在本文中, 我们研究如下化学反应过程 (见文献[1, 6, 9])

$ A\mathop{\longrightarrow}\limits^{k_1}Y, \ %\xrightarrow{\ \ k_1\ \ } Y, \ X+pY %\xrightarrow{\ \ k_2\ \ } \mathop{\longrightarrow}\limits^{k_2} X\hbox{ (自动催化作用)}, \ X \mathop{-\!\!\!\!-\!\!\!\!-\!\!\!\!-\!\!\!\!-\!\!\!\!\longrightarrow}\limits^{S(k_3, k_4)} % X\xrightarrow{\ S(k_3, k_4)\ } B\hbox{ (饱和定律)}, $

在该反应过程中, $A, X, Y$表示化学反应物, $B$是化学产品, $k_i$, $i=1, 2, \cdots, 4$表示反应速率, $S(k_3, k_4)$表示霉控制过程中的饱和定律.在整个反应过程都是等温并且只考虑自扩散的假设下, 上述反应过程可表示为如下反应扩散系统

$ \begin{equation} \frac{\partial [X]}{\partial t}-D_{[X]}\Delta [X]=k_2[X][Y]^p-\frac{k_3[X]}{1+k_4[X]}, \ \frac{\partial [Y]}{\partial t}-D_{[Y]}\Delta [Y]=k_1[A]-k_2[X][Y]^p, \end{equation} $

(1.1)

其中$[A]$, $[X]$和$[Y]$分别表示$A$, $X$和$Y$的浓度, 常数$k_i$, $i=1, 2, \cdots, 4$, 是反应速率, $\Delta = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial x_1^2}} + \cdots \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial x_N^2}}$是$N$维欧式空间中的拉普拉斯算子, $D_{[X]}$和$D_{[Y]}$分别表示分子$[X]$和$[Y]$的扩散系数, 在这里我们假设它们是正常数, $p$是一个正常数.为简化系统 (1.1), 我们引入

$ \begin{equation} u=(k_1[A])^{-1}[X], \;v=k_2^{1/p}[Y], \;d_1=D_{[X]}, \ d_2=D_{[Y]}, \;c=k_3, \;b=k_1k_4[A], \; \lambda =k_1k_2^{1/p}[A]. \end{equation} $

(1.2)

在 (1.2) 式的变换下, 并令$a=c-b$, 系统 (1.1) 在齐次Neumann边界条件的假设下可被写为如下系统

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}-{d_1}\Delta u = u{v^p}-\frac{{(a + b)u}}{{1 + bu}}, \frac{{\partial v}}{{\partial t}}-{d_2}\Delta v = \lambda \left( {1 - u{v^p}} \right), }&{x \in \Omega, t > 0, }\\ {\frac{{\partial u}}{{\partial \nu }} = \frac{{\partial v}}{{\partial \nu }} = 0, }&{x \in \Omega, t > 0, } \end{array}} \right. $

(1.3)

这里$\Omega \subset {{\rm{\mathbb{R}}}^{\rm{\mathbb{N}}}}$ ($N\geq1$) 是一个具有光滑边界$\partial \Omega$的有界区域, $\nu$是边界$\partial \Omega$上的单位外法向, 常数$p>1$, 常数$d_1, d_2, a, b$和$\lambda $是正常数.

显然, 系统 (1.3) 有唯一的正常数解

$ \begin{equation}\label{equilibrium} (u, v)=(u_*, v_*)=\left(\frac{1}{a}, \sqrt[p]{a}\right). \end{equation} $

(1.4)

自图灵的工作^[16]后, 许多作者都在研究反应扩散方程的时空模式 (见文献[2-4, 7-8, 10-14, 19, 21, 23-24]及其参考文献), 这些研究中包含了Brusselator模型、Gray-Scott模型、Oregonator模型、Lengyel-Epstein模型等.因为系统 (1.3) 只有非负解才有意义, 故系统 (1.3) 具有捕食-食饵模型的结构, 对于具有扩散捕食-食饵模型的时空模式及图灵模式已有大量的研究 (见文献[15, 17-18, 22, 25]及其参考文献).本文主要研究正常数平衡点$(u_*, v_*)$处的图灵不稳定性和霍普夫分歧.在本文中, $\mathcal{N}$表示自然数集且$\mathcal{N}_0=\mathcal{N}\cup\{0\}$.算子$-\Delta$在齐次Neumann边界条件下的特征值为: $0=\mu_0<\mu_1\leq\mu_2\leq\cdots\leq\mu_n\cdots$, $\mu_n$对应的特征函数是$\phi_n(x)$.

对于系统 (1.3), 其局部系统是如下常微分方程组

$ \begin{equation}\label{ode} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}=uv^p-\frac{(a+b)u}{1+bu}, \ \ \ \ \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=\lambda\left(1-uv^p\right), \ \ \ \ t>0. \end{equation} $

(2.1)

显然, 由 (1.4) 式定义的$(u_*, v_*)$是系统 (2.1) 的唯一正常数平衡态.下面我们固定参数$a, b>0$并把$\lambda $作为分歧参数.系统 (2.1) 在$(u_*, v_*)$处的Jacobi矩阵为

$ {L_0}(\lambda ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ab}}{{a + b}}}&{{\rm{ }}\frac{p}{{\sqrt[p]{a}}}}\\ { - \lambda a}&{ - \frac{{\lambda p}}{{\sqrt[p]{a}}}} \end{array}} \right). $

(2.2)

$L_0(\lambda)$的特征方程是$ \xi^2-T(\lambda)\xi+D(\lambda)=0, $其中

$ \begin{eqnarray} % \nonumber to remove numbering (before each equation) T(\lambda)= \frac{ab}{a+b}- \frac{p}{\sqrt[p]{a}}\lambda, \ \ D(\lambda)=\frac{\lambda a^2p}{\sqrt[p]{a}(a+b)}>0.\label{tla} \end{eqnarray} $

(2.3)

因为$D(\lambda)>0$, 所以$(u_*, v_*)$局部渐进稳定如果$T(\lambda)<0$, 不稳定如果$T(\lambda)>0$.令

$ \begin{equation}\label{la0} \lambda_0:=\frac{\sqrt[p]{a}ab}{p(a+b)}, \end{equation} $

(2.4)

则$\lambda=\lambda_0$是方程$T(\lambda)=0$唯一的根.从而$(u_*, v_*)$稳定如果$\lambda>\lambda_0$, 不稳定如果$\lambda<\lambda_0$.

当$\lambda=\lambda_0$时, 特征方程有一对纯虚根$\pm {\rm i}\sqrt{D(\lambda_0)}$.令$\xi=\alpha(\lambda)\pm {\rm i}\beta(\lambda)$表示特征方程的两个根, 则有$ \alpha (\lambda)=\frac{T(\lambda)}{2}, \;\beta (\lambda)=\frac{\sqrt{4D(\lambda)-T(\lambda)^2}}{2}, \; \alpha'(\lambda_0)=\frac{1}{2}T'(\lambda_0)=- \frac{p}{2\sqrt[p]{a}}<0. $利用Poincaré-Andronov-Hopf分歧定理[20, Theorem 3.1.3]可知$\lambda=\lambda_0$是系统 (2.1) 唯一的分歧点.由Poincaré-Bendixson理论可知系统 (2.1) 在$\lambda<\lambda_0$时有周期轨道.

定理2.1   令$(u_*, v_*)$表示由 (1.4) 式定义的系统 (2.1) 唯一正平衡态, $\lambda_0$是 (2.4) 式定义的常数.则有

1. $(u_*, v_*)$局部渐进稳定如果$\lambda>\lambda_0$;

2. $(u_*, v_*)$不稳定如果$\lambda<\lambda_0$;

3. $\lambda=\lambda_0$是系统 (2.1) 唯一的霍普夫分歧点, 系统 (2.1) 在$\lambda<\lambda_0$时有周期轨道.

首先, 我们考虑$(u_*, v_*)$处关于模型 (1.3) 的图灵不稳定性.在$(u_*, v_*)$处线性化稳态系统 (1.3), 我们可以得到如下特征值问题

$ \begin{equation}\label{Characteristic problem} L(\lambda)\Phi=\mu\Phi, \ x\in\Omega, \ \ \frac{{\partial \Phi }}{{\partial \nu }}=0, \ x\in\partial \Omega, \end{equation} $

(3.1)

其中$\Phi=(\phi_1, \phi_2)^T$且

$ \begin{equation}\label{lla} L(\lambda)=\left( \begin{array}{cc} d_1\Delta+\frac{ab}{a+b}~~ & \frac{p}{\sqrt[p]{a}} \\[3mm] -\lambda a ~~& d_2\Delta- \frac{\lambda p}{\sqrt[p]{a}} \end{array} \right). \end{equation} $

(3.2)

对任意$n\in\mathcal{N}_0$, 我们定义$2\times2$矩阵

$ \begin{equation}\label{Lnla} L_n(\lambda)=\left( \begin{array}{cc} -d_1\mu_n+\frac{ab}{a+b}~~ & \frac{p}{\sqrt[p]{a}} \\[3mm] -\lambda a~~ & -d_2\mu_n-\frac{\lambda p}{\sqrt[p]{a}} \end{array} \right). \end{equation} $

(3.3)

由傅里叶分解, 我们可以得到如下结论:

1.如果$\mu$是问题 (3.1) 的一个特征值, 则存在$n\in\mathcal{N}_0$使得$\mu$是$L_n(\lambda)$的特征值;

2. $(u_*, v_*)$关于系统 (1.3) 局部渐进稳定当且仅当对任意的$n\in\mathcal{N}_0$, $L_n(\lambda)$的所有特征值都具有负实部;

3. $(u_*, v_*)$关于系统 (1.3) 不稳定, 如果存在$n\in\mathcal{N}_0$使得$L_n(\lambda)$至少有一个特征值具有正实部.

$L_n(\lambda)$的特征方程是

$ \begin{equation}\label{character Lnla} \mu^2-T_n(\lambda)\mu+D_n(\lambda)=0, \end{equation} $

(3.4)

其中

$ {T_n}(\lambda ) =- ({d_1} + {d_2}){\mu _n} + \frac{{ab}}{{a + b}}- \frac{p}{{\sqrt[p]{a}}}\lambda, $

(3.5)

$ {D_n}(\lambda ) = {d_2}{\mu _n}\left( {{d_1}{\mu _n}- \frac{{ab}}{{a + b}}} \right) + \frac{p}{{\sqrt[p]{a}}}\left( {\frac{{{a^2}}}{{a + b}} + {d_1}{\mu _n}} \right)\lambda . $

(3.6)

于是$(u_*, v_*)$局部渐进稳定如果$T_n(\lambda)<0$且$D_n(\lambda)>0$对所有的$n\in\mathcal{N}_0$成立, $(u_*, v_*)$不稳定如果存在$n\in\mathcal{N}_0$使得$T_n(\lambda)>0$或$D_n(\lambda)<0$.

为进一步研究稳定性结果, 我们定义

$ {\lambda _H}(\mu ) =- \frac{{({d_1} + {d_2})\sqrt[p]{a}}}{p}\mu + {\lambda _0}, \;\mu \ge 0, $

(3.7)

$ {\lambda _S}(\mu ) = \frac{{\sqrt[p]{a}{d_2}\left( {ab -{d_1}(a + b)\mu } \right)\mu }}{{p\left( {{a^2} + {d_1}(a + b)\mu } \right)}}, \;\mu \ge 0, $

(3.8)

其中$\lambda_0$由 (2.4) 式定义, 则$\lambda_H(\mu)$和$\lambda_S(\mu)$具有如下性质:

1.函数$\lambda_H(\mu)$关于$\mu\geq0$严格单调递增, $\lambda_H(0)=\lambda_0$, $\lambda_H(\mu_*)=0$, 其中

$ \begin{equation}\label{mu_*} \mu_*:=\frac{p\lambda_0}{(d_1+d_2)\sqrt[p]{a}}=\frac{ab}{(d_1+d_2)(a+b)}. \end{equation} $

(3.9)

2.令

$ \begin{equation}\label{mu^*} \mu^*:=\frac{a\sqrt{a^2+ab}-a^2}{d_1(a+b)}, \end{equation} $

(3.10)

则$\mu=\mu^*$是$\lambda_S(\mu)$的唯一临界值, 函数$\lambda_S(\mu)$关于$\mu\in(0, \mu^*)$严格单调递增, 关于$\mu>\mu^*$严格单调递减. $\lambda_S(0)=\lambda_S(\mu_\#)=0$, $\lambda^*=\sup\limits_{\mu\in(0, +\infty)}\lambda_S(\mu)$, 其中

$ {\mu _\# } = \frac{{ab}}{{{d_1}(a + b)}}, $

(3.11)

$ {\lambda ^*} = {\lambda _S}({\mu ^*}) = \frac{{{d_2}a\sqrt[p]{a}{{\left( {\sqrt {a + b} -\sqrt a } \right)}^2}}}{{{d_1}p(a + b)}}. $

(3.12)

进一步, $\lambda^*>(=, <)\lambda_0$当且仅当$d_2/d_1>(=, <)\chi$, 其中

$ \begin{equation}\label{dayu} \chi:=\frac{b}{\left(\sqrt{a+b}-\sqrt{a}\right)^2}=\frac{2a+b+2\sqrt{a^2+ab}}{b}. \end{equation} $

(3.13)

3. $\lambda_H(\mu)$和$\lambda_S(\mu)$在唯一的点$(\mu_c, \lambda_H(\mu_c))$相交, 其中

$ \begin{equation}\label{muc} \mu_c:=\frac{a\sqrt{(d_2\!-\!d_1)^2b^2\!+\!(d_1\!+\!d_2)^2a^2\!+\!2(d_1^2\!+\!d_2^2)ab}\!-\!a\left((d_2\!-\!d_1)b\!+\!(d_1\!+\!d_2)a\right)}{2d_1^2(a+b)}. \end{equation} $

(3.14)

利用上述分析, 我们下面可给出常数平衡态$(u_*, v_*)$的稳定性结果.我们定义

$ \bar \lambda : = \mathop {\max }\limits_{n \in \mathcal{N}} {\lambda _S}({\mu _n}) \le {\lambda ^*}, $

(3.15)

则$T_n(\lambda)<0$且$D_n(\lambda)>0$对任意的$n\in\mathcal{N}_0$成立, 如果

$ \begin{equation} \lambda>\max\{\lambda_0, \bar \lambda\}. \end{equation} $

(3.16)

另一方面, 如果

$ \begin{equation} \lambda<\max\{\lambda_0, \bar \lambda\}, \end{equation} $

(3.17)

则存在$n\in\mathcal{N}_0$使得$T_n(\lambda)>0$或$D_n(\lambda)<0$.由上述分析, 我们可得到如下定理:

定理3.1  假设$a, b, p, d_1, d_2$是固定的常数.令$\lambda_0$, $\lambda^*$和$\bar \lambda$是分别由 (2.4), (3.12) 和 (3.15) 式定义的常数.则有

1.如果 (3.16) 式成立, 则$(u_*, v_*)$关于系统 (1.3) 局部渐进稳定.特别地, 如果$\lambda>\max\{\lambda_0, \lambda^*\}$, (3.16) 式成立;

2.如果 (3.17) 式成立, 则$(u_*, v_*)$关于系统 (1.3) 不稳定.

下面我们研究图灵不稳定性的产生条件.我们说系统在$(u_*, v_*)$处产生了图灵不稳定性是指$(u_*, v_*)$关于常微分方程组 (2.1) 局部渐进稳定而关于反应扩散系统 (1.3) 不稳定.由定理2.1和3.1可知图灵不稳定性产生如果$\lambda $满足

$ \begin{equation}\label{conditionturing} \lambda_0<\lambda<\bar \lambda. \end{equation} $

(3.18)

因为$\bar \lambda\leq\lambda^*$, 我们需要假设$d_2/d_1>\chi$成立, 从而方程$\lambda_S(\mu)=\lambda_0$具有两不同正根$\mu_l$和$\mu_r$, 其中

$ \begin{equation}\label{mul} \mu_l:=\frac{(d-1)ab-a\sqrt{b}\sqrt{(d-1)^2b-4ad}}{2d_2(a+b)}, \ \ \mu_r:=\frac{(d-1)ab+a\sqrt{b}\sqrt{(d-1)^2b-4ad}}{2d_2(a+b)}, \end{equation} $

(3.19)

这里, $d=d_2/d_1$.从以上分析和$\lambda_S(\mu)$的性质可知 (3.18) 式成立, 如果存在$n\in\mathcal{N}$使得

$ \begin{equation} \mu_n\in(\mu_l, \mu_r). \end{equation} $

(3.20)

由以上讨论我们可得到如下定理:

定理3.2   固定$a, b, p, d_1, d_2$使得$d_2/d_1>\chi$成立, 其中$\chi$由 (3.13) 式定义.令$\lambda_0$, $\bar \lambda$, $\mu_l$和$\mu_r$是分别由 (2.4), (3.15) 和 (3.19) 式定义的常数.则图灵不稳定性发生如果存在$n\in\mathcal{N}$使得 (3.20) 式成立且$\lambda$满足 (3.18) 式.

下面我们研究$(u_*, v_*)$处的霍普夫分歧, 我们将证明空间齐次和非齐次周期轨道的存在性.我们假设所有的特征值$\mu_i$是简单的, 并将其对应的特征函数表示为$\phi_i(x)$, 其中$i\in\mathcal{N}_0$.注意到该假设对于$\mathcal{N}=1$和$\Omega =(0, \ell\pi)$总成立, 这是因为对于$i\in\mathcal{N}_0$, $\mu_i=i^2/\ell^2$且$\phi_i(x)=\cos(ix/\ell)$, 其中$\ell$是一个正常数.

我们使用$\lambda$为分歧参数.为得到霍普夫分歧值$\lambda^H$, 我们将要用到如下的充分条件^{[5, 22]}:存在$m\in\lambda_0$, 使得

$ \begin{equation} T_m(\lambda^H)=0, \;D_m(\lambda^H)>0\; \mbox{对}\;n\in\mathcal{N}_0\setminus\{m\}, \mbox{且}\;T_n(\lambda^H)\not=0, \;D_n(\lambda^H)\not=0, \end{equation} $

(3.21)

其中$T_n(\lambda)$和$D_n(\lambda)$分别由 (3.5) 和 (3.6) 式定义, 且对于虚轴附近的一组复特征值$\alpha (\lambda)\pm {\rm i}\omega(\lambda)$我们有

$ \begin{equation} \alpha '(\lambda^H)\not=0\;\mbox{ 且}\;\omega(\lambda^H)>0. \end{equation} $

(3.22)

对$m\in\mathcal{N}_0$, 我们定义

$ \begin{equation} \lambda_m^H=\lambda_H(\mu_m), \end{equation} $

(3.23)

其中$\lambda_H(\mu)$由 (3.7) 式定义.则$T_m(\lambda_m^H)=0$和$T_n(\lambda_m^H)\not=0$对$n\not=m$成立.

由 (3.21) 式, 我们需要$D_m(\lambda_m^H)>0$条件使$\lambda_m^H$成为可能的分歧值, 由$\lambda_H(\mu)$和$\lambda_S(\mu)$性质我们知道这就意味着$\mu_m<\mu_c$, 其中$\mu_c$由 (3.14) 式定义.令$n_0\in\mathcal{N}_0$使得$\mu_{n_0}<\mu_c\leq\mu_{n_0+1}$, 则我们知道 (3.21) 式对于$\lambda^H=\lambda_m^H$, $m=0, 1, \cdots, n_0$成立.最后我们考虑条件 (3.22).令靠近虚轴$\lambda=\lambda_m^H$, $m=0, 1, \cdots, n_0$的特值值是$\alpha (\lambda ) \pm {\rm{i}}\omega (\lambda ))$, 则有$ \alpha'(\lambda_m^H) = \frac{T'_m(\lambda_m^H)}{2}=-\frac{p}{2\sqrt[p]{a}}<0, \ \omega(\lambda_m^H) = \sqrt{D_m(\lambda_m^H)}>0. $所以如果$m=0, 1, \cdots, n_0$, 条件 (3.21) 和 (3.22) 成立, 这时$\lambda_m^H$, $m=0, 1, \cdots, n_0$是霍普夫分歧值.

定理3.3  假设$a, b, p, d_1, d_2$是固定的常数, $\lambda_0$, $L(\lambda)$, $D_m(\lambda)$, $\mu_c$和$\lambda_m^H$分别由 (2.4), (3.2), (3.6), (3.14) 和 (3.23) 式定义.假设$\Omega $是一个使得$\mu_i$, $i\in\mathcal{N}_0$简单的有界光滑区域, 则存在$n_0\in\mathcal{N}_0$使得$\mu_{n_0}<\mu_c\leq\mu_{n_0+1}$且$\lambda_m^H$是霍普夫分歧值, $m\in\{0, 1, \cdots, n_0\}$.在每个$\lambda_m^H$处, 系统 (1.3) 发生霍普夫分歧, 且分歧出的周期轨道在$(\lambda, u, v)=\left(\lambda_m^H, u_*, v_*\right)$附近可被表示为$(\lambda(s), u(s), v(s))$, 其中$\lambda(s)\in C^\infty$, $\lambda(s)=\lambda_m^H+o(s)$, $s\in(0, \delta)$, $\delta>0$是充分小的常数,

$ u(s)(x, t)= u_*+sa_m\cos\left(\omega\left(\lambda_m^H\right)t\right)\phi_m(x)+o(s), $

$ v(s)(x, t)= v_*+sb_m\cos\left(\omega\left(\lambda_m^H\right)t\right)\phi_m(x)+o(s), $

其中$\omega\left(\lambda_m^H\right)=\sqrt{D_m\left(\lambda_m^H\right)}$表示时间频率, $\phi_m(x)$是对应的特征函数, $(a_m, b_m)$是对应的特征向量, 即

$ \left(L\left(\lambda_m^H\right)-{\rm i}\omega\left(\lambda_m^H\right)I\right)\left( \begin{array}{c} a_m\phi_m(x) \\ b_m\phi_m(x) \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right). $

进一步,

1. $\lambda=\lambda_0^H=\lambda_0$处分歧出的周期轨道是空间齐次的, 该轨道和常微分系统 (2.1) 分歧出的轨道是一致的;

2. $\lambda_m^H$, $m=1, 2, \cdots, n_0$处分歧出的周期轨道是空间非齐次的.

在这部分中, 我们将给出分别由定理3.2和3.3描述的图灵不稳定性和霍普夫分歧的数值模拟.我们假设$N=1$且$\Omega =(0, 3\pi)$, 则$\mu_i=i^2/9$, $i\in\mathcal{N}_0$.

首先我们考虑图灵不稳定性.令$a=4$, $b=5$, $p=2$, 则$(u_*, v_*)=(0.25, 2)$, $\lambda_0=20/9$且$\chi=5$.我们选取$d_1=1$和$d_2=8$使得$d_2/d_1>\chi$, 则计算可得$\mu_l\approx0.3004$, $\mu_r\approx 1.6441$, 且$ 0=\mu_0<\mu_1\approx0.1111<\mu_l<\mu_2\approx0.4444<\mu_3=1<\mu_r<\mu_4\approx1.7778, $这样, $\bar \lambda=\max\{\lambda_S(\mu_2), \lambda_S(\mu_3)\}=\max\{128/45, 88/25\}=88/25=\lambda_S(\mu_3)$.从而由定理3.2可知图灵不稳定性发生如果$\lambda_0=20/9<\lambda<\bar \lambda=88/25$.于是我们选取$\lambda=3$, 则解收敛到空间非齐次平衡态 (见图 1).

其次, 我们考虑霍普夫分歧.令$a=4$, $b=5$, $p=2$, 则$(u_*, v_*)=(0.25, 2)$, $\lambda_0=20/9$且$\chi=5$.我们选取$d_1=1$和$d_2=2$使得$d_2/d_1<\chi$, 计算可得$\mu_c\approx0.491$, $ 0=\mu_0<\mu_1\approx0.1111<\mu_2\approx0.4444<\mu_c<\mu_3=1. $从而可得可能的霍普夫分歧值为: $ \lambda_0^H=\lambda_0\approx2.2222>\lambda_1^H\approx2.111>\lambda_2^H\approx1.7778. $当$\lambda$逐渐较少到$\lambda_0^H$, 霍普夫分歧发生从而产生了空间齐次轨道 (见图 2).