设${\Bbb C}^n=\{z=(z_1, \cdots, z_n): z_1, \cdots, z_n\in {\Bbb C}\}$表示n维复向量空间, 对于$a=(a_1, \cdots, a_n)\in {\Bbb C}^n$, 欧氏内积$\langle\cdot, \cdot\rangle$定义为

$ \langle z, a\rangle=z_1\overline{a_1}+\cdots+z_n\overline{a_n}, $

其中$\overline{a_k}~(k\in \{1, \cdots, n\})$表示a_k的共轭.z的欧氏长度定义为

$ |z|=\langle z, z\rangle^\frac{1}{2}=(|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2)^\frac{1}{2}. $

记

$ B^n(a, r)=\{z\in {\Bbb C}^n : |z-a|<r\} $

为${\Bbb C}^n$中以a为中心, r > 0为半径的欧氏球.特别的, 用$B^n$和D分别表示$B^n(0, 1)$和${\Bbb C}$中的单位圆盘.

设$f=u+{\rm i}v$是$B^n$到${\Bbb C}$上的一个复值函数, 如果$\Delta f=0$，称其是调和映射, 这里$\Delta$表示复Laplace算子

$ \Delta=4\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial z_k\partial\overline{z_k}} =\sum_{k=1}^{n}\Big(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}_k}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}_k}\Big), $

对于每一个$k\in \{1, \cdots, n\}$, $z_k=x_k+{\rm i}y_k$.令$H(B^n)$表示${\Bbb C}^n$中单位球上的所有调和映射组成的集合.设$f\in H(B^n)$, 记

$ \nabla f(z)=\Big(\frac{\partial f}{\partial z_1}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial z_n} \Big), ~~~~~ \nabla\overline{ f}(z)= \Big(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}_1}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial \bar{z}_n}\Big). $

设$\omega: [0, +\infty)\rightarrow [0, +\infty)$是一个连续的增函数且$\omega(0)=0$, 若对于t>0, $\omega(t)/t$是不增的, 则称其是一个强函数^[4].给定${\Bbb C}^n$中的一个子域$\Omega$, $f:\Omega\rightarrow {\Bbb C}$, 如果存在一个正的常数C使得

$ \begin{eqnarray*}|f(z)-f(w)|\leq { C}\omega(|z-w|) \end{eqnarray*} $

对于所有的$z, w\in \Omega$成立, 则称f是属于Lipschitz空间$L_\omega(\Omega)$的.

对于每一个$\alpha>0$, $\omega$-$\alpha$-Bloch空间$HB_\omega^\alpha$是由$H(B^n)$中所有满足

$ \|f\|_\alpha=\sup_{z\in B^n}\omega({\rm d}^\alpha(z))(|\nabla f(z)|+|\nabla\overline{ f}(z)|)<\infty $

的映射f组成; 小ω-α-Bloch空间$HB_{\omega, 0} ^{\alpha}$是由$HB_\omega^\alpha$中所有满足

$ \lim_{|z|\rightarrow 1^-}\omega({\rm d}^\alpha(z))(|\nabla f(z)|+|\nabla\overline{ f}(z)|)=0 $

的映射f组成, 这里${\rm d}(z)={\rm d}_{B^n}(z)$表示z到$B^n$边界的距离.此外, 当$\omega(t)=t$, 称空间$HB_\omega^\alpha$(或$HB_{\omega, 0} ^{\alpha}$)为α-Bloch空间$HB^\alpha$(或小α-Bloch空间$HB_0^\alpha$).

设f是平面调和映射, Colonna在文献[5]中证明了: $f\in HB^1$当且仅当Lipschitz数

$ \beta_f=\sup_{z, w\in D, z\neq w} \frac{|f(z)-f(w)|}{{\arctan}h|\rho_z(w)|}<\infty, $

其中$z, w \in {\Bbb D}$, $|\rho_z(w)|=|\frac{z-w}{1-\bar{z}w}|$.对于更进一步的研究, 可参考文献[2, 6].

设f是$B^n$到${\Bbb C}$上的调和映射, 对于$z, w\in B^n, z\neq w$, 记

$ L_f(z, w)=\frac{(1-|z|^2)^{\frac{1}{2}}(1-|w|^2)^{\frac{1}{2}}|f(z)-f(w)|}{|z-w|}. $

最近, 利用$L_f(z, w)$ Chen和Wang ^[2]得到单位球$B^n$上空间$HB^1$的如下特征:

定理1.1  设f是$B^n$到${\Bbb C}$的调和映射, 则$f\in HB^1$当且仅当

$ \sup_{z, w\in B^n, z\neq w}L_f(z, w)<\infty. $

在文献[8]中, Krantz证明实调和函数关于强函数$\omega(t)=\omega_\alpha(t)=t^\alpha$的Hardy-Littlewood型定理：

定理1.2   设u是D中的实调和函数, $0<\alpha\leq 1$, 则u满足

$ |\nabla u(z)| \le C\frac{{{\omega _\alpha }({{\rm{d}}_D}(z))}}{{{{\rm{d}}_D}(z)}}\;\;\;\;对于所有z \in D成立 $

当且仅当

$ |u(z)- u(w)| \le C{\omega _\alpha }|z - w|\;\;\;对于所有\;z, w \in D成立 $

在本文中, 我们将进一步讨论上述提及到的结果.在本文的第二部分, 我们回顾了在主要结果的证明中将要用到的一些已知结论.全文的主要结果, 定理3.1-3.9及其证明安排在第三部分.

设Aut$(B^n)$表示$B^n$的双全纯自映射群.众所周知, Aut$(B^n)$是由$B^n$上的酉算子和形如$\phi_a$的反演算子生成

$ \phi_a(z)=\frac{a-P_az-(1-|a|^2)^\frac{1}{2}Q_az}{1-\langle z, a\rangle}, $

其中$a, z\in B^n$,

$ P_az=\frac{a\langle z, a\rangle}{\langle a, a\rangle}, \;\;\;\;\;Q_az=z-P_az. $

设$z, w\in B^n $, $\rho(z, w)=|\phi_z(w)|$, 易知$\rho$是$B^n$上的距离函数, 我们称之为伪双曲距离.

对于每一个$z\in B^n$, 0 < r < 1, 记

$ E(z, r)=\{w\in B^n: |\phi_z(w)|<r\}, $

$ \partial E(z, r)=\{w\in B^n: |\phi_z(w)|=r\}. $

在文献[9]中, 有如下引理:

引理2.1  设$z\in B^n$, 0 < r < 1且$u, v\in E(z, r)$, 则

$ 1-|u|^2\asymp 1-|v|^2\asymp 1-|z|^2, $

这里$A\asymp B$的意思是存在一个正常数C, 满足$B/C \leq A \leq BC$.

应用引理2.1，我们易得到下面的推论.

推论2.2  设$z\in B^n$, 0 < r < 1且

$ \sigma=\inf_{z\in B^n, u, v\in E(z, r)}\Big(\frac{{\rm d}(u)}{{\rm d}(v)}\Big), $

则$\sigma\in(0, 1)$.

下面的引理对我们的证明非常重要.

引理2.3^[10]   假设$f: B^n(a, r)\rightarrow {\Bbb C}$是$B^n(a, r)$上的调和映射.那么存在正常数C使得

$ |\nabla f(a)|+|\nabla \overline{f}(a)|\leq \frac{C}{r}\int_{\partial B^n}|f(a+r\zeta)-f(a)|{\rm d}\sigma(\zeta). $

在本节的结尾部分, 我们给出两个不等式, 它们在后面的定理证明中将要用到.

引理2.4[1, 引理6]  设$\omega(t)$是一个强函数, $u\in(0, 1]$, $v\in(1, \infty)$.则对于$t\in(0, \infty)$, 有

$ \omega(ut)\geq u\omega(t), ~~~~~~~~\omega(vt)\leq v\omega(t). $

引理2.5   设a, b >0, 0 < s < 1, 则$sa+(1-s)b\geq a^sb^{1-s}$.

定理3.1  设f是D中的调和映射, 则有如下等价命题：

(1)$f\in HB^1$;

(2)存在0 < r < 1使得$\sup\limits_{z\in D}\int_{E(z, r)}(|f_w|^2+|f_{\bar{w}}|^2){\rm d}A(w)<\infty$;

(3)存在0 < r < 1使得$\sup\limits_{z\in D}\int_{\partial E(z, r)}(|f_w|+|f_{\bar{w}}|)|{\rm d}w| <\infty$.

证   我们首先证明$(1)\Leftrightarrow(2)$.由定义知, 存在M>0使得$w\in {\Bbb D}$,

$ (1-|w|^2)(|f_w(w)|+|f_{\bar{w}}(w)|)<M. $

由伪双曲度量的Möbius不变性知

$ \begin{eqnarray*} \int_{E(z, r)}(|f_w|^2+|f_{\bar{w}}|^2){\rm d}A(w)&<&\int_{_{E(z, r)}}\frac{M^2}{(1-|w|^2)^2}{\rm d}A(w)\\ &=&\int_{|w|<r}\frac{M^2}{(1-|w|^2)^2}{\rm d}A(w)\\ &=&\frac{\pi r^2M^2}{1-r^2}. \end{eqnarray*} $

反过来, 不失一般性, 我们假设存在K>0使得对于固定的$z\in {\Bbb D} $,

$ \int_{E(z, r)}(|f_w|^2+|f_{\bar{w}}|^2){\rm d}A(w)<K. $

令$F(w)=f(\phi_z(w))=\sum\limits_{m=0}^{\infty}A_{m}w^{m}+\sum\limits_{m=1}^{\infty}\overline{B}_{m}\overline{w}^{m}$.通过简单计算有

$ |F_w(0)|+|F_{\bar{w}}(0)|=(1-|z|^2)(|f_{z}(z)|+|f_{\bar{z}}(z)|)=|A_1|+|B_1|. $

注意到

$ \begin{eqnarray*}\int_{E(z, r)}(|f_w|^2+|f_{\bar{w}}|^2){\rm d}A(w) &=&\int_{|w|<r}(|f_\zeta(\phi_z(w))|^2+|f_{\bar{\zeta}}(\phi_z(w))|^2)\frac{(1-|z|^2)^2}{|1-\bar{z}w|^4}{\rm d}A(w)\\&\geq& \pi r^2(|A_1|^2+|B_1|^2), ~~\zeta=\phi_z(w), \end{eqnarray*} $

从而

$ \sup_{z\in \mathbb{D}}(1-|z|^2)(|f_z(z)|+|f_{\bar{z}}(z)|)<\frac{\sqrt{2\pi K}}{\pi r}. $

下面我们证明$(1)\Leftrightarrow(3)$.因为$(1)\Rightarrow(3)$类似于$(1)\Rightarrow(2)$, 所以我们只证$(3)\Rightarrow(1)$.借助于上面的讨论, 对于固定的$z\in {\Bbb D}$,

$ \begin{eqnarray*}\int_{\partial E(z, r)}(|f_w|+|f_{\bar{w}}|)|{\rm d}w| &=&\int_{|w|=r}(|f_\zeta(\phi_z(w))|+|f_{\bar{\zeta}}(\phi_z(w))|)\frac{(1-|z|^2)}{|1-\bar{z}w|^2}|{\rm d}w|\\&\geq& (|A_1|+|B_1|)2\pi r. \end{eqnarray*} $

结论成立.

对于每一个$\alpha>0$, 下面是$HB_\omega^\alpha$空间的一个无导数特征.

定理3.2   设0 < r < 1, $f\in H(B^n)$, $0<\beta \leq \alpha$, 则$f\in HB_\omega^\alpha$当且仅当

$ L_f=\sup_{\rho(z, w)<r, z\neq w}\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))\Big|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\Big|<\infty. $

证   我们先证充分性.假设$f\in H(B^n)$.由引理2.3知, 对$z\in B^n$, $r\in(0, 1)$,

$ \begin{eqnarray*} |\nabla f(z)|+|\nabla \overline{f}(z)| &\leq& \frac{C}{\rho}\int_{\partial B^n}|f(z+\rho\zeta)-f(z)|{\rm d}\sigma(\zeta), \end{eqnarray*} $

其中$\rho=\frac{r(1-|z|^2)}{2}$.因为$B^n(z, \rho)\subset E(z, r)$, 所以

$ \begin{eqnarray*} |\nabla f(z)|+|\nabla \overline{f}(z)| &\leq& \frac{CL_f}{\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(z+\rho\zeta))}. \end{eqnarray*} $

令$\rho\rightarrow 0$, $f\in HB_\omega^\alpha$.

反过来, 设$f\in HB_\omega^\alpha$, 对于$w\in E(z, r), w\neq z$,

$ \begin{eqnarray*} |f(z)-f(w)| &=&\bigg|\int^1_0\frac{{\rm d}f}{{\rm d}s}(sz+(1-s)w){\rm d}s\bigg|\\ &\leq&\sum_{k=1}^{n}\bigg|(z_k-w_k)\int^1_0\frac{\partial f}{\partial z_k}(sz+(1-s)w){\rm d}s \bigg|\\ &&+\sum_{k=1}^{n}\bigg|(\overline{z_k}-\overline{w_k})\int^1_0\frac{\partial f}{\partial\bar{z}_k}(sz+(1-s)w){\rm d}s\bigg|\\ &\leq& \sqrt{n}|z-w|\int^1_0|\nabla f(sz+(1-s)w)|+|\nabla \overline{f}(sz+(1-s)w)|{\rm d}s\\&\leq& C|z-w|\|f\|_\alpha\int^1_0\frac{{\rm d}s}{\omega({\rm d}^\alpha(sz+(1-s)w))}. \end{eqnarray*} $

利用引理2.5和推论2.2, 有

$ \begin{eqnarray*} {\rm d}(sz+(1-s)w)&=&1-|sz+(1-s)w|\\&\geq& s(1-|z|)+(1-s)(1-|w|)\\&=&s{\rm d}(z)+(1-s){\rm d}(w)\\&\geq& {\rm d}^s(z){\rm d}^{1-s}(w) \end{eqnarray*} $

和${\rm d}(w)\geq \sigma {\rm d}(z)$, 可得

$ \begin{eqnarray*}\Big|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\Big|&\leq&C\int^1_0\frac{{\rm d}s}{\omega({\rm d}^\alpha(sz+(1-s)w))} \\&\leq&C\int^1_0\frac{{\rm d}s}{\omega({\rm d}^{\alpha s}(z){\rm d}^{\alpha-\alpha s}(w))}\\&\leq&\frac{C}{\omega({\rm d}^{\alpha }(z))}\int^1_0\frac{{\rm d}s}{\sigma^{\alpha-\alpha s}} \\&\leq&\frac{C'}{\omega({\rm d}^{\alpha }(z))} .\end{eqnarray*} $

因而,

$ \begin{eqnarray*}\sup_{\rho(z, w)<r, z\neq w}\omega({\rm d}^{\alpha}(z))\Big|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\Big|<\infty.\end{eqnarray*} $

对于$w\in E(z, r)$, ${\rm d}^\alpha(z)={\rm d}^\beta(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(z)\geq \sigma^{\alpha-\beta} {\rm d}^\beta(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w)$, 由引理2.4, 我们可以推出$\omega({\rm d}^\alpha(z))\geq \sigma^{\alpha-\beta}\omega({\rm d}^\beta(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))$.定理3.2得证.

定理3.3  设0 < r < 1, $f\in HB_\omega^\alpha$, $0<\beta \leq \alpha$, 则$f\in HB_{\omega, 0}^\alpha$当且仅当

$ \lim_{|z|\rightarrow 1^-}\sup_{\rho(z, w)<r, z\neq w}\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))\Big|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\Big|=0 $

(3.1)

证  充分性.假设(3.1)式成立.对于任意的$\epsilon>0$, 存在$\delta \in(0, 1)$使得, 当$\delta<|z|<1$时

$ \sup_{\rho(z, w)<r, z\neq w}\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))\Big|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\Big|<\epsilon. $

类似定理3.2, 当$\delta<|z|<1$, 我们有

$ \omega({\rm d}^\alpha(z))(|\nabla f(z)|+ |\nabla\overline{ f}(z)|)<C\sup_{\rho(z, w)<r, z\neq w}\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))\Big|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\Big|<C\epsilon. $

因此

$ \lim_{|z|\rightarrow 1^{-}}\omega({\rm d}^\alpha(z))(|\nabla f(z)|+|\nabla\overline{ f}(z)|)=0. $

必要性.假设$f\in HB_{\omega, 0}^\alpha$.对于$\lambda\in(0, 1)$, 令$f_\lambda(z)=f(\lambda z)$.由引理2.1和定理3.2知, 对于所有的$z, w\in B^n$, $\rho(z, w)<r$有

$ \omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))\Big|\frac{(f-f_\lambda)(z)-(f-f_\lambda)(w)}{z-w}\Big|\leq C_1\|f-f_\lambda\|_\alpha $

且

$ \begin{eqnarray*}\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))\Big|\frac{f_\lambda(z)-f_\lambda(w)}{z-w}\Big|&\leq&\frac{\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))}{\omega({\rm d}^{\alpha}(\lambda z))}\omega({\rm d}^{\alpha}(\lambda z))\Big|\frac{f(\lambda z)-f(\lambda w)}{\lambda z-\lambda w}\Big| \\&\leq&\frac{\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))}{\omega({\rm d}^{\alpha}(\lambda z))}\|f\|_\alpha. \end{eqnarray*} $

利用三角不等式, 我们有

$ \sup_{\rho(z, w)<r, z\neq w}\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))\Big|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\Big|\leq C_1\|f-f_\lambda\|_\alpha+\frac{\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))}{\omega({\rm d}^{\alpha}(\lambda z))}\|f\|_\alpha. $

在上面不等式中, 先让$|z|\rightarrow 1^-$然后令$\lambda \rightarrow 1^-$, 即命题得证.

在定理3.2和3.3中, 令$\omega(t)=t$, 易得如下结果:

推论3.4  设$0<r<1$, $\alpha \geq t>0$, $f\in H(B^n)$, 则$f\in HB^\alpha$当且仅当

$ \sup_{\rho(z, w)<r, z\neq w}\frac{(1-|z|^2)^t(1-|w|^2)^{\alpha-t}|f(z)-f(w)|}{|z-w|}<\infty. $

推论3.5  设$0<r<1$, $\alpha \geq t>0$, $f\in HB^\alpha_0$, 则$f\in B^\alpha_0$当且仅当

$ \lim_{|z| \rightarrow 1^-}\sup_{\rho(z, w)<r, z\neq w}\frac{(1-|z|^2)^t(1-|w|^2)^{\alpha-t}|f(z)-f(w)|}{|z-w|}=0. $

注3.6  当f在$B^n$上全纯时(即$\nabla\overline{ f}(z)=0$), 推论3.4和3.5分别与文献[3]中的定理1和2相一致.

事实上, 对于每一个$w\in E(z, r)$, |z-w|都可以被$C{\rm d}(z)$控制.因此, 下面的推论是显然的.

推论3.7 设0 < r < 1, $\alpha \geq t>0$且$f\in HB^\alpha$, 则对于所有的$z\in B^n$,

$ \sup_{\rho(z, w)<r, z\neq w}{\rm d}^{\alpha-1}(z)|f(z)-f(w)|<\infty. $

在定理3.2中, 我们去掉$\rho(z, w)<r$这一限制, 可得如下结果, 它可以看成是文献[1]中的定理3在高维空间中的推广.

定理3.8  设$f\in H(B^n)$, $0\leq\beta<1, \beta\leq\alpha<1+\beta$, 则$f\in HB_\omega^\alpha$当且仅当

$ \sup_{z, w\in B^n, z\neq w}\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))\Big|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\Big|<\infty. $

证  充分性可直接由定理3.2的证明得到, 我们只证必要性.假设$f\in HB_\omega^\alpha$, 通过简单计算和引理3.4, 可得

$ \begin{eqnarray*}\Big|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\Big|&\leq&C\int^1_0\frac{{\rm d}s}{\omega({\rm d}^\alpha(sz+(1-s)w))} \\ &\leq&C\int^1_0\frac{{\rm d}s}{\omega(s^{\beta}(1-s)^{\alpha-\beta}{\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))}\\&\leq&\frac{C}{\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))}\int^1_0\frac{{\rm d}s}{s^{\beta}(1-s)^{\alpha-\beta}} \\&\leq&\frac{C'}{\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))} .\end{eqnarray*} $

这就得证定理3.8成立.

类似的, 我们还可以得到:

定理3.9  设$f\in HB_\omega^\alpha$, $0\leq\beta<1, \beta\leq\alpha<1+\beta$, 则$f\in HB_{\omega, 0}^\alpha$当且仅当

$ \lim_{|z|\rightarrow 1^-}\sup_{z, w\in B^n, z\neq w}\omega({\rm d}^{\beta}(z){\rm d}^{\alpha-\beta}(w))\Big|\frac{f(z)-f(w)}{z-w}\Big|=0. $