遍历理论起源于对Hamilton动力系统的统计性质的分析, 它研究动力系统的长期平均行为的定性性质.该理论已被广泛应用于数学物理、概率论和随机过程、数论等许多数学分支^[1-5].遍历理论研究的是群在可测空间上作用的定性理论, 而拓扑动力系统在相当大的一类群作用下, 具有相应于Borel $\sigma$ -代数的不变测度.因此, 拓扑动力系统就可以视为一个保测系统.这样, 遍历理论就成为了一个研究拓扑动力系统的基本工具^[6].

遍历定理是遍历理论重要的研究课题之一, 其第一个重要结论是由Birkhoff在1931年得到的逐点遍历定理, 由该定理可知, 遍历性等价于测度不可分性.其次是1932年von Neumann得到的平均遍历定理.随后许多数学家对逐点及平均遍历定理作了多种推广^{[5, 7-11]}. 1987年, Elton J研究了紧致度量空间中有限个压缩映射组成的迭代函数系统(Iterated Function Systems)的遍历定理^[7]. 2001年, 马东魁和周作领对Elton的工作进行了改进, 得到了有限迭代函数系统的几个新的遍历定理^[8]. 2005年, 吴亨哲等人研究了紧致度量空间中无穷个压缩映射组成的迭代函数系统的遍历定理^[9].最近, 章梅荣及其合作者给出了不连续斜积流的一致遍历定理和不连续斜积变换的半一致遍历定理^[12-13].

周期离散系统存在于许多现实问题中, 经济和生物中的很多问题都可以用周期离散系统来刻划^[14-19].但受科学自身发展的限制和为了研究问题的方便, 往往将时变系统近似为自治系统进行研究.由于非自治离散系统是由若干个映射按一定的次序迭代而成, 所以非自治离散动力系统的动力学行为比自治系统要复杂得多, 研究也困难得多.目前, 已有一些关于周期离散系统的结果^{[14, 22, 24]}. 2003年, Franke和Selgrade讨论了周期离散系统的吸引子问题^[24]. 2006年, AlSharawi等人把Sharkovskii定理推广到周期离散系统^[14]. 2012年, 史玉明引入了非自治离散系统的一种新的诱导系统的概念, 并且研究了非自治系统与其诱导系统动力学行为之间的关系^[21].随后我们又更加细致地研究了周期系统的混沌问题^[22], 建立了周期系统在Devaney和Li-Yorke意义下混沌的判定定理, 同时给出了不混沌的几个充分条件.最近, 我们研究了非自治离散系统的敏感依赖性, 并给出了系统是敏感依赖的若干判定方法^[25].关于非自治离散系统更多的结果, 请参见文献[20, 23, 26-29].到目前为止, 周期系统还有很多重要的问题有待我们去探索研究.本文将给出周期系统的几个遍历定理.

本文其余部分安排如下:第二节是预备知识, 给出了一些基本概念和引理.第三节讨论周期离散系统的遍历定理, 把自治系统的遍历定理推广到周期系统, 包括Hilbert空间上的平均遍历定理、von Neumann意义下的平均遍历定理和Birkhoff逐点遍历定理.

本节给出一些基本概念和一个引理.首先介绍几个符号并引入了非自治保测变换的概念, 然后回顾了几个基本概念.因为平均遍历定理和Birkhoff遍历定理的内容众所周知, 所以这里就不再赘述.

考虑如下非自治离散系统

$ x_{n+1}=T_n(x_n), \ \ n\geq0, $

(2.1)

其中$D_n$是度量空间$(X, d)$的子集, 映射$T_n: D_n\rightarrow D_{n+1}$.为叙述方便, 记

$ T^i_0=T_{i-1}\circ T_{i-2}\circ\cdots\circ T_0, \ \ i\geq 0. $

如果满足

$ D_{n+k}=D_n \ \mbox{且} \ T_{n+k}(x)=T_n(x), \ \ x\in D_n, \ n\geq 0, $

那么系统(2.1) 称为$k$ -周期系统.特别的, 当$k=1$时, 系统(2.1) 是自治离散系统.记

$ \widehat{T}:=T_{k-1}\circ\cdots\circ T_0, $

那么$\widehat{T}: D_0\to D_0, $并称自治离散系统

$ x_{n+1}=\widehat{T}(x_n), \ \ n\geq 0 $

(2.2)

为$k$ -周期离散系统(2.1) 的诱导系统^[21].

令$\textbf{B}(X)$是$\sigma$ -代数.假设$D_n\in \textbf{B}(X), $ $n\geq 0.$设$\mu$是空间$(X, \textbf{B}(X))$上的测度.

定义2.1 如果对任意$n\geq 0, $ $T_n$是测度空间$(X, \textbf{B}(X), \mu)$上的保测变换, 那么称非自治系统(2.1) 是保测系统.

由于不要求映射$T_n$是可逆的, 因此本文只考虑系统(2.1) 的正向轨道.

定义2.2 设$(X, \textbf{B}(X), \mu)$是概率空间.称$k$ -周期离散系统(2.1) 是遍历的, 若$B\in \textbf{B}$满足$\widehat{T}^{-1}B=B, $则必有$\mu (B)=0$或$\mu (B)=1$成立.

设$(X, \textbf{B}, \mu)$是测度空间, 其上的可测函数$f:X\rightarrow C$的全体构成的空间记为$L^0(X, \textbf{B}, \mu), $ $|f|^p$可积函数$f:X\rightarrow C$的等价类构成的空间记为$L^p(X, \textbf{B}, \mu), $其中$C$是复数域.以下我们总假设系统(2.1) 是$k$ -周期系统, 并且$D_n=X, 0\leqslant n\leqslant k-1.$

定义2.3^{[5, 定义1.3]} 设$(X, \textbf{B}, \mu)$是$\sigma$ -有限测度空间, $T:X \rightarrow X$是保测变换.定义由$T$诱导的算子$U_T:L^0(X, \textbf{B}, \mu) \rightarrow {L^0(X, \textbf{B}, \mu)}$为

$ (U_Tf)(x)=f(Tx), \ \forall f\in L^0(X, \textbf{B}, \mu), \ \forall \ x\in X. $

(2.3)

注2.1 在文献[5, 定义1.3]中, $(X, \textbf{B}, \mu)$是概率空间.实际上, $(X, \textbf{B}, \mu)$可以是一般测度空间.由于本文是在$\sigma$ -有限测度空间上考虑的, 所以我们把概率空间改为了$\sigma$ -有限测度空间.

显然, $U_T$是线性算子.

引理2.1 设$(X, \textbf{B}, \mu)$是$\sigma$ -有限测度空间.若$T:X \rightarrow X$是保测变换, 则

$ \int_X f\circ T{\rm d}\mu=\int_X f{\rm d}\mu, \ \ \forall f\in L^1(X, \textbf{B}, \mu). $

(2.4)

证 由于引理的证明类似于文献[5]中的引理1.2, 因此证明从略.

注2.2 引理2.1的结果类似于文献[5]中的引理1.2, 那里讨论的是概率空间上的保测变换, 且$f\in L^0(X, \textbf{B}, \mu).$

本节首先给出Hilbert空间上$k$个线性算子的平均遍历定理, 然后给出周期离散系统的von Neumann平均遍历定理和Birkhoff遍历定理.

设$\textbf{H}$是Hilbert空间, $U$是$\textbf{H}$上满足$\|Uf\|\leqslant \|f\|, \ \forall\ f\in \textbf{H}$的线性算子.记

$ \textbf{N}_U=\{f\in \textbf{H}:\ Uf=f \}, $

$P_U$是$\textbf{H}$到$\textbf{N}_U$上的投影算子, $ \textbf{R}$(id$-U)$是算子id$-U$的值域.

定理3.1  设$\textbf{H}$是Hilbert空间, $W_i$是$\textbf{H}$上的$k$个线性算子, 且满足

$ \|W_if\|\leqslant \|f\|, \ \forall f\in \textbf{H}, 0\leqslant i\leqslant k-1, $

则对任意$f\in \textbf{H}, $当$n\rightarrow \infty$时, 都有

$ \frac{1}{n}\mathop \sum \limits^{n-1}_{j=0}(W_0\circ W_1\circ \cdots \circ W_{j-1})f \rightarrow %converges in to \displaystyle{\frac{1}{k}}\Big{(}P_{V}(f)+P_{V}(W_0f)+\cdots +P_{V}((W_{0}\circ \cdots \circ W_{k-2})f)\Big{)}, $

其中$V: =W_{0}\circ W_{1}\circ W_{2}\circ \cdots \circ W_{k-1}.$

证 为讨论方便, 我们只证明$k=2$的情形.此时, $V=W_0\circ W_1.$显然, $\|Vf\|\leqslant \|f\|, $ $ \forall\ f\in \textbf{H}.$因为

$ \begin{eqnarray*} \Delta_n&:=&\frac{1}{n}\mathop \sum \limits^{n-1}_{j=0}(W_0\circ W_1\circ \cdots \circ W_{j-1})f \\ &=&\displaystyle{\frac{1}{n}}\Big{(}f+W_0f+ (W_0\circ W_1)f+ (W_0\circ W_1\circ W_0)f+\cdots+ (W_0 \circ W_1\circ\cdots \circ W_{n-1})f\Big{)}\\ &=&\displaystyle{\frac{1}{n}}\Big{(}f+ W_0f + Vf+ V(W_0f)+ V^2f+\cdots+ (W_0 \circ W_1\circ\cdots \circ W_{n-1})f\Big{)}, \end{eqnarray*} $

所以我们分两种情况进行讨论.当$n$是偶数时, 有

$ \begin{eqnarray*} %&\displaystyle{\frac{1}{n}}\mathop \sum \limits^{n-1}_{j=0}(W_0\circ W_1\circ \cdots \circ W_{j-1})f\\ \Delta_n&=&\frac{1}{n}\Big{[}\mathop \sum \limits^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}V^jf+ \mathop \sum \limits^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}V^j(W_0f)\Big{]}\\ &=&\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{n}{2}}\Big{(}\mathop \sum \limits^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}V^jf\Big{)}} +\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{n}{2}}\displaystyle{\Big{(}\mathop \sum \limits^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}V^j(W_0f)\Big{)}}}. \end{eqnarray*} $

当$n$是奇数时, 有

$ \begin{eqnarray*} %&\displaystyle{\frac{1}{n}}\mathop \sum \limits^{n-1}_{j=0}(W_0\circ W_1\circ \cdots \circ W_{j-1})f\\ \Delta_n&=&{\frac{1}{n}\Big{[}\mathop \sum \limits^{\frac{n-1}{2}}_{j=0}V^jf+ \mathop \sum \limits^{\frac{n-1}{2}-1}_{j=0}V^j(W_0f)\Big{]}}\\ &=&\displaystyle{\frac{n+1}{2n}\cdot \frac{1}{\frac{n+1}{2}}\Big{(}\mathop \sum \limits^{\frac{n-1}{2}}_{j=0}V^jf\Big{)}} +\displaystyle{\frac{n-1}{2n}\cdot \frac{1}{\frac{n-1}{2}}\displaystyle{\Big{(}\mathop \sum \limits^{\frac{n-1}{2}-1}_{j=0}V^j(W_0f)\Big{)}}}. \end{eqnarray*} $

由平均遍历定理^{[10, 第二章定理1.2]}可知:在$\textbf{H}$中, 当$n\rightarrow \infty$时, 有

$ \Delta_n \rightarrow \displaystyle{\frac{1}{2}}\Big{(}P_Vf+P_V(W_0f)\Big{)}. $

证毕.

注3.1 定理3.1推广了文献[10]中关于单个线性算子的结果.当$k=1$时, 定理3.1就是文献[10]中第二章定理1.2平均遍历定理.

命题3.1  设$W_j, \ 0\leqslant j\leqslant k-1, $满足定理3.1的条件.若$W_j=W, $ $0\leqslant j\leqslant k-1$, 则

$ \displaystyle{\frac{1}{k}}\Big{(}P_{V}f+P_{V}(W_0f)+\cdots +P_{V}(W_0\circ W_1\circ \cdots \circ W_{k-2}f)\Big{)}=P_Wf, $

其中$V=W^k$.

这个结果可由定理3.1和经典的平均遍历定理证得.我们将用下面的引理给出另外一种证明方法.下面这个引理结果本身也很有用.

引理3.1  假设$\textbf{H}$是Hilbert空间, $W$是其上的线性算子, 且满足$\|W\|\le 1$, 即

$ \|Wf\|\leqslant \|f\|, \forall f\in \textbf{H}. $

那么, $\overline{\textbf{R}({\rm id}-W)}$和$\textbf{N}_W$是$\textbf{H}$的互为正交补子空间, 即$\overline{\textbf{R}({\rm id}-W)}=\textbf{N}_W^\bot.$

证 由文献[30, 定理4.13]可知, $\overline{\textbf{R}({\rm id}-W)}=\textbf{N}_{W^*}^\bot, $其中$W^*$是$W$的伴随算子.因此只需证明

$ {\textbf{N}_{W^*}}=\textbf{N}_W. $

(3.1)

令$(\cdot, \cdot)$是空间$\textbf{H}$上的内积.由假设$\|W\|\le 1$, 可知

$ \|W^*f\|^2=(W^*f, W^*f)=(WW^*f, f) \le \|WW^*f\| \|f\| \le \|W^*f\| \|f\|, \forall f\in \textbf{H}, $

由此可知$\|W^*f\|\le \|f\|$.从而

$ \|W^*\|\le 1. $

(3.2)

另外, 对任意$h\in \textbf{H}$, 有

$ \begin{eqnarray*} \|Wh-h\|^2&=& \|Wh\|^2-(h, \ Wh)-(Wh, \ h)+\|h\|^2\\ &=& \|Wh\|^2-(W^*h, \ h)-(h, \ W^*h)+\|h\|^2, \end{eqnarray*} $

$ \|W^*h-h\|^2= \|W^*h\|^2-(W^*h, \ h)-(h, \ W^*h)+\|h\|^2, $

由此可得

$ \|Wh-h\|^2-\|W^*h-h\|^2= \|Wh\|^2-\|W^*h\|^2. $

(3.3)

令$h\in \textbf{N}_W$, 则$Wh=h.$由式(3.2) 和(3.3) 可知

$ \|W^*h-h\|^2= \|W^*h\|^2-\|h\|^2\le \|W^*\|^2\|h\|^2-\|h\|^2\le 0. $

因此$W^*h=h.$故$\textbf{N}_W\subset \textbf{N}_{W^*}.$类似可证$\textbf{N}_{W^*}\subset \textbf{N}_W.$故结论成立.证毕.

命题3.1的证明 为讨论简便, 我们只证明$k=2$的情况, 对$k>2$同理可证.此时, $V=W^2.$由引理3.1可知

$ \textbf{R}({\rm id}-W)^\bot=\textbf{N}_W, \ \ \textbf{R}({\rm id}-V)^\bot=\textbf{N}_V. $

从而

$ \textbf{H}=\textbf{N}_W\oplus \overline{\textbf{R}({\rm id}-W)}, \ \ \textbf{H}=\textbf{N}_V\oplus \overline{\textbf{R}({\rm id}-V)}. $

(3.4)

容易证明, 对任意$f\in \textbf{H}$, 当$Wf=f$时, $Vf=f.$因此$\textbf{N}_W\subset \textbf{N}_V.$故

$ P_V\circ P_W=P_W, $

从而$P_V\circ P_W$是投影算子.又因为投影算子是自伴算子, 所以$P_V\circ P_W, \ P_W, \ \mbox{和}\ P_V$是自伴算子.则有

$ P_W\circ P_V=P_W^*\circ P_V^*=(P_V\circ P_W)^*=P_V\circ P_W. $

故

$ P_V\circ P_W=P_W\circ P_V=P_W. $

(3.5)

由式(3.4) 可知, 对任意$f\in \textbf{H}, $存在$f_1\in \textbf{N}_W, \ f_2\in \overline{\textbf{R}({\rm id}-W)}$使得$f=f_1+f_2.$则有$(f_1, \ f_2)=0$和$Wf=f_1+Wf_2$成立.因为如果$h\in \textbf{N}_W$, 那么$W^*h=h$, 所以

$ (f_1, \ Wf_2)=(W^*f_1, \ f_2)=(f_1, \ f_2)=0, $

由此可知$ Wf_2\in \overline{\textbf{R}({\rm id}-W)}.$因此

$ P_W(Wf)=f_1=P_Wf. $

(3.6)

下面证明

$ P_V(Wf)=W(P_Vf), \ f\in \textbf{H}. $

(3.7)

由式(3.4) 可知, 存在$f'_1\in \textbf{N}_V, \ f'_2\in \overline{\textbf{R}({\rm id}-V)}$使得$f=f'_1+f'_2.$则有$(f'_1, \ f'_2)=0, $ $(f'_1, \ Vf'_2)=0, $

$ Vf'_1=f'_1, \ \ Wf=Wf'_1+Wf'_2. $

因此

$ V(Wf'_1)=W^2(Wf'_1)=W(Vf'_1)=W(f'_1), $

由此可知$Wf'_1\in \textbf{N}_V.$又由

$ \begin{eqnarray*} \|W^*f'_1-Wf'_1\|^2 &=& \|W^*f'_1\|^2-(W^*f'_1, \ Wf'_1)-(Wf'_1, \ W^*f'_1)+\|Wf'_1\|^2\\ &=& \|W^*f'_1\|^2-(f'_1, \ Vf'_1)-(Vf'_1, \ f'_1)+\|Wf'_1\|^2, \\ &=& \|W^*f'_1\|^2-2\|f'_1\|^2+\|Wf'_1\|^2\le 0 \end{eqnarray*} $

可得$W^*f'_1=Wf'_1.$从而

$ (Wf'_1, \ Wf'_2)=(W^*f'_1, \ Wf'_2)=(f'_1, \ W^2f'_2)=(f'_1, \ Vf'_2)=0, $

这说明$Wf'_1$和$Wf'_2$是正交的.故式(3.7) 成立.

由式(3.5) 和(3.6) 可知

$ \begin{array}[b]{rl} {\displaystyle P_W\Big{(}\frac{1}{2}\Big{(}P_Vf+P_V(Wf)\Big{)}\Big{)}} =&{\displaystyle \frac{1}{2}\Big{(}(P_W\circ P_V)f+(P_W\circ P_V)(Wf)\Big{)}}\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}\Big{(}P_Wf+P_W(Wf)\Big{)} =P_Wf}. \end{array} $

(3.8)

由式(3.7) 可知

$ \begin{eqnarray*} {\displaystyle W\Big{(}\frac{1}{2}\Big{(}P_Vf+P_V(Wf)\Big{)}\Big{)}} & =&{\displaystyle \frac{1}{2}\Big{(}W(P_Vf)+W(P_V(Wf))\Big{)}}\\ &=&{\displaystyle \frac{1}{2}\Big{(}W(P_Vf)+W^2P_Vf}\Big{)}\\ &=&{\displaystyle \frac{1}{2}\Big{(}W(P_Vf)+V(P_Vf)\Big{)}} \\ &=&{\displaystyle \frac{1}{2}\Big{(}P_V(Wf)+P_Vf \Big{)}}, \end{eqnarray*} $

由此可得

$ \Big{(}P_Vf+P_V(Wf)\Big{)}\Big{/}2\in \textbf{N}_W. $

因此

$ P_W\Big{(}\frac{1}{2}\Big{(}P_Vf+P_V(Wf)\Big{)}\Big{)}=\frac{1}{2}\Big{(}P_Vf+P_V(Wf)\Big{)}. $

由上式和式(3.8) 可知

$ \frac{1}{2}\Big{(}P_Vf+P_V(Wf)\Big{)}=P_Wf. $

证毕.

设$U_i$是$T_i$诱导的线性算子, $U_{\widehat{T}}$是$\widehat{T}$诱导的线性算子, $U_{j-1}^0$是$T_0^j$诱导的线性算子.则

$ U_{j-1}^0=U_0\circ U_1\circ \cdots \circ U_{j-2}\circ U_{j-1}, \ \ j=1, 2, \cdots. $

如果定理3.1中的Hilbert空间$\textbf{H}$取为$L^2(X, \textbf{B}, \mu), $那么下面周期系统的平均遍历定理是文献[5]中定理3.1和定理1.3的直接推论.

推论3.1  设$(X, \textbf{B}, \mu)$是$\sigma$ -有限测度空间, 系统(2.1) 是$k$ -周期保测系统.令$\textbf{H}_1=L^2(X, \textbf{B}, \mu), $ $\textbf{N}_{\widehat{T}}=\{f\in \textbf{H}_1:\ U_{\widehat{T}}f=f \}, $ $P_{\widehat{T}}$是$\textbf{H}_1$到$\textbf{N}_{\widehat{T}}$上的投影算子.则在$\textbf{H}_1$中, 对任意$f\in \textbf{H}_1$, 当$n\rightarrow \infty$时, 有

$ \frac{1}{n}\mathop \sum \limits^{n-1}_{j=0}f(T_0^j)\rightarrow \displaystyle{\frac{1}{k}}\Big{(}P_{\widehat{T}}f+P_{\widehat{T}}(f\circ T_0)+\cdots +P_{\widehat{T}}(f\circ T_0^{k-1})\Big{)}. $

由推论3.1可得下面周期系统的von Neumann平均遍历定理.

定理3.2  设$(X, \textbf{B}, \mu)$是$\sigma$ -有限测度空间, 系统(2.1) 是$k$ -周期保测系统.则对任意$f\in L^2(X, \textbf{B}, \mu), $存在$\bar{f}\in L^2(X, \textbf{B}, \mu)$使得

$ \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty }\, \|\frac{1}{n}\mathop \sum \limits\limits_{j=0}^{n-1}{f}(T_{0}^{j})-\bar{f}{{\|}_{2}}=0. $

注3.2 当$k=1$时, 周期离散系统(2.1) 就是自治系统.定理3.2推广了文献[10]中第二章的定理1.1关于自治系统的von Neumann平均遍历定理.

最后给出周期离散系统的Birkhoff遍历定理.

定理3.3 设$(X, \textbf{B}, \mu)$是$\sigma$ -有限测度空间, 系统(2.1) 是$k$ -周期保测系统.则对任意$f\in L^1(X, \textbf{B}, \mu)$, 存在$\bar{f}\in L^1(X, \textbf{B}, \mu)$使得

$ \frac{1}{n}\mathop \sum \limits^{n-1}_{j=0}f(T_0^j(x)) $

几乎处处收敛于函数$\bar{f}, $并且$\bar{f}\circ \widehat{T}=\bar{f}$几乎处处成立.如果$\mu(X) < \infty, $那么

$ \int_X \bar{f}{\rm d}\mu=\int_X f{\rm d}\mu. $

如果$\mu(X)=1, $当周期离散系统(2.1) 遍历时, $\bar f$是常数, 且

$ \bar{f}=\int_X f{\rm d}\mu. $

证 为讨论简便, 我们只证明$k=2$的情形.此时, $\widehat{T}=T_1\circ T_0, $

$ \begin{eqnarray*} &&\displaystyle{\frac{1}{n}\mathop \sum \limits^{n-1}_{j=0}f(T_0^j(x))}\\ %=&\displaystyle{\frac{1}{n}}\Big{(}f(x)+f\circ T_0(x)+f\circ T_1\circ T_0(x)+f\circ T_0\circ T_1\circ T_0(x)+\cdots+f\circ T_0 ^{n-1}(x)\Big{)}\\ &=&\displaystyle{\frac{1}{n}}\Big{(}f(x)+f\circ T_0(x) +f\circ \widehat{T}(x)+f\circ T_0\circ \widehat{T}(x)+f\circ \widehat{T}^2(x)+\cdots+f\circ T_0 ^{n-1}(x)\Big{)}. \end{eqnarray*} $

当$n$是偶数时, 有

$ \begin{eqnarray*} \displaystyle{\frac{1}{n}\mathop \sum \limits^{n-1}_{j=0}f(T_0^j(x))} &=&\displaystyle{\frac{1}{n}\Big{[}\mathop \sum \limits^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}f(\widehat{T}^j(x))+ \mathop \sum \limits^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}f\circ T_0\circ (\widehat{T}^j(x))\Big{]}}\\ &=&\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{n}{2}}\Big{(} \mathop \sum \limits^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}f(\widehat{T}^j(x))\Big{)}} +\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{n}{2}}\Big{(} \mathop \sum \limits^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}f\circ T_0\circ (\widehat{T}^j(x))\Big{)}}. \end{eqnarray*} $

因为$T_0$和$T_1$是保测的, 所以$\widehat{T}$也是保测的.由Birkhoff遍历定理^{[5, 定理1.14]}可知, 存在$\bar{f}_1\in L^1(X, \textbf{B}, \mu)$使得, 当$n\rightarrow \infty$时, 有

$ \frac{1}{\frac{n}{2}}\Big{(}\mathop \sum \limits^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}f(\widehat{T}^j(x))\Big{)}\rightarrow \bar{f}_1, $

且

$ \bar{f}_1\circ \widehat{T}=\bar{f}_1 $

(3.9)

在$X$中几乎处处成立.如果$\mu(X) < \infty, $那么

$ \int_X \bar{f}_1{\rm d}\mu=\int_X f{\rm d}\mu. $

(3.10)

由引理2.1可知, $f\circ T_0\in L^1(X, \textbf{B}, \mu).$由Birkhoff遍历定理可知, 存在$\bar{f}_2\in L^1(X, \textbf{B}, \mu)$使得当$n\rightarrow \infty$时, 有

$ \displaystyle{\frac{1}{\frac{n}{2}}\Big{(} \mathop \sum \limits^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}f\circ T_0\circ (\widehat{T}^j(x))\Big{)}}\rightarrow \bar{f}_2, $

且

$ \bar{f}_2\circ \widehat{T}=\bar{f}_2 $

(3.11)

在$X$中几乎处处成立.如果$\mu(X) < \infty, $那么

$ \int_X \bar{f}_2{\rm d}\mu=\int_X f\circ T_0{\rm d}\mu. $

(3.12)

令

$ \bar{f}=\displaystyle{\frac{1}{2}\Big{(}\bar{f}_1+\bar{f}_2\Big{)}}. $

则

$ \displaystyle{\frac{1}{n}\mathop \sum \limits^{n-1}_{j=0}f(T_0^j(x))} $

几乎处处收敛于$\bar{f}.$由式(3.9) 和(3.11) 可知

$ \bar{f}\circ \widehat{T}=\Big{(}\displaystyle{\frac{1}{2}\Big{(}\bar{f}_1+\bar{f}_2}\Big{)}\Big{)}\circ \widehat{T} =\displaystyle{\frac{1}{2}\Big{(}\bar{f}_1\circ \widehat{T}+\bar{f}_2\circ \widehat{T}\Big{)} } {\rm (a.e.)}= \displaystyle{\frac{1}{2}\Big{(}\bar{f}_1+\bar{f}_2\Big{)}=\bar{f}}. $

如果$\mu(X) < \infty, $那么由式(3.10), (3.12) 和引理2.1可得

$ \displaystyle{\int_X \bar{f}{\rm d}\mu}=\displaystyle{\frac{1}{2} \Big{(}\int_X \bar{f}_1{\rm d}\mu +\int_X \bar{f}_2 {\rm d}\mu \Big{)}} =\displaystyle{\frac{1}{2}\Big{(}\int_X f{\rm d}\mu+\int_X f\circ T_0{\rm d}\mu \Big{)}=\int_X f{\rm d}\mu}. $

当$\mu(X)=1$且系统(2.1) 遍历时, $\widehat{T}$也是遍历的.由Birkhoff遍历定理可知, $\bar{f}_1$和$\bar{f}_2$是常数, 且

$ \bar{f}_1=\int_X f{\rm d}\mu, \ \ \bar{f}_2=\int_X f\circ T_0{\rm d}\mu. $

则由式(2.4) 可知

$ \bar{f}=\displaystyle{\frac{1}{2}\Big{(}\bar{f}_1+\bar{f}_2\Big{)}} =\displaystyle{\frac{1}{2}\Big{(}\int_X f{\rm d}\mu+\int_X f\circ T_0{\rm d}\mu \Big{)}=\int_X f{\rm d}\mu.} $

同理可证$n$是奇数的情形.证毕.

注3.3 当$k=1$时, 定理3.3推广了文献[10]关于自治系统的Birkhoff遍历定理.

注3.4  我们需要提及的是定理3.1和定理3.3不同于迭代函数系统的遍历定理(参见文献[7, 定理; 8, 定理1]).那里要求在紧致度量空间上的有限个压缩映射(利普希茨常数$L < 1$) $\omega_i, 1\le i\le N, $且$f$在$X$上连续, 而且映射的迭代是随机的.本文不要求这些条件.