${\bf C}^{n}$是$n$维复度量空间, $B_n=\{{z\in {\bf C}^n:\mid z\mid< 1}\}$称为单位球, 简记为$B$, 其边界$\partial B$记为$S$.记复平面上单位圆盘为$D$, 记d$\upsilon$为$B$上的规范化Lebesgue测度, 即$\upsilon (B)=1$, ${\rm d}\sigma$为$S$上规范化的旋转不变Lebesgue测度, 满足$\sigma (S)=1$.令${\rm d}\lambda(z)={(1-{\mid z\mid}^2)}^{-n-1}{\rm d}\upsilon (z)$, 则${\rm d}\lambda (z)$是Möbius不变的, 即对$\forall\psi\in$ $Aut(B)$, $f\in L^1 (B, {\rm d}\lambda)$, 有

$\int_{B}f(z){\rm d}\lambda(z)=\int_{B}f\circ\psi(z){\rm d}\lambda(z), $

其中$Aut(B)$为$B$上的全纯自同构群.

$B$上全纯函数全体记为$H(B)$, 对于$f\in H(B)$, $z\in B$, 其梯度和径向导数的定义分别为

$ \nabla f(z)={\nabla}_zf= \Big({\frac{\partial f}{\partial z_1}(z)}, \cdots, {\frac{\partial f}{\partial z_n}(z)}\Big), \ \ \ \ Rf(z)=\langle \nabla f(z), \bar{z}\rangle =\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial z_j}(z)z_j. $

对于任意的$a\in B$, $a\neq 0 $, $\varphi_a(z)$表示$B$上交换$0$点和$a$点的M${\rm \ddot{o}}$bius变换,

$\varphi_a(z)={a-P_a(z)-s_aQ_a(z)\over {1-\langle z, a\rangle}}, \ \ \ z\in B, $

其中$s_a=\sqrt{1-|a|^2}$, $P_a$是从$C^n$到由$a$生成的一维子空间$[a]$上的正交投影, $Q_a$是从$C^n$到$[a]$的正交补空间上的正交投影, 其中% $P_a(z)={{\langle z, a\rangle}\over {|a|^2}}a$, $Q_a(z)=z-{{\langle z, a\rangle}\over {|a|^2}}a$.当$a=0$时, $\varphi_a(z)=-z$.且$\varphi_a(z)$满足以下性质

$\varphi_a\circ\varphi_a(z)=z, \ \ \ 1-|\varphi_a(z)|^2={{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}\over {|1-\langle z, a\rangle|^2}}.$

设$0<p<\infty$, $-n-1<q<\infty$, $0\leq s<\infty$, $q+s>-1$, $F(p, q, s)$空间表示单位球$B$上的由全纯函数$f$构成的空间, 其中$f$满足

$\begin{equation}\label{eq:a1} \|f\|_{F(p, q, s)}= \bigg\{|f(0)|^p+\sup\limits_{a\in B}\int_{B}{|\nabla}f(z)|^p(1-|z|^2)^qg^s(z, a){\rm d}v(z) \bigg\}^{1\over p}<\infty, \end{equation}$

(1.1)

此处权函数$g(z, a)=\log{1\over{|\varphi_a(z)|}}$.

由文献[17, 定理3.1], 我们可以知道(1.1) 式与下面的半范数是等价的

$\|f\|_{F(p, q, s)}^p={\sup\limits_{a\in B}\int_{B}|Rf(z)|^p(1-|z|^2)^q(1-|\varphi_a(z)|^2)^s{\rm d}v(z)}<\infty.$

为了方便起见, 我们记$q=p\alpha-n-1$, 这里$\alpha>0$.对任意的$\alpha>0$, $F(p, p\alpha-n-1, s)$是$\alpha$-Bloch空间$\beta^\alpha$的子空间.当$s>n$时, 我们有$F(p, p\alpha-n-1, s)=\beta^\alpha$.

对于$F(p, p\alpha-n-1, s)$空间, $\alpha=1$的情形是最有趣的, 因为$F(p, p-n-1, s)$是M${\rm \ddot{o}}$bius不变的.对于$\forall f\in F(p, p-n-1, s)$和$\forall a\in B$, 我们有

${\|f\circ \varphi_a\|_{F(p, p-n-1, s)}=\|f\|_{F(p, p-n-1, s)}}.$

正如上面所述, 当$s>n$时, $F(p, p-n-1, s)=\beta$; 当$p=2$时, $F(p, p-n-1, s)=Q_{s\over n}$($Q_s$空间在文献[4]引入); 当$p=2$, $s=n$时, $F(p, p-n-1, s)=BMOA$ (有界平均振动解析函数空间).

单位圆盘$D$上的$F(p, q, s)$空间最早由Zhao R H在文献[19]中引入.它包含了许多经典的函数空间, 比如Besov空间、加权Bergman空间、加权Dirichlet型空间、$\alpha$-Bloch空间、BMOA空间以及最近引入的$Q_s$空间.我们通过对$F(p, q, s)$空间的研究可以得到其它许多重要函数空间精美的结果.

这篇论文主要研究了${\bf C}^{n}$单位球中$F(p, q, s)$空间上的原子分解, 而原子分解在研究函数空间和算子理论时是一个非常重要的工具, 他可以用来解决Toeplitz算子和Hankel算子及有理函数逼近等相关问题.追溯至上世纪八十年代, 就有很多学者进行了相关方面的研究工作, Rochberg R在文献[9-10]中给出了Bergman空间, BMOA空间的原子分解, 并将结果应用到关于Hankel算子及Hankel算子乘积的奇异值估计上. Coupet B给出强拟凸域上Bergman空间的分解定理. 2002年, Wu Z J和Xie C在文献[13]中考虑了单位圆盘中$Q_p$空间的原子分解, 而单位球中$Q_p$空间上的原子分解近年来也在文献[7]中被给出. 2014年, Zhang X J等人在文献[18]中给出了单位球中$\mu$-Bergman空间的原子分解.而原子分解在研究很多问题时都是一个非常有用的工具, 2015年, Pau J和Zhao R H在文献[6]中研究${\bf C}^{n}$单位球中在$1<p<\infty$情形下加权Bergman空间上的弱分解时就用到了加权Bergman空间的原子分解.而关于$F(p, q, s)$空间上的原子分解无论单位圆盘情形还是单位球的情形目前都尚未给出.因此这篇论文主要借助Schur定理考虑了在$1<p<\infty$情形下${\bf C}^{n}$单位球中$F(p, q, s)$空间上的原子分解.

对于$\forall\xi\in S$, $\delta>0$, 记$Q_\delta(\xi)=\{z\in B:|1-\langle z, \xi\rangle|<\delta\}$.设$\mu$是$B$上正的Borel测度, 若

${\|\mu\|}_{CM_{s}}=\sup \Big\{{\mu(Q_\delta(\xi))\over \delta^{ns}}:\xi\in S, \delta>0\Big\}<\infty, $

则称$\mu$是$s$-Carleson测度.

基于文献[20], 设$1<p<\infty$, $q+s>-1$, $QCM_{p, q, s}$表示$B$上Lebesgue可测函数$f$构成的空间, 其中$f$满足

${\rm d}\mu_f(z)={| f(z)|}^p{(1-{| z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)$

是$s\over n$-Carleson测度.易知范数${\|\cdot \|}_{p, q, s}$如下定义, $QCM_{p, q, s}$是Banach空间,

${\|f\|}_{p, q, s}^p=\sup \Big\{{\mu_f(Q_\delta(\xi))\over \delta^{s}}:\xi\in S, 0<\delta\leq 1\Big\}.$

固定参数$b>n$, 设$\alpha=b-(n+1)$, ${\rm d}v_\alpha(z)=c_\alpha {(1-{| z|}^2)}^\alpha {\rm d}v(z)$, 这里$v_\alpha (B)=1$.定义算子$T$如下

$Tf(z)=\int_B\frac{{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1}}{{|1-\langle z, w\rangle|}^b}f(w){\rm d}v(w), $

其中$f\in L^1(B, {\rm d}v_\alpha)$, 显然, $T$依赖于参数$b$.

我们选取满足文献[20, 定理2.23]的序列$\{a_k\}$和满足文献[20, 引理2.28]的Lebesgue可测集$\{D_k\}$, 并对文献[20, 引理2.28]中的$\{D_k\}$作进一步划分.设$0<r<1$, $\eta$表示一个比分离常数$r$更小的正的半径, 那么意味着$\eta/r$很小.我们在$D(0, r)$中固定一个%有限序列$\{z_1, \cdot\cdot\cdot, z_J\}$, 它依赖于$\eta$, 并且使$\{D(z_j, \eta)\}$覆盖$D(0, r)$且$\{D(z_j, \eta/4)\}$彼此互不相交.然后, 我们将每一个集合% $D(z_j, \eta/4)\cap D(0, r)$拓展成一个Borel集$E_j$, 使得$E_j\subset D(z_j, \eta)$且$D(0, r)=\bigcup\limits_{j=1}^J E_j$.可参看文献[20, 引理2.28]的证明可知如何划分.对于$k\geq1$, $1\leq j\leq J$, 记$D_{kj}=D_k\cap \varphi_{a_k}(E_j)$, $a_{kj}=\varphi_{a_k}(z_j)$, 显然$a_{kj}\in D(a_k, r)$对所有$k\geq1$, $1\leq j\leq J$%都成立.因为$D_k=\bigcup\limits_{j=1}^J D_{kj}$对于每一个$k$彼此互不相交, 因此我们可以得到$B$的一个互不相交的分解% $B=\bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcup\limits_{j=1}^J D_{kj}.$

我们定义算子$S$如下

$Sf(z)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^J\frac{v_\alpha (D_{kj})f(a_{kj})}{{(1-\langle z, a_{kj}\rangle)}^b}, $

其中$f\in H(B)$, 显然, $S$依赖于参数$b$和划分$\{D_{kj}\}$ (因此也依赖于$r$和$\eta$).

在本文中, $C$, $M$都是正常数, 它们每次出现时取值未必相同. $A\approx B$表示存在常数$C$, 使得$C^{-1}B\leq A\leq CB$.

引理2.1 设${1}<p<{\infty}$, $0<s\leq{n}$, $q, b$满足

$-s<q+1<p(b-n)-s, $

则算子$T$在$QCM_{p, q, s}$上是有界的.

证 设$f\in QCM_{p, q, s}$, 我们有

$\begin{eqnarray*} &&{1\over \delta^{s}}\int_{Q_\delta(\xi)}{|Tf(z)|}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\\ &\leq&{1\over \delta^{s}}\int_{Q_\delta(\xi)}{\bigg(\int_B{{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1}\over {|1-\langle z, w\rangle|}^b}|f(w)|{\rm d}v(w)\bigg)}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\\ &=&{1\over \delta^{s}}\int_{Q_\delta(\xi)}{\bigg({\bigg(\int_{Q_{2\delta}(\xi)}+\sum\limits_j\int_{A_j}\bigg)}{{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1}\over {|1-\langle z, w\rangle|}^b}|f(w)|{\rm d}v(w)\bigg)}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\\ &\leq&{2^p\over \delta^{s}}\int_{Q_\delta(\xi)}{\bigg(\int_{Q_{2\delta}(\xi)}{{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1}{(1-{|z|}^2)}^{{q\over p}+{s\over p}}\over {|1-\langle z, w\rangle|}^b}|f(w)|{\rm d}v(w)\bigg)}^p{\rm d}v(z)\\ &&+{2^p\over \delta^{s}}\int_{Q_\delta(\xi)}{\bigg({\sum\limits_j\int_{A_j}}{{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1}\over {|1-\langle z, w\rangle|}^b}|f(w)|{\rm d}v(w)\bigg)}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\\ &=&I_1+I_2, \end{eqnarray*}$

这里$A_j=\{w\in B:2^{j}\delta\leq|1-\langle w, \xi\rangle|<2^{j+1}\delta\}, j=1, 2\cdots$.

我们考虑由核函数$K$诱导的积分算子$M$

$M h(z)=\int_B K(z, w)h(w){\rm d}v(w), $

其中核函数

$K(z, w)={{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1-{q\over p}-{s\over p}}{(1-{|z|}^2)}^{{q\over p}+{s\over p}}\over {|1-\langle z, w\rangle|}^b}.$

容易验证对于$g(z)={(1-{|z|}^2)}^{-{p-1\over p^2}}$, 其中$\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$, 估计

$\begin{eqnarray*} &&\int_B K(z, w)g^{p^{\prime}}(w){\rm d}v(w)\\ &=&{(1-{|z|}^2)}^{{q\over p}+{s\over p}}\int_B\frac{{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1-{q\over p}-{s\over p}-{1\over p}}}{{| 1-\langle z, w\rangle|}^b}{\rm d}v(w)\\ &=&{(1-{|z|}^2)}^{{q\over p}+{s\over p}}\int_B\frac{{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1-{q\over p}-{s\over p}-{1\over p}}}{{| 1-\langle z, w\rangle|}^{n+1+(b-n-1-{q\over p}-{s\over p}-{1\over p})+c}}{\rm d}v(w)\\ &\leq&C{(1-{|z|}^2)}^{{q\over p}+{s\over p}}{(1-{|z|}^2)}^{-({q\over p}+{s\over p}+{1\over p})}\\ &=&C{(1-{|z|}^2)}^{-{1\over p}}=C g^{p^\prime} (z) \end{eqnarray*}$

对所有$z\in B$都成立.这里用到了文献[12, 命题1.4.10], 其中$b-n-1-{q\over p}-{s\over p}-{1\over p}>-1$, $c={q\over p}+{s\over p}+{1\over p}>0$.

类似地, 估计

$\begin{eqnarray*} &&\int_B K(z, w)g^p(z){\rm d}v(z)\\ &=&{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1-{q\over p}-{s\over p}}\int_B\frac{{(1-{|z|}^2)}^{{q\over p}+{s\over p}-{{p-1}\over p}}}{{| 1-\langle z, w\rangle|}^b}{\rm d}v(z)\\ &=&{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1-{q\over p}-{s\over p}}\int_B\frac{{(1-{|z|}^2)}^{{q\over p}+{s\over p}-{{p-1}\over p}}}{{| 1-\langle z, w\rangle|}^{n+1+({q\over p}+{s\over p}-{{p-1}\over p})+c}}{\rm d}v(z)\\ &\leq&C{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1-{q\over p}-{s\over p}}{(1-{|w|}^2)}^{-(b-n-1-{q\over p}-{s\over p}+{{p-1}\over p})}\\ &=&C{(1-{|w|}^2)}^{-{{p-1}\over p}}=C g^p (w) \end{eqnarray*}$

对所有的$w\in B$也成立.这里用到了文献[12, 命题1.4.10], 其中${q\over p}+{s\over p}-{{p-1}\over p}>-1$, $c=b-n-1-{q\over p}-{s\over p}+{{p-1}\over p}>0$.由Schur定理, 我们可知$M$在$L^p(B, {\rm d}v)$上是有界的.

令

$h(w)=|f(w)|{(1-{|w|}^2)}^{{q\over p}+{s\over p}}\chi_{Q_{2\delta}(\xi)}(w), \ \ \ w\in B, $

显然, $h\in L^p(B, {\rm d}v)$, 且

${\|h\|}_{L^p}^p=\int_{Q_{2\delta}(\xi)}{|f(w)|}^p{(1-{|w|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(w)\leq {(2\delta)}^{s}{\|f\|}_{p, q, s}^p.$

因此,

$\begin{eqnarray*} I_1&\leq&{2^p\over \delta^{s}}\int_ B{\left|\int_B K(z, w)h(w){\rm d}v(w)\right|}^p{\rm d}v(z)\\ &=&{2^p\over \delta^{s}}{\| Mh\|}_{L^p}^p\leq {C\over \delta^{s}}{\| h\|}_{L^p}^p\leq C{\|f\|}_{p, q, s}^p. \end{eqnarray*}$

下面估计$I_2$, 显然, 不等式

${|1-\langle z, w\rangle|}^{1\over 2}=d(z, w)\geq d(\xi, w)-d(\xi, z)\geq{1\over 2}(\sqrt{2}-1)2^{j\over 2}\delta^{1\over 2}$

对任意$z\in Q_\delta(\xi)$和$w\in A_j$都成立.并且我们有

$\int_{ Q_\delta(\xi)}{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\leq C\delta^{q+s+n+1}, $

所以

$\begin{eqnarray*} I_2&=&{2^p\over \delta^{s}}\int_{Q_\delta(\xi)}{\bigg({\sum\limits_j\int_{A_j}}{{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1}\over {|1-\langle z, w\rangle|}^b}|f(w)|{\rm d}v(w)\bigg)}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\\ &\leq&{C\over \delta^{s}}\int_{Q_\delta(\xi)}{\bigg(\sum\limits_j{1\over{(2^j\delta)}^b}\int_{Q_{2^{j+1}\delta}(\xi)}|f(w)| {(1-{|w|}^2)}^{b-n-1}{\rm d}v(w)\bigg)}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\\ &\leq&C\delta^{q+n+1}{\bigg(\sum\limits_j{1\over{(2^j\delta)}^b}\int_{Q_{2^{j+1}\delta}(\xi)}|f(w)|{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1}{\rm d}v(w)\bigg)}^p.\\ \end{eqnarray*}$

由Hölder不等式, 我们有

$\begin{eqnarray*} &&\int_{Q_{2^{j+1}\delta}(\xi)}|f(w)|{(1-{|w|}^2)}^{b-n-1}{\rm d}v(w)\\ &\leq&{\bigg(\int_{Q_{2^{j+1}\delta}(\xi)}{|f(w)|}^p{(1-{|w|}^2)}^{q+s} {\rm d}v(w)\bigg)}^{1\over p} {\bigg(\int_{Q_{2^{j+1}\delta}(\xi)}{(1-{|w|}^2)}^{{p(b-n-1)-q-s}\over p-1}{\rm d}v(w)\bigg)}^{p-1\over p}\\ &\leq&C{(2^{j+1}\delta)}^{b-{q+s\over p}-{n+1\over p}} {\bigg(\int_{Q_{2^{j+1}\delta}(\xi)}{|f(w)|}^p{(1-{|w|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(w)\bigg)}^{1\over p} . \end{eqnarray*}$

因此, 我们可得

$\begin{eqnarray*} I_2&\leq& C{\bigg(\sum\limits_j \frac{1}{2^{j{(q+n+1)\over p}}}{\bigg({1\over{(2^{j+1}\delta)}^{s}}\int_{Q_{2^{j+1}\delta}(\xi)}{|f(w)|}^p{(1-{|w|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(w)\bigg)}^{1\over p}\bigg)}^p\\ &\leq&C{\|f\|}_{p, q, s}^p{\bigg(\sum\limits_j \frac{1}{2^{j{(q+n+1)\over p}}}\bigg)}^p\\ &\leq& C{\|f\|}_{p, q, s}^p, \end{eqnarray*}$

这里用到条件${q+n+1\over p}\geq{q+s+1\over p}>0$.所以

${1\over \delta^{s}}\int_{Q_\delta(\xi)}{|Tf(z)|}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\leq I_1+I_2\leq C{\|f\|}_{p, q, s}^p.$

对于上式关于所有的$\xi\in S$和$\delta>0$取上确界sup, 我们可知${\|Tf\|}_{p, q, s}\leq C{\|f\|}_{p, q, s}$对所有的$f\in QCM_{p, q, s}$都成立, 这里常数$C$是不依赖$f$的, 即算子$T$在$QCM_{p, q, s}$上是有界的.

引理2.2^[16] 设$\mu$是$B$上正的Borel测度.则$\mu$是$s$-Carleson测度当且仅当

$\sup\limits_{a\in B}\int_B\bigg({1-{|a|}^2\over {| 1-\langle z, a\rangle|}^2}\bigg)^{ns}{\rm d}\mu(z)<\infty.$

对于$z\in B$和$r> 0$, $D(z, r)=\{w\in B: \beta (z, w)<r\}$表示$z$上的Bergman度量球, 其中$\beta$是Bergman度量.

对于$a\in {B}$, 我们用${\delta_a}$表示点$a$处的单位点质量(unit point-mass).

引理2.3 设$R>0$, $1<p<\infty$, $0<s<\infty$, $-n-1<q<\infty$, $q+s>-1$, $\{a_k\}$是$B$上的序列.则测度

${\rm d}\mu=\sum\limits_k {|c_k|}^p{(1-{|a_k|}^2)}^{q+s+n+1-p}\delta_{a_k}$

是$s\over n$-Carleson测度当且仅当测度

${\rm d}\nu=\sum\limits_k {{|c_k|}^p\over {(1-{|a_k|}^2)}^{p}}{(1-{|z|}^2)}^{q+s}\chi_k (z){\rm d}v(z)$

是$s\over n$-Carleson测度, 其中$\chi_k$是Bergman度量球$D(a_k, R)$上的特征函数.

证 这个引理是文献[20, 引理5.27]关于$s$-Carleson测度的一个推广.为了方便读者, 我们在这里给出详尽叙述.对于任意的$a\in {B}$, 我们有

$\int_B\bigg({1-{|a|}^2\over {|1-\langle z, a\rangle|}^2}\bigg)^{s}{\rm d}\nu(z)=\sum\limits_k{{|c_k|}^p\over {(1-{|a_k|}^2)}^{p}}\int_{D(a_k, R)}{{(1-{|a|}^2)}^{s}{(1-{|z|}^2)}^{q+s}\over {|1-\langle z, a\rangle|}^{2s}}{\rm d}v(z).$

由文献[20, (2.20) 式]可知, 对于$\forall z\in D(a_k, R)$, ${1-{|z|}^2}\approx {1-{|a_k|}^2}$, ${|1-\langle z, a\rangle|}\approx{|1-\langle a_k, a\rangle|}$, 关于$a$在$B$上一致成立.因此我们有

$\int_B\bigg({1-{|a|}^2\over {|1-\langle z, a\rangle|}^2}\bigg)^{s}{\rm d}\nu(z)\approx \sum\limits_k {{|c_k|}^p\over {(1-{|a_k|}^2)}^{p-q-s}}{{(1-{|a|}^2)}^{s}\over{|1-\langle a_k, a\rangle|}^{2s}}v(D(a_k, R)).$

注意到$v(D(a_k, R))\approx {(1-{|a_k|}^2)}^{n+1}$, 我们可得

$\begin{eqnarray*} \int_B\bigg({1-{|a|}^2\over {| 1-\langle z, a\rangle|}^2}\bigg)^{s}{\rm d}\nu(z)&\approx&\sum\limits_k {|c_k|}^p {(1-{|a_k|}^2)}^{q+s+n+1-p}{{(1-{|a|}^2)}^{s}\over {|1-\langle a_k, a\rangle|}^{2s}}\\ &=&\int_B\bigg({1-{|a|}^2\over {| 1-\langle z, a\rangle|}^2}\bigg)^{s}{\rm d}\mu(z). \end{eqnarray*}$

由引理2.2, ${\rm d}\mu$是$s\over n$-Carleson测度当且仅当${\rm d}\nu$是$s\over n$-Carleson测度.

定理3.1 设$1< p<\infty$, $0<s\leq n$, $q+s>-1$, $b>{q+s+1\over p}+n-1$.

(ⅰ)设$\{a_k\}$是一个满足文献[20, 定理2.23]的条件的序列.若$\{c_k\}$是一个使得测度 $\sum\limits_k {|c_k|}^p{(1-{| a_k|}^2)}^{q+s+n+1-p}\delta_{a_k}$是$s\over n$-Carleson测度的序列, 则函数

$f(z)=\sum\limits_k{c_k}\bigg({1-{|a_k|}^2\over { 1-\langle z, a_k\rangle}}\bigg)^{b}$

属于$F(p, q, s)$空间.

(ⅱ) $B$中存在一个序列$\{a_k\}$使得$F(p, q, s)$空间恰恰由如下形式的函数构成

$\begin{equation}\label{eq:a2} f(z)=\sum\limits_k {c_k}\bigg({1-{|a_k|}^2\over { 1-\langle z, a_k\rangle}}\bigg)^{b}, \end{equation}$

(3.1)

其中序列$\{c_k\}$使得

$\sum\limits_k {|c_k|}^p{(1-{|a_k|}^2)}^{q+s+n+1-p}\delta_{a_k}$

是$s\over n$-Carleson测度.

证 (ⅰ)对每一个$k$, $E_k=D(a_k, {r\over 4})$表示$a_k$处半径为${r\over 4}$的Bergman度量球.考虑函数

$u(z)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{|c_k|\chi_k(z)\over{1-{|a_k|}^2}}, $

这里$\chi_k$是$E_k$的特征函数.因为$E_k$是互不相交的, 测度

${|u(z)|}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)$

可写成

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{{|c_k|}^p\over{(1-{|a_k|}^2)}^p}{(1-{|z|}^2)}^{q+s}\chi_k(z){\rm d}v(z).$

由假设$\sum\limits_k {|c_k|}^p{(1-{|a_k|}^2)}^{q+s+n+1-p}\delta_{a_k}$是$s\over n$-Carleson测度和引理2.3, 我们可知

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{{|c_k|}^p\over{(1-{|a_k|}^2)}^p}{(1-{|z|}^2)}^{q+s}\chi_k(z){\rm d}v(z)$

是$s\over n$-Carleson测度.因此

${|u(z)|}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)$

是$s\over n$-Carleson测度, 也就是说, $u$属于$QCM_{p, q, s}$.

设$T$是用参数$b+1$定义的算子.则由引理2.1可知$T$在$QCM_{p, q, s}$上是有界的.特别地, 函数$Tu$属于$QCM_{p, q, s}$.

下面考虑

$Tu(z)=\sum\limits_k{|c_k|\over{1-{|a_k|}^2}}\int_{E_k}{{(1-{|w|}^2)}^{b-n}\over {| 1-\langle z, w\rangle|}^{b+1}}{\rm d}v(w).$

因为对于$w\in E_k$, 有$1-{|w|}^2\approx 1-{|a_k|}^2$和$v(E_k)\approx{(1-{|a_k|}^2)}^{n+1}$, 从而有

$\begin{eqnarray*} Tu(z)&\geq&C\sum\limits_k |c_k| {(1-{|a_k|}^2)}^b{1\over{v(E_k)}}\int_{E_k}{{\rm d}v(w)\over {| 1-\langle z, w\rangle|}^{b+1}}\\ &\geq&C\sum\limits_k |c_k| {(1-{|a_k|}^2)}^b{1\over {| 1-\langle z, a_k\rangle|}^{b+1}}, \end{eqnarray*}$

最后的不等式由文献[20, 引理2.24]可得.因为

$Rf(z)=b\sum\limits_k c_k{\langle z, a_k\rangle{(1-{|a_k|}^2)}^b\over{(1-\langle z, a_k\rangle)}^{b+1}}, $

我们有

$Tu(z)\geq C\sum\limits_k |c_k| {{(1-{|a_k|}^2)}^b\over {| 1-\langle z, a_k\rangle|}^{b+1}}\geq C|Rf(z)|.$

又因为$Tu$属于$QCM_{p, q, s}$, 所以测度

${|Rf(z)|}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)$

是$s\over n$-Carleson测度.由文献[17]中的定理3.1和引理2.2, 我们可知$f$属于$F(p, q, s)$.

实际上, 如果我们把$\{a_k\}$换成更稠密的数列$\{a_{kj}\}$, 定理3.1(ⅰ)仍然成立.事实上, 若

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^J {|c_{kj}|}^p{(1-{| a_{kj}|}^2)}^{q+s+n+1-p}\delta_{a_{kj}}$

是$s\over n$-Carleson测度, 根据引理2.3, 测度

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^J {{|c_{kj}|}^p\over{(1-{|a_{kj}|}^2)}^p}{(1-{|z|}^2)}^{q+s}\chi_{D(a_{kj}, 2r)}(z){\rm d}v(z)$

是$s\over n$-Carleson测度.因为$1-|a_{kj}|^2\approx1-|a_k|^2$, 且$D(a_k, r)\subset D(a_{kj}, 2r)$, 我们可知测度

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} {{|d_k|}^p\over{(1-{|a_k|}^2)}^p}{(1-{|z|}^2)}^{q+s}\chi_{D(a_k, r)}(z){\rm d}v(z)$

是$s\over n$-Carleson测度, 其中$|d_k|^p=|c_{k1}|^p+\cdot\cdot\cdot+|c_{kJ}|^p$.再次由引理2.3, 可得

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} {|d_k|}^p{(1-{| a_k|}^2)}^{q+s+n+1-p}\delta_{a_k}$

是$s\over n$-Carleson测度.若

$f(z)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^J {c_{kj}}\bigg({1-{|a_{kj}|}^2\over {1-\langle z, a_{kj}\rangle}}\bigg)^{b}, $

由文献[20, (2.20) 式], 我们有

$|Rf(z)|\leq C\sum\limits_{k=1}^{\infty}\bigg(\sum\limits_{j=1}^J |c_{kj}|\bigg){(1-{|a_k|}^2)^b\over|1-\langle z, a_k\rangle|^{b+1}}.$

因为

$\sum\limits_{j=1}^J |c_{kj}|\leq J|d_k|, $

根据定理3.1(ⅰ)之前的证明就可以得到我们想要的估计.

(ⅱ)由(ⅰ)可知, 当序列$\{a_k\}$满足文献[20, 定理2.23]的条件, 或当$\{a_k\}$由更稠密的序列$\{a_{kj}\}$代替时, 由(3.1) 式定义的每一个函数$f$都是属于$F(p, q, s)$空间的.

下面我们将证明$F(p, q, s)$空间中每一个函数也都可以表示成(3.1) 式, 我们设

$X={QCM}_{p,q,s}$,    $X_a=X\cap H(B)$,

其范数为

${\|f\|}_{X_a}^p=\sup \bigg\{{1\over\delta^{s}}\int_{Q_\delta(\xi)}{| f(z)|}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z):\xi\in S, 0<\delta\leq 1\bigg\}.$

设$S$和$T$是定义在$X_a$上参数为$b+1$的算子, 选取与$\{a_k\}$相关联的分离常数$r$和与$\{a_{kj}\}$相关联的常数$\eta$, 使得文献[20, 引理3.22]中的常数$c=C\sigma$满足$c\| T\|<1$.由文献[20, 引理3.22], 我们有

${\|f-Sf\|}_{X_a}\leq C\sigma{\|T(|f|)\|}_{X_a}\leq C\sigma\| T\|{\|f\|}_{X_a}< {\|f\|}_{X_a}, $

即算子$I-S$在$X_a$上是有界的, 且在$X_a$上的范数满足$\| I-S\|< 1$, 其中$I$是恒等算子.特别地, $S$在$X_a$上是可逆的.

设$f$属于$F(p, q, s)$, $g=R^{\alpha, 1}f$, 其中$\alpha=b-(n+1)$.因为$R^{\alpha, 1}$是阶数为1的分式径向导数(见文献[20, 命题1.15]), 由文献[17, 定理3.1]可知$g\in X_a$.因为$S$在$X_a$上是可逆的, 所以存在$h\in X_a$使得$g=Sh$.因此$g$可表示为

$g(z)=\sum\limits_{kj}{v_\beta(D_{kj})h(a_{kj})\over {(1-\langle z, a_{kj}\rangle)}^{b+1}}, $

其中$\beta=(b+1)-(n+1)=b-n$.两边同时作用$R^{\alpha, 1}$的逆算子, 再由文献[20, 命题1.14], 我们可得

$f(z)=\sum\limits_{kj}{v_\beta (D_{kj})h(a_{kj})\over {(1-\langle z, a_{kj}\rangle)}^b}.$

设

$c_{kj}={v_\beta(D_{kj})h(a_{kj})\over{(1-{|a_{kj}|}^2)}^b}, \ \ \ \\ \ \ k\geq 1, 1\leq j\leq J.$

则

$f(z)=\sum\limits_{kj} c_{kj}{\bigg({1-{|a_{kj}|}^2\over 1-\langle z, a_{kj}\rangle}\bigg)}^b.$

下面我们只需证明测度

$\sum\limits_{kj}{|c_{kj}|}^p{(1-{|a_{kj}|}^2)}^{q+s+n+1-p}\delta_{a_{kj}}$

是$s\over n$-Carleson测度.因为

$v_\beta(D_{kj})\leq v_\beta(D_k) \approx{(1-{|a_k|}^2)}^{n+1+\beta}={(1-{|a_k|}^2)}^{b+1} \approx{(1-{|a_{kj}|}^2)}^{b+1}, $

因此我们仅需证明测度

${\rm d}\mu=\sum\limits_{kj}{(1-{|a_{kj}|}^2)}^{q+s+n+1}{|h(a_{kj})|}^p \delta_{a_{kj}}$

是$s\over n$-Carleson测度.

由文献[20]中的引理2.24和引理2.20, 我们有

$\begin{eqnarray*} \int_B\bigg(\frac{1-{|a|}^2} {| 1-\langle z, a\rangle|^2}\bigg)^{s}{\rm d}\mu(z) &=&\sum\limits_{kj} {\bigg( \frac{1-{|a|}^2} {|1-\langle a_{kj}, a\rangle|^2}\bigg)}^{s}{|h(a_{kj})|}^p{(1-{|a_{kj}|}^2)}^{q+s+n+1}\\ &\leq&C\sum\limits_{kj} \bigg(\frac{1-{|a|}^2} {|1-\langle a_{kj}, a\rangle|^2} \bigg)^{s} \int_{D(a_{kj}, r)}{|h(z)|}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z). \end{eqnarray*}$

因为对于$z\in D(a_{kj}, r)$, $|1-\langle z, a\rangle|\approx |1-\langle a_{kj}, a\rangle|$, 关于$a$在$B$上一致成立.且有$D(a_{kj}, r)\subset D(a_k, 2r)$, 所以我们有

$\begin{eqnarray*} \int_B\bigg(\frac{1-{|a|}^2} {| 1-\langle z, a\rangle|^2}\bigg)^{s}{\rm d}\mu(z) &\leq& C\sum\limits_{kj}\int_{D(a_{kj}, r)}{\bigg( \frac{1-{|a|}^2} {|1-\langle z, a\rangle|^2}\bigg)}^{s}{|h(z)|}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\\ &\leq& C\sum\limits_k\int_{D(a_k, 2r)}{\bigg( \frac{1-{|a|}^2}{|1-\langle z, a\rangle|^2}\bigg)}^{s}{|h(z)|}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\\ &\leq&CN \int_{B}{\bigg(\frac{1-{|a|}^2} {|1-\langle z, a\rangle|^2}\bigg)}^{s}{|h(z)|}^p{(1-{|z|}^2)}^{q+s}{\rm d}v(z)\\ &\leq&C\int_{B} \bigg(\frac{1-{|a|}^2} {|1-\langle z, a\rangle|^2}\bigg)^{s}{\rm d}\mu_1(z). \end{eqnarray*}$

因为$h\in X_a$, 故${\rm d}\mu_1(z)={|h(z)|}^p{(1-{|z|}^2})^{q+s}{\rm d}v(z)$是$s\over n$-Carleson测度.由引理2.2, 可知$\sup\limits_{a\in B}\int_{B}{\big(\frac{1-{|a|}^2} {|1-\langle z, a\rangle| ^2}\big)}^{s} {\rm d}\mu_1(z)<\infty$.再使用引理2.2, 可得测度$\mu$是$s\over n$-Carleson测度.