假设${\bf R}^{n}(n\geq2)$为$n$-维Euclidean 空间, 且$\bf S$是该空间中开集.集合$\bf S$的边界和闭包分别被表示为$\partial{\bf S}$和$\overline{\bf S}$.在笛卡尔坐标系中点$P$被表示为$(X, x_n), $其中$X=(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}).$设$|P|$是点$P$的Euclidean模, 并且$|P-Q|$为${\bf R}^{n}$中两点$P$和$Q$的Euclidean距离.单位球面和上半单位球面分别被表示为${\bf S}^{n-1}$和${\bf S}_{+}^{n-1}$.对于任意$P\in {\bf R}^{n}$和$r>0$, 令$B(P, r)$是以${\bf R}^{n}$中点$P$为中心、半径是$r$的开球, 则$S_{r}=\partial{B(O, r)}$.进而, 我们以d$S_{r}$表示$S_{r}$上Euclidean度量诱导的$(n-1)$-维体积元素.

本文中我们主要关注与稳态的薛定谔算子有关的广义次调和函数的一些相关性质.我们的目的旨在对于广义调和函数的稀疏集给出精确刻画. Essén和^[1]曾经引入稀疏集的定义(也可以参见文献[2]), 然后在半空间上研究它们的相关性质.后来, 应用锥形区域及其边界关于任意正测度的Green位势和Poisson积分的值分布, Miyamoto与Yoshida^[3]把半空间中稀疏集的覆盖性质^[4]推广到锥形区域情形.另外, Qiao与Deng^[5-9]以及Long和Han^[10]如同Levin和Kheyfits^[11-12]于锥形区域中考虑薛定谔算子在无穷远处的一些相关问题.进而, 作者们^[13]引入与稳态的薛定谔算子有关$a$-稀疏集的定义, 并且得到其判定准则($a=0$, 参见文献[14]).基于以上所述, 我们主要将推广Miyamoto与Yoshida的有关结论^[3].为了更有效地叙述我们的结果, 下面我们将介绍一些符号与背景知识.

相对于球面坐标系, 拉普拉斯算子$\Delta$可以被写为

$ \Delta=\frac{n-1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{\Delta^*}{r^2}, $

其中Beltrami算子$\Delta^*$的明显形式为Azarin ^[15]所给定.

令集合$D$为${\bf R}^{n}$中任何区域, ${\cal A}_D$表示非负径向位势$a(P)$的函数类(即$0\leq a(P)=a(r)$, $P=(r, \Theta)\in D$)以致$a\in L_{loc}^{b}(D)$, 此时, 如果$n\geq4$, 那么$b > {n}/{2}$; 如果$n=2$或者$n=3$, 那么$b=2$.

如果$a\in {\cal A}_D$, 那么带有位势函数$a(\cdot)$的稳态的薛定谔算子

$ \begin{eqnarray*} {{\cal L}}_a=-\Delta+a(\cdot)I \end{eqnarray*} $

能够以一般方式从空间$C_0^{\infty}(D)$被延拓到$L^{2}(D)$上的本质自共轭算子, 其中$\Delta$是拉普拉斯算子, 且$I$为恒等算子(参见文献[16, 第13章]).则${{\cal L}}_{a}$有Green$a$ -函数$G_{D}^{a}(\cdot, \cdot)$, 此时, $G_{D}^{a}(\cdot, \cdot)$在$D$上恒正, 且其内法向导数$\partial G_{D}^{a}(\cdot, \cdot)/{\partial n_Q}$非负, 其中${\partial}/{\partial n_Q}$表示沿着指向$D$的内法向在$Q$处的微分.我们记此导数为$PI_{D}^{a}(\cdot, \cdot)$, 也被称为关于$D$的Poisson$a$-核函数.令$G_{D}^{0}(\cdot, \cdot)$表示拉普拉斯算子的Green函数.

简而言之, ${\bf S}^{n-1}$上点$(1, \Theta)$与集合$\{\Theta; (1, \Theta)\in \Omega\}$($\Omega\subset {\bf S}^{n-1}$)分别恒等于$\Theta$和$\Omega$.对于给定的两个集合$\Xi\subset {\bf R}_+$和$\Omega\subset {\bf S}^{n-1}, $${\bf R}^{n}$中集合$\{(r, \Theta)\in{\bf R}^{n}; r\in\Xi, (1, \Theta)\in \Omega\}$简记为$\Xi\times \Omega.$特别地, 半空间${\bf R}_{+}\times {\bf S}_{+}^{n-1}=\{(X, x_n)\in{\bf R}^{n}; x_n>0\}$被表示为${\bf T}_n$.对于${\bf S}^{n-1}$任意区域$\Omega$, 我们以$C_n(\Omega)$表示${\bf R}^{n}$中集合${\bf R}_+\times \Omega$, 并称其为锥形区域.对于$\bf R_+$中任意区间$I$, 令$C_n (\Omega; I)=I\times\Omega$, $S_n(\Omega;I)=I\times \partial{\Omega}$和$S_n(\Omega; r)=C_n(\Omega)\cap S_{r}$.我们以$S_n (\Omega)$表示$S_n(\Omega; (0, +\infty))$, 即$\partial{C_n (\Omega)}\setminus\{O\}.$从现在起, 我们将一直假设$D=C_n (\Omega)$, 并且让$G_{\Omega}^{a}(\cdot, \cdot)$替代$G_{C_n (\Omega)}^{a}(\cdot, \cdot)$.

令集合$\Omega$为${\bf S}^{n-1}$中带有光滑边界的区域, 而$\lambda$为微分算子$-\Delta^\ast$在区域$\Omega$上的最小正本征值^[17,p41], 即

$ \begin{array}{l} ({\Delta ^ * } + \lambda )\varphi (\Theta ) = 0, \Theta \in \Omega, \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi (\Theta ) = 0, \Theta \in \partial \Omega . \end{array} $

与$\lambda$相对应的本征函数$\varphi (\Theta)$满足$\int_\Omega\varphi^2(\Theta){\rm d}S_1=1$.为了确保$\lambda$和$\varphi(\Theta)$的存在性, 我们对$\Omega$有一个很强的假设:如果$n\geq3, $那么$\Omega$是${\bf S}^{n-1}$上一个被有限个互不相交的闭超曲面包围的$C^{2, \alpha}$-区域 $(0 < \alpha < 1)$(对于$C^{2, \alpha}$-区域的定义可以参考文献[18, p88-89]).

如果位势函数$a\in {\cal A}_D$, 那么下列常微分方程

$ \begin{equation} -Q''(r)-\frac{n-1}{r}Q'(r)+\left( \frac{\lambda}{r^2}+a(r)\right )Q(r)=0, {4mm} 0 < r < \infty \end{equation} $

(1.1)

的解是已知的(更多文献可参见文献[19]).我们知道方程(1.1)有一组基本正解系$\{V, W\}$, 使得$V$是非减的, 即

$ 0 \leq V (0+) \leq V(r), \textrm{当} r \rightarrow + \infty, $

并且$W$是单调减的, 即

$ + \infty = W(0+) > W(r)\searrow 0, \textrm{当} r \rightarrow+ \infty. $

我们知道$V(r)\varphi(\Theta)$和$W (r)\varphi (\Theta)$均为$C_n(\Omega)$中$a$-调和函数, 且在$S_n (\Omega)$上连续消失.

对于位势函数$a\in {\cal A}_D$, 如果它使得极限$\lim\limits_{r\rightarrow\infty}r^2a (r)=\kappa\in[0, \infty)$存在, 且$r^{-1}|r^2 a(r)-\kappa|\in L(1, \infty)$, 那么我们称$a$属于函数类${\cal B}_D$.如果$a\in {\cal B}_D$, 那么(超)次函数都是连续的(参见文献[20]).为方便, 在文章后面部分我们将假设$a\in{\cal B}_D$, 并且会加强此假设.

记

$ \iota_{\kappa}^{\pm}=\frac{2-n\pm\sqrt{(n-2)^2+4(\kappa+\lambda)}}{2}, $

那么方程(1.1)的标准化解组$V(r)$和$W(r)$满足$V(1)=W(1)=1$, 且有如下渐进行为(参见文献[18])

$ V(r)\approx r^{\iota_{\kappa}^{+}}, ~~~~W(r)\approx r^{\iota_{\kappa}^{-}}, ~~~\textrm{当}~~~r\rightarrow\infty $

和

$ \chi=\iota_{\kappa}^{+}-\iota_{\kappa}^{-}=\sqrt{(n-2)^2+4(\kappa+\lambda)}, ~~~~\chi'=\omega(V(r), W(r))\mid_{r=1}, $

其中$\chi'$为$r=1$处解组的Wronskian.

注1.1  如果$a=0$和$\Omega={\bf S}_{+}^{n-1}$, 那么$\iota_{0}^{+}=1$, $\iota_{0}^{-}=1-n$, 且$\varphi(\Theta)=(2n s_n^{-1})^{1/2}\cos\theta_1, $此处$s_n$是${\bf S}^{n-1}$的曲面面积$2\pi^{n/2}\{\Gamma(n/2)\}^{-1}$.

定义在$C_n(\Omega)\times C_n(\Omega)\setminus(P_0, P_0)$上的函数$M^a_{\Omega}$, 也就是

$ M^{a}_{\Omega}(P, Q)=\frac{G^{a}_{\Omega}(P, Q)}{G^{a}_{\Omega}(P_0, Q)} $

被称为$C_n(\Omega)$上的广义Martin核(相对于$P_0$).如果$Q=P_0$, 则上式商被理解为零(对于a=0, 我们参考Armitage与Gardiner^[21]).

假设$m$为${\bf R}^{n}$上任意正测度, 且$\varepsilon>0$.当我们令$P=(r, \Theta)\in{\bf R}^{n}\setminus \{O\}$与

$ \widetilde{M}(P, m)=\sup_{0 < P < r/2}m(B(P, \rho))V(\rho)W(\rho)\rho^{-1}, $

集合$\{P\in{\bf R}^{n}\setminus \{O\}: \widetilde{M}(P, m)V^{-1}(\rho)W^{-1}(\rho)\rho>\varepsilon\}$可以被表示为$\Psi_{\varepsilon}(m)$.

显而易见, 锥形区域$C_n(\Omega)$的Martin边界$\vartriangle$是集合$\partial C_n(\Omega)\cup\{\infty\}$.如果关于被选择的适定参考点我们以$M^a_{\Omega}(P, Q)(P\in C_n(\Omega), Q\in\partial C_n(\Omega)\cup\{\infty\})$表示与稳态的薛定谔算子有关的Martin核, 那么对于任意$P\in C_n(\Omega)$我们知道

$ M^a_{\Omega}(P, \infty)=V(r)\varphi(\Theta), ~~M^a_{\Omega}(P, O)=\kappa W(r)\varphi(\Theta), $

此时$O$表示${\bf R}^n$的原点, 且$\kappa$为正常数.

令集合$E$为$C_n(\Omega)$中有界子集.则$\widehat{R}^E_{M^a_{\Omega}(., \infty)}(P)$在$C_n(\Omega)$上有界, 因而$\widehat{R}^E_{M^a_{\Omega}(., \infty)}(P)$的最大$a$ -调和控制为零.根据Riesz分解定理, 对于$P\in C_n(\Omega)$, 在$C_n(\Omega)$上存在唯一正测度$\lambda_E$满足

$ \widehat{R}^E_{M^a_{\Omega}(., \infty)}(P)=G^a_{\Omega}\lambda_E(P) $

且$\lambda_E$的支撑为$B_E$, 此处

$ B_E=\{P\in C_n(\Omega): E\ \mbox{在$P$点处不是$a$-细}\}. $

令$\mu$为$C_n(\Omega)$上的正测度, 使得对于任意$P\in C_n(\Omega)$满足$G^a_{\Omega}\mu (P)\not\equiv +\infty$.${\bf R}^{n}$上正测度$m_{\mu}$被定义为

$ {\rm d}m_{\mu}(Q)=\left\{\begin{array}{ll} W(t)\varphi(\Phi){\rm d}\mu(t, \Phi), & ~~~~~~~~ Q\in C_n(\Omega; (1, \infty)), \\ 0, &~~~~~~~~ Q\in {\bf R}^{n}\backslash C_n(\Omega; (1, \infty)). \end{array}\right. $

令$\nu$为$S_n(\Omega)$上正测度, 且满足下列Poisson积分

$ PI^a_{\Omega}\nu(P)=\int_{S_n(\Omega)}\frac{\partial G^a_{\Omega}(P, Q)}{\partial n_{Q}} {\rm d}\nu(t, \Phi)\not\equiv +\infty, ~~P\in C_n(\Omega), $

其中${\partial}/{\partial n_Q}$表示在$Q$处沿着指向$C_n(\Omega)$内法向的微分.令${\bf R}^{n}$上正测度$m_{\nu}$被定义为

$ {\rm d}m_{\nu}(Q)=\left\{\begin{array}{ll} W(t)t^{-1}\frac{\partial\varphi(\Phi)}{\partial n_Q}{\rm d}\nu(t, \Phi), & ~~~~~~~~ Q\in S_n(\Omega; (1, \infty)), \\ 0, &~~~~~~~~ Q\in {\bf R}^{n}\backslash S_n(\Omega; (1, \infty)). \end{array}\right. $

下面我们开始叙述我们的主要定理.首先, 我们指出下面的定理2.1分别就$C_n (\Omega)$与$S_n(\Omega)$上的测度估计了与稳态的薛定谔算子有关的Green位势与Poisson积分.

定理 2.1  令$\mu$和$\nu$分别为$C_n(\Omega)$和$S_n(\Omega)$上的两个正测度, 且对于$P\in C_n(\Omega)$满足$G^a_{\Omega}\mu(P) \not\equiv +\infty$和$PI^a_{\Omega}\nu(P)\not\equiv +\infty$.那么对于充分大$L$和充分小$\varepsilon$, 我们断定

$ \begin{equation} \{P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega; (L, \infty)): G^a_{\Omega}\mu(P)\geq V(r)\}\subset\Psi_{\varepsilon}(m_{\mu}) \end{equation} $

(2.1)

和

$ \begin{equation} \{P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega; (L, \infty)): PI^a_{\Omega}\nu(P)\geq V(r)\}\subset\Psi_{\varepsilon}(m_{\nu}). \end{equation} $

(2.2)

注2.2  依据文献[3]和[22]的同样程序, 我们可以证明(2.1)和(2.2)式.因而, 如同文献[22]那样我们将仅仅证明(2.2)式而略过(2.1)式.

令$E$为$C_n(\Omega)$的子集.如果在$C_n(\Omega)$中存在一个正的超函数$\upsilon(P)$使得

$ \inf_{P\in C_n(\Omega)}\frac{\upsilon(P)}{M^a_{\Omega}(P, \infty)}\equiv 0 $

和

$ E\subset H_{\upsilon}, $

此处

$ H_{\upsilon}=\{P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega): \upsilon(P)\geq V(r)\}, $

那么$E$关于$C_n(\Omega)$被认为在$\infty$处为$a$-稀疏集合.

定理 2.3  如果$C_n(\Omega)$的子集$E$关于$C_n(\Omega)$在$\infty$处是$a$-稀疏的, 那么$E$被满足下列不等式

$ \begin{equation} \sum^{\infty}_{k=1}\frac{r_k}{R_k}\frac{V(R_k)W(R_k)}{V(r_k)W(r_k)} < \infty \end{equation} $

(2.3)

的一列球体$B_k\ (k=1, 2, 3, \cdots)$所覆盖, 其中$r_k$是$B_k$的半径, $R_k$是原点与$B_k$的中心之间的距离.

推论 2.4  假设$\upsilon(P)$为$C_n(\Omega)$上的超函数.则当$r\rightarrow\infty$时, $\upsilon (P) V^{-1}(r)$在满足(2.3)式的一列球体$B_k$所覆盖的集合外一致收敛到$c(\upsilon, a)\varphi(\Theta)$, 此处

$ c(\upsilon, a)=\inf_{P\in C_n(\Omega)}\frac{\upsilon(P)}{M^a_{\Omega}(P, \infty)}. $

为更好地进行我们的论述, 首先我们需要以下一些结果.

引理3.1^[5]  如果$P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega)$与$Q=(t, \Phi)\in S_n(\Omega)$, 且满足$0 < \frac{t}{r}\leq \frac{4}{5}$(相应地, $0 < \frac{r}{t}\leq \frac{4}{5})$, 那么我们知道

$ \begin{equation} \frac{\partial G^a_{\Omega}(P, Q)}{\partial n_Q}\thickapprox t^{-1}V(t)W(r)\varphi(\Theta)\frac{\partial \varphi(\Phi)}{\partial n_{\Phi}} \end{equation} $

(3.1)

$ \begin{equation} \mbox{(相应地, }\ \frac{\partial G^a_{\Omega}(P, Q)}{\partial n_Q}\thickapprox V(r)t^{-1}W(t) \varphi(\Theta)\frac{\partial \varphi(\Phi)}{\partial n_{\Phi}}); \end{equation} $

(3.2)

如果$P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega)$和$Q=(t, \Phi)\in S_n(\Omega; (\frac{4}{5}r, \frac{5}{4}r))$, 那么我们知道

$ \begin{equation} \frac{\partial G^0_{\Omega}(P, Q)}{\partial n_Q}\lesssim \frac{\varphi(\Theta)}{t^{n-1}}\frac{\partial \varphi(\Phi)}{\partial n_{\Phi}} +\frac{r\varphi(\Theta)}{|P-Q|^{n}}\frac{\partial \varphi(\Phi)}{\partial n_{\Phi}}. \end{equation} $

(3.3)

引理3.2^[5]  对于$S_n(\Omega)$上的正测度$\nu$, 如果存在点序列$P_i=(r_i, \Theta_i)\in C_n(\Omega)$, $r_i\rightarrow\infty(i\rightarrow\infty)$使得

$ \int_{S_n(\Omega)}\frac{\partial G^a_{\Omega}(P_i, Q)}{\partial n_Q}{\rm d}\nu(Q) < \infty $

对于$i=1, 2, 3, \cdots$和$Q=(t, \Phi)\in C_n(\Omega)$都成立.则对于正数$\ell$我们得到

$ \int_{S_n(\Omega; \ell, \infty)}W(t)t^{-1}\frac{\partial\varphi(\Phi)}{\partial n_{\Phi}}{\rm d}\nu(t, \Phi) < \infty $

和

$ \lim_{R\rightarrow\infty}\frac{W(R)}{V(R)}\int_{S_n(\Omega; 0, R)}V(t)t^{-1} \frac{\partial\varphi(\Phi)}{\partial n_{\Phi}}{\rm d}\nu(t, \Phi)=0. $

引理3.3 假设$m$是${\bf R}^{n}$上具备有限整体质量的任意正测度, 且$\varepsilon$为正数.则$\Psi_{\varepsilon}(m)$为满足

$ \sum^{\infty}_{j=1}\frac{r_j}{R_j}\frac{V(R_j)W(R_j)}{V(r_j)W(r_j)} < \infty $

的一列球体$B_j\ (j=1, 2, 3, \cdots)$所覆盖, 此处$r_j$是$B_j$的半径, $R_j$是原点与$B_j$的中心之间的距离.

证 假设$E$是$C_n(\Omega)$的子集, $k\geq2$为任意正整数.令

$ E(k)=E\cap C_n(\Omega; [2^k, 2^{k+1})) $

和

$ \Psi_{\varepsilon, k}(m)=\Psi_{\varepsilon}(m)\cap E(k)~~(k=2, 3, \cdots). $

如果$P=(r, \Theta)\in\Psi_{\varepsilon, k}(m)$, 那么存在正数$\rho(P)(\rho(P)\leq\frac{r}{2})$使得

$ \begin{eqnarray*} V^{-1}(\rho(P))W^{-1}(\rho(P))\rho(P)&\leq &V^{-1}(r)W^{-1}(r)r\varepsilon^{-1}m(B(P, \rho(P)))\\ &\leq &V^{-1}(2^k)W^{-1}(2^{k+1})2^{k+1}\varepsilon^{-1}\parallel m\parallel. \end{eqnarray*} $

因而, $\Psi_{\varepsilon, k}(m)$存在一个覆盖$\{B(P, \rho(P)); P\in\Psi_{\varepsilon, k}(m)\}$满足下列式子

$ \sup_{P\in\Psi_{\varepsilon, k}(m)}\rho(P) < \infty. $

依据Besicovitch覆盖定理, 存在一列覆盖$\Psi_{\varepsilon, k}(m)$, 且至多$N$次彼此相交的可数子族$\{B(P_{k, i}, $$\rho_{k, i})\} (\rho_{k, i}=\rho(P_{k, i}))$, 此处$N$仅仅与维数$n$有关. 既然对于任意$p\in\Psi_{\varepsilon, k}(m)$,

$ B(P, \rho(P))\cap E(k+2)=\phi~\textrm{和}~B(P, \rho(P))\cap E(k-2)=\phi, $

我们可以推出

$ \begin{eqnarray*} \varepsilon\sum_{i}\frac{\rho_{k, i}}{\mid P_{k, i}\mid}\frac{V(\mid P_{k, i}\mid)W(\mid P_{k, i}\mid)}{V(\rho_{k, i})W(\rho_{k, i})}&\leq & \sum_{i}m(B(P, \rho(P)))\\ &\leq &Nm(E(k-1)\cup E(k)\cup E(k+1)). \end{eqnarray*} $

故$\cup_{k}\Psi_{\varepsilon, k}(m)$被满足下列不等式

$ \sum_{k, i}\frac{\rho_{k, i}}{\mid P_{k, i}\mid}\frac{V(\mid P_{k, i}\mid)W(\mid P_{k, i}\mid)}{V(\rho_{k, i})W(\rho_{k, i})}\leq 3N\parallel m\parallel\varepsilon^{-1} $

的一列球体$\{B(P_{k, i}, \rho_{k, i})\}$ ($k=2, 3\cdots; i=1, 2\cdots$)所覆盖.既然

$ \Psi_{\varepsilon}(m)\cap \{P=(r, \Theta)\in {\bf R}^n; r\geq4\}= \bigcup^{\infty}_{k=2}\Psi_{\varepsilon, k}(m), $

则覆盖$\Psi_{\varepsilon}(m)$的一列球体$\{B(P_{k, i}, \rho_{k, i}), B(P_0, 6)\}$ ($k=2, 3\cdots; i=1, 2\cdots$)满足

$ \sum_{k, i}\frac{\rho_{k, i}}{\mid P_{k, i}\mid}\frac{V(\mid P_{k, i}\mid) W(\mid P_{k, i}\mid)}{V(\rho_{k, i})W(\rho_{k, i})}\leq 3N\parallel m\parallel\varepsilon^{-1}+\parallel m\parallel\varepsilon^{-1} < \infty, $

其中$B\left( {{P_0},6} \right)\left( {{P_0} = \left( {1,2, \cdots ,0} \right) \in {{\rm{\boldsymbol{R}}}^n}} \right)$是覆盖$\{P=(r, \Theta)\in {\bf R}^n; r < 4\}$的球体.

定理2.1的证明  对于任意点$P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega)$, 我们令

$ \begin{equation} PI^a_{\Omega}\nu(P)=I_1(P)+I_2(P)+I_3(P), \end{equation} $

(4.1)

此处

$ I_i(P)=\int_{S_n(\Omega; J_i)}\frac{\partial G^a_{\Omega}(P, Q)}{\partial n_{Q}}{\rm d}\nu(Q)~~(i=1, 2, 3), $

其中$J_1=(0, \frac{4r}{5}]$, $J_2=(\frac{4r}{5}, \frac{5r}{4})$和$J_3=[\frac{5r}{4}, \infty)$.

由于引理3.1的式子(3.1)和$\varphi(\Theta)(\Theta\in\Omega)$的有界性, 我们首先可以得到

$ I_1(P)\leq AV(r)\frac{W(\frac{4r}{5})}{V(\frac{4r}{5})}\int_{S_n(\Omega; (0, \frac{4r}{5}])}V(t)t^{-1} \frac{\partial\varphi(\Phi)}{\partial n_{\Phi}}{\rm d}\nu(t, \Phi), $

因此应用引理3.2知道

$ \begin{equation} I_1(P)=o(1)V(r), ~\textrm{当}~r\rightarrow\infty. \end{equation} $

(4.2)

同理我们得到

$ I_3(P)\leq AV(r)\int_{S_n(\Omega; [\frac{5r}{4}, \infty))}W(t)t^{-1} \frac{\partial\varphi(\Phi)}{\partial n_{\Phi}}{\rm d}\nu(t, \Phi), $

因而根据引理3.2有

$ \begin{equation} I_3(P)=o(1)V(r), ~\textrm{当}~r\rightarrow\infty. \end{equation} $

(4.3)

既然$\frac{\partial G^a_{\Omega}(P, Q)}{\partial n_{Q}}\leq\frac{\partial G^0_{\Omega}(P, Q)}{\partial n_{Q}}$, 由于引理3.1我们可以令

$ \begin{equation} I_2(P)\leq I_{2, 1}(P)+I_{2, 2}(P), \end{equation} $

(4.4)

其中

$ I_{2, 1}(P)\leq A\int_{S_n(\Omega; (\frac{4r}{5}, \frac{5r}{4}))} \frac{\varphi(\Theta)}{W(t)t^{n-2}}{\rm d}m_{\nu}(Q); $

$ I_{2, 2}(P)\leq A\int_{S_n(\Omega; (\frac{4r}{5}, \frac{5r}{4}))} \frac{tr\varphi(\Theta)}{W(t)\mid P-Q\mid^{n}}{\rm d}m_{\nu}(Q) $

既然$\varphi(\Theta)$在$\Omega$上有界, 我们推得

$ \begin{equation} I_{2, 1}(P)\leq AV(r)\int_{S_n(\Omega; (\frac{4r}{5}, \frac{5r}{4}))}{\rm d}m_{\nu}(Q)=o(1)V(r), ~\textrm{当}~r\rightarrow\infty. \end{equation} $

(4.5)

选取充分小的正数$\varepsilon_0$, 使得对于任意$P\in(r, \Theta)\in\Lambda(\varepsilon_0)$满足$S_n(\Omega; (\frac{4r}{5}, \frac{5r}{4}))\subset B(P, \frac{r}{2})$, 此处

$ \Lambda(\varepsilon_0)=\{Q=(t, \Phi)\in C_n(\Omega): \inf_{Z\in\partial\Omega} \mid(1, \Phi)-(1, Z)\mid\leq\varepsilon_0, 0 < t < \infty\}, $

且把$C_n(\Omega)$分成两个集合$\Lambda(\varepsilon_0)$和$C_n(\Omega)\backslash\Lambda(\varepsilon_0)$.

如果$P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega)\backslash\Lambda(\varepsilon_0)$, 那么存在一个正常数$\varepsilon_1$使得$\mid P-Q\mid>\varepsilon_1r$对于任意$Q\in S_n(\Omega)$都成立.因而

$ \begin{equation} I_{2, 2}(P)\leq AV(r)\int_{S_n(\Omega; [\frac{5r}{4}, \infty))}{\rm d}m_{\nu}(Q)=o(1)V(r), ~\textrm{当}~r\rightarrow\infty. \end{equation} $

(4.6)

接着我们考虑$P\in \Lambda(\varepsilon_0)$的情形.令

$ F_i(P)=\Big\{Q\in S_n(\Omega, (\frac{4r}{5}, \frac{5r}{4})):2^{i-1}\delta(P) < \mid P-Q\mid < 2^{i}\delta(P) \Big\}, $

其中$\delta(P)=\inf_{Q\in \partial C_n(\Omega)}\mid P-Q\mid$.既然$S_n(\Omega)\cap\{Q\in{\bf R}^{n}: \mid P-Q\mid < \delta(P)\}=\phi$, 我们知道

$ I_{2, 2}(P)=\sum^{i(P)}_{i=1}A\int_{F_i(P)}\frac{ {\rm tr}\varphi(\Theta)}{W(t)\mid P-Q\mid^{n}}{\rm d}m_{\nu}(Q), $

此处$i(P)$是满足不等式$2^{i-1}\delta(P) < \frac{r}{2} < 2^{i}\delta(P)$的正整数.

既然$r\varphi(\Theta)\leq A\delta(P)(P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega))$, 我们推得下列不等式

$ \int_{F_i(P)}\frac{{\rm tr}\varphi(\Theta)}{W(t)\mid P-Q\mid^{n}}{\rm d}m_{\nu}(Q)\leq \frac{Ar\delta(P)m_{\nu}(F_i(P))}{(2^{i-1}\delta(P))^{n}W(r)}, $

此处$i=0, 1, \cdots, i(P)$.假设$P\in C_n(\Omega)\backslash\Psi_{\varepsilon}(m_{\nu})$, 其中$\varepsilon>0$.则我们知道

$ \begin{eqnarray*} &&m_{\nu}(F_i(P))V(2^{i}\delta(P))W(2^{i}\delta(P))2^{-i}\delta^{-1}(P)\\ &\leq &m_{\nu}(B(P, 2^{i}\delta(P)))V(2^{i}\delta(P))W(2^{i}\delta(P))2^{-i}\delta^{-1}(P)\\ &\leq &\widetilde{M}(P, m_{\nu})\leq\varepsilon V(r)W(r)r^{-1}, \end{eqnarray*} $

此处$i=0, 1, \cdots, i(P)-1$, 且

$ \begin{eqnarray*} &&m_{\nu}(F_{i(P)}(P))V(2^{i(P)}\delta(P))W(2^{i(P)}\delta(P))2^{-i(P)}\delta^{-1}(P)\\ &\leq &m_{\nu}(B(P, \frac{r}{2}))V(\frac{r}{2})W(\frac{r}{2})(\frac{r}{2})^{-1}\\ &\leq & A\widetilde{M}(P, m_{\nu})\leq A\varepsilon V(r)W(r)r^{-1}, \end{eqnarray*} $

因而, 我们可以推得

$ \begin{equation} I_{2, 2}(P)\leq A\varepsilon V(r). \end{equation} $

(4.7)

由式子(4.1)到(4.7)我们断言, 如果$L$充分大, $\varepsilon$充分小, 那么不等式$PI^a_{\Omega}\nu(P) < V(r)$对于任意$P\in C_n(\Omega;(L, \infty))\backslash\Psi_{\varepsilon} (m_{\nu})$成立.

定理2.3的证明  既然$C_n(\Omega)$的子集$E$关于$C_n(\Omega)$在$\infty$处是$a$-稀疏的, 那么$C_n(\Omega)$上存在正的超函数$\upsilon(P)$使得

$ \inf_{P\in C_n(\Omega)}\frac{\upsilon(P)}{M^a_{\Omega}(P, \infty)}\equiv 0 $

和

$ E\subset\{P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega): \upsilon(P)\geq V(r)\}. $

对于同样的函数$\upsilon(P)$, 存在$C_n(\Omega)$上的唯一正测度$\mu'$和$S_n(\Omega)$上的唯一正测度$\nu'$使得

$ \upsilon(P)=c_o(\upsilon, a)M^a_{\Omega}(P, O) +G^a_{\Omega}\mu'(P)+PI^a_{\Omega}\nu'(P). $

令

$ B^{(1)}=\Big\{P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega): c_o(\upsilon, a)M^a_{\Omega}(P, O)\geq \frac{V(r)}{3}\Big\};\\ B^{(2)}=\Big\{P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega): G^a_{\Omega}\mu'(P)\geq \frac{V(r)}{3}\Big\};\\ B^{(3)}=\Big\{P=(r, \Theta)\in C_n(\Omega): PI^a_{\Omega}\nu'(P)\geq \frac{V(r)}{3}\Big\}. $

则我们知道

$ \begin{equation} E\subset B^{(1)}\cup B^{(2)}\cup B^{(3)}. \end{equation} $

(4.8)

对于每个$B^{(i)}\ (i=1, 2, 3)$, 我们不得不选取一列球体覆盖它.

显然$B^{(1)}$被满足不等式

$ \begin{equation} \frac{r_1}{R_1} < \infty \end{equation} $

(4.9)

的有限球体$B_1$所覆盖, 其中$r_1$是$B_1$的半径, $R_1$原点与$B_1$的中心之间的距离.关于被定义为$\mu=3\mu'$和$\nu=3\nu'$的测度$\mu$和$\nu$, 如果我们应用定理2.1, 那么存在两个正常数$L$和$\varepsilon$分别使得$B^{(2)}\cap C_n(\Omega; (L, \infty))\subset\Psi_{\varepsilon}(m_{\mu})$和$B^{(3)}\cap C_n(\Omega; (L, \infty))\subset\Psi_{\varepsilon}(m_{\nu})$.根据引理3.3集合$\Psi_{\varepsilon}(m_{\mu})$和$\Psi_{\varepsilon}(m_{\nu})$分别为满足下列两个不等式

$ \sum^{\infty}_{j=1}\frac{r^{(2)}_j}{R^{(2)}_j}\frac{V(R^{(2)}_j)W(R^{(2)}_j)}{V(r^{(2)}_j)W(r^{(2)}_j)} < \infty ~~\textrm{和}~~\sum^{\infty}_{j=1}\frac{r^{(3)}_j}{R^{(3)}_j} \frac{V(R^{(3)}_j)W(R^{(3)}_j)}{V(r^{(3)}_j)W(r^{(3)}_j)} < \infty $

的两球体序列$B^{(2)}_j$和$B^{(3)}_j$ $(j=1, 2, 3)$所覆盖, 其中$r^{(2)}_j$(相应地, $r^{(3)}_j)$是$B^{(2)}_j$(相应地, $B^{(3)}_j)$的半径, $R^{(2)}_j$ (相应地, $R^{(3)}_j)$是原点与球体$B^{(2)}_j$(相应地, $B^{(3)}_j)$中心之间的距离.故$B^{(2)}$和$B^{(3)}$被满足两个不等式

$ \begin{equation} \sum^{\infty}_{j=0}\frac{r^{(2)}_j}{R^{(2)}_j}\frac{V(R^{(2)}_j)W(R^{(2)}_j)}{V(r^{(2)}_j)W(r^{(2)}_j)} < \infty ~~\textrm{和}~~\sum^{\infty}_{j=1}\frac{r^{(3)}_j}{R^{(3)}_j}\frac{V(R^{(3)}_j)W(R^{(3)}_j)}{V(r^{(3)}_j)W(r^{(3)}_j)} < \infty \end{equation} $

(4.10)

的两列球体序列$B^{(2)}_j$和$B^{(3)}_j$$(j=1, 2, 3)$所覆盖, 此处$B^{(2)}_0$为覆盖$C_n(\Omega; (0, L])$的额外有限球体.根据$B_1$, $B^{(2)}_j$$(j=1, 2, \cdots)$和$B^{(3)}_j$$(j=0, 1, 2, \cdots)$的重排, 从式(4.8)我们知道球体序列$B_k$$(k=0, 1, 2, \cdots)$覆盖集合$E$, 且由式(4.9)和(4.10)知其满足式(2.3).