Ginzburg-Landau (GL) 方程是低温超导中重要的理论之一.早在1911年, Onnes发现了当水银的温度接近于绝对零度时, 它的电阻突然接近于零, 这一现象就是所谓的“超导”现象.超导现象只能在量子物理的框架下才能得到解释, 它是现代物理的基本现象之一, 有着重要的理论和应用价值.

1950年, Ginzburg和Landau建立了超导的基本维像理论, 即GL理论, 这是一个“半量子化”理论. 1957年, Bardeen, Cooper和Schrieffer以Cooper的电子配对理论为基础提出了超导完整的“量子化”理论, 即通常所说的BCS理论. 1959年, Gorkov证明了GL理论的基本方程, 即GL方程可以由BCS理论导出.下面给出GL理论的数学描述.

设$ \phi:{\Bbb R}^{n} \longrightarrow {\Bbb C}$是复值纯量场, $ A:{\Bbb R}^{n} \longrightarrow {\Bbb R}^{n}$是向量场, $n=2, 3, 4$, $F^{{\rm ex}}_{jk}$ $ (j, k=1, 2, \cdots, n) $是外场.带有外场的GL能量密度具有下面的形式

$ \begin{equation}\label{1.1} {\cal E}(\phi, A)=\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk}+\frac{1}{2}\big(D^{A}_{j}\phi\big)^{\ast}\big(D^{A}_{j}\phi\big)+\frac{\lambda}{8} \big(|\phi|^{2}-1\big)^{2}-\frac{1}{2}F_{jk}F^{{\rm ex}}_{jk}, \end{equation} $

(1.1)

其中复值函数$\phi $称为“秩序参数”, $|\phi|^{2}$给出了超导电子对密度, 也称为Cooper对.当$\phi =0 $时, 超导被破坏, 导体处于正常态; 当$\phi \neq 0 $时, 超导发生; 而$ F_{jk}=\partial_{j}A_{k}-\partial_{k}A_{j} $是由规范向量场$ A=(A_{j}) $所诱导的磁场, $D^{A}_{j}=\partial_{j} \phi -{\rm i}A_{j}\phi $是$\phi$的规范共变导数; $ \lambda > 0$是一个无量纲的${\rm GL}$耦合常数, $\lambda < 1$和$ \lambda > 1$分别描述第一类超导体和第二类超导体; $ ^{\ast} $表示复共轭.约定:重复指标表示求和.

当$n=2, 3$时, (1.1) 式给出了超导理论中著名的GL模型^[4]; 当$n=4$时, 它给出了经典场论的Abelian Higgs模型^[2].它们的能量泛函为$E(\phi, A)=\int{\cal E}(\phi, A){\rm d}x$, 由此所导出的GL方程为

$ \begin{equation}\label{1.2} \left\{\begin{array}{ll} D^{A}_{j}D^{A}_{j} \phi +\frac{\lambda }{2}\big(1-|\phi|^{2}\big)\phi=0, \\[3mm] \partial_{k}F_{kj}+\frac{{\rm i}}{2}\Big(\phi[D^{A}_{j} \phi]^{\ast}-\phi^{\ast}[D^{A}_{j} \phi]\Big) =\frac{1}{2}\partial_{k}\big(F^{{\rm ex}}_{kj}-F^{{\rm ex}}_{jk}\big), \ \ \ \ x \in {\Bbb R}^{n}. \end{array}\right. \end{equation} $

(1.2)

方程组 (1.2) 引起了人们的广泛关注, 获得了一些有意义的结果.如Carroll和Glick在外场$F^{{\rm ex}}_{jk}$是一个常场, 而且$\lambda $及$F^{{\rm ex}}_{jk}$充分小的假设下, 证明了其弱解的存在唯一性^[1]; 在没有外场的情况下, 许多作者对其进行了深入研究.若$\lambda $大于某临界值, Odeh用数值模拟的方法在整个${\Bbb R}^{2}$上证明了其周期弱解的存在性^[12]; 在有界区域$ \Omega \subset {\Bbb R}^{3}$上, Klimov研究了其多重弱解的存在性^[8]; 在${\Bbb R}^{3}$上, Felsager利用拓扑的方法证明了方程 (1.2) 的所有有限能量解都是基态 (或称超导真空) 解 (称$(\phi, A)$是基态解, 如果$A=0, \phi={\rm e}^{{\rm i}\theta}, \theta\in {\Bbb R}$)^[3]; 在${\Bbb R}^{2}$上有大量令人兴奋的结果, 特别是关于涡旋解的构造以及对解的性质的研究有了较为系统的工作.当耦合参数$\lambda =1$时, 带有涡旋的GL方程组涡旋解的存在性得到了彻底解决.详见文献[6-7, 11, 13-15].

但上述工作均未涉及解的正则性问题, 其主要困难是:为了研究方程组 (1.2), 人们总是选择函数空间让其规范势$A$满足$\nabla \cdot A=0$ (即满足Coulomb规范), 以使方程组 (1.2) 是一个非退化的椭圆组.如果没有对称性的假设, 这样做的结果使得对弱解正则性的研究变得几乎不可能了.当$n=3, 4$时, Yang在文献[16-17]中利用变分法建立了方程组 (1.2) 解的存在性、正则性及渐近性定理.在他的证明中, 应用了下面的Poincaré型不等式^[5]

$ \begin{equation}\label{1.3} \parallel u\parallel_{L^{\frac{2n}{n-2}}({\Bbb R}^{n})}\leq C(n)\parallel \nabla u \parallel _{L^{2}({\Bbb R}^{n})}, \ \ \ u\in C^{1}_{0}({\Bbb R}^{n}), n>2. \end{equation} $

(1.3)

显然, 当$n=2$时 (1.3) 式不成立, 于是Yang在文献[16-17]中所使用的方法也随之失效.为了克服这一困难, Yang在文献[18]中借助于下面的不等式, 利用变分法建立了方程组 (1.2) 解的存在性定理.

命题1.1^[9]  设$u$是${\Bbb R}^{2}$上的可微函数, 且支集包含在$B^{c}=\{ x\in{\Bbb R}^{2} \mid 1<\mid x \mid < \infty \}$内, 则

$ \begin{equation}\label{1.4} \int _{| x | > 1}\frac{u^{2}}{| x | ^{2}\ln^{2}| x |}{\rm d}x\leq 4\int_{| x | > 1} | \nabla u | ^{2}{\rm d}x, \ \ \ x\in {\Bbb R}^{2}. \end{equation} $

(1.4)

从命题1.1不难看出, 只能在$B^{c}=\{ x\in{\Bbb R}^{2} \mid 1<\mid x \mid < \infty \}$内才可以用梯度的$L^{2}$模来控制$u$的$L^{2}$模.因此, 作者在定义容许空间的范数时, 不得不将其分成两部分, 这使得证明变得很不自然.为了弥补这一缺陷, 我们将利用Hardy型的不等式重新证明方程组 (1.2) 解的存在性.

本文的整体安排是:在第二节中, 对外场$F^{{\rm ex}}_{jk}$是磁场的情形下, 借助于Hardy型不等式, 利用变分法证明方程组 (1.2) 解的存在性; 在第三节中, 对外场$F^{{\rm ex}}_{jk}$是更加一般的流源场的情形下, 利用变分法证明其相应的方程组 (3.2) 解的存在性.最后, 为了完整起见, 我们简单介绍了解在无穷远处的渐近行为.

在这一节中, 我们假设外场$F^{{\rm ex}}_{jk}(j, k=1, 2)$是磁场, 且满足$F^{{\rm ex}}_{jk}\in L^{2}( {\Bbb R}^{2})(j, k=1, 2)$, 即外场所携带的能量是有限的.

我们将借助于下面的Hardy型的不等式, 利用变分法建立方程组 (1.2) 解的存在性定理.

引理2.1^[10]  (Hardy型不等式) 设$u$是${\Bbb R}^{2}$上具有紧支集的可微函数, 则

$ \begin{equation}\label{2.1} \int_{{\Bbb R}^{2}} \frac{u^{2}}{(1+| x | ^{2})\Big(1+ \ln \sqrt{1+| x |^{2}}\Big)^{2}}{\rm d}x\leq C\int_{{\Bbb R}^{2}} | \nabla u | ^{2}{\rm d}x, \end{equation} $

其中$C> 0$为常数.

推论2.1  若$u$是${\Bbb R}^{2}$上具有紧支集的函数, 则下面定义的范数$\parallel u \parallel $与通常的$L^{2}$范数等价, 其中

$ \parallel u \parallel^{2}=\int_{{\Bbb R}^{2}} \frac{u^{2}}{(1+| x | ^{2})\Big(1+\ln \sqrt{1+| x |^{2}}\Big)^{2}}{\rm d}x, \\ \parallel u \parallel^{2}_{L^{2}}=\int_{{\Bbb R}^{2}}u ^{2}{\rm d}x. $

为了叙述方便, 我们引入一些记号:

$ L^{p}=L^{p}( {\Bbb R}^{2}), W^{k, p}=W^{k, p}( {\Bbb R}^{2}), p\geq 1, k=1, 2, \cdots, $

$\dot{W}^{1, 2}( {\Bbb R}^{2})$是集合$ C^{\infty}_{0}( {\Bbb R}^{2})$在范数$ \parallel A \parallel^{2}_{\dot{W}^{1, 2}( {\Bbb R}^{2})}= \int_{{\Bbb R}^{2}}|\nabla A| ^{2}{\rm d}x$之下的完备化空间.而

$ \nabla A=(\partial_{j}A_{k}), |\nabla A| ^{2}={\rm tr}((\nabla A)\cdot (\nabla A)^{\tau })=\sum (\partial_{j}A_{k})^{2}. $

把GL能量密度 (1.1) 改写为

$ \begin{equation}\label{(2.2)} {\cal E}(\phi, A)={\cal E}_{0} (\phi, A)-\frac{1}{2}F_{jk}F^{{\rm ex}}_{jk}, j, k=1, 2. \end{equation} $

(2.2)

定理2.1  在${\Bbb R}^{2}$上, GL方程组 (1.2) 存在光滑的有限能量解$(\phi, A)$, 满足Coulomb规范$\partial_{j}A_{j} \equiv 0$和

$ \begin{equation}\label{2.3} E_{0}(\phi, A)=\int {\cal E}_{0} (\phi, A){\rm d}x < \infty. \end{equation} $

(2.3)

证   记

$ \begin{eqnarray}\label{2.4} I(\phi, A)&=&\int_{{\Bbb R}^{2}} \Big\{\frac{1}{2}(\partial_{j}A_{k})(\partial_{j}A_{k})+ \frac{1}{2}(D^{A}_{j}\phi)^{\ast}(D^{A}_{j}\phi)+\frac{\lambda}{8} (|\phi|^{2}-1)^{2}-\frac{1}{2}F_{jk}F^{{\rm ex}}_{jk}\Big\}{\rm d}x \\ & =&I_{0}(\phi, A)-\frac{1}{2} \int_{{\Bbb R}^{2}}F_{jk}F^{{\rm ex}}_{jk}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

(2.4)

考虑变分问题

$ \begin{equation}\label{2.5} I_{{\rm min}}={\rm min}\Big\{I(\phi, A)|(\phi, A)\in W^{1, 2}_{loc}( {\Bbb R}^{2})\times \dot{W}^{1, 2}( {\Bbb R}^{2}) \Big\}. \end{equation} $

(2.5)

由$F^{{\rm ex}}_{jk}\in L^{2}( {\Bbb R}^{2})$及H\"{o}lder不等式易知, (2.5) 式给出的$I_{{\rm min}}$是有限的.设$\{(\phi^{n}, A^{n})$\}是 (2.5) 式的极小化序列, 由Cauchy不等式, 我们有

$ \begin{equation}\label{2.6} CI_0(\phi^{n}, A^{n})\le\mathop{{\rm sup}}\limits_{n}I(\phi^{n}, A^{n}) +\parallel F^{{\rm ex}}_{jk} \parallel^{2}_{L^{2}({\Bbb R}^{2})}. \end{equation} $

(2.6)

由此可推出, $\big|\nabla A^{n}\big| \in L^{2}( {\Bbb R}^{2})$.再由推论可知, $\{ A^{n} \}$是$ \dot W^{1, 2}( {\Bbb R}^{2})$中的有界序列.

另一方面, 由规范共变导数的定义, 我们有

$ \begin{equation}\label{2.7} \big|D^{A^{n}}_{j}\phi^{n}\big|^{2} \geq \frac{1}{2} \big|\partial _{j} \phi^{n}\big|^{2}- \frac{1}{2}\big(|A^{n}|^{4}+|\phi ^{n}|^{4}\big). \end{equation} $

(2.7)

注意到

$ \begin{equation}\label{2.8} \big|\phi ^{n}\big|^{4}\leq 2\big(|\phi ^{n}|^{2}-1\big)^{2}+2. \end{equation} $

(2.8)

把 (2.8) 式代入 (2.7) 式, 我们有

$ \begin{equation}\label{2.9} \big|D^{A^{n}}_{j}\phi^{n}\big|^{2} \geq \frac{1}{2} \big|\partial _{j} \phi^{n}\big|^{2}- \frac{1}{2}\Big(\big|A^{n}\big|^{4}+2\big(\big|\phi ^{n}\big|^{2}-1\big)^{2}+2 \Big). \end{equation} $

(2.9)

由 (2.8) 和 (2.9) 式可知, $\{\phi^{^{n}}\}$是$W^{1, 2}(\Omega)$中的有界序列.

由弱紧性, $\{(\phi^{n}, A^{n})\}$存在一个收敛子列, 仍记为它本身, 使得

$ \begin{equation}\label{2.10} ( \phi^{n}, A^{n} ) \mathop{{\rm \longrightarrow}}\limits^{w} ( \phi, A) (n\rightarrow \infty), \ \ \textrm{在}\ (W^{1, 2}( \Omega ))^{2}\ \textrm{中}. \end{equation} $

(2.10)

再由紧嵌入定理, $W^{1, 2}(\Omega)$紧嵌入到$L^{p}(\Omega) (p\geq 1)$, 其中$\Omega$是${\Bbb R}^{2}$中的任意有界区域.由此可得

$ \begin{equation}\label{2.11} (\phi^{n}, A^{n})\mathop{{\rm \longrightarrow}}\limits^{s}(\phi, A) (n\rightarrow \infty), \ \ \textrm{在}\ (L^{p}(\Omega))^{2}\ \textrm{中}. \end{equation} $

(2.11)

由对角线选取法则可知, $(\phi, A)\in(W^{1, 2}_{loc}({\Bbb R}^{2}))^{2}$.当然, 也有

$ {{A}^{n}}\xrightarrow{w}A(n\to \infty ), \ \ \text{在}{{\dot{W}}^{1, 2}}({{\mathbb{R}}^{2}})\ \text{中}. $

因此, $(\phi, A)\in W^{1, 2}_{loc}({\Bbb R}^{2})\times \dot W^{1, 2}({\Bbb R}^{2})$.

下面证明: $(\phi, A)$是变分问题 (2.5) 的解.

记$B_{R}=\{ x\in{\Bbb R}^{2} |\mid x \mid<R\} (R> 0)$, 能量泛函在球$B_{R}$上的积分记为

$ \begin{equation}\label{2.12} I_{0}(\phi, A;R)=\int_{B_{R}} I_{0}(\phi, A){\rm d}x, ~~ I(\phi, A;R)=\int_{B_{R}}I(\phi, A){\rm d}x, \end{equation} $

(2.12)

其中$I(\phi, A)$和$I_{0}(\phi, A)$均由 (2.4) 式给出.

由条件 (2.3), $\forall\varepsilon >0$, 存在$R_{0}> 0$, 当$R>R_{0}$时, 有

$ \begin{equation}\label{2.13} \int_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}F^{{\rm ex}}_{jk}F^{{\rm ex}}_{jk}{\rm d}x < \varepsilon^{2}. \end{equation} $

(2.13)

于是, 当$R>R_{0}$时, 有

$ \begin{eqnarray}\label{2.14} I(\phi^{n}, A^{n};R)&=&I_{{\Bbb R}^{2}}(\phi^{n}, A^{n})-I_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}(\phi^{n}, A^{n})\nonumber\\ &\leq & I_{{\Bbb R}^{2}}(\phi^{n}, A^{n})+\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}F^{n}_{jk}F^{{\rm ex}}_{jk}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

(2.14)

其中$I_{{\Bbb R}^{2}}(\phi^{n}, A^{n})$表示积分区域是全空间${\Bbb R}^{2}$, $I_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}(\phi^{n}, A^{n})$也作类似地理解.

注意到$|F_{jk}|^{2}\leq 4(\partial_{j}A_{k})(\partial_{j}A_{k})$, 利用Hölder不等式和 (2.13) 式, 我们有

$ \begin{eqnarray}\label{2.15} \Big|\int_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}F^{n}_{jk}F^{{\rm ex}}_{jk}{\rm d}x\Big| &\leq& \Big(\int_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}|F^{n}_{jk}|^2{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{2}} \Big(\int_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}|F^{{\rm ex}}_{jk}|^2{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{2}}\nonumber\\ &\leq & 2\varepsilon \Big(\int_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}|\nabla A^{n}|^{2}{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray} $

(2.15)

由 (2.6) 式可知

$ M = \mathop {\sup }\limits_n \int_{{\mathbb{R}^2}} | \nabla {A^n}{|^2}{\text{d}}x < \infty . $

(2.16)

利用 (2.14)-(2.16) 式, 我们有

$ I(\phi^{n}, A^{n};R)\leq I_{{\Bbb R}^{2}}(\phi^{n}, A^{n})+\varepsilon\sqrt{M}= I(\phi^{n}, A^{n})+\varepsilon\sqrt{M}, n=1, 2, \cdots. $

再利用 (2.10) 式, (2.11) 式和泛函的弱下半连续性, 并注意到

$ I(\phi^{n}, A^{n})\rightarrow I_{\rm min} (n\rightarrow\infty), $

我们有

$ I(\phi, A;R)\leq I_{\rm min}+\varepsilon\sqrt{M}, R>R_{0}, $

即

$ \begin{eqnarray}\label{2.17} I_{0}(\phi, A;R) &\leq& I_{{\rm min}}+\varepsilon\sqrt{M}+\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{2}}F_{jk}F^{{\rm ex}}_{jk}{\rm d}x-\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}F_{jk}F^{{\rm ex}}_{jk}{\rm d}x\nonumber\\ &\leq & I_{{\rm min}}+2\varepsilon\sqrt{M}+\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^{2}}F_{jk}F^{{\rm ex}}_{jk}{\rm d}x, R>R_{0}. \end{eqnarray} $

(2.17)

在 (2.17) 式中, 令$R\rightarrow\infty$可得: $I(\phi, A)\leq I_{\rm min}+2\varepsilon\sqrt{M}$.由$\varepsilon>0$的任意性, 有$I(\phi, A)\leq I_{{\rm min}}$, 故$I(\phi, A)= I_{{\rm min}}$.这表明变分问题 (2.5) 是可解的, 从而变分问题 (2.5) 在$W^{1, 2}_{loc}({\Bbb R}^{2})\times \dot W^{1, 2} ({\Bbb R}^{2})$中有极小化变量$(\phi, A)$.用标准的椭圆正则性定理可知, $(\phi, A)$是下面方程组的光滑解

$ \begin{equation}\label{2.18} \left\{\begin{array}{ll} D^{A}_{j}D^{A}_{j}\phi+\frac{\lambda}{2}\big(1-|\phi|^{2}\big)\phi=0,& x\in{\Bbb R}^{2}, \\ \nabla^{2}A_{j}+\frac{{\rm i}}{2}\Big(\phi[D^{A}_{j}\phi]^{*}-\phi^{*}[D^{A}_{j}\phi]\Big) =\frac{1}{2}\partial_{k}\big(F^{{\rm ex}}_{kj}-F^{{\rm ex}}_{jk}\big),& x\in{\Bbb R}^{2}. \end{array}\right. \end{equation} $

(2.18)

由 (2.18) 式的第二个方程, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \nabla^{2}\big(\partial_{j}A_{j}\big) &=&\partial_{j}\big(\nabla^{2}A_{j}\big)\nonumber\\ &=& \frac{1}{2}\partial_{j}\partial_{k}\big(F^{{\rm ex}}_{kj}-F^{{\rm ex}}_{jk}\big)-\frac{{\rm i}}{2}\partial_{j}\big(\phi[D^{A}_{j}\phi]^{*}-\phi^{*}[D^{A}_{j}\phi]\big)\nonumber\\ &=& -\frac {{\rm i}}{2}\Big\{(\partial_{j}\phi)[D^{A}_{j}\phi]^{*}+\phi\partial_{j}[D^{A}_{j}\phi]^{*}-(\partial_{j}\phi^{*})[D^{A}_{j}\phi]-\phi^{*}\partial_{j}[D^{A}_{j}\phi]\Big\}=0. \end{eqnarray*} $

即$\partial_{j}A_{j}$在全空间${\Bbb R}^{2}$上调和, 注意到$\partial_{j}A_{j}\in L^{2}({\Bbb R}^{2})$, 由Liouville定理可知$\partial_{j}A_{j}=0$, 即满足Coulomb规范.进而, 有$\nabla^{2}A_{j}=\partial_{k}\partial_{k}A_{j}=\partial_{k}(\partial_{k}A_{j}-\partial_{j}A_{k})=\partial_{k}F_{kj}, j=1, 2$.这表明, 方程组 (2.18) 覆盖了GL方程组 (1.2), 所以$(\phi, A)$也是GL方程组 (1.2) 的解.这就完成了定理2.1的证明.

在这一节中, 我们将假设外场是更加一般的流源场, 其密度设为$J^{{\rm ex}}=(J^{{\rm ex}}_{j})$.在这种情况下, 能量密度为

$ \begin{equation}\label{3.1} {\cal E}(\phi, A)={\cal E}_{0}(\phi, A)+A_{j}J^{{\rm ex}}_{j}, \end{equation} $

(3.1)

其相应的GL方程组是

$ \begin{equation}\label{3.2} \left\{\begin{array}{ll} D^{A}_{j}D^{A}_{j}\phi+\frac{\lambda}{2}(1-|\phi|^{2})\phi=0, & x\in{\Bbb R}^{2}, \\ \partial_{k}F_{kj}+\frac{\rm i}{2}\big(\phi[D^{A}_{j}\phi]^{*} -\phi^{*}[D^{A}_{j}\phi]\big) = J^{{\rm ex}}_{j},& x\in{\Bbb R}^{2}. \end{array}\right. \end{equation} $

(3.2)

为了使方程组 (3.2) 满足相容性条件, 必须要求外场是无源场, 即

$ \begin{equation}\label{3.3} \partial_{j}J^{{\rm ex}}_{j}=0. \end{equation} $

(3.3)

此外, 我们假设

$ \begin{equation}\label{3.4} \int_{{\Bbb R}^{2}}(1+|x|^{2})\left(1+\ln\sqrt{1+\arrowvert x\arrowvert^{2}}\right)^{2}|J^{\rm ex}|^{2}{\rm d}x<\infty, \end{equation} $

(3.4)

$ \begin{equation}\label{3.5} R x_{j} J^{{\rm ex}}_{j} \rightarrow 0 ~ (|x|=R\rightarrow\infty), j=1, 2. \end{equation} $

(3.5)

定理3.1  在假设 (3.3)-(3.5) 之下, 在${\Bbb R}^{2}$上带有一般流源场$J^{{\rm ex}}=(J^{{\rm ex}}_{j})$的GL方程组 (3.2) 存在光滑的有限能量解$(\phi, A)$, 并且该解满足Coulomb规范$\partial_{j}A_{j}=0$.

证  和前面一样直接利用能量密度 (3.1) 并不便于工作, 因此, 我们用微调后的能量$I_{0}(\phi, A)$ (见 (2.4) 式), 并记

$ \begin{equation}\label{3.6} I(\phi, A)=I_{0}(\phi, A)+\int_{{\Bbb R}^{2}}A_{j}J^{{\rm ex}}_{j}{\rm d}x. \end{equation} $

(3.6)

考虑变分问题

$ \begin{equation}\label{3.7} I_{{\rm min}}=\min\{I(\phi, A)|(\phi, A)\in W^{1, 2}_{loc}({\Bbb R}^{2})\times \dot W^{1, 2}({\Bbb R}^{2}), I_{0}(\phi, A)<\infty\} . \end{equation} $

(3.7)

若$A\in \dot W^{1, 2}({\Bbb R}^{2})$, 由Hölder不等式, 则有

$ \begin{eqnarray*} && \int_{{\Bbb R}_{2}}\big|A_{j}J^{{\rm ex}}_{j}\big|{\rm d}x\\ & \leq& \Big(\int_{{\Bbb R}_{2}}\frac{A^{2}}{\big(1+|x|^{2}\big)\left(1+\ln\sqrt{1+\arrowvert x\arrowvert^{2}}\right)^{2}}{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{2}}\Big(\int_{{\Bbb R}^{2}}\big(1+|x|^{2}\big)\left(1+\ln\sqrt{1+\arrowvert x\arrowvert^{2}}\right)^{2}|J^{\rm {ex}}|^{2}{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray*} $

由此及 (3.4) 式可推出: $A_{j}J^{{\rm ex}}_{j}\in L({\Bbb R}^{2})$.

先证明: (3.7) 式中的$I_{{\rm min}}$是有限的.

事实上, 对任意的$(\phi, A)$属于 (3.7) 式的容许集和$\varepsilon >0$, 由Cauchy不等式, 我们有

$ \begin{eqnarray}\label{3.8} &&\Big|\int_{{\Bbb R}_{2}}A_{j}J^{{\rm ex}}_{j}{\rm d}x\Big|\\ &\leq& \varepsilon\int_{{\Bbb R}_{2}}\frac{A^{2}}{\big(1+|x|^{2}\big) \left(1+\ln\sqrt{1+\arrowvert x\arrowvert^{2}}\right)^{2}}{\rm d}x+\frac{1}{\varepsilon}\int_{{\Bbb R}^{2}} \big(1+|x|^{2}\big)\left(1+\ln\sqrt{1+\arrowvert x\arrowvert^{2}}\right)^{2}\big|J^{{\rm ex}}\big|^{2}{\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \varepsilon C_{1}\int_{{\Bbb R}^{2}}|\nabla A|^{2}{\rm d}x+\frac{1}{\varepsilon}C_{2}. \end{eqnarray} $

(3.8)

由 (3.6) 和 (3.8) 式可得

$ \begin{eqnarray} I(\phi, A)&=&I_0(\phi, A)+\int_{{\Bbb R}^{2}}A_{j}J_{j}^{\rm ex}{\rm d}x \\ &\ge& I_0(\phi, A)-\Big\arrowvert\int_{{\Bbb R}^{2}}A_{j}J_{j}^{\rm ex}{\rm d}x\Big\arrowvert\ge C_3I_0(\phi, A)-C_4, \label{3.9} \end{eqnarray} $

(3.9)

其中$C_3$, $C_4$是常数, 而$C_4$只依赖于$J^{\rm ex}$.由此可知, 对给定的$\varepsilon>0$, $I_{\rm {min}}$是有限的.

设$\{(\phi^{n}, A^{n})\}$是问题 (3.7) 的极小化序列, 由 (3.9) 式, 我们有

$ \begin{equation}\label{3.10} C_3I_0(\phi^{n}, A^{n})\le\mathop{{\rm sup}}\limits_{n}I(\phi^{n}, A^{n})+C_4. \end{equation} $

(3.10)

这告诉我们, $\arrowvert \nabla A^{n}\arrowvert\in L^2({\Bbb R}^{2})$.再由推论知, $\{A^{n}\}$是$\dot{W}^{1, 2}({\Bbb R}^{2})$中的有界序列.

对$\{\phi^{n}\}$, 重复定理2.1的证明过程可知, $\{\phi^{n}\}$是$W^{1, 2}(\Omega)$中的有界序列, 其中$\Omega$是${\Bbb R}^{2}$中的任意有界区域.因此, 由对角线选取法则知, 存在$(\phi, A)\in\left( W_{loc}^{1, 2}({\Bbb R}^{2})\right)^{2}$, 使得对问题 (3.7) 的极小化序列$\{\left(\phi^{n}, A^{n}\right)\}$也成立 (2.10) 和 (2.11) 式.

由 (3.4) 式, $\forall \varepsilon>0, \exists R_{0}>0$, 当$R>R_{0}$时, 有

$ \int_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}\left(1+\arrowvert x\arrowvert^{2}\right)\left(1+\ln\sqrt{1+\arrowvert x\arrowvert^{2}}\right)^{2}\arrowvert J^{\rm ex}\arrowvert^{2}{\rm d}x<\varepsilon^{2}. $

于是, 在球$B_{R}$上的积分$I(\phi^{n}, A^{n};R)=I_{0}(\phi^{n}, A^{n};R)+\int_{B_{R}}A_{j}^{n}J_{j}^{\rm ex}{\rm d}x$满足

$ \begin{equation}\label{3.11} I\left(\phi^{n}, A^{n};R\right)\leq I\left(\phi^{n}, A^{n}\right)+\Big\arrowvert\int_{{\Bbb R}^{2}-B_{R}}A_{j}^{n}J_{j}^{\rm ex}{\rm d}x\Big\arrowvert. \end{equation} $

(3.11)

由Hölder不等式可知

$ I\left(\phi^{n}, A^{n};R\right)\leq I\left(\phi^{n}, A^{n}\right)+\varepsilon\sqrt M, n=1, 2, \cdots, $

其中

$ M=\mathop{{\rm sup}}\limits_{n}\int_{{\Bbb R}^{2}}\frac{\arrowvert A^{n}\arrowvert^{2}}{\left(1+\arrowvert x\arrowvert^{2}\right)\left(1+\ln\sqrt{1+\arrowvert x\arrowvert^{2}}\right)^{2}}{\rm d}x\leq\mathop{{\rm sup}}\limits_{n}C\int_{{\Bbb R}^{2}}\arrowvert \nabla A^{n}\arrowvert {\rm d}x. $

由 (3.10) 式可知, 上式给出的$M$是有限数.

余下的仿照定理2.1的证明可知, $(\phi, A)$是变分问题 (3.7) 的极小化变量.由 (3.3) 式可知, $(\phi, A)$是GL方程组 (3.2) 的解.进而, 由椭圆方程的正则性定理可知, $(\phi, A)$还是GL方程组 (3.2) 的光滑解.这就完成了定理3.1的证明.

为了完整起见, 最后我们简单介绍一下方程组 (1.2) 或 (3.2) 的解在$|x|\rightarrow\infty$时的渐近行为.

假设$(\phi, A)$是方程组 (1.2) 或 (3.2) 满足Coulomb规范$\partial_{j}A_{j}=0$和$I_{0}(\phi, A)<\infty$的解.

由文献[18]可知, 如果外场$F^{\rm ex}_{jk}\in W^{2, 2}( {\Bbb R}^{2})$ (或$J^{\rm ex}_{j}\in W^{1, 2}( {\Bbb R}^{2})) \ (j, k=1, 2)$, 则有

$ \begin{equation}\label{3.12} D^{A}_{j}\phi\rightarrow 0, \partial_{j}A_{k}\rightarrow 0, F_{jk}\rightarrow 0 \ \ (j, k=1, 2)\ \ \ (|x|\rightarrow\infty). \end{equation} $

(3.12)

进而, 如果外场还满足如下衰减假设, 即当$|x|$充分大时, 成立

$ |{{\partial }_{k}}(F_{kj}^{\text{ex}}-F_{jk}^{\text{ex}})|\le C|x{{|}^{-\alpha }}\ \text{或}\ |J_{j}^{\text{ex}}|\le C|x{{|}^{-\alpha }}, $

(3.13)

$ \begin{equation}\label{3.14} |\partial_{j}\partial_{k}(F^{\rm ex}_{kj}-F^{\rm ex}_{jk})|\leq C|x|^{-\beta} \textrm \ \textrm{或} \ |\partial_{j}J^{\rm ex}_{k}-\partial_{k}J^{\rm ex}_{j}|\leq C|x|^{-\beta}, \end{equation} $

(3.14)

其中$\alpha, \beta> 0, \ j, k=1, 2$, 那么

(ⅰ)~当外场$F^{\rm ex}_{jk}(J^{\rm ex}_{j})$满足 (3.13) 式时, 则有

$ |D^{A}_{j}\phi|\leq C|x|^{-\alpha}, 0\leq1-|\phi|^{2}\leq C|x|^{-2\alpha}, j=1, 2; $

(ⅱ)~当外场$F^{\rm ex}_{jk}(J^{\rm ex}_{j})$满足 (3.14) 式时, 则有

$ |F_{jk}|\leq C|x|^{-\gamma}, \ \ \gamma=\min\{2\alpha, \beta\}, \ \ j, k=1, 2. $