非局部条件是由Byszewski在文献[20-21]中介绍的, 这些条件比通常的初值条件能够更好的描叙一些物理现象.

分数阶微分方程是描叙科学和工程诸多领域中很多现象的有效工具.这些领域包括:电化学、控制论、电磁学、多孔介质等.因此它们受得了广泛的关注.例如, 在文献[11-13, 20-22, 14-22]中, 作者们分别研究了分数阶发展方程, 分数阶扩散方程非局部问题解的存在和唯一性.

在这篇文章中, 我们研究下列分数阶微分方程非局部柯西问题

$ \begin{equation} ^{c}D^{\alpha}x(t)={\cal A}x(t)+f(t, x(t)), \ \ t\in I:=(0, T], \ 0<\alpha<1, \ x(0)+g(x)=x_{0}, \end{equation} $

(1.1)

其中$^{c}D^{\alpha}$表示$\alpha$阶的Caputo导数, $({\bf X}, \ \|\cdot\|)$是一个Banach空间, $f:\ I\times{\bf X}\rightarrow{\bf X}$和$g:\ C:=C(I, \ {\bf X})\rightarrow{\bf X}$将在后面给出, ${\cal A}$是${\bf X}$上算子半群$\{U(t)\}_{t\ge 0}$的无限维生成子并且$x_{0}\in{\bf X}$.

在以往的关于问题(1.1)的存在、唯一性结果中, 下列条件中的一些常被用到:

$(A)$ 对于每一个$t>0$, $U(t)$是紧算子;

$(F_{1})$ 对于每一个$t\in I$, 函数$f(t, \ \cdot):\ {\bf X}\rightarrow{\bf X}$是连续的, 对于每一个$x\in C:=C(I, \ {\bf X})$, 函数$f(\cdot, \ x):\ I\rightarrow{\bf X}$是强可测的并且存在$d, \ l>0$, 使得对于每一个$x\in{\bf X}$,

$ \|f(t, \ x)\|\le l\|x\|+d, ~~ t\in I ; $

$(F_{2})$ 存在$l>0$, 使得对于任意$x, \ y\in{\bf X}$,

$ \|f(t, \ x)-f(t, \ y)\|\le l\|x-y\|, \ \ t\in I; $

$(G_{1})$ $g\in C(C, \ {\bf X})$并且存在常数$L, \ D>0$使得对于每一个$x\in C$,

$ \|g(x)\|\le L\|x\|_{0}+D, $

其中$\|x\|_{0}=\sup\limits_{t\in I}\|x(t)\|$;

$(G_{2})$ 存在常数$L>0$使得对于任意$x, \ y\in C$,

$ \|g(x)-g(y)\|\le L\|x-y\|_{0}. $

但是不论存在性还是存在, 唯一性都必须满足下列条件

$(H')$

$ ML+\frac{lMT^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)}<1, $

其中$M$见本文第2节.

虽然在文献[13]中, 一些新条件被首次使用, 但如果条件$(H')$不满足, 这些新条件一般也不可能满足.问题是:条件$(H')$能被改进吗?回答是肯定的.

本文利用不动点定理和一个新的方法, 研究了分数阶微分方程非局部问题(1)的解的存在和唯一性, 并且获得了下列两个新的结果:定理3.1和3.2 (见第三节).在这些结果中, 我们改进了条件$(H')$ (见定理3.1中的条件$(H)$).相似的讨论参见文献[24-27].

这篇文章组织如下:在第二节中, 我们给出了一些记号, 定义和引理; 在第三节中, 我们给出并且证明了我们的主要结果:定理3.1和3.2;在第四节中, 我们给出了一个例子.

让$B({\bf X})$表示由X到X的所有有界线性算子所组成的Banach空间, 其范数为

$ \|K\|_{B({\bf X})}=\sup\{|K(y)|:\ |y|=1\}, $

${\bf X}([a, \ b])$表示Banach空间$(C([a, \ b], \ {\bf X}), \ \|\cdot\|_{0})$, 其范数为

$ \|x\|_{0}=\max_{t\in[a, \ b]}\|x(t)\|, $

并且

$ M:=\sup_{t\in[0, \ \infty)}\|U(t)\|_{B({\bf X})}. $

定义2.1^[9] 函数$x\in AC[0, \ \infty)$的$\alpha$阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

$ I^{\alpha}x(t)=\int_{0}^{t}\frac{(t-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}x(s){\rm d}s, \ \ t>0, \ \ 1<\alpha<1, $

只要上式右边在$[0, \ \infty)$上逐点有定义, 其中$\Gamma(\cdot)$是$\Gamma$-函数.

定义2.2^[9] 函数$x\in AC[0, \ \infty)$的$\alpha$阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为

$ D^{\alpha}x(t)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{t}(t-s)^{-\alpha}x(s){\rm d}s, \ \ t>0, \ \ 1 <\alpha <1. $

定义2.3^[9] 函数$x\in AC[0, \ \infty)$的$\alpha$阶Caputo分数阶导数定义为

$ ^{c}D^{\alpha}x(t)=D^{\alpha}[x(t)-x(0)], \ \ t>0, \ \ 1>\alpha>0. $

定义2.4^[12] 称$x\in{\bf X}(I)$是问题(1.1)的适度解, 如果

$ \begin{eqnarray*} x(t)&=&\int_{0}^{\infty}h_{\alpha}(\theta)U(t^{\alpha}\theta)(x_{0} -g(x)){\rm d}\theta\\ &&+\alpha \int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty}\theta(t-s)^{\alpha-1}h_{\alpha}(\theta)U((t-s)^{\alpha}\theta)f(s, \ x(s)){\rm d}\theta{\rm d}s, \ \ t\in I, \end{eqnarray*} $

其中$h_{\alpha}(\theta)=\frac{1}{\alpha}\theta^{-1-\frac{1}{\alpha}} \psi_{\alpha}(\theta^{-\frac{1}{\alpha}})$是定义在$(0, \infty)$上的概率密度函数并且对于每一个$\theta\in(0, \infty)$, $\psi_{\alpha}(\theta)=\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\theta^{-\alpha n-1}\frac{\Gamma(n\alpha+1)}{n!}\sin(n\pi\alpha)$是单侧稳定的概率密度函数.

由文献[12]易知, 对于任意$x\in C$, $k:\ [0, \ \infty)\times{\bf X}\rightarrow{\bf X}$和$\phi:\ C([0, \ \infty), \ {\bf X})\rightarrow{\bf X}$

$ \begin{equation} \bigg\|\int_{0}^{\infty}h_{\alpha}(\theta)U(t^{\alpha}\theta)\phi(x){\rm d}\theta\bigg\| \le M\|\phi(x)\|, \ \ t\in I, \end{equation} $

(2.1)

且

$ \begin{eqnarray} &&\alpha \bigg\|\int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty}\theta(t-s)^{\alpha-1}h_{\alpha}(\theta)U((t-s)^{\alpha}\theta)k(s, \ x(s)){\rm d}\theta{\rm d}s\bigg\|\\ &\le& \frac{M}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}\|k(s, \ x(s))\|{\rm d}s, \ \ t\in I. \end{eqnarray} $

(2.2)

引理2.1  (Schauder不动点定理) 如果$B$是Banach空间${\bf X}$中的一个闭的有界凸子集, 算子$N:\ B\rightarrow B$是全连续的, 则$N$在$B$中有一个不动点.

定理3.1 假若$(A)$, $(F_{1})$, $(G_{1})$和下列条件

$ (H)\;\;\;\;\;\;\;\;\;ML <1 $

成立, 则问题(1.1)至少存在一个解.

证 让$\xi>0$, $k_{0}, \ \ i_{0}\in{\bf N}$是常数.它们满足

$ \begin{equation} \Big(\frac{i_{0}-2}{2}\Big)^{\alpha-1}\le\frac{1-ML}{2}, \end{equation} $

(3.1)

$ \begin{equation}(1+2\xi^{-\alpha}) \Big(ML+\frac{i_{0}Ml}{\xi^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\Big)<\frac{1+5ML}{6}, \end{equation} $

(3.2)

$ \begin{equation}T+\frac{1}{\xi+k_{0}+2}>\sum_{i=1}^{k_{0}+1}\frac{1}{\xi+i}\ge T\end{equation} $

(3.3)

和

$ \begin{equation}k_{0}=[\xi {\rm e}^{T}-\xi+1]>i_{0}.\end{equation} $

(3.4)

定义${\bf X}([\delta_{0}, \ \delta_{i}])\ (i\in\{1, \ 2, \cdots, k_{0}\})$中的一个闭的有界凸子集$B_{i}$和算子$N_{i}$如下

$ \begin{eqnarray} B_{i}&=&\{x\in {\bf X}((\delta_{i-1}, \ \delta_{i}]\ \ \mbox{或}\ \ (\delta_{k_{0}}, \ T]):\ x(t)=x_{i-1}(t), \ \ t\in[0, \ \delta_{i-1}], \\ &&\ \|x(t)\|\le R {\rm e}^{(t-\delta_{i})^{\alpha}}, \ \ t\in(\delta_{i-1}, \ \delta_{i}]\ \ \mbox{或}\ \ (\delta_{k_{0}}, \ T]\}, \end{eqnarray} $

(3.5)

其中$i\in\{1, \cdots, k_{0}\}, \ x_{0}(0)=x_{0}-g(x)$, 并且, 对$t\in(0, \ \delta_{i}]\ (i\in\{1, \cdots, k_{0}\})$或$(0, \ T]\ (i=k_{0}+1)$, 有

$ \begin{equation}R=\frac{3M}{1-ML} \Big(\|x_{0}\|+D+\frac{dT^{\alpha}} {\Gamma(1+\alpha)}\Big), \end{equation} $

(3.6)

$ \begin{eqnarray} N_{i}x(t)&=&\int_{0}^{\infty}h_{\alpha}(\theta)U(t^{\alpha}\theta) \bigg(x_{0} -\frac{1+{\rm sgn}(t-\delta_{i-1})}{2}g(x)-\frac{1+{\rm sgn}(\delta_{i-1}-t)}{2}g(x_{i-1}) \bigg){\rm d}\theta \\ &&+\alpha \int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty}\theta(t-s)^{\alpha-1}h_{\alpha}(\theta)U((t-s)^{\alpha}\theta)f(s, \ x(s)){\rm d}\theta{\rm d}s. \end{eqnarray} $

(3.7)

下面我们将把证明划分成三步来进行.

第一步.分为两小步.

第1.1步 由有(2.1), (2.2), (3.1)-(3.7)式和条件$(F_{1})$, $(G_{1})$和$H$, 易知, 对于每一个$x\in B_{i}\ (i\in\{1, \ 2, \cdots, i_{0}\})$,

$ \begin{eqnarray} \|N_{i}x(t)\|&=&\bigg\|\int_{0}^{\infty}h_{\alpha}(\theta)U(t^{\alpha}\theta) \bigg(x_{0} -\frac{1+{\rm sgn}(t-\delta_{i-1})}{2}g(x)-\frac{1+ {\rm sgn}(\delta_{i-1}-t)}{2}g(x_{i-1})\bigg){\rm d}\theta \\ &&+\alpha \int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty}\theta(t-s)^{\alpha-1}h_{\alpha}(\theta)U((t-s)^{\alpha}\theta)f(s, \ x(s)){\rm d}\theta{\rm d}s\bigg\| \\ &\le& M\|x_{0}\|+MLR{\rm e}^{\xi^{-\alpha}} +MD+\frac{M}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}\|f(s, \ x(s))\|{\rm d}s\\ &\le& M[\|x_{0}\|+LR{\rm e}^{\xi^{-\alpha}} +D+\int_{0}^{t}\frac{(t-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} (l\|x(s)\|+d){\rm d}s] \\ &\le& M[\|x_{0}\| +LR(1+2\xi^{-\alpha})+D+\frac{dT^{\alpha}}{\Gamma(\alpha+1)} +\frac{lR}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{t}(t-s)^{\alpha-1} \|x(s)\|{\rm d}s] \\ &\le&\frac{1-ML}{3}R +MLR(1+2\xi^{-\alpha})+ \frac{MlR}{\Gamma(\alpha)} \bigg(\int_{\delta_{i-1}}^{t}(t-s)^{\alpha-1}{\rm e}^{(s-\delta_{i-1})^{\alpha}} {\rm d}s\\ &&+\sum_{h=1}^{i-1}\int_{\delta_{h-1}}^{\delta_{h}}(t-s)^{\alpha-1}{\rm e}^{(s-\delta_{h-1})^{\alpha}} {\rm d}s\bigg) \\ &\le&\frac{1-ML}{3}R \\ && +(1+2\xi^{-\alpha})\bigg[MLR+ \frac{MlR}{\Gamma(\alpha)}\bigg(\int_{\delta_{i-1}}^{t}(t-s)^{\alpha-1} {\rm d}s+\sum_{h=1}^{i-1}\int_{\delta_{h-1}}^{\delta_{h}}(t-s)^{\alpha-1} {\rm d}s\bigg)\bigg] \\ &\le& \frac{1-ML}{3}R +(1+2\xi^{-\alpha})\Big(ML+\frac{iMl}{\xi^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\Big)R \\ & \le& \frac{1+ML}{2}R{\rm e}^{(t-\delta_{i-1})^{\alpha}}, \end{eqnarray} $

(3.8)

其中$t\in(\delta_{i-1}, \ \delta_{i}]\ (i\in\{1, \ 2, \cdots, i_{0}\})$, 并且$\sum\limits_{h=1}^{0}\int_{\delta_{h-1}}^{\delta_{h}}(t-s)^{\alpha-1} {\rm e}^{(s-\delta_{h-1})^{\alpha}} {\rm d}s=0$.结合(3.5)-(3.8)式, 易知$N_{i}: \ {\bf B}_{i}\rightarrow {\bf B}_{i}\ (i\in\{1, \ 2, \cdots, i_{0}\})$.

综合上面的讨论, 以及后面第二、第三步, 可知$N_{i}:\ B_{i}\rightarrow B_{i}$是一个全连续算子.从而, 由Schauder不动点定理, 可知:在${\bf B}_{i}\ (i\in\{1, \ 2, \cdots, i_{0}\})$中, (3.7)式至少有一个不动点$x_{i}$满足$\|x_{i}\|_{0}\le\frac{1+ML}{2} R{\rm e}^{(t-\delta_{i-1})^{\alpha}}$.

第1.2步 由(2.1), (2.2), (3.1)-(3.7)式, 条件$(F_{1})$, $(G_{1})$, $H$和$\ln(1+t)=\sum\limits_{h=1}^{\infty}\frac{(-1)^{h-1}}{h}t^{h}$ $ (0<t<1)$易知, 对于每一个$x\in B_{i}\ (i\in\{i_{0}+1, \ i_{0}+2, \cdots, k_{0}\})$,

$ \begin{eqnarray}\|N_{i}x(t)\| &\le&\frac{1-ML}{3}R +MLR(1+2\xi^{-\alpha})+ \frac{MlR}{\Gamma(\alpha)} \bigg(\int_{\delta_{i-1}}^{t}(t-s)^{\alpha-1}{\rm e}^{(s-\delta_{i-1})^{\alpha}} {\rm d}s \\ &&+\sum_{1\le h\le i-2, \ h\neq i-i_{0}}\int_{\delta_{h-1}}^{\delta_{h}}(t-s)^{\alpha-1}{\rm e}^{(s-\delta_{h-1})^{\alpha}} {\rm d}s\bigg) \\ && +\frac{(1+L)lR}{2\Gamma(\alpha)}\int_{\delta_{i-2}}^{\delta_{i-1}}(t-s)^{\alpha-1}{\rm e}^{(s-\delta_{i-2})^{\alpha}} \\ && + \frac{MlR}{\Gamma(\alpha)}\int_{\delta_{i-i_{0}-1}}^{\delta_{i-i_{0}}}(t-s)^{\alpha-1}{\rm e}^{(s-\delta_{i-i_{0}-1})^{\alpha}} {\rm d}s \\ &\le&\bigg(\frac{1+ML}{2}-\frac{(1+2\xi^{-\alpha})(1-ML)Ml}{2\xi^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\bigg) R{\rm e}^{(t-\delta_{i-1})^{\alpha}} \\ &&+ \frac{(1+2\xi^{-\alpha})MlR}{\Gamma(\alpha)}\int_{\delta_{i-i_{0}-1}}^{\delta_{i-i_{0}}} \bigg(\sum_{h=1}^{i_{0}}\frac{1}{\xi+i-i_{0}-1+h}-s\bigg)^{\alpha-1} {\rm d}s\\ &\le& \bigg(\frac{1+ML}{2}-\frac{(1+2\xi^{-\alpha})(1-ML)Ml}{2\xi^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\bigg) R{\rm e}^{(t-\delta_{i-1})^{\alpha}} \\ &&+ \frac{(1+2\xi^{-\alpha})MlR}{\Gamma(\alpha)}\int_{\delta_{i-i_{0}-1}}^{\delta_{i-i_{0}}} \Big(\ln\frac{\xi+i}{\xi+i-i_{0}}-s\Big)^{\alpha-1} {\rm d}s\\ &\le&\bigg(\frac{1+ML}{2}-\frac{(1+2\xi^{-\alpha})(1-ML)Ml}{2\xi^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\bigg)R{\rm e}^{(t-\delta_{i-1})^{\alpha}} \\ &&+ \frac{(1+2\xi^{-\alpha})MlR}{\Gamma(\alpha)}\int_{\delta_{i-i_{0}-1}}^{\delta_{i-i_{0}}} \Big(\frac{i_{0}}{2(\xi+i-i_{0})}-s\Big)^{\alpha-1} {\rm d}s \\ &\le& \bigg(\frac{1+ML}{2}-\frac{(1+2\xi^{-\alpha})(1-ML)Ml}{2\xi^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\bigg) R{\rm e}^{(t-\delta_{i-1})^{\alpha}} \\ &&+ \frac{(1+2\xi^{-\alpha})MlR}{\Gamma(\alpha)}\int_{\delta_{i-i_{0}-1}}^{\delta_{i-i_{0}}} \Big(\frac{i_{0}-2}{2}\Big)^{\alpha-1}s^{\alpha-1} {\rm d}s\\ & \le&\frac{1+ML}{2}R{\rm e}^{(t-\delta_{i-1})^{\alpha}}, \ \ t\in(\delta_{i-1}, \ \delta_{i}]\ (i\in\{i_{0}+1, \ i_{0}+2, \cdots, k_{0}\}). \end{eqnarray} $

(3.9)

结合(3.5)-(3.7)式和(3.9)式, 易知$N_{i}: \ {\bf B}_{i}\rightarrow {\bf B}_{i}\ (i\in\{i_{0}+1, \ i_{0}+2, \cdots, k_{0}\}). $

综合上面的讨论, 以及后面第二、第三步和Arzela-Ascoli定理, 可知$N_{i}:\ B_{i}\rightarrow B_{i}$是一个全连续算子.从而, 由Schauder不动点定理, 可知:在${\bf B}_{i}\ (i\in\{i_{0}+1, \ i_{0}+2, \cdots, k_{0}\})$中, (3.7)式至少有一个不动点$x_{i}$满足$\|x_{i}\|_{0}\le\frac{1+ML}{2} R{\rm e}^{(t-\delta_{i-1})^{\alpha}}$.

综合上面第1.1, 1.2步的讨论, 定义2.4和(3.7)式, 可知(1.1)在${\bf X}(I)$中至少有一个解.

第二步 由$(F_{1})$和$(G_{1})$, 易知:映射$N$是连续的.

第三步 要证$N$是一致连续的.

让$t_{1}, \ t_{2}\in I$, $t_{1}<t_{2}$并且$x\in B$.则, 由$(F_{1})$和(3.7)式, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} \|Nx(t_{2})-Nx(t_{1})\|&\le& M \bigg\|\int_{0}^{t_{2}}\frac{(t_{2}-s)^{\alpha-1}} {\Gamma(\alpha)}f(s, \ x(s)){\rm d}s-\int_{0}^{t_{1}}\frac{(t_{1}-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}f(s, \ x(s)){\rm d}s\bigg\| \\ &\le & M\bigg[\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{(t_{2}-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\|f(s, \ x(s))\|{\rm d}s \\ &&+\int_{0}^{t_{1}}\frac{(t_{1}-s)^{\alpha-1}-(t_{2}-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\|f(s, \ x(s))\|{\rm d}s\bigg]\\ &\le& M(2lR+d)\bigg(\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{(t_{2}-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}{\rm d}s +\int_{0}^{t_{1}}\frac{(t_{1}-s)^{\alpha-1}-(t_{2}-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}{\rm d}s\bigg) \\ &\le& \frac{2M(2lR+d)}{\Gamma(1+\alpha)}(t_{2}-t_{1})^{\alpha}, \end{eqnarray*} $

即, $N$是一致连续的.定理3.1证毕.

定理3.2 假若$(A)$, $(F_{1})$, $(G_{1})$和$(H)$成立, 则问题(1.1)有一个唯一的解.

证 首先, 由$(F_{2})$和$(G_{2})$, 易知, 如果取$d=\|f(t, \ 0)\|_{0}, \ D=\|g(0)\|$, 则, 定理3.1中的条件被满足.因此, 在定理3.2的条件下, 问题(1.1)至少有一个解.

让$\xi, \ i_{0}, \ k_{0}$和$\delta_{i}$如在定理3.1的证明中.现在我们来证明唯一性.

假设问题(1.1)有两个解$x$和$y$满足

$ \begin{equation}\|x-y\|_{0}>0\end{equation} $

(3.10)

而且存在$\zeta\in I$, 使得$\zeta\in(\delta_{n_{0}-1}, \ \delta_{n_{0}}]$

$ \begin{equation}\|x(\zeta)-y(\zeta)\|>R{\rm e}^{(t-\delta_{n_{0}-1})^{\alpha}}, \end{equation} $

(3.11)

其中$R=\frac{1+ML}{2}\|x-y\|_{0}$.

设

$ \begin{equation} \zeta_{i}=\min\{t\in(\delta_{i-1}, \delta_{i}]:\ \|x(t)-y(t)\|> R{\rm e}^{(t-\delta_{i-1})^{\alpha}}, t\in(\delta_{i-1}, \delta_{i}]\}, \ i\in\{1, 2, \cdots, k_{0}\}, \end{equation} $

(3.12)

$ \begin{equation} \zeta_{k_{0}+1}=\min\{t\in(\delta_{k_{0}}, T]:\ \|x(t)-y(t)\|> R{\rm e}^{(t-\delta_{k_{0}})^{\alpha}}, \ \ t\in(\delta_{k_{0}}, T]\}\end{equation} $

(3.13)

和

$ \begin{equation} \zeta_{0}=\min_{1\le i\le k_{0}+1}\zeta_{i}.\end{equation} $

(3.14)

如果$\phi$是一个空集, 我们设$\min\phi=T$.则, 由条件$(G_{2})$和(3.11)-(3.14)式, 有

$ \begin{equation}\|x(\zeta_{0})-y(\zeta_{0})\|=R{\rm e}^{(\zeta_{0}-\delta_{n_{1}-1})^{\alpha_{1}}}\end{equation} $

(3.15)

和

$ \begin{equation}0<\zeta_{0}<\zeta, \end{equation} $

(3.16)

其中$\zeta_{0}\in(\delta_{n_{1}-1}, \ \delta_{n_{1}-1}]$.因此, 由(3.16)式及相似与(3.8)或(3.9)式的计算, 有

$ \begin{equation} \|x(\zeta_{0})-y(\zeta_{0})\|\le\frac{3+ML}{4}R .\end{equation} $

(3.17)

此式与(3.15)式矛盾.因此$\|x-y\|_{0}=0$.定理3.2证毕.

例4.1 考虑下列问题^[12]

$ \begin{gathered} \partial _t^\alpha u(t, \;z) = \partial _z^2u(t, \;z) + {\partial _z}G(t, \;u(t, \;z)), \;\;0 < t \leqslant d, \;\;0 \leqslant z \leqslant \pi, \\ u(t, \;0) = u(t, \;\pi ) = 0, \;\;0 \leqslant t \leqslant d, \\ u(0, \;z) + \sum\limits_{i = 0}^n {\int_0^\pi k } (z, \;\xi )u({t_i}, \;\xi ){\text{d}}\xi = {u_0}(z), \;\;0 \leqslant z \leqslant \pi, \\ \end{gathered} $

(4.1)

其中$\partial^{\alpha}_{t}$是$\alpha$阶Caputo分数阶偏导数, $1>\alpha>0, \ d>0$, $G$是给定的函数, $n$是正整数, $0<t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}<d$, $u_{0}(z)\in{\bf X}=L^{2}([0, \pi], \ {\Bbb R})$而$k(z, \xi)\in L^{2}([0, \pi]\times[0, \pi], \ [0, \infty))$.

首先, 设

$ \begin{gathered} x(t)(z) = u(t, \;z), \;\;0 \leqslant t \leqslant d, \;\;0 \leqslant z \leqslant \pi, \\ f(t, \;x(t))(z) = {\partial _z}G(t, \;u(t, \;z)), \;\;0 \leqslant t \leqslant d, \;\;0 \leqslant z \leqslant \pi, \\ g(x)(z) = \sum\limits_{i = 0}^n {{K_g}} x({t_i})(z), \\ \end{gathered} $

其中$K_{g}v(z)=\int_{0}^{\pi}k(z, \ \xi)v(\xi){\rm d}\xi$ ($v\in{\bf X}$), $z\in[0, \ \pi]$.

如果让$ D({\cal A})=\{v(\cdot)\in{\bf X}:\ v\ \ v'$绝对连续, $v''\in{\bf X}, \ \ v(0)=v(\pi)=0\}$和$ {\cal A}v=v'', $则(4.1)式等价于(1.1)式.其次, 取

$ \alpha=\frac{1}{2}, \ \ f(t, \ x(t))=\frac{100\sin x(t)}{t^{1/3}}, ~~ L=(n+1)\bigg[\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}k^{2}(z, \ \xi){\rm d}\xi {\rm d}z\bigg]^{\frac{1}{2}}. $

则, 当$ML<1$并且$(H)$被满足时, 由定理3.2, 易知问题(4.1)在$I$上有一个唯一的解(注意$(H')$不被满足).因此我们的结果是新的.