本文研究如下具有特殊介质孔隙的非牛顿渗流方程的初边值问题

$ \begin{equation} \frac{u_t}{|x|^2}-\Delta_p u=u^q, \ \ (x, t)\in\Omega\times(0, T), \label{1.1} \end{equation} $

(1.1)

$ \begin{equation} u(x, 0)=u_0(x), \ u_0(x)\geq 0, \ u_0(x)\not\equiv 0, \ \ x\in \Omega, \label{1.2} \end{equation} $

(1.2)

$ \begin{equation} u(x, t)=0, \ \ (x, t)\in\partial\Omega\times(0, T), \label{1.3} \end{equation} $

(1.3)

其中$\Delta_p u={\rm div}\left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right)$, $\Omega\subset {\mathbb R}^N$为一个带有光滑边界$\partial \Omega$的有界区域, $T>0$, $2<p<N$, $p-1<q<\frac{Np}{N-p}-1$.

问题(1.1)-(1.3)源于非线性流体动力学^[1], $u(x, t)$与$\frac{1}{|x|^2}$分别表示流体密度与介质孔隙.文献[2]通过位势井研究了问题(1.1)-(1.3)整体解的存在性与局部解的有限时间爆破, 并且通过Hardy不等式讨论了整体解的渐近行为.文献[3]研究了如下具有初始条件(1.2)和边界条件(1.3)的多孔介质扩散方程

$ \frac{u_t}{|x|^s}-\Delta u^p=u^q, $

利用位势井得到了解的整体存在性, 渐近行为与有限时间爆破.

总的来说, 文献[2-3]的结果描述了当$u_0$具有小于位势井深度的能量即次临界初始能量时解的整体适定性.但是, 本文则主要讨论问题(1.1)-(1.3)当$u_0$具有等于位势井深度的能量即临界初始能量情形下解的整体适定性.据我们所知, 目前很少有关于具临界初始能量的方程(1.1)的研究工作.

本文主要研究问题(1.1)-(1.3).尽管我们研究与文献[2]相类似的问题, 但是我们采用不同的分析方法并为问题(1.1)-(1.3)提供一些新的观点与结论.本文构建一种新的位势井, 从而提供一类计算位势井深度的有效方法.此外, 本文的主要结论可以表明初值对具临界初始能量的问题(1.1)-(1.3)的解整体存在与在有限时间爆破的影响.

在本文中, 记

$ \|\cdot\|_p =\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}, ~~ \|\cdot\|= \|\cdot\|_{L^2(\Omega)}, ~~ (u, v)= \int_\Omega uv\, {\rm d} x. $

基于临界点理论与山路定理^[4], Sattinger^[5]提出了位势井的概念, 随后陆续出现了许多关于使用位势井研究各类非线性发展方程的工作^[6-33].其中, 文献[6-10]都是十分重要且典型的工作.近些年, Liu和Xu^[21-31]引进了一族位势井研究相应问题解的整体适定性.另外, Xu^[32-33]引进了新的位势井研究具任意正初始能量的波动方程.这样, 位势井理论被丰富与发展了.

众所周知, 经典位势井及其井外集合一般通过能量泛函$J(u)$和Nehari泛函$I(u)$被定义如下

$ W=\{u|J(u)<d, I(u)>0\}\cup\{0\}, \quad V=\{u|J(u)<d, I(u)<0\}. $

$J(u)$的临界点是相应问题的稳态解.根据文献[4]的观点, 在对某些参数的假设条件下, $J(u)$满足Palais-Smale条件, 从而相应问题至少存在一个正的稳态解, 其能量$d$被定义为

$ d=\inf_{u\neq 0}\sup_{\lambda>0} J(\lambda u). $

值$d$通常也可被称为位势井深度.通过位势井深度对初始能量的调控, 位势井可被用于研究相应问题解的性质.然而一直以来, 计算位势井深度的值是很困难的, 通常在以上被提及的文献中需要做复杂的估计.

在本文中, 首先如文献[2]一样定义问题(1.1)-(1.3)的能量泛函

$ E(u)=\frac{1}{p}\|\nabla u\|_p^p-\frac{1}{q+1}\| u\|_{q+1}^{q+1}. $

应用文献[34]的观点, 给出位势井深度的如下定义.

定义2.1

$ d=\max_{y\in[0, +\infty)}g(y), $

其中$ y=\|\nabla u\|_p, $ $ g(y)=\frac{1}{p}y^p-\frac{C^{q+1}}{q+1}y^{q+1}, $ $C$是如下嵌入不等式的最佳常数

$ \|u\|_{q+1}\leq C\|\nabla u\|_p, $

即$ C=\sup\limits_{u\in W_0^{1, p}(\Omega), u\neq 0}\frac{\|u\|_{q+1}}{\|\nabla u\|_p}. $

引理2.1  $ d=\frac{q+1-p}{p(q+1)}C^{-\frac{p(q+1)}{q+1-p}}. $

证 根据定义2.1, 令$g^\prime(y_0)=0$, 则$ y_0=C^{-\frac{q+1}{q+1-p}}. $所以, 当$0\leq y<y_0$时, $g(y)$严格单调递增; 当$y>y_0$时, $g(y)$严格单调递减, $\displaystyle\lim_{y\rightarrow +\infty} g(y)=-\infty$; 并且

$ d=g(y_0)=\frac{q+1-p}{p(q+1)}C^{-\frac{p(q+1)}{q+1-p}}. $

证毕.

定义2.2 定义位势井为

$ {\cal G}= \bigg\{u\in W_0^{1, p}(\Omega)|\|\nabla u\|_p<\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}\bigg\}, $

井外集合为

$ {\cal B}= \bigg\{u\in W_0^{1, p}(\Omega)|\|\nabla u\|_p>\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}\bigg\}. $

这样, 位势井的边界可表示为

$ \partial{\cal G}=\partial{\cal B}= \bigg\{u\in W_0^{1, p}(\Omega)|\|\nabla u\|_p=\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}\bigg\}. $

显然, 以上关于位势井及其井外集合的定义与文献[5-33]不同.无需像以往经典位势井的定义一样引入Nehari泛函与Nehari流形, 这种新的定义方式不但使位势井的空间结构更加清晰, 而且使后面内容的理论推导得到极大的优化.

定义3.1  如果函数$u=u(x, t)$满足

$ u\in L^\infty(0, T;W_0^{1, p}(\Omega)), \ \int_0^T \left\|\frac{u_t}{|x|}\right\|^2\, {\rm d}t<\infty, $

并且

$ \Big(\frac{u_t}{|x|^2}, v\Big)+h(u, v)=(u^q, v), \ \forall v\in W_0^{1, p}(\Omega), \ t\in(0, T), $

$ u(x, 0)=u_0(x), $

其中

$ h(u, v)=\sum\limits_{i=1}^{N}\int_{\Omega}\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\right|^{p-2}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial v}{\partial x_i} \, {\rm d}x. $

那么称$u$为问题(1.1)-(1.3)在$\Omega\times [0, T)$上的一个解.

引理3.1  (ⅰ) 若$u\in {\cal G}$, $\|\nabla u\|_p\neq 0$, 则$\|\nabla u\|_p^p>\|u\|_{q+1}^{q+1}$;

(ⅱ) 若$u\in \partial {\cal G}$, 则$\|\nabla u\|_p^p\geq\|u\|_{q+1}^{q+1}$;

(ⅲ) 若$\|\nabla u\|_p^p<\|u\|_{q+1}^{q+1}$, 则$u\in {\cal B}$;

(ⅳ) 若$\|\nabla u\|_p^p\leq\|u\|_{q+1}^{q+1}$, $\|\nabla u\|_p\neq 0$, 则$u\in {\cal B}\bigcup\partial{\cal B}$.

证  (ⅰ) 由$u\in {\cal G}$可知

$ \|\nabla u\|_p<\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}. $

根据引理2.1, 可得$ \|\nabla u\|_p<C^{-\frac{q+1}{q+1-p}}. $又由于$\|\nabla u\|_p\neq 0$, 故$ \|\nabla u\|_p^p>C^{q+1}\|\nabla u\|_p^{q+1}. $所以$ \|\nabla u\|_p^p>\|u\|_{q+1}^{q+1}. $

(ⅱ) 由$u\in \partial {\cal G}$可知

$ \|\nabla u\|_p=\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}. $

进而由(ⅰ)的证明, 不难看出$\|\nabla u\|_p^p\geq\|u\|_{q+1}^{q+1}$.

(ⅲ) 由于$\|\nabla u\|_p^p<\|u\|_{q+1}^{q+1}$, 故$\|\nabla u\|_p\neq 0$, 并且有

$ \|\nabla u\|_p^p<\|u\|_{q+1}^{q+1}\leq C^{q+1}\|\nabla u\|_p^{q+1}. $

进而

$ \|\nabla u\|_p>C^{-\frac{q+1}{q+1-p}}. $

故根据引理2.1, 可得$u\in {\cal B}$.

(ⅳ) 通过(ⅲ)的证明, 容易得到

$ \|\nabla u\|_p\geq C^{-\frac{q+1}{q+1-p}}. $

再由引理2.1和定义2.2, 可得$u\in {\cal B}\bigcup\partial{\cal B}$.

引理3.2 令$u(t)$是问题(1.1)-(1.3)在$u_0\in W_0^{1, p}(\Omega)$条件下的一个解, 则$E(u(t))$按时间单调递减, 并且对于任意$t$都有

$ \begin{equation}\label{3.1} \int_0^t \left\|\frac{u_t(\tau)}{|x|}\right\|^2\, {\rm d}\tau+E(u(t))= E(u_0). \end{equation} $

(3.1)

证 由于

$ \frac{{\rm d}E(u(t))}{{\rm d}t}=-(u_t, \Delta_p u+u^q)=-\left(u_t, \frac{u_t}{|x|^2}\right)=-\left\|\frac{u_t}{|x|}\right\|^2, $

从而通过对上式两边同时从$0$到$t$取积分, 可得(3.1)式.

引理3.3 令$u(t)$是问题(1.1)-(1.3)的一个解.设$u_0(x)\in W_0^{1, p}(\Omega)$, $E(u_0)\leq d$, 那么

(ⅰ)  $\|\nabla u\|_p^p>\|u\|_{q+1}^{q+1}$当且仅当$ 0<\|\nabla u\|_p<\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}$;

(ⅱ)  $\|\nabla u\|_p^p<\|u\|_{q+1}^{q+1}$当且仅当$ \|\nabla u\|_p>\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}$.

证 由$E(u_0)\leq d$, (3.1)式与

$ E(u)=\frac{q+1-p}{p(q+1)}\|\nabla u\|_p^p+\frac{1}{q+1}(\|\nabla u\|_p^p-\|u\|_{q+1}^{q+1}), $

可得

$ \begin{equation}\label{3.2} \frac{q+1-p}{p(q+1)}\|\nabla u\|_p^p+\frac{1}{q+1}(\|\nabla u\|_p^p-\|u\|_{q+1}^{q+1})\leq d. \end{equation} $

(3.2)

(ⅰ) 如果

$ 0<\|\nabla u\|_p<\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}, $

则根据引理3.1中的(ⅰ), 显而易见$ \|\nabla u\|_p^p>\|u\|_{q+1}^{q+1}. $另一方面, 如果$ \|\nabla u\|_p^p>\|u\|_{q+1}^{q+1}, $则由(3.2)式可得

$ 0<\|\nabla u\|_p<\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}. $

(ⅱ) 如果

$ \|\nabla u\|_p>\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}, $

则由(3.2)式, 得$ \|\nabla u\|_p^p<\|u\|_{q+1}^{q+1}. $而如果$ \|\nabla u\|_p^p<\|u\|_{q+1}^{q+1}, $那么根据引理3.1中的(ⅲ), 可知

$ \|\nabla u\|_p>\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}. $

证毕.

引理3.4 设$u_0(x)\in W_0^{1, p}(\Omega)$, $E(u_0)<d$.

(ⅰ) 若$u_0(x)\in {\cal G}$, 则问题(1.1)-(1.3)的所有解均属于${\cal G}$;

(ⅱ) 若$u_0(x)\in {\cal B}$, 则问题(1.1)-(1.3)的所有解均属于${\cal B}$.

证 令$u(t)$是问题(1.1)-(1.3)在$E(u_0)<d$条件下的任意解.

(ⅰ) 假设对于某$0<t<\infty$, 有$u(t)\notin {\cal G}$.那么由$u_0(x)\in {\cal G}$和$u(t)$按时间的连续性, 可知存在第一时刻$t_0\in(0, \infty)$, 使得$u(t_0)\in\partial{\cal G}$, 并且对于任意的$0\leq t<t_0$有$u(t)\in {\cal G}$.因此根据定义2.2, 可得

$ \|\nabla u(t_0)\|_p=\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}. $

进而由引理3.1中的(ⅱ), 得

$ \begin{eqnarray*} E(u(t_0)) & =&\frac{1}{p}\|\nabla u(t_0)\|_p^p-\frac{1}{q+1}\|u(t_0)\|_{q+1}^{q+1}\\ &=&\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q+1}\right)\|\nabla u(t_0)\|_p^p+\frac{1}{q+1}\left(\|\nabla u(t_0)\|_p^p-\|u(t_0)\|_{q+1}^{q+1}\right)\\ &\ge&\frac{q+1-p}{p(q+1)}\|\nabla u(t_0)\|_p^p\\ &=&d, \end{eqnarray*} $

根据(3.1)式, 可知这与$E(u_0)<d$相矛盾.

(ⅱ) 仍采用反证法, 由$u_0(x)\in {\cal B}$, 可知存在第一时刻$t_0\in (0, \infty)$, 使得$u(t_0)\in \partial{\cal B}$, 并且对于任意的$0\leq t<t_0$有$u(t)\in {\cal B}$.后面的证明过程与(ⅰ)相类似, 故在此省略.

引理3.5 设$u\in W_0^{1, p}(\Omega)$, $\|\nabla u\|_p\neq 0$, 则存在一个唯一的$\mu_\ast=\mu_\ast(u)$使得$E(\mu u)$在$(0, \mu_\ast)$严格单调递增, 而在$(\mu_\ast, \infty)$严格单调递减, 并且在$\mu=\mu_\ast$取得最大值.

证 由于

$ E(\mu u) =\frac{1}{p}\|\nabla (\mu u)\|_p^p-\frac{1}{q+1}\|\mu u\|_{q+1}^{q+1} =\frac{\mu^p}{p}\|\nabla u\|_p^p-\frac{\mu^{q+1}}{q+1}\| u\|_{q+1}^{q+1}, $

故$\displaystyle \lim_{\mu\rightarrow 0}E(\mu u)=0$, $\displaystyle \lim_{\mu\rightarrow +\infty}E(\mu u)=-\infty$, 并且

$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}\mu}E(\mu u)=\mu^{p-1}\|\nabla u\|_p^p-\mu^q\| u\|_{q+1}^{q+1}. $

所以显然存在一个唯一的$\mu_\ast=\mu_\ast(u)$使得

$ \|\nabla u\|_p^p=\mu_\ast^{q-p+1}\| u\|_{q+1}^{q+1}. $

此外, 有$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}\mu}E(\mu u)\big|_{\mu=\mu_\ast}=0$; 当$0<\mu<\mu_\ast$时, $ \frac{{\rm d}}{{\rm d}\mu}E(\mu u)>0$; 当$\mu_\ast<\mu<\infty$时, $ \frac{{\rm d}}{{\rm d}\mu}E(\mu u)<0$.

引理3.6 设$u_0(x)\in {\cal B}$, $E(u_0)=d$, 那么问题(1.1)-(1.3)的所有解都属于${\cal B}$.

证 令$u(t)$是问题(1.1)-(1.3)在$E(u_0)=d$条件下的任意解.假设对某$t\in(0, \infty)$有$u(t)\notin {\cal B}$.那么由$u_0(x)\in {\cal B}$与$u(t)$按时间的连续性, 可知存在一个第一时刻$t_0\in(0, \infty)$使得$u(t_0)\in\partial{\cal B}$, 且当$0\leq t<t_0$时有$u(t)\in {\cal B}$.因此, 根据定义2.2可知

$ \begin{equation}\label{3.3} \|\nabla u(t_0)\|_p=\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p} \end{equation} $

(3.3)

和

$ \begin{equation}\label{3.4} \|\nabla u(t)\|_p>\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}, \ \forall 0\leq t<t_0. \end{equation} $

(3.4)

由(3.3)式与引理3.1中的(ⅱ), 可得

$ \|\nabla u(t_0)\|_p^p\ge \|u(t_0)\|_{q+1}^{q+1}. $

因此

$ \begin{equation} E(u(t_0)) =\frac{1}{p}\|\nabla u(t_0)\|_p^p-\frac{1}{q+1}\|u(t_0)\|_{q+1}^{q+1} \ge\frac{q+1-p}{p(q+1)}\|\nabla u(t_0)\|_p^p =d.\label{3.5} \end{equation} $

(3.5)

另一方面, 考虑辅助函数

$ M(t)=\frac{1}{2}\int_0^t \left\|\frac{u(\tau)}{|x|}\right\|^2\, {\rm d}\tau, \ \forall 0\leq t<\infty. $

不难得出

$ M^\prime(t)=\frac{1}{2}\left\|\frac{u(t)}{|x|}\right\|^2, $

进而

$ M^{\prime\prime}(t)=\left(\frac{u_t}{|x|^2}, u\right) =\left(\Delta_p u+u^q, u\right) =-\|\nabla u\|_p^p+\|u\|_{q+1}^{q+1}. $

上式结合(3.4)式与引理3.3中的(ⅱ), 可得$M^{\prime\prime}(t)>0$, $0\leq t<t_0$.故当$0< t<t_0$时,

$ M^\prime(t)>M^\prime(0)=\frac{1}{2}\left\|\frac{u_0}{|x|}\right\|^2\geq0. $

进而$M(t_0)>M(0)=0$, 即

$ \int_0^{t_0} \left\|\frac{u(\tau)}{|x|}\right\|^2\, {\rm d}\tau>0, $

这与

$ \int_0^{t_0} \left\|\frac{u(\tau)}{|x|}\right\|^2\, {\rm d}\tau+E(u(t_0))=E(u_0)=d $

可推出$E(u(t_0))<d$.显然, 这与(3.5)式相矛盾.

引理3.4刻画了具次临界初始能量的问题(1.1)-(1.3)的流之下的位势井与井外集合的不变性.而引理3.6则表明在具临界初始能量的问题(1.1)-(1.3)的流之下, 井外集合仍然具有不变性.

下面证明本文的主要结论.在位势井及其井外集合不变性的基础上, 通过紧致性方法得到解的整体存在性, 并通过凸性方法得到解的有限时间爆破.

定理4.1  设$u_0(x)\in {\cal G}$, $E(u_0)=d$, 则问题(1.1)-(1.3)存在一个整体解$u(t)\in L^{\infty}(0, \infty; $ $W_0^{1, p}(\Omega))$, 且对任意的$0\leq t<\infty$有$u(t)\in \overline{{\cal G}}={\cal G}\bigcup\partial{\cal G}$.

证 由$E(u_0)=d$可知$\|\nabla u_0\|_p\neq 0$.令$ \lambda_m=1- \frac{1}{m}$, $u_{0m}=\lambda_mu_0$, $m=2, 3, \cdots$.下面考虑

$ \begin{equation}\label{4.1} u_m(x, 0)=u_{0m}(x) \end{equation} $

(4.1)

与相应的问题(1.1) (4.1) (1.3).

由$u_0(x)\in {\cal G}$与引理3.1中的(ⅰ), 可知

$ \begin{equation}\label{4.2} \|\nabla u_0\|_p^p>\|u_0\|_{q+1}^{q+1}, \end{equation} $

(4.2)

从而得

$ \begin{equation}\label{4.3} \|\nabla u_{0m}\|_p^p>\|u_{0m}\|_{q+1}^{q+1} \end{equation} $

(4.3)

和

$ E(u_{0m})=\frac{1}{p}\|\nabla u_{0m}\|_p^p-\frac{1}{q+1}\|u_{0m}\|_{q+1}^{q+1}>0. $

根据(4.2)式与引理3.5的证明, 可知存在一个$\mu_\ast=\mu_\ast(u_0)>1$使得$E(\mu u_0)$在$\mu=\mu_\ast$取得最大值.故通过引理3.5的结论, 可得$E(\mu u_0)$在$[\lambda_m, 1]$严格单调递增, 即

$ E(u_{0m})=E(\lambda_mu_0)<E(u_0). $

进而$ E(u_{0m})<d, $这与(4.3)式和文献[2]中$\Sigma_1$的定义相结合, 可推出$u_{0m}\in \Sigma_1$.根据文献[2, 定理1.1], 不难看出问题(1.1) (4.1) (1.3)对于每一个$m$存在一个整体解$u_m(t)\in L^\infty(0, \infty;W_0^{1, p}(\Omega))$, 且满足

$ \begin{equation}\label{4.4} \Big(\frac{u_{mt}}{|x|^2}, v\Big)+h(u_m, v)=(u_m^q, v), \ \forall v\in W_0^{1, p}(\Omega), \ t\geq 0, \end{equation} $

(4.4)

$ \begin{equation}\label{4.5} \|\nabla u_m\|_p< \left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}, \ 0\le t<\infty \end{equation} $

(4.5)

和

$ \begin{equation}\label{4.6} \int_0^t \left\|\frac{u_{mt}}{|x|}\right\|^2\, {\rm d}\tau<d, \ 0\le t<\infty, \end{equation} $

(4.6)

其中$u_{mt}=\lambda_mu_t$, $\nabla u_m=\lambda_m\nabla u$, $u_m=\lambda_m u$.

根据(4.5), (4.6)式与文献[35]中的紧致性方法, 可知存在$u$, $\chi$与$\{u_m\}$的子列$\{u_k\}$使得当$k\to\infty$时,

$ \mbox{$ u_k$在$L^\infty(0, \infty;W_0^{1, p}(\Omega))$ 弱 $\ast $ 收敛于$u, $且在 $\Omega\times[0, \infty)$ 几乎处处收敛;} $

$ \frac{u_{k t}}{|x|}~\mbox{ 在 $L^2(0, \infty;L^2(\Omega))$ 弱 $\ast $ 收敛于}\ \frac{u_t}{|x|}; $

$ \mbox{$u_k^q$ 在$L^\infty(0, \infty;L^\gamma(\Omega))$ 弱$\ast $ 收敛于} \ \chi, \ \gamma=\frac{q+1}{q}. $

通过文献[10]中的单调算子方法, 可得$\chi=u^q$.在(4.4)式中取$m=k\to \infty$, 得

$ \Big(\frac{u_t}{|x|^2}, v\Big)+h(u, v)=(u^q, v), \ \forall v\in W_0^{1, p}(\Omega), \ t> 0. $

另一方面, 由(4.1)式可在$W_0^{1, p}(\Omega)$得到(1.2)式, 因此$u(t)$是问题(1.1)-(1.3)的一个整体解.此外, 根据(4.5)式可得

$ \|\nabla u\|_p\leq \liminf_{k\rightarrow\infty}\|\nabla u_k\|_p\leq \left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}. $

故$u(t)\in\overline{{\cal G}}$, $0\leq t<\infty$.

定理4.2  设$u_0(x)\in {\cal B}$, $E(u_0)=d$, 则问题(1.1)-(1.3)的解在有限时间爆破.

证 令$u(t)$是问题(1.1)-(1.3)在$E(u_0)=d$与$u_0(x)\in {\cal B}$条件下的任意解, $T_{\rm max}$表示$u(t)$的最大存在时间.下面证明$T_{\rm max}<\infty$.假设$T_{\rm max}=\infty$.对于辅助函数

$ M(t)=\frac{1}{2}\int_0^t \left\|\frac{u(\tau)}{|x|}\right\|^2\, {\rm d}\tau, $

有

$ M^\prime(t)=\frac{1}{2}\left\|\frac{u(t)}{|x|}\right\|^2 $

与

$ \begin{equation}\label{4.7} M^{\prime\prime}(t)=-\|\nabla u\|_p^p+\|u\|_{q+1}^{q+1}. \end{equation} $

(4.7)

由(3.1)式和

$ \begin{eqnarray*} E(u(t))=\frac{1}{p}\|\nabla u\|_p^p-\frac{1}{q+1}\| u\|_{q+1}^{q+1} =\frac{q+1-p}{p(q+1)}\|\nabla u\|_p^p+\frac{1}{q+1}(\|\nabla u\|_p^p-\|u\|_{q+1}^{q+1}), \end{eqnarray*} $

可得

$ \|\nabla u\|_p^p-\|u\|_{q+1}^{q+1}=-\frac{q+1-p}{p}\|\nabla u\|_p^p+(q+1)E(u_0)-(q+1)\int_0^t \left\|\frac{u_t(\tau)}{|x|}\right\|^2\, {\rm d}\tau. $

将上式代入(4.7)式, 得

$ \begin{equation}\label{4.8} M^{\prime\prime}(t)=\frac{q+1-p}{p}\|\nabla u\|_p^p-(q+1)E(u_0)+(q+1)\int_0^t \left\|\frac{u_t(\tau)}{|x|}\right\|^2\, {\rm d}\tau. \end{equation} $

(4.8)

由$u_0\in{\cal B}$与引理3.6, 可知

$ \begin{equation}\label{4.9} \|\nabla u\|_p>\left(\frac{p(q+1)}{q+1-p}d\right)^\frac{1}{p}. \end{equation} $

(4.9)

根据(4.8)式, (4.9)式与$E(u_0)=d$, 可得

$ M^{\prime\prime}(t)>(q+1)\int_0^t \left\|\frac{u_t(\tau)}{|x|}\right\|^2\, {\rm d}\tau. $

该定理剩余部分的证明与文献[2-3]相同, 故略.

最后, 给出一个与本文有关的公开问题.

注4.1 既然具次临界初始能量$E(u_0)<d$与具临界初始能量$E(u_0)=d$两种情形下的问题(1.1)-(1.3)已被研究, 自然使我们对具超临界初始能量$E(u_0)>d$的问题(1.1)-(1.3)解的整体适定性感兴趣, 而目前这仍是一个公开问题.我们想知道位势井理论能否继续被推广而用于处理该问题.