在实际中, 服务台 (设备) 因为年龄、运转磨损和环境的影响, 常常在服务顾客的过程中发生故障而不能为顾客服务, 此时需要修理工人对发生故障的服务台进行修理 (或更换), 修理完成后再继续为顾客服务.对服务台可能发生故障且可修复的这类排队系统, 我们统称为“可修排队系统”.从研究的情况看, 这类排队系统是经典排队系统和休假排队系统的延伸和推广, 不仅要研究系统有关的排队指标, 而且还要研究因服务台可能发生故障而产生的有关可靠性指标.目前, 国内外在可修排队系统领域 (包括连续时间刻画的和离散时间刻画的) 已取得了一系列的重要成果^[1-24].文献[1]是国内最早对M/G/1可修排队系统中服务台的可靠性指标进行研究的文献, 之后, 许多文献运用不同的方法研究了一些可修排队系统, 将系统模型进行了丰富和拓展, 并把问题引进到一些服务员有休假和系统有策略控制的排队系统中, 使得休假排队系统和有策略控制的排队系统研究更丰富和更深入^[9-24].

从管理的角度而言, 当生产制造环境发生改变并且系统拥有者想转换成另外一种控制策略时, 在大多数情况下, 抛弃现有的硬件系统是不可能的, 也是不现实的, 在这种情况下, 混合的二维策略就是一种可供选择的好方案, 能更好地解决实际应用问题.文献[25]研究了基于Min (N, D)-策略控制的M/G/1排队系统, 该控制策略是把系统变空后累积到达的顾客数与这些顾客实际所需的服务时间总量结合起来控制服务员状态转换的一种混合的二维策略, 与文献[26-28]中的Min (N, V)-策略不同.本文在文献[25]的基础上, 把“服务台可能发生故障且可修复”这一实际背景情况引入, 考虑在服务员忙期中“服务台可能发生故障且可修”与具有Min (N, D)-策略控制的M/G/1排队系统, 通过使用全概率分解技术和利用拉普拉斯变换工具, 不仅讨论了系统的排队指标, 而且重点研究了服务台的可靠性指标.最后, 在建立费用模型的基础上, 通过数值实例讨论了最优Min (N, D)-策略问题.

为讨论方便, 我们给出具有Min (N, D)-策略控制的M/G/1可修排队系统描述如下:

1) 顾客到达过程是参数为$\lambda{(\lambda>0)}$的Poisson流, 即相继到达的间隔时间序列$\{\tau_{i}, i\geqslant1\}$相互独立且服从相同的负指数分布$F(t)=1-{\rm e}^{-\lambda t}, t\geqslant0$.顾客的服务时间序列$\{\chi_n, n\geqslant1\}$相互独立且服从相同的任意分布$G(t)$, 且设平均服务时间为$\frac{1}{\mu}=\int_{0}^{\infty}t{\rm d}G(t), (0<\mu<\infty).$

2) 系统采取Min (N, D)-策略控制:每当系统变空时, 服务员开始处于闲期 (空闲但在岗), 直到系统中累积到达了$N(N\geq1)$个顾客, 或者到达系统等待服务的顾客实际所需服务时间总量不小于$D{(D\geq0)}$, 无论哪一个先发生, 处于闲期的服务员将重新开始服务顾客, 直到系统再次变空, 其中$N$是预先给定的正整数, $D$是预先给定的非负实数.

3) 系统中有一个服务台, 其寿命$X$服从参数为$\alpha{(0\leq\alpha<\infty)}$的负指数分布$X(t)=1-{\rm e}^{-\alpha t}, t\geq0$.服务台失效后立即进行修理, 其修理时间$Y$是任意分布$Y(t)=P \left\{ {Y\leq t} \right\}, t\geq0$, 且平均修理时间为$0\leq \beta=\int_{0}^{\infty}t{\rm d}Y(t)<\infty$.另外, 在服务台空闲期间, 即没有对顾客服务的期间, 服务台既不发生失效也不会变坏, 即不会影响服务台的使用寿命.当服务台失效时, 正在接受服务的顾客需要等待其修复后再接受服务, 且已服务过的时间仍然有效.服务台修复后, 完全恢复其功能, 寿命仍为$X$, 且$t=0$时服务台是新的.

4) 到达的间隔时间$\tau$, 服务时间$\chi$, 服务台的寿命$X$, 维修时间$Y$均相互独立.

5) 在$t=0$时, 若系统为空, 则服务员留在系统中等待顾客到达, 且到达的第一个顾客立即被服务, 即只有在服务员繁忙一段时间后才实行Min (N, D)-策略 (这样的假设更符合实际情况, 但平稳结果与此假设无关).

令$\tilde{\chi}_{n}$表示第$n$个顾客从开始接受服务的时刻起直到服务结束的时间, 其中包括了在该顾客的服务期间, 服务台可能发生失效而进行修理的时间, 称$\tilde{\chi}_{n}$为第$n$个顾客的“广义服务时间”.对$t\geq0$, 令$\tilde{G}_{n}(t)=P\left\{ {\tilde{\chi}_{n}\leq t}\right\}$, 根据文献[29]中第 (10.1.2) 式, 可得

$ \begin{equation}\label{eq:a1} \tilde{G}(t)=\tilde{G}_{n}(t)=P\left\{ {\tilde{\chi}_{n}\leq t}\right\}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{t}Y^{(k)}(t-x){\rm e}^{-\alpha x}\frac{(\alpha x)^{k}}{k!}{\rm d}G(x) \end{equation} $

(2.1)

与$n$无关, 其拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换为

$ \begin{equation}\label{eq:a2} \tilde{g}(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}{\rm d}\tilde{G}(t)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}[y(s)]^{k}\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-(s+\alpha)t}\frac{(\alpha t)^{k}}{k!}{\rm d}G(t)=g(s+\alpha-\alpha y(s)). \end{equation} $

(2.2)

而且平均“广义服务时间”为

$ \begin{equation} E[\tilde{\chi}_{n}]=\frac{1+\alpha\beta}{\mu}. \end{equation} $

(2.3)

其中, $g(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}{\rm d}G(t)$与$y(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}{\rm d}Y(t)$分别表示分布函数$G(t)$与$Y(t)$的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换 (下同).

由于负指数分布的“无记忆”性质, 可以推得$\left\{\tilde{\chi}_{n}, n\geq1\right\}$相互独立、同分布$\tilde{G}(t)$, 因此易得如下引理:

引理2.1   如果我们把$\tilde{\chi}_{n}$直接理解为第$n$个顾客的“服务时间”, 则所研究的系统等价于文献[25]研究的具有Min (N, D)-策略控制的M/G/1排队系统, 其中输入过程是参数$\lambda$的Poisson流, 顾客的服务时间序列$\{\tilde{\chi}_n, n\geqslant1\}$独立且同分布$\tilde{G}(t)$, 系统采取Min (N, D)-策略.

因此, 该系统的排队指标可按文献[25]的讨论方法得到.为节约篇幅, 本文只列出后面讨论要用到的结果.

设$\tilde{b}$表示该系统从一个顾客开始的“服务员忙期”长度, 且$\tilde{B}(t)=P\big\{\tilde{b}\leq t\big\}, t\geq0; \tilde{b}(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}{\rm d}\tilde{B}(t), \Re(s)>0$.

推论2.1^[29]  对$\Re(s)>0, \tilde{b}(s)$是方程$z=\tilde{g}(s+\lambda-\lambda z)$在$|z|<1$内的惟一根, 并且

$ \begin{equation} \tilde{B}(t)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\lambda x}\frac{(\lambda x)^{j-1}}{j!}{\rm d}\tilde{G}^{(j)}(x), \end{equation} $

(2.4)

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \tilde B(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1, }&{\tilde \rho \le 1}\\ {\omega < 1, }&{\tilde \rho > 1} \end{array}, } \right.\;\;E(\tilde b) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\tilde \rho }}{{\lambda (1-\tilde \rho )}}, }&{\tilde \rho < 1}\\ {\infty, }&{\tilde \rho \ge 1} \end{array}, } \right. $

(2.5)

其中$\tilde{\rho}=\frac{\lambda(1+\alpha\beta)}{\mu}, \omega(0<\omega<1)$是方程$z=\tilde{g}(\lambda-\lambda z)$在 (0, 1) 内的根, $\Re(s)$表示复变量$s$的实部.

令$\tilde{b}^{<i>}$表示从$i$个顾客开始的服务员忙期长度, 因为到达过程是泊松过程, 所以有$P\big\{\tilde{b}^{<i>}\leq t\big\}=\tilde{B}^{(i)}(t), t\geq 0, i\geq 1.$

对$t\geq0$, 令$\Psi_{i}(t)=P\left\{\mbox{服务台的首次失效时间}\leq t\mid_{N(0)=i}\right\}, \psi_{i}(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}{\rm d}\Psi_{i}(t), $ $ \Re(s)\geq0, i\geq0$, 其中$N(0)=i$表示$t=0$时刻系统中的顾客数.

定理3.1  对$\Re(s)\geq0$, 有

$ \begin{equation} \psi_{0}(s)=\frac{\alpha f(s)}{s+\alpha} \left\{1-\frac{b(s+\alpha)[1-\Pi(s)]}{\Delta(s+\alpha)}\right\}, \label{eq:b1} \end{equation} $

(3.1)

$ \begin{equation} \psi_{i}(s)=\frac{\alpha}{s+\alpha} \left\{1-\frac{b^{i}(s+\alpha)[1-\Pi(s)]}{\Delta(s+\alpha)}\right\}, i\geq1, \label{eq:b2} \end{equation} $

(3.2)

且平均首次失效时间为

$ \begin{equation} \int_{0}^{\infty}t{\rm d}\Psi_{0}(t)=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\lambda}+\frac{b(\alpha)}{\lambda[1-b(\alpha)]} \cdot\frac{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}G^{(m)}(D)}{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}[b(\alpha)]^{m}G^{(m)}(D)}, \label{eq:b3} \end{equation} $

(3.3)

$ \begin{equation} \int_{0}^{\infty}t{\rm d}\Psi_{i}(t)=\frac{1}{\alpha}+\frac{[b(\alpha)]^{i}}{\lambda[1-b(\alpha)]} \cdot\frac{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}G^{(m)}(D)}{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}[b(\alpha)]^{m}G^{(m)}(D)}, i\geq1, \label{eq:b4} \end{equation} $

(3.4)

其中, $f(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}{\rm d}F(t); b(\alpha)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-\alpha t}{\rm d}B(t)$, $B(t)$为文献[25]研究的基于Min (N, D)-策略M/G/1排队系统, 从一个顾客开始的服务员忙期长度的分布, 由文献[25]中引理3.1给出; $\Delta(s+\alpha)=1-G^{(N-1)}(D)[f(s)b(s+\alpha)]^{N}-\sum\limits_{m=1}^{N-1}A_{m}(D)[f(s)b(s+\alpha)]^{m}; \Pi(s)=G^{(N-1)}(D)[f(s)]^{N}+\sum\limits_{m=1}^{N-1}A_{m}(D)[f(s)]^{m}; G^{(m)}(D)=P\left\{ \sum\limits_{i=1}^{m}\chi_{i}\leq D\right\}, G^{(0)}(D)=1;\\ A_{m}(D)=G^{(m-1)}(D)-G^{(m)}(D), m=1, 2, \cdots, N-1.$

证   由于在服务台的首次失效前服务台没有发生故障, 所以考虑基于$Min(N, D)$-策略的M/G/1排队系统, 令$b$表示系统从一个顾客开始的服务员忙期长度, $b^{\langle i\rangle}$表示从$i(i\geq 1)$个顾客开始的服务员忙期长度, 则$B(t)=P\left\{ b\leq t\right\}$由文献[25]的引理3.1确定, 有

$ \begin{eqnarray} B(t)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\lambda x}\frac{(\lambda x)^{j-1}}{j!}{\rm d}G^{(j)}(x), t\geq0.\label{eq:b5} \end{eqnarray} $

(3.5)

$P\left\{ b^{\langle i\rangle}\leq t\right\}=B^{(i)}(t), t\geq0, i\geq1.$

令$\tilde{X}$表示服务台首次失效前的寿命长度, 且令$S_{k}=\sum\limits_{i=1}^{k}\chi_{i}, l_{k}=\sum\limits_{i=1}^{k}\tau_{i}, k\geq1, S_{0}=l_{0}=0$.由于在服务台的首次失效之前, 系统是忙期和闲期交替的, 且结合Min$(N, D)$-策略, 则

$ \begin{eqnarray} \Psi_{i}(t)&=&P\left\{\tilde{X}\leq t, X\leq b^{\langle i\rangle}\right\}+P\left\{ \tilde{X}\leq t, X> b^{\langle i\rangle}\right\}\nonumber\\ & =&\int_{0}^{t}[1-B^{(i)}(x)]{\rm d}X(x)+P\left\{ b^{\langle i\rangle}+\hat{\tau}_{1}+l_{N-1}\leq \tilde{X}\leq t, S_{N-1}<D, X> b^{\langle i\rangle}\right\}\nonumber\\ && +\sum\limits_{m=1}^{N-1}P\left\{ b^{\langle i\rangle}+\hat{\tau}_{1}+l_{m-1}\leq \tilde{X}\leq t, S_{m-1}<D\leq S_{m}, X> b^{\langle i\rangle}\right\}\nonumber\\ & =&\int_{0}^{t}[1-B^{(i)}(x)]{\rm d}X(x)+G^{(N-1)}(D)\int_{0}^{t} \int_{0}^{t-x}\Psi_{N}(t-x-y){\rm e}^{-\alpha x}{\rm d}F^{(N)}(y){\rm d}B^{(i)}(x)\nonumber\\ && +\sum\limits_{m=1}^{N-1}A_{m}(D)\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-x}\Psi_{m}(t-x-y){\rm e}^{-\alpha x}{\rm d}F^{(m)}(y){\rm d}B^{(i)}(x), i\geq1.\label{eq:b6} \end{eqnarray} $

(3.6)

$ \begin{equation} \Psi_{0}(t)=\int_{0}^{t}\Psi_{1}(t-x){\rm d}F(x).\label{eq:b7} \end{equation} $

(3.7)

对 (3.6)-(3.7) 式作拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换得到

$ \begin{eqnarray} \psi_{i}(s)&=&[1-b^{i}(s+\alpha)]X(s)+b^{i}(s+\alpha)\psi_{N}(s)G^{(N-1)}(D)[f(s)]^{N}\nonumber\\ && +b^{i}(s+\alpha)\sum\limits_{m=1}^{N-1}\psi_{m}(s)A_{m}(D)[f(s)]^{m}, i\geq1.\label{eq:b8} \end{eqnarray} $

(3.8)

$ \begin{equation} \psi_{0}(s)=\psi_{1}(s)f(s), \label{eq:b9} \end{equation} $

(3.9)

其中$X(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}{\rm d}X(t)=\frac{\alpha}{s+\alpha}.$在 (3.8) 式中, 令$i=1$, 代入 (3.9) 式, 得

$ \begin{eqnarray} \psi_{0}(s)&=&[1-b(s+\alpha)]X(s)f(s)+f(s)b(s+\alpha)\psi_{N}(s)G^{(N-1)}(D)[f(s)]^{N}\nonumber\\ &&+f(s)b(s+\alpha)\sum\limits_{m=1}^{N-1}\psi_{m}(s)A_{m}(D)[f(s)]^{m}.\label{eq:b10} \end{eqnarray} $

(3.10)

再由 (3.8) 式和 (3.10) 式得到$\psi_{i}(s)$与$\psi_{0}(s)$的关系式

$ \begin{eqnarray} \psi_{i}(s)=X(s)[1-b^{i-1}(s+\alpha)]+\frac{b^{i-1}(s+\alpha)}{f(s)}\psi_{0}(s), i\geq1.\label{eq:b11} \end{eqnarray} $

(3.11)

将 (3.11) 式代入 (3.10) 式, 可解得$\psi_{0}(s)$, 整理即得到 (3.1) 式, 将 (3.1) 式再代入 (3.11) 式, 整理即得到 (3.2) 式.

再由$\int_{0}^{\infty}t{\rm d}\Psi_{i}(t)=-\frac{ {\rm d}\psi_{i}(s)}{{\rm d}s}\mid_{s=0}$, 并注意到如下式子:

$ \lim\limits_{s \to 0^{+}}\Pi(s)=G^{(N-1)}(D)+\sum\limits_{m=1}^{N-1}A_{m}(D)=1, $

$ \lim\limits_{s \to 0^{+}}\Delta(s+\alpha)=[1-b(\alpha)][1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}[b(\alpha)]^{m}G^{(m)}(D)], $

$ \lim\limits_{s \to 0^{+}}\Pi'(s)=-\frac{1}{\lambda}[1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}G^{(m)}(D)]. $

经计算即可得到 (3.3)-(3.4) 式.证毕.

首先, 考虑一个经典的单部件可靠性系统^[30], 其工作寿命$X$有分布$X(t)=1-{\rm e}^{-\alpha t}, t\geq0$.系统失效后立即修理, 修理时间$Y$有一般分布$Y(t)$, 平均修理时间为$\beta$, 系统修复如新, 立即转为工作状态, 进一步设$t=0$时刻系统是新的, 而且$X$与$Y$相互独立.对$t\geq0$, 令

$ \tilde{\Phi}(t)=P\left\{\mbox{时刻$t$系统失效}\right\}, \quad \tilde{M}(t)=E\left\{ (0, t]\mbox{内系统的失效次数}\right\}. $

$ \tilde{\varphi}^{*}(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}\tilde{\Phi}(t){\rm d}t, \quad \tilde{m}(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}{\rm d}\tilde{M}(t). $

引理3.1^[30]   对$\Re(s)\geq0$, 有

$ \begin{eqnarray*} \tilde{\varphi}^{*}(s)=\frac{\alpha[1-y(s)]}{s[s+\alpha-\alpha y(s)]}, \tilde{m}(s)=\frac{\alpha}{s+\alpha-\alpha y(s)}, \end{eqnarray*} $

且有平稳结果

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t \to\infty}\tilde{\Phi}(t)=\lim\limits_{s \to 0^{+}}s\tilde{\varphi}^{*}(s)=\frac{\alpha\beta}{1+\alpha\beta}, \lim\limits_{t \to\infty}\frac{\tilde{M}(t)}{t}=\lim\limits_{s \to 0^{+}}s\tilde{m}(s)=\frac{\alpha}{1+\alpha\beta}. \end{eqnarray*} $

对$t\geq0$, 令

$ {\Phi _i}(t) = P\left\{ {时刻t服务台失效{\mid _{N(0) = i}}} \right\}, \varphi _i^*(s) = \int_0^\infty {{{\rm{e}}^{-st}}} {\Phi _i}(t){\rm{d}}t, i \ge 0.{\rm{ }} $

定理3.2   对$\Re(s)\geq0$, 有

$ \begin{equation} \varphi_{0}^{*}(s)=\frac{\alpha[1-y(s)]f(s)}{s[s+\alpha-\alpha y(s)]} \left\{ 1-\frac{\tilde{b}(s)[1-\Pi(s)]}{\tilde{\Delta}(s)}\right\}, \label{eq:b12} \end{equation} $

(3.12)

$ \begin{equation} \varphi_{i}^{*}(s)=\frac{\alpha[1-y(s)]}{s[s+\alpha-\alpha y(s)]} \left\{ 1-\frac{\tilde{b}^{i}(s)[1-\Pi(s)]}{\tilde{\Delta}(s)}\right\}, i\geq1, \label{eq:b13} \end{equation} $

(3.13)

且稳态不可用度为

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\Phi _i}(t) = \mathop {\lim }\limits_{s \to {0^ + }} s\varphi _i^*(s) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\lambda \alpha \beta }}{\mu }, \;\;\;\;\tilde \rho < 1\\ \frac{{\alpha \beta }}{{1 + \alpha \beta }}, \;\;\tilde \rho \ge 1 \end{array} \right.. $

(3.14)

其中, $y(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}{\rm d}Y(t), \tilde{\Delta}(s)=1-G^{(N-1)}(D)[f(s)\tilde{b}(s)]^{N}- \sum\limits_{m=1}^{N-1}A_{m}(D)[f(s)\tilde{b}(s)]^{m}$, $\Pi(s)$如定理3.1所示, $\tilde{b}(s)$由推论2.1给出.

证   1) 根据模型假设, 服务台在系统闲期内不失效, 而且在每一个服务员的“广义忙期”开始的时候服务台都正常, 寿命仍为$X$, 所以时刻$t$服务台失效当且仅当时刻$t$落在服务员的某个“广义忙期”中, 且时刻$t$服务台失效.令$S_{k}=\sum\limits_{i=1}^{k}\chi_{i}, l_{k}=\sum\limits_{i=1}^{k}\tau_{i}, k\geq1, S_{0}=l_{0}=0$.于是对$i\geq1$, 有

$ \begin{eqnarray} \Phi_{i}(t)&=&P\left\{0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}, \mbox{时刻$t$服务台失效}\right\}\\ && +P\left\{\tilde{b}^{\langle i\rangle}+\hat{\tau}_{1}+l_{N-1} \leq t, S_{N-1}<D, \mbox{时刻$t$ 服务台失效}\right\}\\ && +\sum\limits_{m=1}^{N-1}P\left\{\tilde{b}^{\langle i\rangle} +\hat{\tau}_{1}+l_{m-1}\leq t, S_{m-1}<D\leq S_{m}, \mbox{时刻$t$服务台失效}\right\}\\ &=&P\left\{0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}, \mbox{时刻$t$服务台失效}\right\}\\ &&+G^{(N-1)}(D)\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-x}\Phi_{N}(t-x-y){\rm d}F^{(N)}(y){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x)\\ && +\sum\limits_{m=1}^{N-1}A_{m}(D)\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-x}\Phi_{m}(t-x-y){\rm d}F^{(m)}(y){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x)\\ &=&\tilde{S}_{i}(t)+G^{(N-1)}(D)\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-x}\Phi_{N}(t-x-y){\rm d}F^{(N)}(y){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x)\\ && +\sum\limits_{m=1}^{N-1}A_{m}(D)\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-x} \Phi_{m}(t-x-y){\rm d}F^{(m)}(y){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x), \label{eq:b15} \end{eqnarray} $

(3.15)

$ \begin{equation} \Phi_{0}(t)=\int_{0}^{t}\Phi_{1}(t-x){\rm d}F(x), \label{eq:b16} \end{equation} $

(3.16)

其中$\tilde{S}_{i}(t)=P\left\{0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}, \mbox{时刻}t\mbox{服务台失效}\right\}, i\geq1.$

2) 由于服务台在“广义忙期” $\tilde{b}^{\langle i\rangle}$的开始和结束时刻都是正常的, 而且在“广义忙期” $\tilde{b}^{\langle i\rangle}$中服务台是正常和失效的交替更新过程, 于是用$\tilde{b}^{\langle i\rangle}$对上述引理3.1中的$\tilde{\Phi}(t)$进行全概率分解 (如图 1所示), 得

$ \begin{eqnarray*} \tilde{\Phi}(t)&=&P\left\{\mbox{时刻$t$系统失效}\right\}\nonumber\\ &=&P\left\{0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}, \mbox{时刻$t$系统失效}\right\} +P\left\{\tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t, \mbox{时刻$t$系统失效}\right\}\nonumber\\ &=&P\left\{0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}, \mbox{时刻$t$系统失效}\right\} +\int_{0}^{t}\tilde{\Phi}(t-x){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x). \end{eqnarray*} $

于是

$ \begin{equation} \tilde{S}_{i}(t)=\tilde{\Phi}(t)-\int_{0}^{t}\tilde{\Phi}(t-x){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x), i\geq1, \label{eq:b17} \end{equation} $

(3.17)

其中$\tilde{\Phi}(t)$由引理3.1确定.

3) 将 (3.17) 式代入 (3.15) 式, 作拉普拉斯变换, 得到

$ \begin{eqnarray} \varphi_{i}^{*}(s)&=&\tilde{\varphi}^{*}(s)[1-\tilde{b}^{i}(s)]+\tilde{b}^{i}(s)\varphi_{N}^{*}(s)G^{(N-1)}(D)[f(s)]^{N}\nonumber\\ && +\tilde{b}^{i}(s)\sum\limits_{m=1}^{N-1}\varphi_{m}^{*}(s)A_{m}(D)[f(s)]^{m}, i\geq1.\label{eq:b18} \end{eqnarray} $

(3.18)

对 (3.16) 式作拉普拉斯变换, 得

$ \begin{eqnarray} \varphi_{0}^{*}(s)=\varphi_{1}^{*}(s)f(s).\label{eq:b19} \end{eqnarray} $

(3.19)

在 (3.18) 式中, 令$i=1$, 代入 (3.19) 式, 解得

$ \begin{eqnarray} \varphi_{0}^{*}(s)&=&\tilde{\varphi}^{*}(s)f(s)[1-\tilde{b}(s)]+f(s)\tilde{b}(s)\varphi_{N}^{*}(s)G^{(N-1)}(D)[f(s)]^{N}\nonumber\\ && +f(s)\tilde{b}(s)\sum\limits_{m=1}^{N-1}\varphi_{m}^{*}(s)A_{m}(D)[f(s)]^{m}.\label{eq:b20} \end{eqnarray} $

(3.20)

由 (3.18) 式和 (3.20) 式得到$\varphi_{i}^{*}(s)$与$\varphi_{0}^{*}(s)$的关系式如下

$ \begin{equation} \varphi_{i}^{*}(s)=\tilde{\varphi}^{*}(s)[1-\tilde{b}^{i-1}(s)]+\frac{\tilde{b}^{i-1}(s)}{f(s)}\varphi_{0}^{*}(s), i\geq1.\label{eq:b21} \end{equation} $

(3.21)

将 (3.21) 式代入 (3.20) 式, 可解得$\varphi_{0}^{*}(s)$, 整理即得到 (3.12) 式, 将 (3.12) 式代入 (3.21) 式, 整理即得到 (3.13) 式.

再由$\lim\limits_{t \to \infty}\Phi_{i}(t)=\lim\limits_{s\to 0^{+}}s\varphi_{i}^{*}(s)$, 使用洛必达法则, 并注意如下式子

$ \lim\limits_{s \to 0^{+}}\tilde{\Delta}(s)=1-G^{(N-1)}(D)-\sum\limits_{m=1}^{N-1}A_{m}(D)=0, $

$ \lim\limits_{s \to 0^{+}}\tilde{\Delta}'(s)=\frac{1}{\lambda(1-\tilde{\rho})}[1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}G^{(m)}(D)]. $

经计算可得 (3.14) 式.证毕.

令$M_{i}(t)$表示从初始状态$N(0)=i$出发, 服务台在$(0, t]$内失效的平均次数, 且$m_{i}(s)=\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-st}{\rm d}M_{i}(t), i\geq0$.

定理3.3   对$\Re(s)\geq0$, 有

$ \begin{equation} m_{0}(s)=\frac{\alpha f(s)}{s+\alpha-\alpha y(s)} \left\{ 1-\frac{\tilde{b}(s)[1-\Pi(s)]}{\tilde{\Delta}(s)}\right\}, \label{eq:b22} \end{equation} $

(3.22)

$ \begin{equation} m_{i}(s)=\frac{\alpha}{s+\alpha-\alpha y(s)} \left\{ 1-\frac{\tilde{b}^{i}(s)[1-\Pi(s)]}{\tilde{\Delta}(s)}\right\}, i\geq1, \label{eq:b23} \end{equation} $

(3.23)

且长期单位时间内的平均失效次数为

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{{M_i}(t)}}{t} = \mathop {\lim }\limits_{s \to {0^ + }} s{m_i}(s) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\lambda \alpha }}{\mu }, }&{\tilde \rho < 1, }\\ {\frac{\alpha }{{1 + \alpha \beta }}, }&{\tilde \rho \ge 1, } \end{array}} \right. $

(3.24)

其中$y(s), \tilde{\Delta}(s)$由定理3.2给出, $\Pi(s)$由定理3.1给出, $\tilde{b}(s)$由推论2.1给出.

证   1) 对$i\geq1$, 类似 (3.15) 式, 利用全概率分解, 得

$ \begin{eqnarray} M_{i}(t)&=&E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数}, 0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}\right\}\nonumber\\ && +E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数}, \tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \right\}\nonumber\\ &=&E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数}, 0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle} \right\}\nonumber\\ &&+E\left\{ (0, \tilde{b}^{\langle i\rangle}]\mbox{内服务台的失效次数}, \tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \right\}\nonumber\\\\ &&+G^{(N-1)}(D)\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-x}M_{N}(t-x-y){\rm d}F^{(N)}(y){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x)\nonumber\\ &&+\sum\limits_{m=1}^{N-1}A_{m}(D)\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-x}M_{m}(t-x-y){\rm d}F^{(m)}(y){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x)\nonumber\\ &=&\tilde{H}_{i}(t)+\tilde{L}_{i}(t)+G^{(N-1)}(D)\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-x}M_{N}(t-x-y){\rm d}F^{(N)}(y){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x)\nonumber\\ &&+\sum\limits_{m=1}^{N-1}A_{m}(D)\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-x}M_{m}(t-x-y){\rm d}F^{(m)}(y){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x), \label{eq:b25} \end{eqnarray} $

(3.25)

$ \begin{equation} M_{0}(t)=\int_{0}^{t}M_{1}(t-x){\rm d}F(x), \label{eq:b26} \end{equation} $

(3.26)

其中$\tilde{H}_{i}(t)=E\big\{ (0, t]$内服务台的失效次数, $0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle} \big\}, $ $\tilde{L}_{i}(t)=E\big\{ (0, \tilde{b}^{\langle i\rangle}]$内服务台的失效次数, $\tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \big\}, i\geq1.$

2) 类似 (3.17) 式, 用$\tilde{b}^{\langle i\rangle}$对引理3.1中的$\tilde{M}(t)$进行全概率分解, 有

$ \begin{eqnarray*} \tilde{M}(t)&=&E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数}, 0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}\right\}\\ && +E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数}, \tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \right\}\\ &=&E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数}, 0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}\right\}\\ && +E\left\{ (0, \tilde{b}^{\langle i\rangle}]\mbox{内服务台的失效次数}, \tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \right\}\\ &&+E\left\{ (\tilde{b}^{\langle i\rangle}, t]\mbox{内服务台的失效次数}, \tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \right\}\\ &=&\tilde{H}_{i}(t)+\tilde{L}_{i}(t)+\int_{0}^{t}\tilde{M}(t-x){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x), \end{eqnarray*} $

于是

$ \begin{eqnarray} \tilde{H}_{i}(t)+\tilde{L}_{i}(t)=\tilde{M}(t)-\int_{0}^{t}\tilde{M}(t-x){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x), i\geq1, \label{eq:b27} \end{eqnarray} $

(3.27)

其中$\tilde{M}(t)$由引理3.1确定.

3) 对 (3.25)-(3.27) 式作拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换, 然后类似定理3.2即可证明.

一些特殊情况:

推论3.1  当N=1或D=0时, 本文研究的可修排队系统等价于经典的M/G/1可修排队系统^[1], 在上述所有结论中, 令$N=1$或$D=0$即可得到与文献[1]完全一致的相应结果 (但本文的研究方法与文献[1]不同).

推论3.2  当$D\rightarrow\infty$或$P\left\{ \chi_{1}+\chi_{2}+\cdots+\chi_{N}<D\right\}=1$时, 本文研究的可修排队系统等价于基于$N$-策略的M/G/1可修排队系统, 在上述所有结论中, 令$D\rightarrow\infty$或$P\left\{ \chi_{1}+\chi_{2}+\cdots+\chi_{N}<D\right\}=1$, 有

1) 首次失效时间分布:

$ \begin{eqnarray*} &&\psi_{0}(s)=\frac{\alpha f(s)}{s+\alpha} \left\{1-\frac{b(s+\alpha)[1-f^{N}(s)]}{1-[f(s)b(s+\alpha)]^{N}}\right\}, \\ &&\psi_{i}(s)=\frac{\alpha}{s+\alpha} \left\{1-\frac{b^{i}(s+\alpha)[1-f^{N}(s)]}{1-[f(s)b(s+\alpha)]^{N}}\right\}, i\geq1. \end{eqnarray*} $

且

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{0}^{\infty}t{\rm d}\Psi_{0}(t)=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\lambda}+\frac{Nb(\alpha)}{\lambda[1-b^{N}(\alpha)]}, \\ &&\int_{0}^{\infty}t{\rm d}\Psi_{i}(t)=\frac{1}{\alpha}+\frac{Nb^{i}(\alpha)}{\lambda[1-b^{N}(\alpha)]}, i\geq1. \end{eqnarray*} $

2) 服务台的不可用度:

$ \begin{eqnarray*} &&\varphi_{0}^{*}(s)=\frac{\alpha[1-y(s)]f(s)}{s[s+\alpha-\alpha y(s)]} \left\{ 1-\frac{\tilde{b}(s)[1-f^{N}(s)]}{1-[f(s)\tilde{b}(s)]^{N}}\right\}, \\ &&\varphi_{i}^{*}(s)=\frac{\alpha[1-y(s)]}{s[s+\alpha-\alpha y(s)]} \left\{ 1-\frac{\tilde{b}^{i}(s)[1-f^{N}(s)]}{1-[f(s)\tilde{b}(s)]^{N}}\right\}, i\geq1. \end{eqnarray*} $

3) 服务台的平均失效次数:

$ \begin{eqnarray*} &&m_{0}(s)=\frac{\alpha f(s)}{s+\alpha-\alpha y(s)} \left\{ 1-\frac{\tilde{b}(s)[1-f^{N}(s)]}{1-[f(s)\tilde{b}(s)]^{N}}\right\}, \\ &&m_{i}(s)=\frac{\alpha}{s+\alpha-\alpha y(s)} \left\{ 1-\frac{\tilde{b}^{i}(s)[1-f^{N}(s)]}{1-[f(s)\tilde{b}(s)]^{N}}\right\}, i\geq1. \end{eqnarray*} $

证  当$D\rightarrow\infty$或$P\left\{ \chi_{1}+\chi_{2}+\cdots+\chi_{N}<D\right\}=1$时, 有$G^{(m)}(D)=1, m=0, 1, 2, \cdots, $代入上述相应结论, 整理可得.

首先, 建立系统的费用结构模型如下:

$h \equiv$在稳态下每位顾客在系统中逗留每单位时间所需费用;

$c \equiv$服务台失效时单位时间的修理费用;

$R \equiv$在每个忙循环内的一次启动费用.

令$E[F_{Min(N, D)}]$表示该系统在稳态下单位时间内所需费用的期望值, 由文献[31], 得到

$ \begin{eqnarray} E[F_{Min(N, D)}]=\frac{E[\mbox{一个忙循环所需的总费用}]}{E[\mbox{一个忙循环的长度}]}.\label{eq:c1} \end{eqnarray} $

(4.1)

在系统达到稳态$(\tilde{\rho}<1)$下, 我们用$C_{Min(N, D)}$表示系统的忙循环长度, 也就是一个“服务员忙期”和一个服务员闲期之和, 其中服务员闲期是指从系统变空到服务员开始为顾客服务的这段时间, 用$I_{Min(N, D)}$表示.用$N_{Min(N, D)}$表示在“服务员忙期”开始时系统中的顾客数, 则

$ \begin{eqnarray*} &&P\left\{ N_{Min(N, D)}=m \right\}=P\left\{ \sum\limits_{i=1}^{m-1}\chi_{i}<D\leq\sum\limits_{i=1}^{m}\chi_{i} \right\}=A_{m}(D), m=1, 2, \cdots, N-1.\\ & &P\left\{ N_{Min(N, D)}=N \right\}=P\left\{ \sum\limits_{i=1}^{N-1}\chi_{i}<D \right\}=G^{(N-1)}(D). \end{eqnarray*} $

所以在“服务员忙期”开始时系统的平均顾客数为

$ \begin{eqnarray} E[ N_{Min(N, D)}]=1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}G^{(m)}(D).\label{eq:c2} \end{eqnarray} $

(4.2)

从$N_{Min(N, D)}$个顾客开始的“服务员忙期”的平均长度, 结合推论2.1, 可得

$ \begin{eqnarray} E[\tilde{b}_{Min(N, D)}]=E[\tilde{b}]\cdot E[N_{Min(N, D)}]=\frac{\tilde{\rho}}{\lambda(1-\tilde{\rho})}\cdot E[N_{Min(N, D)}], \tilde{\rho}<1.\label{eq:c3} \end{eqnarray} $

(4.3)

由于顾客到达过程是参数$\lambda$的泊松过程, 则

$ \begin{eqnarray} E[I_{Min(N, D)}]=\frac{E[N_{Min(N, D)}]}{\lambda}.\label{eq:c4} \end{eqnarray} $

(4.4)

于是系统的平均忙循环长度$E[C_{Min(N, D)}]$为

$ \begin{eqnarray} E[C_{Min(N, D)}]=E[\tilde{b}_{Min(N, D)}]+E[I_{Min(N, D)}]=\frac{E[N_{Min(N, D)}]}{\lambda(1-\tilde{\rho})}, \tilde{\rho}<1.\label{eq:c5} \end{eqnarray} $

(4.5)

则系统长期单位时间内的平均费用为

$ \begin{eqnarray} E[F_{Min(N, D)}]&=&\frac{h\bar{L}_{Min(N, D)}E[C_{Min(N, D)}]+E[\tilde{b}_{Min(N, D)}]\cdot \frac{\alpha\beta}{1+\alpha\beta}\cdot c+R}{E[C_{Min(N, D)}]}\nonumber\\ & =&h\cdot\bar{L}_{Min(N, D)}+c\cdot \frac{\lambda\alpha\beta}{\mu}+R\cdot\frac{1}{E[C_{Min(N, D)}]}\nonumber\\ & =&h\cdot\left\{\tilde{\rho} +\frac{\lambda^{2}E[\tilde{\chi}^{2}]}{2(1-\tilde{\rho})} +\frac{\sum\limits_{k=1}^{N-1}kG^{(k)}(D)}{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}G^{(m)}(D)} \right\}\nonumber\\ && +c\cdot\frac{\lambda\alpha\beta}{\mu} +\frac{R\cdot\lambda(1-\tilde{\rho})}{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}G^{(m)}(D)}, \label{eq:c6} \end{eqnarray} $

(4.6)

其中$\bar{L}_{Min(N, D)}$由文献[25]得

$ \bar{L}_{Min(N, D)}=\tilde{\rho}+\frac{\lambda^{2}E[\tilde{\chi}^{2}]} {2(1-\tilde{\rho})} +\frac{\sum\limits_{k=1}^{N-1}kG^{(k)}(D)}{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}G^{(m)}(D)}, \quad E[\tilde{\chi}^{2}]=\frac{{\rm d}^{2}}{{\rm d}s^{2}}[\tilde{g}(s)]_{s=0}. $

例   假设服务时间$\chi$服从负指数分布$G(t)=1-{\rm e}^{-\mu t}, t\geq0$, 服务台失效后的修理时间$Y$服从负指数分布$Y(t)=1-{\rm e}^{-\beta t}, t\geq0$, 得到

$ \begin{eqnarray} E[F_{Min(N, D)}]&=&h\cdot\left\{\frac{\lambda(\alpha+\beta)}{\mu\beta} +\frac{\lambda^{2}[(\alpha+\beta)^{2}+\alpha\mu]}{\mu\beta[\mu\beta-\lambda(\alpha+\beta)]} +\frac{\sum\limits_{k=1}^{N-1}k\cdot[1-{\rm e}^{-\mu D}\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{(\mu D)^{i}}{i!}]}{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}[1-{\rm e}^{-\mu D}\sum\limits_{i=0}^{m-1}\frac{(\mu D)^{i}}{i!}]} \right\}\nonumber\\ && +c\cdot\frac{\lambda\alpha}{\mu\beta}+R\cdot\frac{\lambda\mu\beta-\lambda^{2}(\alpha+\beta)}{\mu\beta}\cdot\frac{1} {1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}[1-{\rm e}^{-\mu D}\sum\limits_{i=0}^{m-1}\frac{(\mu D)^{i}}{i!}]}.\label{eq:c7} \end{eqnarray} $

(4.7)

取$\lambda=0.95, \mu=3, \alpha=0.5, \beta=3.5, h=20, c=30, R=200, $计算可得$\tilde{\rho}=0.3619<1, $将其代入 (4.7) 式中, 得到$E[F_{Min(N, D)}]$的数值计算结果 (表 1和图 2所示).当$(N^{*}, D^{*})=(4, 4.9242)$时, $E[F_{Min(N, D)}]=73.3948$是费用函数的最小值.因此, 当系统中顾客到达4个或者是到达顾客所需实际服务时间总量不小于4.9242时, 服务员开始为顾客服务.