近年来, 有关延迟微分方程解析解振动性质的研究越来越多^[1-6], 而非线性方程由于其在生物、物理、医学等方面的重要作用, 对其解的振动性质研究也越来越广泛^[7-12].然而这些研究成果绝大多数都是关于解析解的, 有关非线性方程数值解振动性质的研究目前为止研究成果还很少^[13-14].文献[13-14]里的非线性函数满足一定的条件, 把原方程的振动性转化为其对应的线性方程的振动性.但本文考虑的方程中非线性函数并不满足文献[13-14]中的条件, 所以需要对其采取不同的方法来处理.本文主要考虑以下方程

$ \begin{equation} x'(t)+\sum_{i=1}^{k}p_{i}({\rm e}^{\alpha_{i}x(t-\sigma_{i})}-1)=0 \end{equation} $

(1.1)

数值解的振动性, 其中$p_{i}$, $\alpha_{i}$, $\sigma_{i}\in(0, \infty).$

定义1.1^[15]   设x(t) 是定义在无穷区间$[a, \infty)$上的连续函数, 若x(t) 有任意大的零点, 就说函数x(t) 是振动的, 即对任给的$b>a, $都存在$c>b, $使得$x(c)=0.$相反的, 若存在着$b>a, $使得对$t>b$恒有$x(t)\neq0, $则称函数x(t) 是非振动的, 即x(t) 是最终正的或最终负的.

定义1.2^[15]  若$x_{n}-y_{n}$不是最终正的也不是最终负的, 则称$x_{n}$是关于$y_{n}$振动的.如果$y_{n}=y$是常数列, 我们简单的称$x_{n}$关于$y$振动.实际上, 当$y=0, $则称$x_{n}$是振动的.

定义1.3^[15]  若微分方程的所有解是振动的, 则称此微分方程是振动的.差分方程的所有解是振动的, 则称此差分方程是振动的.

定义1.4^[15]  若微分方程 (1.1) 是振动的, 存在一个$h_{0}>0, $使得当$h<h_{0}$时, 方程 (1.1) 通过线性θ-方法得到的差分方程也是振动的, 则称线性θ-方法保持方程 (1.1) 的振动性.

定理1.1^[15]   考虑如下线性差分方程

$ \begin{equation} a_{n+1}-a_{n}+\sum_{i=1}^{m}p_{i}a_{n-k_{i}}=0, n=0, 1, 2, \cdots, \end{equation} $

(1.2)

其中

$ p_{i}\in(0, \infty), k_{i}\in\{0, 1, 2, \cdots \}, (i=1, 2, \cdots, m). $

若

$ \sum_{i=1}^{m}p_{i}\frac{(k_{i}+1)^{k_{i}+1}}{k_{i}^{k_{i}}}>1, $

则方程 (1.2) 的所有解振动.

考虑方程 (1.1), 令

$ f_{i}(u)=\alpha_{i}^{-1}({\rm e}^{\alpha_{i}u}-1), $

这里$i=1, 2, \cdots, k$, $f_{i}\in C({\Bbb R}, {\Bbb R}).$则方程 (1.1) 等价于

$ \begin{equation} x'(t)+\sum_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}f_{i}(x(t-\sigma_{i}))=0. \end{equation} $

(2.1)

方程 (2.1) 对应的线性化方程为

$ \begin{equation} x'(t)+\sum_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}x(t-\sigma_{i})=0. \end{equation} $

(2.2)

接下来我们考虑如下条件:

(H1) $uf_{i}(u)>0$, $u\neq 0$, $\lim\limits_{u\rightarrow0}$ $\frac{f_{i}(u)}{u}=1$, $i=1, 2, \cdots, k$;

(H2) 存在$\delta>0$, 使得或者

$ f_{i}(u)\leq u, u\in[0, \delta), i=1, 2, \cdots, k, $

或者

$ f_{i}(u)\geq u, u\in(-\delta, 0], i=1, 2, \cdots, k. $

由文献[15]知, 如果$f_{i}$满足$(H_{1})$与$(H_{2}), $那么方程 (2.1) 的振动性就等价于方程 (2.2) 的振动性.由于$f_{i}$满足$(H_{1})$显然成立, 但$f_{i}$不满足$(H_{2}), $所以我们考虑如下条件$(H_{3})$.

(H3) 存在$r>0, \delta>0, K>0$, 使得在$(-\delta, \delta)$内, $f_{i}(u)$是非减的, $i=1, 2, \cdots, k, $且有

$ f_{i}(u)\leq u+K|u|^{1+r}, u\in[0, \delta), ~~i=1, 2, \cdots, k, $

或者

$ f_{i}(u)\geq u-K|u|^{1+r}, u\in(-\delta, 0], ~~ i=1, 2, \cdots, k. $

定理2.1  方程 (2.1) 中的$f_{i}$ $(i=1, 2, \cdots, k)$满足$(H_{1})$与$(H_{3})$.

证  $u>0$时,

$ f_{i}(u)=\frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}>0 $

且

$ \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{{f_i}(u)}}{u} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{{{\rm{e}}^{{\alpha _i}u}}-1}}{{{\alpha _i}u}} = 1. $

$u<0$时,

$ f_{i}(u)=\frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}<0 $

且

$ \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{{f_i}(u)}}{u} = 1. $

因此$(H_{1})$满足.

由

$ f_{i}'(u)=(\frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}})'={\rm e}^{\alpha_{i}u}>0, $

所以任给$u>0$, 都存在$\delta>0$, 当$u\in(-\delta, \delta)$内时, $f_{i}(u)$非减.

下面我们证存在$r=1$, $K=\alpha_{i}{\rm e}^{\alpha_{i}\delta}$, 当$u\in[0, \delta)$时, 有

$ f_{i}(u)\leq u+K|u|^{1+r}, ~~ i=1, 2, \cdots , k. $

令

$ G(u)=\big(1+(1+r)Ku^{r}\big)-{\rm e}^{\alpha_{i}u}, $

则有

$ G'(u)=r(1+r)Ku^{r-1}-\alpha_{i}{\rm e}^{\alpha_{i}u} =2\alpha_{i}{\rm e}^{\alpha_{i}\delta}-\alpha_{i}{\rm e}^{\alpha_{i}u}. $

当$u\in[0, \delta)$时, 不难看出$G'(u)>0$且$G(0)=0, $所以$G(u)>G(0)$, 即

$ (1+(1+r)Ku^{r})-{\rm e}^{\alpha_{i}u}>0. $

令

$ F(u)=1+\alpha_{i}u+K\alpha_{i}u^{(1+r)}-{\rm e}^{\alpha_{i}u}, $

则

$ F'(u)=\alpha_{i}+(1+r)K\alpha_{i}u^{r}-{\rm e}^{\alpha_{i}u}\alpha_{i} =\alpha_{i}(1+(1+r)Ku^{r}-{\rm e}^{\alpha_{i}u})>0. $

由$F(0)=0$, 有$F(u)>F(0)$, 即

$ 1+\alpha_{i}u+K\alpha_{i}u^{1+r}-{\rm e}^{\alpha_{i}u}>0. $

因此

$ {\rm e}^{\alpha_{i}u}-1<1+\alpha_{i}u+K\alpha_{i}u^{1+r}-1. $

整理得到

$ \frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}<u+Ku^{1+r}, $

即

$ f_{i}(u)\leq u+K|u|^{1+r}, u\in[0, \delta), i=1, 2, \cdots, k. $

再由不等式${\rm e}^{x}\geq{1+x}$, $x\in {\Bbb R}$, 有

$ f_{i}(u)=\frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}\geq u\geq u-\alpha_{i}{\rm e}^{\alpha_{i}\delta}|u|^{2}, u\in(-\delta, 0], $

即

$ \frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}\geq {u-K|u|^{1+r}}, $

也就是

$ f_{i}(u)\geq u-K|u|^{1+r}, u\in(-\delta, 0], i=1, 2, \cdots , k. $

所以$(H_{3})$满足.

由文献[16]知, 如果$(H_{1})$与$(H_{3})$成立, 则方程 (2.1) 振动等价于方程 (2.2) 振动.又由文献[15]可知, 方程 (2.2) 所有解振动的充分条件是$\sum\limits_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}\sigma_{i}>\frac{1}{\rm e}, $所以我们有如下定理:

定理2.2  若$p_{i}, \alpha_{i}, \sigma_{i}\in(0, \infty)$且满足

$ \begin{equation} \sum_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}\sigma_{i}>\frac{1}{\rm e}, \end{equation} $

(2.3)

则方程 (1.1) 的所有解是振动的.

把线性θ-方法应用到方程 (2.1), 则可得

$ {x_{n + 1}}-{x_n} = \theta h(-\sum\limits_{i = 1}^k {{p_i}} {\alpha _i}{f_i}({x_{n + 1}}-{b_i}r)) + (1 - \theta )h( - \sum\limits_{i = 1}^k {{p_i}} {\alpha _i}{f_i}({x_n} - {b_i}r)), $

(3.1)

这里$\sigma_{i}=b_{i}r$, $h=\frac{r}{m}$, $m, b_{i}\in {\Bbb N}^{+}$, $i=1, 2, \cdots, k$.

令

$ \sigma_{k+i}=\sigma_{i}-h, i=1, 2, \cdots, k. $

由$\sigma_{i}=b_{i}r=b_{i}mh$, 则

$ b_{k+i}mh=b_{i}m h-h, $

所以

$ b_{k+i}m=b_{i}m-1, $

也即

$n+1-b_{i}m=n-b_{k+i}m, $

因此有

$ x_{n+1}-b_{i}r=x_{n}-b_{k+i}r. $

接下来我们令

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_{k + 1}}({x_n}-{b_{k + 1}}r) = {f_1}({x_{n + 1}}-{b_1}r), {\rm{ }}}\\ {{f_{k + 2}}({x_n}-{b_{k + 2}}r) = {f_2}({x_{n + 1}} - {b_2}r), }\\ \cdots \\ {{f_{2k}}({x_n} - {b_{2k}}r) = {f_k}({x_{n + 1}} - {b_k}r).} \end{array} $

即

$ f_{k+i}(x_{n}-b_{k+i}r)=f_{i}(x_{n+1}-b_{i}r), i=1, 2, \cdots, k. $

则方程 (3.1) 变为

$ \begin{eqnarray} x_{n+1}-x_{n}&=&\theta h\big(-\sum_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}f_{k+i}(x_{n}-b_{k+i}r)\big) +(1-\theta)h\big(-\sum_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}f_{i}(x_{n}-b_{i}r)\big). \end{eqnarray} $

(3.2)

再令

$ q_{k+i}=\theta p_{i}\alpha_{i}, \quad q_{i}=(1-\theta)p_{i}\alpha_{i}, \quad i=1, 2, \cdots, k. $

则方程 (3.2) 变为

$ \begin{eqnarray*} x_{n+1}-x_{n}&=&-h\sum_{i=1}^{k}q_{k+i}f_{k+i}(x_{n}-b_{k+i}r)-h\sum_{i=1}^{k}q_{i}f_{i}(x_{n}-b_{i}r)\\ &=&-h\sum_{i=1}^{2k}q_{i}f_{i}(x_{n}-b_{i}r). \end{eqnarray*} $

即

$ {x_{n + 1}}-{x_n} + h\sum\limits_{i = 1}^{2k} {{q_i}} {f_i}({x_n}-{b_i}r) = 0. $

(3.3)

方程 (3.3) 对应的线性化方程为

$ {x_{n + 1}}-{x_n} + h\sum\limits_{i = 1}^{2k} {{q_i}} {x_{n-{b_i}m}} = 0. $

(3.4)

由于$f_{i}$满足$(H_{1})$与$(H_{3})$.由文献[17]知, 方程 (3.3) 的所有解振动就等价于方程 (3.4) 的所有解振动.

定理3.1  由定理1.1可知, 若有

$ \sum\limits_{i = 1}^{2k} h {q_i}\frac{{{{({b_i}m + 1)}^{{b_i}m + 1}}}}{{{{({b_i}m)}^{{b_i}m}}}} > 1 $

成立, 则方程 (3.4) 的所有解是振动的.

定理3.2  若条件 (2.3) 成立, 则

(1) $\theta=0$时, 方程 (3.1) 的所有解振动;

(2) $\theta\neq0$时, 存在$h_{0}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}\sigma_{i}{\rm e}-1} {\sum\limits_{i=1}^{k}\theta p_{i}\alpha_{i}{\rm e}}$, 当$h<h_{0}$时, 方程 (3.1) 的所有解振动.

证

$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{i=1}^{2k}hq_{i}\frac{(b_{i}m+1)^{b_{i}m+1}}{(b_{i}m)^{b_{i}m}}\nonumber\\ &=&\sum_{i=1}^{k}h(1-\theta)p_{i}\alpha_{i}\frac{(b_{i}m+1)^{b_{i}m+1}}{(b_{i}m)^{b_{i}m}} +\sum_{i=1}^{k}h\theta p_{i}\alpha_{i}\frac{(b_{k+i}m+1)^{b_{k+i}m+1}}{(b_{k+i}m)^{b_{k+i}m}}\\ &=&\sum_{i=1}^{k}h(1-\theta)p_{i}\alpha_{i}\frac{(b_{i}m+1)^{b_{i}m+1}}{(b_{i}m)^{b_{i}m}} +\sum_{i=1}^{k}h\theta p_{i}\alpha_{i}\frac{(b_{i}m)^{b_{i}m}}{(b_{i}m-1)^{b_{i}m-1}}\\ &=&\sum_{i=1}^{k}h(1-\theta)p_{i}\alpha_{i}b_{i}m(\frac{b_{i}m+1}{b_{i}m})^{b_{i}m+1} +\sum_{i=1}^{k}h\theta p_{i}\alpha_{i}(b_{i}m-1)(\frac{b_{i}m}{b_{i}m-1})^{b_{i}m}\\ &=&\sum_{i=1}^{k}h(1-\theta)p_{i}\alpha_{i}b_{i}m(1+\frac{1}{b_{i}m})^{b_{i}m+1} +\sum_{i=1}^{k}h\theta p_{i}\alpha_{i}(b_{i}m-1)(1+\frac{1}{b_{i}m-1})^{b_{i}m}\\ &\geq&\sum_{i=1}^{k}h(1-\theta)p_{i}\alpha_{i}b_{i}m{\rm e}+\sum_{i=1}^{k}h\theta p_{i}\alpha_{i}(b_{i}m-1){\rm e}\\ &=&\sum_{i=1}^{k}(1-\theta)p_{i}\alpha_{i}\sigma_{i}{\rm e}+\sum_{i=1}^{k}\theta p_{i}\alpha_{i}\sigma_{i}{\rm e} -\sum_{i=1}^{k}h\theta p_{i}\alpha_{i}{\rm e}\\ &=&\sum_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}\sigma_{i}{\rm e}-\sum_{i=1}^{k}h\theta p_{i}\alpha_{i}{\rm e}. \end{eqnarray*} $

当$\theta=0$时, 由 (2.3) 式, 显然有

$ \sum\limits_{i = 1}^{2k} h {q_i}\frac{{{{({b_i}m + 1)}^{{b_i}m + 1}}}}{{{{({b_i}m)}^{{b_i}m}}}} = \sum\limits_{i = 1}^k {{p_i}} {\alpha _i}{\sigma _i}{\rm{e}} > 1. $

当$\theta\neq0$时, 若$h<h_{0}$, 仍然有

$ \sum\limits_{i = 1}^{2k} h {q_i}\frac{{{{({b_i}m + 1)}^{{b_i}m + 1}}}}{{{{({b_i}m)}^{{b_i}m}}}} = \sum\limits_{i = 1}^k {{p_i}} {\alpha _i}{\sigma _i}{\rm{e}}-\sum\limits_{i = 1}^k h \theta {p_i}{\alpha _i}{\rm{e}} > 1. $

则由定理3.1知, 方程 (3.1) 的所有解振动.

推论3.1   当条件 (2.3) 成立时, 只要$h<h_{0}, $则方程 (1.1) 的数值解也是振动的, 这里$h_{0}$如定理3.2定义.

本节中将考虑方程 (1.1) 与方程 (3.1) 非振动解的渐近行为.

定理4.1   若x(t) 是方程 (1.1) 的一个非振动解, 则有$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0$.

证   因为x(t) 是方程 (1.1) 的一个非振动解, 所以我们不妨假设x(t) 是最终正的, 即存在$T\in{\Bbb R}, $使得$t>T$时, 有$x(t)>0, $所以当$t>T+\sigma_{i}$时, 有$x(t-\sigma_{i})>0.$由于$f_{i}$满足$(H_{1}), $所以对$i=1, 2, \cdots, k$有当$u>0$时, $f_{i}(u)>0.$由方程 (2.1) 可知

$ x'(t) =-\sum\limits_{i = 1}^k {{p_i}} {\alpha _i}{f_i}(x(t-{\sigma _i})) < 0, $

(4.1)

所以x(t) 是减函数.因此存在一个$\eta\geq0, $使得

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } x(t) = \eta . $

接下来我们证明$\eta=0.$否则若$\eta>0, $则存在一个$t^{*}>0, $ $\varepsilon>0, $使得$t>t^{*}$时, 有

$ 0<\eta-\varepsilon<x(t)<\eta+\varepsilon, $

所以当$t>t^{*}+\sigma_{i}$时, 有

$ 0<\eta-\varepsilon<x(t-\sigma_{i})<\eta+\varepsilon. $

则由方程 (4.1) 有

$ x'(t) =-\sum\limits_{i = 1}^k {{p_i}} {\alpha _i}{f_i}(x(t-{\sigma _i})) <-\sum\limits_{i = 1}^k {{p_i}} {\alpha _i}{f_i}(\eta - \varepsilon ) < 0, $

即$x'(t)<A<0$, 其中

$ A =-\sum\limits_{i = 1}^k {{p_i}} {\alpha _i}{f_i}(\eta-\varepsilon ). $

因此

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } x(t) =-\infty, $

这与$t>T$时, $x(t)>0$是矛盾的.所以$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0.$

定理4.2   若${x_{n}}$是方程 (3.1) 的非振动解, 则有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0.$

证   因为${x_{n}}$是方程 (3.1) 的非振动解, 不妨假设$x_{n}$是最终正的.即存在$N^{*}\in{\Bbb N}, $当$n>N^{*}$时, $x_{n}>0, $再由方程 (3.3) 可得

$ \begin{equation} x_{n+1}-x_{n}<0, \end{equation} $

(4.2)

所以${x_{n}}$递减.因此存在一个$\eta_{0}\geq0, $使得

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = {\eta _0}. $

接下来我们证明$\eta_{0}=0.$否则若$\eta_{0}>0, $则存在一个$N_{1}\in{\Bbb N}, $ $\varepsilon>0, $使得$n>N_{1}$时,

$ 0<\eta_{0}-\varepsilon<x_{n}<\eta_{0}+\varepsilon, $

所以当$n>N_{1}+b_{i}m$时,

$ \eta_{0}-\varepsilon<x_{n-b_{i}m}<\eta_{0}+\varepsilon, $

则有

$ {x_{n + 1}}-{x_n} =-\sum\limits_{i = 1}^{2k} h {q_i}{f_i}({x_{n-{b_i}m}}) < - \sum\limits_{i = 1}^{2k} h {q_i}{f_i}({\eta _0} - \varepsilon ) < 0, $

所以

$ {x_{n + 1}}-{x_n} <-\sum\limits_{i = 1}^{2k} h {q_i}{f_i}({\eta _0}-\varepsilon ) < 0, $

即$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=-\infty.$这与$n>N^{*}$时, $x_{n}>0$是矛盾的, 所以$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0.$

例1  考虑方程

$ \begin{equation}\label{e5.1} x'(t)+ {\rm e}^{{\rm e}^{-1}x(t-5)}-1=0, x(t)=1.4, -5\leq t\leq 0, \end{equation} $

(5.1)

其中$p_{1}=1, $ $\alpha_{1}={\rm e}^{-1}, $ $\sigma_{1}=5.$

容易验证方程 (5.1) 满足条件 (2.3), 所以由定理2.2知, 方程 (5.1) 的所有解是振动的.当$\theta=0.8$时, $h_{0}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}\sigma_{i}{\rm e}-1}{\sum\limits_{i=1}^{k}\theta p_{i}\alpha_{i}{\rm e}}=5, $则由定理3.2知, 当$h<h_{0}$时, 方程 (5.1) 的数值解也振动. 图 1画的是方程 (5.1) 解的图像, 图 2画的是当$h=0.25$时方程 (5.1) 数值解的图像.由图 1和图 2知, 解和数值解都是振动的.这与定理3.2的结论是吻合的.

例2  考虑方程

$ \begin{equation}\label{e5.2} x'(t)+ 3({\rm e}^{\frac{1}{4}x(t-2)}-1)+\frac{1}{4}({\rm e}^{\frac{1}{2}x(t-2)}-1)=0, x(t)=1, -2\leq t\leq 0, \end{equation} $

(5.2)

其中$p_{1}=3, $ $\alpha_{1}=\frac{1}{4}, $ $\sigma_{1}=2, $ $p_{2}=\frac{1}{4}, $ $\alpha_{2}=\frac{1}{2}, $ $\sigma_{2}=2.$

易验证方程 (5.2) 满足条件 (2.3), 所以方程 (5.2) 的所有解是振动的.当$\theta=0.5$时, $h_{0}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}\sigma_{i} {\rm e}-1}{\sum\limits_{i=1}^{k}\theta p_{i}\alpha_{i}{\rm e}}\approx3.16, $由定理3.2知, 只要$h<h_{0}, $那么方程 (5.2) 的数值解也是振动的. 图 3画出了方程 (5.2) 解的图像, 图 4画出了h=0.1时数值解的图像.由图 3和图 4知, 解和数值解都是振动的.这与定理3.2的结论也是吻合的.

例3   考虑方程

$ x'(t) + \frac{1}{4}({{\rm{e}}^{\frac{1}{2}x(t - 0.5)}} - 1) = 0,x(t) = 1.5, - 0.5 \le t \le 0, $

(5.3)

其中$p_{1}=\frac{1}{4}, $ $\alpha_{1}=\frac{1}{2}, $ $\sigma_{1}=0.5.$

易知$\sum\limits_{i=1}^{k}p_{i}\alpha_{i}\sigma_{i}<\frac{1}{\rm e}.$由文献[15]知, 此时方程 (5.3) 存在一个非振动解. 图 5画出了方程 (5.3) 的解, 发现此解趋于0. 图 6画出了当$\theta=0.4, $ $h=0.05$时方程 (5.3) 的数值解, 发现数值解也非振动, 且此解也趋于0.这与定理4.1和定理4.2的结论是分别吻合的.