记${\Bbb C}^n$为$n$维复Hilbert空间, 其内积定义为$ \langle z,w\rangle=\sum\limits^{n}_{j=1}{}z_{j}\overline{{w}_{j}}$, 范数定义为$\|z\|=(\langle z,z\rangle)^{\frac{1}{2}}$, 这里$z,\;w\in {\Bbb C}^n$.记$B^n=\{z\in {\Bbb C}^n: \|z\|^2=|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2<1\}$为${\Bbb C}^n$中开单位球.单位球${B}^n$的边界记为$\partial {B^n}=\{z\in {\Bbb C}^n:\|z\|=1\}.$ $H(B^n)$表示为$B^n$到${\Bbb C}^n$全纯函数的全体.本文中, 点$z\in {\Bbb C}^n$是以$n\times1$矩阵形式表示$z=(z_1,z_2,\cdots,z_n)'$的列向量, 相应的函数$f\in H(B^n)$表示$ f=(f_{1},f_{2},\cdots,f_{n})',$这里$f_{j}$是$B^n$到${\Bbb C}$的全纯函数, $j=1,\cdots,n$. $f\in H(B^n)$在$a\in B^n$点的导数是复Jacobian矩阵: $ J_f(a)=\left(\frac{\partial f_{j}}{\partial z_{k}}(a)\right)_{n\times n}.$显然$J_f$是${\Bbb C}^{n}$到${\Bbb C}^{n}$的一个线性变换. ${\Bbb C}^n$中的域即连通开集.

如果对域$\Omega\subset {\Bbb C}^n$内任意$z_1,z_2$两点和$0\leq t\leq 1$, 有$tz_1+(1-t)z_2\in \Omega$, 那么称$\Omega$是凸的.如果映射$f\in H(B^n)$满足$f(0)=0$和$J_f(0)=I_n$, 则称$f$是正规的, 这里$I_n$是$n$阶单位方阵.如果$f$是$B^n$到$f(B^n)$上的一一映射, 且对任意$z\in B^n$有$\det J_f(z)\neq 0$, 则称$f$是双全纯的.如果一个双全纯映射$f :B^n\rightarrow {\Bbb C}^{n}$的像是凸的, 则称$f$是$ B^n$上凸映射.

1907年, Koebe首先给出了复平面${\Bbb C}$单位圆盘上单叶函数给出了偏差定理.然而, 可以举出很多反例说明:对于多复变数全纯映射偏差定理不再成立, 除非我们考虑双全纯映射的某些子族.于是, 1933年Cartan建议在多复变数中研究凸映射和星形映射.文献[1-3]有相关说明.

直到1988年, Barnard, FitzGerald和Gong^[4]首先给出了$B^2$上正规化双全纯凸映射的偏差定理, 该定理是对$|\det J_f(z)|$上下界的估计.接着刘太顺和张文俊^[6]把该定理推广到单位球上.同时, 文献[6]给出了单位球$B^n$上正规化双全纯凸映射的$\overline{J_f(z)}'J_f(z)$的精确估计.主要定理刻画如下.

定理1.1^[6] 设$f:B^n\to{\Bbb C}^n$是正规化双全纯凸映射, 则

$\left(\frac{1-\|z\|}{1+\|z\|}\right)^2G(z)\leq \overline{J_f(z)}'J_f(z) \leq \left(\frac{1+\|z\|}{1-\|z\|}\right)^2G(z)$

(1.1)

成立, 这里$z\in B^n$,

$G(z)=\frac{I_n}{1-\|z\|^2}+ \frac{z\bar{z}'}{(1-\|z\|^2)^2}$

为$B^n$的Bergman度量矩阵.

最近, 文献[7]中给出了单位球上全纯自映射的边界型Schwarz引理, 在多复变数中利用该引理, 可以得到关于几何函数理论的一些新结果.本文就是使用单位球上边界型Schwarz引理, 给出定理1.1一个简单新证明.希望该方法能为解决多复变数双全纯映射某些子族的偏差定理带来一些新的启示.

在这部分, 给出将要用到的一些符号和一些基本引理.

记$\Delta=\{z\in {\Bbb C}:|z|<1\}$是单位开圆盘.设$\Omega$是${\Bbb C}^n$中的域. $H(\Omega,\Delta)$表示$\Omega$到$\Delta$全纯映射的全体, 相应的$H(\Delta,\Omega)$表示$\Delta$到$\Omega$全纯映射的全体.

对所有的$z\in \Omega$和$\xi\in {\Bbb C}^n$, 称

$ F_C^\Omega(z,\xi)=\sup\{|J_f(z)\xi|: \exists f\in H(\Omega,\Delta),f(z)=0\} $

为$\Omega$上Carathéodory度量的无穷小形式(或称之为Carathéodory半范数), 称

$ F^{\Omega}_K(z,\xi)=\inf\bigg\{\frac{|\alpha |}{1-|\lambda|^2}:\exists f\in H(\Delta,\Omega),\exists \lambda\in\Delta,f(\lambda)=z,\alpha f'(\lambda)=\xi\bigg\} $

为$\Omega$上Kobayashi-Royden度量的无穷小形式(或称之为Kobayashi-Royden半范数), 这里$J_f(z)$和$f'(\lambda)$表示如下

$J_f(z)=\left(\frac{\partial f}{\partial z_1}(z),\cdots,\frac{\partial f}{\partial z_n}(z)\right),$

$f'(\lambda)=\left({f_1}'(\lambda),\cdots,{f_n}'(\lambda)\right)'.$

下面的引理2.1刻画了Carathéodory度量和Kobayashi-Royden度量在全纯映射下的非增性.

引理2.1^[8] 设$f: B^n\to B^n$为全纯映射.那么对所有的$z\in B^n$和$\xi\in{\Bbb C}^n$, 有

$ F_C^{B^n}(f(z),J_f(z)\xi)\leq F_C^{B^n}(z,\xi)\ \textrm{和}\ F_K^{B^n}(f(z),J_f(z)\xi)\leq F_B^{B^n}(z,\xi). $

引理2.2 设$f: B^n\to B^n$为双全纯映射, 且$f(0)=0$.那么$\overline{J_f(0)}'J_f(0)\leq I_n$, $J_f(0)\overline{J_f(0)}'\leq I_n$, 即$I_n-\overline{J_f(0)}'J_f(0)$和$I_n-J_f(0)\overline{J_f(0)}'$是半正定的.

证 由文献[9]中的定理2.1可知

$F^{B^n}_K(z,\xi)=F^{B^n}_C(z,\xi)=\frac{\|\xi\|^2}{1-\|z\|^2}+ \frac{\bar{\xi}'z\bar{z}'\xi}{(1-\|z\|^2)^2}.$

(2.1)

那么由引理2.1和(2.1) 式可得

$F_C^{B^n}(f(0),J_f(0)\xi)=F_C^{B^n}(0,J_f(0)\xi)=\|J_f(0)\xi\|^2\leq F_C^{B^n}(0,\xi)=\|\xi\|^2$

对所有$\xi\in {\Bbb C}^n$成立.这就表明$\bar{\xi}'(I_n-\overline{J_f(0)}'J_f(0))\xi\geq 0$, 也就是说$I_n-\overline{J_f(0)}'J_f(0)$是半正定的.类似的, 可以得到$I_n-J_f(0)\overline{J_f(0)}'$是半正定的.

引理2.3^[10] 给定$a\in B^n,$令$A=sI_n+\frac{a\overline{a}'}{1+s}$, 这里$s=\sqrt{1-\|a\|^2},$ $I_n$是$n$维单位方阵.那么

$\varphi _a(z)=A\frac{a-z}{1-\overline{a}'z}$

是把$0$映射到$a$, 把$a$映射到$0$的$B^n$的全纯自同构.进一步, $\varphi _a$在$\overline{B^n}$的邻域上全纯, 且

$A^2=s^2I_n+a\overline{a}',\ \ \ Aa=a,\ \ \ \varphi ^{-1}_a=\varphi _a,\ \ \ J_{\varphi _a}(z)=A\left[-\frac{I_n}{1-\overline{a}'z}+\frac{(a-z)\overline{a}'}{(1-\overline{a}'z)^2}\right].$

下面的引理2.4是单位球上边界型Schwarz引理, 它本身结果比较优美且有很好的引用.

引理2.4^[7] 设$f: B^n\to B^n$是全纯映射.如果$f$在点$z_0∈ B^n$全纯, $f(z_0)=z_0$且$a=f(0)$, 那么

(1) 存在$J_f(z_0)$的正特征值$\lambda$, 满足$\overline{J_f(z_0)}'z_0=\lambda z_0$且$\lambda\geq {\Large \frac{|1-\overline{a}'z_0|^2}{1-\|a\|^2}}$;

(2) 对$J_f(z_0)$的其它所有特征值$\mu_j\in {\Bbb C}$, 有$|\mu_j|\leq \sqrt{\lambda}$, $j=2,\cdots,n$;

(3) $|\det J_f(z_0) |\leq \lambda^{\frac{n+1}{2}}$.

推论2.1 设$f: B^n\to B^n$是全纯映射.如果$f$在点$z_0∈ B^n$全纯, $f(z_0)=z_0$.如果对$a\in B^n$满足$f(a)=0$, 那么

(1) 存在$J_f(z_0)$的正特征值$\lambda$满足$\overline{J_f(z_0)}'z_0=\lambda z_0$和$\lambda\geq {\Large \frac{|1-\overline{a}'\varphi _a(z_0)|^2}{1-\|a\|^2}}$;

(2) 对$J_f(z_0)$的其它所有特征值$\mu_j\in {\Bbb C}$有$|\mu_j|\leq \sqrt{\lambda}$, $j=2,\cdots,n$;

(3) $|\det J_f(z_0) |\leq \lambda^{\frac{n+1}{2}}$.

证 由引理2.4知, 只需要证明$\lambda\geq {\Large \frac{|1-\overline{a}'\varphi _a(z_0)|^2}{1-\|a\|^2}}$.取$w_0∈ B^n$和一$n$阶酉方阵$U$满足$\varphi _a(w_0)=z_0$和$Uz_0=w_0$.令

$g(w)=Uf(\varphi _a(w)),\ w\in B^n.$

那么$g: B^n\to B^n$是一全纯映射, 且$g$在$w_0$处全纯, $g(0)=0$, $g(w_0)=w_0$.设${J_g(w_0)}$全部特征值是$\tilde\lambda,\tilde\mu_2,\cdots,\tilde\mu_n$.由引理2.4知$ \overline{J_g(w_0)}'w_0=\tilde\lambda w_0$,

$ \tilde\lambda\geq1,\ \tilde\mu_2\leq \sqrt{\tilde\lambda},\ \cdots,\ \tilde\mu_n\leq \sqrt{\tilde\lambda}. $

由引理2.3, 得到

$\quad \overline{J_{\varphi _{a}}(w_0)}'\varphi _{a}(w_0) \\ = \left[-\frac{I_n}{1-\overline{w_0}'a}+\frac{a(\overline{a}'-\overline{w_0}')}{(1-\overline{w_0}'a)^2}\right] A^2\frac{a-w_0}{1-\overline{a}'w_0}\\ =\frac{1}{|1-\overline{a}'w_0|^2}\left[-I_n+\frac{a(\overline{a}'-\overline{w_0}')}{1-\overline{w_0}'a}\right]\left[a-s^2w_0-(\overline{a}'w_0)a\right]\\ =\frac{1}{|1-\overline{a}'w_0|^2}\left[s^2w_0-(1-\overline{a}'w_0)a\right]\\ +\frac{1}{|1-\overline{a}'w_0|^2}\left[\frac{\|a\|^2-\overline{w_0}'a}{1-\overline{w_0}'a}a+ \frac{s^2(1-\overline{a}'w_0)}{1-\overline{w_0}'a}a-\frac{(\overline{a}'w_0)(\|a\|^2-\overline{w_0}'a)}{1-\overline{w_0}'a}a \right]\\ =\frac{1}{|1-\overline{a}'w_0|^2}\left[s^2w_0-(1-\overline{a}'w_0)a\right]\\ +\frac{1}{|1-\overline{a}'w_0|^2}\left[\frac{\|a\|^2-\overline{w_0}'a}{1-\overline{w_0}'a}(1-\overline{a}'w_0)a +\frac{s^2}{1-\overline{w_0}'a}(1-\overline{a}'w_0)a\right]\\ =\frac{1}{|1-\overline{a}'w_0|^2}\left[s^2w_0-\left(1-\frac{\|a\|^2-\overline{w_0}'a}{1-\overline{w_0}'a}-\frac{1-\|a\|^2}{1-\overline{w_0}'a}\right)(1-\overline{a}'w_0)a\right] \\ = \frac{1-\|a\|^2}{|1-\overline{a}'w_0|^2}w_0.$

结合引理2.4, 可以得到

$\tilde\lambda w_0=\overline{J_g(w_0)}'w_0=\overline{J_{\varphi _a}(w_0)}' \overline{J_f(z_0)}'\overline{U}'w_0\\ \quad \quad =\overline{J_{\varphi _a}(w_0)}' \overline{J_f(z_0)}'z_0 = \overline{J_{\varphi _a}(w_0)}'\lambda z_0\\ \quad \quad =\lambda \overline{J_{\varphi _a}(w_0)}' \varphi _a(w_0)=\lambda \frac{1-\|a\|^2}{|1-\overline{a}'w_0|^2}w_0.$

于是, 我们有

$ \lambda=\frac{|1-\overline{a}'w_0|^2}{1-\|a\|^2}\tilde{\lambda} =\frac{|1-\overline{a}'\varphi _a(z_0)|^2}{1-\|a\|^2}\tilde{\lambda}\geq \frac{|1-\overline{a}'\varphi _a(z_0)|^2}{1-\|a\|^2}. $

证毕.

定理1.1的证明 任意取$z\in B^n\setminus\{0\}$, 一般情况下, 假设$f$在$\overline{B^n}$的某个邻域上双全纯.否则我们只要考虑$\frac{1}{r}f(rz)(0<r<1)$, 令$r\to 1^-$即可.首先, 将证明式(1.1) 的右边不等式.取$z^*\in\partial B^n$使得三点$f(z)$, $0$和$f(z^*)$在同一直线上, 且$0$点在$f(z)$和$f(z^*)$之间.令

$g(w)=f^{-1}[\lambda f(w)+(1-\lambda)f(z^*)],\ w\in B^n.$

那么$g:B^n\to B^n$是一全纯映射且$g$在$z^*$处全纯.进一步可得$g(z^*)=z^*$, $g(z)=0$,

$J_g(z^*)=J^{-1}_f(z^*)\lambda J_f(z^*)=\lambda I_n.$

这样就得到$\overline{J_g(z^*)}'z^*=\lambda z^*$.由推论2.1可知

$ \lambda\geq {\Large \frac{|1-\overline{z}'\varphi _z(z^*)|^2}{1-\|z\|^2}}\geq \frac{1-\|z\|}{1+\|z\|}.$

令

$h(w)=g[\varphi _z(w)],\ w\in B^n.$

那么$h:B^n\to B^n$是一全纯映射且$h(0)=0$.并且

$ J_h(0)=J_g(z)J_{\varphi _z}(0)=J_{f^{-1}}(0)\lambda J_f(z)J_{\varphi _z}(0)=\lambda J_f(z)J_{\varphi _z}(0).$

这就表明

$ J_f(z)=\frac{1}{\lambda}J_h(0)J^{-1}_{\varphi _z}(0)=\frac{1}{\lambda}J_h(0)J_{\varphi _z}(z). $

由引理2.2和引理2.3, 我们得到

$\overline{J_f(z)}'J_f(z)=\frac{1}{\lambda^2}\overline {J_{\varphi _z}(z)}'\overline{J_h(0)}'J_h(0)J_{\varphi _z}(z)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \leq \left(\frac{1+\|z\|}{1-\|z\|}\right)^2 \overline{J_{\varphi _z}(z)}'J_{\varphi _z}(z)\\ \quad \quad \quad \quad \quad =\left(\frac{1+\|z\|}{1-\|z\|}\right)^2\left(\frac{I_n}{1-\|z\|^2}+ \frac{z\bar{z}'}{(1-\|z\|^2)^2}\right).$

现在我们证明式(1.1) 的左边不等式.取$\tilde{z}\in\partial B^n$使得$0$, $f(z)$和$f(\tilde{z})$在同一直线上, 且$f(z)$在点$0$和$f(\tilde{z})$之间.那么存在$\mu\in (0,1)$使得$f(z)=\mu f(\tilde{z})$.令

$G(w)=f^{-1}[\mu f(\tilde{z})+(1-\mu)f(w)],\ w\in B^n.$

那么$G:B^n\to B^n$是一全纯映射, $G$在点$\tilde{z}$处全纯, $G(0)=z$, $G(\tilde{z})=\tilde{z}$,

$J_G(\tilde{z})=J^{-1}_f(\tilde{z})(1-\mu) J_f(\tilde{z})=(1-\mu) I_n.$

这就表明$\overline{J_G(\tilde{z})}'\tilde{z}=(1-\mu)\tilde{z}$.由引理2.4可以得到

$1-\mu\geq\frac{|1-\bar{z}'\tilde{z}|^2}{1-\|z\|^2}\geq \frac{1-\|z\|}{1+\|z\|}.$

令

$H(w)=\varphi _z[G(w)],\ w\in B^n.$

那么$H:B^n\to B^n$是全纯映射, $H(0)=0$.并且我们有

$J_H(0)=J_{\varphi _z}(z)J_G(0)=J_{\varphi _z}(z)J_f^{-1}(z)(1-\mu).$

那就得到

$J_f^{-1}(z)=\frac{1}{1-\mu}J_{\varphi _z}^{-1}(z)J_H(0).$

这里结合引理2.2可知

$\left(\overline{J_f(z)}'J_f(z)\right)^{-1}=J_f^{-1}(z)\overline{J_f^{-1}(z)}'\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \leq \frac{1}{(1-\mu)^2}J_{\varphi _z}^{-1}(z)J_H(0)\overline{J_H(0)}'\overline {J_{\varphi _z}^{-1}(z)}'\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \leq \left(\frac{1+\|z\|}{1-\|z\|}\right)^2 \left(\overline{J_{\varphi _z}(z)}'J_{\varphi _z}(z)\right)^{-1}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\left(\frac{1+\|z\|}{1-\|z\|}\right)^2\left(\frac{I_n}{1-\|z\|^2}+ \frac{z\bar{z}'}{(1-\|z\|^2)^2}\right)^{-1}.$

于是

$\overline{J_f(z)}'J_f(z)\geq \left(\frac{1-\|z\|}{1+\|z\|}\right)^2\left(\frac{I_n}{1-\|z\|^2}+ \frac{z\bar{z}'}{(1-\|z\|^2)^2}\right).$

证毕.

注3.1 由不等式(1.1), 通过一些简单的计算可以得到

$\frac{(1-\|z\|)^{\frac{n-1}{2}}}{(1+\|z\|)^{\frac{3n+1}{2}}}\leq|\det J_f(z)|\leq\frac{(1+\|z\|)^{\frac{n-1}{2}}}{(1-\|z\|)^{\frac{3n+1}{2}}}.$

这就是单位球上正规化双全纯凸映射的$|\det J_f(z)|$的估计.