在实际工程、社会和经济系统中, 许多过程都具有分布特性, 属于分布参数系统.例如, 化学反应过程、流体热力交换机以及化学工业等等^[1-5].描述这些时空过程的数学模型起源于动态守恒方程, 而它们一般都表示为偏微分方程的形式.偏微分方程的控制理论经过大约三十年的发展取得了很多成果, 特别是边界控制利用大量丰富而又深刻的数学结果来解决稳定性和最优控制问题.边界控制的广泛研究也发展了许多分析与设计方法^[7-11], Albrecher等人研究了抛物型偏微分方程的镇定问题^[7], Ming等人研究了抛物型偏微分方程的最优控制问题^[8]. Krstic等人引入反步法讨论了线性热方程的镇定问题^[9-11].

在最近几年里, 很多学者都在致力于提出不同的简单易行的方法来解决非线性系统的稳定性分析和综合问题.在这些方法中, 基于Takagi-Sugeno (T-S)模型^[17]的模糊控制方法成为一种科学系统的方法, 因为它能结合模糊逻辑理论和线性系统理论.最近, 该模糊控制方法已经被用来解决非线性抛物偏微分方程系统的有限维控制器的设计问题^[12-14], 其中对于一类基于近似常微分方程系统的半线性抛物型偏微分方程系统^[12-13], Wu等人提出了一种模糊控制的设计方法, 且利用奇异扰动理论能够保证最初偏微分方程系统是闭环稳定的.Chen等人对一类拟线性抛物型偏微分方程通过T-S模糊偏微分方程模型来设计有限维的基于模糊观测器的鲁棒控制器^[14].由于在控制器的设计之前信息有截断, 所以上述文献中的方法^[12-14]并不能充分利用原始偏微分方程的性质.而Wang等人对于一类非线性抛物型偏微分方程系统直接提出了基于模糊偏微分方程的模糊控制方法^[15-16], 它克服了上述问题, 充分的利用原系统的信息, 而对于分布式模糊控制方法, 因为分布式控制的执行器与传感器分布于整个空间范围, 在应用中并不现实.对此, Wu等人对于该类系统提出了一类简单的模糊边界控制器的设计方法^[6], 由于它的执行器仅存在边界上, 更容易执行, 也更有应用价值.

在上述工作的启发下, 该文讨论了一类半线性的双曲型偏微分方程的模糊边界控制问题, 该系统常常被用来描述交通流、化学反应以及弦振动等问题^[23]; 对此, 文中通过建立T-S模糊偏微分方程模型来精确的描述非线性的双曲型偏微分方程系统, 并设计出了一种模糊边界控制器保证闭环系统是指数稳定的.

本文结构如下, 第二节主要给出了T-S模糊偏微分方程系统的具体形式, 并给出了模糊控制器; 第三节证明了模糊边界控制器构成的闭环系统的稳定性.第四节用一个仿真实例具体形象的描述了本文的主要结果; 最后一节对本文进行了总结.

符号：$\mathbb{R}, {\rm{ }}{\mathbb{R} ^n}$和${\mathbb{R} ^{m \times n}}$分别表示实数集、$n$维欧几里得空间、$m \times n$维矩阵所构成集合. ${{\cal H}^n}: = {{\cal L}_2}([0, L];{\mathbb{R} ^n}), {\rm{ }}L > 0$表示${\mathbb{R} ^n}$上平方可积的向量函数$\omega (x)$所构成的希尔伯特空间, 其中$x \in [0, L] \subset \mathbb{R}, {\rm{ }}t \ge 0, {\rm{ }}L > 0$, 其内积及范数分别定义为：$\left\langle {{\omega _1}( \cdot ), {\omega _2}( \cdot )} \right\rangle = \int_0^L {\omega _1^T(x){\omega _2}(x){\rm d}x} $和${\left\| {{\omega _1}( \cdot )} \right\|_2} = \sqrt {\left\langle {{\omega _1}( \cdot ), {\omega _1}( \cdot )} \right\rangle .} $其中${\omega _1}( \cdot ), {\rm{ }}{\omega _2}( \cdot ) \in {{\cal H}^n}.$ ${{\cal W}^{l, 2}}(\left[{0, L} \right];{\mathbb{R} ^n})$表示$n$维绝对连续向量函数$\varpi (x):[0, L] \to {\mathbb{R} ^n}$构成的索伯列夫空间且$\frac{{{{\rm d}^l}\varpi (x)}}{{d{x^l}}}$平方可积, 其中$l$为微分阶数且有$l \ge 1, $其范数定义为：$\left\| {\varpi ( \cdot )} \right\|_{{{\cal W}^{l, 2}}}^2 = {\int_0^L {\sum\limits_{i = 0}^l}} (\frac{{{{\rm d}^i}\varpi (x)}}{{d{x^i}}})^T(\frac{{{{\rm d}^i}\varpi (x)}}{{d{x^i}}}){\rm d}x.$ ${\lambda _{\max }}(A)$和${\lambda _{\min }}(A)$分别表示方阵$A$的最大和最小特征值.

(1) 系统描述

非线性的双曲型偏微分方程的控制问题一直是研究的难点和热点, 特别地, 一阶双曲型偏微分方程常常被用来描述交通流、化学反应以及弦振动等问题, 有很大的实用性; 因此, 考虑如下的半线性双曲型偏微分方程系统

$\begin{equation}\label{1} {u_t}(x, t) = a{u_x}(x, t) + f(u(x, t)), \end{equation}$

(2.1)

Dirichlet边值条件为

$\begin{equation}\label{2} u(0, t) = 0, {\rm{ }}u(L, t) = U(t), \end{equation}$

(2.2)

初始条件为

$\begin{equation}\label{3} u(x, 0) = {u_0}(x), \end{equation}$

(2.3)

其中$u(x, t) \in {\mathbb{R} ^n}$表示系统状态; $x \in [0, L] \subset \mathbb{R} $和$t \in [0, \infty )$分别表示空间位置和时间, $U(t) \in {\mathbb{R} ^m}$表示边界控制输入, $a > 0$为一常数, $f(u(x, t))$是关于$u(x, t)$充分光滑的非线性函数且满足$f(0) = 0.$

下面给出系统(2.1)-(2.3) 等价的描述, 它可以表示为如下的在状态空间抽象的非线性偏微分方程

$\begin{equation}\label{4} \dot y(t) = {\cal A}y(t) + F(y(t)), {\rm{ }}y(0) = {y_0}( \cdot ) \in {{\cal H}^n}, \end{equation}$

(2.4)

算子${\cal A}$的定义域为如下的稠密区域

$\begin{equation}\label{5} {\cal D}({\cal A}) = \{ y \in {{\cal W}^{1, 2}}([0, L], {\mathbb{R} ^n}):y(0, t) = 0, {\rm{ }}y(L, t) = U(t)\}, \end{equation}$

(2.5)

并且非线性项$F:{{\cal W}^{1, 2}}([0, L], {\mathbb{R} ^n}) \to {{\cal H}^n}$被选作为$F(y(t)) = f(y( \cdot, t)).$

在文中, 假定存在一个控制输入$U(t)$使得线性算子${\cal A}$为${C_0}$半群的无穷小生成元, 根据文献[19]可知, 如果$U(t) = Ky(L, t), $线性算子将在${{\cal H}^n}$上生成一个${C_0}$半群.由于$F(y(t))$是关于$y(t)$充分光滑的非线性函数, 由文献[20], 很容易证明当${y_0}( \cdot ) \in {\cal D}({\cal A})$时, 系统(2.4) 存在局部的古典解.

下面, 我们引入在希尔伯特空间${{\cal H}^n}$中, 系统(2.1)-(2.3) 指数稳定的定义.

定义1 如果存在常数$\sigma \ge 1$和$\rho > 0$使得如下的表达式成立

$\begin{equation}\label{6} \left\| {u( \cdot, t)} \right\|_2^2 \le \sigma \left\| {{u_0}( \cdot )} \right\|_2^2\exp ( - \rho t), {\rm{ }}\forall t \ge 0, \end{equation}$

(2.6)

则称系统(2.1)-(2.3) 是指数稳定的.

(2) T-S模糊偏微分方程模型

一直以来, T-S模糊系统常常用来逼近常微分方程模型, 取得了大量的成果.近年来, 有限维的T-S模糊控制已经被成功应用到非线性的抛物型偏微分方程的控制问题中^[12-14].最近, 在文献[15]和[16]中, T-S模型被应用于一类半线形的抛物型偏微分方程.类似于文献[15]和[16], 假定系统(2.1) 可以描述为如下的T-S双曲型偏微分方程模型, 设系统规则$i$:

$\begin{equation}\label{7} \begin{array}{l} \mbox{ IF ${\xi _1}(x, t)$ is ${F_{i1}}$ and $\cdots$ and ${\xi _l}(x, t)$ is ${F_{il}}$} \\ {\rm THEN}\ {u_t}(x, t) = {\cal A}u(x, t) + {A_i}u(x, t), \ \ i \in {\cal S}= \{ 1, 2, \cdots, r\}, \end{array} \end{equation}$

(2.7)

其中${F_{ij}}, i \in {\cal S}, j = 1, 2, \cdots, l$是模糊集合, ${A_i}, i \in {\cal S}$是适当维数的矩阵, $r$为$IF - THEN$规则数. ${\xi _1}(x, t), \cdots, {\xi _l}(x, t)$模糊规则的物理意义为：如果前件变量${\xi _j}(x, t)$在模糊集合${F_{ij}}$中, $j = 1, 2, \cdots, l, $那么系统(2.1) 可以被(2.7) 式中线性化的抛物型偏微分方程所替代.

在本文中, 假定前件变量${\xi _j}(x, t)$不依赖于$U(t), $这样就避免了模糊控制器的一个复杂的去模糊化过程^[18].该文献已经证明用局部的分区域非线性方法可以将一个给定的非线性常微分方程模型转变为精确的T-S模糊常微分方程模型.本文我们将此方法应用于系统(2.1), 则可以得到一个精确的T-S模糊双曲型偏微分方程模型.

应用单点模糊化、乘积推理和中心加权反模糊化推理方法, 可以得到系统(2.7) 的全局模糊系统模型

$\begin{equation}\label{8} {u_t}(x, t) = {\cal A}u(x, t) + \sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t))} {A_i}u(x, t), \end{equation}$

(2.8)

其中$\xi (x, t) = {[{\xi _1}(x, t){\rm{ }} \cdots {\rm{ }}{\xi _l}(x, t)]^T}, $并且${\omega _i}(\xi (x, t)) = \prod\limits_{j = 1}^l {{F_{ij}}({\xi _j}(x, t))}, $ ${h_i}(\xi (x, t)) = \frac{{{\omega _i}(\xi (x, t))}}{{\sum\limits_{i = 1}^r {{\omega _i}(\xi (x, t))} }}, $ ${\rm{ }}i \in {\cal S}. $

${F_{ij}}({\xi _j}(x, t))$表示${\xi _j}(x, t)$在${F_{ij}}$的隶属度, 在本文中, 假定对于所有$x \in [0, L]$和$t \ge 0$都有${\omega _i}(\xi (x, t)) \ge 0, {\rm{ }}i \in {\cal S}$并且$\sum\limits_{i = 1}^r {{\omega _i}(\xi (x, t)) > 0} .$

然后, 可以得到如下的条件

$\begin{equation}\label{9} {h_i}(\xi (x, t)) \ge 0, \sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t))} = 1, i \in {\cal S}. \end{equation}$

(2.9)

对于所有的$x \in [0, L]$和$t \ge 0.$

在分布参数控制系统中, 空间范围内不同分布形式的传感器会导致不同形式的测量, 例如分布式测量和边界测量.基于T-S模糊偏微分方程模型(2.8), 对于T-S模型的模糊控制器的设计, 考虑对于每一个子系统首先设计一个局部的边界线性状态反馈.控制器的模糊规则具有与(2.7) 式相同的模糊规则前件.则设计如下的全局的状态反馈模糊控制律

$\begin{equation}\label{10} U(t) = - \int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){K_i}u(x, t){\rm d}x} }, \end{equation}$

(2.10)

其中${K_i}, {\rm{ }}i \in {\cal S}$是待设计的$n \times n$的实增益矩阵.

在本文中, 我们的目标是得到了基于系统(2.8) 的模糊边界控制律(2.10) 的设计方法, 使得构成的闭环系统是指数稳定的.下面就此进行分析, 并给出文章的主要结果.

下面给出本文的主要结论.

定理3.1 考虑半线性的双曲型偏微分方程系统(2.1)-(2.3).对于给定常量$a > 0$和$n \times n$矩阵$Q > 0, $如果存在$P = {P^T} > 0$和${Z_i}, {\rm{ }}i \in {\cal S}$使得如下的LMIs成立

$\begin{equation}\label{11} {\Sigma _i} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {- {\frac{a}{L}}Q} & { aP{Z_i}+{\frac{1}{L}}P} \\[3mm] {*} & {P{A_i} -{\frac{a}{2L}P}-aZ_i+*} \\ \end{array}} \right] < 0, \end{equation}$

(3.1)

$\begin{equation}\label{12} P \ge Q. \end{equation}$

(3.2)

那么存在模糊控制律(2.10) 使得由系统(2.8) 得到闭环系统是指数稳定的, 其中控制增益${K_i}, i \in {\cal S}$由下式给出

$\begin{equation}\label{13} {K_i} = {P^{ - 1}}{Z_i}. \end{equation}$

(3.3)

证 将(2.10) 式代入(2.2) 式得到闭环系统, 重写系统(2.8) 得到如下的边界条件

$u(0, t) = 0, $

$\begin{equation}\label{14} u(L, t) = - \int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){K_i}u(x, t){\rm d}x.} } \end{equation}$

(3.4)

考虑如下的Lyapunov函数

$\begin{equation}\label{15} V(t) = \int_0^L {{u^T}(x, t)Pu(x, t){\rm d}x}, \end{equation}$

(3.5)

对$V(t)$求导, 并将(2.8) 式代入, 则得到

$\begin{eqnarray}\label{16} \dot V(t) &=& 2\int_0^L {{u^T}(x, t)P{u_t}(x, t){\rm d}x} \\ &=&2\int_0^L {{u^T}(x, t)P{\cal A}u(x, t){\rm d}x + 2\int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){u^T}(x, t)P{A_i}u(x, t){\rm d}x} } } \\ &=&2\int_0^L {{u^T}(x, t)P{\cal A}u(x, t){\rm d}x} + \int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){u^T}(x, t)[P{A_i} + A_i^TP]u(x, t)} {\rm d}x} . \end{eqnarray}$

(3.6)

运用分部积分法, 并将(3.4) 式代入则有

$\begin{eqnarray}\label{17} \int_0^L {{u^T}(x, t)P{\cal A}u(x, t){\rm d}x}= a{u^T}(L, t)Pu(L, t) - \int_0^L {au_x^T(x, t)Pu(x, t){\rm d}x}, \end{eqnarray}$

(3.7)

故

$\begin{eqnarray}\label{18} 2\int_0^L {{u^T}(x, t)P{\cal A}u(x, t){\rm d}x}&= &a{u^T}(L, t)Pu(L, t) \\ &=& - a\int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){u^T}(L, t)P{K_i}u(x, t){\rm d}x} } . \end{eqnarray}$

(3.8)

于是

$\begin{eqnarray}\label{19} \dot V(t) &= & - a\int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){u^T}(L, t)P{K_i}u(x, t)} {\rm d}x} \\ & &+\int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}} (\xi (x, t)){u^T}(x, t)[P{A_i} + A_i^TP]u(x, t){\rm d}x} \\ &=& - a{u^T}(L, t)Pu(L, t) - 2a\int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){u^T}(L, t)P{K_i}u(x, t)} {\rm d}x} \\ &&+ \int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){u^T}(x, t)[P{A_i} + A_i^TP]u(x, t)} {\rm d}x} \\ &=& - \frac{a}{L}\int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){u^T}(L, t)Pu(L, t){\rm d}x} } \\ &&- 2a\int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){u^T}(L, t)P{K_i}u(x, t)} {\rm d}x} \\ &&+ \int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){u^T}(x, t)[P{A_i} + A_i^TP]u(x, t)} {\rm d}x}. \end{eqnarray}$

(3.9)

令

$\begin{equation}\label{20} {Z_i} = P{K_i}, {\rm{ }}i \in {\cal S}, \end{equation}$

(3.10)

则有

$\begin{eqnarray}\label{21} \dot V(t)& =& - \frac{a}{L}\int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){{[u(x, t)-u(L, t)]}^T}P[u(x, t)-u(L, t)]{\rm d}x} } \\ & &+ 2a\int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){{[u(x, t)-u(L, t)]}^T}({Z_i} + \frac{1}{L}P)u(x, t){\rm d}x} } \\ &&+ \int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){u^T}(x, t)[P{A_i}-\frac{a}{{2L}}P-a{Z_i} + *]u(x, t)} } \\ &\le& \int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){{\bar u}^T}(x, t)} } \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {- \frac{a}{L}Q} & {a{Z_i} + \frac{1}{L}P} \\[3mm] * & {P{A_i} -\frac{a}{{2L}}P -a{Z_i} + * } \end{array}} \right]u(x, t){\rm d}x \\ &=& \int_0^L {\sum\limits_{i = 1}^r {{h_i}(\xi (x, t)){{\bar u}^T}(x, t){\sum _i}u(x, t){\rm d}x} }\\ <0, \end{eqnarray}$

(3.11)

其中$\bar u(x, t) = {[{u^T}(x, t)-{u^T}(L, t), {u^T}(x, t)]^T}.$根据(3.1) 和(3.2) 式, 即可得存在充分小的实数$\tau > 0$使得下面的不等式成立

$\begin{equation}\label{22} {\Sigma _i} + \tau I \le 0, {\rm{ }}i \in {\cal S}. \end{equation}$

(3.12)

因此, 不等式(3.11) 可以写成如下形式

$\begin{equation}\label{23} \dot V(t) \le - \tau \left\| {\bar u( \cdot, t)} \right\|_2^2 \le - \tau \left\| {u( \cdot, t)} \right\|_2^2. \end{equation}$

(3.13)

由(3.5) 式, 有

$\begin{equation}\label{24} {\lambda _{\min }}(P)\left\| {u( \cdot, t)} \right\|_2^2 \le V(t) \le {\lambda _{\max }}(P)\left\| {u( \cdot, t)} \right\|_2^2. \end{equation}$

(3.14)

则可得$\dot V(t) \le - \tau \lambda _{\max }^{ - 1}(P)V(t).$

于是有

$\begin{equation}\label{25} V(t) \le V(0)\exp \{ - \tau \lambda _{\max }^{ - 1}(P)t\} = V(0)\exp ( - \eta t), \end{equation}$

(3.15)

其中$\eta = \tau \lambda _{\max }^{ - 1}(P).$

由(3.14) 和(3.15) 式, 有

$\begin{equation}\label{26} \left\| {u( \cdot, t)} \right\|_2^2 \le \lambda _{\min }^{ - 1}(P){\lambda _{\max }}(P)\left\| {{u_0}( \cdot )} \right\|_2^2\exp ( - \eta t) = \sigma \left\| {{u_0}( \cdot )} \right\|_2^2\exp ( - \eta t), \end{equation}$

(3.16)

其中$\sigma = \lambda _{\min }^{ - 1}(P){\lambda _{\max }}(P).$

综上所述, 由(2.8) 和(3.4) 式得到的闭环系统是指数稳定的.

注3.1 最近, 对于一类半线性抛物型偏微分方程系统, 在文献[15]和[16]中提出了分布式模糊控制方法, 文献[6]则对于该类系统提出了一类简单的模糊边界控制器的设计方法.本文则将该模糊边界控制的方法应用于一类一阶的双曲型偏微分方程中, 这种控制器的设计方法比文献[15]和[16]中更容易被执行, 也更有应用价值, 因为这仅仅需要边界执行器.另外, 本文的主要结论是以线性矩阵不等式给出, 而线性矩阵不等式问题可以由凸优化技术有效的解决^[21-22].

注3.2 本文仅仅讨论了一阶双曲型偏微分方程的模糊边界控制问题, 还可以继续研究二阶双曲型偏微分方程的模糊边界控制问题.对此还可以考虑其{Neumann}边界条件以及混合型的Dirichlet-Neumann边界条件.

在这一部分, 为了论证所提出方法的优势和可用性, 我们将考虑如下的半线性双曲型偏微分方程系统

$\begin{equation}\label{27} {u_t}(x, t) = a{u_x}(x, t) + f(u(x, t)), \end{equation}$

(4.1)

边界条件为

$\begin{equation}\label{28} u(0, t) = 0, {\rm{ }}u{\rm{(}}L, t{\rm{)}} = U(t), \end{equation}$

(4.2)

初始条件为

$\begin{equation}\label{29} u(x, 0) = {u_0}(x). \end{equation}$

(4.3)

系统(4.1)-(4.3) 可以用来描述交通流、化学反应以及弦振动等问题.

取$f(y(x, t)) = \sin (u(x, t)), {\rm{ }}L = 1, {\rm{ }}a = 0.9, {\rm{ }}U(t) = 0, {\rm{ }}{u_0}(x) = 1 + \sin (\pi x), {\rm{ }}x \in [0, 1].$ 图 1(a)为该系统的状态演化过程.

假定$u(x, t) \in ( - \pi, \pi ), {\rm{ }}x \in [0, 1].$根据文献[18], 非线性函数$\sin (u(x, t))$可以写成如下的形式

$\begin{equation}\label{30} \sin (u(x, t)) = {h_1}(u(x, t))u(x, t) + \varepsilon {h_2}(u(x, t))u(x, t), \end{equation}$

(4.4)

其中$\varepsilon = 1/\pi, {\rm{ }}{h_1}(u(x, t)), {h_2}(u(x, t)) \in [0, 1], {h_1}(u(x, t)) + {h_2}(u(x, t)) = 1.$

求解上面的方程, 则得到

$\begin{equation}\label{31} \begin{array}{l} {h_1}(u(x, t)) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{\sin (u(x, t)) - \varepsilon u(x, t)}}{{(1 - \varepsilon )u(x, t)}}, & {\rm{ }}u(x, t) \ne 0, \\[2mm] 1, & {\rm{ }}u(x, t) = 0, \\ \end{array} \right. \\ {h_2}(u(x, t)) = 1 - {h_1}(u(x, t)). \end{array} \end{equation}$

(4.5)

因此, 非线性系统(4.1)-(4.3) 可以化为如下的T-S模糊偏微分方程模型.

系统规则1:

$\begin{array}{l} {\rm{IF }}\ u(x, t)\ {\rm{ is\ ``about\ 0"}}, \\ {\rm{THEN }}\ {u_t}(x, t) = {u_x}(x, t) + {A_1}u(x, t). \\ \end{array}$

系统规则2:

$\begin{array}{l} {\rm{IF }}\ u(x, t)\ {\rm{ is\ ``about }} - \pi {\rm{ or }}\pi", {\rm{}} \\ {\rm{THEN }}\ {u_t}(x, t) = {u_x}(x, t) + {A_2}u(x, t). \\ \end{array}$

其中, ${A_1} = -0.7, {\rm{ }}{A_2} = \varepsilon .$

从(4.5) 式可以看出, 对于规则1, 则有${h_1}(u(x, t)) = 1, {\rm{ }}{h_2}(u(x, t)) = 0.$对于规则2, 则有${h_1}(u(x, t)) = 0, {h_2}(u(x, t)) = 1.$

因此, 整体的模型可以写成如下的形式

$\begin{equation}\label{32} {u_t}(x, t) = {u_x}(x, t) + \sum\limits_{i = 1}^2 {{h_i}(u(x, t)){A_i}u(x, t).} \end{equation}$

(4.6)

根据定理3.1, 对(3.1) 和(3.2) 式, 应用Matlab中的LMI工具箱, 可分别求得$P=0.5759, $ $Q=0.5714, {Z_1}=-1.2334, $ ${Z_2}=0.6391;$然后由(3.3) 式计算得控制增益${K_1} = -2.1417, $ ${K_2} = 1.1099.$对系统(4.1)-(4.3) 作用模糊边界控制(2.10), 则得到闭环系统状态$u(x, t)$的演化过程如图 1(b)所示, 且${\left\| {u( \cdot, t)} \right\|_2}$的变化如图 2所示.