在本文中, 我们研究热传导方程

$ \begin{equation}\label{1.1} u_{t}-\triangle u=f, \ \ (x, t)\in Q_1 \end{equation} $

(1.1)

解的部分正则性.对于一个多变量函数来说, 如果它在某些方向是光滑的, 就称它是部分正则的.我们将证明方程 (1.1) 解的部分Schauder估计, 即解的部分正则性, 其中$Q_{r}=\{(x, t)\in {\Bbb R}^{n}\times{\Bbb R}^{1}:|x|<r, 1-r^2\leq t\leq1\}$.具体来说, 如果$f\in L^1(Q_1)$并且对于某个$\alpha\in(0, 1), \ f$沿$x_{n}$方向具有指数为$\alpha$的Hölder连续性, 那么$u_{x_{i}x_{n}}\in C^{\alpha}(Q_1), \ i=1, \cdots, n$, 也就是$u_{x_{i}x_{n}}$沿任一方向关于指数$\alpha$是Hölder连续.当$f$关于所有方向是Hölder连续 (即$f \in C^{\alpha, \frac{\alpha}{2}}_{x, t}$) 或者Dini连续时, 则分别有$u\in C^{2+\alpha, \frac{1+\alpha}{2}}_{x, t}$或者$u\in C^{2, 1}_{x, t}$, 这就是经典的Schauder估计.当$f(x, t)$关于变量$x$是Hölder连续并且关于变量$t$是连续时, Knerr在文献[4]中证明了$u, \partial_xu, \partial^2_xu\in C^{\alpha, \frac{\alpha}{2}}_{x, t}$.第一个部分正则性结果是Filatov在文献[2]中利用Newton位势理论研究Poisson方程得到的. Wang在文献[6]中构造出一个简单的扰动方法, 证明了关于Poisson方程的经典Schauder估计, 其特点是只需利用调和函数的极值原理, 不需要使用Newton位势理论, 就可得到经典Schauder估计的积分形式的统一表达式, 即当非齐次项$f$ Lipschitz连续, Hölder连续或者Dini连续时, 经典Schauder估计均可由该表达式推出. Tian和Wang在文献[5]中利用文献[6]的扰动方法证明了类似于文献[2]的结果, 其表现形式和文献[6]是一致的, 需要指出的是该证明不可避免的要用到Newton位势理论.最近关于椭圆方程解的部分正则性结果, 可以参考文献[3]和^[7].本文中我们研究热传导方程, 得到了类似于文献[5]中有关Poisson方程的结果, 该结果部分推广了文献[4]的工作.

假设$\xi$是${\Bbb R}^{n}$中的一个单位向量, $\phi$是定义在$Q_1$上的函数.对任意$(x, t)\in Q_1$, 定义

$ \omega_{\phi, \xi}(r)=\sup\{|\phi(x, t)-\phi(x+l\xi, t)|:(x, t), \ (x+l\xi, t)\in Q_1, \ |l|<r\}, $

$ \omega_{\phi}(r)=\sup\{\omega_{\phi, \xi}(r):\xi\in{\Bbb R}^{n}, \ |\xi|=1\}. $

当

$ \displaystyle\int^1_0\displaystyle\frac{\omega_{\phi, \xi}(r)}{r}{\rm d}r<\infty $

时, 称$\phi$沿$\xi$的方向Dini连续.如果$\omega_{\phi, \xi}\in C^{\alpha}$, 就称$\phi$沿$\xi$的方向关于Hölder指数$\alpha$是Hölder连续, 记为$\phi\in C^{\alpha}_{\xi}(Q_1)$ (如果$\alpha=1$, 记为$C^{0, 1}_{\xi}(Q_1)$), 并记其范数为

$ {\left\| \phi \right\|_{C_\xi ^\alpha ({Q_1})}} = \mathop {\sup }\limits_{(x,t) \in {Q_1}} |\phi (x,t)| + \mathop {\sup }\limits_{l > 0} \frac{{{\omega _{\phi ,\xi }}(l)}}{{{l^\alpha }}}. $

(2.1)

此外, 在本文中我们假设$u$是一个光滑解.由逼近方法可知下述估计对弱解也成立.

定理2.1  假设$u$是方程 (1.1) 的一个光滑解, 那么对任意$(x, t), \ (z, t)\in Q_{1\delta}$, 有

$ |{\partial _\xi }{\partial _x}u(x,t) - {\partial _\xi }{\partial _x}u(z,t)| \le C[d{\mkern 1mu} \mathop {\sup }\limits_{{Q_1}} |u| + \int_0^d {\frac{{{\omega _{f,\xi }}(r)}}{r}} + d\int_d^1 {\frac{{{\omega _{f,\xi }}(r)}}{{{r^2}}}} + d\int_{{Q_1}} | f|] $

(2.2)

成立, 其中$\partial_{x}$表示函数沿任一方向的偏导数, $d=|x-z|, \ \delta>0$是任意给定的常数,

$ Q_{1\delta}=\{(x, t)\in Q_1: {\rm dist}((x, t), \partial_{p}Q_1)>\delta\}, $

$ \partial_{p}$表示抛物边界, $C>0$是一个只依赖于$n, Q_1$和$\delta$的常数.

由 (2.2) 式可得

$ {\left\| {{\partial _\xi }{\partial _x}u} \right\|_{{C^\alpha }({Q_{1\delta }})}} \le C[\mathop {\sup }\limits_{{Q_1}} |u| + \frac{{{{\left\| f \right\|}_{C_\xi ^\alpha ({Q_1})}}}}{{\alpha (1 - \alpha )}}],\;\;\alpha \in (0,1), $

$ |{\partial _\xi }{\partial _x}u(x,t) - {\partial _\xi }{\partial _x}u(z,t)| \le Cd{\mkern 1mu} [\mathop {\sup }\limits_{{Q_1}} |u| + {\left\| f \right\|_{C_\xi ^{0,1}}}|\log d|],\;\;\alpha = 1. $

特别地, 由函数$f(x, t)$的Dini连续性以及 (2.2) 式可得$\partial_\xi\partial_x u$的连续性估计.

证  不妨设$\xi=e_{n}:=(0, \cdots, 0, 1)$.记

$ Q_{k}=Q_{\rho^{k}}(\rho=\frac{1}{2}). $

设$u_{k}, \ k=0, 1, 2, \cdots$为方程

$ \begin{equation}\label{2.3} \left\{\begin{array}{ll} (u_{k})_{t}-\triangle u_{k}=f(x', 0, t), ~~& (x', 0, t)\in Q_{k}, \\ u_{k}=u, &(x, t)\in\partial_{p}Q_{k} \end{array} \right. \end{equation} $

(2.3)

的解, 其中$x' =(x_1, \cdots, x_{n-1})$.根据假设$u, \ f$和$u_{k}$都是光滑的.设$(z, 1)$为$(0, 1)$附近的一个点, 取$k\geq1$, 使得$\rho^{k+4}\leq|z|<\rho^{k+3}$, 则

$ \begin{equation}\label{2.4} |\partial_{x_n}\partial_x u(z, 1) -\partial_{x_n}\partial_x u(0, 1)| \leq I_1+I_2+I_3, \end{equation} $

(2.4)

其中

$ \begin{eqnarray*} &&I_1= |\partial_{x_n}\partial_x u_k(0, 1)-\partial_{x_n}\partial_x u(0, 1)|, \\ && I_2= |\partial_{x_n}\partial_x u_k (z, 1) -\partial_{x_n}\partial_x u_k(0, 1)|, \\ && I_3= |\partial_{x_n}\partial_x u(z, 1)- \partial_{x_n}\partial_x u_k (z, 1)|. \end{eqnarray*} $

下面分别对$I_1, \ I_2, \ I_3$进行估计.在估计的过程中我们会用到文献[1]中的结论:设$u$为热传导方程 (1.1) 的解, 则存在只与$n, \ k$有关的常数$C_{n, k}$, 使得

$ \begin{equation}\label{2.5} |D^{k}_{x}u(x, t)|\leq C_{n, k}r^{-k}\|u\|_{L^{\infty}(Q_{r})}, \ \ (x, t)\in Q_{r+1}. \end{equation} $

(2.5)

首先估计$I_1$.由方程 (2.3) 可得:在$Q_{k}$内, 有

$ (u_{k}-u)_{t}-\triangle (u_{k}-u)=f(x', 0, t)-f(x', x_{n}, t) $

成立, 在$\partial_{p} Q_{k}$上, 有$u_{k}-u=0$成立, 并且在$Q_{k}$内,

$ |f(x', 0, t)-f(x', x_n, t)|\leq \omega_{f, \xi} (\rho^{k}). $

由极大值原理可得

$ \begin{equation}\label{2.6} \|u_{k}-u\|_{L^{\infty}(Q_{k})}\leq C\rho^{2k}\omega_{f, \xi} (\rho^{k}). \end{equation} $

(2.6)

进而有

$ \begin{equation}\label{2.7} \|u_{k}-u_{k+1}\|_{L^{\infty}(Q_{k+1})}\leq C\rho^{2k}\omega_{f, \xi} (\rho^{k}). \end{equation} $

(2.7)

由 (2.5) 式可得:对任意整数$m\geq0$, 存在只依赖于$n$和$m$的常数$C_{n, m}$, 使得

$ \begin{equation}\label{2.8} |\partial_x^{m} (u_{k}-u_{k+1})(0, 1)|\leq C_{n, m}\rho^{-km}\|u_{k}-u_{k+1}\|_{L^\infty(Q_{k+1})}. \end{equation} $

(2.8)

因此

$ \begin{equation}\label{2.9} |\partial_x^2 (u_{k}-u_{k+1})(0, 1)|\leq C \omega_{f, \xi}(\rho^{k}). \end{equation} $

(2.9)

由$u\in C^2$可得

$ \begin{eqnarray}\label{2.10} |\partial^2_{x} u_{k}(0, 1)- \partial^2_{x} u(0, 1)| &\leq& \sum_{j\geq k}| \partial^2_{x} u_{j}(0, 1)-\partial^2_{x} u_{j+1}(0, 1)| \\ &\leq& C \sum_{j\geq k}\omega_{f, \xi}(\rho^j) \nonumber\\ &\leq& C\int_0^d \frac {\omega_{f, \xi}(r)}{r}{\rm d}r, \end{eqnarray} $

(2.10)

其中$C$是一个常数.特别地, 有

$ \begin{equation}\label{2.11} I_1= |\partial_{x_n}\partial_{x} u_k(0, 1)-\partial_{x_n}\partial_{x} u(0, 1)| \leq C\int_0^{d} \frac {\omega_{f, \xi}(r)}{r}{\rm d}r. \end{equation} $

(2.11)

下面估计$I_2$.记$h_{j}=u_{j}-u_{j-1}$.当$j\leq k$时, $(z, 1)$是$Q_{j}$的一个内点.由 (2.7) 和 (2.8) 式得

$ \begin{eqnarray}\label{2.12} |\partial_{x}^2h_{j}(z, 1)-\partial_{x}^2h_{j} (0, 1)| &\leq& |z||\partial_{x}^3 h_j(\hat q)|\\ &\leq& C|z|\rho^{-3j} \|u_{j}-u_{j-1}\|_{L^{\infty}(Q_{j})}\nonumber\\ &\leq& C|z|\rho^{-j}\omega_{f, \xi}(\rho^{j}), \end{eqnarray} $

(2.12)

其中$\hat q$是连接$(0, 1)$和$(z, 1)$的线段上的某个内点.因此

$ \begin{eqnarray}\label{2.13} |\partial_{x}^2 u_{k}(z, 1)-\partial_{x}^2 u_{k}(0, 1)| & \leq & |\partial_{x}^2 u_{k-1}(z, 1)-\partial_{x}^2 u_{k-1}(0, 1)| + |\partial_{x}^2h_{k}(z, 1)-\partial_{x}^2h_{k} (0, 1)| \\ & \leq & |\partial_{x}^2 u_0(z, 1)-\partial_{x}^2 u_0(0, 1)| + \sum _{j=1}^{k} |\partial_{x}^2 h_{j}(z, 1)-\partial_{x}^2 h_{j}(0, 1)|\nonumber\\ & \leq & |\partial_{x}^2 u_0(z, 1)-\partial_{x}^2 u_0(0, 1)| + C|z| \sum_{j=1}^{k} \rho^{-j}\omega_{f, \xi}(\rho^{j})\nonumber\\ & \leq & |\partial_{x}^2 u_0(z, 1)-\partial_{x}^2 u_0(0, 1)| + C|z|\int_{|z|}^1\frac {\omega_{f, \xi}(r)}{r^2}. \end{eqnarray} $

(2.13)

特别地, 有

$ \begin{equation}\label{2.14} I_2 \leq |\partial_{x_{n}}\partial_{x} u_0(z, 1)-\partial_{x_{n}}\partial_{x} u_0(0, 1)| + C|z|\int_{|z|}^1\frac {\omega_{f, \xi}(r)}{r^2}. \end{equation} $

(2.14)

由方程 (2.3) 可得

$ \begin{equation}\label{2.15} u_0(x, t)=\int_0^{t}\frac{1}{(4\pi(t-s))^{n/2}}\int_{B_1(0)} e^{\frac{-|x-y|^2}{4(t-s)}}f(y', 0, s){\rm d}y{\rm d}s+g(x, t), \end{equation} $

(2.15)

其中$B_1(0)$是${\Bbb R}^{n}$中以0为心, 半径为1的球. $g(x, t)$满足

$ \left\{\begin{array}{ll} g_{t}-\triangle g=0, \ \ & (x, t)\in Q_1, \\ g=u, &(x, t)\in\partial_{p}Q_1. \end{array} \right. $

对 (2.15) 式两端关于$x_{n}$求偏导, 再利用Fubini定理可得

$ \mathop {\sup }\limits_{(x,t) \in {Q_{1/2}}} |{\partial _{{x_n}}}{u_0}(x,t)| \le C\mathop {\sup }\limits_{(x,t) \in {Q_1}} |u(x,t)| + C{\left\| f \right\|_{{L^1}({Q_1})}}. $

(2.16)

对 (2.3) 式中的方程两端关于$x_{n}$求偏导, 类似于 (2.8式可得

$ \mathop {\sup }\limits_{(x,t) \in {Q_{1/4}}} |\partial _x^m{\partial _{{x_n}}}{u_0}(x,t)| \le {C_{n,m}}\mathop {\sup }\limits_{{Q_{1/2}}} |{\partial _{{x_n}}}{u_0}|. $

(2.17)

因此

$ \begin{eqnarray*} |\partial_{x_{n}}\partial_{x} u_0(z, 1)-\partial_{x_{n}}\partial_{x} u_0(0, 1)| &\leq& |z| |\partial_{x_{n}}\partial_{x}^2 u_0(\hat q)|\\ &\leq& C|z| \sup _{Q_{1/2}} |\partial_{x_{n}} u_0|\\ &\leq& C|z| (\sup _{Q_1}|u(x, t)|+C \|f\|_{L^1(Q_1)}), \end{eqnarray*} $

其中$\hat q$是连接$(0, 1)$和$(z, 1)$的线段上的某个内点.由 (2.14) 式得

$ {I_2} \le C|z|\left( {\mathop {\sup }\limits_{(x,t) \in {Q_1}} |u(x,t)| + {{\left\| f \right\|}_{{L^1}({Q_1})}} + \int_{|z|}^1 {\frac{{{\omega _{f,\xi }}(r)}}{{{r^2}}}} } \right). $

(2.18)

最后估计$I_3$.设$\hat u_{k}$满足方程

$ \begin{equation}\label{2.19} \left\{\begin{array}{ll} (\hat u_{k})_{t}-\triangle \hat u_{k}=f(x', z_{n}, t), \ \ & (x', z_{n}, t)\in Q_{k}(z, t), \\ \hat u_{k}=u, & (x, t)\in\partial_{p}Q_{k}(z, t), \end{array} \right. \end{equation} $

(2.19)

其中$z_{n}$是$z$的第$n$个分量,

$ Q_{r}(z, t)=\{(x, t)\in {\Bbb R}^{n} \times{\Bbb R}^{1}:|x-z|<r, 1-r^2\leq t\leq1\}. $

则可得

$ I_3\leq |\partial_{x_{n}}\partial_{x} u_{k}(z, 1)- \partial_{x_{n}}\partial_{x} \hat u_{k} (z, 1)| +|\partial_{x_{n}}\partial_{x} u(z, 1)- \partial_{x_{n}}\partial_{x} \hat u_{k} (z, 1)|. $

类似于 (2.10) 式的证明可得

$ \begin{equation}\label{2.20} |\partial_{x}^2 u(z, 1)- \partial_{x}^2 \hat u_{k} (z, 1)| \leq C\int_0^d \frac {\omega_{f, \xi}(r)}{r}{\rm d}r. \end{equation} $

(2.20)

下面只需估计$|\partial_{x_{n}}\partial_{x} u_{k}(z, 1)- \partial_{x_{n}}\partial_{x} \hat u_{k} (z, 1)|$即可.记$w=u_{k}-\hat u_{k}$, 则$w$满足:在$Q_{k+1}$内, 有

$ w_{t}-\Delta w=f(x', 0, t)-f(x', z_n, t). $

类似于 (2.7) 式可得

$ \|w\|_{L^{\infty}(Q_{k+1})}\leq C\rho^{2k} \omega_{f, \xi}(\rho^{k}). $

作变换$y=\rho^{-k}x$.在$Q_{1/2}$内, 有

$ w_{t}(y, t)-\Delta w(y, t)=\rho^{2k}[f(\rho^{k} y', 0, t)-f(\rho^{k} y', z_{n}, t)]. $

由 (2.16) 式得

$ \begin{array}{l} \mathop {\sup }\limits_{(y,t) \in {Q_{1/4}}} |{\partial _{{y_n}}}w(y,t)| \le C\mathop {\sup }\limits_{(y,t) \in {Q_{1/2}}} |w(y,t)| + C{\rho ^{2k}}{\left\| {f({\rho ^k}y',0,t) - f({\rho ^k}y',{z_n},t)} \right\|_{{L^1}({Q_{1/2}})}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \le C\mathop {\sup }\limits_{(y,t) \in {Q_{1/2}}} |w(y,t)| + C{\rho ^{2k}}{\omega _{f,\xi }}({\rho ^k})\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \le C{\rho ^{2k}}{\omega _{f,\xi }}({\rho ^k}). \end{array} $

再由 (2.17) 式得

$ \mathop {\sup }\limits_{(y,t) \in {Q_{1/8}}} |{\partial _y}{\partial _{{y_n}}}w(y,t)| \le C\mathop {\sup }\limits_{{Q_{1/4}}} |{\partial _{{y_n}}}w| \le C{\rho ^{2k}}{\omega _{f,\xi }}({\rho ^k}). $

把$x=\rho^{k}y$代入, 得

$ \mathop {\sup }\limits_{(x,t) \in {Q_{k + 3}}} |{\partial _x}{\partial _{{x_n}}}w(x,t)| \le C{\omega _{f,\xi }}({\rho ^k}). $

因此, 由 (2.20) 式得

$ \begin{equation}\label{2.21} I_3 \leq C\int_0^{d} \frac {\omega_{f, \xi}(r)}{r}{\rm d}r+C \omega_{f, \xi}(\rho^{k}) \leq C\int_0^{d} \frac{\omega_{f, \xi}(r)}{r}{\rm d}r. \end{equation} $

(2.21)

最后, 由 (2.11), (2.18) 和 (2.21) 式可得 (2.2) 式.