统计物理中金刚石型等级晶格的模型展现了它的配分函数零点的极限点集与一类有理函数的Julia集之间存在重要的联系, 即配分函数零点的极限点集必包含这类有理函数的Julia集.在过去的六十多年里, 上述结论吸引了许多物理学家与数学家去研究相变问题与金刚石型等级晶格模型的配分函数零点的极限点集的定量关系(参见文献[1-7, 16]), 其中配分函数为Z=Z(z, t)是关于变量z与t的Laurent多项式, t是温度.当$t \in [0,1]$固定时, 配分函数Z=Z(z, t)关于z的复零点称为Yang-Lee零点, 而Z=Z(z, t)关于t变量的零点称为Fisher零点(参见文献[2]).著名的Yang-Lee定理^{[6, 14]}把自由能量延拓为复温度的函数, 继而将物理相位拓广为这个函数的解析区域(参见文献[13-14]), 其中自由能量是Z=Z(z, t)的对数.易知这些区域的边界是配分函数零点的极限点集.用严格的数学方法证明了某些金刚石型等级晶格的配分函数Z=Z(z, t)的零点位于复平面的单位圆周上, 且自由能量的复奇点落在一条直线上.然而, Fisher零点不同于Yang-Lee零点, Fisher零点不位于单位圆周上.例如对正则二维晶格来说, 它的Fisher零点位于两个Fisher圆周$|t \pm 1|=\sqrt{2}$的并集上(参见文献[2]).

众所周知不同类型的铁磁Ising模型可以通过增加尺寸(加细)来得到, 因而本文关于反铁磁链对应的金刚石型等级晶格是如下定义的一列图$\{\Gamma_n\}$:首先$\Gamma_1$是由两个顶点与一条棱所构成的; 其次$\Gamma_2$是通过在$\Gamma_1$的两个外顶点之间插入两个3 -棱结构所得到; 最后利用归纳法, $\Gamma_{n+1}$是在把$\Gamma_n$的每条棱替换为晶格$\Gamma_2$基础上得到的.我们利用这个模型研究反铁磁链的金刚石型等级晶格和她的配分函数Z_n零点的渐近分布, 研究这个模型的动机来源于金刚石型等级晶格标准模型q=2的特殊情形, 它吸引了我们研究反铁磁链相变问题的性态.这物理模型描述了反铁磁链的金刚石型等级晶格上的$\lambda$态Potts模型, Yang-Lee零点的极限点集实际上是次数为6的有理函数$T_\lambda(z)$的Julia集(参见文献[4, 5, 12]), 这里

$ \begin{eqnarray*} T_\lambda(z)=\left(\frac{z^3+ 3(\lambda - 1)z+(\lambda - 1)(\lambda - 2)}{3z^2+3(\lambda - 2)z +\lambda^2 - 3\lambda+3}\right)^2, \end{eqnarray*} $

其中$\lambda \in {\Bbb R}$.最近乔在文献[13]中研究这族有理函数$T_{\lambda}: \overline{{\Bbb C}} \rightarrow \overline{{\Bbb C}}$的Julia集性质.为了陈述他的结论, 先记

$ \begin{eqnarray} \alpha_0=\min_{1 <t <2}\frac{(t^2 - 1)(\sqrt{4t+1} - 3)}{2}, \quad \beta_0=\max_{1 <t <2}\frac{(1 - t^2)(\sqrt{4t+1}+3)}{2}. \end{eqnarray} $

(1.1)

当$\lambda \neq 0$时, 对(1.1)式求导得

$ \begin{eqnarray*} T_\lambda'(z)=6\frac{z^3+3(\lambda - 1)z+(\lambda - 1)(\lambda - 2)}{(3z^2+3(\lambda - 2)z+\lambda^2 - 3\lambda +3)^3}(z - 1)^2(z - 1+\lambda)^2, \end{eqnarray*} $

(1.2)

则$T_\lambda(z)$有八个临界点: 1(2重), $1 - \lambda$(2重), $\infty, \xi_0, \xi_1, \xi_2, \eta_1, \eta_2$, 其中$\xi_j(j=0, 1, 2)$是$T_\lambda(z)$的零点且$\eta_j(j=1, 2)$是$T_\lambda(z)$的极点.不难得知z=1与$\infty$是$T_\lambda(z)$两个吸性不动点, 记$A_\lambda(1)$和$A_\lambda(\infty)$分别是1与$\infty$的直接吸引盘.现在陈述乔的结论如下:

定理A^[13]  当$\lambda \in {\Bbb R}$时, 则

(ⅰ)当$\lambda \in [\alpha_0, 0)\cup \{3+\sqrt{2}\}$时, 存在$F(T_\lambda)$的单连通的完全不变分支$A_\lambda(1)$, 使得$\partial A_\lambda(1)=J(T_\lambda)$且$F(T_\lambda)\setminus A_\lambda(1)$由无穷多个Jordan区域组成;

(ⅱ)当$\lambda \in(0, 3- \sqrt{2})$时, 存在$F(T_\lambda)$的单连通的完全不变分支$A_\lambda(q_1)$, 使得$\partial A_\lambda(q_1)=J(T_\lambda)$且$F(T_\lambda)\setminus A_\lambda(q_1)$由无穷多个Jordan区域组成;

(ⅲ)当$\lambda \in [3-\sqrt{2}, \beta_0]$时, $F(T_\lambda)$由无穷多个Jordan区域组成且只有三个周期分支$A_\lambda(q_1)$, $A_\lambda(1)$与$A_\lambda(\infty)$;

(ⅳ)当$\lambda \in(- \infty, \alpha_0)\cup \{0\} \cup(3+\sqrt{2}, +\infty)$时, $F(T_\lambda)$仅由两个Jordan区域$A_\lambda(1)$与$A_\lambda(\infty)$组成;

(ⅴ)当$\lambda \in(\beta_0, 3+\sqrt{2})$时, 存在$F(T_\lambda)$的无穷连通的完全不变分支$A_\lambda(1)$使得$\partial A_\lambda (1)=J (T_\lambda)$且$F(T_\lambda)\setminus A_\lambda(1)$由无穷多个Jordan区域组成.

这里$q_1$是$T_\lambda(z)$的一个实不动点.

本文继续研究这族有理函数的Julia集的拓扑与几何性质.根据上述结论可知当$|\lambda|$充分大时, $T_\lambda(z)$仅有两个完全不变的吸性Fatou分支, 且$J(T_\lambda(z))$是拟圆周(即圆周在拟共形映照下的像).很自然地提出下面两个猜想:

(a)当$\lambda \rightarrow \infty$时, $J(T_\lambda)$的渐近形态是什么?

(b)当$\lambda \rightarrow \infty$时, 能否得到$J(T_\lambda)$的Hausdorff维数${\rm dim}_H(J(T_\lambda))$的渐近估计?

本文研究并解决了这个两个问题从而得到下述结论.

定理1  对充分大的λ使得$J(T_\lambda)$是拟圆周时, 存在一个圆环$H_\lambda=\{z : r_\lambda <|z| <R_\lambda\}$使得

(1)当$\lambda \rightarrow \infty$时, ${\rm mod}(H_\lambda)\rightarrow 0$使得$J(T_\lambda)\subset H_\lambda$;

(2)当$\lambda \rightarrow \infty$时, ${\rm dim}_H(J(T_\lambda))\rightarrow 1$;

(3)对充分大的λ使得$J(T_\lambda)$是拟圆周时, $J(T_\lambda)$的Hausdorff维数为

$ {\rm dim}_H(J(T_\lambda))=1+\frac{1}{4\log6}|\lambda|^{- \frac{2}{5}}+O(\lambda^{- \frac{3}{5}}). $

由定理A知, 当$\lambda \in {\Bbb R} \setminus(\beta_0, 3+\sqrt{2})$时, $J(T_\lambda)$是连通的且$J(T_\lambda)$位于某个Fatou分支的边界上; 当$\lambda \in [\beta_0, 3+\sqrt{2}]$时, $J(T_\lambda)$不连通且$J(T_\lambda)$没有位于某个Fatou分支的边界上.当$\lambda \in {\Bbb R}$时, $J(T_\lambda)$局部连通.通过研究我们得到如下的结论:

定理2  当$\lambda \in [3-\sqrt{2}, \beta_0]$时, $J(T_\lambda(z))$有淹没点但没有淹没分支.

这里函数R的淹没Julia集J_r(R)指的是J(R)中的不在F(R)的Fatou分支边界上的点集.如果J(R)某个分支在J_r(R)中, 则称该分支为J(R)的淹没分支.众所周知, Sierpinski carpet在分形几何里是一个比较常见和重要的研究对象.它具有非常丰富的拓扑和几何性质.Sierpinski分形的产生方法如下:把一个正方形分成均等的九份, 去掉中间的一份, 然后对剩下的正方形进行同样的操作无穷次, 最后得到的那个图形就是Sierpiński分形.Sierpinski曲线是指同胚于Sierpinski分形的几何图形.根据文献[18], 一个平面上的紧集是一条Sierpinski曲线当且仅当同胚于一个连通的且局部连通的、无处稠密的并且任何两个余集区域的边界都是互相不交的简单闭曲线的紧集.一个平面紧集除了它的余集区域的边界相交之外它满足Sierpiński曲线的所有条件, 我们称该集合为退化的Sierpiński曲线.

定理3  当$\lambda \in {\Bbb R}$时, Julia集$J(T_\lambda)$不是一条Sierpinski曲线.特别地当$\lambda \in {\Bbb R} \setminus(\beta_0, 3+\sqrt{2})$时, $J(T_\lambda)$是一条退化的Sierpiński曲线.

假设$R : \overline{{\Bbb C}} \rightarrow \overline{{\Bbb C}}$是一个级为$\deg(R)\geq 2$的有理函数且R_n是R的n次迭代.点z称为周期点, 如果对某个正整数k, $R^k(z)=z$, 其中最小的k称为z的周期.Julia集J(R)定义为R的斥性周期点的闭包, 记$F(R)=\overline{{\Bbb C}}\setminus J(R)$, 则称F(R)为R的Fatou集.如果B是平面上的一个二连通区域, 则B共形等价于一个环$A=\{z : r_1 <|z| <r_2 \}$, 则B的模mod (B)为${\rm mod}(B)=\frac{1}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}$(${\rm mod}(B)=\infty$, 当$r_1=1$时).设$\phi$是B的共形映照, 则${\rm mod}(B)={\rm mod}(\phi(B))$(参见文献[9-11]).设E是$\overline{{\Bbb C}}$的子集, $(\Lambda, \lambda_0)$是一个连通的复流形, 函数$h_\lambda(z): \Lambda \times E \rightarrow \overline{{\Bbb C}}$称为E的以$\Lambda$为参数空间, $\lambda_0$为基点的全纯运动, 如果该函数$h_\lambda(z): \Lambda \times E \rightarrow \overline{{\Bbb C}}$满足下述条件:

(1)对每个$\lambda \in \Lambda$, $h_\lambda$在E上是一个单射;

(2)对每个$z \in E$, $h_\lambda(z)$是$\lambda \in \Lambda$的全纯函数;

(3)$h_{\lambda_0}$是恒等映射(参见文献[8]和[9, 第4章]).

为证明上述定理, 我们需要下面的结论.

引理2.1  对每个$\lambda \in {\Bbb R}$, 存在$T_\lambda(z)$的两个Fatou分支${V_1}, {V_2}$使得$\overline{V_1} \bigcap \overline{V_2} \neq \emptyset$.

证  当$\lambda=0$时, 则$T_0(z)=(\frac{z+2}{3})^2$只有唯一的临界点-2.易知$T_0(z)$有两个实不动点1, 4且J(T₀)是一条Jordan曲线.令$V_1=A_\lambda(1)$ and $V_2=A_\lambda(\infty)$, 其中$A_\lambda(1)$与$A_\lambda(\infty)$分别是1与$\infty$的直接吸性域.由此可得$\overline{V_1} \bigcap \overline{V_2}=J(T_0)\neq \emptyset$.

当$\lambda \in {\Bbb R} \setminus\{0\}$时, 我们把$T_{\lambda}$限制在实轴上研究其动力学性质.我们得到如下断言: $T_\lambda(x)=\left(\frac{x^3+3(\lambda - 1)x+(\lambda - 1)(\lambda - 2)}{3x^2+3(\lambda - 2)x+\lambda^2 - 3\lambda+3}\right)^2$在$[1, +\infty)$上单调递增.设$x \in {\Bbb R}$, 通过简单的计算可得

$ T_\lambda'(x)=6\frac{x^3+3(\lambda-1)x+(\lambda- 1)(\lambda-2)}{(3x^2+3(\lambda -2)x+\lambda^2 - 3\lambda +3)^3}(x - 1)^2(x - 1+\lambda)^2. $

记$h(x)=x^3+3(\lambda - 1)x+(\lambda - 1)(\lambda - 2)$, 则h(x)仅有一个实零点$x_0=(\lambda - 1)^{\frac{1}{3}} -(\lambda - 1)^{\frac{2}{3}}$.当$\lambda \in(- \infty, 1] \cup [2, +\infty)$时$x_0 \leq 0$; 当$\lambda \in(1, 2]$时$x_0 \in(0, 1)$.注意到$h(1 - \lambda)=(1 - \lambda)\lambda^2$, 因此当$\lambda \in(1, \infty)$时, 则$h(1 - \lambda)<0$且$x_0 > 1 - \lambda$; 当$\lambda \in(-\infty, 0)\cup(0, 1)$时, 则$h(1 - \lambda)> 0$与$x_0 <1 - \lambda$.

不难得知当$\lambda <0$时, $x_0 <1 <1 - \lambda$.另一方面, $T_\lambda(x_0)=0, T_\lambda(1)=1, T_\lambda(1 - \lambda)=(1 - \lambda)^2$.由于$T_\lambda(x)$除了$x_0, 1, 1 - \lambda$没有其他的临界点; 且当$x \rightarrow \pm \infty$时, $T_\lambda(x)\rightarrow+\infty$, 由此可得$T_\lambda(x)$在$(-\infty, x_0)$上单调递减; $T_\lambda(x)$在$(x_0, +\infty)$上单调递增.当$\lambda > 0$时, 通过类似的讨论得到$T_\lambda(x)$在$(-\infty, x_0)$上单调递减而$T_\lambda(x)$在$(x_0, +\infty)$上单调递增.注意到当$\lambda \in {\Bbb R} \setminus\{0\}$时, $x_0 <1$.因此$T_\lambda(x)$在$[1, +\infty)$上单调递增.于是完成了断言的证明.

设x > 1, 由于1是$T_\lambda$的超吸性不动点与$T_\lambda(x)$在$[1, +\infty)$上单调递增, 则$T_\lambda'(x)=0$当且仅当x=1.下面我们证明$T_\lambda(x)$在$(1, +\infty)$内至少存在一个不动点.如若不然, 对所有x > 1, 则$1 <T_\lambda(x)<x$, 这是因为$T_\lambda(1)=1$和$T_\lambda'(1)=0$.所以一定存在1的一个吸性盘使得此吸性盘包含开区间$(1, +\infty)$.这与$\infty$是$T_\lambda$的超吸性不动点矛盾.

假设$x_0, x_1, \ldots, x_n$是$T_\lambda(x)$的不动点且使得$1=x_0 <x_1 <\cdots <x_n <+\infty$.易见当$x > x_n$时$T_\lambda(x)> x$, $(x_n, \infty)\subset A_\lambda(\infty)$, 且$T_\lambda'(x_n)\geq 1$.当$T_\lambda'(x_n)=1$时, 因此x_n是$T_\lambda$的一个抛物不动点, 从而在x_n的左侧存在一个包含在$A_\lambda(x_n)$内的小区间, 其中$A_\lambda(x_n)$是x_n的直接抛物盘.记$V_1=A_\lambda(x_n)$, $V_2=A_\lambda(\infty)$, 显然$x_n \in \overline{V_1} \bigcap \overline{V_2}$.当$T_\lambda'(x_n)> 1$时, 可知x_n是$T_\lambda$的斥性不动点, 而$x_{n- 1}$是$T_\lambda$的吸性不动点.所以$[x_{n- 1}, x_n)$包含在$A_\lambda(x_{n- 1})$内, 其中$A_\lambda(x_{n- 1})$是$x_{n - 1}$的直接吸性盘.令$V_1=A_\lambda(x_{n - 1})$, $V_2=A_\lambda(\infty)$, 则$x_n \in \overline{V_1} \bigcap \overline{V_2}$.于是我们完成了引理2.1的证明.

为计算$J(T_\lambda)$的Hausdorff维数, 还需要下述结论(参见文献[6]中定理9.1, 命题9.6与9.7).

引理2.2^[6]   设D是${\Bbb R}^n$的一闭子集, 如果$S_1, \cdots, S_m$是D上的压缩映照使得$|S_i(x)- S_i(y)| \leq c_i|x - y|$($c_i <1$).则

(1)存在唯一的非空紧集J使得$J=\bigcup\limits^m_{i=1} S_i(J)$;

(2)J的Hausdorff维数${\rm dim}_H(J)$满足${\rm dim}_H(J)\leq s$, 其中$\bigcup\limits^m_{i=1} c^s_i=1$;

(3)进一步地, 如果有$|S_i(x)- S_i(y)| \geq b_i|x - y|$($0 <b_i <1$), 则${\rm dim}_H(J)\geq s'$, 其中$\bigcup\limits^m_{i=1} b^{s'}_i=1$.

假设R是次数至少为2的有理函数, Fix (R)为R在Julia集中所有不动点的集合, 于是得到下述结论(参见文献[17, 引理7.3]).

引理2.3^[17]  设R是双曲有理函数且其Julia集J(R)是拟圆周, 则J(R)的Hausdorff维数$D={\rm dim}_H(J(R))$是由$A_n(D)=O(1)$($n \rightarrow \infty$)由决定, 其中

$ A_n(D)=\sum\limits_{z \in {\rm Fix}(R^n)}|(R^n)'(z)|^{- D}. $

定理1的证明   (1)首先给出定理1前两部分的证明.从定理A可知, 当$|\lambda|$充分大时, $J(T_\lambda)$是一条Jordan曲线.易知$J(T_\lambda)$是拟圆周.这里只需证明$\lambda > 0$的情形, 当$\lambda <0$时, 可类似证明.先证明当$\lambda \rightarrow \infty$时, 则$d_H(J(T_\lambda))\rightarrow 1$.

令$\phi(z)=\lambda^{-\frac{4}{5}}(z - 1)$, 则

$ \begin{equation} T^*_{\lambda}(z)=\phi \circ T_{\lambda} \circ \phi^{-1}(z)=z^3\frac{z^3+6\lambda^{-\frac{4}{5}}z^2 +6\lambda^{-\frac{3}{5} }z+2\lambda^{-\frac{2}{5}}}{(3\lambda^{-\frac{2}{5}}z^2+3\lambda^{-\frac{1}{5}}z+1)^2}. \end{equation} $

(3.1)

易知

$ {\rm dim}_H(J(T^*_{\lambda}))={\rm dim}_H(T_{\lambda}), \hspace{0.2cm} T^*_{\lambda}(z)\rightarrow z^6(\lambda \rightarrow \infty). $

定理A告诉我们当λ充分大时$T_{\lambda}$是双曲有理映照, 并结合$\phi$的定义知$T^*_{\lambda}$也是双曲的.显然$f_0(z)=z^6$是双曲映照且${\rm dim}_H(J(z^6))=1$.根据文献[9]的一个结论, 双曲有理映照Julia集的Hausdorff维数实解析地依赖于其参数, 从此可得当$\lambda \rightarrow \infty$时, $d_H(J(T_\lambda))\rightarrow 1$.

再证对充分大的λ, $J(T_{\lambda})$类似于"几何圆周(geometrical circle)".

任取$\varepsilon(0 <\varepsilon <1)$使得$\varepsilon \rightarrow 0$($\lambda \rightarrow+\infty$), 令$\delta_1=1 - \varepsilon$.对所有的$z \in D_{\delta_1}=\{z : |z| \leq \delta_1\}$,

$ \begin{eqnarray*} \left|\frac{z^3+6\lambda^{-\frac{4}{5}}z^2+ 6\lambda^{-\frac{3}{5} }z+ 2\lambda^{-\frac{2}{5}}}{(3\lambda^{-\frac{2}{5}}z^2+ 3\lambda^{-\frac{1}{5}}z+1)^2}\right| \leq \frac{\delta^3_1+ 6\lambda^{-\frac{4}{5}}\delta^2_1+6\lambda^{-\frac{3}{5} }\delta_1 +2\lambda^{-\frac{2}{5}}}{(1 - 3\lambda^{-\frac{2}{5}}\delta^2_1 - 3\lambda^{-\frac{1}{5}}\delta_1)^2}.\end{eqnarray*} $

由(3.1)式可知, 存在常数$\lambda_1 > 0$, 使得当$z \in D_{\delta_1}$且$\lambda > \lambda_1$时, $|T^*_{\lambda}(z)| \leq \delta_1$.因此当$\lambda > \lambda_1$时, $T^*_{\lambda}$把$D_{\delta_1}$映到$D_{\delta_1}$.

令$\delta_2=1+\varepsilon$.对所有的$z \in D_{\delta_2}=\{z : |z| > \delta_2\}$, 有

$ \begin{eqnarray*} \left|\frac{z^4+6\lambda^{-\frac{4}{5}}z^3 +6\lambda^{-\frac{3}{5} }z^2+2\lambda^{-\frac{2}{5}}z}{(3\lambda^{-\frac{2}{5}}z^2+3\lambda^{-\frac{1}{5}}z+1)^2}\right| \geq \frac{1 - 6\lambda^{-\frac{4}{5}}\frac{1}{\delta_2} - 6\lambda^{-\frac{3}{5} }\frac{1}{\delta^2_2} - 2\lambda^{-\frac{2}{5}}\frac{1}{\delta^3_2}}{(3\lambda^{-\frac{2}{5}}+3\lambda^{-\frac{1}{5}}\frac{1}{\delta_2}+\frac{1}{\delta^2_2})^2}. \end{eqnarray*} $

再由(3.1)式可知, 存在常数$\lambda_2 > 0$, 使得当$z \in D_{\delta_2}$且$\lambda > \lambda_2$时, $|T^*_{\lambda}(z)| \geq \delta_2$.于是当$\lambda > \lambda_2$时, $T^*_{\lambda}$将$D_{\delta_2}$映到$D_{\delta_2}$.

注意到当$\lambda > \lambda_2$时, $D_{\delta_1}$包含在$F(T_\lambda)$内.由上述讨论可知, 当$\lambda > \lambda_0=\max\{\lambda_1, \lambda_2\}$时, $H^*_{\lambda}=J(T^*_{\lambda})\subset \{z : 1- \varepsilon <|z| <1+\varepsilon\}$, 并结合(3.1)式知, $J(T_{\lambda})\subset \{z : \lambda^{\frac{4}{5}}(1- \varepsilon)<|z - 1| <\lambda^{\frac{4}{5}}(1+\varepsilon)\}=H_{\lambda}$.当$\lambda \rightarrow+\infty$时, 则$\ln(1 - \varepsilon)\approx - \varepsilon$, $\ln(1+\varepsilon)\approx \varepsilon$.因此$\lim\limits_{\lambda \rightarrow \infty} {\rm mod}(H_{\lambda})=\lim\limits_{\lambda \rightarrow \infty}{\rm mod}(H^*_{\lambda})=0$且${\rm mod}(H_{\lambda})={\rm mod}(H^*_{\lambda})=O(\lambda^{-\frac{1}{5}})$.则完成了定理1的前两部分的证明.

(2)现在我们证明定理1的第三部分.令$\alpha=\lambda^{- \frac{1}{5}}$, 则$\phi (z)=\alpha^4(z -1)$.为计算$J (T_\lambda)$的Hausdorff维数, 先设$J^\ast(T_\alpha)=\{\alpha^4(z - 1): z \in J(T_\lambda)\}$.从(3.1)式可得

$ \begin{eqnarray} T^*_{\alpha}(z)&=&\phi \circ T_{\lambda} \circ \phi^{-1}(z)\nonumber\\ &=&z^3\frac{z^3+6z^2\alpha^4+ 6z\alpha^3+2\alpha^2}{(3z^2\alpha^2+3z\alpha+1)^2} \nonumber\\ &=&z^6 - 6z^7\alpha+(21z^8+2z^3)\alpha^2+O(\alpha^3). \end{eqnarray} $

(3.2)

易知存在常数$\epsilon > 0$使得$T^*_{\alpha}(z): D_\epsilon \times \overline{{\Bbb C}} \rightarrow \overline{{\Bbb C}}$是复球面上的以$D_\epsilon$为参数空间的双曲有理映照全纯族, 这里的双曲有理映照全纯族$T^*_{\alpha}(z)$指的是满足如下条件的函数族:(1)对固定的$\alpha \in D_\epsilon$, $T^*_{\alpha}(z)$是z的双曲有理函数; (2)对固定的$z \in \overline{{\Bbb C}}$, $T^*_{\alpha}(z)$是全纯函数, 其中$D_\epsilon=\{z: |z| <\epsilon\}$.注意到Hausdorff维数在共形映射中是不变的, 所以只需考虑$T^*_{\alpha}$的Hausdorff维数${\rm dim}_H(J(T^\ast_\alpha))$($\alpha \in D_\epsilon$), 因为${\rm dim}_H(J(T^\ast_\alpha))={\rm dim}_H(J(T_\lambda))$.不妨记$J^\ast(T_\alpha)=J(T^\ast_\alpha)$.

由(3.2)式可知, 当$\alpha=0$, Julia集$J(T^\ast_0)$是单位圆周.所以如果$z \in J(T^\ast_0)$, 则$T^*_0(z)=z^6$.由于$T^*_{\alpha}(z): D_\epsilon \times \overline{{\Bbb C}} \rightarrow \overline{{\Bbb C}}$是双曲有理映照全纯族, 其参数$\alpha \in D_\epsilon$.所以存在$J(T^\ast_0)$的以$D_\epsilon$为参数空间, 以0为基点的全纯运动$\phi_\alpha: J(T^\ast_0)\rightarrow \overline{{\Bbb C}}$, $\phi_\alpha(J(T^\ast_0))=J(T^\ast_\alpha)$且

$ \begin{equation} T^*_{\alpha} \circ \phi_\alpha(z)=\phi_\alpha \circ T^\ast_0(z)=\phi_\alpha(z^6), \end{equation} $

(3.3)

其中$z \in J(T^\ast_0)$.注意$\phi_\alpha$为$J(T^\ast_0)$上的全纯运动, 则$\phi_\alpha$具有下述表达式

$ \begin{equation} \phi_\alpha(z)= z\left(1+u_1(z)\alpha+u_2(z)\alpha^2+O(\alpha^3)) \hspace{0.2cm}(z \in J(T^\ast_0)\right). \end{equation} $

(3.4)

将(3.2)与(3.4)式代入(3.3)式, 通过比较与$\alpha$有关的展开项的系数可得

$ {u_1}({z^6})- 6{u_1}(z)=- z, $

(3.5)

$ {u_2}({z^6})- 6{u_2}(z)=- 6\left[{7z{u_1}(z)-\frac{5}{2}u_1^2(z)+\frac{7}{2}{z^2}+\frac{1}{3}{z^{-3}}} \right]. $

(3.6)

则方程(3.5)与(3.6)的解分别为

$ \begin{equation} u_1(z) =\sum^\infty_{k=0}\frac{z^{6^k}}{6^k}, \end{equation} $

(3.7)

$ \begin{equation} u_2(z)=\sum^\infty_{k=0}\left[7\sum^\infty_{l= 0}\frac{z^{6^{l+k}+6^k}}{6^{l+k}}- \frac{5}{2\cdot6^k}\left(\sum^\infty_{l=0}\frac{z^{6^{l+ k}}}{6^l}\right)^2+\frac{7}{2\cdot6^k}z^{2\cdot6^k}+ \frac{1}{3\cdot6^k}z^{(-3)\cdot6^k}\right].\end{equation} $

(3.8)

为方便计, 记$T_\alpha=T^*_\alpha$对所有正整数$n \geq 1$, 则$J(T_\lambda)$的不动点集合为

$ \begin{equation} Fix(T^n_\alpha)= \left\{\phi_\alpha({\rm e}^{2\pi{\rm i} t_j}): t_j=\frac{j}{6^n - 1}, 1 \leq j \leq 6^n - 1\right\}.\end{equation} $

(3.9)

据(3.3)式与链式法则可知, $(T^n_\alpha)'(\phi_\alpha({\rm e}^{2\pi{\rm i} t_j}))=\prod\limits^{n - 1}_{m=0}T'_\alpha(\phi_\alpha({\rm e}^{2\pi{\rm i} 6^m t_j}))$.由(3.2)式得

$ \begin{equation} T'_\alpha(z)=6z^5 - 6\cdot7z^6\alpha+ (21\cdot8z^7+2\cdot3z^2)\alpha^2+O(\alpha^3).\end{equation} $

(3.10)

从(3.4)与(3.10)式推出

$ \begin{eqnarray} T'_\alpha(\phi_\alpha(z))&=& 6z^5 - 6z^5[5u_1(z)-7z]\alpha+6z^5[28z^3+z^{-3}\nonumber \\ &&+u^2_1(z)-42z^2u_1(z)+5u_2(z)]\alpha^2+O(\alpha^3). \end{eqnarray} $

(3.11)

将单位圆周记为${\Bbb T}$, 令$\sigma=\sigma(t)={\rm e}^{2\pi{\rm i} t} \in {\Bbb T}$, 所以$\sigma\overline{\sigma}=1$.对$0 \leq m \leq n - 1$, 则(3.11)式蕴含着

$ \begin{eqnarray} |T'_\alpha(\phi_\alpha(\sigma^{6^m}))|^2 &=& T'_\alpha(\phi_\alpha(\sigma^{6^m}))\overline{T'_\alpha(\phi_\alpha(\sigma^{6^m}))}\nonumber \\ &=&6^2+A_m\alpha+\overline{A_m}\overline{\alpha}+ \frac{A_m\overline{A_m}|\alpha|^2}{6^2}+B_m\alpha^2+ \overline{B_m}\overline{\alpha}^2+O(\alpha^3), \end{eqnarray} $

(3.12)

其中

$ {A_m}={6^2}{(6 - 1)^2}{u_1}({\sigma ^{{6^m}}})- {6^2}(6+1){\sigma ^{{6^m}}}, $

$ \begin{eqnarray*} B_m &=& \frac{6^2(6+1)(6+2)}{2}\sigma^{2\cdot{6^m}}+6^2\sigma^{- 3\cdot{6^m}}+\frac{6^2(6+1)(6 - 2)}{2}u^2_1(\sigma^{6^m})\nonumber \\ &&- 6^3(6+ 1)\sigma^{2\cdot6^m}u_1(\sigma^{6^m})+6^2(5 - 1)u_2(\sigma^{6^m}). \end{eqnarray*} $

对每个D > 0, 我们有

$ \begin{eqnarray} &&\prod^{n - 1}_{m=0}|T'_\alpha(\phi_\alpha(\sigma^{6^m}))|^{- D} =\prod^{n - 1}_{m=0}(|T'_\alpha(\phi_\alpha(\sigma^{6^m}))|^2)^{- \frac{D}{2}}\nonumber \\ &=&6^{- nD}\prod^{n - 1}_{m=0}\left[1+ \frac{A_m\alpha+\overline{A_m}\overline{\alpha}+B_m\alpha^2+ \overline{B_m}\overline{\alpha}^2}{6^2}+ \frac{A_m\overline{A_m}|\alpha|^2}{6^4}+O(\alpha^3)\right]^{- \frac{D}{2}}\nonumber \\ &=&6^{- nD} - \frac{D}{2}6^{- nD - 2}\sum^{n - 1}_{m=0}\left(A_m\alpha+ \overline{A_m}\overline{\alpha}+B_m\alpha^2+ \overline{B_m}\overline{\alpha}^2\right)\nonumber \\ &&- \frac{D}{2}6^{- nD - 4}\left(\sum_{0 \leq m_1 <m_2 \leq n - 1}(A_{m_1}A_{m_2}\alpha^2+ \overline{A_{m_1}}\overline{A_{m_2}}\overline{\alpha}^2)+\sum_{0 \leq m_1 <m_2 \leq n - 1}A_{m_1}\overline{A_{m_2}}|\alpha|^2\right) \nonumber \\ &&+\frac{D(D+2)}{8}6^{- nD - 4}\left(\sum^{n - 1}_{m=0}(A_m\alpha+\overline{A_m}\overline{\alpha})\right)^2+ O(\alpha^3).\end{eqnarray} $

(3.13)

通过类似于文献[17, 附录]的讨论, 则对所有足够大的n有

$ \begin{equation} \frac{1}{6^n - 1}\sum^{6^n - 1}_{j=0}\prod^{n - 1}_{m=0}\left|T'_\alpha(\phi_ \alpha({\rm e}^{2\pi {\rm i} \sigma^{6^m}t_j}))\right|^{- D}=6^{- nD}\left(1+ \frac{D^2n}{4}\alpha^2+O(\alpha^3)\right). \end{equation} $

(3.14)

由引理2.3和(3.14)式, 于是

$ \begin{equation}(6^n - 1)6^{- n D}\left(1+ \frac{D^2n}{4}\alpha^2+O(\alpha^3)\right)=O(1). \end{equation} $

(3.15)

固定某个相当大的n, 当$\alpha$充分小时, 由(3.15)式可得

$ \exp\left(n\left(\frac{D^2}{4}|\alpha|^2 -(D - 1)\log6\right)+O(\alpha^3)\right)=O(1). $

则

$ D=1+\frac{|\alpha|^2}{4\log6}+O(\alpha^3). $

于是我们完成了定理1的证明.

定理2的证明  注意到$F(T_{\lambda})$最多有可数个分支, 因此不妨记$F(T_{\lambda})$的分支为$U_j$ $(j=1, 2, \cdots)$.下面我们断言:对任一开集$U \subset {\Bbb C}$与每个$j \in {\Bbb N}$, $(U \cap J(T_{\lambda}))\setminus \partial U_j \neq \emptyset$和$U \cap J(T_{\lambda})\neq \emptyset$.

下面用反证法证明此断言.假设存在某个开集$U_0 \subset {\Bbb C}$及某个$j_0 \in {\Bbb N}$使得

$ (U_0 \cap J(T_{\lambda}))\setminus \partial U_{j_0}= \emptyset, \hspace{0.2cm}(U_0 \cap J(T_{\lambda}))\neq \emptyset. $

当n充分大时, 则由齐性定理知

$ T^n_{\lambda}(U_0 \cap J(T_{\lambda}))= J(T_{\lambda}). $

定理A表明当$\lambda \in [3-\sqrt{2}, \beta_0]$时, $F(T_{\lambda})$仅有三个周期分支$A_{\lambda}(1), A_{\lambda}(q_1)$与$A_{\lambda}(\infty)$.于是对充分大的n, $T^n_{\lambda}(U_{j_0})=A_{\lambda}(1), T^n_{\lambda}(U_{j_0})=A_{\lambda}(q_1)$或$T^n_{\lambda}(U_{j_0})=A_{\lambda}(\infty)$.于是$J(T_{\lambda})=\partial A_{\lambda}(1), J(T_{\lambda})=\partial A_{\lambda}(q_1)$或$J(T_{\lambda})=\partial A_{\lambda}(\infty)$.定理A (ⅲ)蕴含着$\partial A_{\lambda}(1), \partial A_{\lambda}(q_1)$和$\partial A_{\lambda}(\infty)$均是Jordan曲线.则当$\lambda \in [3-\sqrt{2}, \beta_0]$时, $F(T_{\lambda})$仅有两个分支, 这与定理A (ⅲ)矛盾.

现在证明$J_r(T_{\lambda})\neq \emptyset$, 其中$J_r(T_{\lambda})$是$J(T_{\lambda})$的淹没点集.任取一点$z_0 \in J(T_{\lambda})$, 对任意小的$\varepsilon_0 > 0$, 记$B(z_0, \varepsilon_0)=\{z : |z - z_0| <\varepsilon_0 \}$.由上述讨论可知, 存在一点$z_1 \in B(z_0, \varepsilon_0)\cap J(T_{\lambda})$和一个正常数$\varepsilon_1 <\frac{1}{2}\varepsilon_0$使得$B(z_1, \varepsilon_1)\subset B(z_0, \varepsilon_0)$与$B(z_1, \varepsilon_1)\cap U_1=\emptyset$.再利用上述的结论, 存在一个圆盘$B(z_2, \varepsilon_2)$使得$B(z_2, \varepsilon_2)\subset B(z_1, \varepsilon_1)$, $B(z_2, \varepsilon_2)\cap U_2=\emptyset$.如此重复上述过程, 存在一列圆盘$B(z_j, \varepsilon_j)$ $(j=1, 2, \cdots)$具有下列性质

$ z_j \in J(T_{\lambda}), \quad \varepsilon_j <\frac{1}{2}\varepsilon_{j - 1}, \quad \overline{B(z_j, \varepsilon_j)} \subset B(z_{j - 1}, \varepsilon_{j - 1}), \quad B(z_j, \varepsilon_j)\cap U_j=\emptyset. $

不难得知当$j \rightarrow \infty$时, $\overline{B(z_j, \varepsilon_j)}$收缩为一点$z^* \in J_r(T_{\lambda})$.注意到$z^*$没有落在某个Fatou分支$U_j(j=1, 2, \cdots)$的边界上, 则$B(z_0, \varepsilon_0)\cap J_r(T_{\lambda})\neq \emptyset$.这说明, 对复平面上的任意一个非空开集U, 当U与$J(T_{\lambda})$的交集非空时, $J_r(T_{\lambda})$与此开集的交集也是非空的.由U的任意性知$J_r(T_{\lambda})$在$J(T_{\lambda})$上稠密.再由定理A得$J(T_{\lambda})$是连通的, 则$J(T_{\lambda})$没有淹没分支.因此完成了定理2的证明.

定理3的证明  由于Sierpinski曲线是一个连通且局部连通、无处稠密的平面紧集且任意两个余集区域的边界都是互不相交的简单闭曲线, 则$F(T_\lambda)$的任意两个Fatou分支的闭包互不相交.据引理2.1知, $J(T_\lambda)$不是Sierpinski曲线.当$\lambda \in {\Bbb R} \setminus(\beta_0, 3+\sqrt{2})$时, 由定理A可得$T_\lambda$的Julia集连通且局部连通、无处稠密的紧集且它的所有Fatou分支都是Jordan盘, 结合$J(T_\lambda)$不是Sierpiński曲线, 则由引理2.1知$T_\lambda$的Julia集是一条退化的Sierpiński曲线.于是完成了定理3的证明.

考虑反磁铁链对应的金刚石型等级晶格上的λ -态Potts模型, 其配分函数零点的极限点集实际上是有理函数$T_\lambda$的Julia集$J(T_\lambda)$, 本文通过研究并得到其相变问题其他的拓扑与几何性质.实际上, 当λ充分大时, $J(T_\lambda)$是拟圆周并得到其Julia集$J(T_\lambda)$ Hausdorff维数的估计表达式${\rm dim}_H(J(T_\lambda))=1+\frac{1}{4\log6}|\lambda|^{- \frac{2}{5}}+O(\lambda^{- \frac{3}{5}})$.同时我们研究$J(T_\lambda)$的Sierpiński曲线与淹没点等分形性质.总之, 我们从另一角度刻画与推广了复温度函数相关的经典物理结论.