文中, $M_{n} $表示$n\times n$复矩阵的全体, $\left| A \right| = \left( {A^* A} \right)^{1/2} $表示矩阵$A$的绝对值算子.我们分别用$\left| {\lambda _1 \left( A \right)} \right| \ge \cdots \ge \left| {\lambda _n \left( A \right)} \right|$和$s_1 \left( A \right) \ge \cdots \ge s_n \left( A \right)$来表示矩阵$A$的按照降序排列的特征值和奇异值.用$\left\| \cdot \right\|$表示任意的酉不变范数, 两类常见的酉不变范数是Schatten $p$ -范数

$\left\| A \right\|_p =\bigg( {\sum\limits_{j=1}^n {s_j^p \left( A \right)} } \bigg)^{1 /p}=\left( {{\rm tr}\left| A \right|^p} \right)^{1/p}, 1\le p<\infty $

以及Ky Fan $k$-范数

$ \left\| A \right\|_{\left( k \right)} =\sum\limits_{j=1}^k {s_j \left( A \right)}, k=1, \cdots, n. $

显然, $\left\| A \right\|_1 = \left\| A \right\|_{\left( n \right)} $为矩阵$A$的迹范数, $\left\| A \right\|_2 = \Big( {\sum\limits_{j = 1}^n {s_j^2 \left( A \right)} } \Big)^{1/2}$为矩阵$A$的Frobenius范数, $\left\| A \right\|_\infty = \mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } \left\| A \right\|_p = s_1 \left( A \right) = \left\| A \right\|_{\left( 1 \right)} $为矩阵$A$的谱范数, 即是由向量的欧氏范数诱导的$ M_n$上的算子范数.

设$A, X, B \in M_{n}$, $\displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1, p, q > 1, r \ge 0$, Horn和Zhan在文献[1]中证明了

$\begin{equation} \label{eq1-1} \left\| {\left| {A^* XB} \right|^r } \right\| \le \left\| {\left| {\left| {A^* } \right|^p X} \right|^r } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {X\left| {B^* } \right|^q } \right|^r } \right\|^{1/q}, \end{equation}$

(1.1)

这是一个矩阵酉不变范数Hölder不等式. Albadawi在文献[2]中也得到了一个矩阵酉不变范数Hölder不等式

$\begin{equation} \label{eq1-2} \left\| {\left| {A^* XB} \right|^r } \right\| \le \left\| {\left| {AA^* X} \right|^{rp/2} } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {XBB^* } \right|^{rq/2} } \right\|^{1/q} . \end{equation}$

(1.2)

比较不等式(1.1) 和(1.2), 自然的, 我们希望知道

$ \left\| {\left| {\left| {A^* } \right|^p X} \right|^r } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {X\left| {B^* } \right|^q } \right|^r } \right\|^{1/q} $

和

$ \left\| {\left| {AA^* X} \right|^{rp/2} } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {XBB^* } \right|^{rq/2} } \right\|^{1/q} $

之间的大小关系, 这是本文的动机之一.

Bourin在文献[3]中提出了如下问题:设$A, B\in M_n$为半正定矩阵, $t \in \left[{0, 1} \right]$, 则不等式

$\begin{equation} \label{eq1-3} \left\| {A^t B^{1 - t} + B^t A^{1 - t} } \right\| \le \left\| {A + B} \right\| \end{equation}$

(1.3)

是否成立?利用矩阵酉不变范数三角不等式和Young不等式可知, 对于迹范数, 不等式(1.3) 是成立的.最近, 不等式(1.3) 的一些特殊情形被证明是成立的, 可参见文献[4-6]. Alakhrass在文献[7]中证明了

$\begin{equation} \label{eq1-4} \left\| {A^t B^{1 - t} + B^t A^{1 - t} } \right\| \le 2^{\left| {1/2 - t} \right|} \left\| {A + B} \right\|. \end{equation}$

(1.4)

虽然这个不等式比Bourin的问题弱, 但是比文献[4-6]中的相关结果都更一般化.

设$A, B \in M_{n}$, Lee在文献[8]中得到了一个关于Schatten $p$ -范数的三角不等式

$\begin{equation} \label{eq1-5} \left\| {A + B} \right\|_p \le 2^{1/2 - 1/\left( {2p} \right)} \left\| {\left| A \right| + \left| B \right|} \right\|_p . \end{equation}$

(1.5)

在这篇短文中, 我们首先讨论了不等式(1-1) 和(1-2) 之间的关系, 接着, 利用矩阵酉不变范数Hölder不等式, 我们得到了不等式(1-4) 和(1-5) 的一个推广以及$\left\| {A^t B^{1 - t} + B^t A^{1 - t} } \right\|$的一个上界.

首先讨论

$ \left\| {\left| {\left| {A^* } \right|^p X} \right|^r } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {X\left| {B^* } \right|^q } \right|^r } \right\|^{1/q} \mbox{ 和} \left\| {\left| {AA^* X} \right|^{rp/2} } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {XBB^* } \right|^{rq/2} } \right\|^{1/q} $

之间的大小关系, 我们有如下的结果.

定理2.1 设$A, X, B \in M_n, \displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, p, q > 1, r \ge 0$, 则

$ \left\| {\left| {A^* XB} \right|^r } \right\| \le \min \left\{ {\left\| {\left| {\left| {A^* } \right|^p X} \right|^r } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {X\left| {B^* } \right|^q } \right|^r } \right\|^{1/q}, \left\| {\left| {AA^* X} \right|^{rp/2} } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {XBB^* } \right|^{rq/2} } \right\|^{1/q} } \right\}. $

证 只需证明

$ \left\| {\left| {\left| {A^* } \right|^p X} \right|^r } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {X\left| {B^* } \right|^q } \right|^r } \right\|^{1/q} \mbox{ 和} \left\| {\left| {AA^* X} \right|^{rp/2} } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {XBB^* } \right|^{rq/2} } \right\|^{1/q} $

之间没有谁一定比谁大或是小的关系.因为$\frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1, p, q > 1$, 所以$p, q$中一个属于$\left[{2, \infty } \right)$, 一个属于$\left( {1, 2} \right]$, 于是可设$p \in \left( {1, 2} \right), q \in \left( {2, 4} \right)$, 同时, 设$X$为压缩矩阵, $r=2$.因为$f\left( t \right) = t^{p/2}$是算子凹函数, 所以

$ s_j \left( {\left| {AA^* X} \right|^p } \right) = \lambda _j \left( {X^* \left| {A^* } \right|^4 X} \right)^{p/2} \ge \lambda _j \left( {X^* \left| {A^* } \right|^{2p} X} \right) = s_j \left( {\left| {\left| {A^* } \right|^p X} \right|^2 } \right), $

这蕴含着

$ \left\| {\left| {AA^* X} \right|^p } \right\|^{1/p} \ge \left\| {\left| {\left| {A^* } \right|^p X} \right|^2 } \right\|^{1/p}. $

另一方面, 因为$f\left( t \right) = t^{q/2} $是算子凸函数, 所以

$ \begin{array}{lll} s_j \left( {\left| {XBB^* } \right|^q } \right) &=& \lambda _j \left( {BB^* X^* XBB^* } \right)^{q/2} = \lambda _j \left( {X\left| {B^* } \right|^4 X^* } \right)^{q/2} \\ &\le& \lambda _j \left( {X\left| {B^* } \right|^{2q} X^* } \right) = s_j \left( {\left| {X\left| {B^* } \right|^q } \right|^2 } \right), \\ \end{array} $

这蕴含着

$ \left\| {\left| {XBB^* } \right|^q } \right\|^{1/q} \le \left\| {\left| {X\left| {B^* } \right|^q } \right|^2 } \right\|^{1/q}. $

于是可知

$ \left\| {\left| {\left| {A^* } \right|^p X} \right|^r } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {X\left| {B^* } \right|^q } \right|^r } \right\|^{1/q} \mbox{ 和} \left\| {\left| {AA^* X} \right|^{rp/2} } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {XBB^* } \right|^{rq/2} } \right\|^{1/q} $

之间没有谁一定比谁大或是小的关系.

接下来, 我们将给出不等式(1-4) 的推广, 为此, 我们需要如下的引理.

引理2.1^[9] 设$A_1, \cdots, A_m \in M_n$为半正定矩阵, $f\left( t \right)$是非负凹函数, 则

$ \left\| {f\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {A_i } } \right)} \right\| \le \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {f\left( {A_i } \right)} } \right\|. $

引理2.2^[10] 设$A, B \in M_{n}$, $f\left( t \right)$是递增的凸函数.若

$ \left\| A \right\| \le \left\| B \right\|, $

则

$ \left\| {f\left( A \right)} \right\| \le \left\| {f\left( B \right)} \right\|. $

定理2.2 设$A_i, X_i, B_i \in M_n, i = 1, \cdots, m, \displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, p, q > 1$, 则

$\begin{equation} \label{eq2-1} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {A_i^* X_i B_i } } \right\| \le m^{\left| {1/2 - 1/p} \right|} \max \left\{ {\left\| {X_1 } \right\|_\infty, \cdots, \left\| {X_m } \right\|_\infty } \right\}\left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i } \right|^p } } \right\|^{1/p} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {B_i } \right|^q } } \right\|^{1/q}. \end{equation}$

(2.1)

证 由不等式(1-1) 以及$\left\| {\left| {A^* } \right|^r } \right\| = \left\| {\left| A \right|^r } \right\|, r \ge 0$可得

$\begin{eqnarray} \label{eq2-2} \left\| {A^* XB} \right\| &\le& \left\| {\left| {A^* } \right|^p X} \right\|^{1/p} \left\| {X\left| {B^* } \right|^q } \right\|^{1/q} \\ &\le& \left\| X \right\|_\infty \left\| {\left| {A^* } \right|^p } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {B^* } \right|^q } \right\|^{1/q} \\ &=& \left\| X \right\|_\infty \left\| {\left| A \right|^p } \right\|^{1/p} \left\| {\left| B \right|^q } \right\|^{1/q}. \end{eqnarray}$

(2.2)

令

$ A = \left[{\begin{array}{*{20}c} {A_1 } & 0 & \cdots & 0 \\ {A_2 } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {A_m } & 0 & \cdots & 0 \\ \end{array}} \right],  X = \left[{\begin{array}{*{20}c} {X_1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {X_2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {X_m } \\ \end{array}} \right],  B = \left[{\begin{array}{*{20}c} {B_1 } & 0 & \cdots & 0 \\ {B_2 } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {B_m } & 0 & \cdots & 0 \\ \end{array}} \right], $

于是, 由不等式(2-2) 可得

$\begin{eqnarray} \label{eq2-3} \left\| {A^* XB} \right\| &=& \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {A_i^* X_i B_i } } \right\| \\ &\le& \max \left\{ {\left\| {X_1 } \right\|_\infty, \cdots, \left\| {X_m } \right\|_\infty } \right\}\left\| {\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i } \right|^2 } } \right)^{p/2} } \right\|^{1/p} \left\| {\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {B_i } \right|^2 } } \right)^{q/2} } \right\|^{1/q} . \end{eqnarray}$

(2.3)

因为$\displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1, p, q > 1$, 所以$p, q$中一个属于$\left[{2, \infty } \right)$, 一个属于$\left( {1, 2} \right]$, 由于$p, q$的对称性, 于是可设$1 < p \le 2 \le q$.因此, 由引理2.1可知

$\begin{equation} \label{eq2-4} \left\| {\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i } \right|^2 } } \right)^{p/2} } \right\|^{1/p} \le \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i } \right|^p } } \right\|^{1/p}. \end{equation}$

(2.4)

因为$q \ge 2$, 所以函数$g\left( t \right) = t^{2/q} $是算子凹函数, 于是可得

$ \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {B_i } \right|^2 } /m} \right\| \le \left\| {\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {B_i } \right|^q /m} } \right)^{2/q} } \right\|. $

结合引理2.2有

$\begin{equation} \label{eq2-5} \left\| {\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {B_i } \right|^2 } } \right)^{q/2} } \right\|^{1/q} \le m^{1/2 - 1/q} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {B_i } \right|^q } } \right\|^{1/q}. \end{equation}$

(2.5)

由不等式(2-3), (2-4) 以及(2-5)

$ \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {A_i^* X_i B_i } } \right\| \le m^{1/2 - 1/q} \max \left\{ {\left\| {X_1 } \right\|_\infty, \cdots, \left\| {X_m } \right\|_\infty } \right\}\left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i } \right|^p } } \right\|^{1/p} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {B_i } \right|^q } } \right\|^{1/q} . $

同样的, 当$1 < q \le 2 \le p$时, 我们有

$ \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {A_i^* X_i B_i } } \right\| \le m^{1/2 - 1/p} \max \left\{ {\left\| {X_1 } \right\|_\infty, \cdots, \left\| {X_m } \right\|_\infty } \right\}\left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i } \right|^p } } \right\|^{1/p} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {B_i } \right|^q } } \right\|^{1/q} . $

结合上面两个不等式以及$\left| {1/2 - 1/p} \right| = \left| {1/2 - 1/q} \right|$可得到不等式(2-1).

注2.1 在不等式(2-1) 中令$X_1 = \cdots = X_m = I$可得文献[2]中的定理17.

注2.2 设$A_1, A_2, X_1, X_2, B_1, B_2\in M_n, \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1, p, q > 1$, 则由不等式(2-1) 可得

$\begin{eqnarray} \label{eq2-6} && \left\| {A_1^* X_1 B_1 + A_2^* X_2 B_2 } \right\| \\ &\le& 2^{\left| {1/2 - 1/p} \right|} \max \left\{ {\left\| {X_1 } \right\|_\infty, \left\| {X_2 } \right\|_\infty } \right\}\left\| {\left| {A_1 } \right|^p + \left| {A_2 } \right|^p } \right\|^{1/p} \left\| {\left| {B_1 } \right|^q + \left| {B_2 } \right|^q } \right\|^{1/q} . \end{eqnarray}$

(2.6)

在不等式(2-6) 中, 令$X_1 =X_2 = I$可得文献[11]中的定理11.另一方面, 在不等式(2-6) 中, 令

$ A_1^* = A^t, B_1 = B^{1 - t}, A_2^* = B^t, B_2 = A^{1 - t}, p = \frac{1}{t}, q = \frac{1}{{1 - t}}, $

可得

$ \left\| {A^t X_1 B^{1 - t} + B^t X_2 A^{1 - t} } \right\| \le 2^{\left| {1/2 - t} \right|} \max \left\{ {\left\| {X_1 } \right\|_\infty, \left\| {X_2 } \right\|_\infty } \right\}\left\| {A + B} \right\|. $

这是不等式(1-4) 的一个推广.

接下来, 同样的, 利用矩阵酉不变范数Hölder不等式, 我们将不等式(1.5) 推广到了多个矩阵的情形.

定理2.3 设$A_i\in M_n, i = 1, \cdots, m$, 则

$\begin{equation} \label{eq2-7} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {A_i } } \right\|_p \le m^{1/2 - 1/\left( {2p} \right)} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i } \right|} } \right\|_p . \end{equation}$

(2.7)

证 设$A_i = U_i \left| {A_i } \right|$为矩阵$A_i\in M_n$的极分解, 于是可知

$ A_i = \left| {A_i^* } \right|^{1/2} U_i \left| {A_i } \right|^{1/2}, i = 1, \cdots, m, $

所以我们有

$ \sum\limits_{i = 1}^m {A_i } = \left[{\left| {A_1^* } \right|^{1/2} \cdots \left| {A_m^* } \right|^{1/2} } \right]{\rm diag}\left( {U_1, \cdots, U_m } \right)\left[\begin{array}{c} \left| {A_1 } \right|^{1/2} \\ \vdots \\ \left| {A_m } \right|^{1/2} \\ \end{array} \right]. $

由不等式(2-2) 可得

$\begin{equation} \label{eq2-8} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {A_i } } \right\| \le \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i^* } \right|} } \right\|^{1/2} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i } \right|} } \right\|^{1/2}. \end{equation}$

(2.8)

对于Schatten $p$ -范数, 由函数$f\left( t \right) = t^{1/p}, 1 \le p < \infty $的凹性和引理2.1可知

$\begin{eqnarray} \label{eq2-9} \left\| {A_1 } \right\|_p + \cdots + \left\| {A_m } \right\|_p &=& \left( {{\rm tr}\left| {A_1 } \right|^p } \right)^{1/p} + \cdots + \left( {{\rm tr}\left| {A_m } \right|^p } \right)^{1/p} \\ &\le& m^{1 - 1/p} \left( {{\rm tr}\left| {A_1 } \right|^p + \cdots + {\rm tr}\left| {A_m } \right|^p } \right)^{1/p} \\ &=& m^{1 - 1/p} \left\| {\left( {\left| {A_1 } \right|^p + \cdots + \left| {A_m } \right|^p } \right)^{1/p} } \right\|_p \\ &\le& m^{1 - 1/p} \left\| {\left| {A_1 } \right| + \cdots + \left| {A_m } \right|} \right\|_p. \end{eqnarray}$

(2.9)

由酉不变范数的三角不等式和不等式(2-9) 可知

$\begin{equation} \label{eq2-10} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i^* } \right|} } \right\|_p \le \sum\limits_{i = 1}^m {\left\| {\left| {A_i^* } \right|} \right\|_p } = \sum\limits_{i = 1}^m {\left\| {A_i } \right\|_p } \le m^{1 - 1/p} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i } \right|} } \right\|_p . \end{equation}$

(2.10)

结合不等式(2-8) 和(2-10) 可知结论成立.

注2.3 显然, 不等式(2-7) 是不等式(1-5) 的一个推广.

注2.4 设$A_i\in M_n, i = 1, \cdots, m$, Lee在文献[12]中证明了

$ \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {A_i } } \right\| \le m^{1/2} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^m {\left| {A_i } \right|} } \right\|. $

显然, 对于Schatten $p$ -范数, 不等式(2-7) 是Lee所得结果的一个改进.

最后, 我们给出$\left\| {A^t B^{1 - t} + B^t A^{1 - t} } \right\|$的一个上界.

定理2.4 设$A, B\in M_n$为半正定矩阵, $t \in \left[{0, 1} \right]$, 则

$\begin{equation} \label{eq2-11} \left\| {A^t B^{1 - t} + B^t A^{1 - t} } \right\| \le \left\| A \right\| + \left\| B \right\| - 2r_0 \left( {\sqrt {\left\| A \right\|} - \sqrt {\left\| B \right\|} } \right)^2, \end{equation}$

(2.11)

其中$r_0 =\min \left\{ {t, \;1-t} \right\}$.

证 由矩阵酉不变范数三角不等式和不等式(2-2) 可得

$ \begin{array}{lll} \left\| {A^t B^{1 - t} + B^t A^{1 - t} } \right\| &\le& \left\| {A^t B^{1 - t} } \right\| + \left\| {B^t A^{1 - t} } \right\| \\ &\le& \left\| {A^{pt} } \right\|^{1/p} \left\| {B^{q\left( {1 - t} \right)} } \right\|^{1/q} + \left\| {B^{pt} } \right\|^{1/p} \left\| {A^{q\left( {1 - t} \right)} } \right\|^{1/q}. \end{array} $

在上面这个不等式中, 令$ p = \frac{1}{t}, $ $q = \frac{1}{{1 - t}}, $可得

$\begin{equation} \label{eq2-12} \left\| {A^t B^{1 - t} + B^t A^{1 - t} } \right\| \le \left\| A \right\|^t \left\| B \right\|^{1 - t} + \left\| A \right\|^{1 - t} \left\| B \right\|^t. \end{equation}$

(2.12)

Kittaneh和Manasrah在文献[13]中证明了:若$a, b \ge 0, t\in [0, 1]$, 则

$\begin{equation} \label{eq2-13} a^t b^{1 - t} + a^{1 - t} b^t \le a + b - 2r_0 \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2, \end{equation}$

(2.13)

其中$r_0 =\min \left\{ {t, \;1-t} \right\}$, 结合不等式(2-12) 和(2-13) 有

$ \left\| {A^t B^{1 - t} + B^t A^{1 - t} } \right\| \le \left\| A \right\| + \left\| B \right\| - 2r_0 \left( {\sqrt {\left\| A \right\|} - \sqrt {\left\| B \right\|} } \right)^2. $

证毕.

注2.5 对于迹范数, 当$A, B\in M_n$为半正定矩阵时, 我们有$\left\| A \right\|_1 + \left\| B \right\|_1 = \left\| {A + B} \right\|_1$, 所以, 由不等式(2-11) 可得

$\begin{equation} \label{eq2-14} \left\| {A^t B^{1 - t} + B^t A^{1 - t} } \right\|_1 \le \left\| {A + B} \right\|_1 - 2r_0 \left( {\sqrt {\left\| A \right\|_1 } - \sqrt {\left\| B \right\|_1 } } \right)^2, \end{equation}$

(2.14)

其中$r_0 =\min \left\{ {t, \;1-t} \right\}$, 这是不等式(1-3) 的一个改进.由不等式(2-9) 和(2-11)

$ \left\| {A^t B^{1 - t} + B^t A^{1 - t} } \right\|_p \le 2^{1 - 1/p} \left\| {A + B} \right\|_p - 2r_0 \left( {\sqrt {\left\| A \right\|_p } - \sqrt {\left\| B \right\|_p } } \right)^2, $

其中$r_0 =\min \left\{ {t, \;1-t} \right\}$, 这是不等式(2-14) 的一个推广.

注2.6 对比不等式(1-3) 和(2-11), 自然的, 我们希望知道$\left\| A \right\| + \left\| B \right\| - 2r_0 \big( \sqrt {\left\| A \right\|} -$ $ \sqrt {\left\| B \right\|} \big)^2$和$\left\| {A + B} \right\|$之间的大小关系.取$\left\| \cdot \right\| = \left\| \cdot \right\|_2, t =1/4$, 同时令

$ A = \left[{\begin{array}{*{20}c} 5 & 1 \\ 1 & 5 \\ \end{array}} \right],  B = \left[{\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}} \right]. $

简单计算可知

$ \left\| {A + B} \right\|_2 = {\rm{8}}{\rm{.6023}} \ge {\rm{7}}{\rm{.5061}} = \left\| A \right\|_2 + \left\| B \right\|_2 - 2r_0 \left( {\sqrt {\left\| A \right\|_2 } - \sqrt {\left\| B \right\|_2 } } \right)^2. $

另一方面, 若取

$ A = \left[{\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}} \right],  B = \left[{\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}} \right]. $

简单计算可知

$ \left\| {A + B} \right\|_2 = {\rm{3}}{\rm{.1623}} \le {\rm{3}}{\rm{.3889}} = \left\| A \right\|_2 + \left\| B \right\|_2 - 2r_0 \left( {\sqrt {\left\| A \right\|_2 } - \sqrt {\left\| B \right\|_2 } } \right)^2. $

所以, 它们这两者之间没有谁一定比谁大或是小的关系.