上世纪60年代以来, Yamabe问题、预定曲率问题等得到了大量的研究, 获得了长足的发展, 详细的发展历史参见综述性文献[16]及其中的参考文献.其中, Euclidean空间中的半线性方程

$ \Delta u+{{u}^{p}}=0 $

(1.1)

整解的存在性问题有着非常重要的作用, 从而方程 (1.1) 受到了广泛的关注.当$p=\frac{n+2}{n-2}$时, 方程 (1.1) 即为著名的Yamabe方程. 1971年, Obata^[20]在$n$维球面${\Bbb S}^n$上考虑Yamabe方程, 利用向量场法对方程 (1.1) 的解进行分类.但是, Obata的结论自然的隐含解函数在无穷远处具有某种增长性条件. 1981年, Gidas, Ni和Nirenberg^[9]首先在

$ \text{当}|x|\to +\infty 时, \qquad u=O(|x{{|}^{2-n}}) $

的假设条件下, 利用移动平面法证明Yamabe方程 (1.1) 的解均为径向对称解, 并给出整解的具体形式

$ u(x)=\frac{{{[n(n-2){{\lambda }^{2}}]}^{\frac{n-2}{4}}}}{{{({{\lambda }^{2}}+|x-{{x}_{0}}{{|}^{2}})}^{\frac{n-2}{2}}}}, $

(1.2)

其中$\lambda\in{\Bbb R}$为任意常数; 后来, Caffarelli, Gidas和Spruck^[4]去掉该假设条件获得同样结果.对于$1\leq{p}<\frac{n+2}{n-2}$的情形, 即次临界情形, Gidas和Spruck^[10]利用向量场法证明方程 (1.1) 无非平凡正解.后来, Chen和Li^{[5, 15]}利用移动平面法简化证明, 并推广至高阶椭圆算子情形, 进一步讨论临界和次临界的问题.最近, Chen, Li和Ou^[6]引入积分形式的移动平面法, 进一步发展移动平面法理论, 为半线性方程解的分类问题提供更加有效的理论工具.另一方面, Li和Zhu^[19]于1995年提出了一种新的理论工具---移动球面法, 其作为移动平面法的变形, 却可以更快、更方便的对解进行分类.后来, Li^[17]和他的学生们进一步完善移动球面法理论, 并应用于诸多方程的解的分类等问题.

上世纪70年代, Jerison和Lee^[12-13]在CR几何上提出了CR Yamabe问题, 建立了类似于保形几何上Yamabe问题的存在性结论, 从而$2n+1$维球面${\Bbb S}^{2n+1}\subset{\Bbb C}^{n+1}$上的CR Yamabe问题有着举足轻重的作用.而在Caylay变换之下, $2n+1$维球面${\Bbb S}^{2n+1}$上的CR Yamabe问题与Heisenberg群上的半线性方程

$ {{\Delta }_{H}}u+{{u}^{\frac{Q+2}{Q-2}}}=0 $

(1.3)

等价.

Heisenberg群来源于量子力学、多复变几何等学科, 作为非交换几何的典型代表, 其上的半线性问题

$ {{\Delta }_{H}}u+h(\xi ){{u}^{p}}\ge 0, \qquad \xi \in {{\mathbb{H}}^{n}} $

(1.4)

也得到了大量的研究.为叙述需要, 下面首先给出一些Heisenberg群的概念和记号, 详见文献[1-3, 7, 11-14, 18, 21]及其中文献.

记${\Bbb H}^n={\Bbb R}^{2n}\oplus {\Bbb R}$为Heisenberg群, 点$\xi=(z, t)=(x, y, t)\in {\Bbb R}^{n}\times {\Bbb R}^{n} \times {\Bbb R}$为${\Bbb H}^n$中元素, 群运算为

$ (z, t)\circ ({z}', {t}')=(x+{x}', y+{y}', t+{t}'+2\sum\limits_{i=1}^{n}{({{{{x}'}}_{i}}{{y}_{i}}-{{x}_{i}}{{{{y}'}}_{i}})}), \quad (z, t), ({z}', {t}')\in {{\mathbb{H}}^{n}}. $

任取$\xi_0=(z_0, t_0)$, 记群的左乘运算为

$ {{L}_{{{\xi }_{0}}}}(\xi )={{\xi }_{0}}\circ \xi, \quad \forall \xi \in {{\mathbb{H}}^{n}}. $

${\Bbb H}^n$上的一个各向异性的伸缩族为

$ {{\delta }_{\lambda }}(x, y, t)=(\lambda x, \lambda y, {{\lambda }^{2}}t), \forall \lambda >0, $

记$Q=2n+2$为相应的齐次维数. ${\Bbb H}^n$上的一组左不变向量场为

$ {{X}_{j}}=\frac{\partial }{\partial {{x}_{j}}}+2{{y}_{j}}\frac{\partial }{\partial t}, {{Y}_{j}}=\frac{\partial }{\partial {{y}_{j}}}-2{{x}_{j}}\frac{\partial }{\partial t}, j=1, \cdots, n, T=\frac{\partial }{\partial t}, $

(1.5)

则$X_j, Y_j, j=1, 2, \cdots, n$关于伸缩一次齐次, $T$二次齐次; 且

$ \begin{array}{l} [{X_i}, {X_j}] = [{Y_i}, {Y_j}] = [{X_i}, T] = [{Y_i}, T] = 0, \\ [{X_i}, {Y_j}] = -4{\delta _{ij}}\frac{\partial }{{\partial t}}, \quad i, j = 1, 2, \cdots, n. \end{array} $

记

$ {\nabla _H} = ({X_1}, \cdots, {X_n}, {Y_1}, \cdots, {Y_n}), \qquad {\Delta _H} = \sum\limits_{i = 1}^n {(X_i^2 + Y_i^2)} $

分别为广义梯度和次Laplace算子.定义

$ |\xi | = |(z, t)| = {(|z{|^4} + {t^2})^{\frac{1}{4}}} $

为${\Bbb H}^n$上的范数函数, $d(\eta, \xi)=|\eta^{-1}\circ\xi|$为${\Bbb H}^n$上的距离函数.

Jerison和Lee^[12-13]首先研究了Yamabe方程 (1.3), 在${\Bbb S}^{2n+1}\subset {\Bbb C}^{n+1}$上发展Obata的思想, 对解进行了分类, 证明方程 (1.3) 的解为

$ u(z, t) = |t + \sqrt {-1} |z{|^2} + \mu \cdot z + \lambda {|^{-n}}, $

(1.6)

其中$\mu\in {\Bbb C}^n$, $\lambda \in {\Bbb C}$, $\mbox{Im}\lambda>|\mu|^2/4$.就像Obata的结果, 此处自然的隐含着一个增长性条件.而在去掉该增长性条件下, 即在${\Bbb H}^n$上直接讨论CR Yamabe问题 (1.3) 的解的分类, 至今仍是一个公开问题.

对于次临界的情形, 即$1<p<{\frac{Q+2}{Q-2}}$的情形, 许多学者进行了研究. 1997年, Birindelli等^[1]在Heisenberg群上引入一类非负泛函, 通过精确估计, 证明当$1<p\leq{\frac{Q}{Q-2}}$且$h\equiv 1$时, 方程 (1.4) 在${\Bbb H}^n$无非平凡正解.最近, Xu^[21]利用向量场法进一步研究次临界方程 (1.4), 证明当$n>1$且$1<p<{\frac{Q(Q+2)}{(Q-1)^2}}$时, 方程 (1.4) 不存在非平凡正解.注意到$\frac{Q}{Q-2}<\frac{Q(Q+2)} {(Q-1)^2}<\frac{Q+2}{Q-2}$, 所以一般正解的不存在性问题仍然是一个公开问题.

在${\Bbb R}^n$上, 注意到移动平面法和移动球面法是讨论半线性方程 (1.1) 的主要工具, 那么可否应用至Heisenberg群呢? 1999年, Birindelli和Prajapt^[3]利用移动平面法讨论方程 (1.4) 的柱对称解的不存在性问题, 进一步改进文献[1]中结果如下:

定理1.1  设$1\leq p<{\frac{Q+2}{Q-2}}$, $u\in C^2({\Bbb H}^n)$为次临界方程

$ -{{\Delta }_{H}}u={{u}^{p}}, \qquad \xi \in {{\mathbb{H}}^{n}} $

(1.7)

的非负柱对称解, 即$u(z, t)=u(|z|, t)$, 则$u\equiv 0.$

那么移动球面法如何呢?最近, 本文第二作者及其合作者们^[11]在Heisenberg群上对移动球面法做了较详细的讨论.本文的主要目的是:应用Heisenberg群上的移动球面法, 对定理1.1给出一个新的证明.

本文的结构如下:在第二节, 首先引入一类CR反演变换; 而第三节则致力于{定理1.1}的证明.首先结合移动平面法的思想, 给出几个引理, 为{定理1.1}的证明做准备; 然后完成证明.

1982年, Korányi^[14]在Heisenberg群上引入如下的CR反演变换

$ {\sigma _1}(\xi ) = (-\frac{z}{{\bar A}}, \;-\frac{t}{{A\bar A}}), $

(2.1)

其中$A=|z|^2+{\rm i}t$, 且$\sigma_1^2(\xi)=\xi$. 1987年, Jerison和Lee^[12]讨论Yamabe方程 (1.3) 的柱对称解的分类时, 引入如下的CR反演变换

$ {{\sigma }_{2}}(\xi )=(\frac{y|z{{|}^{2}}+xt}{|z{{|}^{4}}+{{t}^{2}}}, -\frac{x|z{{|}^{2}}-yt}{|z{{|}^{4}}+{{t}^{2}}}, -\frac{t}{|z{{|}^{4}}+{{t}^{2}}})=(\frac{z}{w}, -\frac{t}{w\bar{w}}), $

(2.2)

其中$w=t+{\rm i}|z|^2$, 但$\sigma_2^2(\xi)=(-x, -y, t)\neq\xi$. 2012年, Li和Monticelli^[18]改进Jerison和Lee的变换, 引入CR反演变换

$ {{\sigma }_{3}}(\xi )=(-\frac{y|z{{|}^{2}}+xt}{|z{{|}^{4}}+{{t}^{2}}}, -\frac{x|z{{|}^{2}}-yt}{|z{{|}^{4}}+{{t}^{2}}}, \frac{t}{|z{{|}^{4}}+{{t}^{2}}})=(-\frac{{\bar{z}}}{{\bar{w}}}, \ \frac{t}{w\bar{w}}), $

(2.3)

满足$\sigma_3^2(\xi)=\xi$, 进而研究Heisenberg群上的CR不变方程.

最近, 文献[11]在CR反演变换

$ T(\xi )=(\frac{z}{{\bar{A}}}, -\frac{t}{A\bar{A}}) $

(2.4)

下, 发现解 (1.6) 满足

$ {{\left( \frac{\lambda ({{\xi }_{0}})}{d({{{{\xi }'}}_{0}}, \xi )} \right)}^{2n}}u\circ {{L}_{{{\xi }_{0}}}}\circ {{\delta }_{\lambda {{({{\xi }_{0}})}^{2}}}}\circ T\circ L_{{{{{\xi }'}}_{0}}}^{-1}(\xi )=u(\xi ), $

(2.5)

其中

$ {{\xi }_{0}}=({{z}_{0}}, {{t}_{0}}), \ {{{\xi }'}_{0}}=({{\text{e}}^{\text{i}{{\theta }_{0}}}}{{z}_{0}}, -{{t}_{0}}), \ {{\text{e}}^{\text{i}{{\theta }_{0}}}}=\frac{1+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}-\text{i}{{t}_{0}}}{\left| 1+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}-\text{i}{{t}_{0}} \right|}, $

(2.6)

$\lambda(\xi_0)^2=|t_0+{\rm i}|z_0|^2+{\rm i}|$.进一步, 文献[11]给出类似的Li-Zhu型结论:

命题2.1  任取$\xi_0=(z_0, t_0) \in{\Bbb H}^n$, $\xi_0'$的取值如 (2.6) 中定义.设函数$u\in C^1({\Bbb H}^n)$在原点处取得最大值, 且存在正常数$\lambda=\lambda(\xi_0)$使得方程

$ u(\xi )={{\left( \frac{\lambda }{d({{{{\xi }'}}_{0}}, \xi )} \right)}^{\nu }}u\circ {{L}_{{{\xi }_{0}}}}\circ {{\delta }_{\lambda {{({{\xi }_{0}})}^{2}}}}\circ T\circ L_{{{{{\xi }'}}_{0}}}^{-1}(\xi ), \quad \quad \forall \xi \in {{\mathbb{H}}^{n}}, $

(2.7)

对参数$\nu\in{\Bbb R}$成立, 则函数$u(\xi)$具有如下的精确表达式

$ u(\xi )=C{{\left( {{\left( |z{{|}^{2}}+\lambda {{(0)}^{2}} \right)}^{2}}+{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{\nu }{4}}}=C{{\left| |z{{|}^{2}}+\lambda {{(0)}^{2}}+\text{i}t \right|}^{-\frac{\nu }{2}}}, $

(2.8)

其中$C$为某个常数.

命题2.2  任取$\xi_0=(z_0, t_0) \in{\Bbb H}^n$, $\xi_0'$的取值如 (2.6) 式中定义.若函数$u\in C^1({\Bbb H}^n)$满足:若对任意的$\lambda>0$, 有

$ u(\xi )\ge {{\left( \frac{\lambda }{d({{{{\xi }'}}_{0}}, \xi )} \right)}^{\nu }}u\circ {{L}_{{{\xi }_{0}}}}\circ {{\delta }_{{{\lambda }^{2}}}}\circ T\circ L_{{{{{\xi }'}}_{0}}}^{-1}(\xi ), \quad \quad \forall d({{{\xi }'}_{0}}, \xi )\ge \lambda >0, $

(2.9)

其中$\nu\in{\Bbb R}$为某个给定的参数, 则$u\equiv \mbox{const}.$

注2.1  注意到$\xi_0$与$\xi'_0$一般不是同一个点, 这为移动球面法的应用带来极大的困难.为克服此困难, 本文将采用如下的CR反演变换

$ \tilde{T}(\xi )=(\frac{{\bar{z}}}{A}, \frac{t}{A\bar{A}}). $

(2.10)

在此变换下, 解 (1.6) 满足

$ \begin{align} & {{\left( \frac{\lambda ({{\xi }_{0}})}{d({{{{\xi }'}}_{0}}, \xi )} \right)}^{2n}}u\circ {{L}_{{{\xi }_{0}}}}\circ {{\delta }_{\lambda {{({{\xi }_{0}})}^{2}}}}\circ T\circ L_{{{{{\xi }'}}_{0}}}^{-1}(\xi )=u(\xi ), \\ & \\ \end{align} $

(2.11)

其中

$ {{\xi }_{0}}=({{z}_{0}}, {{t}_{0}}), \ {{{\xi }'}_{0}}=({{\text{e}}^{\text{i}{{\theta }_{0}}}}\overline{{{z}_{0}}}, {{t}_{0}}), \ {{\text{e}}^{\text{i}{{\theta }_{0}}}}=\frac{1+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}+\text{i}{{t}_{0}}}{\left| 1+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}+\text{i}{{t}_{0}} \right|}. $

(2.12)

特别, 当$\xi_0=(0, t_0)$时, 有$\xi_0=\xi'_0$.

任取$\xi_0=(0, t_0)$, 对任意的$\lambda>0$, 任意点$\xi\in {\Bbb H}^n$, 定义关于$\xi_0$的CR反演为

$ {{\xi }^{{{\xi }_{0}}, \lambda }}={{\xi }_{0}}\circ {{\delta }_{{{\lambda }^{2}}}}\circ \tilde{T}\circ L_{{{\xi }_{0}}}^{-1}(\xi ). $

(3.1)

对${\Bbb H}^n$上任意函数$v(\xi)$, 定义相应的CR反演函数为

$ {{v}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}(\xi )={{\left( \frac{\lambda }{d({{\xi }_{0}}, \xi )} \right)}^{2n}}v({{\xi }^{{{\xi }_{0}}, \lambda }}). $

(3.2)

经过一个冗长的计算可以证明 (具体证明参看文献[18]的第二节):

引理3.1  如果$v(\xi)\in C^2({\Bbb H}^n)$, 则

$ {{\Delta }_{H}}{{v}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}={{\left( \frac{\lambda }{d({{\xi }_{0}}, \xi )} \right)}^{Q+2}}({{\Delta }_{H}}v)({{\xi }^{{{\xi }_{0}}, \lambda }}). $

(3.3)

接下来, 我们将应用移动球面法给出{定理1.1}的证明, 具体思路为:首先得到引理3.2作为球面移动的起始, 即球面可以开始膨胀; 然后给出引理3.3, 即如果球面膨胀到某个值时停下来, 则函数在球面内外出现平衡; 最后对球面的膨胀分两种情况讨论, 即膨胀到某个值停下来, 或一直膨胀下去, 在每种情况下均可证明任一个非负柱对称解均为平凡解, 从而完成定理1.1的证明.

引理3.2  设$1\leq p<\frac{Q+2}{Q-2}$, 对任意给定的点$\xi_0=(0, t_0)\in {\Bbb H}^n$, 则存在一个充分小的正常数$\lambda_0>0$, 对任意的$\lambda\in(0, \lambda_0)$, 有

$ u(\xi )\le {{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}(\xi ), \quad \forall \xi \in {{\Sigma }_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}=\{\xi \in {{\mathbb{H}}^{n}}:\ \rho ({{\xi }_{0}}, \xi )<\lambda \}. $

证  令$A_{\xi_0, \lambda}=\{\xi\in\Sigma_{\xi_0, \lambda}:\ u_{\xi_0, \lambda}<u(\xi)\}$, 则目标转化为:证明$|A_{\xi_0, \lambda}|=0.$

取实验函数

$ \psi (\xi )={{\eta }_{\epsilon }}(\xi ){{(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})}^{+}}, \quad \phi (\xi )=\eta _{\epsilon }^{2}(\xi ){{(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})}^{+}}, $

其中$\eta_\epsilon(\xi)\in C_0^\infty({\Bbb H}^n\backslash\{\xi_0\})$为一个待定的截断函数, 且$0\leq\eta_\epsilon\leq 1$, 则

$ -\int_{{{A}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{\phi }{{\Delta }_{H}}(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})=\int_{{{\Sigma }_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{{{\nabla }_{h}}}{{(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})}^{+}}\cdot {{\nabla }_{H}}\phi =\int_{{{\Sigma }_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{|}{{\nabla }_{H}}\psi {{|}^{2}}-{{I}_{\epsilon }}, $

(3.4)

其中$I_\epsilon =\int_{\Sigma_{\xi_0, \lambda}} [(u-u_{\xi_0, \lambda})^+]^2 |\nabla_H\eta_\epsilon|^2.$另一方面,

$ \begin{align} &-\int_{{{A}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{\phi }{{\Delta }_{H}}(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})=\int_{{{A}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{\phi }\{{{u}^{p}}-{{(\frac{\lambda }{\rho ({{\xi }_{0}}, \xi )})}^{Q+2-(Q-2)p}}u_{{{\xi }_{0}}, \lambda }^{p}\} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \le \int_{{{A}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{\phi }({{u}^{p}}-u_{{{\xi }_{0}}, \lambda }^{p})=\int_{{{A}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{p}{{({{u}_{*}})}^{p-1}}(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})\phi \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \le p\int_{{{A}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{{{u}^{p-1}}}(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})\phi \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =p\int_{{{A}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{{{u}^{p-1}}}{{(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})}^{2}}\eta _{\epsilon }^{2}. \\ \end{align} $

(3.5)

若$p>1$, 应用Hölder不等式、Sobolev不等式和 (3.5) 式, 有

$ -\int_{{{A}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{\phi }{{\Delta }_{H}}(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})\le C{{(\int_{{{A}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{{{u}^{\frac{(p-1)Q}{2}}}})}^{\frac{2}{Q}}}\int_{{{\Sigma }_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{|}{{\nabla }_{H}}{{(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})}^{+}}{{|}^{2}}. $

(3.6)

取径向对称的截断函数$g_\epsilon(\xi)\in C_0^\infty({\Bbb H}^n)$满足: $0\leq g_\epsilon\leq 1$, 且

$ {{g}_{\epsilon }}(\xi )=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1, & 当2\epsilon \le \rho (\xi )\le \frac{1}{\epsilon }时, \\ 0, & 其他, \\ \end{array} \right. $

$ |{{\nabla }_{H}}{{g}_{\epsilon }}|\le \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{C}{\epsilon }, & 当\epsilon <\rho (\xi )<2\epsilon 时, \\ C\epsilon, & 当\frac{1}{\epsilon }<\rho (\xi )<\frac{2}{\epsilon }时. \\ \end{array} \right. $

令$\eta_\epsilon(\xi)=g_\epsilon(\xi_0^{-1}\circ\xi)$, 代入 (3.4) 和 (3.6) 式, 有

$ \begin{align} & \ \ \int_{{{\Sigma }_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}\cap \{2\epsilon \le \rho ({{\xi }_{0}}, \xi )\le \frac{1}{\epsilon }\}}{|}{{\nabla }_{H}}{{(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})}^{+}}{{|}^{2}} \\ & \le C{{(\int_{{{A}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{{{u}^{\frac{(p-1)Q}{2}}}})}^{\frac{2}{Q}}}\int_{{{\Sigma }_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}}{|}{{\nabla }_{H}}{{(u-{{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda }})}^{+}}{{|}^{2}}+{{I}_{\epsilon }}. \\ \end{align} $

(3.7)

记

$ {{B}_{\epsilon }}=\{\xi \in {{\Sigma }_{{{\xi }_{0}}, \lambda }}:\epsilon <\rho ({{\xi }_{0}}, \xi )<2\epsilon \ \text{或}\ \frac{1}{\epsilon }<\rho ({{\xi }_{0}}, \xi )<\frac{2}{\epsilon }\}, $

则当$\epsilon\rightarrow 0$时,

$ \begin{eqnarray*} I_\epsilon&\leq &\bigg(\int_{B_\epsilon}[(u-u_{\xi_0, \lambda})^+]^{\frac{2Q}{Q-2}}\bigg)^{\frac{Q-2}Q} \bigg(\int_{B_\epsilon}|\nabla_H\eta_\epsilon|^Q\bigg)^{\frac 2Q}\\ & \leq &C\bigg(\int_{B_\epsilon}[(u-u_{\xi_0, \lambda})^+]^{\frac{2Q}{Q-2}}\bigg)^{\frac{Q-2}Q}\rightarrow 0, \end{eqnarray*} $

所以, 当$\epsilon\rightarrow 0$时, (3.7) 式化为

$ \begin{equation}\label{formula 5} \int_{\Sigma_{\xi_0, \lambda}} |\nabla_H(u-u_{\xi_0, \lambda})^+|^2%\\ \leq C\bigg(\int_{A_{\xi_0, \lambda}} u^{\frac{2Q}{Q-2}}\bigg)^{\frac 2Q} \int_{\Sigma_{\xi_0, \lambda}} |\nabla_H(u-u_{\xi_0, \lambda})^+|^2. \end{equation} $

(3.8)

当$p=1$时, 类似可得

$ \begin{equation}\label{formula 6} \int_{\Sigma_{\xi_0, \lambda}} |\nabla_H(u-u_{\xi_0, \lambda})^+|^2%\\ \leq |A_{\xi_0, \lambda}|^{\frac 2Q} \int_{\Sigma_{\xi_0, \lambda}} |\nabla_H(u-u_{\xi_0, \lambda})^+|^2. \end{equation} $

(3.9)

由于

$ \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to 0} \int_{{A_{{\xi _0},\lambda }}} {{u^{\frac{{2Q}}{{Q - 2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to 0} |{A_{{\xi _0},\lambda }}| = 0, $

所以存在充分小的正常数$\lambda_0>0$, 对任意$\lambda\in(0, \lambda_0)$, 有

$ C\bigg(\int_{A_{\xi_0, \lambda}}u^{\frac{2Q}{Q-2}}\bigg)^{\frac 2Q}\leq\frac 12, \quad |A_{\xi_0, \lambda}|^{\frac 2Q}\leq\frac 12, $

结合 (3.8) 和 (3.9) 式, 知

$ \int_{\Sigma_{\xi_0, \lambda}}|\nabla_H(u-u_{\xi_0, \lambda})^+|^2=0, $

从而$|A_{\xi_0, \lambda}|=0.$

定义

$ {\lambda(\xi_0)=\sup\{\mu>0:\ u(\xi)\leq u_{\xi_0, \lambda}(\xi), \forall\xi\in\Sigma_{\xi_0, \lambda}, 0<\lambda<\mu\}.} $

引理3.3  若存在$\xi_0=(0, t_0)\in{\Bbb H}^n$使得$\lambda(\xi_0)<+\infty$, 则在${\Bbb H}^n$上

$ u(\xi)\equiv u_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}(\xi). $

证  实际上, 我们只需要证明在$\Sigma_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}$上

$ \begin{equation}\label{formula 7} u(\xi)\equiv u_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}(\xi). \end{equation} $

(3.10)

由于$\lambda(\xi_0)<+\infty$, 所以在$\Sigma_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}$上

$ \begin{equation}\label{formula 8} u(\xi)\leq u_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}(\xi), \end{equation} $

(3.11)

且

$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -{{\Delta }_{H}}({{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda ({{\xi }_{0}})}}-u)\ge 0, & \text{当}\ \xi \in {{\Sigma }_{{{\xi }_{0}}, \lambda ({{\xi }_{0}})}}\text{时, } \\ {{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda ({{\xi }_{0}})}}-u\equiv 0, & \text{当}\ \xi \in \partial {{\Sigma }_{{{\xi }_{0}}, \lambda ({{\xi }_{0}})}}\text{时}\text{.} \\ \end{array} \right. $

(3.12)

应用极大值原理, 由 (3.12) 式知:或者在$\Sigma_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}$上

$ \begin{equation}\label{formula 10} u(\xi)\equiv u_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}(\xi) \end{equation} $

(3.13)

成立, 或者对$\forall\xi\in \Sigma_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}$, 有

$ \begin{equation}\label{formula 11} u(\xi)<u_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}(\xi). \end{equation} $

(3.14)

下面用反证法证 (3.14) 式不成立.假设 (3.14) 式成立, 则$|A_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}|=0$, 且当$\lambda\searrow\lambda(\xi_0)$时

$ |A_{\xi_0, \lambda}|\rightarrow 0. $

重复引理3.2的推导过程可得:存在一个正常数$\delta>0$, 对任意的$\lambda\in(\lambda(\xi_0), \lambda(\xi_0)+\delta)$, 有$|A_{\xi_0, \lambda}|=0$, 即对任意$\lambda\in(\lambda(\xi_0), \lambda(\xi_0)+\delta)$, 有

$ u(\xi)\leq u_{\xi_0, \lambda}(\xi), \quad \forall\xi\in\Sigma_{\xi_0, \lambda}. $

这与$\lambda(\xi_0)$的定义产生矛盾.证毕.

定理1.1的证明

情形Ⅰ  若存在$\xi_0=(0, t_0)\in{\Bbb H}^n$使得$\lambda(\xi_0)<+\infty$, 由{引理3.3}可得

$ u(\xi )\equiv {{u}_{{{\xi }_{0}}, \lambda ({{\xi }_{0}})}}(\xi ), \quad \forall \xi \in {{\mathbb{H}}^{n}}, $

从而

$ \begin{eqnarray}\label{formula 12} 0=-\Delta_H(u-u_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}) =u^p -\left(\frac{\lambda(\xi_0)} {\rho(\xi_0, \xi)}\right)^{(Q-2) (\frac{Q+2}{Q-2}-p)}u_{\xi_0, \lambda(\xi_0)}^p. \end{eqnarray} $

(3.15)

若$\rho(\xi_0, \xi)\neq\lambda(\xi_0)$, 则$u(\xi)=0$, 结合函数$u(\xi)$的连续性, 从而可证$u\equiv 0$.

情形Ⅱ  对任意点$\xi_0=(0, t_0)$均有$\lambda(\xi_0)=+\infty$.由$\lambda(\xi_0)$的定义可知:对任意$\lambda>0, $ $ \forall\xi\in \Sigma_{\xi, \lambda}$, 有

$ u(\xi)\leq u_{\xi_0, \lambda}(\xi), $

而上式等价于对$\forall\rho(\xi_0, \xi) \geq\lambda>0$, 有

$ \begin{equation}\label{formula 13} u(\xi)\geq u_{\xi_0, \lambda}(\xi), \end{equation} $

(3.16)

即对$\forall\rho(\xi_0, \xi)\geq\lambda>0$, 有

$ \begin{equation}\label{formula 14} u(\xi)\geq\left(\frac{\lambda(\xi_0)} {\rho(\xi_0, \xi)}\right)^{Q-2} u\left(\xi_0\circ\delta_{\lambda(\xi_0)^2} \widetilde{T}(\xi_0^{-1}\circ\xi)\right). \end{equation} $

(3.17)

如果解函数$u(z, t)$与$t$无关, 则方程 (1.7) 化为

$ -\Delta u={{u}^{p}}, \quad 在{{\mathbb{R}}^{2n+1}}中, $

(3.18)

由于$p<\frac{Q+2}{Q-2}<\frac{2n+1+2}{2n+1-2}$, 所以 (3.18) 式为${\Bbb R}^{2n+1}$上的次临界方程, 结合文献[10]的结果可得$u\equiv 0$.所以下文将致力于证明解函数$u(z, t)$与$t$无关.

下面只需证明:对任意的$z_0\in{\Bbb C}^n$, $t_1, t_2\in{\Bbb R}$, 有$u(z_0, t_1)\geq u(z_0, t_2)$.实际上, 若此结论成立, 结合$t_1, t_2$的任意性可得$u(z, t)=u(z, 0)$, 即解函数$u(z, t)$与$t$无关.

任取$b>1$, $t_1\neq t_2$, 令

$ t_0=t_0(b)=t_1+b(t_2-t_1), \quad \lambda=\lambda(b)= \sqrt{\rho(\xi_0, \xi_1) \rho(\xi_0, \xi_2)}, $

其中$\xi_0=(0, t_0), \ \xi_1=(z_0, t_1)$, $\xi_2=(z_0, t_2)$, 则

$ \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \frac{\lambda }{{\rho ({\xi _0},{\xi _1})}} = 1,\quad \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } {t_0} + \frac{{{\lambda ^4}({t_1} - {t_0})}}{{\rho {{({\xi _0},\xi )}^4}}} = {t_2}. $

结合$u (z, t)=u (|z|, t)$和 (3.17) 式, 当$ b\rightarrow+\infty$时, 有

$ \begin{eqnarray*} u(z_0, t_1)&\geq&\left(\frac\lambda{\rho(\xi_0, \xi_1)}\right)^{Q-2} u\left(\frac{\lambda^2\bar{z}_0}{A(\xi_0^{-1}\circ\xi_1)}, t_0+\frac{\lambda^4(t_1-t_0)}{\rho(\xi_0, \xi)^4}\right)\\ &=&\left(\frac\lambda{\rho(\xi_0, \xi_1)}\right)^{Q-2} u\left(\frac{\lambda^2 z_0}{\rho(\xi_0, \xi_1)^2}, t_0+ \frac{\lambda^4(t_1-t_0)}{\rho(\xi_0, \xi)^4}\right)\\ &\rightarrow &u(z_0, t_2). \end{eqnarray*} $

证毕.