\nabla{f}|^{2}+uRic(\nabla{f}, \nabla{f}). \end{eqnarray} $

(3.2)

因为

$ \begin{eqnarray}\label{4.10} \int_{M}u(\triangle{f})^{2} &=&-\int_{M}\frac{R}{n-1}uf\Delta{f}\\ &=&\int_{M}\frac{R}{n-1}{u}|\nabla{f}|^{2}+\int_{M}\frac{R}{n-1}{f}\nabla{u}\nabla{f}\nonumber\\ &=&\int_{M}\frac{R}{n-1}{u}|\nabla{f}|^{2}-\int_{M}\triangle{f}\nabla{u}\nabla{f}\nonumber\\ &=&\int_{M}\frac{R}{n-1}{u}|\nabla{f}|^{2}+\int_{M}(\nabla^{2}u)(\nabla{f}, \nabla{f})+\int_{M}(\nabla^{2}f)(\nabla{u}, \nabla{f}). \end{eqnarray} $

(3.3)

而且

$ \begin{eqnarray}\label{4.11} \int_{M}(\nabla^{2}f)(\nabla{u}, \nabla{f})&=&-\int_{M}(\nabla^{2}f)(\nabla{u}, \nabla{f})-\int_{M}\triangle{u}|\nabla{f}|^{2}\nonumber\\ &=&-\frac{1}{2}\int_{M}\triangle{u}|\nabla{f}|^{2}. \end{eqnarray} $

(3.4)

所以将(3.3) 式代入(3.4) 式, 我们得到

$ \begin{eqnarray}\label{4.12} \int_{M}u(\triangle{f})^{2}=\int_{M}\frac{R}{n-1}{u}|\nabla{f}|^{2}+\int_{M}(\nabla^{2}u)(\nabla{f}, \nabla{f})-\frac{1}{2}\int_{M}\triangle{u}|\nabla{f}|^{2}. \end{eqnarray} $

(3.5)

由(3.2) 式和(3.5) 式, 可知

$ \begin{eqnarray}\label{4.13} 0&=&\int_{M}u|\nabla^{2}f-\frac{\Delta{f}}{n}g|^{2}\nonumber\\ &&-\frac{R}{n}{u}|\nabla{f}|^{2}-\frac{n+1}{2n}\Delta{u}|\nabla{f}|^{2}+\frac{1}{n}(\nabla^{2}u)(\nabla{f}, \nabla{f})+uRic(\nabla{f}, \nabla{f})\nonumber\\ &=&\int_{M}u|\nabla^{2}f-\frac{\Delta{f}}{n}g|^{2}+u \bigg\{\widetilde{Ric}_{-\frac{1}{n}}(\nabla{f}, \nabla{f})- \frac{R}{n}|\nabla{f}|^{2}\bigg\}\nonumber\\ &=&\int_{M}u|\nabla^{2}f-\frac{\Delta{f}}{n}g|^{2}+\int_{M}u\widetilde{G}_{ij}f_{i}f_{j}. \end{eqnarray} $

(3.6)

已知$\int_{M}\widetilde{G}_{ij}f_{i}f_{j}\geq0$, 所以由(3.6) 式可以推断

$ \begin{eqnarray}\label{4.14} \nabla^{2}f=\frac{1}{n}\Delta{f}g=-\frac{R}{n(n-1)}fg. \end{eqnarray} $

(3.7)

由Obata定理, 我们只要证明数量曲率为常数就可以得到定理1.5的证明.这个事实在文献[14]中已经给出证明, 为了完整起见, 我们给出详细证明.由(3.7) 式, 它给出了一个非平凡的共形向量场$\nabla f$使得

$ \frac{1}{2}L_{\nabla f}g=-\frac{1}{n(n-1)}Rfg. $

类似(2.14) 式的证明, 我们可以得到

$ \triangle\bigg(-\frac{1}{n(n-1)}Rf\bigg)=-\frac{R}{n-1}\bigg(-\frac{1}{n(n-1)}Rf\bigg). $

这样由假设$L_{\nabla f}R=0$和(3.1) 式, 可知

$ \triangle R=0. $

因为流形是紧的, 所以由极大值原理, 我们知道数量曲率为常数.所以(3.7) 式说明了$M$等距于球面.

最后我们给出定理1.6的证明.

定理1.6的证明  由(3.1) 式, Bochner公式和分部积分, 可知

$ \begin{eqnarray}\label{4.15} \int_{M}\frac{1}{2}\Delta{u}|\nabla{f}|^{2} &=&\int_{M}u|\nabla^{2}f|^{2}+u\nabla\Delta{f}\cdot\nabla{f}+uRic(\nabla{f}, \nabla{f})\\ &=&\int_{M}u|\nabla^{2}f-\frac{\Delta{f}}{n}g|^{2}+\frac{u}{n}(\triangle{f})^{2}-\frac{uf}{n-1}\nabla R\cdot\nabla{f}\\ &&-\frac{R}{n-1}u|\nabla{f}|^{2}+uRic(\nabla{f}, \nabla{f}). \end{eqnarray} $

(3.8)

类似定理1.5的证明, 我们可以得到

$ \begin{eqnarray}\label{4.16} \int_{M}u(\triangle{f})^{2}&=&-\int_{M}\frac{R}{n-1}uf\Delta{f}\nonumber\\ &=&\int_{M}\frac{R}{n-1}{u}|\nabla{f}|^{2}+\int_{M}\frac{R}{n-1}{f}\nabla{u}\nabla{f}+\int_{M}\frac{u}{n-1}{f}\nabla{R}\nabla{f}\nonumber\\ &=&\int_{M}\frac{R}{n-1}{u}|\nabla{f}|^{2}-\int_{M}\triangle{f}\nabla{u}\nabla{f}+\int_{M}\frac{u}{n-1}{f}\nabla{R}\nabla{f}\nonumber\\ &=&\int_{M}\frac{R}{n-1}{u}|\nabla{f}|^{2}+\int_{M}(\nabla^{2}u )(\nabla{f}, \nabla{f})\\ &&+\int_{M}(\nabla^{2}f)(\nabla{u}, \nabla{f}) +\int_{M}\frac{u}{n-1}{f}\nabla{R}\nabla{f}. \end{eqnarray} $

(3.9)

将(3.4) 式代入(3.9) 式, 我们推导出

$ \begin{eqnarray}\label{4.17} \int_{M}u(\triangle{f})^{2}&=&\int_{M}\frac{R}{n-1}{u}|\nabla{f}|^{2}+\int_{M}(\nabla^{2}u)(\nabla{f}, \nabla{f})\nonumber\\ &&-\frac{1}{2}\int_{M}\triangle{u}|\nabla{f}|^{2}+\int_{M}\frac{u}{n-1}{f}\nabla{R}\nabla{f}. \end{eqnarray} $

(3.10)

由(3.8) 式和(3.10) 式, 可知

$ \begin{eqnarray}\label{4.18} 0&=&\int_{M}u|\nabla^{2}f-\frac{\Delta{f}}{n}g|^{2}-\frac{R}{n}{u}|\nabla{f}|^{2}-\frac{u}{n}{f}\nabla{R}\nabla{f}\nonumber\\ &&-\frac{n+1}{2n}\Delta{u}|\nabla{f}|^{2}+\frac{1}{n}(\nabla^{2}u)(\nabla{f}, \nabla{f})+uRic(\nabla{f}, \nabla{f})\nonumber\\ &=&\int_{M}u|\nabla^{2}f-\frac{\Delta{f}}{n}g|^{2}+\frac{uf^{2}}{2n}(\triangle R+\nabla \ln u\nabla R)+ u\bigg\{\widetilde{Ric}_{-\frac{1}{n}}(\nabla{f}, \nabla{f})-\frac{R}{n}|\nabla{f}|^{2}\bigg\}\nonumber\\ &=&\int_{M}u|\nabla^{2}f-\frac{\Delta{f}}{n}g|^{2}+\int_{M}\frac{uf^{2}}{2n}(\triangle R+\nabla \ln u\nabla R)+\int_{M}u\widetilde{G}_{ij}f_{i}f_{j}. \end{eqnarray} $

(3.11)

已知$\int_{M}\widetilde{G}_{ij}f_{i}f_{j}\geq0$和$\triangle R+\nabla \ln u\nabla R\geq0$, 所以由(3.11) 式可以得到

$ \begin{eqnarray}\label{4.19} \nabla^{2}f=\frac{1}{n}\Delta{f}g=-\frac{R}{n(n-1)}fg \end{eqnarray} $

(3.12)

和

$ \begin{eqnarray}\label{4.20} \triangle R+\nabla \ln u\nabla R=0. \end{eqnarray} $

(3.13)

因为流形是紧的, 所以由极大值原理和(3.13) 式, 我们知道数量曲率为常数.这样由(3.12) 式和Obata定理, 可以得到$M$等距于球面.