本文致力于以Cartesian流理论来研究从$Ω$映射到$P_0({\Bbb R})$的具有闭, 凸像的集值映射, 其中$Ω$是${\Bbb R}^n$的有界开集, $P_0({\Bbb R})$表示除去空集后${\Bbb R}$的所有子集的集合.

近几十年来, 关于非光滑函数的图像逼近和面积的研究引起了不少学者的兴趣. Giaquinta-Modica-Souček在文献[7]中引入Cartesian流(current)的概念, 并结合几何测度理论给出了近似可微函数的rectifiable图像的定义, 由此提出了一系列关于rectifiable图像的光滑逼近问题.后来Mucci在其研究的基础上致力于去刻画可被光滑函数图像逼近的非光滑函数, 并得到了一系列的结果, 见文献[9-12].本文正是在这样的背景下做的相关研究, 值得注意的是我们主要的研究对象是像是一维的集值映射.一般来说, 由于集值映射的图像有"垂直"部分的存在, 用一般的方法很难解决其图像的光滑逼近问题.但是从本文的结果可知某类特殊的连续集值映射有某种意义下的光滑性以至于其图像可以被光滑函数的图像逼近.

关于集值映射的连续性和可测性的定义已经在一些参考文献中做了详细介绍, 比如文献[3].在本文中我们将一般函数的近似上极限和近似下极限的定义推广到具有闭凸像的集值映射上.由此可以定义具有闭凸像的集值映射F的rectifiable图像${\cal G}_{F, \Omega} $

$ {\cal G}_{F, \Omega}:=\left\{(x, y)\in \Omega\times {\Bbb R}\mid x\in\ \Omega_r, y\in F(x)\cap F_{+}(x)\cap F_{-}(x) \right\}, $

这里$F_{-}(x)$ ($F_{+}(x)$)是F在x处的近似上半下(上)极限, $\Omega_r:=\{x\in\Omega \mid F(x) \cap F_{-}(x) \cap F_{+}(x)\neq \emptyset\}$.我们证明如果F是上半连续且图像面积有限(即其图像的n -维Hausdorff测度有限), 则存在一F的${\cal L}^n$ -可测选择f (即f是${\cal L}^n$ -可测的且对任意的x∈ Ω有$f(x)\in F(x)$)使得f是Ω中的有界变差函数且其全变差与F的rectifiable图像的面积是等价的.进一步地, F的rectifiable图像可被光滑函数图像既以流意义逼近又以面积意义逼近.

为了得到本文的主要结果, 我们利用集值映射给出一个关于BV函数的等价性描述.在实分析理论中, ${\Bbb R}^2$中一条由$f:[a, b]\longrightarrow{\Bbb R}$参数化的曲线, 如果存在一常数$M<\infty$, 对区间[a, b]上的任意分解$a = {x_0} < {x_1} < \cdots < {x_N} = b$都有

$ \sum_{j=1}^N | (x_j, f(x_j))-(x_{j-1}, f(x_{j-1}))| \leq M $

成立, 则称这条曲线是rectifiable.而且曲线的长度L(f)定义为

$ L(f)=\sup_{a=x_0<x_1<\cdots <x_N=b} \sum_{j=1}^N | (x_j, f(x_j))-(x_{j-1}, f(x_{j-1}))|, $

这样上述曲线是rectifiable当且仅当f ∈ BV([a, b]) (见文献[14]).我们考虑将在区间上的BV函数的这种等价性描述推广到高维的BV函数上.

本文得到的主要结果如下:

定理1.1   设${\cal L}^n$ -可测函数$f:\Omega\longrightarrow {\Bbb R}$, 定义集值映射$F:\Omega \longrightarrow P_0({\Bbb R})$如下

$ F(x) :=\left\{\begin{array}{ll} f(x), &f_{-}(x)=f_{+}(x), \\ {[f_{-}(x), f_{+}(x)]}, ~~&f_{-}(x)\neq f_{+}(x), \end{array}\right. $

这里${f_ - }(x)\left( {{f_ + }(x)} \right)$是f在x处的近似下(上)极限.则$f\in BV(\Omega)$当且仅当F面积有限, 即${\cal H}^n(\Gamma_{F, \Omega})<\infty$.特别地如果$f\in BV(\Omega)$, 则有

$ {\cal H}^n(\Gamma_{F, \Omega})=|\mu|(\Omega), $

这里$\mu=([Df], -{\cal L}^n)$.

定理1.2   设$F:\Omega \longrightarrow P_0({\Bbb R})$是具有闭、凸像的集值映射.如果F在Ω中上半连续且${\cal H}^n(\Gamma_{F, \Omega})<+\infty$, 则存在函数$f\in BV(\Omega)$满足对任意的x∈ Ω有$f(x)\in F(x)$, 而且

$ {\cal H}^n({\cal G}_{F, \Omega})=|\mu|(\Omega). $

定理1.3   设$F:\Omega\longrightarrow P_0({\Bbb R})$是具有闭、凸像的集值映射.如果F在Ω中上半连续且${\cal H}^n(\Gamma_{F, \Omega})<+\infty$, 则存在流$G_F=\tau(\Gamma_{F, \Omega}, 1, \xi) \in {\cal R}_n(\Omega \times {\Bbb R})$以及一列光滑函数$f_k \in C^{\infty}(\Omega)$满足

$ G_{f_k} \rightharpoonup G_F ~\mbox{于} ~{\cal D}_n(\Omega \times {\Bbb R}), $$ $${\cal H}^n(\Gamma_{f_k, \Omega})\rightarrow {\cal H}^n({\cal G}_{F, \Omega}). $

记${\cal L}^n$为n -维Lebesgue测度, ${\cal H}^n$为n -维Hausdorff测度.给定一集值映射$F: \Omega \rightarrow P_0({\Bbb R})$, 其图像定义为

$ \Gamma_{F, \Omega}:= \{(x, y)\in \Omega \times {\Bbb R} \mid x\in \Omega, y\in F(x)\}. $

首先我们引入关于极值映射的一些定义, 更多的细节可以参考文献[3].

定义2.1   设极值映射$F:\Omega\longrightarrow P_0({\Bbb R})$, x∈Ω.如果对F(x)的任意邻域U, 存在$\eta>0$使得对任意的$x'\in B(x, \eta)$有$F(x')\subset U$, 则称F在x处上半连续.如果F在Ω任意点x处都上半连续, 则称F在Ω中是上半连续的.

定义2.2   设集值映射$F:\Omega\longrightarrow P_0({\Bbb R})$有闭的像, 即对任意的x∈ Ω有F(x)是闭集.如果对任意的${\Bbb R}$中的开集G有

$ F^{-1}(G):=\{w\in\Omega \mid F(w)\cap G \neq \emptyset \} $

是${\cal L}^n$ -可测的, 则称F是${\cal L}^n$ -可测的.

下面命题揭示了集值映射的可测性与上半连续性之间的联系.

命题2.1   设集值映射$F:\Omega\longrightarrow P_0({\Bbb R})$有闭的像.如果F是上半连续的, 则F是${\cal L}^n$ -可测的.而且存在一F的${\cal L}^n$ -可测选择, 即存在一${\cal L}^n$ -可测函数$f:\Omega \longrightarrow {\Bbb R}$使得对任意的x∈Ω有

$ f(x)\in F(x). $

证   证明可见文献[3, 定理8.1.3, 8.2.1].

我们将一般可测函数的近似上极限和近似下极限的定义延拓到集值映射上.

定义2.3  设$F:\Omega \longrightarrow P_0({\Bbb R})$是具有闭、凸像的集值映射, 即对任意的x∈ Ω F(x)是${\Bbb R}$上的非空闭凸子集.固定x∈Ω.令

$ \widetilde{f}_+(x):=\inf\left\{b \mid\lim_{r\longrightarrow0} \frac{{\cal L}^n(B(x, r)\cap \{z \mid F(z) \cap (b, +\infty)\neq \emptyset\})}{r^n} =0\right\}, $

$ \widetilde{f}_-(x):=\sup\left\{a \mid\lim_{r\longrightarrow0} \frac{{\cal L}^n(B(x, r)\cap \{z \mid F(z) \cap (-\infty, a)\neq \emptyset\})}{r^n}=0 \right\}. $

我们称$F_+(x):=[-\infty, \widetilde{f}_+(x)]$是F在x处的近似上半上极限, $F_-(x):=[\widetilde{f}_-(x), +\infty]$是F在x处的近似上半下极限.

事实上如果F是一般的单值函数f, 则有$\widetilde{f}_{-}(x)=f_{-}(x)$和$\widetilde{f}_{+}(x)=f_{+}(x)$.这说明我们关于集值映射的近似上半上(下)极限的定义与一般函数的近似上(下)极限的定义是一致的.

命题2.2   设$F:\Omega \longrightarrow P_0({\Bbb R})$是具有闭、凸像的集值映射, 则对任意的x∈Ω有$F_{+}(x)\cap F_{-}(x)\neq \emptyset$.而且如果F是${\cal L}^n$ -可测的, 则${\cal L}^n(\Omega\backslash\Omega_r)=0$, 这里$\Omega_r:=\{x\in\Omega\mid F(x)\cap F_+(x)\cap F_{-}(x)\neq\emptyset\}$.

证  由定义容易推导出对任意的x∈Ω, $F_{+}(x)\cap F_{-}(x)\neq \emptyset$.而且, 如果F是${\cal L}^n$ -可测的, 则存在一${\cal L}^n$ -可测函数f满足对任意的x∈Ω有

$ f(x)\in F(x). $

设x∈ Ω且满足f在x处近似连续, 通过简单的推导我们有

$ f(x)\in F_{-}(x)\cap F_{+}(x), $

这意味着${\cal L}^n(\Omega\backslash\Omega_r)=0$.

为了证明的需要我们收集了一些关于BV函数和Cartesian流的基本事实和结果, 更多详细的结果可以参考文献[4, 7].

BV函数和周长有限集合   如果函数$f\in L^1(\Omega)$满足

$ \sup\left\{\int_{\Omega} f{\rm div} \varphi {\rm d}x\mid \varphi \in C^1_c(\Omega, {\Bbb R}^n), |\varphi|\leq 1 \right\}<\infty, $

则称f在Ω中是有界变差的, 记作$f\in BV(\Omega)$.根据Riesz表示定理可以得到BV函数f的结构定理：存在一个在Ω上的Radon测度μ和μ -可测函数$\sigma:\Omega\rightarrow {\Bbb R}^n$满足对任意的$\varphi \in C_c^{1}(\Omega, {\Bbb R}^n)$有

$ \int_\Omega f{\rm div} \varphi {\rm d}x=-\int_\Omega \varphi \cdot \sigma {\rm d}\mu, $

其中在测度μ下几乎处处有$| \sigma(x)|=1$.为了使用方便, 我们记$\| Df\|:=\mu$和$[Df]:=\| Df\| \llcorner \sigma$.

设$E \subset \Omega$.如果$\chi_E \in BV(\Omega)$, 则称E在Ω中是周长有限的.我们记$\| \partial E\|:=\|\chi_E \|$以及$P(E, \Omega):=\| \partial E\|(\Omega)$.并且E的约化边界定义为

$ \partial^{\ast} E:=\left\{ x\in {\Bbb R}^n \mid \exists \lim_{r\longrightarrow 0} \frac{[D\chi_E](B(x, r))}{\|D \chi_E\|(B(x, r))} :=n(x, E) ~\mbox{且}~ |n(x, E)|=1\right\}. $

E的测度边界定义为

$ \partial_{*}E:=\left\{ x\in {\Bbb R}^n\mid \limsup_{r\longrightarrow0}\frac{{\cal L}^n(B(x, r) \cap E)}{r^n}>0~\mbox{且}~ \liminf_{r\longrightarrow0}\frac{{\cal L}^n(B(x, r) - E)}{r^n}>0\right\}. $

容易知道$\partial^{*}E \subset \partial_{*}E$以及${\cal H}^{n-1}(\partial_{\ast}E-\partial^{\ast}E)=0$ (见文献[4, 5.8节, 引理1]).

流和"装配"在图像上的流   设U为${\Bbb R}^n$的开子集, 记${\cal D}^k(U)$为所有U上无限可微且具有紧支集的k -形式组成的线性空间($0\leq k\leq n$).其对偶空间称为U上的k -流, 记为${\cal D}_k(U)$.设$T\in {\cal D}_k(U)$, V是U中的开集, 流T在V中的质量定义为

$ {\bf M}_{V}(T):=\|T\|(V):=\sup\{T(\omega) \mid \omega \in {\cal D}^k(U), ~\mbox{spt}~ \omega \subset V, \| \omega\|\leq 1 \}, $

T的边界可以定义为一(k-1) -流, 即对任意的$\eta \in {\cal D}^{k-1}(U)$

$ \partial T(\eta):= T({\rm d} \eta). $

如果$T\in {\cal D}_0(U)$, 我们令$\partial T=0$.设$E \subset \Omega$, 定义流${\bf E}^n \llcorner E \in {\cal D}_n(\Omega)$如下:对任意的$\omega \in {\cal D}^n(\Omega)$

$ {\bf E}^n \llcorner E(\omega):=\int_{E}\langle e_1\wedge e_2\wedge\cdots \wedge e_n, \omega\rangle {\rm d}x. $

记${\cal A}^1(\Omega, {\Bbb R}^N)$为$L^1(\Omega, {\Bbb R}^N)$中的满足如下条件的子类: f是几乎处处近似可微的, 且Df的Jacobian矩阵的所有余子式在Ω中都是可和的.对任意的$f\in {\cal A}^1(\Omega, {\Bbb R}^N)$, 我们可以定义一"装配"在${\cal G}_{f, \Omega}$上的n -流$G_f\in {\cal D}_n(\Omega \times {\Bbb R}^N)$.确切来说

$ G_f=\tau({\cal G}_{f, \Omega}, 1, \xi_f). $

f的rectifiable图像${\cal G}_{f, \Omega}$定义为

$ {\cal G}_{f, \Omega}:=\{(x, u(x))\mid x\in {\cal L}_f\cap A_{D}(f)\cap \Omega\}, $

这里${\cal L}_f$表示f的Lebesgue点集, $A_{D}(f)$表示f的近似可微点集.对任意的$(x, f(x))\in {\cal G}_{f, \Omega}$, 单位n -向量$\xi_{f}(x, f(x))=\frac{M(Df(x))}{|M(Df(x))|}$给定了近似切空间$Tan^n({\cal G}_{f, \Omega}, x)$的导向.

设$f:\Omega \to \mathbb{R}, {f_ - }(x)\left( {{f_ + }(x)} \right)$是f在x处的近似下(上)极限.令

$ {\cal S}_f:=\{(x, y)\in \Omega\times{\Bbb R} \mid y\leq f_{+}(x)\}, $

$ {\cal C}_f:=\{(x, y)\in \Omega\times{\Bbb R} \mid f_{-}(x)\leq y \leq f_{+}(x)\}. $

我们有如下引理

引理3.1  设$f \in BV(\Omega)$和$S=(-1)^n\partial \left({\bf E}^{n+1} \llcorner {\cal S}_f\right)$.则有$\|S\|={\cal H}^n\llcorner {\cal C}_f$.

证明可见文献[5, 定理4.5.9 (5)].

定理1.1的证明   一方面如果$f\in BV(\Omega)$.为了证明${\cal H}^n(\Gamma_{F, \Omega})<\infty$, 由引理3.1, 我们只需要证明$\|S\|(\Omega\times {\Bbb R})=P({\cal S}_f, \Omega\times {\Bbb R})<\infty$即可.对任意的$\omega \in {\cal D}^{n}(\Omega \times {\Bbb R})$, 可以写成如下形式

$ \omega=\sum_{i=1}^{n}\omega_i(x, y)\widehat{{\rm d}x^i} \wedge {\rm d}y + \omega_{n+1}(x, y){\rm d}x, $

其中$\omega_i\in C_c^{\infty}(\Omega), i=1, \cdots, n+1$.因此有

$ \begin{eqnarray*} S(\omega)&=&(-1)^n\partial \left({\bf E}^{n+1} \llcorner {\cal S}_f\right)(\omega)\\ &=&\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{n+i-1} \int D_i\omega_{i}(x, y) \chi_{{\cal S}_f}{\rm d}x{\rm d}y, \end{eqnarray*} $

这意味着$\|S\|(\Omega\times {\Bbb R})=P({\cal S}_f, \Omega\times {\Bbb R})$.由BV函数的逼近定理可知(见文献[4, 5.2节]), 存在一列函数$f_k \in C^{\infty}(\Omega) \cap BV(\Omega)$满足

$ f_k\longrightarrow f ~\mbox{于}~ L^1(\Omega), $

$ \| Df_k\|(\Omega)\longrightarrow \| Df_k\|(\Omega). $

这样对任意的$\varphi \in C^1_{c}(\Omega\times{\Bbb R}, {\Bbb R}^{n+1})$有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{\Omega \times {\Bbb R}} {\rm div}\varphi(x, y) \chi_{{\cal S}_{f_k}} {\rm d}x{\rm d}y\\ &=&\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega \times {\Bbb R}} D_i \varphi_i(x, y) \chi_{{\cal S}_{f_k}} {\rm d}x{\rm d}y+\int_{\Omega \times {\Bbb R}} D_{n+1} \varphi_{n+1}(x, y) \chi_{{\cal S}_{f_k}} {\rm d}x{\rm d}y \\ &=&\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega }\bigg[\frac{\rm d}{{\rm d}x_i} \int_{-\infty}^{f_k(x)} \varphi_i(x, y) {\rm d}y-\varphi_i(x, f_k(x))D_if_k(x)\bigg]{\rm d}x+\int_{\Omega} \varphi_{n+1}(x, f_k(x)){\rm d}x\\ &=&-\sum_{i=1}^{n} \int_{\Omega} \varphi_i(x, f_k(x))D_if_k(x){\rm d}x+ \int_{\Omega} \varphi_{n+1}(x, f_k(x)){\rm d}x. \end{eqnarray*} $

因此

$ P({\cal S}_{f_k}, \Omega\times {\Bbb R}) \leq {\cal L}^n \llcorner \sqrt{1+\| Df_k\|^2} (\Omega)<\infty. $

根据BV函数的下半连续性(见文献[4, 5.2节])可知

$ \begin{eqnarray*} P({\cal S}_{f}, \Omega\times {\Bbb R}) &\leq&\liminf_{k\longrightarrow\infty}P({\cal S}_{f_k}, \Omega\times {\Bbb R})\\ &\leq &\liminf_{k\longrightarrow\infty} {\cal L}^n \llcorner \sqrt{1+\| Df_k\|^2} (\Omega)\\ &\leq &| \mu |(\Omega), \end{eqnarray*} $

其中$ | \mu |(\Omega)= \sup \{ \int _{\Omega} {\rm div } \widehat{\varphi} f {\rm d}x -\int_{\Omega} \varphi_{n+1} {\rm d}x \mid \varphi \in C_{c}^{1}(\Omega, {\Bbb R}^{n+1}), |\varphi|^2 \leq 1\}$.

相反地, 如果${\cal H}^n(\Gamma_{F, \Omega})<\infty$.首先我们要证明$\partial_{*}{\cal S}_f \subset \Gamma_{F, \Omega}$.为此固定$(x, t) \notin \Gamma_{F, \Omega}$.如果$t>f_{+}(x)$, 则对满足条件$t>s>f_{+}(x)$的s而言

$ \lim_{r\longrightarrow0}\frac{{\cal L}^n(B(x, r)\cap \{x'\in \Omega \mid f(x')>s\})}{r^n}=0. $

注意对任意的$\rho \in(0, t-s)$, 有

$ {\cal S}_f \cap B((x, t), \rho) \subset B(x, \rho) \cap \{x'\in \Omega \mid f(x')>s\}\times [t-\rho, t+\rho]. $

因此

$ \lim_{\rho\longrightarrow0}\frac{{\cal L}^{n+1}(B((x, t), \rho)\cap {\cal S}_f)}{\rho^{n+1}}=0, $

这意味着$(x, t)\notin \partial_{*}{\cal S}_f$.如果$t<f_{-}(x)$, 类似地可以证明$(x, t)\notin\partial_{*}{\cal S}_f$, 所以结论成立.

由有限周长集合的判定准则(见文献[4, 5.11节, 定理1])可知, ${\cal S}_f$在$\Omega\times {\Bbb R}$中是周长有限的, 即$P({\cal S}_f, \Omega\times{\Bbb R}) <\infty$.更确切地来说, 由有限周长集的结构定理(见文献[4, 5.7.3节, 定理2])可知

$ P({\cal S}_f, \Omega\times{\Bbb R})={\cal H}^n(\partial^{\ast}{\cal S}_f)= {\cal H}^n(\partial_{\ast}{\cal S}_f). $

为了证明$f\in BV(\Omega)$, 我们需要说明$f\in L^1(\Omega)$.由有限周长集的slicing公式(见文献[8])可以推导出

$ P({\cal S}_{ |f|}, \Omega\times{\Bbb R})\leq P({\cal S}_f, \Omega\times{\Bbb R}). $

对任意的$\varphi \in C^{1}_{c}(\Omega \times {\Bbb R}, {\Bbb R}^{n+1})$我们有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{\cal S}_{| f|} \cap \{(x, y)\in \Omega \times {\Bbb R} \mid y>0 \}}{\rm div} \varphi(x, y) {\rm d}x{\rm d}y\\ & =&\int_{\Omega}{\rm d}x \int^{| f|}_0{\rm div} \varphi(x, y){\rm d}y \\ & =&\int_{\Omega}{\rm d}x \int^{| f|}_{-\infty}{\rm div } \varphi(x, y){\rm d}y-\int_{\Omega}{\rm d}x \int^{0}_{-\infty}{\rm div } \varphi(x, y){\rm d}y. \end{eqnarray*} $

因此

$ P({\cal S}_{| f|}\cap \{(x, y)\in \Omega \times {\Bbb R} \mid y>0\}, \Omega\times{\Bbb R})\leq P({\cal S}_{| f|}, \Omega\times{\Bbb R})+{\cal L}^n(\Omega). $

由有限周长集的等周不等式(见文献[4, 5.6节, 定理2])可知

$ \begin{eqnarray*} \int_{\Omega} |f(x)| {\rm d}x &=&{\cal L}^{n+1}({\cal S}_{| f|}\cap \{(x, y)\in \Omega \times {\Bbb R} \mid y>0\}) \\ &\leq &c(n) \left(P({\cal S}_{| f|}\cap \{(x, y)\in \Omega \times {\Bbb R} \mid y>0\}, \Omega\times{\Bbb R})\right)^{\frac{n}{n-1}}\\ &\leq &c(n) \left(P({\cal S}_{ f}, \Omega\times{\Bbb R})+{\cal L}^{n}(\Omega)\right)^{\frac{n}{n-1}}, \end{eqnarray*} $

因此有$f\in L^{1}(\Omega)$.

令$\psi(x)\in C^1_{c}(\Omega, {\Bbb R}^{n+1})$满足$|\psi|\leq 1$以及一列连续有界函数$\{\zeta_k(y)\}_{k=1}^{\infty}$

$ \zeta_k=\left\{\begin{array}{ll} 1, ~~&|y|\leq k~\mbox{时}, \\ N+1-|y|, ~~& N\leq|y|\leq N+1~\mbox{时}, \\ 0, ~~&|y|\geq k+1~\mbox{时}. \end{array}\right. $

$ \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \int_{\Omega\times {\Bbb R}} D_i\psi(x) \chi_{{\cal S}_f}{\rm d}x{\rm d}y &=&\lim_{k\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\int D_i\psi_i(x) \zeta_k(y) \chi_{{\cal S}_f}{\rm d}x{\rm d}y\\ &=&\lim_{k\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega} D_i\psi_i(x) \bigg(\int_{-\infty}^{f_{+}(x)}\zeta_k(y){\rm d}y\bigg){\rm d}x. \end{eqnarray*} $

注意当z>-k-1时有

$ \int^{z}_{-\infty}\zeta_k(y) {\rm d}y<k+1+z, $

且随着$k\rightarrow \infty$有

$ \int^{z}_{-\infty}\zeta_k(y) {\rm d}y-k-\frac{1}{2}\rightarrow z. $

由$\zeta_k$的定义以及$f\in L^1(\Omega)$, 我们有

$ \sum_{i=1}^{n} \int_{\Omega\times {\Bbb R}} D_i\psi(x) \chi_{{\cal S}_f}{\rm d}x{\rm d}y=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega} D_i\psi(x) f(x){\rm d}x. $

再取一列光滑函数列$\eta_k\in C_c^{\infty}({\Bbb R})$满足

$ \left\{\begin{array}{ll} 0\leq \eta_k\leq 1, \\ \eta_k=1, ~~&|y|\leq k~\mbox{时}, \\ \eta_k=0, ~~&|y|\geq k+1~\mbox{时}, \end{array}\right. $

则

$ \begin{eqnarray*} & &\int_{\Omega\times {\Bbb R}} D_{n+1}\left(\psi_{n+1}(x) \eta_k(y) \right) \chi_{{\cal S}_f}{\rm d}x{\rm d}y\\ &=&\int\psi_{n+1}(x)\eta'_k(y) \chi_{{\cal S}_f} {\rm d}x{\rm d}y\\ &=&\int_{\Omega} \psi_{n+1}(x) \eta_k(f_{+}(x)) {\rm d}x\\ &\rightarrow &\int_{\Omega} \psi_{n+1}(x) {\rm d}x. \end{eqnarray*} $

因此

$ \begin{eqnarray*} & &\int_{\Omega} {\rm div }\widehat{\psi(x)}{f(x)}{\rm d}x+ \int_{\Omega}\psi_{n+1}(x){\rm d}x\\ &=& \lim_{k \rightarrow \infty} \int_{\Omega\times {\Bbb R}} \bigg(\sum_{i=1}^{n}D_i\psi(x)+ D_{n+1}(\psi_{n+1}(x) \eta_k(y))\bigg) \chi_{{\cal S}_f}{\rm d}x{\rm d}y\\ &\leq& P({\cal S}_f, \Omega\times {\Bbb R})\\ &<& \infty, \end{eqnarray*} $

这意味着$f\in BV(\Omega)$和$|\mu|(\Omega)={\cal H}^n(\Gamma_{F, \Omega})$.

定理1.2的证明   因为F在Ω中是上半连续的, 因此$\Gamma_{F, \Omega}$在${\Bbb R}^{n+1}$上是相对闭的进而是${\cal H}^n$-可测的.由Fubini定理和假设${\cal H}^n(\Gamma_{F, \Omega})<\infty$可知, ${\cal L}^n(\Omega\backslash\Omega_s)=0$, 这里$\Omega_s$表示Ω中F(x)是单点值的集合.这样可知存在一个${\cal L}^n$ -可测函数$f:\Omega \longrightarrow {\Bbb R}$满足对几乎处处的x∈Ω有

$ f(x)=F(x), $

这样我们有${\cal G}_{F, \Omega}={\cal C}_f$由先前得到的关于BV函数的等价性描述定理可知, 只需要证明${\cal C}_f\subset \Gamma_{F, \Omega}$就可以得到结论.首先需要证明对任意的x∈ Ω, $[f_{-}(x), f_{+}(x)]\subset F(x)$.利用反证法, 假设存在$x_0\in \Omega$满足$f_{+}(x_0)>d$或者$f_{-}(x_0)<b$, 这里$F(x_0):=[b, d]$.当$f_{+}(x_0)>d$时, 存在一个$\epsilon_0>0$满足$d+\epsilon_0<f_{+}(x_0)$, 因此存在一个常数$r_0>0$使得对任意的$0<r<r_0$和$x'\in B(x_0, r)$有

$ F(x') \subset F(x_0)+B(0, \epsilon_0). $

因此

$ \begin{eqnarray*} & &\lim_{r\longrightarrow0} \frac{{\cal L}^n\left(B(x_0, r)\cap \{x'\in\Omega \mid f(z) > d+\epsilon_0\}\right)}{r^n} \\ &=&\lim_{r\longrightarrow0} \frac{{\cal L}^n\left(B(x_0, r)\cap \{x'\in\Omega \mid F(z) \cap ( d+\epsilon_0, \infty)\neq\emptyset\}\right)}{r^n}\\ &=&0, \end{eqnarray*} $

这与$f_{+}(x_0)$的定义相矛盾.当$f_{-}(x_0)<b$时, 我们可以类似地推导出矛盾.所以上述结论是成立的.再由简单的推导可知对任意的x∈ Ω都有$f_{-}(x)=\widetilde{f}_{-}(x)$和$f_{+}(x)=\widetilde{f}_{+}(x)$, 这意味着${\cal G}_{F, \Omega}={\cal C}_f$.综上所述定理得证.

由Giaquinta-Modica-Souček引入的Cartesian流理论可知, 对任意的$f\in {\cal A}^1(\Omega, {\Bbb R}^N)$, 我们可以定义一"装配"在${\cal G}_{f, \Omega}$上的整数重可求长流$G_f\in {\cal R}_n(\Omega \times {\Bbb R}^N)$.确切来说

$ G_f:=(Id\bowtie f)_{\sharp}{\bf [}\Omega{\bf]}. $

则对任意的$\Omega\times {\Bbb R}^N$中具有紧支集的光滑n -形式$\omega\in {\cal D}^n(\Omega \times {\Bbb R}^N)$

$ \begin{eqnarray*} G_{f}(\omega) &= &\int_{\Omega} (Id\bowtie f)^{\sharp} \omega {\rm d}x \\ &=& \int_{\Omega} \langle\omega(x, u(x)), M(Df(x))\rangle {\rm d}x \\ &=& \sum_{|\alpha|+|\beta|=n} \sigma(\alpha, \overline{\alpha}) \int_{\Omega} \omega_{\alpha\beta}(x, f(x)) M_{\overline{\alpha}}^{\beta} (Df(x)) {\rm d}x, \end{eqnarray*} $

这里

$ M(Df)=\bigg(e_1+\sum_{i=1}^{N} D_1 f^i \epsilon_i\bigg)\wedge \cdots \wedge\bigg(e_n+\sum_{i=1}^{N} D_n f^i \epsilon_i\bigg) $

是$\bigwedge_n({\Bbb R}^{n+N})$中的n -向量. $\{e_i\}_{i=1}^{n}$, $\{\epsilon_i\}_{i=1}^{N}$分别是${\Bbb R}^n$和${\Bbb R}^N$的标准基.特别地$G_f$的质量是有限的且

$ {\bf M}(G_f)=\int_{\Omega}|M(D f)|{\rm d}x={\cal H}^n({\cal G}_{f, \Omega}). $

更多的细节可见文献[7].

定理1.3的证明   由定理1.2可知存在函数$f\in BV(\Omega)$满足${\cal G}_{F, \Omega}={\cal C}_f$.则装配在${\cal G}_{F, \Omega}$上的流可以定义如下

$ G_F:=(-1)^n\partial \left({\bf E}^{n+1} \llcorner {\cal S}_f\right). $

对任意的$\omega \in {\cal D}^n(\Omega \times {\Bbb R})$, 可以写成如下形式$\omega=\sum\limits_{i=1}^{n}\omega_i(x, y)\widehat{{\rm d}x^i} \wedge {\rm d}y + \omega_{n+1}(x, y){\rm d}x$, 其中$\omega_i\in C^{\infty}_{c}(\Omega)$, (i=1, …, n).则

$ \begin{eqnarray*} G_F(\omega)&=&\sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{n+i-1}\int D_i\omega_{i}(x, y) \chi_{{\cal S}_f}{\rm d}x{\rm d}y\\ &=&\sum_{i=1}^{n+1} \int (-1)^{n+i} \omega_i (x, y) \cdot n^{i}((x, y), {\cal S}_f) {\rm d} \| \partial {\cal S}_{f}\| \\ &= &- \int \langle \omega, \ast n(x, {\cal S}_f)\rangle {\rm d}\| \partial {\cal S}_{f}\| \\ &=&\int _{\Gamma_{F, \Omega}}\langle \omega, -\ast n(x, {\cal S}_f)\rangle {\rm d} {\cal H}^n, \end{eqnarray*} $

这里$\ast n\left((x, y), {\cal S}_f\right)= \sum\limits_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}n^i(x, {\cal S}_f) e_{\overline{i}}$.因此$G_F= \tau(\Gamma_{F, \Omega}, 1, -\ast n(x, {\cal S}_f))$.

由BV函数的逼近定理, 我们可知存在一列光滑函数$f_k \in C^{\infty}(\Omega)$满足

$ {\cal S}_{f_k}\rightarrow {\cal S}_{f} ~\mbox{于}~ L^1(\Omega\times{\Bbb R}), ~ P( {\cal S}_{f_k}, \Omega\times{\Bbb R}) \rightarrow P( {\cal S}_{f}, \Omega\times{\Bbb R}). $

对任意的$\omega \in{\cal D}^n(\Omega \times {\Bbb R})$,

$ \begin{eqnarray*} G_{f_k}(\omega)&=&\sum_{i=1}^{n} (-1)^{n-i}\int_{\Omega}\omega_i(x, f_k(x)) D_if_k(x) {\rm d}x+\int_{\Omega}\omega_{n+1}(x, f_k(x)){\rm d}x\\ &=&\sum_{i=1}^{n} (-1)^{n-i-1}\int_{\Omega}\bigg[\frac{\rm d}{{\rm d}x_i} \int^{f_k(x)}_{\infty}\omega_i(x, y){\rm d}y-\omega_i(x, f_k(x)) D_if_k(x)\bigg] {\rm d}x \\ & &+ \int D_{n+1} \omega_{n+1}(x, y) \chi_{{\cal S}_{f_k}} {\rm d}x{\rm d}y\\ &=&\sum_{i=1}^{n} (-1)^{n+i-1}\int D_i \omega_{i}(x, y)\chi_{{\cal S}_{f_k}}{\rm d}x{\rm d}y\\ &\longrightarrow & G_F(\omega). \end{eqnarray*} $

而且因为${\cal H}^n(\Gamma_{f_k, \Omega})=P( {\cal S}_{f_k}, \Omega\times{\Bbb R})$以及${\cal H}^n({\cal G}_{F, \Omega})=P( {\cal S}_{f}, \Omega\times{\Bbb R})$, 我们可以推断出

$ {\cal H}^n(\Gamma_{f_k, \Omega})\rightarrow {\cal H}^n({\cal G}_{F, \Omega}). $

综上所述定理得证.

例4.1   设凸函数$f:\Omega \subset {\Bbb R}^n \longrightarrow{\Bbb R}$, 其梯度映射$\partial f : \Omega \longrightarrow P_0({\Bbb R}^n)$定义为

$ \partial f(x) =\{p \in {\Bbb R}^n | f(y) \geq f(x)+\langle p, y-x\rangle ~\mbox{对任意的}~ y \in \Omega \}. $

由凸函数的性质可知, f的次梯度$\partial f$是具有非空闭、凸像的上半连续集值映射, 而且$\partial f$的图像是k -可求长的且面积局部有限.我们考虑f的偏次导数$\partial_i f:=\pi_i\circ \partial f$, $i=1, \cdots, n$.其中$\pi_i$表示从${\Bbb R}^n$到第i个坐标系的投影.则容易推出$\partial_i f:\Omega\rightarrow P_0({\Bbb R})$是具有闭、凸像的集值映射, 而且上半连续且${\cal H}^n(\Gamma_{\partial_i f, \Omega'})<\infty$ $\Omega' \subset\subset \Omega$.则$\partial_i f$的rectifiable图像${\cal G}_{\partial_i f, \Omega}$上可以生成一rectifiable流且能被光滑函数图像逼近.特别地当n=1时, 可以推出${\cal G}_{\partial_i f, \Omega}=\Gamma_{\partial_i f, \Omega}$.这意味着$\partial f$的图像可以生成一rectifiable流, 而且流还可以被光滑函数图像逼近.