考虑如下形式的变分泛函

$ E_{a}(u)=\int_{{\Bbb R}^n} \big(|\nabla u(x)|^{p}+|x|^2|u(x)|^p\big) {\rm d}x-\frac{na}{n+p} \int_{{\Bbb R}^n} |u(x)|^s {\rm d}x,u \in {\cal H},$

这里$|x|^2$通常称之为调和位势, $s=p+\frac{p^2}{n}$, $a>0$为参数, ${\cal H}$为加权的Sobolev空间

$ {\cal H}:= \Big\{ {u\in W^{1,p}({\Bbb R}^{n}): \int_{{\Bbb R}^n} |x|^2|u|^p {\rm d}x<\infty} \Big\},$

其中$n\geq2,1<p\leq 2$.

令

$ S=\Big\{u \in {\cal H} : \|u\|_{L^{p}}^{p} \triangleq \int_{{\Bbb R}^n} |u(x)|^p {\rm d}x=1 \Big\},$

本文我们将主要研究如下的约束极小化问题

$e(a):=\inf\limits_{u\in S}E_a(u).$

(1.1)

我们知道如果$u$为极小化问题(1.1) 的极小元, 那么$u$满足下面的Euler-Lagrange方程

$ -\Delta_{p}u+|x|^2|u|^{p-2}u=\mu|u|^{p-2}u+a| u|^{s-2}u,$

其中$\mu\in {\Bbb R}$是适当的Lagrange乘子.

为下文叙述的方便, 我们定义

$ a^*= \Big( \int_{{\Bbb R}^{n}} |Q|^p {\rm d}x \Big)^\frac{p}{n},$

其中$Q$是下列方程的唯一的径向对称的正解^{[6, 15]}

$\Delta_p u+u^{s-1}-\frac{p}{n}u^{p-1}=0\mbox{ in } {\Bbb R}^n,\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix} u\in W^{1,p}({\Bbb R}^{n}) .$

(1.2)

另外, 我们有如下的Gagliardo-Nirenberg不等式(参见文献[2]):

$\int_{{\Bbb R}^{n}} |u(x)|^s {\rm d}x\leq \frac{n+p}{n\big( \int_{{\Bbb R}^{n}} |Q|^p {\rm d}x\big)^\frac{p}{n}} \int_{{\Bbb R}^{n}}|\nabla u(x)|^p{\rm d}x\cdot \Big(\int_{{\Bbb R}^{n}}|u(x)|^p{\rm d}x\Big)^{\frac{p}{n}},\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix} u\in W^{1,p}({\Bbb R}^{n}),$

(1.3)

其中等式成立当且仅当$u(x)$为$Q(x)$的伸缩平移, 再结合(1.2) 式我们有

$\frac{n}{n+p} \int_{{\Bbb R}^{n}} |Q|^s {\rm d}x= \int_{{\Bbb R}^{n}} |\nabla Q|^p {\rm d}x= \int_{{\Bbb R}^{n}} | Q|^p {\rm d}x.$

(1.4)

注1.1  $1<p<2$及$p=2$时方程(1.2) 正解的存在唯一性和径向对称性可分别参考文献[6, 15]及[7, 9, 11, 13].另外由文献[7, 10]知$Q$是指数衰减的, 即:存在$C>0$, $\mu>0$使得当$|x|>R>0$时

$Q(x)\leq C {\rm e}^{-\mu|x|}.$

(1.5)

当$p=n=2$时, 利用不等式(1.3), 文献[3, 8, 16]证明了极小化问题(1.1) 存在极小元当且仅当$a<a^*$.本文在以上文献基础上对一般的$1<p\leq2$和$n\geq 2$证明了如下结论.

定理1.1 令$Q$是方程(1.1) 的唯一径向对称正解, 那么

(ⅰ)当$0\leq a<a^*:=\big(\int_{{\Bbb R}^{n}} Q^p{\rm d}x \big)^\frac{p}{n}$时, 极小化问题(1.1) 至少存在一个非负的极小元.

(ⅱ)当$a\geq a^*$时, 极小化问题(1.1) 不存在极小元.

(ⅲ)~当$a<a^*$时, $e(a)>0$, $\lim\limits_{a\nearrow a^*}e(a)=e(a^*)=0$, 当$a>a^{*}$时, $e(a)=-\infty$.

文献[8]在$p=n=2$时进一步考虑了当参数$a\nearrow a^*$时极小元的集中行为.受他们工作的启发我们证明了如下结论.

定理1.2 当$a<a^*$时, 若$u_a$是极小化问题(1.1) 的非负的极小元, 那么任意满足当$k\rightarrow \infty$时, $a_k \nearrow a^*$的序列$\{a_k\}$存在子列(依然记为$\{a_k\}$)使得在$W^{1,p}({\Bbb R}^n)$中

$\lim \limits_{k\rightarrow\infty} (a^*-a_k)^{\frac{n}{(p+2)p}} u_{a_{k}}((a^*-a_k)^{\frac{1}{p+2}} x)= \Big( \frac{\lambda}{{a^*}^{\frac{n+2}{(p+2)p}}} \Big)^{\frac{n}{p}} Q({a^*}^{\frac{p-n}{(p+2)p}} \lambda x),$

(1.6)

其中$\lambda=(\frac{2}{p}\int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q^p{\rm d}x)^{\frac{1}{p+2}}$, 并且$e(a)$满足

$\lim \limits_{a \nearrow a^*}\frac{e(a)}{(a^*-a)^{\frac{2}{p+2}}} ={a^*}^{-\frac{n+2}{p+2}} \Big ( (\frac{2}{p})^{\frac{p}{p+2}} +(\frac{p}{2})^{\frac{2}{p+2}} \Big) \Big( \int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q^p {\rm d}x \Big)^{\frac{p}{p+2}}.$

(1.7)

在第二节和第三节里我们将分别证明定理1.1和定理1.2.

这一节我们证明定理1.1.我们首先不加证明地给出如下的紧性引理, 其证明可直接套用文献[4]中的方法.

引理2.1 如果$1<p\leq q <p^{*}=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{np}{n-p},p<n,\\ +\infty ,p\geq n. \end{array} \right.$那么嵌入${\cal H}\hookrightarrow L^q( {\Bbb R}^n )$是紧的.

定理1.1的证明  (ⅰ)当$0\leq a<a^*:=\left( \int_{{\Bbb R}^{n}} |Q|^p {\rm d}x\right)^{\frac{p}{n}}$时, 对任意的$u\in S$我们由(1.3) 式得到

$E_a(u) \geq \Big( 1-\frac{a}{ a^{*}}\Big) \int_{{\Bbb R}^{n}} |\nabla u|^p {\rm d}x+\int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2|u(x)|^p {\rm d}x\geq 0.$

(2.1)

所以$E_a(u)$有下界.又因为$|\nabla |u(x)||\leq |\nabla u(x)|$, 所以不妨设$\{u_m \}\subset S$为问题(1.1) 的一个非负的极小化序列, 即

$\{u_m \} \subset {\cal H} \mbox{且} ||u_m||_{L^p ({\Bbb R}^n)}=1,\lim\limits_{m\rightarrow \infty}E_a(u_m)=e(a).$

由(2.1) 式我们知道$\int_{{\Bbb R}^{n}} |\nabla u_m|^p {\rm d}x $和$\int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 |u_m|^p {\rm d}x $关于$m$一致有界.根据引理2.1, 可以选取子列及$u\in {\cal H}$满足

$ u_m \mathop{\rightharpoonup}\limits^m u \mbox{ 在 ${\cal H}$ 中弱收敛 },$

$ u_m\rightarrow u \mbox{ 在 $ L^q ({\Bbb R}^n )$ 中 ,对任意的 }\ p\leq q< p^*,$

所以$\int_{{\Bbb R}^{n}} |u(x)|^p{\rm d}x=1 $.由$\{u_m\}$的非负性可知$u\geq 0$, 再根据范数的弱下半连续性我们有$E_a(u)=e(a)$.这就证明了$0\leq a< a^* $时非负极小元的存在性.

(ⅱ)当$a\geq a^*$时, 选取如下的试验函数

$u_{\tau}(x)=\frac{{\tau}^{\frac{n}{p}}} {||Q||_{L^p} }Q(\tau x) \in S,\tau>0.$

(2.2)

利用$Q(x)$的指数衰减性易知, 对任意的$\tau>0$有$u_{\tau}(x) \in {\cal H}$.再根据$u_{\tau}$的定义, 我们有

$ \int_{{\Bbb R}^{n}} |\nabla u_{\tau}(x)|^{p} {\rm d}x-\frac{na}{n+p}\int_{{{\Bbb R}^{n}}}|u_{\tau}(x)|^{s} {\rm d}x\\ = \frac{\tau^p}{\|Q\|_{L^p}^p}\int_{{\Bbb R}^{n}} |\nabla Q|^{p} {\rm d}x-\frac{na}{n+p} \frac{\tau^p}{\|Q\|_{L^p}^s}\int_{{{\Bbb R}^{n}}}|Q|^{s} {\rm d}x. \label{*}$

再结合(1.4) 式可得

$\int_{{\Bbb R}^{n}} |\nabla u_{\tau}|^{p} {\rm d}x-\frac{na}{n+p}\int_{{{\Bbb R}^{n}}}|u_{\tau}|^{s}{\rm d}x=\tau^{p} (1-\frac{a}{a^{*}}) .$

(2.3)

另外由$ Q(x) $的指数衰减性(1.5) 式我们有

$\lim\limits_{\tau \rightarrow \infty}\int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2|u_{\tau}(x)|^p {\rm d}x = \lim\limits_{\tau\rightarrow\infty} \frac{1}{\tau^2} \int_{{\Bbb R}^{n}} \frac{1}{||Q||_{L^p}^p} |x|^2 Q^p(x) {\rm d}x = 0. \label{proofd}$

(2.4)

当$a>a^*$, 由(2.3) 和(2.4) 式得

$ e(a)\leq \lim\limits_{\tau \rightarrow \infty}E_a(u_{\tau})=-\infty. $

这说明当$a>a^*$, $e(a)$无下界, 所以此时不存在极小元.

由(2.3) 和(2.4) 式知$ e(a^*)\leq 0 $, 再结合(2.1) 式我们有$ e(a^*)\geq 0$.所以$e(a^*)=0$.假设$ e(a^*)$存在极小元$u_0\in S$, 我们可以进一步假设$u_0$是非负的, 则有

$\int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 |u_0(x)|^p {\rm d}x=0,$

(2.5)

以及

$\int_{{\Bbb R}^{n}} |\nabla u_0(x)|^p {\rm d}x=\frac{na^*}{n+p}\int_{{\Bbb R}^{n}} |u_0(x)|^s {\rm d}x.$

(2.6)

由(2.6) 式我们可得$u_0$等于$Q$的一个伸缩平移, 然而这与(2.5) 式矛盾.所以当$a=a^*$时, 极小化问题(1.1) 也不存在极小元.

(ⅲ)我们已经证明了当$a<a^*$时, $e(a)>0$, 当$a>a^{*}$时, $e(a)=-\infty$.最后我们证明$\lim\limits_{a\nearrow a^*}e(a)=e(a^*)=0$.事实上由(2.3) 及(2.4) 式, 取$\tau=(a^*-a)^{-\frac{1}{p+1}}$并令$a\nearrow a^*$即得结论.

引理3.1 令$M(p,n)={a^{*}}^{-\frac{n+2}{p+2}} \Big((\frac{2}{p})^{\frac{p}{p+2}}+(\frac{p}{2})^{\frac{2}{p+2}}\Big)\Big(\int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q(x) {\rm d}x \Big)^{\frac{p}{p+2}}$, 则存在与$a$无关的正常数$m<M(p,n)$使得当$0\leq a\leq a^*$时, $e(a)$满足

$m(a^*-a)^{\frac{2}{p+2}} \leq e(a) \leq M(p,n) (a^*-a)^{\frac{2}{p+2}}.$

证 先证明能量下界估计.由(1.3) 式和Young不等式我们可得到

$ e(a)=E_{a}(u_{a}) geq \frac{n(a^{*}-a)}{n+p}\int_{{\Bbb R}^{n}} | u_{a}|^{s}{\rm d}x+\int_{{\Bbb R}^{n}}|x|^2|u_{a}|^{p} {\rm d}x\\ = \gamma+\int_{{\Bbb R}^{n}}\Big((|x|^2-\gamma)|u_{a}|^{p} +\frac{n(a^{*}-a)}{n+p} | u_{a}|^{s} \Big) {\rm d}x \\ geq \gamma+\int_{{\Bbb R}^{n}}\Big ( -[\gamma-|x|^2]_{+}|u_{a}|^{p} +\frac{n(a^{*}-a)}{n+p} | u_{a}|^{s} \Big) {\rm d}x \\ geq \gamma- \frac{p}{n+p}\frac{1}{(a^*-a)^{\frac{n}{p}}}\int_{{\Bbb R}^{n}} [\gamma-|x|^2]^\frac{p+n}{p}_{+} {\rm d}x,$

其中$[\cdot]_{+}=\max\{0,\cdot\}$.又因为

$\int_{{\Bbb R}^{n}} [\gamma-|x|^2]^\frac{p+n}{p}_{+} {\rm d}x\leq C \gamma^{\frac{p+n}{p}+\frac{n}{2}},$

于是

$e(a)=E_{a}(u_{a})\geq \gamma-C \gamma^{\frac{p+n}{p}+\frac{n}{2}}.$

取$\gamma=c(a^*-a)^{\frac{2}{p+2}}$且$c$充分小, 由上式知存在$m>0$使得

$e(a)\geq m(a^*-a)^{\frac{2}{p+2}}.$

(3.1)

下面证明能量上界估计.我们依然选取(2.2) 式中的试验函数

$u_{\tau}(x)=\frac{{\tau}^{\frac{n}{p}}} {||Q||_{L^p} }Q(\tau x).$

那么

$\int_{{\Bbb R}^{n}}|x|^2 |u_{\tau}|^{p}{\rm d}x= \int_{{\Bbb R}^{n}}|x|^2\frac{\tau^{n}}{\|Q\|_{L^{p}}^{p}} Q^{p}(\tau x) {\rm d}x ={a^*}^{-\frac{n}{p}} \tau ^{-2}\int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q(x) {\rm d}x .\label{12}$

(3.2)

由(3.2) 和(2.3) 式得

$% to remove numbering (before each equation) e(a) &\leq & E_{a}(u_{\tau})=\int_{{\Bbb R}^{n}} |\nabla u_{\tau}|^{p} {\rm d}x- \frac{n}{n+p}a\int_{{\Bbb R}^{n}}|u_{\tau}|^{s}{\rm d}x + \int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 |u_{\tau}|^{p}{\rm d}x\\ &\leq& \frac{a^{*}-a}{a^{*}} \tau^{p}+ {a^{*}}^{-\frac{n}{p}} \tau^{-2} \int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q(x) {\rm d}x.$

选取$\tau=\big(\frac{2{a^{*}}^{1-\frac{n}{p}}}{(a^{*}-a)p}\int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q(x) {\rm d}x \big)^{\frac{1}{p+2}}$我们有

$ 0\leq e(a)\leq \frac{(a-a^{*})^{\frac{2}{p+2}}}{{a^{*}}^{\frac{n+2}{p+2}}} \Big((\frac{q}{p})^{\frac{p}{p+2}}+(\frac{p}{2})^{\frac{q}{p+2}}\Big)\Big(\int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q(x) {\rm d}x \Big)^{\frac{p}{p+2}}. $

上式结合(3.1) 式就完成了引理的证明.

引理3.2 若$u_a$是极小化问题(1.1) 的一个极小元, 那么存在一个与$a$无关的正常数$K$使得当$a\nearrow a^*$时, 有

$ 0<K(a^*-a)^{-\frac{p}{p+2}}\leq \int_{{\Bbb R}^{n}}|u_a|^s {\rm d}x \leq \frac{1}{K} (a^*-a)^{-\frac{p}{p+2}}. $

证 由(1.3) 式可以得到

$ e(a)\geq \frac{n}{n+p}(a^*-a) \int_{{\Bbb R}^{n}}|u_a|^s {\rm d}x,$

再由引理3.1即可得到上界估计.

下面来证明下界估计.选取$b$满足$0<b<a<a^*$, 我们有

$e(b)\leq E_{b}(u_{a})=e(a)+\frac{n}{n+p}(a-b)\int_{{\Bbb R}^{n}}|u_a|^s {\rm d}x.$

(3.3)

由(3.3) 式和引理3.1可得

$ \frac{n}{n+p} \int_{{\Bbb R}^{n}}|u_a|^s {\rm d}x \geq\frac{e(b)-e(a)}{a-b}\geq\frac{m(a^*-b)^{\frac{2}{p+2}}-M(p,n)(a^*-a)^{\frac{2}{p+2}}}{a-b}. $

令$\gamma=\frac{a-b}{a^*-a}$我们有

$ \frac{n}{n+p} \int_{{\Bbb R}^{n}}|u_a|^s {\rm d}x \geq (a^*-a)^{-\frac{p}{p+2}}\frac{m(1+\gamma)^{\frac{2}{p+2}}-M(p,n)}{\gamma}. $

所以, 若$a$充分接近$a^*$, 则$\gamma$充分大, 即有$\frac{m(1+\gamma)^{\frac{2}{p+2}}-M(p,n)}{\gamma}>0$, 这样便证明了引理中的下界估计.

定理1.2的证明 设$u_a$是极小化问题(1.1) 的非负的极小元, 令

$ \epsilon_a=(a^*-a)^{\frac{1}{p+2}}. $

由(1.3) 式得

$ e(a)= E_a(u_a)\geq (1-\frac{a}{a^*})\int_{{\Bbb R}^{n}}|\nabla u_a|^p {\rm d}x+\int_{{\Bbb R}^{n}}|x|^2|u_a|^p {\rm d}x. $

上式结合引理3.1中的能量上界估计可得

$ \int_{{\Bbb R}^{n}}|\nabla u_a|^p {\rm d}x \leq C \epsilon^{-p} \mbox{ 以及 } \int_{{\Bbb R}^{n}}|x|^2|u_a|^p {\rm d}x\leq C\epsilon^2. $

令

$ w_a(x)=\epsilon_a^{\frac{n}{p}}u_a(\epsilon_a x). $

直接计算可得

$ \int_{{\Bbb R}^{n}}|\nabla w_a|^p {\rm d}x \leq C \mbox{ 以及 } \int_{{\Bbb R}^{n}}| x|^2|w_a|^p {\rm d}x\leq C. $

结合引理3.2我们还有

$ 0<K\leq \int_{{\Bbb R}^{n}}| w_a|^s {\rm d}x\leq \frac{1}{K}. $

选取一个序列$\{a_k\}$满足当$k\rightarrow\infty$时, $a_k\nearrow a^*$.由于$\{w_{a_k}\}$在${\cal H}$中一致有界, 所以由引理2.1知$\{w_{a_k}\}$存在一个子列(依然记为$\{w_{a_k}\}$)满足

$w_{a_k} \mathop{\rightharpoonup}\limits^k w_0\ \mbox{ 在 $ {\cal H} $ 中弱收敛,}$

(3.4)

$w_{a_k} \mathop{\rightharpoonup}\limits^k w_0\ \mbox{ 在 $ W^{1,p}({\Bbb R}^n) $中弱收敛,}$

(3.5)

$w_{a_p} \mathop{\rightarrow}\limits^k w_0\ \mbox{ 在 $ L^q({\Bbb R}^n) $中强收敛对任意 }\ p\leq q < p^*.$

(3.6)

下面我们借鉴文献[12]中的方法证明$w_{a_k} % \overset{k}{\rightarrow} \mathop{\rightarrow}\limits^k w_0 $在$ W^{1,p}({\Bbb R}^n)$中强收敛.由于$u_{a_k}$是极小化问题(1.1) 的非负极小元, 所以$u_{a_k}$满足Euler-Lagrange方程

$-\Delta_p u_{a_k} +|x|^2 |u_{a_k}|^{p-2}u_{a_k} -a_k |u_{a_k}|^{s-2}u_{a_k}= \mu_{a_k} |u_{a_k}|^{p-2}u_{a_k},$

(3.7)

其中Lagrange乘子$\mu_{a_k}$满足

$\mu_{a_k} =e(a_k)-\frac{np}{n+p} \int_{{\Bbb R}^{n}}|u_{a_k}|^s {\rm d}x.$

(3.8)

由引理3.1、引理3.2和(3.8) 式知:存在常数$\beta>0$和$\{a_k\}$的一个子列(依然记为$\{a_k\}$)使得

$\lim \limits_{k\rightarrow \infty} \epsilon_{a_k}^p \mu_{a_k}=-\beta<0.$

(3.9)

由(3.7) 式得到函数$w_{a_k}$满足

$-\Delta_p w_{a_k} +\epsilon_{a_k}^p |\epsilon_{a_k} x|^2 w_{a_k}^{p-1} -a_k w_{a_k}^{s-1}= \epsilon_{a_k}^p \mu_{a_k} w_{a_k}^{p-1}.$

(3.10)

(3.10) 式结合(3.4), (3.6) 和(3.9) 式易知

$\label{21} \lim \limits_{k\rightarrow \infty} \int_{{\Bbb R}^n} |\nabla w_{a_k}|^{p-2} \nabla w_{a_k} ( \nabla w_{a_k}-\nabla w_{0}){\rm d}x=0,$

又由(3.5) 式, 我们有

$\label{22} \lim \limits_{k\rightarrow \infty} \int_{{\Bbb R}^n}|\nabla w_{0}|^{p-2} \nabla w_{0} ( \nabla w_{a_k}-\nabla w_{0}){\rm d}x=0.$

所以

$\lim \limits_{k\rightarrow \infty} \int_{{\Bbb R}^n} ( |\nabla w_{a_k}|^{p-2} \nabla w_{a_k}-|\nabla w_{0}|^{p-2} \nabla w_{0}) ( \nabla w_{a_k}-\nabla w_{0}){\rm d}x=0.$

(3.11)

使用Hölder不等式我们有

$ \int_{{\Bbb R}^n} ( |\nabla w_{a_k}|^{p-2} \nabla w_{a_k}-|\nabla w_{0}|^{p-2} \nabla w_{0}) ( \nabla w_{a_k}-\nabla w_{0}){\rm d}x\\ \geq (\|\nabla w_{a_k}\|_{L^p}^{p-1}-\|\nabla w_{0}\|_{L^p}^{p-1})(\|\nabla w_{a_k}\|_{L^p}-\|\nabla w_{0}\|_{L^p}).$

上式结合(3.11) 式知

$\lim \limits_{k\rightarrow \infty} \|\nabla w_{a_k}\|_{L^p}=\|\nabla w_{0}\|_{L^p}.$

(3.12)

由于$ W^{1,p}({\Bbb R}^n)$是一致凸空间^[1], 所以(3.12) 式结合(3.5), (3.6) 式有^[5]

$ w_{a_k} \mathop{\rightarrow}\limits^k w_0 \mbox{ 在 $ W^{1,p}({\Bbb R}^n) $ 中强收敛. } $

由(3.10) 式取极限得$w_0$满足方程

$-\Delta_p w_0 +\beta w_{0}^{p-1} -a^* w_{0}^{s-1}= 0.$

(3.13)

由强极值原理^[14]知$w_0> 0$, 再令

$ w_0=\Big(\frac{\beta n}{a^* p}\Big)^{\frac{n}{p^2}} \hat{Q} \Big(\Big (\frac{\beta n}{p}\Big)^{\frac{1}{p}}x \Big),$

带入(3.13) 式知$\hat{Q}$是方程(1.2) 的解, 于是

$ \hat{Q}=Q(x+y_0),\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix} \mbox{ 对某个 }\ y_0 \in {\Bbb R}^n,$

即

$w_0=\Big(\frac{\beta n}{a^* p}\Big)^{\frac{n}{p^2}} Q \Big(\Big (\frac{\beta n}{p}\Big)^{\frac{1}{p}}(x-y_0) \Big),\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix} \mbox{ 对某个 }\ y_0 \in {\Bbb R}^n.$

(3.14)

下面只需要通过能量估计确定常数$\beta$和坐标$y_0$.计算

$ e(a_k)=E_{a_k}(u_{a_k}) = \frac{1}{\epsilon_{a_k}^p}\Big(\int_{{\Bbb R}^{n}}|\nabla w_{a_k}|^p{\rm d}x -\frac{n}{n+p}a^* \int_{{\Bbb R}^{n}}|w_{a_k}|^s {\rm d}x \Big) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\frac{n}{n+p}\epsilon_{a_k}^2 \int_{{\Bbb R}^{n}}|w_{a_k}|^s{\rm d}x + \int_{{\Bbb R}^{n}} |\epsilon_{a_k} x|^2 |w_{a_k}|^p{\rm d}x\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \geq \frac{n}{n+p}\epsilon_{a_k}^2 \int_{{\Bbb R}^{n}}|w_{a_k}|^s {\rm d}x + \epsilon^2_{a_k}\int_{{\Bbb R}^{n}} | x|^2 |w_{a_k}|^p{\rm d}x. \label{25}$

(3.15)

由(3.4) 式和Fatou引理知

$ \liminf \limits_{k\rightarrow \infty} \int_{{\Bbb R}^{n}} | x|^2 |w_{a_k}|^p{\rm d}x\geq \int_{{\Bbb R}^{n}} | x|^2 |w_0|^p{\rm d}x. $

利用(3.14) 式并注意到$Q$是径向对称函数, 有

$\int_{{\Bbb R}^{n}} | x|^2 |w_0|^p {\rm d}x = \Big(\frac{\beta n}{p}\Big)^{-\frac{2}{p}} \int_{{\Bbb R}^{n}} |x-y_0|^2 Q^p{\rm d}x \geq\Big (\frac{\beta n}{p}\Big)^{-\frac{2}{p}} \int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q^p {\rm d}x,\label{26}$

(3.16)

且上式中的等号成立当且仅当$y_0=0$.利用(1.4) 和(3.6) 式知

$\label{27} \lim \limits_{k\rightarrow \infty} \int_{{\Bbb R}^{n}} |w_{a_k}|^s{\rm d}x = \int_{{\Bbb R}^{n}}|w_{0}|^{s}{\rm d}x=\frac{\beta(n+p)}{a^* p}.$

(3.17)

由(3.15), (3.16) 及(3.17) 式, 我们有

$ \lim \limits_{k\rightarrow \infty}\frac{e(a_k)}{(a^*-a_k)^{\frac{2}{p+2}}} \geq \frac{\beta n}{a^* p}+ \Big(\frac{\beta n}{ p}\Big)^{-\frac{2}{p}}\frac{1}{{a^*}^{\frac{n}{p}}} \int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q^p {\rm d}x\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \geq {a^*}^{-\frac{n+2}{p+2}} \Big ( \Big (\frac{2}{p}\Big)^{\frac{p}{p+2}}+ \Big(\frac{p}{2}\Big)^{\frac{2}{p+2}} \Big) \Big( \int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q^p {\rm d}x \Big)^{\frac{p}{p+2}},$

且上式取等号当且仅当

$\beta=\frac{2^{\frac{p}{p+2}}}{n} p^{\frac{2}{p+2}} {a^*}^{\frac{p-n}{p+2}} \Big( \int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q^p {\rm d}x \Big)^{\frac{p}{p+2}},$

(3.18)

以及

$y_0=0.$

(3.19)

再结合引理3.1中的能量上界估计可知

$\lim \limits_{k\rightarrow \infty}\frac{e(a_k)}{(a^*-a_k)^{\frac{2}{p+2}}} ={a^*}^{-\frac{n+2}{p+2}} \Big ( \Big(\frac{2}{p}\Big)^{\frac{p}{p+2}}+ \Big(\frac{p}{2}\Big)^{\frac{2}{p+2}} \Big) \Big( \int_{{\Bbb R}^{n}} |x|^2 Q^p{\rm d}x \Big)^{\frac{p}{p+2}},$

(3.20)

从而$\beta$和$y_0$满足(3.18) 和(3.19) 式.把(3.18), (3.19) 式带入(3.14) 式就得到了(1.6) 式.另外由于(3.20) 式对任意满足$a_k\nearrow a^*$的子列$\{a_k\}$都成立, 于是易知对任意序列满足$a\nearrow a^*$均有(3.20) 式成立, 从而得到(1.7) 式.