考虑如下薛定谔方程

$ \begin{equation} \label{ps} \left\{ \begin{array}{ll} -\triangle u+V(x)u=f(x, u), &\hbox{对}~~ x\in\mathbb{R}^N, \\ u(x)\rightarrow0, & \hbox{当}~~ |x| \rightarrow\infty. \end{array} \right. \end{equation} $

(1.1)

该方程来源于数学物理, 其解可以用解释化学反应动力学中相应的反应扩散方程的驻波解.设$V(x)$与$f(x, u)$关于$x$是周期的, 我们主要考虑$f(x, u)$在$|u|\to\infty$时是渐近线性的情况.本文的主要目的是在一般的条件下建立方程(1.1)的基态解.记方程(1.1)对应的能量泛函为$\Phi$, 如果$\Phi(u_0)$是$\Phi$在方程(1.1)的所有非零平凡解中的最低能量水平, 则我们称非零平凡解$u_0$为基态解, 即$u_0$满足

$ \begin{equation}\label{ad17} \Phi(u_0)=\inf_{{\cal K}}\Phi, \ ~~\mbox{其中}~~ \ {{\cal K}}:=\{u\in E\setminus \{0\}: \Phi'(u)=0\}. \end{equation} $

(1.2)

在适当的条件下, 基态解$u_0$还可以用$\Phi$在Nehari-Pankov流形${\cal N}^-$上的极小元来刻画, 其中流形${\cal N}^-$由下式定义

$ \begin{equation}\label{17} {\cal N}^-=\{u\in E\setminus E^-: langle\Phi'(u), u\rangle=\langle\Phi'(u), v\rangle=0, \forall \ v\in E^-\}, \end{equation} $

(1.3)

其中巴拿赫空间$E, \ E^{-}$会在第二章中定义.事实上, 若$u\neq 0$且有$\Phi'(u)=0$, 则$u\in{\cal N}^{-}$, 即临界点集${\cal K}$是${\cal N}^-$的一个子集, 因此$\inf_{{\cal N}^-}\Phi\le\inf_{{\cal K}}\Phi$.若存在方程(1.1)的一个非零平凡解$u_0$使得$\Phi(u_0)=\inf_{{\cal N}^-}\Phi$, 则$\inf_{{\cal K}}\Phi$在$u_0$处可达, 且$\Phi(u_0)=\inf_{{\cal N}^-}\Phi =\inf_{{\cal K}}\Phi$, 这说明$u_0$是方程(1.1)的一个基态解.注意到, 如果$V(x)$关于$x$是周期的, 则算子${\cal A}:=-\triangle +V$有全连续谱$\sigma ({\cal A})$, 而且有下界、由不相交的闭子区间构成, 参见文献[30, 定理XIII.100].在过去的几十年, 有大量的文献对带有周期位势和渐近线性非线性项的问题(1.1)进行了研究, 例如, 参考文献[6, 10-12, 15-16, 19-20, 22, 33, 36, 40-42, 46]以及其中的参考文献.

对于谱有正下界的情形, 即$\inf\sigma({\cal A}) > 0$, 基于山路引理的许多技巧可以很好地应用.例如, 运用Struwe ^[31]引入的单调性技巧, Jeanjean^[15](亦见文献[16])对一类具有山路结构的泛函建立了一个一般性的定理, 对方程(1.1)的正解的存在性给出了证明, 其中要求$V(x)\equiv K > 0$且$f$满足

(f1) $f(x, t)=V_{\infty}(x)t+f_{\infty}(x, t)$, 其中$f\in C({{\mathbb{R}}^N}\times{\mathbb{R}})$, $V_{\infty}\in C(\mathbb{R}^N)$关于每个$x_1, x_2, \cdots, x_N$都是1周期的, $\inf V_{\infty}(x)>\overline{{\Lambda}}:=\inf[\sigma({\cal A})\cap (0, \infty)]$, 且当$|t|\to \infty$时$f_{\infty}(x, t)=o(|t|)$关于$x\in \mathbb{R}^{N}$一致成立;

(f2) $F(x, t):=\int^{t}_{0}f(x, s){\rm d}s\ge0$, 且当$|t|\to0$时$f(x, t)=o(|t|)$关于$x$一致成立;

(f3)  ${\cal F}(x, t):=\frac{1}{2}tf(x, t)-F(x, t)\ge 0, forall \ (x, t)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}$, 且存在$\delta_0\in (0, \overline{{\Lambda}})$使得

$ \begin{equation}\label{-s} \frac{f(x, t)}{t}\ge \overline{{\Lambda}}-\delta_0\Longrightarrow {\cal F}(x, t)\ge \delta_0. \end{equation} $

(1.4)

设(f1)-(f3)满足且$V\in {\cal C}^1(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$, $f\in {\cal C}^2(\mathbb{R}^N\times \mathbb{R}, \mathbb{R})$以及$f_u(x, 0)=0$, Ding和Luan^[11]得到了无穷多个几何分离的解.当$f$不依赖于$x$且$V_{\infty}\equiv a > \overline{\Lambda}$时, 相似的结果也可参见文献[41].对于渐近周期非线性项的研究, 可参见文献[20].

对于0在谱$\sigma({\cal A})$的间隙的情况, 有许多关于解的存在性和多重性的研究结果, 此时

$ \begin{equation}\label{s+} \sup[\sigma({\cal A})\cap (-\infty, 0)]:=\underline{\Lambda} < 0 < \overline{\Lambda}=\inf[\sigma({\cal A})\cap (0, \infty)]. \end{equation} $

(1.5)

Szulkin和Zou^[33]首次运用变分方法研究了问题(1.1)并证明了非零平凡解的存在性, 其中$f$满足(f1), (f2)以及下面类似于(f3)的条件.

(f3') ${\cal F}(x, t):=\frac{1}{2}tf(x, t)-F(x, t)\ge 0, forall \ (x, t)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}$, 且存在常数$\delta_0\in (0, \lambda_0)$使得若$f(x, t)/t\ge \lambda_0-\delta_0$则有${\cal F}(x, t)\ge \delta_0$, 其中$\lambda_0= \min\{-\underline{\Lambda}, \overline{\Lambda}\}$.

在(f1), (f2), (f3')以及$f(x, t)$关于$t$是奇函数的假设条件下, Ding和Lee^[10]证明了无穷多个几何分离的解.在最近的文献[36]中, Tang得到了方程(1.1)的一个基态解$u_0$使得$\Phi (u_0)=\inf_{{\cal N}^-}\Phi$, 其中$f$满足(f2)以及如下的(WN)和(F1).

(WN) $t\mapsto \frac{f(x, t)}{|t|}$在$(-\infty, 0)\cup(0, \infty)$上单调非减;

(F1) $f(x, t)=V_{\infty}(x)t+f_{\infty}(x, t)$, 其中$f\in C({{\mathbb{R}}^N}\times{\mathbb{R}})$, $V_{\infty}\in C(\mathbb{R}^N)$关于每个$x_1, x_2, \cdots, x_N$都是1周期的, $\inf V_{\infty}>0$, 当$|t|\to \infty$时$f_{\infty}(x, t)=o(|t|)$关于$x$一致成立, 且存在元素$u_0\in E^{+}\setminus \{0\}$使得

$ \begin{equation}\label{P+} \|u_0\|_*^2-\|w\|_*^2-\int_{\mathbb{R}^N}V_{\infty}(x)(u_0+w)^2{\rm d}x < 0, \forall \ w\in E^{-}. \end{equation} $

(1.6)

此处的范数$\|\cdot\|_{*}$由后面的(2.5)式定义.注意到, 由(WN)可知

$ \begin{eqnarray}\label{qqP+} {\cal F}(x, t) & = &\frac{1}{2}tf(x, t)-F(x, t)\nonumber\\ & = & \int^{t}_{0}\left(\frac{f(x, t)}{t}-\frac{f(x, s)}{s}\right)s {\rm d}s\ge 0, \forall \ (x, t)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}, \end{eqnarray} $

(1.7)

且${\cal F}$在$t\in [0, \infty)$上单调非减、在$t\in (-\infty, 0]$上单调非增, 结合(f1)以及当$|t|\to0$时$f(x, t)=o(|t|)$关于$x$一致成立, 可以得到(f3)以及(f3')成立(参见文献[16, 注1.3]或^[19]).对于渐近周期非线性项的研究, Li和Szulkin^[19]证明了非零平凡解的存在性, 其中$f$满足(f1), (f3')以及在$|x|\to\infty$时其它的渐近性假设条件.

据作者所知, 在文献库中似乎只有文献[26]考虑了0是谱$\sigma({\cal A})$的边界点的情形, 即$V(x)$满足

(V) $V\in C({\mathbb{R}}^{N})$关于每个$x_{i}$, $i=1, 2, \cdots, N$都是1周期的, $0\in \sigma({\cal A})$且存在常数$b_0 > 0$ 使得$(0, b_0]\cap \sigma({\cal A})=\emptyset$.

即使当$f$是超二次的, 关于该问题的研究也只有寥寥几篇文献[3, 21, 24, 26, 35, 44, 45].此时需要克服的主要困难是对Cerami序列的先验估计的缺失; 不同于文献[10, 33], 此时的工作空间仅仅是一个巴拿赫空间, 而不是希尔伯特空间; 与定性问题不同的是强不定问题(1.1)不能表示成具有山路结构的泛函的形式; 而且文献[3, 44-45]中的方法不再适用, 即使文献[10, 33]中的技巧可以借鉴, 但由于$\lambda_0=0$故条件(f3')不能应用; 在最近的文章^[26]中, 运用一些新的技巧作者建立了方程(1.1)的满足(1.2)式的基态解, 除条件(V)外, 要求$f$满足(f1), (f3)以及下面的(F2).

(F2)存在常数$c_1$, $c_2>0$和$\varrho \in (2, 2^*)$使得

$ \begin{equation} c_1\min\left\{|t|^{\varrho}, |t|^2\right\} \le tf(x, t)\le c_2|t|^{\varrho}, \forall \ (x, t)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}. \end{equation} $

(1.8)

我们指出, $\inf_{{\cal N}^-}\Phi$不一定可达即使存在方程(1.1)的一个非零平凡解$u_0$满足$\Phi(u_0)=\inf_{{\cal K}}\Phi$.通常情况下, 在限制条件$\Phi(u_0)=\inf_{{\cal N}^-}\Phi$下比在条件$\Phi (u_0)=\inf_{{\cal M}}\Phi$下寻找方程(1.1)的一个非零平凡解$u_0$要困难的多.现在我们进一步要问(i)能否在条件(V), (f1), (F2)和(WN)下得到方程(1.1)的一个满足$\Phi(u_0)=\inf_{{\cal N}^-}\Phi$的基态解? (ii)能否进一步减弱条件(f1)? (iii)没有文献[21, 32, 45]中的关键性条件(Ne), 如何寻找方程(1.1)的一个非零平凡解使得$\inf_{{\cal N}^-}\Phi$可达?

(Ne) $t\mapsto f(x, t)/|t|$在$(-\infty, 0)\cup(0, \infty)$是严格单调递增的.

受前面学者们工作的启发, 利用文献[35]中建立的广义环绕定理, 在本文中我们将对上面的问题给出一个肯定的回答.为了克服前面提到的困难, 我们将运用由Lions^[18]提出的、由Jeanjean^[15]进一步发展的集中紧性讨论, 并建立一个适合该问题的新的变分框架.此外, 本文进一步发展了文献[36-37]中引入的非Nehari流形方法, 主要的想法是在Nehari-Pankov流形${\cal N}^-$外运用对角化方法寻找能量泛函$\Phi$的一个极小化Cerami序列, 参见引理3.5.

令$E$是第二章中定义的巴拿赫空间.在条件(V), (F1)和(F2)下, 如下定义的能量泛函对所有的$u\in E$都是有意义的

$ \begin{equation} \Phi(u)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}(|\nabla u|^2+V(x)u^2) {\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}F(x, u) {\rm d}x. \end{equation} $

(1.9)

而且$\Phi\in C^1(E, \mathbb{R})$(参见引理2.2).

现在我们给出本文的主要结果.

定理1.1  令${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$, ${\rm (F2)}$和${\rm (WN)}$满足.则方程(1.1)有一个基态解$u_0\in E\setminus\{0\}$使得$\Phi(u_0)=\inf_{{\cal N}^-}\Phi=\inf_{{\cal K}}\geq\kappa$, 其中$\kappa$是一个正常数.而且

$ \int_{\mathbb{R}^N}\left[|\nabla u_0|^2+\left(V(x)-V_{\infty}(x)\right)u_0^2\right]{\rm d}x < 0. $

当$\inf V_{\infty} > \overline{{\Lambda}}$时, 取$\bar{\mu}\in \left(\bar{\Lambda}, \inf V_{\infty}\right)$, 则对任意的$\bar{u}\in({\cal E}(\bar{\mu})-{\cal E}(0)) E\subset E^{+}$有$\bar{\Lambda}\|\bar{u}\|_2^2\le\|\bar{u}\|_{*}\le\bar{\mu}\|\bar{u}\|_2^2$, 其中$\{{\cal E}(\lambda):\lambda\in {\Bbb R}\}$为算子 $-\Delta +V$的谱族, 从而对任意的$w\in E^{-}$,

$ \begin{eqnarray*} & & \|\bar{u}\|_*^2-\|w\|_*^2-\int_{\mathbb{R}^N}V_{\infty}(x)(\bar{u}+w)^2{\rm d}x\\ &\le&\|\bar{u}\|_*^2-\|w\|_*^2-\inf V_{\infty}\left(\|\bar{u}\|_2^2+\|w\|_2^2\right)\\ &\le&-\big[(\inf V_{\infty}-\bar{\mu})\|\bar{u}\|_2^2+\inf V_{\infty}\|w\|_2^2\big] < 0, \end{eqnarray*} $

因此(1.6)式成立, 故由(f1)可推出(F1).

推论1.1  令${\rm (V)}$, ${\rm (f1)}$, ${\rm (F2)}$和${\rm (WN)}$满足, 则方程(1.1)有一个基态解$u_0\in E\setminus\{0\}$使得$\Phi(u_0)=\inf_{{\cal N}^-}\Phi=\inf_{{\cal K}}\Phi\geq\kappa>0$, 而且

$ \int_{\mathbb{R}^N}\left[|\nabla u_0|^2+\left(V(x)-V_{\infty}(x)\right)u_0^2\right]{\rm d}x < 0. $

集合${\cal N}^-$由Pankov^[23]首次引入, 是Nehari流形${\cal N}$的一个子集

$ \begin{equation}\label{Ne} {\cal N} = \left\{u\in E\setminus \{0\} : \langle \Phi'(u), u \rangle=0 \right\}. \end{equation} $

(1.10)

由推论2.1(ii)和引理3.3可以看到极小能量值$c_0:=\inf_{{\cal N}^-}\Phi$有如下极小极大刻画

$ c_0=\Phi(u_0)=\inf_{v\in E_{0}^{+}\setminus \{0\}}\max_{u\in E^{-}\oplus\mathbb{R}^{+}v}\Phi(u), $

其中$E_0^+$由(3.1)式定义.相比于由环绕给出的能量刻画, 这个极小极大准则更加简单.因为非零平凡解$u_0$使得$\Phi(u_0)$为$\Phi$在${\cal N}^{-}$中的极小能量值, $u_0$在文献[36-37]中称为Nehari-Pankov型基态解.

注1.1  由${\rm (F1)}$, ${\rm (F2)}$和${\rm (WN)}$可知$f_{\infty}(x, t)/t$在$t\in [0, \infty)$上单调非减、在$t\in (-\infty, 0]$上单调非增, 而且当$|t|\to 0$时$f_{\infty}(x, t)/t\to -V_{\infty}(x) < 0$.又因$|t|\to \infty$时$f_{\infty}(x, t)=o(|t|)$关于$x$一致成立, 从而对任意的$(x, t)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}$有$tf_{\infty}(x, t)\le 0$.注意到由(1.8)式可知$tf(x, t) > 0, forall \ t\neq0$, 从而存在常数$\alpha_0 > 0$使得

$ \begin{equation} \forall \ (x, t)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}, \ f(x, t)f_{\infty}(x, t)\le0, \ ~\hbox{且当}~ 0 < |t|\le \alpha_0 hbox{时}, \ f(x, t)f_{\infty}(x, t) < 0 . \end{equation} $

(1.11)

在证明主要结论之前, 我们给出满足推论1.1所有条件的三个非线性函数的例子.

例1.1  $f(x, t)=V_{\infty}(x)\min \left\{|t|^{\nu}, 1\right\}t$, 其中$\nu \in (0, 2^*-2)$, $V_{\infty}\in C({\mathbb{R}}^{N})$关于每个$x_1, x_2, \cdots, x_N$都是${\rm 1}$周期的, 且$\inf V_{\infty} > \overline{\Lambda}$.

例1.2  $f(x, t)=V_{\infty}(x)\left[1-\frac{1}{\ln (e+|t|^{\nu})}\right]t$, 其中$\nu\in (0, 2^*-2)$, $V_{\infty}\in C({\mathbb{R}}^{N})$关于每个$x_1, x_2, \cdots, x_N$都是${\rm 1}$周期的, 且$\inf V_{\infty}>\overline{\Lambda}$.

例1.3  $f(x, t)=h(x, |t|)t$, 其中$h(x, s)$在$s\in[0, \infty)$上单调非减, 关于每个$x_1, x_2, \cdots, x_N$都是${\rm 1}$周期的, 当$s\to 0$时有$h(x, s)=O(|s|^{\nu})$, 当$s\to\infty$时有$h(x, s)\to V_{\infty}(x)$, $\nu\in (0, 2^*-2)$, $\inf V_{\infty}>\overline{\Lambda}$且$0 < h(x, s) < V_{\infty}(x)$, $\forall \ s\neq0$.

本文剩下的部分组织如下:在第二章, 我们引入在作者唐的文献[35]中建立的变分框架, 该框架更适合0在谱$\sigma(-\triangle +V)$的间隙这种情况; 主要结论的证明将在第三章中给出.

类似于文献[35], 本章我们引入适用于问题(1.1)的变分框架.在本文中, 我们用$\|\cdot\|_s$定义$L^s(\mathbb{R}^N)$范数, $s\in [1, \infty)$, 用$C_i, \ i\in\mathbb{N}$定义取值不同的正常数.令${\cal A}=-\Delta+V$, 则${\cal A}$是$L^2(\mathbb{R}^N)$上的自共轭算子, 定义域为${\mathfrak{D}}({\cal A})=H^2(\mathbb{R}^N)$.令$\{{\cal E}(\lambda):-\infty < \lambda < +\infty\}$为算子${\cal A}$的谱族, $|{\cal A}|^{1/2}$为算子$|{\cal A}|$的平方根.记${\cal U}={\rm id}-{\cal E}(0)-{\cal E}(0-)$.则算子${\cal U}$可以与${\cal A}$、$|{\cal A}|$以及$|{\cal A}|^{1/2}$交换, 且${\cal A}={\cal U}|{\cal A}|$是算子${\cal A}$的极分解(参见文献[13, 定理4.3.3]).记算子$|{\cal A}|^{1/2}$的定义域为$E_*={\mathfrak{D}}(|{\cal A}|^{1/2})$, 则对任意的$\lambda\in \mathbb{R}$有${\cal E}(\lambda)E_*\subset E_*$.在$E_*$上定义内积

$ \begin{eqnarray*} (u, v)_0=\left(|{\cal A}|^{1/2}u, |{\cal A}|^{1/2}v\right)_{L^2}+(u, v)_{L^2}, forall \ u, v\in E_* \end{eqnarray*} $

和范数

$ \begin{eqnarray*} \|u\|_0=\sqrt{(u, v)_0}, \forall \ u\in E_*, \end{eqnarray*} $

其中$(\cdot, \cdot)_{L^2}$表示$L^2(\mathbb{R}^N)$内积.

根据(V), 可以找到常数$a_0 > 0$使得

$ \begin{equation}\label{30} V(x)+a_0 > 0, \forall \ x\in \mathbb{R}^N. \end{equation} $

(2.1)

对任意的$u\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^N)$有

$ \begin{eqnarray} \|u\|_0^2 & = & (|{\cal A}|u, u)_{L^2} +\|u\|_2^2 = (({\cal A}+a_0){\cal U} u, u)_{L^2} -a_0({\cal U} u, u)_{L^2}+\|u\|_2^2\nonumber\\ & \le & \left\|{\cal U} ({\cal A}+a_0)^{1/2}u\right\|_2\left\|({\cal A}+a_0)^{1/2}u\right\|_2 +a_0\left\|{\cal U} u\right\|_2\|u\|_2+\|u\|_2^2\nonumber\\ & \le & \left\|({\cal A}+a_0)^{1/2}u\right\|_2^2+(a_0+1)\|u\|_2^2\nonumber\\ & \le & (1+2a_0+M)\|u\|_{H^1(\mathbb{R}^N)}^2, \end{eqnarray} $

(2.2)

$ \begin{eqnarray} \|u\|_{H^1(\mathbb{R}^N)}^2 & \le & (({\cal A}+a_0+1)u, u)_{L^2} = ({\cal A}u, u)_{L^2}+(a_0+1)\|u\|_2^2 \nonumber\\ & = & \left({\cal U}|{\cal A}|^{1/2}u, |{\cal A}|^{1/2}u\right)_{L^2}+(a_0+1)\|u\|_2^2\nonumber\\ & \le & \left\||{\cal A}|^{1/2}u\right\|_2^2+(a_0+1)\|u\|_2^2 \le (1+a_0)\|u\|_{0}^2, \end{eqnarray} $

(2.3)

其中$M=\sup_{x\in\mathbb{R}^N}|V(x)|$.因为$C^{\infty}_0(\mathbb{R}^N)$在$(E_*, \|\cdot\|_0)$和$H^1(\mathbb{R}^N)$中稠密, 因此

$ \begin{equation} \frac{1}{1+a_0}\|u\|^2_{H^1(\mathbb{R}^N)}\le \|u\|^2_0\le (1+2a_0+M)\|u\|^2_{H^1(\mathbb{R}^N)}, \forall \ u\in E_*=H^1(\mathbb{R}^N). \end{equation} $

(2.4)

定义

$ \begin{eqnarray*} E^{-}_*={\cal E}(0)E_*, E^{+}=[{\cal E}(+\infty)-{\cal E}(0)]E_*, \end{eqnarray*} $

$ \begin{equation} (u, v)_*=\left(|{\cal A}|^{1/2}u, |{\cal A}|^{1/2}v\right)_{L^2}, \|u\|_*=\sqrt{(u, u)_*}, forall \ u, v\in E_*. \end{equation} $

(2.5)

引理2.1^{[35, 引理3.1]}  设条件${\rm (V)}$满足, 则$E_*=E^{-}_*\oplus E^{+}$,

$ \begin{equation} (u, v)_*=(u, v)_{L^2}=0, forall \ u\in E^{-}_*, \ v\in E^{+}, \end{equation} $

(2.6)

且

$ \begin{equation} \|u^{+}\|^2_*\ge \overline{\Lambda} \|u^{+}\|^2_{2}, \|u^{-}\|^2_*\le a_0 \|u^{-}\|^2_2, \forall \ u=u^{-}+u^{+}\in E_*=E^{-}_*\oplus E^{+}, \end{equation} $

(2.7)

其中$b_0$由${\rm (V)}$给出, $a_0$由(2.1)式给出.

容易看到范数$\|\cdot\|_*$与$\|\cdot\|_{H^1(\mathbb{R}^N)}$在$E^{+}$上等价, 若$u\in E_*$则有$u\in E^{+} \Leftrightarrow {\cal E}(0)u=0$.因此$E^{+}$是$(E_*, \|\cdot\|_0)=H^1(\mathbb{R}^N)$的一个闭子集.在$E^{-}_*$中我们引入一个新的范数

$ \begin{equation} \|u\|_{-}=\left(\|u\|^2_*+\|u\|^2_{\varrho}\right)^{1/2}, forall \ u\in E^{-}_*. \end{equation} $

(2.8)

令$E^{-}$是$E^{-}_*$关于范数$\|\cdot\|_{-}$的完备化.则$E^{-}$是可分、自反的巴拿赫空间

$ \begin{equation} E^{-}\cap E^{+}=\{0\}, (u, v)_*=0, \forall \ u\in E^{-}, \ v \in E^{+}. \end{equation} $

(2.9)

令$E=E^{-}\oplus E^{+}$并定义范数如下

$ \begin{equation} \|u\|=\left(\|u^{-}\|_{-}^2+\|u^{+}\|^2_*\right)^{1/2}, forall \ u=u^{-}+u^{+}\in E=E^{-}\oplus E^{+}. \end{equation} $

(2.10)

容易验证$(E, \|\cdot\|)$是一个巴拿赫空间, 且

$ \begin{equation} \sqrt{\overline{\Lambda}}\|u^{+}\|_2\le \|u^{+}\|_*=\|u^{+}\|, \|u^{+}\|_s\le {\gamma}_s\|u^{+}\|, \forall \ u\in E, \ s\in[2, 2^*], \end{equation} $

(2.11)

其中${\gamma}_s\in (0, +\infty)$为嵌入常数.

引理2.2^{[35, 引理3.2]}  设条件${\rm (V)}$满足, 则下面的结论成立.

(i)对任意的$\varrho\le s\le 2^{*}$有$E^{-}\hookrightarrow L^s(\mathbb{R}^N)$;

(ii) $E^{-}\hookrightarrow H^1_{loc}(\mathbb{R}^N)$且对任意的$2\le s < 2^{*}$有$E^{-}\hookrightarrow \hookrightarrow L^s_{loc}(\mathbb{R}^N)$;

(iii)对任意的$\varrho\le s\le 2^*$, 存在常数$C_s>0$使得

$ \begin{equation} \|u\|_{s}^s\le C_s\left[\|u\|^s_*+\left(\int_{\Omega}|u|^{\varrho}{\rm d}x\right)^{s/{\varrho}} +\left(\int_{{\Omega}^c}|u|^2{\rm d}x\right)^{s/2}\right], \forall \ u\in E^{-}, \end{equation} $

(2.12)

其中$\Omega\subset \mathbb{R}^N$为任意可测集, ${\Omega}^c=\mathbb{R}^N\setminus{\Omega}$.

下面的环绕定理推广了文献[4, 17]和^{[43, 定理6.10]}中的结论.

定理2.1^{[35, 引理2.4]}  令$X$是一个巴拿赫空间且有$X=Y\oplus Z$, 其中$Y$和$Z$是$X$的子空间, $Y$是可分、自反的, 且存在常数$\zeta_{0}>0$使得下面的不等式成立

$ \begin{equation} \|P_1u\|+\|P_2u\|\le \zeta_{0}\|u\|, forall \ u\in X, \end{equation} $

(2.13)

其中$P_1: X\rightarrow Y, \ P_2: X\rightarrow Z$投影.令$\{{{\mathfrak{f}}}_k\}_{k\in \mathbb{N}}\subset Y^*$为稠密子集满足$\|{{\mathfrak{f}}}_k\|_{Y^*}=1$, 且$X$上的$\tau$ -拓扑由下面的范数生成

$ \begin{equation} \|u\|_{\tau}:=\max\left\{\|P_2u\|, \sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2^k}|\langle {{\mathfrak{f}}}_k, P_1u\rangle|\right\} , forall \ u\in X. \end{equation} $

(2.14)

假设下面的条件满足.

(H1) $\varphi \in C^1(X, \mathbb{R})$是$\tau$-上半连续, 且对任意的$a\in \mathbb{R}$, $\varphi':(\varphi_a, \|\cdot\|_{\tau}) \rightarrow (X^*, {\cal T}_{w^*})$是连续的;

(H2)存在常数$r>\rho>0$和$e\in Z$以及$\|e\|=1$使得

$ \begin{eqnarray*} \kappa:=\inf\varphi(S_{\rho})>0\ge \sup\varphi(\partial Q), \end{eqnarray*} $

其中$ S_{\rho}=\{u\in Z: |u\|=\rho\}, $$Q=\{v+se: \ v\in Y, \ s\ge 0, |v+se\|\le r\}, $则存在常数$c\in[\kappa, sup_{ Q}\varphi]$和序列$\{u_n\}\subset X$满足

$ \begin{equation} \varphi(u_n)\rightarrow c, \|\varphi'(u_n)\|_{X^*}(1+\|u_n\|)\rightarrow 0. \end{equation} $

(2.15)

此序列称为水平为$c$的Cerami序列, 或$(C)_c$-序列.

令$X=E, \ Y=E^{-}$和$Z=E^{+}$.由(2.10)式可知(2.13)式成立.因为$E^{-}$是$E$的可分、自反的子空间, 则$(E^{-})^*$也是可分的.因此可选一个稠密子集$\{{\mathfrak{f}}_k\}_{k\in\mathbb{N}}\subset (E^{-})^*$满足$\|{\mathfrak{f}}_k\|_{(E^{-})^*}=1$.由(2.14)式可知

$ \begin{equation} \|u\|_{\tau}:=\max\left\{\|u^{+}\|, \sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2^k}|\langle{\mathfrak{f}}_k, u^{-}\rangle|\right\}, forall \ u\in E. \end{equation} $

(2.16)

显然

$ \begin{equation} \|u^{+}\|\le \|u\|_{\tau}\le \|u\|, forall \ u\in E. \end{equation} $

(2.17)

由(F2)和引理2.2, 容易验证$\Phi\in C^1(E, \mathbb{R})$, 而且

$ \begin{equation} \langle\Phi'(u), v\rangle=\int_{\mathbb{R}^N}(\nabla u\nabla v+V(x)uv) {\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}f(x, u)v {\rm d}x, \forall \ u, v \in E. \end{equation} $

(2.18)

这说明$\Phi$的临界点是方程(1.1)的解, 而且有

$ \begin{equation} \Phi(u)=\frac{1}{2}(\|u^{+}\|^2_*-\|u^{-}\|^2_*)-\int_{\mathbb{R}^N}F(x, u){\rm d}x, \forall \ u=u^{+}+u^{-}\in E^{-}\oplus E^{+}=E, \end{equation} $

(2.19)

$ \begin{equation} \langle\Phi'(u), v\rangle=(u^{+}, v)_*-(u^{-}, v)_*-\int_{\mathbb{R}^N}f(x, u)v {\rm d}x, \forall \ u, v \in E. \end{equation} $

(2.20)

引理2.3^{[35, 引理3.3]}  设${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$和${\rm (F2)}$满足, 则$\Phi\in C^1(E, \mathbb{R})$是$\tau$-上半连续的, 对任意的$a\in \mathbb{R}$, $\Phi':(\Phi_a, \|\cdot\|_{\tau})\rightarrow (E^*, {\cal T}_{w^*})$连续.

引理2.4  设${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$, ${\rm (F2)}$和${\rm (WN)}$满足, 则对任意的$u\in E$有如下结论

(i)若$\inf V_{\infty} > 0$, 则有

$ \begin{eqnarray} & & t\langle\Phi'(u), tu+2\zeta\rangle\nonumber\\ &\geq& t^2\|u^+\|^2_*-\|tu^-+\zeta\|^2_*+\|\zeta\|^2_*-\int_{\mathbb{R}^N}V_{\infty}(x)(tu+\zeta)^2{\rm d}x\nonumber\\ &&+t^2\int_{\mathbb{R}^N}\frac{V_{\infty}(x)f(x, u)u-[f(x, u)]^2}{V_{\infty}(x)}{\rm d}x, \forall zeta\in E^{-}, \ t\in\mathbb{R}; \end{eqnarray} $

(2.21)

(ii)对任意的$\zeta\in E^{-}$和$t\in\mathbb{R}$,

$ \begin{eqnarray} & & t\langle\Phi'(u), tu+2\zeta\rangle\nonumber\\ &\geq & t^2\|u^+\|^2_*-t^2\|u^-+\zeta\|^2_*+\|\zeta\|^2_*-\int_{u\neq0}\frac{f(x, u)}{u}{(tu+\zeta)^2}{\rm d}x; \end{eqnarray} $

(2.22)

(iii)对任意的$\zeta\in E^{-}$和$t\geq 0$, 有

$ \begin{eqnarray} \Phi(u)\geq\Phi(tu+\zeta)+\frac{1}{2}\|\zeta\|^2_* +\frac{1-t^2}{2}\langle\Phi'(u), u\rangle-t\langle\Phi'(u), \zeta\rangle. \end{eqnarray} $

(2.23)

证  由(2.20)式和$\inf V_{\infty}>0$, 可知

$ \begin{eqnarray*} & & t\langle\Phi'(u), tu+2\zeta\rangle\nonumber\\ &=&t^2\|u^+\|^2_*-t^2\|u^-\|^2_*-2t(u^-, \zeta)_*-t\int_{\mathbb{R}^N}f(x, u){(tu+2\zeta)}{\rm d}x\nonumber\\ &=&t^2\|u^+\|^2_*-\|tu^-+\zeta\|^2_*+\|\zeta\|^2_*-\int_{\mathbb{R}^N}V_{\infty}(x)(tu+\zeta)^2{\rm d}x\nonumber\\ && +\int_{\mathbb{R}^N}\left[V_{\infty}(x)(tu+\zeta)^2-tf(x, u){(tu+2\zeta)}\right]{\rm d}x\nonumber\\ &=&t^2\|u^+\|^2_*-\|tu^-+\zeta\|^2_*+\|\zeta\|^2_*-\int_{\mathbb{R}^N}V_{\infty}(x)(tu+\zeta)^2{\rm d}x\nonumber\\ && +\int_{\mathbb{R}^N}\left\{V_{\infty}(x)\zeta^2+2\left[V_{\infty}(x)u-f(x, u)\right]t\zeta+\left[V_{\infty}(x)u^2-uf(x, u)\right]t^2\right\}{\rm d}x\nonumber\\ &\geq& t^2\|u^+\|^2_*-\|tu^-+\zeta\|^2_*+\|\zeta\|^2_*-\int_{\mathbb{R}^N}V_{\infty}(x)(tu+\zeta)^2{\rm d}x\nonumber\\ &&+t^2\int_{\mathbb{R}^N}\frac{V_{\infty}(x)f(x, u)u-[f(x, u)]^2}{V_{\infty}(x)}{\rm d}x, \forall \ u\in E, zeta\in E^-, \ t\geq0. \end{eqnarray*} $

从而(i)成立.另一方面, 由(2.20)式和$tf(x, t)\geq0$, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&t\langle\Phi'(u), tu+2\zeta\rangle\nonumber\\ &=&t^2\|u^+\|^2_*-t^2\|u^-\|^2_*-2(tu^-, \zeta)_*-t\int_{\mathbb{R}^N}f(x, u){(tu+2\zeta)}{\rm d}x\nonumber\\ &=&t^2\|u^+\|^2_*-\|tu^-+\zeta\|^2_*+\|\zeta\|^2_*-\int_{u\neq0}\frac{f(x, u)}{u}{(tu+\zeta)^2}{\rm d}x+\int_{u\neq0}\frac{f(x, u)}{u}{\zeta^2}{\rm d}x\nonumber\\ &\geq&t^2\|u^+\|^2_*-\|tu^-+\zeta\|^2_*+\|\zeta\|^2_*-\int_{u\neq0}\frac{f(x, u)}{u}{(tu+\zeta)^2}{\rm d}x, \forall \ u\in E, zeta\in E^-, \ t\geq0. \end{eqnarray*} $

故(ii)成立.

对任意的$x\in \mathbb{R}^N$和$\tau\neq0$, 由(F3)可得

$ \begin{eqnarray*} f(x, s)\leq\frac{f(x, \tau)}{|\tau|}|s|, s\leq \tau; \ f(x, s)\geq\frac{f(x, \tau)}{|\tau|}|s|, s\geq \tau. \end{eqnarray*} $

从而(参见文献[37, (3.4)式])

$ \begin{equation} \left(\frac{1-t^2}{2}\tau^2-t\tau\sigma\right)\frac{f(x, \tau)}{\tau}\geq \int^{\tau}_{t\tau+\sigma}f(x, s){\rm d}s, t\geq0, sigma\in \mathbb{R}. \end{equation} $

(2.24)

根据(2.19), (2.20)和(2.24)式, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\Phi(u)-\Phi(tu+\zeta)\nonumber\\ &=& \frac{1}{2}\|\zeta\|^2_*+\frac{1-t^2}{2}\langle\Phi'(u), u\rangle-t\langle\Phi'(u), \zeta\rangle\nonumber\\ && +\int_{\mathbb{R}^N}\left(\frac{1-t^2}{2}f(x, u)u-tf(x, u)\zeta-\int^{u}_{tu+\zeta}f(x, s){\rm d}s\right){\rm d}x\nonumber\\ &\geq& \frac{1}{2}\|\zeta\|^2_*+\frac{1-t^2}{2}\langle\Phi'(u), u\rangle-t\langle\Phi'(u), \zeta\rangle, \forall \ u\in E, zeta\in E^-, \ t\geq0. \end{eqnarray*} $

这就证明了(iii).

由引理2.4, 可得如下两个推论.

推论2.1  设${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$, ${\rm (F2)}$和${\rm (WN)}$满足, 则有如下结论：

(i)对任意的$u\in {\cal N}^-$有

$ \begin{eqnarray}\label{0001} &&\|u^+\|^2_*-\|u^-+\zeta\|^2_*-\int_{\mathbb{R}^N}V_{\infty}(x)(u+\zeta)^2{\rm d}x\nonumber\\ &\leq& -\|\zeta\|^2_*-\int_{\mathbb{R}^N}\frac{V_{\infty}(x)f(x, u)u-[f(x, u)]^2}{V_{\infty}(x)}{\rm d}x, forall zeta\in E^-; \end{eqnarray} $

(2.25)

(ii)对任意的$u\in {\cal N}^-$有

$ \begin{equation} \Phi(u)\geq\Phi(tu+\zeta), forall zeta\in E^-, \ t\geq0. \end{equation} $

(2.26)

推论2.2  设${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$和${\rm (F2)}$满足, 则

$ \begin{equation} \langle\Phi'(u), u^+-u^-\rangle\geq\|u\|^2_* -\int_{u\neq0}\frac{f(x, u)}{u}{(u^+)^2}{\rm d}x, forall \ u\in E. \end{equation} $

(2.27)

应用推论2.1(ii), 类似于文献[32, 引理2.4]中的讨论可得如下结论.

引理3.1  设${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$, ${\rm (F2)}$和${\rm (WN)}$满足, 则

(i)  存在$r > 0$使得$c_0:=\inf_{{\cal N}^-}\Phi\geq \kappa:=\inf\left\{\Phi(u):u\in E^+, \|u\|=r\right\} > 0$;

(ii)  对任意的$u\in {\cal N}^-$有$\|u^+\|\geq\max\left\{\|u^-\|_*, \sqrt{2c_0}\right\}$.

定义集合

$ \begin{equation} E_0^{+}:=\left\{u\in E^+\setminus\{0\}: \|u\|_*^2-\|w\|_*^2-\int_{\mathbb{R}^N}V_{\infty}(x)(u+w)^2{\rm d}x < 0, \forall \ w\in E^{-}\right\}. \end{equation} $

(3.1)

由(F1)可知$E_0^{+}$非空.

引理3.2  设${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$和${\rm (F2)}$满足, 则对任意的$e\in E_0^{+}$有$\sup\Phi(E^-\oplus \mathbb{R}^+e) < \infty$, 而且存在$R_e>0$使得

$ \begin{equation} \Phi(u) \le 0, \forall \ u\in E^{-}\oplus \mathbb{R}^{+} e, \|u\|\ge R_e. \end{equation} $

(3.2)

这个引理可以通过与文献[26, 引理2.2]中一样的讨论得到, 这里我们略去.

推论3.1  设${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$和${\rm (F2)}$满足.令$e\in E_0^{+}$以及$\|e\|=1$.则存在$r_0 > \rho$使得对任意的$r\ge r_0$有$\sup \Phi(\partial Q)\le 0$, 其中

$ \begin{equation} Q=\left\{w+se : w\in E^{-}, s\ge 0, |w+se\|\le r\right\}. \end{equation} $

(3.3)

引理3.3  设${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$, ${\rm (F2)}$和${\rm (WN)}$满足, 则对任意的$u\in E_0^{+}$有${\cal N}^{-}\cap (E^{-}\oplus \mathbb{R}^{+}u)\ne \emptyset$, 即, 存在$t(u)>0$和$w(u)\in E^{-}$使得$t(u)u+w(u)\in {\cal N}^{-}$.

证  由引理3.2, 存在$R>0$使得对任意的$v\in (E^{-}\oplus \mathbb{R}^{+} u)\setminus B_{R}(0)$有$\Phi(v)\le 0$.由引理3.1 (i)可知对较小的$t>0$有$\Phi(tu) > 0$.因此$0 < \sup\Phi(E^{-}\oplus \mathbb{R}^{+} u) < \infty$.因为$\Phi$在$E^{-}\oplus \mathbb{R}^{+} u$上弱序列上半连续, 所以存在$u_0\in E^{-}\oplus \mathbb{R}^{+} u$使得$\Phi(u_0)=\sup\Phi(E^{-}\oplus \mathbb{R}^{+} u)$.此$u_0$是$\Phi|_{E^{-}\oplus \mathbb{R} u}$的一个临界点, 因此对任意的$v\in E^{-}\oplus \mathbb{R}\ u$有$\langle \Phi'(u_0), u_0 \rangle= \langle \Phi'(u_0), v \rangle=0$.故$u_0\in {\cal N}^{-}\cap (E^{-}\oplus \mathbb{R}^{+} u)$.

由引理3.3可以看到单调性条件(WN)保证了引入Nehari-Pankov流形${\cal N}^{-}$的合理性, 从而允许我们通过考虑能量泛函$\Phi$在具有无穷维维数以及余维数的${\cal N}^{-}$上的极小元来定义方程(1.1)的基态解.

引理3.4  设${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$, ${\rm (F2)}$和${\rm (WN)}$满足, 则存在常数$c\in [\kappa, \sup \Phi(Q)]$和序列$\{u_n\}\subset E$满足

$ \begin{equation} \Phi(u_n)\rightarrow c, \|\Phi'(u_n)\|(1+\|u_n\|)\rightarrow 0, \end{equation} $

(3.4)

其中$Q$由(3.3)式定义.

运用定理2.1, 引理2.3, 3.1(i)以及推论3.1可得引理3.4.

引理3.5  设${\rm (V)}$, ${\rm (F1)}$, ${\rm (F2)}$和${\rm (WN)}$满足, 则存在常数$c_*\in [\kappa, c_0]$和序列$\{u_n\}\subset E$满足

$ \begin{equation} \Phi(u_n)\rightarrow c_*, \|\Phi'(u_n)\|(1+\|u_n\|)\rightarrow 0. \end{equation} $

(3.5)

引理3.5对于证明存在方程(1.1)的一个基态解使得$\inf_{{\cal N}^-}\Phi$可达是很关键的.其证明包含在文献[36]中, 为了读者的方便这里我们给出具体的证明.

证  选取$v_k\in {\cal N}^{-}$使得

$ \begin{equation} c_0\le \Phi(v_k) < c_0+\frac{1}{k}, k\in \mathbb{N}. \end{equation} $

(3.6)

由引理3.1可知$\|v_k^{+}\|\ge \sqrt{2c_0}>0$.因为$v_k\in L^{\varrho}(\mathbb{R}^N)$, 因此${\rm meas} \{x\in \mathbb{R}^N : |v_k(x)|\le \alpha_0\}=\infty$.根据(F1)和(1.11)式可得

$ \begin{equation}\label{1202} \int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(x, v_k)f_{\infty}(x, v_k)}{V_{\infty}(x)}{\rm d}x < 0. \end{equation} $

(3.7)

令$e_k=v_k^{+}/\|v_k^{+}\|$.则$e_k\in E^{+}$且$\|e_k\|=1$.由(3.7)式及推论2.1(i), 对任意的$w\in E^{-}$可得

$ \begin{eqnarray} & & \|e_k\|^2-\|w\|_*^2-\int_{\mathbb{R}^N}V_{\infty}(x)( e_k+w)^2{\rm d}x\nonumber\\ & = & \frac{\|v_k^{+}\|^2}{\|v_k^{+}\|^2}-\|w\|_*^2-\int_{\mathbb{R}^N}V_{\infty}(x)\left(\frac{ v_k}{\|v_k^{+}\|} +w-\frac{v_k^{-}}{\|v_k^{+}\|} \right)^2{\rm d}x\nonumber\\ & \le & -\left\|w-\frac{v_k^{-}}{\|v_k^{+}\|} \right\|_*^2 -\frac{1}{\|v_k^{+}\|^2}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{v_kf(x, v_k)V_{\infty}(x)-[f(x, v_k)]^2}{V_{\infty}(x)}{\rm d}x\nonumber\\ & = & -\left\|w-\frac{v_k^{-}}{\|v_k^{+}\|} \right\|_*^2 +\frac{1}{\|v_k^{+}\|^2}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{f(x, v_k)f_{\infty}(x, v_k)}{V_{\infty}(x)}{\rm d}x < 0. \end{eqnarray} $

(3.8)

这样就证明了$e_k\in E_0^{+}$.根据推论3.1, 存在$r_k>\max\{\rho, \|v_k\|\}$使得$\sup \Phi(\partial Q_k)\le 0$, 其中

$ \begin{equation} Q_k=\{w+se_k : w\in E^{-}, s\ge 0, |w+se_k\|\le r_k\}, k\in \mathbb{N}. \end{equation} $

(3.9)

对于上面的$Q_k$应用引理3.4, 可知存在常数$c_k\in [\kappa, \sup \Phi(Q_k)]$和序列$\{u_{k, n}\}_{n\in \mathbb{N}}\subset E$满足

$ \begin{equation} \Phi(u_{k, n})\rightarrow c_k, \|\Phi'(u_{k, n})\|(1+\|u_{k, n}\|)\rightarrow 0, k\in \mathbb{N}. \end{equation} $

(3.10)

根据推论2.1(ii), 可得

$ \begin{equation} \Phi(v_k) \ge \Phi(w+tv_k), \forall \ t\ge 0, w\in E^{-}. \end{equation} $

(3.11)

因$v_k\in Q_k$, 由(3.9)和(3.11)式可以推知$\Phi(v_k)=\sup \Phi(Q_k)$.结合(3.6)和(3.10)式可得

$ \begin{equation} \Phi(u_{k, n})\rightarrow c_k < c_0+\frac{1}{k}, \|\Phi'(u_{k, n})\|(1+\|u_{k, n}\|)\rightarrow 0, k\in \mathbb{N}. \end{equation} $

(3.12)

选取$\{n_k\}\subset \mathbb{N}$使得

$ \begin{equation} \kappa-\frac{1}{k} < \Phi(u_{k, n_k}) < c_0+\frac{1}{k}, \|\Phi'(u_{k, n_k})\|(1+\|u_{k, n_k}\|) < \frac{1}{k}, k\in \mathbb{N}. \end{equation} $

(3.13)

令$u_k=u_{k, n_k}, k\in \mathbb{N}$, 则在子列的意义下有

$ \begin{equation} \Phi(u_n)\rightarrow c_*\in [\kappa, c_0], \|\Phi'(u_n)\|(1+\|u_n\|)\rightarrow 0. \end{equation} $

(3.14)

证毕.

引理3.6^{[3, 推论2.3]}  设${\rm (V)}$满足.若$u\subset E$是如下薛定谔方程的一个弱解

$ \begin{equation} -\triangle u+V(x)u=f(x, u), x\in\mathbb{R}^N, \end{equation} $

(3.15)

即

$ \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^N}(\nabla u\nabla \psi+V(x)u\psi){\rm d}x=\int_{\mathbb{R}^N}f(x, u)\psi{\rm d}x, \forall psi\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^N), \end{equation} $

(3.16)

则当$|x|\rightarrow\infty$时有$u_n\rightarrow0$.

定理1.1的证明  由引理3.5可知存在序列$\{u_n\}\subset E$满足(3.5)式.应用文献[26, 引理3.5], 可知$\{u_n\}$在$E$中有界, 因此$\|u_n\|^{\varrho}_{\varrho}$也有界.若

$ \begin{eqnarray*} \delta:=\limsup_{n\rightarrow\infty}\sup_{y\in\mathbb{R}^N}\int_{B(y, 1)}|u_n^+|^2{\rm d}x=0, \end{eqnarray*} $

则由Lions集中紧性原理(参见文献[18]或[43, 引理1.21]), 可知在$L^s(\mathbb{R}^N)$中, $2 < s < 2^*$, 有$u^+_n\rightarrow0$.根据(F2), (2.11), (2.19), (2.20)和(3.5)式, 得到

$ \begin{eqnarray*} 2c_{*}+o(1)&=& \|u_n^+\|^2_*-\|u_n^-\|^2_*-2\int_{\mathbb{R}^N}F(x, u_n){\rm d}x\nonumber\\ &\leq& \|u_n^+\|^2_*=\int_{\mathbb{R}^N}f(x, u_n)u_n^+{\rm d}x+\langle\Phi'(u_n), u_n^+\rangle\nonumber\\ &\leq& c_2\int_{\mathbb{R}^N}|u_n|^{\varrho-1}|u^+_n|{\rm d}x+o(1)\nonumber\\ &\leq& c_2\|u_n\|_{\varrho}^{\varrho-1}\|u^+_n\|_{\varrho}+o(1)=o(1) \end{eqnarray*} $

矛盾.因此$\delta > 0$.

在子列的意义下可以设存在$k_n\in \mathbb{Z}^N$使得

$ \begin{eqnarray*} \int_{B(k_n, 1+\sqrt{N})} |u^+_n|^2{\rm d}x > \frac{\delta}{2}. \end{eqnarray*} $

定义$v_n(x)=u_n(x+k_n)$从而

$ \begin{equation} \int_{B(0, 1+\sqrt{N})} |v^+_n|^2{\rm d}x>\frac{\delta}{2}. \end{equation} $

(3.17)

因为$V(x)$和$f(x, u)$关于$x$是周期的, 所以$\|v_n\|=\|u_n\|$且

$ \begin{equation} \Phi(v_n)\rightarrow c_*\in [\kappa, c_0], \|\Phi'(v_n)\|(1+\|v_n\|)\rightarrow 0. \end{equation} $

(3.18)

在子列的意义下, 我们可得在$E$中有$v_n\rightharpoonup v_0$, 在$L^s_{loc}(\mathbb{R}^N)$中, $2\leq s < 2^*$, 有$v_n\rightarrow v_0$, 并且在$\mathbb{R}^N$上几乎处处有$v_n\rightarrow v_0$. (3.17)式说明$v^+_0\neq0$, 因此$v_0\neq0$.对任意的$\psi\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^N)$存在$R_{\psi}>0$使得supp$\psi\subset B(0, R_{\psi})$.由(F2)和文献[43, 引理A.2]可知$f(x, u_n)\rightarrow f(x, u)$在$L^{q}(B(0, R_{\psi}))$中, 其中 $q:={\varrho}/(\varrho-1)$.由Hölder不等式可得

$ \begin{equation} \int_{B(0, R_{\psi})}|f(x, u_n)-f(x, u)||\psi|{\rm d}x\leq\|f(x, u_n)-f(x, u)\|_{L^{q}(B(0, R_{\psi}))}\|\psi\|_{\varrho} =o(1). \end{equation} $

(3.19)

注意到

$ \begin{equation} \left(v^+_n-v^+_0, \psi\right)_*-\left(v^-_n-v^-_0, \psi\right)_*\rightarrow0. \end{equation} $

(3.20)

因此, 根据(2.20), (3.18), (3.19)和(3.20)式可得

$ \begin{eqnarray*} && |\langle\Phi'(v_0), \psi\rangle|\\ &=& \left|\langle\Phi'(v_n), \psi\rangle -\left[\left(v^+_n-v^+_0, \psi\right)_*-\left(v^-_n-v^-_0, \psi\right)_*\right] +\int_{\mathbb{R}^N}[f(x, u_n)-f(x, u)]\psi {\rm d}x\right|\nonumber\\ &\leq& o(1)+\int_{B(0, R_{\psi})}|f(x, u_n)-f(x, u)||\psi| {\rm d}x=o(1). \end{eqnarray*} $

这就证明了$\langle\Phi'(v_0), \psi\rangle=0$, $\forall psi\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^N)$.由于$C^{\infty}_0(\mathbb{R}^N)$在$E$中稠密, 从而可得$\Phi'(v_0)=0$.因此$v_0\in{\cal N}^-$且$\Phi(v_0)\geq c_0$.另一方面, 借助于(WN), (2.19), (2.20), (3.18)式和Fatou引理, 可知$c_0\geq c_*$且

$ \begin{eqnarray*} c_* & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\left[\Phi(v_n)-\frac{1}{2}\langle\Phi'(v_n), v_n\rangle\right]\nonumber\\ & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^N}\left[\frac{1}{2}f(x, v_n)v_n-F(x, v_n)\right]{\rm d}x\nonumber\\ &\geq& \int_{\mathbb{R}^N}\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\frac{1}{2}f(x, v_n)v_n-F(x, v_n)\right]{\rm d}x\nonumber\\ & = &\int_{\mathbb{R}^N}\left[\frac{1}{2}f(x, v_0)v_0-F(x, v_0)\right]{\rm d}x\nonumber\\ & = &\Phi(v_0)-\frac{1}{2}\langle\Phi'(v_0), v_0\rangle=\Phi(v_0). \end{eqnarray*} $

这说明$\Phi(v_0)\leq c_0$, 因此$\Phi(v_0)=c_0=\inf_{{\cal N}^-}\Phi$.联合引理3.6可知$v_0$是方程(1.1)的一个基态解满足$\Phi(v_0)=\inf_{{\cal N}^-}\Phi=\inf_{{\cal K}}\Phi\ge \kappa>0$, 而且由注记1.1可得

$ \int_{\mathbb{R}^N}\left[|\nabla v_0|^2+\left(V(x)-V_{\infty}(x)\right)v_0^2\right]{\rm d}x =\int_{\mathbb{R}^N}f_{\infty}(x, v_0)v_0{\rm d}x < 0. $

定理1.1证毕.