设$B$表示${\bf C}^{n}$上的单位球, $\partial B$表示单位球面, d$v$为标准体测度, 满足$V (B)=1$, d$\sigma$为标准面测度, 满足$\sigma (\partial B)=1$, $H (B)$代表$B$上的全纯函数类.

Dirichlet型空间$D_p$的定义如下:对$p\in {\Bbb R}, $ $f\in D_p$是指$f\in H (B)$且

$ \|f\|_{D_p}^2=\sum\limits_{|\alpha|\geq0}(n+|\alpha|)^p|b_\alpha|^2\varpi_\alpha<+\infty, $

这里$\alpha=(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)$为多重指标, $|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$, $\alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!$, $z^\alpha=z_1^{\alpha_1}\cdot\cdots\cdot z_n^{\alpha_n}$,

$ f(z)=\sum\limits_{|\alpha|\geq0}b_\alpha z^\alpha, \ \ \varpi_\alpha=\int_{\partial B}|\xi^\alpha|^2{\rm d}\sigma(\xi)=\frac{(n-1)!\alpha!}{(n+|\alpha|-1)!}. $

对$[0, 1)$上的连续函数$\mu (r)>0$, 如果存在常数$0 < a < b$, 使得

(ⅰ) $\frac{\mu (r)}{(1-r)^a}$在$[0, 1)$上单调递减且$\lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\frac{\mu (r)}{(1-r)^a}=0, $

(ⅱ) $\frac{\mu (r)}{(1-r)^b}$在$[0, 1)$上单调递增且$\lim\limits_{r\rightarrow1^-} \frac{\mu (r)}{(1-r)^b}=+\infty, $

则称$\mu$为$[0, 1)$上的正规函数.

设$\mu$为$[0, 1)$上的正规函数, $B$上的全纯函数$f$如果满足

$ \|f\|_{\beta_\mu}=|f(0)|+\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|Rf(z)|<+\infty, $

则称$f$属于$\beta_\mu$空间, 若$\lim\limits_{|z|\rightarrow1}\mu (|z|)|Rf (z)|=0$, 则称$f$属于$\beta_{\mu, 0}$空间.这里径向导数$Rf (z)=\sum\limits_{j=1}^nz_j\frac{\partial f (z)}{\partial z_j}$.

设$\mu$为$[0, 1)$上的正规函数, $B$上的全纯函数$f$如果满足

$ \|f\|_{Z_\mu}=|f(0)|+\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|R^{(2)}f(z)|<+\infty, $

则称$f$属于Zygmund型空间$Z_\mu$, 若$\lim\limits_{|z|\rightarrow1}\mu (|z|)|R^{(2)}f (z)|=0$, 则称$f$属于小Zygmund型空间$Z_{\mu, 0}$ (见文献[1-3]).如果$\mu (r)=1-r^2$, Zygmund型空间$Z_\mu$ (小Zygmund型空间$Z_{\mu, 0}$) 就是典型的Zygmund空间$Z$(小Zygmund空间$Z_0$).这里$R^{(2)}f (z)=R (Rf (z))$.

设$\varphi$是$B$到$B$的全纯自映射, $g\in H (B)$且$g (0)=0$, 则$\varphi$和$g$诱导的$H (B)$上的算子$P_\varphi^g$定义为

$ P_\varphi^g(f)(z)=\int_0^1f(\varphi(tz))g(tz)\frac{{\rm d}t}{t}, z\in B. $

文献[4-9]研究了该类算子的性质.若用$Rg$代替$g$算子$P_g$就是加权Cesàro算子, 它在文献[10]被引入并研究, 文献[11-12]讨论了单位球上Dirichlet型空间到$\beta_{\mu}$空间和Dirichlet型空间到Zygmund型空间的加权Cesàro算子的有界性和紧性.文献[13-14]讨论了混合模空间和Dirichlet空间到Zygmund型空间的积分型算子$P_{g}:=P_\varphi^g, $其中$\varphi (z)=z$时的有界性和紧性.本文的主要工作就是在$C^{n}$中的单位球上来给出$P_{g}:=P_\varphi^g, $其中$\varphi (z)=z$时为Dirichlet型空间到$Z_\mu$空间上的有界算子和紧算子的充要条件, 并推广了文献[14]的结论.本文中$z=(z_{1}, \cdots, z_{n}), \omega=(\omega_{1}, \cdots, \omega_{n}), \langle z, \omega\rangle=\Sigma_{j=1}^{n}z_{j}\overline{\omega}_{j}$, 我们用记号$c$来表示与变量$z, \omega $无关的正数, $c$可以与某些范数或有界量有关, 不同的地方可以表示不同的正常数.

引理2.1^[4]  设$f, g\in H (B)$且$g (0)=0$, 则

$ RP_\varphi^g(f)(z)=f(\varphi(z))g(z). $

引理2.2^[15]  设$p\in {\Bbb R}$, $f\in D_p$, 则

$ |f(z)|\leq \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle{O( 1 )}, & \quad p>n, \\[2mm] \displaystyle{ O\bigg((\log\frac{2}{1-|z|^{2}})^{\frac{1}{2}}\bigg)}, & \quad p=n, \\ [3mm] \displaystyle{O\bigg(\frac{1}{(1-|z|^2)^{\frac{n-p}{2}}}\bigg)}, & \quad p<n, \end{array} \right. $

$ |Rf(z)|\leq \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle{O( 1 )}, & \quad p>n+2, \\[2mm] \displaystyle{ O\bigg((\log\frac{2}{1-|z|^{2}})^{\frac{1}{2}}\bigg)}, & \quad p=n+2, \\[3mm] \displaystyle{O\bigg(\frac{1}{(1-|z|^2)^{\frac{n+2-p}{2}}}\bigg)}, & \quad p<n+2. \end{array} \right. $

引理2.3  设$p\in {\Bbb R}$, $\mu$为$[0, 1)$上的正规函数, 则$P_{g}:D_p\rightarrow Z_{\mu}$是紧算子的充要条件是:对任意满足条件:(1) 在$D_p$上有界; (2) 在$B$的任一紧子集上一致收敛于0的序列$\{f_{j}\}$, 都有

$ \|P_{g}(f_{j})\|_{Z_{\mu}}\rightarrow0, \quad j\rightarrow+\infty. $

证  由引理2.2和Montel定理按定义可证.

定理2.4^[3]  $Z_{\mu, 0}$中的闭子集$K$是紧子集的充要条件是$K$是有界集, 且满足

$ \lim\limits_{|z|\rightarrow1}\sup\limits_{f\in K}\mu(|z|)|R^{(2)}f(z)|=0. $

以下总假设$g\in H (B)$, $g (0)=0$.

定理3.1  设$p\in {\Bbb R}$, $\mu$在$[0, 1)$上正规, 则$P_{g}$为$D_{p}$到$Z_{\mu}$的有界算子的充要条件是:

(1) 当$p < n$时,

$\sup\limits_{z\in B}\frac{\mu(|z|)|g(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+2-p}{2}}}<+\infty$

(3.1)

和

$\sup\limits_{z\in B}\frac{\mu(|z|)|Rg(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n-p}{2}}}<+\infty$

(3.2)

同时成立;

(2) 当$p=n$时, (3.1) 式成立且

$\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|Rg(z)|\cdot \left(\log\frac{2}{1-|z|^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}<+\infty;$

(3.3)

(3) 当$n < p < n+2$时, (3.1) 式成立且$g\in \beta_{\mu}$;

(4) 当$p=n+2$时, $g\in \beta_{\mu}$且

$\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|g(z)|\cdot \left(\log\frac{2}{1-|z|^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}<+\infty;$

(3.4)

(5) 当$p>n+2$时, $g\in \beta_{\mu}.$

证  先证充分性:假设$g\in \beta_{\mu}$, 则

$ \begin{align} & \mu (|z|)|g(z)|=\mu (|z|)\left| g(0)+\int_{0}^{1}{\langle \nabla g(tz), \bar{z}\rangle }\ \text{d}t \right| \\ & \le \mu (0)\|g{{\|}_{{{\beta }_{\mu }}}}+|z|\mu (|z|)\int_{0}^{1}{\frac{\|g{{\|}_{{{\beta }_{\mu }}}}}{\mu (t|z|)}}\text{d}t \\ & \le \{1+\mu (0)\}\|g{{\|}_{{{\beta }_{\mu }}}}. \\ \end{align} $

如果 (3.1)-(3.4) 式成立, 任取$f\in D_{p}$, 由$P_{g}(f)(0)=0$和引理2.1, 2.2以及上式分情况可得

$ \|{{P}_{g}}(f){{\|}_{{{Z}_{\mu }}}}\le \underset{z\in B}{\mathop{\sup }}\, \mu (|z|)|Rf(z)g(z)|+\underset{z\in B}{\mathop{\sup }}\, \mu (|z|)|f(z)Rg(z)| $

$ \begin{gathered} \leqslant \left\{ \begin{gathered} c\mathop {\sup }\limits_{z \in B} \{ \frac{{\mu (|z|)|g(z)|}}{{{{(1- |z{|^2})}^{\frac{{n + 2- p}}{2}}}}} + \frac{{\mu (|z|)|Rg(z)|}}{{{{(1- |z{|^2})}^{\frac{{n - p}}{2}}}}}\} \cdot f{_{{D_p}}}, p < n, \hfill \\ c\mathop {\sup }\limits_{z \in B} \{ \frac{{\mu (|z|)|g(z)|}}{{{{(1 - |z{|^2})}^{\frac{{n + 2 - p}}{2}}}}} + \mu (|z|)|Rg(z)|{(\log \frac{2}{{1 - |z{|^2}}})^{\frac{1}{2}}}\} \cdot f{_{{D_p}}}, p = n, \hfill \\ c\mathop {\sup }\limits_{z \in B} \{ \frac{{\mu (|z|)|g(z)|}}{{{{(1 - |z{|^2})}^{\frac{{n + 2 - p}}{2}}}}} + \mu (|z|)|Rg(z)|\} \cdot f{_{{D_p}}}, n < p < n + 2, \hfill \\ c\mathop {\sup }\limits_{z \in B} \{ \mu (|z|)|g(z)|{(\log \frac{2}{{1 - |z{|^2}}})^{\frac{1}{2}}} + \mu (|z|)|Rg(z)|\} \cdot f{_{{D_p}}}, p = n + 2, \hfill \\ c\mathop {\sup }\limits_{z \in B} \{ \mu (|z|)|g(z)| + \mu (|z|)|Rg(z)|\} \cdot f{_{{D_p}}}, p > n + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \leqslant cf{_{{D_p}}}. \hfill \\ \end{gathered} $

这表明$P_{g}$是$D_{p}$到$Z_{\mu}$的有界算子.

必要性:设$P_{g}$是$D_{p}$到$Z_{\mu}$的有界算子.取$f (z)=1$, 因为$\varpi_{\alpha}=1, |\alpha|=0, b_{\alpha}=1$,

$ \|f\|^{2}_{D_{p}}=\sum_{|\alpha|\geq0}(n+|\alpha|)^{p}|b_{\alpha}|^{2}\varpi_{\alpha}=n^{p}. $

所以$f\in D_{p}$.又$P_gf (0)=0$, 且

$ \mu (|z|)|{R^{(2)}}({P_g}f)(z)| = \mathop {\sup }\limits_{z \in B} \mu (|z|)|Rf(z)g(z) + f(z)Rg(z)| = \mathop {\sup }\limits_{z \in B} \mu (|z|)|Rg(z)| < + \infty . $

从而$g\in \beta_{\mu}$.

(ⅰ) 先证 (3.1) 式成立.当$p < n+2$时, 设$\frac{1}{\sqrt{2}} < |\omega| < 1$, 取

$ f_\omega(z)=\frac{2(1-|\omega|^2)}{(1-\langle z, \omega\rangle)^{\frac{n-p}{2}+1}}-\frac{(1-|\omega|^2)^{\frac{n-p}{2}+2}}{(1-\langle z, \omega\rangle)^{n+2-p}}-\frac{(1-|\omega|^2)^{n+3-p}}{(1-\langle z, \omega\rangle)^{\frac{3n-3p}{2}+3}}. $

经计算, 由Stiring公式有

$ \begin{gathered} {f_\omega }_{{D_p}}^2 \leqslant \sum\limits_{|\alpha | \geqslant 0} {{{(n + |\alpha |)}^p}} \{ |\frac{{\Gamma (|\alpha | + 1 + \frac{{n - p}}{2})}}{{\alpha !\Gamma (1 + \frac{{n - p}}{2})}}2(1 - |\omega {|^2}){|^2} \hfill \\ + |\frac{{\Gamma (|\alpha | + n + 2 - p)}}{{\alpha !\Gamma (n + 2 - p)}}{(1 - |\omega {|^2})^{\frac{{n - p}}{2} + 2}}{|^2} \hfill \\ + |\frac{{\Gamma (|\alpha | + 3 + \frac{{3n - 3p}}{2})}}{{\alpha !\Gamma (3 + \frac{{3n - 3p}}{2})}}{(1 - |\omega {|^2})^{n + 3 - p}}{|^2}\} |{\omega ^\alpha }{|^2} \cdot \frac{{(n - 1)!\alpha !}}{{(n + |\alpha | - 1)!}} \hfill \\ = \frac{{(n - 1)!4{{(1 - |\omega {|^2})}^2}}}{{{\Gamma ^2}(1 + \frac{{n - p}}{2})}}\sum\limits_{k \geqslant 0} {\frac{{{{(n + k)}^p}{\Gamma ^2}(k + 1 + \frac{{n - p}}{2})}}{{k!(n + k - 1)!}}} |\omega {|^{2k}} \hfill \\ + \frac{{(n - 1)!{{(1 - |\omega {|^2})}^{4 + n - p}}}}{{{\Gamma ^2}(n + 2 - p)}}\sum\limits_{k \geqslant 0} {\frac{{{{(n + k)}^p}{\Gamma ^2}(k + n + 2 - p)}}{{k!(n + k - 1)!}}} |\omega {|^{2k}} \hfill \\ + \frac{{(n - 1)!{{(1 - |\omega {|^2})}^{2n + 6 - 2p}}}}{{{\Gamma ^2}(\frac{{3n - 3p}}{2} + 3)}}\sum\limits_{k \geqslant 0} {\frac{{{{(n + k)}^p}{\Gamma ^2}(k + 3 + \frac{{3n - 3p}}{2})}}{{k!(n + k - 1)!}}} |\omega {|^{2k}} \hfill \\ \approx c{(1 - |\omega {|^2})^2}\sum\limits_{k \geqslant 0} k |\omega {|^{2k}} \leqslant c. \hfill \\ \end{gathered} $

所以$\|f_\omega\|_{D_p}\leq c$.

取$z=\omega$, 有$f_\omega (\omega)=0, Rf_\omega (\omega)=-(\frac{3n-3p}{2}+3)\frac{|\omega|^2}{(1-|\omega|^2)^{\frac{n-p}{2}+1}}$, 所以

$ \begin{gathered} c \geqslant {P_g}{f_\omega }{_{{Z_\mu }}} \geqslant \mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} \mu (|\omega |)|R{f_\omega }(\omega )g(\omega ) + {f_\omega }(\omega )Rg(\omega )| \hfill \\ \geqslant {c_1}\mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} (\frac{{3n - 3p}}{2} + 3)\frac{{\mu (|\omega |)|g(\omega )|}}{{{{(1 - |\omega {|^2})}^{\frac{{n + 2 - p}}{2}}}}}, \hfill \\ \end{gathered} $

所以 (3.1) 式成立.

(ⅱ) 再证 (3.2) 式成立. $\forall\omega\in B$, 取

$ h_\omega(z)=\frac{2(1-|\omega|^2)}{(1-\langle z, \omega\rangle)^{\frac{n-p}{2}+1}}-\frac{(1-|\omega|^2)^{\frac{n-p}{2}+2}}{(1-\langle z, \omega\rangle)^{n+2-p}}. $

经计算, 由Stiring公式有

$ \begin{gathered} {h_\omega }_{{D_p}}^2 \leqslant \sum\limits_{|\alpha | \geqslant 0} {{{(n + |\alpha |)}^p}} \{ |\frac{{\Gamma (|\alpha | + 1 + \frac{{n - p}}{2})}}{{\alpha !\Gamma (1 + \frac{{n - p}}{2})}}2(1 - |\omega {|^2}){|^2} \hfill \\ + |\frac{{\Gamma (|\alpha | + n + 2 - p)}}{{\alpha !\Gamma (n + 2 - p)}}{(1 - |\omega {|^2})^{\frac{{n - p}}{2} + 2}}{|^2}\} |{\omega ^\alpha }{|^2} \cdot \frac{{(n - 1)!\alpha !}}{{(n + |\alpha | - 1)!}} \hfill \\ = \frac{{(n - 1)!4{{(1 - |\omega {|^2})}^2}}}{{{\Gamma ^2}(1 + \frac{{n - p}}{2})}}\sum\limits_{k \geqslant 0} {\frac{{{{(n + k)}^p}{\Gamma ^2}(k + 1 + \frac{{n - p}}{2})}}{{k!(n + k - 1)!}}} |\omega {|^{2k}} \hfill \\ + \frac{{(n - 1)!{{(1 - |\omega {|^2})}^{4 + n - p}}}}{{{\Gamma ^2}(n + 2 - p)}}\sum\limits_{k \geqslant 0} {\frac{{{{(n + k)}^p}{\Gamma ^2}(k + n + 2 - p)}}{{k!(n + k - 1)!}}} |\omega {|^{2k}} \hfill \\ \approx c{(1 - |\omega {|^2})^2}\sum\limits_{k \geqslant 0} k |\omega {|^{2k}} \leqslant c. \hfill \\ \end{gathered} $

所以$\|h_\omega\|_{D_p}\leq c$.

取$z=\omega$, 有$h_\omega (\omega)=\frac{1}{(1-|\omega|^2)^{\frac{n-p}{2}}}, Rh_\omega (\omega)=0$, 由$P_{g}$是$D_{p}$到$Z_{\mu}$的有界算子知

$ \begin{gathered} c \geqslant {P_g}{h_\omega }{_{{Z_\mu }}} \geqslant \mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} \mu (|\omega |)|R{h_\omega }(\omega )g(\omega ) + {h_\omega }(\omega )Rg(\omega )| \hfill \\ = \mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} \frac{{\mu (|\omega |)|Rg(\omega )|}}{{{{(1 - |\omega {|^2})}^{\frac{{n - p}}{2}}}}}, \hfill \\ \end{gathered} $

也就是 (3.2) 式成立.

(ⅲ) 下证 (3.3) 式成立.当$p=n$时, $\forall\omega\in B$, 取

$ \begin{gathered} {I_\omega }(z) = {\left( {\log \frac{2}{{1 - |\omega {|^2}}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} \cdot \log \frac{2}{{1 - \langle z, \omega \rangle }} \hfill \\ = {\left( {\log \frac{2}{{1 - |\omega {|^2}}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} \cdot (\log 2 + \sum\limits_{|\alpha | \geqslant 1} {\frac{{(|\alpha | - 1)!}}{{\alpha !}}} {{\bar \omega }^\alpha } \cdot {z^\alpha }). \hfill \\ \end{gathered} $

经计算, 由Stiring公式有

$ \begin{gathered} {I_\omega }_{{D_n}}^2 = {\left( {\log \frac{2}{{1 - |\omega {|^2}}}} \right)^{ - 1}}\{ {n^n}\log 2 + \sum\limits_{|\alpha | \geqslant 1} {{{(n + |\alpha |)}^n}} {\left( {\frac{{(|\alpha | - 1)!}}{{\alpha !}}} \right)^2}|{\omega ^\alpha }{|^2} \cdot {\varpi _\alpha }\} \hfill \\ \approx {\left( {\log \frac{2}{{1 - |\omega {|^2}}}} \right)^{ - 1}}(\log 2 + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{|\omega {|^{2k}}}}{k}} ) = 1. \hfill \\ \end{gathered} $

所以$\|I_\omega\|_{D_n}\leq c$.

取$z=\omega$, 有$I_\omega (\omega)=(\log\frac{2}{1-|\omega|^2})^{\frac{1}{2}}, RI_\omega (\omega)=(\log\frac{2}{1-|\omega|^2})^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{|\omega|^2}{1-|\omega|^2}, $由$P_{g}$是$D_{p}$到$Z_{\mu}$的有界算子有

$ c\geq\|P_gI_\omega\|_{Z_\mu}\geq\sup\limits_{\omega\in B}\mu(|\omega|)|RI_\omega(\omega)g(\omega)+I_\omega(\omega)Rg(\omega)|. $

因为$\frac{|\omega|}{(\log\frac{2}{1-|\omega|^2})^{\frac{1}{2}}}\leq\frac{1}{\sqrt{\log2}}, $又由 (3.1) 式知

$ \sup\limits_{\omega\in B}\mu(|\omega|)|Rg(\omega)|\bigg(\log\frac{2}{1-|\omega|^2}\bigg)^{\frac{1}{2}} \leq \|P_gI_\omega\|_{Z_\mu}+\sup\limits_{\omega\in B}\frac{\mu(|\omega|)|g(\omega)||\omega|}{1-|\omega|^2}\cdot\frac{|\omega|}{(\log\frac{2}{1-|\omega|^2})^{\frac{1}{2}}}\leq c, $

也就是 (3.3) 式成立.

(ⅳ) 最后证 (3.4) 式成立.当$p=n+2$时, $\forall\omega\in B$, 取

$ J_\omega(z)=\left(\log\frac{2}{1-|\omega|^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{\langle z, \omega\rangle^k}{k^2}. $

经计算, 由Stiring公式有

$ \begin{gathered} {J_\omega }_{{D_{n + 2}}}^2 \leqslant \sum\limits_{k = 1}^\infty {{{(k + n)}^{n + 2}}} \cdot \frac{{(n - 1)!k!}}{{(k + n - 1)!{k^4}}} \cdot {\left( {\log \frac{2}{{1 - |\omega {|^2}}}} \right)^{ - 1}}|\omega {|^{2k}} \hfill \\ \approx {\left( {\log \frac{2}{{1 - |\omega {|^2}}}} \right)^{ - 1}} \cdot \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{|\omega {|^{2k}}}}{k}} < 1. \hfill \\ \end{gathered} $

所以$\|J_\omega\|_{D_{n+2}}\leq c$.

设$z=\omega$, 有$|J_\omega (\omega)|=(\log\frac{2}{1-|\omega|^2})^{-\frac{1}{2}}\cdot\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{|\omega|^{2k}}{k^2} \leq c, |RJ_\omega (\omega)|\geq (\log\frac{2}{1-|\omega|^2})^{-\frac{1}{2}}\cdot\log\frac{2}{1-|\omega|^2}-\sqrt{\log2}, $由$P_{g}$是$D_{p}$到$Z_{\mu}$的有界算子有

$ c \geqslant {P_g}{J_\omega }{_{{Z_\mu }}} \geqslant \mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} \mu (|\omega |)|R{J_\omega }(\omega )g(\omega ) + {J_\omega }(\omega )Rg(\omega )|. $

又由$g\in \beta_{\mu}$知

$ \begin{gathered} \mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} \mu (|\omega |)|g(\omega )|{(\log \frac{2}{{1 - |\omega {|^2}}})^{\frac{1}{2}}} \hfill \\ \leqslant \sqrt {\log 2} \mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} \mu (|\omega |)|g(\omega )| + {P_g}{J_\omega }{_{{Z_\mu }}} + \hfill \\ c\mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} \mu (|\omega |)|Rg(\omega )|{(\log \frac{2}{{1 - |\omega {|^2}}})^{ - \frac{1}{2}}} \leqslant c, \hfill \\ \end{gathered} $

也就是 (3.4) 式成立.

所以定理3.1得证.

定理3.2  设$p\in {\Bbb R}$, $\mu$在$[0, 1)$上正规, 则$P_{g}$为$D_{p}$到$Z_{\mu}$的紧算子的充要条件是:

(1) 当$p < n$时,

$ \begin{gathered} \mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} \mu (|\omega |)|g(\omega )|{(\log \frac{2}{{1 - |\omega {|^2}}})^{\frac{1}{2}}} \hfill \\ \leqslant \sqrt {\log 2} \mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} \mu (|\omega |)|g(\omega )| + {P_g}{J_\omega }{_{{Z_\mu }}} + c\mathop {\sup }\limits_{\omega \in B} \mu (|\omega |)|Rg(\omega )| \hfill \\ {(\log \frac{2}{{1 - |\omega {|^2}}})^{ - \frac{1}{2}}} \leqslant c, \hfill \\ \end{gathered} $

(3.5)

和

$\lim\limits_{|z|\rightarrow1^-}\frac{\mu(|z|)|g(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+2-p}{2}}}=0$

(3.6)

同时成立;

(2) 当$p=n$时, (3.5) 式成立且

$\lim\limits_{|z|\rightarrow1^-}\frac{\mu(|z|)|Rg(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n-p}{2}}}=0$

(3.7)

(3) 当$n < p < n+2$时, (3.5) 式成立且$g\in \beta_{\mu}$;

(4) 当$p=n+2$时, $g\in \beta_{\mu}$且

$\lim\limits_{|z|\rightarrow1^-}\mu(|z|)|Rg(z)|\cdot \bigg(\log\frac{2}{1-|z|^{2}}\bigg)^{\frac{1}{2}}=0.$

(3.8)

(5) 当$p>n+2$时, $g\in \beta_{\mu}$.

证  先证充分性:设$\{f_{j}\}$是在$B$上的任一紧子集上一致趋于0且满足$\|f_{j}\|_{D_p}\leq1$的任一序列, 根据文献[18]中定理1的证明可得:对任意非负整数, 有

$|R^{(k)}f_{j}(z)|\leq \frac{c||f_{j}||_{D_{p}}}{(1-|z)^{2})^{k+\frac{n-p}{2}}}\leq \frac{c}{(1-|z)^{2})^{k+\frac{n-p}{2}}}, $

根据文献[15]中引理3.2可得:$p>n$时

$ \mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } \mathop {\sup }\limits_{z\in B}|f_{j}(z)|=0. $

$p>n+2$时

$ \mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } \mathop {\sup }\limits_{z\in B}|Rf_{j}(z)|=0. $

当$p < n$时, 由已知得$\forall \varepsilon >0$, 存在$0 < \delta < 1$, 当$\delta < |z| < 1$时, 有$\frac{\mu (|z|)|g (z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+2-p}{2}}} < \varepsilon$, $\frac{\mu (|z|)|Rg (z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n-p}{2}}} < \varepsilon$, 从而$\mu (|z|)|g (z)| < \varepsilon, \mu (|z|)|Rg (z)| < \varepsilon$.

由于$\{f_{j}\}$在$E=\{z||z|\leq\delta\}$上一致收敛于0, 故存在自然数$N$, 当$j>N$时有$|f_{j}(z)| < \varepsilon, $ $|Rf_{j}(z)| < \varepsilon$对一切$z\in E$成立, 从而当$j>N$时, 由引理2.2有

$ \begin{gathered} {P_g}{f_j}{_{{Z_\mu }}} = \{ \mathop {\sup }\limits_{|z| \leqslant \delta } + \mathop {\sup }\limits_{\delta < |z| < 1} \} \mu (|z|)|Rg(z){f_j}(z) + g(z)R{f_j}(z)| \hfill \\ \leqslant c\mathop {\sup }\limits_{|z| \leqslant \delta } \{ \mu (|z|)|Rg(z)||{f_j}(z)| + \mu (|z|)|g(z)||R{f_j}(z)|\} \hfill \\ + c\mathop {\sup }\limits_{\delta < |z| < 1} \{ \frac{{\mu (|z|)|Rg(z)|}}{{{{(1 - |z{|^2})}^{\frac{{n - p}}{2}}}}} + \frac{{\mu (|z|)|g(z)|}}{{{{(1 - |z{|^2})}^{\frac{{n + 2 - p}}{2}}}}}\} {f_j}{_{{D_p}}} \hfill \\ \leqslant 2c\varepsilon + 2c\varepsilon {f_j}{_{{D_p}}} < c\varepsilon . \hfill \\ \end{gathered} $

由$\varepsilon $的任意性知$\lim\limits_{j\rightarrow \infty}\|P_{g}f_{j}\|_{Z_\mu}=0$, 由引理2.3知$P_{g}$为$D_{p}$到$Z_{\mu}$的紧算子.

结合开始的两个式子类似可证其它的情形.

必要性:设$P_{g}$是$D_{p}$到$Z_{\mu}$的紧算子, 则$P_{g}$是$D_{p}$到$Z_{\mu}$的有界算子, 取$f (z)=1\in D_{p}$, 有$g\in \beta_{\mu}$.

(ⅰ) 先证 (3.5) 式成立.当$p < n+2$时, 对于$B$中满足$\lim\limits_{j\rightarrow+\infty}|z^j|=1$的任意序列$\{z^j\}, (j=1, 2, \cdots)$, 取

$ f_j(z)=\frac{2(1-|z^j|^2)}{(1-\langle z, z^j\rangle)^{\frac{n-p}{2}+1}}-\frac{(1-|z^j|^2)^{\frac{n-p}{2}+2}}{(1-\langle z, z^j\rangle)^{n+2-p}}-\frac{(1-|z^j|^2)^{n+3-p}}{(1-\langle z, z^j\rangle)^{\frac{3n-3p}{2}+3}}. $

类似 (3.1) 式中的证明知$\|f_j\|_{D_p}\leq c, $ $f_j\in D_p$.且$f_j (z^j)=0, Rf_j (z^j)=-(\frac{3n-3p}{2}+3)\frac{|z^j|^2}{(1-|z^j|^2)^{\frac{n+2-p}{2}}}$.

下面再证$\{f_{j}\}$在$B$的任一紧子集上一致收敛于0.对任意$0 < r < 1$, 有

$ \sup\limits_{|z|\leq r}|f_{j}(z)|\leq\sup\limits_{|z|\leq r} \frac{c(1-|z^j|^{2})} {(1-|z|^2)^{\frac{n-p}{2}+1}}= \frac{c(1-|z^j|^{2})} {(1-r^2)^{\frac{n-p}{2}+1}}\rightarrow0, ~ j\rightarrow\infty. $

所以$\{f_{j}\}$在$B$的任一紧子集上一致收敛于0.由引理2.3有$\lim\limits_{j\rightarrow \infty}\|(P_{g}f_{j})\|_{Z_\mu}=0$, 即$\forall\varepsilon>0, $ $ \exists N>0$, 当$j>N$时, ($|z^j|\rightarrow1$) 有

$ c\varepsilon>\|(P_{g}f_{j})\|_{Z_\mu}\geq\mu(|z^j|)|Rf_j(z^j)g(z^j)+f_j(z^j) Rg(z^j)| \geq \frac{c\mu(|z^j|)|g(z^j)|}{(1-|z^j|^2)^{\frac{n+2-p}{2}}}. $

所以 (3.5) 式成立.

(ⅱ) 再证 (3.6) 式成立.

对于$B$中满足$\lim\limits_{j\rightarrow+\infty}|z^j|=1$的任意序列$\{z^j\}, (j=1, 2, \cdots)$, 取

$ h_j(z)=\frac{2(1-|z^j|^2)}{(1-\langle z, z^j\rangle)^{\frac{n-p}{2}+1}}-\frac{(1-|z^j|^2)^{\frac{n-p}{2}+2}}{(1-\langle z, z^j\rangle)^{n+2-p}}. $

类似 (3.2) 式中的证明知$\|h_j\|_{D_p}\leq c, $ $h_j\in D_p$, 且$Rh_j (z^j)=0, h_j (z^j)=\frac{1}{(1-|z^j|^2)^{\frac{n-p}{2}}}$.下面再证$\{h_{j}\}$在$B$的任一紧子集上一致收敛于0.对任意$0 < r < 1$, 有

$ \sup\limits_{|z|\leq r}|h_{j}(z)|\leq\sup\limits_{|z|\leq r} \frac{c(1-|z^j|^{2})} {(1-|z|^2)^{\frac{n-p}{2}+1}}= \frac{c(1-|z^j|^{2})} {(1-r^2)^{\frac{n-p}{2}+1}}\rightarrow0, \ j\rightarrow\infty. $

所以$\{h_{j}\}$在$B$的任一紧子集上一致收敛于0.由引理2.3有$\lim\limits_{j\rightarrow \infty}\|(P_{g}h_{j})\|_{Z_\mu}=0$, 即$\forall\varepsilon>0, $ $\exists N>0$, 当$j>N$时, ($|z^j|\rightarrow1$) 有

$ c\varepsilon>\|(P_{g}h_{j})\|_{Z_\mu}\geq\mu(|z^j|)|Rh_j(z^j)g(z^j)+h_j(z^j) Rg(z^j)| \geq \frac{c\mu(|z^j|)|Rg(z^j)|}{(1-|z^j|^2)^{\frac{n-p}{2}}}, $

所以 (3.6) 式成立.

(ⅲ) 下证 (3.7) 式成立.当$p=n$时, 对于$B$中满足$\lim\limits_{j\rightarrow+\infty}|z^j|=1$的任意序列$\{z^j\}$ $(j=1, 2, \cdots)$, 取

$ I_j(z)=\bigg(\log\frac{2}{1-|z^j|^2}\bigg)^{-\frac{1}{2}}\cdot\log\frac{2}{1-\langle z, z^j\rangle}. $

类似 (3.3) 式中的证明知$\|I_j\|_{D_n}\leq c, $且有$I_j (z^j)=(\log\frac{2}{1-|z^j|^2})^{\frac{1}{2}}, RI_j (z^j)=(\log\frac{2}{1-|z^j|^2})^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{|z^j|^2}{1-|z^j|^2}, $下面再证$\{I_{j}\}$在$B$的任一紧子集上一致收敛于0.对任意$0 < r < 1$, 有

$ \begin{gathered} \mathop {\sup }\limits_{|z| \leqslant r} |{I_j}(z)| \leqslant \mathop {\sup }\limits_{|z| \leqslant r} {(\log \frac{2}{{1 - |{z^j}{|^2}}})^{ - \frac{1}{2}}} \cdot |\log \frac{2}{{1 - \langle z, {z^j}\rangle }}| \hfill \\ \leqslant c{(\log \frac{2}{{1 - |{z^j}{|^2}}})^{ - \frac{1}{2}}} \cdot \log \frac{2}{{1 - r}} \to 0, \;j \to \infty . \hfill \\ \end{gathered} $

所以$\{I_{j}\}$在$B$的任一紧子集上一致收敛于0.由引理2.3, 有$\lim\limits_{j\rightarrow \infty}\|(P_{g}I_{j})\|_{Z_\mu}=0$, 即$\forall\varepsilon>0, \exists N>0$, 当$j>N$时, ($|z^j|\rightarrow1$) 有

$ c\varepsilon>\|(P_{g}I_{j})\|_{Z_\mu}\geq\mu(|z^j|)|RI_j(z^j)g(z^j)+I_j(z^j) Rg(z^j)|. $

因为$\lim\limits_{j\rightarrow+\infty}\frac{|z^j|}{(\log\frac{2}{1-|z^j|^2})^{\frac{1}{2}}}=0, $又由 (3.5) 式知

$ \mu(|z^j|)|Rg(z^j)| \bigg(\log\frac{2}{1-|z^j|^2}\bigg)^{\frac{1}{2}} \leq \|P_gI_j\|_{Z_\mu}+\frac{\mu(|z^j|)|g(z^j)||z^j|}{1-|z^j|^2}\cdot\frac{|z^j|}{(\log\frac{2}{1-|z^j|^2})^{\frac{1}{2}}}\leq c\varepsilon, $

所以 (3.7) 式成立.

(ⅳ) 最后证 (3.8) 式成立.当$p=n+2$时, 取

$ J_j(z)=\bigg(\log\frac{2}{1-|z^j|^2}\bigg)^{-\frac{1}{2}} \cdot\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{\langle z, z^j\rangle^k}{k^2}. $

类似 (3.4) 式中的证明知$\|J_j\|_{D_n+2}\leq c, $且有

$ \begin{gathered} {J_j}({z^j}) = {(\log \frac{2}{{1 - |{z^j}{|^2}}})^{ - \frac{1}{2}}} \cdot \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{|{z^j}{|^{2k}}}}{{{k^2}}}} = c{(\log \frac{2}{{1 - |{z^j}{|^2}}})^{ - \frac{1}{2}}}, \hfill \\ R{J_j}({z^j}) = {(\log \frac{2}{{1 - |{z^j}{|^2}}})^{ - \frac{1}{2}}} \cdot \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{|{z^j}{|^{2k}}}}{k}} = {(\log \frac{2}{{1 - |{z^j}{|^2}}})^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - \frac{{\log 2}}{{\log \frac{2}{{1 - |{z^j}{|^2}}}}}). \hfill \\ \end{gathered} $

下面再证$\{J_{j}\}$在$B$的任一紧子集上一致收敛于0.对任意$0 < r < 1$, 有

$ \sup\limits_{|z|\leq r}|J_{j}(z)|\leq\sup\limits_{|z|\leq r} \bigg(\log\frac{2}{1-|z^j|^2}\bigg)^{-\frac{1}{2}}\cdot\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{|\langle z, z^j\rangle|^k}{k^2}\leq c\bigg(\log\frac{2}{1-|z^j|^2}\bigg)^{-\frac{1}{2}} \rightarrow0, \ j\rightarrow\infty. $

所以$\{J_{j}\}$在$B$的任一紧子集上一致收敛于0.由引理2.3有$\lim\limits_{j\rightarrow \infty}\|(P_{g}J_{j})\|_{Z_\mu}=0$, 即$\forall\varepsilon>0, $ $\exists N>0$, 当$j>N$时, ($|z^j|\rightarrow1$) 有

$ c\varepsilon>\|(P_{g}J_{j})\|_{Z_\mu}\geq\mu(|z^j|)|RJ_j(z^j)g(z^j)+J_j(z^j) Rg(z^j)|. $

因为$\lim\limits_{j\rightarrow+\infty}(\log\frac{2}{1-|z^j|^2})^{-\frac{1}{2}}=0, $又由 (3.5) 式知

$ \begin{gathered} \mu (|{z^j}|)|g({z^j})|{(\log \frac{2}{{1 - |{z^j}{|^2}}})^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - \frac{{\log 2}}{{\log \frac{2}{{1 - |{z^j}{|^2}}}}}) \hfill \\ \leqslant {P_g}{J_j}{_{{Z_\mu }}} + c\mu (|{z^j}|)|Rg({z^j})| \cdot {(\log \frac{2}{{1 - |{z^j}{|^2}}})^{ - \frac{1}{2}}} \leqslant 2c\varepsilon, \hfill \\ \end{gathered} $

所以 (3.8) 式成立.证毕.

定理3.3  设$p\in {\Bbb R}$, $\mu$是$[0, 1)$上的正规函数, 则下列条件等价:

(1) $P_g:D_p\rightarrow Z_{\mu, 0}$是紧算子;

(2) $P_g:D_p\rightarrow Z_{\mu, 0}$是有界算子;

(3) $P_g:D_p\rightarrow Z_\mu$是紧算子.

证  只证$p < n$的情形. $(1)\Rightarrow (2)$显然成立.下面证明$(2)\Rightarrow (3)$.

任取$f\in D_p$, 有$P_g (f)\in {Z_{\mu, 0}}$, 根据定理3.2, 只需证明 (3.5) 和 (3.6) 式成立.假设 (3.5) 式不成立, 则存在点列$\{z^{j}\}\subset B$及常数$\varepsilon_{0}>0$, 满足$|z^{j}|\rightarrow1\ (j\rightarrow\infty)$时

$ \frac{\mu(|z^j|)|g(z^j)|}{(1-|z^j|^2)^{\frac{n-p}{2}+1}}\geq\varepsilon_{0}. $

(3.9)

取定理3.2中证明 (3.5) 式的测试函数$f_j (z)$, 则易知$P_g (f_j)\in Z_{\mu, 0}$, 从而

$\lim\limits_{|z|\rightarrow1}\mu(|z|)|R^{(2)}(P_g(f_j))(z)|=0.$

(3.10)

但由 (3.9) 式有

$\mu(|z|)|R^{(2)}(P_g(f_j))|\geq \mu(|z^j|)|Rf_j(z^j)||g(z^j)|\geq c\frac{\mu(|z^j|)|g(z^j)|}{(1-|z^j|^2)^{\frac{n+2-p}{2}}}\geq\varepsilon_{0}$

与 (3.10) 式矛盾, 从而 (3.5) 式成立.取定理3.2中证明 (3.6) 式的测试函数$h_j (z)$, 类似可证明 (3.6) 式成立.

再证$(3)\Rightarrow (1)$.先证$(3)\Rightarrow (2)$.由定理3.2, 对任意的$f\in D_p$, 有

$ \begin{gathered} \mu (|z|)|{R^{(2)}}({P_g}(f))| = \mu (|z|)|Rf(z)g(z) + f(z)Rg(z)| \hfill \\ \leqslant cf{_{{D_p}}}\{ \frac{{\mu (|z|)|g(z)|}}{{{{(1- |z{|^2})}^{\frac{{n- p}}{2} + 1}}}} + \frac{{\mu (|z|)|Rg(z)|}}{{{{(1- |z{|^2})}^{\frac{{n - p}}{2}}}}}\} \hfill \\ \to 0\;(|z| \to 1). \hfill \\ \end{gathered} $

(3.11)

于是$P_g (f)\in Z_{\mu, 0}$, 因为$P_g$是$D_p$空间到$Z_{\mu}$型空间的紧算子, 所以$P_g$是$D_p$空间到$Z_{\mu}$型空间的有界算子, 从而$P_g$是$D_p$空间到$Z_{\mu, 0}$型空间的有界算子.

再证$(3)\Rightarrow (1)$, 若条件 (3) 成立, 则条件 (2) 成立, 集合$P_g\{f\in D_p:\|f\|_{D_p}\leq1\}$在$Z_{\mu, 0}$空间中是有界的, 且由定理3.2知 (3.5) 和 (3.6) 式都成立, 再结合 (3.11) 式知

$\lim\limits_{|z|\rightarrow1}\sup\limits_{\|f\|_{D_p}\leq1}\mu(|z|)|R^{(2)}(P_gf)(z)|=0.$

所以由引理2.4知$P_g$是$D_p$空间到$Z_{\mu, 0}$型空间的紧算子.证毕.