考虑如下Schrödinger-Hartree方程的Cauchy问题

$ \begin{equation} \label{eq1} {\rm i}{\partial_t \psi}+\triangle \psi=-(|x|^{-1}\ast|\psi|^{\alpha})|\psi|^{\alpha-2}\psi, \end{equation} $

(1.1)

$ \begin{equation} \label{eq2} {\psi(0, x)}=\psi_0(x), \end{equation} $

(1.2)

这里$\psi=\psi(t, x):{\Bbb R}^{+}\times{\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb C}$, $2\leq\alpha < 5$, $\ast$表示在${\Bbb R}^{3}$中的卷积, $\Delta$表示Laplace算子.

当$\alpha=2$, 方程(1.1)称为Choquard-Pekar方程, 用于描述量子半导体中的电子传输和电子与电子之间的相互作用^[1].一些文献对这种情形进行深入的研究^[1-4].文献[1]在${\Bbb R}^{3}$中证明其径向对称驻波解的存在唯一性.文献[2]在${\Bbb R}^{3}$中证明了方程的驻波是轨道稳定的.文献[3-4]分别在空间维数$n=4, 6$时研究了其柯西问题的整体适定性与散射理论.

当$2\leq\alpha < \frac{7}{3}$时, 文献[5]对Cauchy问题(1.1) (1.2)的整体适定性, 爆破解与驻波解进行系统研究.方程(1.1)存在形如${\rm e}^{{\rm i}\omega t}u(x)$的驻波解, 其中$\omega>0, u(x)\in H^1({\Bbb R}^{3})\setminus\{0\}$满足如下非线性椭圆方程

$ \begin{equation} \label{eigenfunction} -\bigtriangleup u+\omega u=(|x|^{-1}\ast|u|^{\alpha})|u|^{\alpha-2}u, ~~ 2\leq\alpha < 5. \end{equation} $

(1.3)

当$\omega>0$时, 文献[5]证明了方程(1.3)存在唯一的径向对称正解$Q_{\omega}$, 当$\omega=1$, 简记为$Q$, 即$Q:=Q_{\omega}|_{\omega=1}$.当$\alpha=\frac{7}{3}$时, 文献[2]进一步用$Q$给出了Cauchy问题(1.1) (1.2)整体适定的门槛条件.根据文献[5]的研究我们有如下结论:

(1)  当$2\leq\alpha < \frac{7}{3}$, 方程(1.1)的解整体存在.

(2)  当$\alpha=\frac{7}{3}$, 若$\psi_0\in H^1({\Bbb R}^{3})$满足$\|\psi_0\|_{L^{2}} < \|Q\|_{L^{2}}$, 那么Cauchy问题(1.1) (1.2)的解整体存在.同时, 方程(1.1)存在爆破解$\psi(t)$满足$\|\psi_0\|_{L^{2}}=\|Q\|_{L^{2}}$.

(3)  当$\alpha\geq\frac{7}{3}$, $\psi_0\in \{f :f\in H^1({\Bbb R}^{3}), xf\in L^2({\Bbb R}^{3})\}$, 若初始能量为负, 那么Cauchy问题(1.1) (1.2)的解在有限时间爆破.

根据结论(2)可知:当$\alpha=\frac{7}{3}$, $\|\psi_0\|_{L^{2}} < \|Q\|_{L^{2}}$是Cauchy问题(1.1) (1.2)整体适定的门槛条件.本文的主要目的是要把这一结论推广到$\frac{7}{3}\leq\alpha < 5$, 用方程(1.3)的径向对称正解$Q_{\omega}$刻画Cauchy问题(1.1) (1.2)的整体适定与爆破的门槛条件.

本文结构如下:下一节将介绍一些准备知识, 如局部适定性和Gagliardo-Nirenberg不等式等; 第三节, 定义和证明了两种新的不变流, 并研究了这个方程的爆破解和整体存在解的门槛条件.

为方便起见, 本文中均采用如下记号

$ \int \cdot\; {\rm d}x=\int_{{\Bbb R}^3} \cdot\; {\rm d}x, ~~ \| \cdot \|_{L^p}=\| \cdot \|_{L^p({\Bbb R}^3)}. $

对于Cauchy问题(1.1) (1.2), Genev和Venkov在能量空间$H^1({\Bbb R}^{3})$中建立了如下的局部适定性.

命题2.1^[5]  设$2 < \alpha\leq5$.那么对于任意的初值$\psi_0\in H^1({\Bbb R}^3)$, Cauchy问题(1.1) (1.2)存在唯一的解$\psi(t, x)\in C([0, T), H^1({\Bbb R}^3))$, 其中, $T\in (0, \infty]$为解的存在时间. $T=\infty$(整体解)或者$T < \infty$(爆破解)并且满足

$ \lim\limits_{t\to T}\|\nabla\psi(t)\|_{L^2}=\infty. $

此外, 当$t\in [0, T)$时$\psi(t, x)$满足质量守恒和能量守恒

$ \begin{equation} \label{mass id} M(\psi(t))\equiv\int|\psi(t)|^2=M(\psi_0), \end{equation} $

(2.1)

$ \begin{equation} \label{E id} E(\psi(t))\equiv\frac{1}{2}\int|\nabla \psi|^2{\rm d}x-\frac{1}{2\alpha}\int(|x|^{-1}\ast|\psi|^{\alpha})|\psi|^{\alpha}{\rm d}x=E(\psi_0). \end{equation} $

(2.2)

本文将用到如下Hardy-Littlewood-Sobolev不等式.

引理2.1^[6]  若$1 < r, s < \infty, 0 < \gamma < n$满足$\frac{1}{r}+\frac{\gamma}{n}=1+\frac{1}{s}$, 那么存在常数$c$使得

$ \bigg\|\int_{R^n}\frac{f(y)}{|\cdot-y|^\gamma}{\rm d}y\bigg\|_{L^s}\leq c\|f\|_{L^r}. $

(2)

根据Hölder不等式和引理2.1, 有

$ \begin{eqnarray} \label{H1} \int\!\!\!\int\frac{|\psi(x)|^{\alpha}|\psi(y)|^{\alpha}}{|x-y|}{\rm d}x{\rm d}y &\leq& \bigg(\int\bigg(\int\frac{|\psi(y)|^{\alpha}}{|x-y|}{\rm d}y\bigg)^{6} {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{6}} \bigg(\int|\psi(x)|^{\frac{6\alpha}{5}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{5}{6}} \\ &=&\bigg\|\int\frac{|\psi(y)|^{\alpha}}{|x-y|}{\rm d}y\bigg\|_{L^{6}} \|\psi\|_{L^{\frac{6\alpha}{5}}}^{\alpha} \leq c\|\psi\|_{L^{\frac{6\alpha}{5}}}^{2\alpha}\\ &\leq& c\bigg(\int|\psi|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{5-\alpha}{2}} \bigg(\int|\psi|^{6}{\rm d}x\bigg)^{\frac{3\alpha-5}{6}} \\ &=&c\|\psi\|_{L^2}^{5-\alpha}\|\psi\|_{L^{6}}^{3\alpha-5}. \end{eqnarray} $

(2.3)

根据Sobolev不等式, 有

$ \begin{equation} \label{S1} c\|\psi\|_{L^2}^{5-\alpha}\|\psi\|_{L^{6}}^{3\alpha-5}\leq c\|\psi\|_{L^2}^{5-\alpha}\|\bigtriangledown\psi\|_{L^{2}}^{3\alpha-5}. \end{equation} $

(2.4)

由(2.3)式和(2.4)式可得

$ \begin{equation} \label{G-N} \int (|x|^{-1}\ast|\psi|^\alpha)|\psi|^\alpha {\rm d}x\leq c\|\psi\|_{L^{2}}^{5-\alpha}\|\bigtriangledown\psi\|_{L^2}^{3\alpha-5}. \end{equation} $

(2.5)

为了得到上面不等式中的最佳常数$c$, 文献[5]引入了如下变分问题

$ \begin{equation} \label{x} \beta:=\inf \{J(u), u\in H^1({\Bbb R}^{3})\setminus\{0\}\}, \end{equation} $

(2.6)

其中泛函$J(u):H^1({\Bbb R}^3)\rightarrow{\Bbb R}$定义如下

$ \begin{equation} \label{J} J(u)=\frac{(\|\bigtriangledown u\|_{L^{2}}^2)^{\frac{3\alpha-5}{2}}(\|u\|_{L^{2}}^2)^{\frac{5-\alpha}{2}}}{\int(|x|^{-1}\ast|u|^{\alpha})|u|^{\alpha}{\rm d}x}. \end{equation} $

(2.7)

由文献[5]知, 对变分问题(2.6), 我们有如下引理.

引理2.2^[2]  令$\omega>0, $方程(1.3)的基态解$Q_{\omega}$满足

$ \beta=J(Q_{\omega}). $

引理2.3^[2]  设$u$是方程(1.3)的一个解.那么, 它满足

$ \begin{equation} \label{t1} \|\bigtriangledown u\|_{L^{2}}^{2}+\omega\|u\|_{L^{2}}^{2}=\int(|x|^{-1}\ast|u|^{\alpha})|u|^{\alpha}{\rm d}x, \end{equation} $

(2.8)

$ \begin{equation} \label{t2} \|\bigtriangledown u\|_{L^{2}}^{2}+3\omega\|u\|_{L^{2}}^{2}=\frac{5}{\alpha}\int(|x|^{-1}\ast|u|^{\alpha})|u|^{\alpha}{\rm d}x. \end{equation} $

(2.9)

设$R$是方程(1.3)在$\omega=\frac{5-\alpha}{2}$的基态解, 由(2.8)和(2.9)式我们得到

$ \begin{equation} \label{identity1} \|\bigtriangledown R\|_{L^{2}}^{2}=\frac{3\alpha-5}{2}\|R\|_{L^{2}}^{2}. \end{equation} $

(2.10)

把(2.10)式代入(2.9)式, 我们得到

$ \begin{equation} \label{identity2} \int(|x|^{-1}\ast|R|^{\alpha})|R|^{\alpha}{\rm d}x=\alpha\|R\|_{L^{2}}^{2}. \end{equation} $

(2.11)

根据引理2.2, (2.10)和(2.11)式, 我们得到

$ \begin{equation} \label{identity3} \beta=\frac{(\frac{3\alpha-5}{2})^{(\frac{3\alpha-5}{2})}\|R\|_{L^{2}}^{2\alpha-2}}{\alpha}. \end{equation} $

(2.12)

基于上面的结果和Gagliardo-Nirenberg不等式(2.5), 我们得到下面的引理.

引理2.4  对于$\psi\in H^1({\Bbb R}^3)$, 我们有

$ \begin{equation} \label{G-N eq} \int(|x|^{-1}\ast|\psi|^{\alpha})|\psi|^{\alpha}{\rm d}x\leq C(\|\nabla\psi\|_{L^{2}}^2)^{\frac{3\alpha-5}{2}}(\|\psi\|_{L^{2}}^2)^{\frac{5-\alpha}{2}}, \end{equation} $

(2.13)

其中$C=\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha}{(\frac{3\alpha-5}{2})^{(\frac{3\alpha-5}{2})}\|R\|_{L^{2}}^{2\alpha-2}}.$

定义2.1

$ s_c:=\frac{3}{2}-\frac{2}{\alpha-1}, ~~ \wedge[\psi]=E^{s_c}[\psi]M^{1-s_c}[\psi], ~~ {\cal V}[\psi]=(\|\nabla\psi\|_{L^{2}}^2)^{\frac{s_c}{2}}(\|\psi\|_{L^{2}}^2)^{\frac{1-s_c}{2}}. $

引理2.5  下面的等式成立

$ \begin{equation} \wedge[R]=\Big(\frac{3\alpha-7}{4}\Big)^{s_c}\|R\|_{L^{2}}^{2}, \end{equation} $

(2.14)

$ \begin{equation} \label{identity4} {\cal V}[R]=\Big(\frac{3\alpha-5}{2}\Big)^{\frac{s_c}{2}}\sqrt{\|R\|_{L^{2}}^{2}} \end{equation} $

(2.15)

和

$ \begin{equation} \label{identity5} C=\frac{\alpha}{\frac{3\alpha-5}{2}{\cal V}^{2(\alpha-1)}[R]}. \end{equation} $

(2.16)

证  根据(2.10)和(2.11)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \wedge[R]&=&E^{s_c}[R]M^{1-s_c}[R]\\ &=&\bigg(\frac{1}{2}\|\nabla R\|_{L^{2}}^2-\frac{1}{2\alpha} \int(|x|^{-1}\ast|R|^{\alpha})|R|^{\alpha}{\rm d}x\bigg)^{s_c}(\|R\|_{L^{2}}^2)^{1-s_c}\\ &=&\bigg(\frac{3\alpha-5}{4}\|R\|_{L^{2}}^{2}-\frac{1}{2}\|R\|_{L^{2}}^{2}\bigg)^{s_{c}}(\|R\|_{L^{2}}^{2})^{1-s_{c}}\\ &=&\Big(\frac{3\alpha-7}{4}\Big)^{s_{c}}\|R\|_{L^{2}}^{2}. \end{eqnarray*} $

$ {\cal V}[R]=(\|\nabla R\|_{L^{2}}^2)^{\frac{s_c}{2}}(\| R\|_{L^{2}}^2)^{\frac{1-s_c}{2}} =\Big(\frac{3\alpha-5}{2}\Big)^{\frac{s_{c}}{2}}\sqrt{\| R\|_{L^{2}}^2}. $

用引理2.4得到

$ C=\frac{\alpha}{(\frac{3\alpha-5}{2})^{(\frac{3\alpha-5}{2})}\|R\|_{L^{2}}^{2\alpha-2}} =\frac{\alpha}{\frac{3\alpha-5}{2}{\cal V}^{2(\alpha-1)}[R]}. $

首先, 我们定义两个集合${\cal K}_g$和${\cal K}_b$.

定义3.1

$ {\cal K}_g:=\{\psi\in H^1({\Bbb R}^3): {\cal V}[\psi] < {\cal V}[R], \wedge[\psi] < \wedge[R]\}; $

$ {\cal K}_b:=\{\psi\in H^1({\Bbb R}^3): {\cal V}[\psi]>{\cal V}[R], \wedge[\psi] < \wedge[R]\}. $

定理3.1  设$2\leq\alpha < 5$, 则${\cal K}_g$和${\cal K}_b$是Cauchy问题(1.1) (1.2)的不变流.也就是说, 如果$\psi_0\in{\cal K}_g({\cal K}_b)$, 那么方程(1.1)的解$\psi_t$应该满足$\psi_t\in{\cal K}_g({\cal K}_b)$.

证  设$\psi_0\in{\cal K}_g$并且$\psi_t$是初值为$\psi_0$的方程(1.1)的解.根据质量守恒(2.1)式和能量守恒(2.2)式, 有

$ \begin{equation} \label{in 1} \wedge[\psi(t)]=\wedge[\psi_0] < \wedge[R]. \end{equation} $

(3.1)

为了证明$\psi(t)\in{\cal K}_g$, 我们只需要证明

$ \begin{equation} \label{in 2} {\cal V}[\psi(t)] < {\cal V}[R], ~~ t\in[0, T). \end{equation} $

(3.2)

如果(3.2)式不成立, 由${\cal V}[\psi_0] < {\cal V}[R]$及泛函$V$的连续性知存在$t_1\in[0, T)$使得

$ \begin{equation} \label{in 3} {\cal V}[\psi(t_1)]={\cal V}[R], ~~ t_1\in[0, T). \end{equation} $

(3.3)

然而, 根据命题2.1和引理2.4有

$ \begin{eqnarray}\label{in 4} \wedge^{\frac{1}{s_c}}[\psi(t_1)] &=&E[\psi(t_1)]M^{\frac{1-s_c}{s_c}}[\psi(t_1)]\\ &=&\frac{1}{2}\|\nabla \psi(t_1)\|_{L^{2}}^2M^{\frac{1-s_c}{s_c}}[\psi(t_1)]\\ &&-\frac{1}{2\alpha}\int(|x|^{-1}\ast|\psi(t_1)|^{\alpha})|\psi(t_1)|^{\alpha}{\rm d}x M^{\frac{1-s_c}{s_c}}[\psi(t_1)]\\ &\geq&\frac{1}{2}\|\nabla\psi(t_1)\|_{L^{2}}^2M^{\frac{1-s_c}{s_c}}[\psi(t_1)]\\ &&-\frac{C}{2\alpha}(\|\nabla\psi(t_1)\|_{L^{2}}^2)^{\frac{3\alpha-5}{2}}(\|\psi(t_1)\|_{L^{2}}^2)^{\frac{5-\alpha}{2}}M^{\frac{1-s_c}{s_c}}[\psi(t_1)] \\ &=&\frac{1}{2}{\cal V}^{\frac{2}{s_c}}[\psi(t_1)] -\frac{C}{2\alpha}{\cal V}^{2(\alpha-1+\frac{1}{s_c})}[\psi(t_1)]. \end{eqnarray} $

(3.4)

把(2.16)式和(3.3)式代入(3.4)式得到

$ \begin{equation} \wedge^{\frac{1}{s_c}}[\psi(t_1)] \geq\frac{1}{2}{\cal V}^{\frac{2}{s_c}}[R]-\frac{C}{2\alpha}{\cal V}^{2(\alpha-1+\frac{1}{s_c})}[R] =\frac{3\alpha-7}{4}(\|R\|_{L^{2}}^{2})^{\frac{1}{s_{c}}}. \end{equation} $

(3.5)

结合(2.14)和(3.5)式, 我们得到

$ \wedge[\psi(t_1)]\geq\Big(\frac{3\alpha-7}{4}\Big)^{s_{c}}\|R\|_{L^{2}}^{2}=\wedge[R]. $

这与$\wedge[\psi(t_1)]=\wedge[\psi_0] < \wedge[R]$矛盾.因此, 不等式(3.2)成立.由(3.1)和(3.2)式知$\psi_t\in{\cal K}_g$.

同理, 我们可以得到${\cal K}_b$是由方程(1.1)的Cauchy问题产生的不变流.

我们参照文献[7]的方法, 用前面所定义的不变流来得到方程(1.1)的某些初值的爆破解和整体存在解的门槛条件.

为了得到爆破解, 我们需要用到$V(t)=\int|x|^2|\psi|^2{\rm d}x$和下面的两个引理.

引理3.1^[2]  设$\psi$是方程(1.1)的一个解, 那么$V(t)$满足下面的等式

$ V'(t)=4\Im\int(x\cdot\nabla \psi)\bar{\psi}{\rm d}x, $

$ V''(t)=16E-4\Big(3-\frac{7}{\alpha}\Big)\int(|x|^{-1}\ast|\psi|^\alpha)|\psi|^\alpha {\rm d}x. $

引理3.2^[8]  对于任意的$u\in H^1$, 我们有下面的不等式

$ \|u\|_{L^{2}}^2\leq\frac{2}{n}\|\, |x|u\|_{L^{2}}\|\nabla u\|_{L^{2}}. $

本文的主要结果为:

定理3.2  设$\frac{7}{3}\leq\alpha < 5$并且$|x|\psi_0\in L^2({\Bbb R}^3).$假设

$ \begin{equation} \label{in 6} \wedge[\psi_0] < \wedge[R]=\Big(\frac{3\alpha-7}{4}\Big)^{s_{c}}\|R\|_{L^{2}}^{2}, \end{equation} $

(3.6)

那么下面的两个结论成立

1.如果${\cal V}[\psi_0] < {\cal V}[R]$, 那么这个解整体存在;

2.如果${\cal V}[\psi_0] > {\cal V}[R]$, 那么这个解在有限的时间内爆破.

证  1.假设$\wedge[\psi_0] < \wedge[R]=(\frac{3\alpha-7}{4})^{s_{c}}\|R\|_{L^{2}}^{2}$和${\cal V}[\psi (t)] < {\cal V}[R]$成立, 也就是说$\psi_0\in{\cal K}_g$.设$\psi(t)$是方程(1.1)的Cauchy问题的解, 由定理3.1知$\psi(t)\in{\cal K}_g$.所以

$ {\cal V}[\psi(t)]=(\|\nabla\psi\|_{L^{2}}^2)^{\frac{s_c}{2}} (\|\psi\|_{L^{2}}^2)^{\frac{1-s_c}{2}} < {\cal V}[R]= \Big(\frac{3\alpha-5}{2}\Big)^{\frac{s_{c}}{2}}\sqrt{\|R\|_{L^{2}}^{2}}. $

根据上面的不等式和质量守恒(2.1), 我们知道$\psi(t)$在$H^1({\Bbb R}^n)$中有界.因此, 根据命题2.1, 我们知道$\psi(t)$整体存在.

2.假设$\wedge[\psi_0] < \wedge[R]=(\frac{3\alpha-7}{4})^{s_{c}}\|R\|_{L^{2}}^{2}$ 并且 ${\cal V}[\psi_0]>{\cal V}[R]$, 也就是$\psi_0\in{\cal K}_b$.设$\psi(t)$是Cauchy问题(1.1) (1.2)的解, 由定理3.1知$\psi(t)\in{\cal K}_b$.所以有

$ \wedge[\psi(t)] < \wedge[R]=\Big(\frac{3\alpha-7}{4}\Big)^{s_{c}}\|R\|_{L^{2}}^{2}, $

$ {\cal V}[\psi (t)] > {\cal V}[R]. $

因此, 根据引理4.1和能量守恒(2.2)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} V''(t)M^\frac{1-s_c}{s_c}[\psi(t)] & =&\Big(16E[\psi(t)]-4\Big(3-\frac{7}{\alpha}\Big) \int(|x|^{-1}\ast|\psi|^\alpha)|\psi|^\alpha {\rm d}x\Big)M^\frac{1-s_c}{s_c}[\psi(t)]\\ &=&8(3\alpha-5)\wedge^{\frac{1}{s_c}}[\psi_0]-4[3(\alpha-1)-4]{\cal V}^{\frac{2}{s_c}}[\psi_0]\\ & < &8(3\alpha-5)\wedge^{\frac{1}{s_c}}[R]-4[3(\alpha-1)-4]{\cal V}^{\frac{2}{s_c}}[R]\\ &=&8(3\alpha-5)\frac{3\alpha-7}{4}(\|R\|_{L^{2}}^{2})^{\frac{1}{s_{c}}}-4(3\alpha-7)\frac{3\alpha-5}{2}(\|R\|_{L^{2}}^{2})^{\frac{1}{s_{c}}}\\ &=&0. \end{eqnarray*} $

所以, 我们得到

$ \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}\int|x|^2|\psi|^2{\rm d}x < -\delta < 0, $

其中$\delta$是正常数.因此, 这里存在有限的$T < \infty$使得$\lim\limits_{t\rightarrow T}V(t)=0, $也就是说

$ \lim\limits_{t\rightarrow T}\int|x|^2|\psi|^2{\rm d}x\rightarrow0. $

根据引理4.2和质量守恒(2.1)式, 我们有

$ \lim\limits_{t\rightarrow T}\int|\nabla \psi|^2{\rm d}x\rightarrow\infty. $

证毕.