本文研究了以下种群细胞增生中一类Rotenberg模型

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & \frac{\partial \psi }{\partial t}(\mu ,v,t)=-v\frac{\partial \psi }{\partial \mu }(\mu ,v,t)-\sigma (\mu ,v)\psi (\mu ,v,t)+\int_{a}^{b}{r}(\mu ,v,{v}')\psi (\mu ,{v}',t)\text{d}{v}', \\ & (\mu ,v,0)={{\psi }_{0}}(\mu ,v),~~~(H\psi )(a,v)=\psi (0,v), \\ \end{align} \\ \end{array} \right.$

(1.1)

其中函数$\psi(\cdot,\cdot,\cdot)$ 表示由$\mu$,$v$,$t$ 构成的种群细胞密度; 变量$\mu$表示细胞成熟度且$\mu\in(0,1)$, 当$\mu=0$时表示细胞的出生,当$\mu=1$时表示细胞的死亡; 变量$v=\frac{{\rm d}\mu}{{\rm d}t}$表示细胞成熟速度且$v\in(a,b),(0\leq a＜v＜b\leq+\infty)$; $a\geq0$表示一些细胞在间隔一定的时间后开始成长的细胞分裂现象, $b\leq+\infty$表示一些细胞成熟速度迅速增大到无限的细胞分裂现象; 函数$r(\mu,v,t)$表示种群细胞从$v$到$v'$的转变率; $\sigma(\mu,v)$ 为总转变截面且

$ \sigma(\mu,v)=\int_{a}^{b}r(\mu,v,v'){\rm d}v'\in L^{\infty}((0,1)\times(a,b)); $

$H$表示定义在边界空间上的有界线性算子,在生物学上,边界算子$H$表示转移规则, 由于细胞在分裂和成长过程中会有不同的情况发生,故边界算子$H$具有不同的边界条件(见文献^[1-3]). 例如:非光滑边界条件

$\begin{equation} H\psi(1,v)=\alpha\psi(1,v)+\frac{\beta}{v}\int^{b}_{a}k(v,v') \psi(1,v')v'{\rm d}v', \end{equation}$

(1.2)

其中正核$k(v,v')$表示母体细胞成熟速度$v'$和它的子细胞成熟速度$v$间的相互关系,并满足标准化条件

$\begin{equation} \int_{a}^{b}k(v,v')=1, \end{equation}$

(1.3)

这里常数$\alpha,\beta\geq0$表示能生育的每一有丝分裂子细胞的平均数, $\beta=1$时保证了细胞通量的连续性.

模型(1.1)是由Rotenberg 在文献^[4]中提出的,它是在文献^[1]的基础上,以种群细胞的成熟度和 成熟速度为特征提出的另一类迁移方程,称为Rotenberg模型 (简称为$R$模型). 近年来,关于这类模型的迁移方程有许多研究 (部分见文献^[2-9]). 文献^[6]在$a>0,~b＜\infty$和光滑边界条件下,证明了 该模型的迁移算子生成的半群是不可约的,并给出了其解的渐近展开式等结果; 文献^[7]在文献^[6]的条件下, 详细讨论了其Streaming算子$T_H$ 的谱性质及其相应的迁移算子的各种本质谱等性质; 文献^[8]在$a>0,~b＜\infty$和$L^P (1＜P＜\infty)$空间,证明了该模型的迁移算子 生成半群的Dyson-phillips展式的9阶余项$R_9(t)$是紧的. 但是对这类种群细胞增生中具非光滑边界条件的Rotenberg模型(1.1)--(1.3), 在$L_{p}(1\leq p＜\infty)$空间中,这类模型相应的迁移算子的谱分析如何? 本文对此进行了讨论,证明了该迁移算子生成半群的Dyson-phillips展式的9阶余项$R_9(t)$ 在$L_1$上是弱紧和在$L_{p}(1＜p＜+\infty)$ 上是紧的,从而获得了该迁移算子的谱在某右半平面上仅由有限个具有限代数重 数的离散本征值组成及该迁移方程解的渐近稳定性等结果.

令 $X_{p}=L_{p}((0,1)\times(a,b);{\rm d}\mu {\rm d}v)\ (1\leq p＜+\infty)$, 且定义$X_{p}^{0}$和$X_{p}^{1}$为边界空间

$$ X_{p}^{0} = L_{p} (\{0\}\times(a,b);v {\rm d}v), $$

$$ X_{p}^{1} = L_{p} (\{1\}\times(a,b);v{\rm d}v). $$

定义索伯列夫空间$W_{p}$为

$W_{p} = \bigg\{\psi\in X_{p}|v\frac{\partial\psi}{\partial\mu}\in X_{p}\bigg\}. $

定义边界算子$H$为

$ \left\{ \begin{array}{l} H:X_{p}^{1} \rightarrow X_{p}^{0}, \\\psi^{1} \rightarrow H\psi^{1}, \end{array} \right. $

且$\psi^{0}=\psi(0,v),\psi^{1}=\psi(1,v)$.

引理2.1^[5] 令$\psi\in W_{p}$,若$\psi^{0}\in X_{p}^{0}$, 则$\psi^{1}\in X_{p}^{1}$;反之一样.

定义Streaming (即胞质环流)算子$T_H$和碰撞算子$K$及迁移算子$A_H$如下

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{T}_{H}}:D({{T}_{H}})\subset {{X}_{p}}\to {{X}_{p}}, \\ \begin{align} &\psi \to ({{T}_{H}}\psi )(\mu ,v)=-v\frac{\partial \psi }{\partial \mu }(\mu ,v)-\sigma (\mu ,v)\psi (\mu ,v), \\ &D({{T}_{H}})=\{\psi \in {{W}_{p}}|{{\psi }^{0}}=H{{\psi }^{1}}\}. \\ \end{align} \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} &K:{{X}_{p}}\to {{X}_{p}}, \\ &\psi \to (K\psi )(\mu ,v)=\int_{a}^{b}{r}(\mu ,v,{v}')\psi (\mu ,{v}')\text{d}{v}'. \\ \end{align} \\ \end{array} \right.$

$ A_H=T_H+K,~~~~~~D(A_H)=D(T_H). $

令

$ {\sigma_0}={\rm essinf}\{\sigma(\mu,v)|(\mu,v)\in(0,1)\times(a,b)\}. $

对$\varphi\in X_{p},\lambda\in C,\psi\in D(T_H)$, 考虑方程

$\begin{equation} (\lambda-T_H)\psi=\varphi. \end{equation}$

(2.1)

则$\forall \lambda:{\rm Re}\lambda>-{\sigma}_0$,方程(2.1)可形式地解为

$\begin{equation} \psi(\mu,v)=\psi(0,v){\rm e}^{-(1/v)\int_{0}^{\mu}(\lambda+\sigma(\mu',v)){\rm d}\mu'}+ \frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}{\rm e}^{-(1/v)\int_{\mu'}^{\mu}(\lambda+\sigma(\tau,v)) {\rm d}\tau}\varphi(\mu',v){\rm d}\mu'. \end{equation}$

(2.2)

取$\mu=1$,则(2.2)式为

$\begin{equation} \psi(1,v)=\psi(0,v){\rm e}^{-(1/v)\int_{0}^{1}(\lambda+\sigma(\mu',v)){\rm d}\mu'}+ \frac{1}{v}\int_{0}^{1}{\rm e}^{-(1/v)\int_{\mu'}^{1}(\lambda+\sigma(\tau,v)) {\rm d}\tau}\varphi(\mu',v){\rm d}\mu'. \end{equation}$

(2.3)

根据(2.2)式和(2.3)式引入如下算子

$ \left\{ \begin{array}{ll} P_{\lambda}:X_{p}^{0} \rightarrow X_{p}^{1},\\ u \rightarrow(P_{\lambda}u)(1,v):=u(0,v){\rm e}^{-(1/v)\int_{0}^{1} (\lambda+\sigma(\mu',v)){\rm d}\mu'}. \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} Q_{\lambda}:X_{p}^{0}\rightarrow X_{p},\\ u \rightarrow(Q_{\lambda}u)(\mu,v):=u(0,v){\rm e}^{-(1/v)\int_{0}^{\mu} (\lambda+\sigma(\mu',v)){\rm d}\mu'}. \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} D_{\lambda}:X_{p} \rightarrow X_{p}^{1},\$2mm] u \rightarrow(D_{\lambda}u)(1,v):=\frac{1}{v}\int_{0}^{1}{\rm e}^{-(1/v) \int_{\mu'}^{1}(\lambda+ \sigma(\tau,v)){\rm d}\tau}u(\mu',v){\rm d}\mu'. \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} E_{\lambda}:X_{p} \rightarrow X_{p},\$2mm] u \rightarrow(E_{\lambda}u)(\mu,v):=\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}{\rm e}^{-(1/v) \int_{\mu'}^{\mu}(\lambda+ \sigma(\tau,v)){\rm d}\tau}u(\mu',v){\rm d}\mu'. \end{array} \right. $

显然,$\forall\lambda: {\rm Re}\lambda>-{\sigma}_0$,算子$P_{\lambda}, Q_{\lambda},D_{\lambda}$和$E_{\lambda}$是有界的^[4],即

$ \|P_{\lambda}\| \leq {\rm e}^{-(1/b)({\rm Re}\lambda+{\sigma_0})}, ~~~~\|Q_{\lambda}\| \leq (p({\rm Re}\lambda+{\sigma_0}))^{-1/p}, $

$ \|D_{\lambda}\| \leq({\rm Re}\lambda+{\sigma_0})^{-1/q}, ~~~~\|E_{\lambda}\| \leq({\rm Re}\lambda+{\sigma_0})^{-1}, $

其中$1/p+1/q=1$,且在$X^{+}$ ($X$的正锥)上$P_{\lambda},Q_{\lambda}, D_{\lambda}$和$E_{\lambda}$都是正算子. 从而(2.3)式和(2.2)式分别为

$\begin{equation} \psi^{1}=P_{\lambda}H\psi^{1}+B_{\lambda}\varphi. \end{equation}$

(2.4)

$\begin{equation} \psi=Q_{\lambda}H\psi^{1}+E_{\lambda}\varphi. \end{equation}$

(2.5)

令

$ \lambda_{0}=\left\{ \begin{array}{ll} -{\sigma}_0, & \mbox{若} \parallel H\parallel＜1,\\ -{\sigma}_0+b\log(\parallel H\parallel),~~ & \mbox{若} \parallel H\parallel\geq 1. \end{array} \right. $

则当Re$\lambda>\lambda_{0}$时,有

$\begin{equation} \|P_{\lambda}H\|＜1. \end{equation}$

(2.6)

从而算子$(I-P_{\lambda}H)^{-1}$存在,所以

$\begin{equation} \psi^{1}=(I-P_{\lambda}H)^{-1}D_{\lambda}\varphi, \end{equation}$

(2.7)

$\begin{equation} \psi=Q_{\lambda}H(I-P_{\lambda}H)^{-1}D_{\lambda}\varphi+E_{\lambda}\varphi, \end{equation}$

(2.8)

即

$\begin{equation} (\lambda-T_H)^{-1}=Q_{\lambda}H(I-P_{\lambda}H)^{-1}D_{\lambda}+E_{\lambda} =\sum\limits_{n\geq0}Q_{\lambda}H(P_{\lambda}H)^{n}D_{\lambda}+E_{\lambda}. \end{equation}$

(2.9)

假设($O_1$)碰撞算子$K$是有界正的,边界算子$H=H_{1}+H_{2},$ $H_{i}\geq0$ $(i=1,2),H_{1}$是有界的; 若$1＜p＜+\infty$时,$H_{2}$为紧算子,若$p=1$时,$H_{2}$为弱紧算子.

($O_2$)子K 在 $X_p$上是正则的^[8]. 于是存在一列有限秩算子按一致算子拓扑收敛,即

$ \int_a^b{r(\mu,v,v')\psi(\mu,v'){\rm d}v'} =\sum_{i\in I}\alpha(\mu)f_i(v)\int_a^b g_{i}(v')\varphi (\mu,v'){\rm d}v', $

其中 $\alpha_i(\cdot)\in L_{\infty}([0,1],{\rm d}\mu),f_i(\cdot)\in L_{p}([a,b],{\rm d}v), g_{i}(\cdot)\in L_{q}([a,b],{\rm d}v), \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,I$ 是有限集.

若用$\sigma_0$取代函数$\sigma(\mu,v)$,得到一个新的streaming算子,记为$\overline{T_H}$, 同样定义$\overline{P}_\lambda$,$\overline{Q}_\lambda$,$\overline{D}_\lambda$和 $\overline{E}_\lambda$. 则 $\forall \lambda: {\rm Re}\lambda>\lambda_0 $,有

$\begin{equation} \left(\lambda I-\overline{T_H} \right)^{-1} =\sum\limits_{n\geq 0}\overline{Q_{\lambda}}H(\overline{P_{\lambda}}H)^{n}\overline{D_{\lambda}}+\overline{E_{\lambda}}. \end{equation}$

(2.10)

引理 2.2^[10] 设$B$是Banach空间$X$上半群$U(t)$的生成元,$K$为$X$上的有界算子,若存在 $m\in N $和 $\eta > \omega(U)$ 满足

(1) $(\lambda I-B)^{-1}[K(\lambda I-B)^{-1}]^{m}$是紧的$(\forall \lambda: {\rm Re} \lambda \geq\eta)$,

(2) $\lim\limits_{\mid {\rm {\rm Im}}\lambda\mid\rightarrow+\infty}\mid {\rm {\rm Im}}\lambda\mid\,\|(\lambda I-B)^{-1}[K(\lambda I-B)^{-1}]^{m}\|=0$, $\forall\lambda \in C,$ ${\rm Re}\lambda \geq \eta$, \\ 则$R_{2m+1}(t)$ $(\forall t>0)$在 $X$上是紧的.

引理 2.3^[10] 设 $(\Omega,\Sigma,\mu)$ 正可测空间,$S,T$ 是 $(\Omega,\mu)$上的有界算子,若 $T$ 是(弱)紧算子 且 $0\leq S \leq T$,则 $S$ 是(弱)紧算子.

设

$$\overline{A_H}=\overline{T_H}+K,~~ D(\overline{A_H})=D(\overline{T_H}).$$

$ U_H(t)_{t\geq 0}$和$ \overline{U_H(t)_{t\geq 0}}$分别由算子$ T_H$ 和 $ \overline{T_H}$生成的$C_0$半群; $ V_H(t)_{t\geq 0}$ 和 $ \overline{V_H(t)_{t\geq 0}}$ 分别由算子$ A_H$ 和$ \overline{A_H}$生成的$C_0$半群; $R_n(t)$ 和 $\overline{R_n(t)}$ 分别表示半群$V_H(t)_{t\geq 0}$和$\overline{V_H(t)_{t\geq 0}}$的 Dyson-Phillips展式的$n$阶余项.

引理 3.1 $\forall t>0,n\in \textbf{N}$,则

$\begin{equation} 0\leq R_n(t)\leq\overline{R_n(t)}, \end{equation}$

(3.1)

其中(见文献^{[8, 10]})

$\begin{equation} R_n(t) =\int_{t_1 + \cdots +t_n \le t,t_i \geq 0}U_H(t_1 )KU_H(t_2 )K \cdots U_H(t_n )KV_H(t - t_1 \cdots -t_n ){\rm d}t_1 \cdots {\rm d}t_n. \end{equation}$

(3.2)

$\begin{equation} \overline{R_n(t)} =\int_{t_1 + \cdots +t_n \le t,t_i \geq 0}\overline{U_H(t_1 )}K\overline{U_H(t_2 )}K \cdots \overline{U_H(t_n )}K\overline{V_H(t - t_1 \cdots -t_n )}{\rm d}t_1 \cdots {\rm d}t_n. \end{equation}$

(3.3)

证 $\forall \lambda: {\rm Re}\lambda>\lambda_0 $,经简单的计算可知

$\begin{equation} \overline{P_{\lambda}}\geq P_{\lambda},~~\overline{Q_{\lambda}}\geq Q_{\lambda}, ~~\overline{D_{\lambda}}\geq D_{\lambda},~~\overline{E_{\lambda}}\geq E_{\lambda}. \end{equation}$

(3.4)

由(1.1)式,(2.9)式和(3.4)式可知

$\begin{equation} (\lambda I-T_H )^{-1}\leq(\lambda I -\overline{T_H} )^{-1} . \end{equation}$

(3.5)

固定 $t>0$,由(3.4)式,则 $\forall \psi\in (X_p)_+,~n\in N$,使得 $\frac{n}{t}> \lambda$,有

$$ 0\leq \frac{n}{t}\Big(\frac{n}{t}-T_H \Big)^{-1}\psi\leq\frac{n}{t} \Big(\frac{n}{t}-\overline{T_H} \Big)^{-1}\psi. $$

从而

$$ 0\leq\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n}{t} \Big(\frac{n}{t}-T_H \Big)^{-1}\psi\leq\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n}{t} \Big(\frac{n}{t}-\overline{T_H} \Big)^{-1}\psi. $$

所以

$\begin{equation} 0\leq U_H(t)\leq\overline{ U_H(t)}. \end{equation}$

(3.6)

再由算子$K$的正性和(3.5)式可知

$$ 0\leq[(\lambda I-T_H)^{-1}K]^n(\lambda I-T_H)^{-1}\leq[(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}K]^n(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}. $$

因为

$$ (\lambda I -\overline{T_H}-K)^{-1} =\sum_{n\geq0}[(\lambda I -\overline{T_H})^{-1}K]^n(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}, $$

所以

$$ 0\leq(\lambda I-A_H )^{-1}\leq(\lambda I-\overline{A_H} )^{-1}. $$

从而

$\begin{equation} 0\leq V_H(t)\leq\overline{ V_H(t)}. \end{equation}$

(3.7)

所以由(3.3)-(3.7)式即知(3.1)式成立.

定理 3.1 若假设 $(O_1)$ 和 $(O_2)$ 被满足,$r\in [0,1)$,则

$\begin{equation} \lim\limits_{|\tt{{\rm Im}}\lambda| \rightarrow +\infty}\mid {\rm Im}\lambda\mid^{r}\|K(\lambda I-T_H)^{-1}K\|=0, \end{equation}$

(3.8)

在 $\Gamma_\omega=\{\lambda\in \textbf{C }$, Re$\lambda\geq\lambda_0+\omega\} (\omega >0)$上一致收敛.

证下面分四步证明.

(1) $\forall \lambda\in \Gamma_\omega$,证明

$\begin{equation} \lim_{\mid {\rm Im}\lambda\mid\rightarrow+\infty}\mid {\rm Im}\lambda\mid^{r}\parallel K \overline{E_{\lambda}}K\parallel=0 \end{equation}$

(3.9)

在 $\Gamma_\omega$上一致收敛, $\forall\varphi \in X_p$,则

$$ \overline{E_{\lambda}}\varphi(\mu,v)=\frac{1}{v}\int_0^\mu {\rm e}^{-\frac{\lambda+\sigma_0}{v}(\mu-\mu')}\varphi(\mu',v){\rm d}\mu'. $$

令 $t=\frac{\mu-\mu'}{v}$,则

$$ \overline{E_{\lambda}}\varphi(\mu,v)=\int_0^{+\infty}{\rm e}^{-(\lambda+\sigma_0)t}\varphi(\mu-tv,v)\chi_{(0,\frac{\mu}{v})}{\rm d}t. $$

若令

$$ \overline{E_{\lambda,\varepsilon}}\varphi(\mu,v)=\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}} {\rm e}^{-(\lambda+\sigma_0)t}\varphi(\mu-tv,v)\chi_{(0,\frac{\mu}{v})}(t){\rm d}t, $$

则$( \overline{E_{\lambda,\varepsilon}})_{\varepsilon >0}$ 在$\Gamma_\omega$ 上按算子拓扑一致收敛于 $\overline{E_{\lambda}}$ $(\varepsilon\rightarrow 0)$. 为此,只需证明: $\forall\varepsilon > 0 $,

$$ \lim_{\mid {\rm Im}\lambda\mid\rightarrow+\infty}\mid {\rm Im}\lambda\mid^{r}\parallel K \overline{E_{\lambda,\varepsilon}}K\parallel=0 $$

在$\Gamma_\omega$ 上一致收敛. 因为

$\begin{eqnarray*} K\overline{E_{\lambda,\varepsilon}}K\varphi(\mu,v) & = & \alpha(\mu)f(v)\int_a^b {\rm d}v'\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}{\rm d}t {\rm e}^{-(\lambda+\sigma_0)t}f(v')g(v')\chi_{(0,\frac{\mu}{v})}(t)\\ & & \times\alpha(\mu-tv')\int_a^b {\rm d}v''g(v'')\varphi(\mu-tv',v''). \end{eqnarray*}$

令 $s=\mu-tv',w(\cdot)=f(\cdot)g(\cdot)$,则

$\begin{eqnarray*} K\overline{E_{\lambda,\varepsilon}}K\varphi(\mu,v) & = & \alpha(\mu)f(v)\int_0^1 {\rm d}s\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}\frac{{\rm d}t}{t} {\rm e}^{-(\lambda+\sigma_0)t}w\Big(\frac{\mu-s}{t}\Big)\\ & & \times\alpha(s)\int_a^b {\rm d}v''g(v'')\varphi(s,v'')\chi_{(\mu-tc,\mu)}(s). \end{eqnarray*}$

令 $K\overline{E_{\lambda,\varepsilon}}K=E_1\cdot E_\varepsilon\cdot E_2$,其中

$ E_1:L_p[(0,1)\times(0,1)]\rightarrow X_p :\varphi\rightarrow E_1\varphi(\mu,v)=\alpha(\mu)f(v)\int_0^1 \varphi(\mu,s){\rm d}s, $

$ E_2:X_p\rightarrow L_p(0,1),\varphi\rightarrow E_2\varphi(\mu)=\alpha(\mu)\int_a^bg(v) \varphi(\mu,v){\rm d}v, $

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{E}_{\varepsilon }}:{{L}_{p}}(0,1)\to {{L}_{p}}[(0,1)\times (0,1)], \\ \varphi \to ({{E}_{\varepsilon }}\varphi )(\mu ,s)=\int_{\varepsilon }^{\frac{1}{\varepsilon }}{\frac{\text{d}t}{t}}{{\text{e}}^{-(\lambda +{{\sigma }_{0}})t}}w(\frac{\mu -s}{t})\varphi (s){{\chi }_{(\mu -tc,\mu )}}(s). \\ \end{array} \right.$

因为 $E_1 $ 和 $E_2$ 是有界算子,所以只需证明:$\forall r\in [0,1)$,有

$\begin{equation} \lim_{\mid {\rm Im}\lambda\mid\rightarrow+\infty}\mid {\rm Im}\lambda\mid^{pr}\parallel E_\varepsilon\parallel^{p}=0 \end{equation}$

(3.10)

在$\Gamma_\omega$ 上一致收敛. $\forall\varphi \in L_p(0,1)$,则

$\begin{eqnarray*} \parallel E_\varepsilon\varphi\parallel^{p} & = & \int_0^1 {\rm d}s\int_0^1 {\rm d}\mu\bigg|\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}} \frac{{\rm d}t}{t} {\rm e}^{-(\lambda+\sigma_0)t}w \Big(\frac{\mu-s}{t}\Big)\varphi(s)\chi_{(\mu-tc,\mu)}(s)\bigg|^{p}\\ & = & \int_0^1 {\rm d}s|\varphi(s)|^p\int_0^1 {\rm d}\mu \bigg| \int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}\frac{{\rm d}t}{t} {\rm e}^{-(\lambda+\sigma_0)t}w \Big(\frac{\mu-s}{t}\Big)\chi_{(\mu-tc,\mu)}(s)\bigg|^{p}. \end{eqnarray*}$

令 $\mu=\mu-s$,则由support$(w)\subset[\delta,c]~(\delta >0)$知

$\begin{eqnarray*} & & \int_0^a {\rm d}\mu \bigg|\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}\frac{{\rm d}t}{t} {\rm e}^{-(\lambda+\sigma_0)t}w\Big(\frac{\mu-s}{t}\Big)\chi_{(\mu-tc,\mu)}(s)\bigg|^{p}\\ & \leq & \int_{\varepsilon\delta}^{\frac{c}{\varepsilon}}{\rm d}\mu \bigg|\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}\frac{{\rm d}t}{t}{\rm e}^{-(\lambda+\sigma_0)t} w\Big(\frac{\mu}{t}\Big)\chi_{(\mu-tc,\mu)}(0)\bigg|^{p}, \end{eqnarray*}$

所以

$$ \parallel E_\varepsilon\parallel^{p} \leq \int_{\varepsilon\delta}^{\frac{c}{\varepsilon}}{\rm d}\mu \bigg|\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}\frac{{\rm d}t}{t}{\rm e}^{-(\lambda+\sigma_0)t}w \Big(\frac{s}{t}\Big)\chi_{(\mu-tc,\mu)}(0)\bigg|^{p}. $$

因为$\forall t\leq\frac{1}{\varepsilon}$,有 $\chi_{(\mu-tc,\mu)}(0)=\chi_{(\frac{\mu}{c},\frac{1}{\varepsilon})}(t)$, 所以,由文献[^[8],引理4.1]知: $\forall r\in [0,1)$,有

$\begin{equation} \lim_{\mid {\rm Im}\lambda\mid\rightarrow+\infty}\mid {\rm Im}\lambda\mid^{pr}\int_{\varepsilon\delta}^{\frac{c}{\varepsilon}} \bigg|\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}\frac{{\rm d}t}{t}{\rm e}^{-(\lambda+\sigma_0)t} w\Big(\frac{\mu}{t}\Big)\chi_{(\frac{\mu}{c},\frac{1}{\varepsilon})}(t)\bigg|^{p}{\rm d}\mu=0 \end{equation}$

(3.11)

在$\Gamma_\omega$ 上一致收敛. 所以由(3.11)式即知(3.10)式成立,从而知(1)获证.

(2) $\forall k\in \textbf{N}$,$r\in [0,1)$,证明

$\begin{equation} \lim_{\mid {\rm Im}\lambda\mid\rightarrow+\infty}\mid {\rm Im}\lambda\mid^{r}\parallel H_2(\overline{P_{\lambda}}H_1)^k\overline{D_{\lambda}}K\parallel=0 \end{equation}$

(3.12)

在$\Gamma_\omega$ 上一致收敛.因为 $H_2$ 是紧正算子,所以只需证明: 对 $H_2$ 为任意秩一正算子$(3.12)$式成立即可.

$ H_2:\varphi(a,v)\rightarrow H_2\varphi(0,v)= \eta(v)\int_a^b \beta(v') \varphi(1,v')v'{\rm d}v',~~v\in (a,b), $

其中 $\eta(\cdot)\in L_{p}[0,c],\beta(\cdot)\in L_{q}[0,c],\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$ 所以,设$ \varphi\in X_p,$ support$(f)\subset[\delta,c]$,有

$\begin{eqnarray*} (H_2(\overline{P_{\lambda}}H_1)^k\overline{D_{\lambda}}K\varphi)(0,v) & = & \eta(v)\int_\delta^c \beta(v')f(v'){\rm d}v'\int_0^1 {\rm d}\mu\\ & & \times\alpha(\mu){\rm e}^{\frac{-(\lambda+\sigma_0)(a(k+1)-\mu')}{v'}} \int_a^b {\rm d}v''g(v'')\varphi(\mu,v'')\\ & = & F_2\cdot F_{\lambda,a}\cdot F_1, \end{eqnarray*}$

其中

$ F_2:\gamma\in\textbf{ C}\rightarrow \gamma \eta(\cdot)\in X_p^0, $

$ F_1:\varphi\in X_p\rightarrow\alpha(\mu)\int_a^b g(v) \varphi(\mu,v){\rm d}v\in L_p[(0,1),{\rm d}\mu], $

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} &{{F}_{\lambda ,a}}:{{L}_{p}}[(0,1),\text{d}\mu ]\to \mathbf{C}, \\ &({{F}_{\lambda ,a}}\varphi )(\mu ,v)=\int_{0}^{1}{\text{d}}\mu \varphi (\mu )\int_{\delta }^{c}{\text{d}}v\Phi (v){{\text{e}}^{\frac{-(\lambda +{{\sigma }_{0}})(a(k+1)-\mu )}{v}}}, \\ \end{align} \\ \end{array} \right.$

其中$\Phi(\cdot)=\beta(\cdot)f(\cdot)$. 因为 $F_1 $和$F_2$ 是有界算子,所以

$ ||H_2(\overline{P_{\lambda}}H_1)^k\overline{D_{\lambda}}K||\leq||F_1||||F_{\lambda,a}|| ||F_2||. $

因此,只需证明

$\begin{equation} \lim_{\mid {\rm Im}\lambda\mid\rightarrow+\infty}\mid {\rm Im}\lambda\mid^{pr}\parallel F_{\lambda,a}\parallel^{p}=0 \end{equation}$

(3.13)

在$\Gamma_\omega$ 上一致收敛.所以由文献[^[8],引理4.4]知(3.13)式成立,从而知(2)获证.

(3) $\forall n\in \textbf{N}$,$r\in [0,1)$,证明

$\begin{equation} \lim_{\mid {\rm Im}\lambda\mid\rightarrow+\infty}\mid {\rm Im}\lambda\mid^{r}\parallel K \overline{Q_{\lambda}}H_1(\overline{P_{\lambda}}H_1)^{n}\overline{D_\lambda} K\parallel=0 \end{equation}$

(3.14)

在$\Gamma_\omega$ 上一致收敛. $\forall\varphi \in X_p$,因为

$\begin{eqnarray*} K \overline{Q_{\lambda}}H_1(\overline{P_{\lambda}}H_1)^{n}\overline{D_{\lambda}}K\varphi(\mu,v) & = & \alpha(\mu)f(v)\int_\delta^c \frac{w(v')}{v'} {\rm d}v' {\rm e}^{\frac{-(\lambda+\sigma_0)(na+\mu)}{v'}}\\ & & \times\int_0^1 {\rm d}\mu'\alpha(\mu'){\rm e}^{\frac{-(\lambda+\sigma_0)(a-\mu')}{v'}}\int_\delta^c {\rm d}v''g(v'')\varphi(\mu',v''). \end{eqnarray*}$

令

$$K \overline{Q_{\lambda}}H_1(\overline{P_{\lambda}}H_1)^{n}\overline{D_{\lambda}}K=G_1\cdot G_{\lambda,a}\cdot G_2, $$

其中

$ G_1:\varphi\in L_p[(0,1),{\rm d}\mu]\rightarrow \alpha(\mu)f(v)\varphi(\mu)\in X_p, $

$ G_2:\varphi\in X_p\rightarrow\alpha(\mu)\int_a^b g(v) \varphi(\mu,v){\rm d}v\in L_p[(0,1),{\rm d}\mu], $

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} &{{G}_{\lambda ,a}}:{{L}_{p}}[(0,1),\text{d}\mu ]\to {{L}_{p}}[(0,1),\text{d}\mu ], \\ &({{G}_{\lambda ,a}}\varphi )(\mu ,v)=\int_{0}^{1}{\text{d}}{\mu }'\varphi ({\mu }')\int_{\delta }^{c}{\frac{w(v)}{v}}{{\text{e}}^{\frac{-(\lambda +{{\sigma }_{0}})((n+1)a+\mu -{\mu }')}{v}}}\text{d}v. \\ \end{align} \\ \end{array} \right.$

因为 $G_1 $ 和 $G_2$ 都是有界算子,为此,只需证明

$\begin{equation} \lim_{\mid {\rm Im}\lambda\mid\rightarrow+\infty}\mid {\rm Im}\lambda\mid^{pr}\parallel F_{\lambda,a}\parallel=0 \end{equation}$

(3.15)

在$\Gamma_\omega$ 上一致收敛. 同(3.13)式类似可证$(3.15)$ 式成立,从而知(3)获证.

(4) $\forall {\rm Re}\lambda >\lambda_0$,由 (3.5)式和假设$(O_2)$,有

$ \|K(\lambda -T_H)^{-1}K\|\leq\|K(\lambda -\overline{T_H})^{-1}K\|, $

所以

$\begin{equation} \|K(\lambda -\overline{T_H})^{-1}K\|\leq \|K\overline{E_\lambda}K\|+ \sum\limits_{n\geq0}\|K\overline{Q_\lambda}H(\overline{P_\lambda H})^{n}K\|. \end{equation}$

(3.16)

从而由(1)-(4)和$r\in [0,1)$,本定理获证.

定理3.2 若假设 $(O_1)$ 和$(O_2)$ 被满足,则迁移半群$V_H(t)$的Dyson-phillips 展式的9阶余项${R_9(t})$在$X_1$上是弱紧的和 $X_p(1＜p＜\infty)$上是紧的,从而 迁移算子$A_H$ 的谱$\sigma(A_H)$ 在右半平面上至多由可数个具有限代数重数的离散本征值组成.

证 由引理2.3,只需证明: $\overline{R_9(t})$在$X_1$上是弱紧的和 $X_p(1＜p＜\infty)$上是紧的.

由假设$(O_2)$知: $K(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}$ 和 $(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}K$在$X_1$上是弱紧的和 $X_p(1＜p＜\infty)$上是紧的. 令

$ \overline{\Pi(\lambda)}=(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}[K(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}]^4. $

因为 $(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}$ 是有界算子,且

$\begin{equation} (\lambda I-\overline{T_H})^{-1}\leq\frac{1}{{\rm Re}\lambda -\lambda_0}, \end{equation}$

(3.17)

则 $\overline{\Pi(\lambda)}$在$X_p$上是紧算子. 另一方面,由于

$\begin{equation} \overline{\Pi(\lambda)}\leq||(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}||^3\cdot||K(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}K||^2. \end{equation}$

(3.18)

由 (3.17)式,对Re$\lambda\geq\lambda_0+\omega$,有

$\begin{equation} (\lambda I-\overline{T_H})^{-1}\leq\frac{1}{\omega}. \end{equation}$

(3.19)

所以 Re$\lambda\geq\lambda_0+\omega$,根据(3.18 )式和 (3.19)式知

$$ \mid {\rm Im}\lambda\mid\parallel \overline{\Pi(\lambda)}\parallel\leq \frac{1}{\omega^3}\big [\mid {\rm Im}\lambda\mid^{\frac{1}{2}} || K(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}K||\big]^2. $$

由定理3.1知

$$ \lim_{\mid {\rm Im}\lambda\mid\rightarrow+\infty}\mid {\rm Im}\lambda\mid\parallel \overline{\Pi(\lambda)}\parallel \leq\frac{1}{\omega^3}\Big[\lim_{\mid {\rm Im}\lambda\mid\rightarrow+\infty} \mid {\rm Im}\lambda\mid^{\frac{1}{2}} || K(\lambda I-\overline{T_H})^{-1}K||\Big]^2=0 $$

在$\Gamma_\omega$ 上一致收敛.又由引理2.2和定理3.1 知: $\forall t>0$,$\overline{R_9(t)}$ 在$X_1$上是弱紧的和 $X_p$ $(1＜p＜\infty)$上是紧的, 所以$\forall t>0$,${R_9(t)}$ 在$X_1$上是弱紧的和 $X_p$ $(1＜p＜\infty)$上是紧的, 从而由文献^[10],本定理获证.

定理3.3 条件同定理3.1.

(1) 若$\sigma(A_H)\neq\emptyset$, 则存在一个最大的具有限代数重数的实离散本征值${\lambda}^*$;

(2) 当$\lim\limits_{{\rm Re}\lambda\rightarrow\lambda_{0}} r_{\sigma}(E_{\lambda}H_2)>1$时,有$\sigma(A_H)\neq\emptyset$;

(3) $\sigma(A_H)$右半平面上$\Gamma_\omega$仅由有限个具 有限代数重数的离散本征组成.

证 (1) 由定理3.2和文献^[11]即知.

(2) 由(2.4)式知

$\begin{equation} \psi^1=P_\lambda H_1\psi^1 + P_\lambda H_2 \psi^1 + E_\lambda\varphi. \end{equation}$

(3.20)

若 $\lambda>\lambda_0$,则$(I-P_\lambda H_1)^{-1} $是有界可逆算子,且 (3.20)式变为

$\begin{equation} \psi^1=F_\lambda \psi^1+L_\lambda\varphi, \end{equation}$

(3.21)

其中$F_\lambda=(I-P_\lambda H_1)^{-1}P_\lambda H_2,L_\lambda=(I-P_\lambda H_1)^{-1}E_\lambda.$ 则存在 $\lambda_1 >\lambda_0$,对$\lambda >\lambda_1$,有

$$(I-P_\lambda H_1)^{-1}\leq (I-P_{\lambda_1} H_1)^{-1}.$$

因此

$$ (F_\lambda)^3\leq(I-P_\lambda H_1)^{-1}P_\lambda H_2(F_\lambda)^2. $$

由于 $H_2$ 是在 $X_1$上弱紧和在$X_p(1＜p＜\infty)$上紧,$ \lim\limits_{\lambda\rightarrow+\infty}P_\lambda=0$, 所以 $(P_{\lambda_1} H_2)^2$ 在$X_p$上紧,且

$$ ||F_\lambda||^3\leq||(I-P_{\lambda_1} H_1)^{-1}||\cdot||P_{\lambda} H_2||\cdot| | (F_{\lambda_1})^2||\rightarrow 0 (\lambda\rightarrow+\infty). $$

从而 $ \lim_{\lambda\rightarrow+\infty}r_\sigma(F_\lambda)=0. $ 其次,由谱映象定理^[12,p569]知: $F_\lambda $是关于$\lambda$的连续递减函数. 因为

$$ \lambda\in \sigma_p(A_H)\neq\emptyset \Longleftrightarrow 1\in \sigma(F_\lambda), $$

所以只需证明

$$ \lambda\in \sigma_p(A_H)\neq\emptyset \Longleftrightarrow \lim_{\lambda\rightarrow \lambda_0}r_\sigma(F_\lambda)>1. $$

令 $ \overline{F_\lambda}=(I-\overline{P_\lambda}H_1)^{-1}\overline{P_\lambda} H_2, $ 则 $\overline{F_\lambda}\rightarrow F_\lambda (\lambda>\lambda_0)$, 因为

$ \overline{F_\lambda}=\sum_{n\geq 0}(\overline{P_\lambda}H_1)^n\overline{P_\lambda} H_2 \geq\overline{P_\lambda} H_2, $

所以

$\begin{equation} F_\lambda\geq P_\lambda H_2;~~ \lim_{\lambda\rightarrow \lambda_0}r_\sigma(F_\lambda)\geq\lim_{\lambda\rightarrow \lambda_0}r_\sigma(P_\lambda H_2). \end{equation}$

(3.22)

因此,由(3.22)式和条件以及 $F_\lambda $ 是关于$\lambda$的连续递减函数知: 存在实数$\lambda^* >\lambda_0$,使得 $r_\sigma(F_{\lambda^*})=1$, 故 $\lambda^*\in \sigma_p(A_H)\neq\emptyset$. 从而(2)获证.

(3)~ 由定理3.1知: $\Gamma_\omega$在$|{\rm Im}\lambda|=+\infty$时没有聚点, 所以由定理3.2和定理3.3(2),也可见文献^[5]即知本定理(3)成立. 从而本定理获证.

由文献^[10]和定理3.3(3)可得模型(1.1)解的渐近稳定性定理.

定理3.4 条件同定理3.1,设

$$ \sigma(A_H)\cap \Gamma_\omega=\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\}, $$

$$ \beta_1=\sup\{{\rm Re}\lambda,\lambda\in\sigma(A_H),{\rm Re}\lambda＜\omega\},~~~ \beta_2=\min\{{\rm Re}\lambda_{i},1\leq i\leq n\}, $$

则$\forall\beta^{*}:~\beta_1＜\beta^*＜\beta_2$,使得当 $\psi_0\in D(A_H)$时,模型(1.1)的解满足

$$ \bigg\|\psi(t)-\sum\limits_{j=0}\limits^{n}{\rm e}^{\lambda_jt}{\rm e}^{tD_j}P_j\psi_0 \bigg\|=o({\rm e}^{\beta^{*}}), $$

其中$P_j$和$d_j$分别表示投影算子和由$\lambda_j$构成的幂零算子. 即模型(1.1)的解关于时间$t$是渐近稳定的.