非线性边值问题因为有丰富的实际背景和重要的理论意义, 其可解性的研究一直受到国内外很多数学工作者的关注.但因为线性问题的谱理论在研究非线性问题的可解性中起着关键性的作用, 故无论是常微分方程边值问题还是差分方程边值问题, 如果对应线性问题的谱结构不清楚, 则非线性问题的可解性研究就会遇到本质性的障碍.

线性常微分方程的谱理论的研究已经相当深入, 结果十分完备.而线性差分方程的谱理论建立的较晚, 详细理论可见文献[1-2].时标(Time scales), 是一种统一和推广连续与离散时间的新的时间框架, 1988年由德国数学家Stefan Hilger提出, 定义为实数集的任一闭子集.见文献[3].其上分析理论建立以后, 时标动态方程(Dynamic equations)的谱理论研究已经受到越来越多国内外学者的关注.但至目前, 也还只是散见一些结果.对此问题的研究, 最早源自1993年Erbe和Hilger文献[4]的工作.文献[4]开展了时标Sturm理论的讨论, 考察Sturm-Liouville算子, 建立了特征值理论研究中的几个核心定理:Sturm比较定理、Sturm分离定理和一些振荡结果. 1999年, Agarwal, Bohner和Wong在文献[5]中研究时标$\mathbb{T}$上的线性动态方程常系数特征值问题

$\begin{equation}\label{ie8} \begin{array}{ll} &{{u}^{\Delta \Delta }} -qu^\sigma +\lambda u^\sigma =0,  t\in \mathbb{T}^{k^2}, \\ &\alpha_1 u(a)+\alpha_2 p(a)u^\Delta(a)=0, \\ &\beta_1 u(\rho(b))+\beta_2 p(\rho(b))u^\Delta(\rho(b))=0, \end{array} \end{equation}$

(1.1)

建立了如下定理:

定理1.1^{[5, 定理1]} 问题(1.1) 的特征值满足

$-\infty<\lambda_1<\lambda_2<\cdots<\lambda_N(N\leq+\infty), $

这里$N<+\infty$代表特征值为有限个. $N=+\infty$表示存在一列特征值.并且第$k$个特征值$\lambda_k$对应的特征函数$u_k$在$\mathbb{T}^0$上恰有$k-1(k\in\mathbb{N}_N^*)$个简单广义零点.

以上结果只是针对常系数情形. 2004年, Davidson和Rynne^[6]试图研究线性动态方程加权特征值问题

$\begin{equation}\label{ie9} \begin{array}{ll} &[pu^\Delta]^\Delta -qu^\sigma +\lambda r u^\sigma =0,  t\in \mathbb{T}^{k^2}, \\ &u(a)=0, u(b)=0 \end{array} \end{equation}$

(1.2)

的特征值结构, 但只证明了当$r\geq 0, \, r\in C^0(\mathbb{T}^{k^2})$时, 问题(1.2) 存在第一个正特征值和正特征函数.

考虑到实际测量的误差以及外界因素对变量行为过程的影响, 加权特征值问题具有更广泛的应用背景.但由于带权函数之后问题本身的难度, 线性问题(1.2) 的谱结构直到现在还没有研究清楚.本文正是在以上工作的基础上, 讨论更加一般化的时标线性加权Sturm-Liouville特征值问题

$\begin{equation}\label{e1} \left\{\begin{array}{ll} Lu(t)+\lambda r(t) u^\sigma (t)=0,  t\in\mathbb{T}^{k^2}, \\ R_i u=0\ (i=1, 2) \end{array}\right. \end{equation}$

(1.3)

的谱结构, 其中

$\begin{eqnarray*} & &Lu(t)=(pu^\Delta )^\Delta (t)-q(t)u^\sigma (t), \\ & &R_1 u=\alpha_1u(a)+\alpha_2p(a)u^\Delta (a), \\ & &R_2 u=\beta_1u(\rho(b))+\beta_2p(\rho(b))u^\Delta (\rho(b)), \end{eqnarray*}$

$\alpha_i, \, \beta_i\, (i=1, 2)$都是实数, $\lambda$是一个复参数, $p, \, q, \, \alpha_i, \, \beta_i\, (i=1, 2)$满足

$\label{SL} \begin{array}{ll} &p\in C_{\rm{rd}}^1(\mathbb{T}^k), q, \, r\in C_{\rm{rd}}^0(\mathbb{T}^{k^2}), \\ &p(t)>0, \, t\in\mathbb{T}^k, r(t)>0, t\in\mathbb{T}^{k^2}, \\ &(\alpha_1^2+\alpha_2^2)(\beta_1^2+\beta_2^2)\neq 0. \end{array} $

(SL)

细致讨论其特征值的全局分布, 特征函数的广义零点的分布以及第一个正特征值和特征函数的存在性.

对以上问题的常微分方程版本, 前人研究采用的经典方法有Prüfer变换、整函数、特征值比较理论和Rayleigh商等; 对差分方程版本, 则多用递推计算和Rayleigh商估计; 对时标动态方程, 文献[5]中采用的是特征值比较理论和Rayleigh商估计.由于时标微积分理论和动态方程解理论都还不完善, 又有了权函数的介入, 在时标上对特征值进行估计和比较相对困难.所以完全借鉴常微分方程和差分方程已有的研究方法均是不可行的.

为了顺利引入本文的主要结论并进行证明, 以下第二节将先介绍时标的基本理论, 接着第三节讨论特征值的相关分布, 第四节给出特征函数的广义零点分布, 最后在第五节研究第一个正特征值和特征函数的存在性.

本节引入本文讨论必需的时标定义和引理.除非特别说明, 本节所有陈述均为引录, 读者可以参考文献[3, 7-9]获知更细致的介绍.

定义2.1 称实直线$\mathbb{R}$的任一闭子集为时标(Time scales), 记为$\mathbb{T}$.

$\mathbb{T}$上自然存在一个拓扑, 即相对于$\mathbb{R}$上的标准拓扑而言的相对拓扑, $\mathbb{T}$在这个拓扑下作成拓扑空间.

对$t\in \mathbb{T}$, 设$\inf\varnothing :=\sup \mathbb{T}$, $\sup\varnothing :=\inf \mathbb{T}$.定义前向跳跃算子$\sigma \colon \mathbb{T}\to \mathbb{T}$和后向跳跃算子$\rho\colon \mathbb{T}\to \mathbb{T}$分别为

$\sigma (t)=\inf\{\, \tau \in \mathbb{T} \mid \tau>t\},  \rho(t)=\sup\{\, \tau \in T \mid \tau<t\}.$

当$\sigma (t)>t$时, 称$t$是右离散(rs)的, 当$\sigma (t)=t$时, 称$t$是右稠密(rd)的.同样当$\rho(t)<t$, $\rho(t)=t$时, 分别称$t$是左离散(ls)的和左稠密(ld)的.定义$\mathbb{T}$上的步长函数为$\mu(t)=\sigma (t)-t, \, t\in\mathbb{T}$.定义$\sigma ^2(t)=\sigma (\sigma (t))$, 同理$\sigma ^n(t):=\sigma (\sigma ^{n-1}(t)), \, n=3, 4, \cdots$.这里$\sigma ^0(t)=t$.

$\mathbb{T}$上的子集$\mathbb{T}^k$定义为：如果$\mathbb{T}$有左离散的最大值$t_1$, 则$\mathbb{T}^k=\mathbb{T}-\{t_1\}$, 否则$\mathbb{T}^k=\mathbb{T}$.同理如果$\mathbb{T}^k$有左离散的最大值$t_2$, 则$\mathbb{T}^{k^2}=\mathbb{T}^k-\{t_2\}$, 否则$\mathbb{T}^{k^2}=\mathbb{T}^k$.类似定义$\mathbb{T}^{k^l}(l\in\mathbb{N}^*)$.规定$\mathbb{T}^{k^1}=\mathbb{T}^k$.如果$a=\inf\mathbb{T}, \, b=\sup\mathbb{T}$, 定义$\mathbb{T}^0=\mathbb{T}-\{a, b\}$.

$\mathbb{T}$上的开区间$(a, b)_\mathbb{T}$定义为

$(a, b)_\mathbb{T}=\{t\in \mathbb{T}\mid a<t<b\}.$

其它类型(闭区间, 半开半闭区间)可类似定义.

$\mathbb{T}$上函数的连续性如通常定义.特别的, 有

定义2.2 称函数$u$是$\rm{rd}$连续(rd-continuous)的, 是指$u$在$\mathbb{T}$上每个右稠密的点处连续, 在每个左稠密的点处存在有限极限.

定义2.3 设$u\colon \mathbb{T}\to \mathbb{R}$, $t\in \mathbb{T}^k$.如果有$\mathbb{R}$中的数$u^{\Delta}(t)$, 使得对$\forall\, \varepsilon >0$, 存在$t$的一个邻域$U$, 对所有的$s\in U$, 都有

$ \mid u(\sigma (t))-u(s)-u^{\Delta}(t)(\sigma (t)-s)\mid\le\varepsilon \mid \sigma (t)-s\mid, $

则称$u$在$t$点是$\Delta$ -可导的, 称$u^{\Delta}(t)$为$u$在$t$点的$\Delta$ -导数.若对所有的$t\in \mathbb{T}^k$, $u^{\Delta}(t)$都存在, 称$u$在$\mathbb{T}^k$上是$\Delta$ -可导的.

注2.1 当$\mathbb{T}=\mathbb{R}$时, $u^\Delta (t)=u'(t)$; 当$\mathbb{T}=\mathbb{Z}$时, $u^\Delta (t)=u(t+1)-u(t)$.

定义$u$在$t\in\mathbb{T}^{k^2}$点的二阶$\Delta$ -导数为$u^{\Delta^2}(t)=u^{\Delta\Delta}(t):=(u^\Delta)^\Delta(t)$.同理, 称

$u^{\Delta^i}(t):=(u^{\Delta^{i-1}})^\Delta(t),  i>2, i\in{\Bbb N}$

为$u$在$t\in\mathbb{T}^{k^i}$点的$i$阶$\Delta$ -导数.规定$u^{\Delta^0}=u$.定义$u^\sigma :=u\circ\sigma $.

定义2.4 若恒有$F^\Delta(t)=u(t)$, $t\in \mathbb{T}^k$, 则$u$在$\mathbb{T}$上是$\Delta$ -可积的.定义$u$的$\Delta$ -积分为

$ \int _s^t u(\tau )\Delta \tau=F(t)-F(s),  s, t\in \mathbb{T}^k.$

注2.2 当$\mathbb{T}=\mathbb{R}$时, $\int _s^t u(\tau )\Delta \tau=\int _s^t u(\tau ){\rm{d}}\tau$, 右端积分为Riemann积分;

当$\mathbb{T}=\mathbb{Z}$时, $\int _s^t u(\tau )\Delta \tau=\sum\limits_{t=s}^{t-1} u(t)$, $s<t$;

当$\mathbb{T}$上的点全为孤立点时, $\int _s^t u(\tau )\Delta \tau=\sum\limits_{t\in [s, t)}u(t)\mu(t)$, $s<t$.

注2.3 定义2.4中的积分称为时标上的Cauchy $\Delta$-积分. Guseinov, Kaymakcalan和Antici引入了时标上的Riemann积分和Lebesgue积分, 见文献[8, 第5章].而为了研究时标上的$L^2$空间理论, Rynne引入了一种新的积分.见文献[10].

注2.4 每个$\rm{rd}$连续的函数都是$\Delta$ -可积的.

以下陈述时标运算的一些性质.

引理2.1 设$u, v\colon\, \mathbb{T}\to \mathbb{R}$, 则

(1) 若$u$是连续的, 则$u$是$\rm{rd}$连续的;

(2) 前向跳跃算子$\sigma $是$\rm{rd}$连续的;

(3) 若$u$是$\rm{rd}$连续的, 则$u^\sigma $也是$\rm{rd}$连续的;

(4) 若$u$是连续的, $v$是$\rm{rd}$连续的, 则$u\circ v$是$\rm{rd}$连续的.

引理2.2 设$u\colon\, \mathbb{T}\to \mathbb{R}, t\in \mathbb{T}^k$.以下各条成立:

(1) 如果$u^\Delta(t)$存在, 那么$u$在$t$点连续;

(2) 如果$u$在$t$点连续且$t$是右离散的, 那么$u^\Delta(t)$存在, 并且

$ u^{\Delta}(t)=\frac {u^\sigma (t)- u(t)}{\mu(t)};$

(3) 如果$t$是右稠密的, 那么$u^\Delta(t)$存在当且仅当

$ \lim\limits_{s\, \to\, t} \frac {u(t)-u(s)}{t-s} $

有限.此时极限值就是$u^\Delta(t)$;

(4) 如果$u^\Delta(t)$存在, 那么

$ u^\sigma (t)=u(t)+\mu(t)u^\Delta(t). $

引理2.3 设$u, \, v:\, \mathbb{T}\to\mathbb{R}$在$\mathbb{T}^k$上是$\Delta$ -可导的.以下各条成立:

(1) 函数$u+v:\, \mathbb{T}\to\mathbb{R}$在$\mathbb{T}^k$上$\Delta$ -可导, 且

$(u+v)^\Delta (t)=u^\Delta (t)+v^\Delta (t),  t\in\mathbb{T}^k;$

(2) 对任意$c\in\mathbb{R}$, $cu:\, \mathbb{T}\to\mathbb{R}$在$\mathbb{T}^k$上$\Delta$ -可导, 且

$(cu)^\Delta (t)=cu^\Delta (t),  t\in\mathbb{T}^k;$

(3) 函数$uv:\, \mathbb{T}\to\mathbb{R}$在$\mathbb{T}^k$上$\Delta$ -可导, 且

$(uv)^\Delta (t)=u^\Delta (t)v(t)+u^\sigma (t)v^\Delta (t)=u(t)v^\Delta (t)+u^\Delta (t)v^\sigma (t),  t\in\mathbb{T}^k;$

(4) 若$v(t)v^\sigma (t)\neq 0, \, t\in\mathbb{T}^k$, 则函数$\frac uv:\, \mathbb{T}\to\mathbb{R}$在$\mathbb{T}^k$上$\Delta$ -可导, 且

$(\frac uv)^\Delta (t)=\frac{u^\Delta (t)v(t)-u(t)v^\Delta (t)}{v(t)v^\sigma (t)},  t\in\mathbb{T}^k;$

(5) 若$u^\Delta (t)\equiv 0$, $t\in\mathbb{T}^k$, 则$u$在$\mathbb{T}$上恒为常值.

引理2.4 设$u$在$[a, b]_\mathbb{T}$上连续, 在$[a, b)_\mathbb{T}$上$\Delta$-可导.则$u$在$[a, b]_\mathbb{T}$上是单调增加, 单调减少, 单调不减, 单调不增的, 分别等价于$u^\Delta (t)>0, \, u^\Delta (t)<0, $ $u^\Delta (t)\geq 0, $ $u^\Delta (t)\leq 0, $ $t\in[a, b)_\mathbb{T}$.

引理2.5 设$a, b, c\in\mathbb{T}$, $\alpha\in\mathbb{R}$, $u, v: \mathbb{T}\to\mathbb{R}$都是$\rm{rd}$连续的.以下各条成立:

(1) $\int_a^b [u(t)+v(t)]\Delta t=\int_a^b u(t)\Delta t+\int_a^b v(t)\Delta t;$

(2) $\int_a^b (\alpha u)(t)\Delta t=\alpha\int_a^b u(t)\Delta t;$

(3) $\int_a^b u(t)\Delta t=-\int_b^a u(t)\Delta t;$

(4) $\int_a^b u(t)\Delta t=\int_a^c u(t)\Delta t+\int_c^b u(t)\Delta t;$

(5) $\int_a^a u(t)\Delta t=0;$

(6) 若$u(t)\geq 0, \, t\in [a, b)_\mathbb{T}$, 则$\int_a^b u(t)\Delta t\geq 0$;

(7) 若$|u(t)|\leq v(t), \, t\in [a, b)_\mathbb{T}$, 则$|\int_a^b u(t)\Delta t|\leq \int_a^b v(t)\Delta t$.

引理2.6 设$u:\, \mathbb{T}\to\mathbb{R}$, 则

$\int_t^{\sigma (t)} u(\tau)\Delta\tau=\mu(t)u(t), \forall t\in\mathbb{T}^k.$

时标$\mathbb{T}$上有如下前向归纳原理.

引理2.7 设$\tau\in \mathbb{T}$.如果命题$A_1(t), \, t\in \mathbb{T}_\tau \colon=\{t\in \mathbb{T}, t\ge\tau\}$满足以下条件:

(1) $A_1(\tau)$成立;

(2) 对任何右离散的$t\in \mathbb{T}_\tau$, 有

$A_1(t)\Rightarrow A_1(\sigma (t));$

(3) 对任何右稠密的$t\in \mathbb{T}_\tau$, 存在$t$的一个邻域$U$, 使得

$A_1(t)\Rightarrow A_1(s), \ \forall\, s\in U, \, s>t;$

(4) 对任何左稠密的$t\in \mathbb{T}_\tau$, 有

$A_1(s), \forall\, s\in \mathbb{T}_\tau, \, s<t \Rightarrow A_1(t).$

那么$A_1(t)$对所有的$t\in \mathbb{T}_\tau$都成立.

引理2.8 时标$\mathbb{T}$上有如下后向归纳原理.

设$\tau\in \mathbb{T}$.如果命题$A_2(t), \, t\in \mathbb{T}^\tau \colon=\{t\in \mathbb{T}, t\le\tau\}$满足以下条件$\colon$

(1) $A_2(\tau)$成立;

(2) 对任何左离散的$t\in \mathbb{T}^\tau$, 有

$A_2(t)\Rightarrow A_2(\rho(t));$

(3) 对任何左稠密的$t\in \mathbb{T}^\tau$, 存在$t$的一个邻域$V$, 使得

$A_2(t)\Rightarrow A_2(s), \ \forall\, s\in V, \, s<t;$

(4) 对任何右稠密的$t\in \mathbb{T}^\tau$, 有

$A_2(s), \forall\, s\in \mathbb{T}^\tau, \, s>t \Rightarrow A_2(t).$

那么$A_2(t)$对所有的$t\in \mathbb{T}^\tau$都成立.

关于函数的广义零点, 前人有如下几种典型定义:

定义2.5^{[4, 定理2.2]} 设$u$是定义在$\mathbb{T}$上的实值函数.若$u(t)u^\sigma (t)\leq 0, \, t\in\mathbb{T}$, 则称$t$为函数$u$的一个结点(注意这里结点是全部属于$\mathbb{T}$的).

定义2.6^[5] 设$u$是定义在$\mathbb{T}$上的实值函数.若$u(t)=0, \, t\in\mathbb{T}$, 则称$t\in\mathbb{T}$是函数$u$的一个零点.若$u(t)u^\sigma (t)$ $<0$, $t\in\mathbb{T}$, 则称$(t+\sigma (t))/2$为函数$u$的一个结点(注意当$\mathbb{T}=\mathbb{R}$时该情况不出现).将函数$u$的零点和结点统称为$u$的广义零点.

注2.5 这里将结点定义为实区间$(t, \sigma (t))$的中点.当函数在$t$与$\sigma (t)$点取值发生变化时, 结点不变.

定义2.7^{[11, 定义4.1]} 设$u$是定义在$\mathbb{T}$上的实值函数.若$u(t)=0, \, t\in\mathbb{T}$, 则称$t\in\mathbb{T}$是函数$u$的一个零点.若还有$u^\Delta (t)\neq 0$, 则称该零点$t$为简单零点; 若$u(t)u^\sigma (t)<0, \, t\in\mathbb{T}$, 则称

$s=\frac{tu^\sigma (t)-\sigma (t)u(t)}{u^\sigma (t)-u(t)}\in(t, \sigma (t))$

为函数$u$的一个广义零点(注意当$\mathbb{T}=\mathbb{R}$时该情况不出现).函数$u$的简单零点和广义零点统称为$u$的简单广义零点, 而将函数$u$的零点和广义零点统称为$u$的广义零点.

考虑到定义的合理性和讨论问题的必要性, 以下给出我们关于广义零点的新的表述.

定义

$\begin{equation}\label{etaomega} \eta_\tau:=\sup\{t\in{\Bbb T}\, |\, t\leq\tau\},  \omega_\tau:=\inf\{t\in{\Bbb T}\, |\, t\geq\tau\}. \end{equation}$

(2.1)

注意到$\eta_\tau\leq\tau\leq\omega_\tau$, 且当$\tau\in\mathbb{T}$时, 有$\eta_\tau=\tau=\omega_\tau$.

定义2.8 设$u$是定义在$\mathbb{T}$上的实值函数.若$u(\eta_t)u(\omega_t) \leq 0$, 则称连线$(\eta_t, u(\eta_t))$和$(\omega_t, u(\omega_t))$与$t$轴的交点为函数$u$的一个广义零点.特别在$t\in\mathbb{T}$时, 也称$t$为$u$的零点.称满足$u^\Delta (\omega_t) \neq 0$的广义零点为简单广义零点.

由定义, 易知

$\begin{eqnarray*} &&\mbox{若}\ u\ \mbox{在$ [t, \sigma(t))$ 上有一个广义零点, 则}\ u(t)u^\sigma (t)\leq 0, \\ &&\mbox{若}\ u(t)u^\sigma (t)>0, \mbox{则$ u$在}\ [t, \sigma(t)]\ \mbox{上没有广义零点.} \end{eqnarray*}$

比较可知, 我们的定义与文献[11]的定义相同.这种定义保证了$u$连续变化时, 相应零点也可以连续变化.

最后给出本文需要的空间.

定义Banach空间$C^0({\Bbb T})$(或者$C_{\rm{rd}}^0({\Bbb T})$)为${\Bbb T}$上的连续函数全体(或者${\Bbb T}$上的$\rm{rd}$连续函数全体), 赋予范数

$\|u\|_0:=\sup\{|u(t)|\ |\ t\in{\Bbb T}\}.$

对$i\in\mathbb{N}^*$且$i$有限, 定义Banach空间

$C^i({\Bbb T}):=\{\, u:{\Bbb T}\to{\Bbb R}\, |\, u^{\Delta^l}(l=1, 2, \cdots, i)\mbox{于}\ {\Bbb T}^{k^l}\, \mbox{存在}, u^{\Delta^i}\in C^0({\Bbb T}^{k^i})\}, $

$C_{\rm{rd}}^i({\Bbb T}^{k^i}):=\{\, u:{\Bbb T}\to{\Bbb R}\, |\, u^{\Delta^l}(l=1, 2, \cdots, i) \mbox{于}\ {\Bbb T}^{k^l}\, \mbox{存在}, u^{\Delta^i}\in C_{\rm{rd}}^0({\Bbb T}^{k^i})\}, $

赋予范数

$||u||_i:=||u||_0+||u^\Delta||_0+\cdots+||u^{\Delta^i}||_0, $

其中

$||u^{\Delta^i}||_0:=\sup\{|u^{\Delta^i}(t)|\ |\ t\in{\Bbb T}^{k^i}\}.$

首先, $0$是问题$(1.3)$的解.我们称使问题$(1.3)$有非零解的$\lambda$值为该问题的特征值, 而相应的非零解称为该问题对应于$\lambda$的特征函数.

定理3.1^{[7, 定理4.5]} 设$f\in C_{\rm{rd}}^0(\mathbb{T})$, $t_0\in\mathbb{T}^k$, $x_0$和$x_0^\Delta $是给定的常数.若$p\in C_{\rm{rd}}^1(\mathbb{T}^k), \, q\in C_{\rm{rd}}^0(\mathbb{T}^{k^2})$, 且$p(t)\neq 0, \, t\in\mathbb{T}^k$, 则初值问题

$\begin{eqnarray*} (px^\Delta )^\Delta (t)+q(t) x^\sigma (t)=f(t),  x(t_0)=x_0, x^\Delta (t_0)=x_0^\Delta \end{eqnarray*}$

在$\mathbb{T}$上存在惟一解.

注3.1 根据定理3.1, 对$\forall\, t_0\in\mathbb{T}^k$, 初值问题

$\begin{eqnarray*} Lu(t)+\lambda r(t) u^\sigma (t)=0,  u(t_0)=0, u^\Delta (t_0)=0 \end{eqnarray*}$

在$\mathbb{T}$上只有零解.

命题3.1 问题(1.3) 的所有特征值都是简单的.

证 需证对应于每个特征值的特征函数除一个常数因子外是惟一确定的.

设$\lambda$是问题(1.3) 的任意一个特征值, 而$u(t), v(t)$是对应于$\lambda$的两个特征函数, 则$u, v$都是方程$(1.3)$的非零解, 且满足

$\begin{eqnarray*} && \alpha_1u(a)+\alpha_2p(a)u^\Delta (a)=0, \\ && \alpha_1v(a)+\alpha_2p(a)v^\Delta (a)=0. \end{eqnarray*}$

这是关于$\alpha_1$和$\alpha_2$的齐次线性方程组.因为$\alpha_1^2+\alpha_2^2>0$, 所以这个方程组的系数行列式必为零.从而$u(t), v(t)$在$\mathbb{T}$上是线性相关的.即存在常数$c\neq 0$, 使得$u(t)=cv(t), t\in \mathbb{T}$.

对任意$u, v\in C_{\rm{rd}}^2(\mathbb{T}^{k^2})$, 定义$u, v$的加权Wronskian

$\begin{equation}\label{eW} W_p(u, v)=p[uv^\Delta-vu^\Delta]. \end{equation}$

(3.1)

引理3.1 (Lagrange恒等式)^{[7, 定理4.30]} 设$u, v\in C_{\rm{rd}}^2(\mathbb{T}^{k^2})$.则成立

$\begin{equation}\label{eL} (Lv)u^\sigma -(Lu)v^\sigma =W_p^\Delta (u, v),  t\in\mathbb{T}^{k^2}. \end{equation}$

(3.2)

对任意$u, v\in C_{\rm{rd}}^2(\mathbb{T}^{k^2})$, 成立

$\begin{eqnarray*} W_p(u, v)(a)=0,  && \mbox{当}\ R_1u=R_1v=0, \\ W_p(u, v)(\rho(b))=0,  && \mbox{当}\ R_2u=R_2v=0. \end{eqnarray*}$

因此当$u, v$是边值问题$(1.3)$的两个解, 根据Lagrange恒等式(3.2), 必有

$\begin{equation}\label{eG} \int_a^{\rho(b)} (Lv)u^\sigma \Delta t-\int_a^{\rho(b)}(Lu)v^\sigma \Delta t=0. \end{equation}$

(3.3)

称(3.3) 式为Green公式.

命题3.2 问题(1.3) 的所有特征值都是实数.

证 设与特征值$\lambda=\alpha+{\rm i}\beta$对应的特征函数为

$u(t)=u_1(t)+{\rm i}u_2(t).$

以下证明$\beta=0$.

因为$u(t)$满足方程$Lu+\lambda r u^\sigma =0, t\in\mathbb{T}^{k^2}$, 即

$L(u_1+{\rm i}u_2)+(\alpha+{\rm i}\beta)r(u_1^\sigma +{\rm i}u_2^\sigma )=0,  t\in\mathbb{T}^{k^2}.$

从而得

$ Lu_1+\alpha ru_1^\sigma -\beta ru_2^\sigma =0,  Lu_2+\alpha ru_2^\sigma +\beta ru_1^\sigma =0. $

以$u_2^\sigma $乘第一式, $u_1^\sigma $乘第二式, 然后相减, 得

$\beta r [(u_1^\sigma )^2+(u_2^\sigma )^2]=(Lu_1)u_2^\sigma -(Lu_2)u_1^\sigma .$

根据算子$L$和$R_1$, $R_2$的线性性, 当$u$是边值问题$(1.3)$的解时, $u_1$和$u_2$也是边值问题$(1.3)$的解.根据(3.3) 式, 有

$\beta \int_a^{\rho(b)} r(t) [(u_1^\sigma )^2+(u_2^\sigma )^2](t)\Delta t =\int_a^{\rho(b)} (Lu_1)(t)u_2^\sigma (t)\Delta t-\int_a^{\rho(b)} (Lu_2)(t)u_1^\sigma (t)\Delta t=0.$

因为$u$是边值问题$(1.3)$的特征函数, 所以

$(u_1^\sigma )^2(t)+(u_2^\sigma )^2(t)\not\equiv 0,  t\in\mathbb{T}^k.$

又$r(t)>0, \, t\in\mathbb{T}^{k^2}$, 所以$\beta=0$.

考虑初值问题

$\begin{equation}\label{eI} Lu+\lambda ru^\sigma =0,  u(a)=-\alpha_2, \ p(a)u^\Delta (a)=\alpha_1. \end{equation}$

(3.4)

根据定理3.1, 若记初值问题(3.4) 的惟一解为$u(t, \lambda)$, 则$u(t, \lambda)\not\equiv 0, t\in\mathbb{T}$, 且满足

$\begin{equation}\label{eB1} Lu+\lambda ru^\sigma =0,  R_1u=0. \end{equation}$

(3.5)

从而满足$R_2u(t, \lambda)=0$的$\lambda$是问题(1.3) 的所有特征值.

设$S$是一个点集.记$|S|$为$S$中点的个数.记

$\rm{def}\, M:=dimker\, M, $

则有以下性质.

命题3.3 当$\mathbb{T}^0$上的所有点均为lsrs点时, 问题(1.3) 恰有

$\big|\, \mathbb{T}^0\big|-\rm{def}\, (\alpha_2-\alpha_1\frac{\mu(a)}{\textit{p}(a)})-\rm{def}\, \beta_2 $

个特征值.

证 对任意$t\in\mathbb{T}^k$, 由于$t$是rs的, 所以

$u^\Delta (t)=\frac{u^\sigma (t)-u(t)}{\mu(t)}.$

因此改写方程

$\begin{equation}\label{eE} Lu+\lambda r u^\sigma =0,  t\in\mathbb{T}^{k^2} \end{equation}$

(3.6)

为

$p^\Delta (t)\frac{u^\sigma (t)-u(t)}{\mu(t)}+p^\sigma (t)\frac{u^\Delta (\sigma (t))-u^\Delta (t)} {\mu(t)}-[q(t)-\lambda r(t)]u^\sigma (t)=0,  t\in\mathbb{T}^{k^2}.$

代入

$ u^\Delta (\sigma (t))=\frac{u(\sigma ^2(t))-u^\sigma (t)}{\mu(\sigma (t))},  p^\sigma (t)=p(t)+\mu(t)p^\Delta (t), $

整理得

$\begin{eqnarray*} u(\sigma ^2(t))&=&\Big\{1+\frac{\mu(\sigma (t))}{\mu(t)}\frac{p(t)}{p^\sigma (t)} +\frac{q(t) -\lambda r(t)}{p^\sigma (t)}\mu(t)\mu(\sigma (t))\Big\}u^\sigma (t) \\ &&-\frac{\mu(\sigma (t))}{\mu(t)}p(t)u(t),  t\in\mathbb{T}^{k^2}, \end{eqnarray*}$

进一步得

$\begin{eqnarray}\label{eABC} u(\sigma ^2(t))&=&\Big[1+\frac{\mu(\sigma (t))}{\mu(t)}\frac{p(t)}{p^\sigma (t)}+\frac{q(t)}{p^\sigma (t)} \mu(t)\mu(\sigma (t))\Big]u^\sigma (t)\\ &&-\frac{\mu(\sigma (t))}{\mu(t)}p(t)u(t)-\frac{r(t)}{p^\sigma (t)} \mu(t)\mu(\sigma (t))u^\sigma (t)\lambda\\ & :=& A(\sigma ^2(t))u^\sigma (t))+B(\sigma ^2(t))u(t)+C(\sigma ^2(t))u^\sigma (t) \lambda,  t\in\mathbb{T}^{k^2}, \end{eqnarray}$

(3.7)

这里

$C(\sigma ^2(t)):=-\frac{r(t)}{p^\sigma (t)} \mu(t)\mu(\sigma (t))<0,  t\in\mathbb{T}^{k^2}.$

因为$u(\cdot, \lambda)\not\equiv 0$是初值问题(3.4) 的解, 满足$R_1u(t, \lambda)=0$, 所以

$\begin{equation}\label{eDT} 0=\alpha_1u(a, \lambda)+\alpha_2 p(a)u^\Delta (a, \lambda) =\frac{\alpha_1\mu(a)-\alpha_2 p(a)}{\mu(a)}u(a, \lambda) +\frac{\alpha_2p(a)}{\mu(a)}u(\sigma (a), \lambda). \end{equation}$

(3.8)

当$\alpha_2\neq 0$时, 有$\alpha\neq 0$.分两种情形讨论.

情形1. $\alpha_2\neq\frac{\alpha_1\mu(a)}{p(a)}$.

此时, 由(3.8) 式得

$\begin{eqnarray*} u(\sigma (a), \lambda)=\Big[\frac{\alpha_1}{\alpha_2}\frac{\mu(a)}{p(a)}-1\Big] u(a, \lambda) :=A_0\neq0. \end{eqnarray*}$

又$u(\cdot, \lambda)$满足(3.7) 式, 所以

$\begin{eqnarray*} u(\sigma ^2(a), \lambda)&=&A(\sigma ^2(a))u(\sigma (a), \lambda)+B(\sigma ^2(a))u(a, \lambda) +C(\sigma ^2(a))u(\sigma (a), \lambda)\, \lambda\\ &=&A(\sigma ^2(a))A_0+B(\sigma ^2(a))\sin\alpha +C(\sigma ^2(a))A_0\, \lambda\\ &:=&A_{10}+A_{11}\lambda, \end{eqnarray*}$

这里$A_{11}:=C(\sigma ^2(a))A_0\neq 0$.再次应用(3.7) 式, 同理可得

$\begin{eqnarray*} u(\sigma ^3(a), \lambda)&=&A(\sigma ^3(a))u(\sigma ^2(a), \lambda)+B(\sigma ^3(a))u(\sigma (a), \lambda) +C(\sigma ^3(a))u(\sigma ^2(a), \lambda)\, \lambda\\ &=&A(\sigma ^3(a))(A_{10}+A_{11}\lambda)+B(\sigma ^3(a))A_0 +C(\sigma ^3(a))(A_{10}+A_{11}\lambda)\, \lambda\\ &=&[A(\sigma ^3(a))A_{10}+B(\sigma ^3(a))A_0]+[A(\sigma ^3(a))A_{11} +C(\sigma ^3(a))A_{10}]\lambda\\ & &+C(\sigma ^3(a))A_{11}\lambda^2\\ &:=&A_{20}+A_{21}\lambda+A_{22}\lambda^2, \end{eqnarray*}$

这里$A_{22}:=C(\sigma ^3(a))A_{11}\neq 0$.

依此类推, 当$\sigma ^n(a)\in\mathbb{T}^k$时, 存在常数$A_{nn}\neq 0$及常数$A_{ni}, \, i=0, 1, \cdots, n-1$, 使得

$u(\sigma ^{n+1}(a), \lambda)=A_{n0}+A_{n1}\lambda+A_{n2}\lambda^2+\cdots+A_{nn}\lambda^n.$

由此得知

$\begin{equation}\label{Po1} u(\rho(b), \lambda)\ \mbox{是关于}\ \lambda\ \mbox{的}\ \big|\, \mathbb{T}^0\big|-1\ \mbox{次多项式}; \end{equation}$

(3.9)

$\begin{equation}\label{Po2} u(b, \lambda)\ \mbox{是关于}\ \lambda\ \mbox{的}\ \big|\, \mathbb{T}^0\big|\ \mbox{次多项式}. \end{equation}$

(3.10)

情形2. $\alpha_2=\frac{\alpha_1\mu(a)}{p(a)}$.

此时, $u(\sigma (a), \lambda)=0$, 从而由$u(\cdot, \lambda)\not\equiv 0$知$u(\sigma ^2(a), \lambda)\neq 0$.令

$u(\sigma ^2(a), \lambda)=A_1\neq 0.$

同情形1的讨论, 有

$\begin{eqnarray*} u(\sigma ^3(a), \lambda)&=&A(\sigma ^3(a))u(\sigma ^2(a), \lambda)+B(\sigma ^3(a))u(\sigma (a), \lambda) +C(\sigma ^3(a))u(\sigma ^2(a), \lambda)\, \lambda\\ &=&A(\sigma ^3(a))A_1+C(\sigma ^3(a))A_1\lambda\\ &:=&A_{20}'+A_{21}'\lambda, \end{eqnarray*}$

这里$A_{21}':=C(\sigma ^3(a))A_1\neq 0$.

依此类推, 有

$\begin{equation}\label{Po3} u(\rho(b), \lambda)\ \mbox{是关于}\ \lambda\ \mbox{的}\ \big|\, \mathbb{T}^0\big|-2\ \mbox{次多项式}; \end{equation}$

(3.11)

$\begin{equation}\label{Po4} u(b, \lambda)\ \mbox{是关于}\ \lambda\ \mbox{的}\ \big|\, \mathbb{T}^0\big|-1\ \mbox{次多项式}. \end{equation}$

(3.12)

当$\alpha_2=0$时, 有$\alpha= 0$, 故$u(a, \lambda)=0$.根据

$1=p(a)u^\Delta (a, \lambda)=p(a)\frac{u(\sigma (a), \lambda)-u(a, \lambda)} {\mu(a)}=\frac{p(a)}{\mu(a)}u(\sigma (a), \lambda), $

知

$u(\sigma (a), \lambda)=\frac{\mu(a)}{p(a)}>0.$

同$\alpha_2\neq 0$时情形1的讨论, 此时(3.9) 和(3.10) 式成立.

因为满足$R_2u(t, \lambda)=0$的$\lambda$是问题(1.3) 的所有特征值, 所以考察$R_2u(t, \lambda)$.

$\begin{eqnarray*} R_2u(t, \lambda)&=&\beta_1 u(\rho(b), \lambda)+\beta_2 p(\rho(b))u^\Delta (\rho(b), \lambda)\\ &=&\beta_1 u(\rho(b), \lambda)+\beta_2 p(\rho(b))\frac{u(b, \lambda)- u(\rho(b), \lambda)}{\mu(\rho(b))}\\ &=&\frac{1}{\mu(\rho(b))}\big\{[\beta_1 \mu(\rho(b))-\beta_2 p(\rho(b))]u(\rho(b), \lambda) +\beta_2 p(\rho(b))u(b, \lambda)\big\}. \end{eqnarray*}$

当$\beta_2\neq 0$时, 若$\{\alpha_2\neq 0$且$\alpha_2\neq\frac{\alpha_1\mu(a)}{p(a)}\}$或者$\alpha_2=0$, 有

$\begin{eqnarray*} R_2u(t, \lambda)\ \mbox{是关于}\ \lambda\ \mbox{的}\ \big|\, \mathbb{T}^0\big|\ \mbox{次多项式;} \end{eqnarray*}$

若$\alpha_2=\frac{\alpha_1\mu(a)}{p(a)}$, 有

$\begin{eqnarray*} R_2u(t, \lambda)\ \mbox{是关于}\ \lambda\ \mbox{的}\ \big|\, \mathbb{T}^0\big|-1\ \mbox{次多项式.} \end{eqnarray*}$

当$\beta_2=0$时, 由于$\beta_1\neq 0$.则若$\{\alpha_2\neq 0$且$\alpha_2\neq\frac{\alpha_1\mu (a)}{p(a)}\}$或者$\alpha_2=0$, 有

$\begin{eqnarray*} R_2u(t, \lambda)\ \mbox{是关于}\ \lambda\ \mbox{的}\ \big|\, \mathbb{T}^0\big|-1\ \mbox{次多项式;} \end{eqnarray*}$

若$\alpha_2=\frac{\alpha_1\mu(\rho(a))}{p(\rho(a))}$, 有

$\begin{eqnarray*} R_2u(t, \lambda)\ \mbox{是关于}\ \lambda\ \mbox{的}\ \big|\, \mathbb{T}^0\big|-2\ \mbox{次多项式.} \end{eqnarray*}$

综述可得, 特征值问题(1.3) 恰有

$\big|\, \mathbb{T}^0\big|-\rm{def}\, (\alpha_2-\alpha_1\frac{\mu(a)}{\textit{p}(a)}) -\rm{def}\, \beta_2$

个特征值.

注3.2 文献[5]中定理8是命题3.3当$r(t)\equiv 1$时的特殊情形.

本节研究问题(1.3) 的特征函数的零点分布问题.在讨论这个问题之前, 先建立关于解的零点分布的Sturm比较定理和分离定理, 常微分方程情形下的这两个定理是1836年Sturm^[12]首先提出的, 它们是定性理论中最著名的两个定理.

首先, 引入零点分布的这两个核心定理.

设$\tau\in\mathbb{R}$, $\eta_\tau$与$\omega_\tau$由(2.1) 式定义.定义

$\rho_\tau:=\sup\{t\in{\Bbb T}\, |\, t<\tau\},  \sigma _\tau:=\inf\{t\in{\Bbb T}\, |\, t>\tau\}.$

则$\rho_\tau\leq\eta_\tau\leq\tau\leq\omega_\tau\leq\sigma _\tau$.当$\tau\in\mathbb{T}$时, 成立$\rho_\tau=\rho(\tau), \, \sigma _\tau=\sigma (\tau);\, \eta_\tau=\tau=\omega_\tau$.对算子$Lu=(pu^\Delta )^\Delta -qu^\sigma, \, u\in C_{\rm{rd}}^2(\mathbb{T}^{k^2})$, 我们建立并证明以下结果.

引理4.1 (Sturm比较定理) 设$s<r\in\mathbb{R}$, $x, y\in C_{\rm{rd}}^2(\mathbb{T}^{k^2})$满足以下条件:

$(A1)$ $\frac{(Lx)}{x^\sigma }\leq\frac{(Ly)}{y^\sigma }$, $ \forall\ t\in I:= \left\{\begin{array}{ll} {[}\eta_s, \rho_r)_\mathbb{T}, &r\in\mathbb{T}\\ {[}\eta_s, \eta_r)_\mathbb{T}, &r\notin\mathbb{T} \end{array}\right.$及$x^\sigma (t)y^\sigma (t)\neq 0$;

$(A2)$ $s$和$r$是$y$相邻的两个广义零点;

$(A3)$若$(s, r)_\mathbb{T}=\emptyset$, 则$y(r)\neq 0$,

则$x$在$[\eta_s, \omega_r]$上至少有一个广义零点.

注4.1 在文献[4, 定理3.13]中, Erbe和Hilger对算子L已经建立了Sturm比较定理.然而, 由于他们给出的广义零点的概念与本文不同, 所以就本文讨论而言, 有必要针对新的广义零点的定义2.8, 给出Sturm比较定理新的形式和证明.

注4.2 当$s$和$r$是$y$的两个简单广义零点时, 根据简单广义零点的定义, 条件$(A3)$是自然成立的.这种情形下Sturm比较定理的内容和证明可以相应简化.

证 反设$x$在$[\eta_s, \omega_r]$上没有广义零点, 则不妨设

$x(t)>0,  t\in[\eta_s, \omega_r]_\mathbb{T}.$

根据条件$(A2)$和$(A3)$, 可设

$ y(t)>0, \forall t\in J:=\left\{\begin{array}{ll} (\omega_s, \eta_r)_{{\Bbb T}}, & s\in{\Bbb T}, r\in{\Bbb T}, \\ {[}\omega_s, \eta_r)_{{\Bbb T}}, & s\notin{\Bbb T}, r\in{\Bbb T}, \\ (\omega_s, \eta_r]_{{\Bbb T}}, & s\in{\Bbb T}, r\notin{\Bbb T}, \\ {[}\omega_s, \eta_r]_{{\Bbb T}}, & s\notin{\Bbb T}, r\notin{\Bbb T}. \end{array}\right. $

($y(t)<0, \, t\in J$的情形类似讨论).则$J\neq\emptyset$.

令

${\cal I}(t)\ :\ (Lx)(t)y^\sigma (t)\leq(Ly)(t)x^\sigma (t).$

以下证明${\cal I}(t)$对任意$t\in I$都成立.

事实上, 根据条件$(A1)$, 只需证明当$t\in I$时, 成立$x^\sigma (t)y^\sigma (t)\neq 0$.因为$t\in I$时, $\sigma (t)\in[\eta_s, \omega_r]_\mathbb{T}$, 所以$x^\sigma (t)>0$.因此只需证$\sigma (t)\in J, \, t\in I$.此处分情形讨论.

当$s, r\in\mathbb{T}$时,

(1) $\eta_r=r$是$ld$的.则$t\in(\eta_s, \rho_r)_{{\Bbb T}}=(\eta_s, \eta_r)_{{\Bbb T}} \Rightarrow \sigma (t)\in(\omega_s, \eta_r)_{{\Bbb T}}=J$;

(2) $\eta_r=r$是$ls$的.则$t\in(\eta_s, \rho(\eta_r))_{{\Bbb T}} \Rightarrow \sigma (t)\in(\omega_s, \eta_r)_{{\Bbb T}}=J$;

(3) $\eta_s=s$是$rs$的.则$\sigma (\eta_s) \in(\omega_s, \eta_r)_{{\Bbb T}}=J$;

(4) $\eta_s=s$是$rd$的.则由${\cal I}(t)$连续知${\cal I}(\eta_s)$成立.

当$s\notin\mathbb{T}, \, r\notin\mathbb{T}$时, $\eta_s$是$rs$的且$\sigma (\eta_s)=\omega_s\in[\omega_s, \eta_r]_{{\Bbb T}}=J$.

(1) $\eta_r$是$ld$的.则$t\in[\eta_s, \eta_r)_{{\Bbb T}} \Rightarrow \sigma (t)\in[\omega_s, \eta_r)_{{\Bbb T}}\subset J$;

(2) $\eta_r$是$ls$的.则$t\in[\eta_s, \eta_r)_{{\Bbb T}} \Rightarrow \sigma (t)\in[\omega_s, \eta_r]_{{\Bbb T}}=J$.

其它两种情形可类似讨论.总成立$\sigma (t)\in J, \, t\in I$.

定义函数$W: \mathbb{T}\to \mathbb{R}$:

$W(t):=W_p(x, y)(t)=p(t)[y^\Delta x-x^\Delta y](t).$

根据Lagrange恒等式(3.2) 和上面的讨论, 成立

$W^\Delta (t)=(Ly)(t)x^\sigma (t)-(Lx)(t)y^\sigma (t)\geq 0,  t\in I.$

因此, $W$在$t\in \left\{\begin{array}{ll} {[}\eta_s, \rho_r]_\mathbb{T}, & r\in\mathbb{T}\\ {[}\eta_s, \eta_r]_\mathbb{T}, & r\notin\mathbb{T} \end{array}\right.$上是单调不减的.

以下分两种情形讨论.

情形1. $r\in\mathbb{T}$, 即$y(r)=0$.此时成立

$W(\eta_s)=\left\{\begin{array}{ll}p(\eta_s)[\underbrace{y^\Delta (\eta_s)}_{\geq 0}\underbrace{x(\eta_s)}_{>0}-x^\Delta (\eta_s)\underbrace{y(\eta_s)}_{=0}]\geq 0, & s\in\mathbb{T}, \\[4mm] \frac{p(\eta_s)}{\mu(\eta_s)}[\underbrace{y^\sigma (\eta_s)}_{>0} \underbrace{x(\eta_s)}_{>0}-\underbrace{x^\sigma (\eta_s)}_{>0}\underbrace{y(\eta_s)}_{<0}]>0, & s\notin\mathbb{T}. \end{array}\right.$

对于$\rho(r)=r$, 由于$y(t)>0, \, t\in J$, $y(r)=0$且$y^{\Delta}$连续, 所以

$y^\Delta (\rho(r))=y^\Delta (r)\leq 0.$

因此,

$W(\rho(r))=\left\{\begin{array}{ll}p(\rho(r))[\underbrace{y^\Delta (\rho(r))}_{\leq0}\underbrace{x(\rho(r))}_{>0}-x^\Delta (\rho(r))\underbrace{y(\rho(r))}_{=0}]\leq 0, & \rho(r)=r, \\[4mm] \frac{p(\rho(r))}{\mu(\rho(r))}[\underbrace{y^\sigma (\rho(r))}_{=0}x(\rho(r))-\underbrace{x^\sigma (\rho(r))}_{>0}\underbrace{y(\rho(r))}_{>0}]<0, & \rho(r)<r. \end{array}\right.$

易见当$\{s\in\mathbb{T}, \, \rho(r)<r\}$或$\{s\notin\mathbb{T}\}$时, 以上结果都与$W$的单调性矛盾.而当$\{s\in\mathbb{T}, \, \rho(r)=r\}$时, 根据$W$的单调性, 只可能成立

$W(t)\equiv 0,  t\in[\eta_s, \rho(r)]_\mathbb{T}=[s, r]_\mathbb{T}, $

从而

$\big[\frac{y}{x}\big]^\Delta (t)=\frac{y^\Delta (t)x(t)-x^\Delta (t)y(t)}{x(t)x^\sigma (t)}=\frac{W(t)}{p(t) x(t)x^\sigma (t)}\equiv 0,  t\in [s, r]_\mathbb{T}, $

即$y/x$在$[s, r]_\mathbb{T}$上恒为常值.根据条件$(A2)$, $s$与$r$也是$x$的广义零点, 这与我们的反设矛盾.

情形2. $r\notin\mathbb{T}$.此时$\sigma (\eta_r)=\omega_r$, $y(\eta_r)y(\omega_r)<0$.同情形1的讨论, 可得

$W(\eta_s)\geq 0.$

因为$y(\eta_r)>0$, 所以$y(\omega_r)<0$, 从而

$W(\eta_r)=\frac{p(\eta_r)}{\mu(\eta_r)}[\underbrace{y^\sigma (\eta_r)}_{<0}\underbrace{x(\eta_r)}_{>0}-\underbrace{x^\sigma (\eta_r)}_{>0}\underbrace{y(\eta_r)}_{>0}]<0, $

这与$W$的单调性矛盾.

综述得, $x$在$[\eta_s, \omega_r]$上至少有一个广义零点.

推论4.1 (Sturm-Picone定理) 设$r_1, \, r_2\in C_{\rm{rd}}^0(\mathbb{T})$, $u$和$v$分别是

$Lu+r_1(t)u^\sigma =0 \mbox{和} Lv+r_2(t)v^\sigma =0$

的非零解, $s<r, \, s, r\in\mathbb{R}$是$u$的两个广义零点.则当$r_1\leq r_2$时, $v$在$[\eta_s, \omega_r]$上至少有一个广义零点.

引理4.2 设$u$和$v$是$Lu=0$的两个非零解, $t_0\in\mathbb{T}$是$u$和$v$公共的广义零点, 则$u$和$v$线性相关.

证 当$t_0\in\mathbb{T}$时, 有$u(t_0)=v(t_0)=0$.根据注3.1, 知$u^\Delta (t_0)\neq 0, \, v^\Delta (t_0)\neq 0$.选取$c_1, \, c_2$不全为零, 使得

$c_1u^\Delta (t_0)+c_2v^\Delta (t_0)=0.$

则$c_1u+c_2v$满足

$ L(c_1u+c_2v)=0, \ (c_1u+c_2v)(t_0)=0, \ (c_1u+c_2v)^\Delta (t_0)=0, $

从而得$(c_1u+c_2v)(t)\equiv 0, \, t\in \mathbb{T}$.这说明$u$和$v$线性相关.

当$t_0\notin\mathbb{T}$时, 有$u(\eta_{t_0})u^\sigma (\eta_{t_0})<0, \, v(\eta_{t_0})v^\sigma (\eta_{t_0})<0$.注意到$\sigma (\eta_{t_0})=\omega_{t_0}$, 结合定义2.8, 利用相似三角形对应边成比例的性质, 可得

$v(\omega_{t_0})u(\eta_{t_0})-u(\omega_{t_0})v(\eta_{t_0})=0.$

故

$ v^\Delta (\eta_{t_0})u(\eta_{t_0})-u^\Delta (\eta_{t_0})v(\eta_{t_0}) =\frac{1}{\mu(\eta_{t_0})}[v(\omega_{t_0})u(\eta_{t_0})-u(\omega_{t_0})v(\eta_{t_0})] = 0. $

从而存在不全为零的常数$c_3, \, c_4$, 满足

$c_3u(\eta_{t_0})+c_4v(\eta_{t_0})=0,  c_3u^\Delta (\eta_{t_0})+c_4v^\Delta (\eta_{t_0})=0.$

因此$(c_3u+c_4v)(t)\equiv 0, \, t\in \mathbb{T}$.即$u$和$v$线性相关.

推论4.2 (Sturm分离定理) $Lu=0$的任何两个线性无关的解的广义零点是相互分离的.

以下研究特征值问题(1.3) 的特征函数的零点分布问题.

设$\lambda_k$是问题(1.3) 的一个特征值, 对应的特征函数为$u_k=u(\cdot, \lambda_k)$.

命题4.1 $u_k$有至多可列多个广义零点且都是简单广义零点.

证 设$t_0\in\mathbb{T}$是$u_k$的一个广义零点.当$t_0\notin\mathbb{T}$时, 有$u_k(\eta_{t_0})u_k(\omega_{t_0})<0$, 在$(\eta_{t_0}, \omega_{t_0})$内只有$t_0$一个广义零点.当$t_0\in\mathbb{T}$时, 由注3.1知$u_k^\Delta (t_0)\neq 0$.因此$u_k$的广义零点是简单的且是至多可列多个.

以下记$u_k$的简单广义零点列为

$t_1<t_2<\cdots<t_n<\cdots<t_m.$

当零点个数无限时, 记$t_m=b$, $m>n$.

引理4.3 设$\nu\in\{-, +\}$, 且当$u_k(t)>0$, $t\in(t_1, t_2)_\mathbb{T}$时, 取$\nu=-$.当$u_k(t)<0$, $t\in(t_1, t_2)_\mathbb{T}$时, 取$\nu=+$.则

$\begin{equation}\label{CS} \nu\, (-1)^l\, u_k(t)>0,  t\in(t_l, t_{l+1})_\mathbb{T}, l\in\{1, 2, \cdots, m-1\}. \end{equation}$

(4.1)

证 根据简单广义零点的定义2.8, 可知对$l\in\{1, 2, \cdots\}$, 有$(t_l, t_{l+1}) _\mathbb{T}\neq\emptyset$, 且$u_k$在$(t_l, t_{l+1})_\mathbb{T}$上不改变符号.以下只需证明对任$l\in\{2, 3, \cdots, m-1\}$, 当$t$越过$t_l$时, $u_k$将改变符号.

任意取定$l\in\{2, 3, \cdots\}$.如果$t_l\notin\mathbb{T}$, 那么$u_k(\eta_{t_l})u_k(\omega_{t_l})<0$.所以结论成立.

当$t_l\in\mathbb{T}$, 则$u_k(t_l)=0, \, u_k^\Delta (t_l)\neq 0$.以下分情形讨论.

情形1. $\rho(t_l)=t_l<\sigma (t_l)$.

不失一般性, 可以假设对某些$s<t_l$, 成立$u_k(t)>0$, $t\in [s, t_l)_\mathbb{T}$.如果$u_k(\sigma (t_l)) >0$, 则

$u_k^\Delta (t_l)=\frac{u_k(\sigma (t_l))-u_k(t_l)}{\sigma (t_l)-t_l}>0.$

然而对$t<t_l, \, t\to t_l$, 有$u_k^\Delta (t)\le 0$, 这与$u_k^\Delta $的连续性矛盾.因此, 成立$u_k\sigma (t_l)<0$.

情形2. $\rho(t_l)<t_l=\sigma (t_l)$.

不失一般性, 可以假设$u_k(\rho(t_l))>0$.如果存在$s>t_l$, 使得$u_k(t)>0, \, t\in(t_l, s]_\mathbb{T}$, 则

$\begin{eqnarray*} 0=q(\rho(t_l))u_k(t_l)-\lambda_k r(\rho(t_l))u_k(t_l) =(pu_k^\Delta )^\Delta (\rho(t_l)) =\frac{p(t_l)u_k^\Delta (t_l)-p(\rho(t_l))u^\Delta (\rho(t_l))}{\mu(\rho(t_l))}, \end{eqnarray*}$

从而

$ u_k^\Delta (t_l)=\frac{p(\rho(t_l))}{p(t_l)}u_k^\Delta (\rho(t_l))= \frac{p(\rho(t_l))}{p(t_l)}\, \frac{u_k(t_l)-u_k(\rho(t_l))}{\mu(\rho(t_l))}<0, $

这与$u_k(t)>0, \, t\in(t_l, s]_\mathbb{T}$矛盾.

情形3. $\rho(t_l)<t_l<\sigma (t_l)$.

$\begin{eqnarray*} 0=u_k^\Delta {^\Delta }(\rho(t_l)) &=&\frac{1}{\mu(\rho(t_l))}\big[\frac{u_k(\sigma (t_l))-u_k(t_l)}{\mu(t_l)}-\frac{u_k(t_l)-u_k(\rho(t_l))}{\mu(\rho(t_l))}\big] \\ &:=&\alpha u_k(\sigma (t_l))+\beta u_k(\rho(t_l)). \end{eqnarray*}$

所以, 根据$\alpha, \, \beta>0$, 有$u_k(\rho(t_l))u_k(\sigma (t_l))\leq 0$.如果$u_k(\rho(t_l))u_k(\sigma (t_l))=0$, 那么根据注3.1和$u_k(t_l)=0$, 有$u_k\equiv 0$, 这与$u_k$是非零解矛盾.所以$u_k(\rho(t_l))u_k(\sigma (t_l))<0$.

情形4. $\rho(t_l)=t_l=\sigma (t_l)$.

不失一般性, 可以假设对某些$s_1<t_l$, $s_2>t_l$, 成立$u_k(t)>0, \, t\in[s_1, t_l)_\mathbb{T}$, $u_k(t)>0, \, t\in(t_l, s_2]_\mathbb{T}$.则根据$u_k^\Delta $连续知$u_k^\Delta (t_l)=0$, 而已知$u_k(t_l)=0$, 根据注3.1, 得$u_k\equiv 0$.这与$u_k$是非零解矛盾.

综述得, 当$t$越过$t_l$时, $u_k$将改变符号.

命题4.2 $u_k$只有有限个简单广义零点.

证 根据性质4.1, 只需证明$u_k$的简单广义零点不可能是可列多个.反设$a\leq t_1<t_2<\cdots<t_n<\cdots\leq b$是$u_k$的可列多个简单广义零点, 则$\{t_n\}$有收敛子列, 仍记作$\{t_n\}$.设

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {t_n} = {t_0} \in [a,b].$

(4.2)

则一定有$t_0\in\mathbb{T}$.如果在$t_0$的任意邻域内都有$n$, 满足$t_n\notin\mathbb{T}$.根据引理4.3, 每过一个广义零点, $u_k$的符号将会改变一次, 从而在$t_0$的任意邻域内, 总有$s_1, \, s_2$, 使得$u_k^\Delta (s_1)>0$, $u_k^\Delta (s_2)<0$.这与$u_k^\Delta (t_0)$存在且$u_k^\Delta (t)$连续矛盾.因此存在$N$, 当$n>N$时, 有$t_n\in\mathbb{T}$.即

$\begin{equation}\label{key1} u_k(t_n)=0,  n>N. \end{equation}$

(4.3)

因为$u_k$连续, 所以

$\begin{equation}\label{GZ} u_k(t_0)=\lim\limits_{n\to\infty}u_k(t_n)=0. \end{equation}$

(4.4)

下证$u_k^\Delta (t_0)=0$.

根据(4.2) 式, 首先$t_0$不是lsrs点.以下分三种情形讨论.

情形1. $\rho(t_0)=t_0<\sigma (t_0)$.

反设$u_k^\Delta (t_0)\neq 0$, 不妨设$u_k^\Delta (t_0)>0$, 则$u_k^\sigma (t_0)>0$.此时

$u_k^\Delta (t_0)=\frac{u_k\sigma (t_0)-u_k(t_0)}{\mu(t_0)}=\frac{u_k\sigma (t_0)} {\mu(t_0)}>0.$

但根据引理4.3, 也一定存在$t<t_0, \, t\to t_0$, 满足

$u_k^\Delta (t)\leq 0.$

这与$u_k$在$\mathbb{T}$上的连续性矛盾.从而$u_k^\Delta (t_0)=0$.

情形2. $\rho(t_0)<t_0=\sigma (t_0)$.

当$n\to\infty$时, 有$t_n>t_0, \, t_n\to t_0$.此时依据(4.3) 式, 成立

$u_k^\Delta (t_0)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_k(t_n)-u_k(t_0)}{t_n-t_0}=0.$

情形3. $\rho(t_0)=t_0=\sigma (t_0)$.

依据(4.3) 式, 直接有

$u_k^\Delta (t_0)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_k(t_n)-u_k(t_0)}{t_n-t_0}=0.$

综述得$u_k(t_0)=0$, $u_k^\Delta (t_0)=0$.根据注3.1, 可得$u_k(t) \equiv 0, \, t\in\mathbb{T}$.这与$u_k$是非零解矛盾.所以$u_k$只有有限个简单广义零点.

考虑到时标动态方程正解存在性的系统研究需要第一个正特征值和特征函数存在性理论的支撑, 所以本节继续深入讨论, 给出问题

$\begin{equation}\label{eD} \left\{\begin{array}{ll} Lu+\lambda r u^\sigma :=(pu^\Delta )^\Delta -qu^\sigma +\lambda r u^\sigma =0,  t\in\mathbb{T}^{k^2}, \\ u(a)=0, u(b)=0 \end{array}\right. \end{equation}$

(5.1)

存在最小正特征值$\lambda_1$, 对应特征函数$u_1$也为正的条件.这里$u_1$为正是指$u_1(t)>0, t\in\mathbb{T}^0$.

本节总假定$p, q, r$满足$(SL)$条件, 且

(H) $q(t)\geq 0, t\in\mathbb{T}^{k^2}$.

首先给出几个预备结果.这些结果选自文献[13-14].

定义5.1 设$B$是Banach空间, $P$是$B$的非空闭子集.如果以下两条成立：

(ⅰ)对$\forall\, \alpha, \, \beta\geq 0$和$u, \, v\in P$, 成立$\alpha u+\beta v\in P$,

(ⅱ)若$u, \, -u\in P$, 则$u=0$.

那么称$P$是$B$中的一个锥.若$B=P-P$, 则称$P$是再生锥.若${\rm{int}}(P)\neq\emptyset$, 称$P$是体锥.

Krasnosel'skii^[13]证明了体锥必是再生锥.

定义5.2 设$B$是Banach空间. $P\subset B$是体锥.设$A:\, B\to B$是线性算子.如果$A(P)\subset P$, 则称$A$是正的; 如果$A:\, P\backslash\{0\}\to{\rm{int}}(P)$, 则称$A$是强正的.

引理5.1 设$B$是Banach空间, $P\subset B$是体锥. $A:\, B\to B$是强正的全连续线性算子.则$r(A)>0$, $r(A)$是$A$的简单特征值, 对应的特征向量$v\in {\rm{int}}(P)$.

定义Banach空间

$B=\{\, u\in C^1(\mathbb{T})\, |\, u(a)=u(b)=0\, \}, $

其上范数取$||u||_B=\max\{\, ||u||_0, \, ||u^\Delta ||_0\, \}$.

定义$B$上的锥

$P=\{\, u\in B\, |\, u(t)\geq 0, \, t\in\mathbb{T}\, \}.$

根据文献[15]的引理3.1和推论3.1, 知${\rm{int}}(P)\neq\emptyset$, 从而$P$是体锥, 进而是再生锥.并且

$Q=\{\, u\in P\, |\, u(t)>0, \, t\in\mathbb{T}^0, u^\Delta (a)>0, \, u^\Delta (b)<0\, \}\subset {\rm{int}}(P).$

为方便讨论, 以下总假定$\rho(b)=b$.设$\phi(t), \, \psi(t)$分别是方程

$\begin{equation}\label{eq} Lu(t)=-(pu^\Delta )^\Delta (t)+q(t)u^\sigma (t)=0,  t\in\mathbb{T}^{k^2} \end{equation}$

(5.2)

在初值条件

$\begin{equation}\label{phi} \phi(a)=0, p(a)\phi^\Delta (a)=1 \end{equation}$

(5.3)

和

$\begin{equation}\label{psi} \psi(b)=0, p(b)\psi^\Delta (b)=-1 \end{equation}$

(5.4)

下的惟一解.记

$\begin{equation}\label{W} W_p[\psi, \, \phi](t)=p(t)[\psi(t)\phi^\Delta (t)-\phi(t)\psi^\Delta (t)]. \end{equation}$

(5.5)

引理5.2 $W_p[\psi, \, \phi](t)$在$t\in\mathbb{T}$上恒为常值.

证 对$t\in\mathbb{T}^k$, 成立

$\begin{eqnarray*} W_p^\Delta [\psi, \, \phi](t)&=&\psi^\sigma (t)[p(t)\phi^\Delta (t)]^\Delta +\psi^\Delta (t)p(t)\phi^\Delta (t)\\ && -\phi^\sigma (t)[p(t)\psi^\Delta (t)]^\Delta -\phi^\Delta (t)p(t)\psi^\Delta (t)\\ & =&\psi^\sigma (t)[q(t)\phi^\sigma (t)]-\phi^\sigma (t)[q(t)\psi^\sigma (t)]\\ & =&0. \end{eqnarray*}$

证毕.

记

$\begin{equation}\label{d} d:=W_p[\psi, \, \phi](t)=W_p[\psi, \, \phi](a)=W_p[\psi, \, \phi](b)=\psi(a)=\phi(b)\neq 0. \end{equation}$

(5.6)

注意到$d\neq 0$等价于齐次问题

$\begin{equation}\label{eDq} \left\{\begin{array}{ll} Lu(t)=0,  t\in\mathbb{T}^{k^2}, \\ u(a)=0, u(b)=0 \end{array}\right. \end{equation}$

(5.7)

只有零解.

引理5.3 设$h\in C_{\rm{rd}}^0(\mathbb{T})$.则边值问题

$\begin{equation}\label{eDfq} \left\{\begin{array}{ll} Lu(t)=h(t),  t\in\mathbb{T}^{k^2}, \\ u(a)=0, u(b)=0 \end{array}\right. \end{equation}$

(5.8)

的惟一解可表为

$\begin{equation}\label{solution} u(t)=\int_a^b G(t, s) h(s)\Delta s,  t\in\mathbb{T}, \end{equation}$

(5.9)

其中

$\begin{equation}\label{Green} G(t, s)=\frac 1d \left\{\begin{array}{ll} \phi(t)\psi^\sigma (s), & t\leq s, \\ \phi^\sigma (s)\psi(t), & \sigma (s)\leq t. \end{array}\right. \end{equation}$

(5.10)

证 因为齐次问题(5.7) 只有零解, 所以非齐次问题(5.8) 有惟一解.根据$\phi$和$\psi$满足的初值条件(5.3) 和(5.4), 容易验证$u(a)=u(b)=0$.综合(5.5), (5.6) 式和$\phi$, $\psi$满足的方程(5.2), 计算得

$\begin{eqnarray*} du(t)&=&\psi(t)\int_a^t \phi^\sigma (s)h(s)\Delta s +\phi(t)\int_t^b \psi^\sigma (s)h(s)\Delta s\\ du^\sigma (t)&=&\psi^\sigma (t)\int_a^{\sigma (t)}\phi^\sigma (s)h(s)\Delta s+\phi^\sigma (t)\int_{\sigma (t)} ^b\psi^\sigma (s)h(s)\Delta s\\ &=&[\psi^\sigma (t)\int_a^t\phi^\sigma (s)h(s)\Delta s+\phi^\sigma (t)\int_t^b\psi^\sigma (s)h(s)\Delta s]\\ &&+[\psi^\sigma (t)\int_t^{\sigma (t)}\phi^\sigma (s)h(s)\Delta s-\phi^\sigma (t)\int_t^{\sigma (t)} \psi^\sigma (s)h(s)\Delta s]\\ &=&[\psi^\sigma (t)\int_a^t\phi^\sigma (s)h(s)\Delta s+\phi^\sigma (t)\int_t^b\psi^\sigma (s)h(s)\Delta s]\\ && +[\psi^\sigma (t)\phi^\sigma (t)h(t)\mu(t)-\phi^\sigma (t)\psi^\sigma (t)h(t)\mu(t)]\\ du^\Delta (t)&=&\psi^\Delta (t)\int_a^t\phi^\sigma (s)h(s)\Delta s+\psi^\sigma (t)\phi^\sigma (t)h(t)\\ && +\phi^\Delta (t)\int_t^b\psi^\sigma (s)h(s)\Delta s-\phi^\sigma (t)\psi^\sigma (t)h(t)\\ &=&\psi^\Delta (t)\int_a^t\phi^\sigma (s)h(s)\Delta s+\phi^\Delta (t)\int_t^b\psi^\sigma (s)h(s)\Delta s\\ &=&\psi^\sigma (t)\int_a^t\phi^\sigma (s)h(s)\Delta s+\phi^\sigma (t)\int_t^b\psi^\sigma (s)h(s)\Delta s. \\ dp(t)u^\Delta (t)&=&p(t)\psi^\Delta (t)\int_a^t\phi^\sigma (s)h(s)\Delta s+p(t)\phi^\Delta (t)\int_t^b\psi^\sigma (s)h(s)\Delta s.\\ d(p(t)u^\Delta (t))^\Delta &=&(p(t)\psi^\Delta (t))^\Delta \int_a^t\phi^\sigma (s)h(s)\Delta s +p^\sigma (t)\psi^\Delta (\sigma (t))\phi^\sigma (t)h(t)\\ && +(p(t)\phi^\Delta (t))^\Delta \int_t^b\psi^\sigma (s)h(s)\Delta s -p^\sigma (t)\phi^\Delta (\sigma (t))\psi^\sigma (t)h(t)\\ &=&q(t)\psi^\sigma (t)\int_a^t\phi^\sigma (s)h(s)\Delta s+\phi^\sigma (t) \int_t^b\psi^\sigma (s)h(s)\Delta s]\\ && -W[\psi, \phi](\sigma (t))h(t)\\ &=&q(t)\, d\, u^\sigma (t)-d\, h(t). \end{eqnarray*}$

从而

$ -(pu^\Delta )^\Delta (t)+q(t)u^\sigma (t)=h(t). $

因此, (5.9) 式表示的$u$是问题(5.8) 的惟一解.

命题5.1 函数$\phi, \, \psi$满足

$\begin{eqnarray*} \phi(t)\geq 0, t\in\mathbb{T}, & \phi(t)>0, t\in\mathbb{T}\backslash\{a\},   & p(t)\phi^\Delta (t)\geq 0, t\in\mathbb{T}^k, \\ \psi(t)\geq 0, t\in\mathbb{T}, & \psi(t)>0, t\in\mathbb{T}\backslash\{b\},   & p(t)\psi^\Delta (t)\leq 0, t\in\mathbb{T}^k. \end{eqnarray*}$

证 应用时标上的前向归纳原理(引理2.7), 证明命题

$\begin{eqnarray*} A(t):\ \phi(t)\geq 0, p(t)\phi^\Delta (t)\geq 0 \end{eqnarray*}$

对每个有定义的$t\in\mathbb{T}$均成立.

(1) $A(a)$成立: $\phi(a)=0, p(a)\phi^\Delta (a)=1$.

(2) 设$\sigma (t)>t$且$A(t)$成立, 即$\phi(t)\geq 0, \, p(t)\phi^\Delta (t)\geq 0$.因为

$ \phi(\sigma (t))=\phi(t)+\phi^\Delta (t)\mu(t)\geq 0, $

又

$\begin{eqnarray*} p(\sigma (t))\phi^\Delta (\sigma (t))&=&p(t)\phi^\Delta (t)+\mu(t)(p(t)\phi^\Delta (t))^\Delta \\ &=&p(t)\phi^\Delta (t)+\mu(t)q(t)\phi^\sigma (t)\\ & \geq & 0, \end{eqnarray*}$

所以$A(\sigma (t))$成立.

(3) 设$\sigma (t_0)=t_0$且$A(t_0)$成立.证明存在$t_1:\, t_1\in\mathbb{T}, \, t_1>t_0$, 对$\forall\, t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}$, $A(t)$成立.

对方程

$ -(p\phi^\Delta )^\Delta (t)+q(t)\phi^\sigma (t)=0 $

两端从$t_0$到$t_1$积分两次, 结合$\phi$满足的初值条件(5.3), 可得

$\begin{equation}\label{pphif} p(t)\phi^\Delta (t)=p(t_0)\phi^\Delta (t_0)+\int_{t_0}^t q(s)\phi(\sigma (s))\Delta s, \end{equation}$

(5.11)

$\begin{equation}\label{phif} \phi(t)=\phi(t_0)+p(t_0)\phi^\Delta (t_0)\int_{t_0}^t\frac{\Delta \tau}{p(\tau)} +\int_{t_0}^t\frac1{p(\tau)} \Big[\int_{t_0}^\tau q(s)\phi(\sigma (s))\Delta s\Big]\Delta\tau. \end{equation}$

(5.12)

先考察(5.12) 式.因为$\phi(t)$是方程

$\begin{equation}\label{phiy} y(t)=\phi(t_0)+p(t_0)\phi^\Delta (t_0)\int_{t_0}^t\frac{\Delta \tau}{p(\tau)} +\int_{t_0}^t\frac1{p(\tau)} \Big[\int_{t_0}^\tau q(s)y(\sigma (s))\Delta s\Big]\Delta\tau \end{equation}$

(5.13)

的解.下证方程(5.13) 有惟一的连续解$y(t)$, 满足

$\begin{equation}\label{y} y(t)\geq \phi(t_0)+p(t_0)\phi^\Delta (t_0)\int_{t_0}^t\frac{\Delta \tau}{p(\tau)},  t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}. \end{equation}$

(5.14)

用逐次逼近法求解方程(5.13).记

$\begin{equation}\label{ditui} \begin{array}{rl} y_0(t) & = \phi(t_0)+p(t_0)\phi^\Delta (t_0)\int_{t_0}^t\frac{\Delta \tau}{p(\tau)}, \\ y_j(t) & = \int_{t_0}^t\frac1{p(\tau)} \Big[\int_{t_0}^\tau q(s)y_{j-1}(\sigma (s))\Delta s\Big] \Delta\tau,  j=1, 2, 3, \cdots. \end{array} \end{equation}$

(5.15)

如果级数$\sum\limits_{j=0}^{\infty}y_j(t)$关于$t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}$一致收敛, 则它的和函数必是方程(5.13) 的连续解.以下证明一致收敛性.令

$\begin{eqnarray*} M_0=\phi(t_0)+p(t_0)\phi^\Delta (t_0)\int_{t_0}^{t_1}\frac{\Delta \tau}{p(\tau)},  M_1=\int_{t_0}^{t_1}\frac1{p(\tau)} \Big[\int_{t_0}^\tau q(s)\Delta s\Big]\Delta\tau. \end{eqnarray*}$

则根据数学归纳法可证得

$\begin{equation}\label{shuxueguina} 0\leq y_j(t)\leq M_0M_1^j,  t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}, j=0, 1, 2, \cdots. \end{equation}$

(5.16)

事实上, 易见$y_0\leq M_0$.设$0\leq y_n\leq M_0M_1^n$, 则

$\begin{eqnarray*} 0\leq y_{n+1}(t) & \leq & \int_{t_0}^{t_1}\frac{1}{p(\tau)} \Big[\int_{t_0}^{\tau}q(s)y_n(\sigma (s))\Delta s\Big]\Delta\tau\\ & \leq & \int_{t_0}^{t_1}\frac{1}{p(\tau)} \Big[\sup\limits_{s\in[t_0, \rho(\tau)]_\mathbb{T}}y_n(\sigma (s))\Big] \Big [\int_{t_0}^{\tau}q(s)\Delta s\Big]\Delta\tau\\ & \leq & \Big[\sup\limits_{s\in[t_0, \rho^2(t_1)]_\mathbb{T}}y_n(\sigma (s))\Big] \int_{t_0}^{t_1}\frac{1}{p(\tau)} \Big[\int_{t_0}^{\tau}q(s)\Delta s\Big]\Delta\tau\\ & \leq & M_0 M_1^{n+1}. \end{eqnarray*}$

上面的讨论中, 可以选取$t_1$充分接近$t_0$, 使得$M_1<1$.则由(5.16) 式和Weierstrass判别法, 级数$\sum\limits_{j=0}^{\infty}y_j(t)$关于$t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}$一致收敛.设方程(5.13) 的连续解为

$ y(t)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}y_j(t),  t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}. $

由于$y_j(t)\geq 0$, $j=0, 1, 2, \cdots$, 所以$y(t)\geq y_0(t)$, 因此(5.14) 式成立.反设$y_1, \, y_2$是方程(5.13) 的在$[t_0, t_1]_\mathbb{T}$上的两个相异解, 则

$\begin{eqnarray*} |\, y_1(t)-y_2(t)\, | & \leq & \int_{t_0}^{t}\frac{1}{p(\tau)} \Big[\int_{t_0}^{\tau}q(s) |\, y_1(\sigma (s))-y_2(\sigma (s))|\Delta s\Big]\Delta\tau\\ & \leq & \Big[\sup\limits_{s\in[t_0, \rho^2(t_1)]_\mathbb{T}}|\, y_1(\sigma (s))-y_2(\sigma (s))|\Big] \int_{t_0}^{t_1}\frac{1}{p(\tau)} \Big[\int_{t_0}^{\tau}q(s)\Delta s\Big]\Delta\tau\\ &\leq& M_1 \sup\limits_{s\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}}|\, y_1(s)-y_2(s)\, |. \end{eqnarray*}$

注意到$M_1<1$, 所以$y_1(t)\equiv y_2(t), t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}$.

根据以上讨论, 有$\phi(t)=y(t), t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}$.由(5.14) 式, 得

$ \phi(t)\geq \phi(t_0)+p(t_0)\phi^\Delta (t_0)\int_{t_0}^t\frac{\Delta \tau}{p(\tau)},  t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}. $

由$A(t_0)$成立知

$ \phi(t)\geq 0, t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}. $

再根据(5.11) 式, 成立

$ p(t)\phi^\Delta (t)=p(t_0)\phi^\Delta (t_0)+\int_{t_0}^t q(s)\phi(\sigma (s)) \Delta s \geq 0, t\in[t_0, t_1]_\mathbb{T}. $

(4) 设$t\in\mathbb{T}\backslash\{a\}$, $\rho(t)=t$且对$\forall\, s<t$, $A(s)$成立.即

$ \phi(s)\geq 0,  p(s)\phi^\Delta (s)\geq 0, t\in[a, t]_\mathbb{T}. $

让$s\to t$, 因为$\phi(s)$, $p(s)\phi^\Delta (s)$均连续, 故成立

$ \phi(t)\geq 0,  p(t)\phi^\Delta (t)\geq 0. $

即$A(t)$成立.

因此, 成立$\phi(t)\geq 0, \, t\in\mathbb{T};\, p(t)\phi^\Delta (t)\geq 0, \, t\in\mathbb{T}^k$.下证$\phi(t)>0, t\in\mathbb{T}\backslash\{a\}$.

因为

$\begin{eqnarray*} p(t)\phi^\Delta (t)&=&p(a)\phi^\Delta (a)+\int_a^t q(s)\phi(\sigma (s))\Delta s =1+\int_a^t q(s)\phi(\sigma (s))\Delta s, \\ \phi(t)&=&\phi(a)+p(a)\phi^\Delta (a)\int_a^t\frac{\Delta\tau}{p(\tau)}+\int_a^t \frac1{p(\tau)} \Big[\int_a^\tau q(s)\phi(\sigma (s))\Delta s\Big]\Delta\tau\\ &=&\int_a^t\frac{\Delta\tau}{p(\tau)}+\int_a^t \frac1{p(\tau)} \Big[\int_a^\tau q(s)\phi(\sigma (s))\Delta s\Big]\Delta\tau, \end{eqnarray*}$

所以

$ \phi(t)>0, t\in\mathbb{T}\backslash\{a\}. $

对$\psi$应用时标上的后项归纳原理(引理2.8), 类似可证关于$\psi$的性质.

注5.1 性质5.1的证明借鉴了文献[16]相关定理的证明思想.根据性质5.1, 引理2.4和$d$的定义, 知$\phi(t)$于$\mathbb{T}$单调不减, $\psi(t)$于$\mathbb{T}$单调不增, 且

$ d=\psi(a)=\phi(b)>0. $

根据性质5.1和$G(t, s)$的定义(5.10), 可得以下性质.

命题5.2 

$\begin{equation}\label{Ggeq0} 0\leq G(t, s)\leq G(\sigma (s), s),  t\in\mathbb{T}, s\in\mathbb{T}^k, \end{equation}$

(5.17)

$\begin{equation}\label{G>0} G(t, s)>0, t\in\mathbb{T}^0, s\in \mathbb{T}^0. \end{equation}$

(5.18)

证 根据(5.10) 式, 有

$\begin{eqnarray*} G(t, s)=\frac 1{\phi(b)} \left\{\begin{array}{ll} \phi(t)\psi^\sigma (s), &t\leq s, \\ \phi^\sigma (s)\psi(t), &\sigma (s)\leq t. \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

由性质5.1和注5.1, 对$t\in\mathbb{T}, s\in\mathbb{T}^k$, 显然有$G(t, s)\geq 0$.进一步, 有

$\begin{eqnarray*} G(\sigma (s), s)=\frac1{\phi(b)}\phi(\sigma (s))\psi(\sigma (s)) \geq \frac1{\phi(b)} \left\{\begin{array}{ll} \phi(t)\psi(\sigma (s)), &t\leq s\\ \phi(\sigma (s))\psi(t), &\sigma (s)\leq t \end{array}\right. =G(t, s), \end{eqnarray*}$

即(5.17) 式成立.

当$t\in\mathbb{T}^0, s\in \mathbb{T}^0$时, 应用性质5.1和注5.1, 有

$\begin{eqnarray*} \phi(b)>0, \phi(t)>0, \psi(\sigma (s))>0, \phi(\sigma (s))>0, \psi(t)>0. \end{eqnarray*}$

因此$G(t, s)>0$, 即(5.18) 式成立. \hfill\rule{0.8mm}{3.5mm}

现在考虑问题(5.1).定义线性算子$A:\, C_{\rm{rd}}^0(\mathbb{T})\to B$:

$\begin{equation}\label{AA} Au(t)=\int_a^b G(t, s)r(s)u^\sigma (s)\Delta s, \end{equation}$

(5.19)

其中$G(t, s)$同(5.10) 式定义.同文献[11, 引理3.7]类似的讨论, 知$A$为全连续算子.

引理5.4 问题(5.1) 的特征值与问题(5.19) 的特征值互为倒数.

证 设$\lambda$是问题(5.1) 的一个特征值, $u(t)$是对应的特征函数.根据引理5.3, 知

$ u(t)=\lambda\int_a^b G(t, s)r(s)u^\sigma (s)\Delta s=\lambda A u(t), $

从而$A u(t)=\frac 1\lambda u(t)$.反之亦然.

引理5.5 线性算子$A$关于锥$P$是强正的.

证 已知$P\subset B$是体锥且$A:\, C_{\rm{rd}}^0(\mathbb{T})\to B$是线性算子, 由定义5.2, 只需证明$A:\, P\backslash\{0\}\to {\rm{int}}(P)$.取$u\in P\backslash\{0\}$, 根据性质5.2及$r(s)>0, \, s\in\mathbb{T}^{k^2}$, 成立

$ Au(t)=\int_a^b G(t, s)r(s)u^\sigma (s)\Delta s>0,  t\in\mathbb{T}^0. $

因为

$\begin{eqnarray*} (Au)^\Delta (t)&=&\psi^\Delta (t)\int_a^t \phi^\sigma (s)r(s)u^\sigma (s)\Delta s + \phi^\Delta (t)\int_t^b \psi^\sigma (s)r(s)u^\sigma (s)\Delta s\\ &=&\int_a^b G\Delta (t, s)r(s)u^\sigma (s)\Delta s. \end{eqnarray*}$

又根据性质5.1, 成立

$\begin{eqnarray*} && G\Delta (a, s)=\frac1{\phi(b)}\phi^\Delta (a)\psi(\sigma (s))>0,  s\in\mathbb{T}^0, \\ && G\Delta (b, s)=\frac1{\phi(b)}\phi(\sigma (s))\psi^\Delta (b)<0,  s\in\mathbb{T}^0, \end{eqnarray*}$

所以由$r(t)>0, \, t\in\mathbb{T}^{k^2}$, 有

$ (Au)\Delta (a)>0,  (Au)\Delta (b)<0. $

从而$Au\in Q\subset {\rm{int}}(P)$, 即$A:\, P\backslash\{0\}\to {\rm{int}}(P)$.

根据引理5.1和以上讨论, 以下定理成立.

定理5.1 $A$有正特征函数$u:\, u(t)>0, \, t\in\mathbb{T}^0$, 对应简单特征值$\lambda>0$.设$\Lambda$是$A$的不同于$\lambda$的特征值, 则$\lambda>\Lambda$.

根据问题(5.1) 与(5.19) 的特征值的倒数关系, 直接得到以下定理.

定理5.2 设$p, q, r$满足$(SL)$条件, 且$q(t)\geq 0, t\in\mathbb{T}^{k^2}$, 则问题(5.1) 存在最小正特征值$\lambda_1$, 对应的特征函数$u_1$满足

$ u_1(t)>0,  t\in \mathbb{T}^0. $

注5.2 文献[6]虽然建立了含非负加权项$(r(t)\geq 0, r(t)\not\equiv 0, t\in\mathbb{T}^{k^2})$的特征值问题(5.1) 的最小正特征值的存在性, 但是要求$r\in C^0(\mathbb{T}^{k^2})$.这里获得的定理5.2只要求$r\in C_{\rm{rd}}^0(\mathbb{T}^{k^2})$.