本文主要研究描述流体力学规律的一类带有弱耗散和扰动外力的两维非自治不可压Navier-Stokes方程拉回吸引子的上半连续性

$ u + (u \cdot \nabla )u + \alpha u + \nabla p = \varepsilon f(t, x), \;\;(x, t) \in \Omega \times (\tau, + \infty ), $

(1.1)

$ {\rm{div}}u = 0, \;\;(x, t) \in \Omega \times (\tau, + \infty ), $

(1.2)

$ u(t, x){|_{\partial \Omega }} = 0, \;\;t \in (\tau, + \infty ), $

(1.3)

$ u(\tau, x) = {u_\tau }(x), \;\;x \in \Omega, \;\;\tau \in \mathbb{R}, $

(1.4)

其中$\Omega$是${\Bbb R}^2$中带有光滑边界$\partial\Omega$的有界区域, $\nu$代表流体的粘性常数, $f(t, x)$是非自治外力项, $u=u(t, x)=(u_1(t, x), u_2(t, x))$表示流体速度, $p$为压力, $\alpha>0$是正常数, $\alpha u$表示弱耗散项, $R_{\tau}=[\tau, +\infty)$, $\tau\in {\Bbb R}$, $\varepsilon$是任意的小正常数, 外力项$f(x, t)\in L^{2}_{\rm loc}({{\Bbb R}}; H)$是关于时间的局部可积函数.

当$\alpha=0$时, 系统(1.1)-(1.4)退化为一般的两维不可压Navier-Stokes方程

$ {u_t}- \nu \Delta u + (u \cdot \nabla )u + \nabla p = f(t, x), \;\;x \in \Omega, \;t \in {R_\tau }, $

(1.5)

$ \nabla \cdot u = 0, \;\;x \in \Omega, \;\;t \in {R_\tau }. $

(1.6)

自上世纪八十年代至今, 不可压Navier-Stokes方程解的整体适定性和长时间行为成为数学家们关注的重要研究课题之一.其中, 关于两维不可压Navier-Stokes方程, 解的整体存在性结果, 已经由Ladyzhenskaya^[19]和Temam^[29]分别解决.而两维Navier-Stokes方程无穷维动力系统的研究结果, 如自治系统在有界以及无界区域上全局吸引子的存在性, 非自治系统一致吸引子和拉回吸引子的存在性, 解缺乏唯一性时候的轨道吸引子, 带有时滞外力的Navier-Stokes方程吸引子的存在性等, 可以参见文献[4, 9, 12-13, 15, 20-22, 26]等.对于两维情形, 利用惯性流形去逼近吸引子, 仍是开问题.更进一步地, 由于三维不可压Navier-Stokes方程强解的存在性和弱解的唯一性没有得到完全解决, 所以关于整体解的无穷维动力系统仍然是公开的, 这些课题得到数学家们的广泛关注.出于这种考虑, 利用带耗散的Navier-Stokes方程来逼近标准方程进而探究标准方程解的长时间行为成为一个重要的研究课题, 近来这方面的部分研究结果, 可以参见文献[3, 16, 28, 34]等.

对于非线性发展方程的动力系统来说, 系统带有外力扰动, 阻尼扰动, 奇异外力等情形时候, 当扰动项或者奇异项趋近于稳态时, 吸引子的收敛性以及上下半连续性, 是动力系统研究中一个重要的课题, 关于非自治系统在扰动意义下吸引子的上半连续性结果, 可以参见文献[1-2, 5-7, 11, 14, 17-18, 23-24, 31-33, 35]等.

本文的研究目标是:

(1) 给出带阻尼和带有扰动外力的自治和非自治Navier-Stokes方程全局吸引子和拉回吸引子的存在性;

(2) 当扰动外力随着$\alpha$趋于$0$时, 证明两维带耗散Navier-Stokes方程关于相应Navier-Stokes方程吸引子的收敛性和上半连续性.

本文的研究动机和困难为:

(1) 关于带有耗散的流体方程, 吸引子的存在性已经有很多优秀的结果, 而关于拉回吸引子在扰动意义下的上半连续性, 研究结果较少, 这值得我们关注;

(2) 利用弱连续方法和解的分解技巧, 得到拉回吸引子的存在性以及拉回一致有界性, 进而给出吸引子的连续性, 是本文的困难和主要想法.

本文结构如下:第二部分我们将给出非自治系统拉回吸引子以及上半连续的基本理论; 第三部分给出解的整体存在性以及一些约定的符号; 第四部分证明非自治系统整体吸引子的存在性; 第五和六两部分阐述非自治Navier-Stokes方程拉回吸引子的存在性以及上半连续结果.

在本部分中, 我们将给出下面带有扰动外力的抽象发展方程

$ \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = {_f}u(x, t) + \varepsilon f(x, t) $

(2.1)

的拉回吸引子${\mathcal A}_{\varepsilon}=\{A_{\varepsilon}(t)\}_{t\in {\mathbb R}}$ $(\varepsilon>0)$和上述稳态自治系统全局吸引子${\cal A}$ $(\varepsilon=0)$的关系.事实上, 如果方程的解释唯一的, 在$\varepsilon=0$时候, 拉回吸引子和全局吸引子是一致的.

记$X$为Banach空间, 其范数记作$\parallel\cdot\parallel_{X}$.集合$B_{1}\subseteq X$和$B_{2}\subseteq X$在空间$X$中的Hausdorff半距离dist$_{X}(B_{1}, B_{2})$定义为

$ {\rm dist}_{X}(B_{1}, B_{2})=\sup\limits_{x\in B_{1}}\inf\limits_{y\in B_{2}}d_{X}(x, y) \quad \mbox{对} \quad B_{1}, B_{2}\subset X, $

这里$d_{X}(x, y)$代表两点$x$和$y$的距离.

如果系统的解存在且唯一, 则

(a) 对自治系统来说, $S(t):X\rightarrow X\ (t\in {\mathbb R})$是定义在$X$上的$C_{0}$ -半群, 如果关于半群$S(t)$的全局吸引子${\cal A}$存在, 其满足下面性质: (1) ${\cal A}$是不变的紧集, (2) ${\cal A}$吸引$X$中的所有有界子集, 即对任意的有界子集$B\subset X$, $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}{\rm dist}(S(t)B, {{\cal A}})=0$为真;

(b) 对于非自治系统来说, 如果双参数算子族$\{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau}$满足

$ U(t, s)U(s, \tau)=U(t, \tau), \quad \ \forall\ \ t\geq s\geq \tau, \tau\in{\mathbb R}, $

(2.2)

$ U(\tau, \tau)={\rm Id}, \quad\ \ \forall\ \ \tau\in{\mathbb R}, \label{a4} $

(2.3)

其被称作$X$上的解过程.本文中, 建立于解对初值的连续依赖性基础上的解过程, 我们一般都认同其在空间$X$上是连续的.

下面我们来给出拉回吸引子的一些定义和存在性理论的框架.

定义2.1 紧集族${\mathcal A}=\{ A(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$称作是连续过程$\{U(\cdot, \cdot)\}$的拉回吸引子, 如果其满足下述条件:

(i) ${\mathcal A}$是不变的;

(ii) ${\mathcal A}$是拉回吸引的, 即对所有的有界子集$B\subset X$, $\lim\limits_{\tau\rightarrow +\infty}{\rm dist}(U(t, t-\tau)B, A(t))=0$成立.

定义2.2 如果子集族${\mathcal B}=\{B(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$满足对任意的$t\in{\mathbb R}$和任意有界子集$B\subset X$, 存在一个时刻$T(t, B)>0$使得

$ U(t, t-\tau)B\subset B(t), \quad \forall\ \tau\geq T(t, B), $

(2.4)

则称之为关于过程$U(\cdot, \cdot)$拉回吸收的.

定义2.3 令${\mathcal B}=\{B(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$表示$X$中的子集族.称过程$U(\cdot, \cdot)$在空间$X$上是拉回${\mathcal B}$ -渐近紧的, 如果对任意的$t\in{\mathbb R}$以及任意子序列$\tau_{n}\rightarrow\infty$和$x_{n}\in B(t-\tau_{n})$, 序列$\{U(t, t-\tau_{n})x_{n}\}$在$X$中是预紧的.

定理2.1 如果集合族${\mathcal B}=\{B(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$关于过程是拉回吸收的, 解过程$U(\cdot, \cdot)$在空间$X$中是拉回${\mathcal B}$ -渐近紧的.则定义为$A(t)=\Lambda({\mathcal B}, t)$的集族${\mathcal A}=\{A(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$是$X$上过程的一个拉回吸引子族, 其中

$ \Lambda({\mathcal B}, t)=\bigcap\limits_{s\geq0}\overline{\bigcup\limits_{\tau\geq s}U(t, t-\tau)B(t-\tau)}, ~~ \forall~ t\in {\mathbb R}. $

下面, 我们将阐明如何用非紧测度来刻画拉回${\mathcal B}$ -渐近紧性.

定义2.4 设$B\subset X$, ${\mathcal B}=\{B(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$是$X$中的子集族, 过程$U(\cdot, \cdot)$称作是拉回${\mathcal B}$-$\kappa$压缩的, 如果对任意的$t\in{\mathbb R}$和$\varepsilon>0$, 存在时刻$T_{{\mathcal B}}(t, \varepsilon)>0$使得

$ \kappa(U(t, t-\tau)B(t-\tau))\leq\varepsilon, ~~\forall ~\tau\geq T_{{\mathcal B}}(t, \varepsilon), $

其中$\kappa(B)$表示Kuratowski非紧测度

$ \kappa(B)=\inf\left\{\delta>0|{\rm diameter} <\delta\right\}, $

其中$B$具有有限个直径小于$\delta$的有限覆盖集合.

引理2.1 令${\mathcal B}=\{B(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$和${\hat{\mathcal B}}=\{\hat{B}(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$为$X$中的两个集族并且满足:对任意的$t\in{\mathbb R}$, 存在时刻$T_{{\mathcal B}, \hat{{\mathcal B}}}(t)>0$使得

$ U(t, t-\tau)B(t-\tau)\subset\hat{B}(t), \quad \forall~\tau\geq T_{{\mathcal B}, \hat{{\mathcal B}}}(t), \nonumber $

(2.5)

则过程$U(\cdot, \cdot)$是拉回${\hat{\mathcal B}}$-$\kappa$压缩的可以推出过程是拉回${\mathcal B}$ -渐近紧的.

证 参见文献[32].

定理2.2 若引理2.1的条件成立, 并且过程$U(\cdot, \cdot)$是拉回${\hat{\mathcal B}}$-$\kappa$压缩的, 集族${\mathcal B}=\{B(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$关于过程$U(\cdot, \cdot)$是拉回吸收的, 则过程$U(\cdot, \cdot)$存在一个拉回吸引子.

证 参见文献[32].

定理2.3 令${\mathcal B}=\{B(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$为$X$中的集族, 假定过程具有下面分解$U(\cdot, \cdot)=U_{1}(\cdot, \cdot)+U_{2}(\cdot, \cdot):{\mathbb R}\times{\mathbb R}\times X\rightarrow X$且满足下面条件:

(i) 对任意的$t\in {\mathbb R}$,

$ \parallel U_{1}(t, t-\tau)x_{t-\tau}\parallel_{X}\leq\Phi(t, \tau), \quad \forall~ x_{t-\tau}\in B(t-\tau), \quad \tau>0, $

其中$\Phi(\cdot, \cdot):{\mathbb R}\times{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}^{+}$满足$\lim\limits_{\tau\rightarrow +\infty}\Phi(t, \tau)=0$, $\forall\ t\in{\mathbb R}$;

(ii) 对任意的$t\in{\mathbb R}$和$T\geq 0$, $\bigcup\limits_{0\leq \tau\leq T}U_{2}(t, t-\tau)B(t-\tau)$是有界的, $U_{2}(t, t-\tau)B(t-\tau)$在空间$X$中是预紧的.

则过程$U(\cdot, \cdot)$在空间$X$中是拉回${\mathcal B}$-$\kappa$压缩的.

证 参见文献[32].

最后, 利用过程的分解方法, 我们将讨论带有小参数$\varepsilon\in (0, \varepsilon_{0}]$的非自治扰动系统拉回吸引子的连续性, 即对任意$t\in {\mathbb R}$, $\tau\in {\mathbb R}$以及$x\in X$, 我们可以得到

$ (H_{1})\qquad ~\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}d_{X}(U_{\varepsilon}(t, t-\tau)x, S(\tau)x)=0, \label{a4a} $

(2.6)

对$X$中的任意有界集是一致成立的.

定理2.4^[5-6] (1) 若$(H_{1})$成立, 并且对任意的$\varepsilon\in (0, \varepsilon_{0}]$, 系统(7)存在拉回吸引子${\mathcal A}_{\varepsilon}=\{A_{\varepsilon}(t)\}_{t\in {\mathbb R}}$ $(\varepsilon>0)$;

(2) 存在紧集$K\subset X$使得

$ (H_{2})\qquad \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}{\rm dis}_{X}(A_{\varepsilon}(t), K)=0, \quad \forall~ t\in {\mathbb R}.\label{a5} $

(2.7)

则${\mathcal A}_{\varepsilon}$关于${\cal A}$是上半连续的, 即

$ \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}{\rm dis}_{X}(A_{\varepsilon}(t), {{\cal A}})=0, \quad \forall~ t\in {\mathbb R}.\label{a6} $

(2.8)

为了利用定理2.4来得到拉回吸引子${\mathcal A}_{\varepsilon}$到全局吸引子${\cal A}$的上半连续性, 下面将给出如何验证非自治耗散系统的解过程满足条件$(H_{2})$.

引理2.2 假设集族${\mathcal B}=\{B(t)\}_{t\in{\mathbb R}}$关于过程$U(\cdot, \cdot)$是拉回吸收的, 并且对任意$\varepsilon\in (0, \varepsilon_{0}]$, ${\mathcal K}_{\varepsilon}=\{K_{\varepsilon}(t)\}_{t\in {\mathbb R}}$是空间$X$中的紧集族.若$U_{\varepsilon}(\cdot, \cdot)=U_{1, \varepsilon}(\cdot, \cdot) +U_{2, \varepsilon}(\cdot, \cdot):{\mathbb R}\times{\mathbb R}\times X\rightarrow X$满足:

(i) 对任意的$t\in {\mathbb R}$和$\varepsilon\in (0, \varepsilon_{0}]$,

$ \parallel U_{1, \varepsilon}(t, t-\tau)x_{t-\tau}\parallel_{X}\leq\Phi(t, \tau), \quad \forall~ x_{t-\tau}\in B(t-\tau), \quad \tau>0, $

其中$\Phi(\cdot, \cdot):{\mathbb R}\times{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}^{+}$满足$\lim\limits_{\tau\rightarrow +\infty}\Phi(t, \tau)=0$ $(t\in{\mathbb R})$;

(ii) 对任意的$t\in{\mathbb R}$和$T\geq 0$, $\bigcup\limits_{0\leq \tau\leq T}U_{2, \varepsilon}(t, t-\tau)B(t-\tau)$对于任意的$t\in {\mathbb R}$是有界的, 并且存在不依赖于$\varepsilon$的时刻$T_{{\mathcal B}}(t)>0$使得

$ U_{2, \varepsilon}(t, t-\tau)B(t-\tau)\subset K_{\varepsilon}(t), \quad \forall~\tau\geq T_{{\mathcal B}}(t), \quad \varepsilon\in (0, \varepsilon_{0}], \label{a7} $

(2.9)

并且存在紧集$K\subset X$使得

$ (H'_{2})\qquad \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}{\rm dist}_{X}(K_{\varepsilon}(t), K)=0, \quad \forall~ t\in {\mathbb R}\label{a8} $

(2.10)

成立.

则对任意的$\varepsilon\in (0, \varepsilon_{0}]$, 系统存在拉回吸引子${\mathcal A}_{\varepsilon}=\{A_{\varepsilon}(t)\}_{t\in {\mathbb R}}$并且$(H_{2})$成立.

证 参见文献[32].

本文中, $C$表示依赖于区域$\Omega$但不依赖初始时刻$\tau\in {\Bbb R}$和时间$t$选取的正常数.

令$ {\cal E}:=\{u|u\in(C^{\infty}_0(\Omega))^2, {\rm div} u=0\}$, $H$表示${\cal E}$在$(L^2(\Omega))^2$拓扑中的闭包, $V$表示${\cal E}$在$(H^1(\Omega))^2$拓扑中的闭包, $W$表示${\cal E}$在$(H^2(\Omega))^2$拓扑中的闭包. $(\cdot, \cdot)$和$\|\cdot\|$分别表示$H$中的内积和范数

$ (u, v)=\mathop \sum \limits_{j = 1}^2 \int_{\Omega}u_j(x)v_j(x){\rm d}x, \ \|u\|^2=(u, u), \ \forall\ u, v\in (L^2(\Omega))^2, \label{7} $

(3.1)

$((\cdot, \cdot))$和$\|\cdot\|_V$分别代表了空间$V$中的内积和范数

$ ((u,v)) = \sum\limits_{i,j = 1}^2 {\int_\Omega {\frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}}} } \cdot \frac{{\partial {v_j}}}{{\partial {x_i}}}{\rm{d}}x,\;\forall \;u,v \in V $

(3.2)

和

$ \| u\|_V^2:=\mathop \sum \limits_{i = 1,j = 1}^2 \|\partial_i u_j\|^2_{L^2(\Omega)}, \ \ \forall\ u\in V.\label{9} $

(3.3)

容易看出, $V\hookrightarrow H\equiv H'\hookrightarrow V'$, $H'$和$V'$分别是$H$和$V$的共轭空间, 其中的包含关系是稠密的, 连续的.

令$P$为从$[L^2(\Omega)]'$到$H$的Helmholtz-Leray正交投影算子, $Au=-P\Delta u$表示值域为$D(A)=H^{2}(\Omega)\bigcap H^{1}_{0}(\Omega)$的Stokes算子, $\lambda$是算子$A$的第一本征值, 则对于任意的$u, \ v\in V$, 算子$A: V\rightarrow V'$满足性质$\langle Au, v\rangle=((u, v))$.

定义具备Dirichlet边界的由Laplacian算子生成的实指数Hilbert空间

$ {{\cal H}}^{\alpha}=D(A^{\frac{\alpha}{2}}), ~~~~~ \alpha \in {\Bbb R}, \label{a9} $

(3.4)

上述空间装备下述内积和范数

$ (\cdot, \cdot)_{\mathcal {H}^{\alpha}}=(A^{\frac{\alpha}{2}}\cdot, A^{\frac{\alpha}{2}}\cdot), ~~~~~\|\cdot\|_{\mathcal {H}^{\alpha}}=\|A^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\|, \label{a10} $

(3.5)

容易看出下述嵌入$D(A^{\frac{s}{2}})\hookrightarrow D(A^{\frac{r}{2}})$ $(s>r)$和

$ {{\cal H}}^{s}\equiv D(A^{\frac{s}{2}})\hookrightarrow (L^{\frac{6}{(3-2s)}}(\Omega))^{3}\label{a11} $

(3.6)

对于所有的$s\in [0, \frac{3}{2})$都是成立的.进一步地, 记${\mathcal {H}}^{2}=H^{2}(\Omega)\bigcap H^{1}_{0}(\Omega)$, ${\cal H}_s=D(A^{\frac{s+1}{2}})$为带有范数$\|\cdot\|_{{\cal H}_s}=\|\cdot\|_{1+s}$的Banach空间.

分别定义双线性和三线性算子如下

$ B(u, v):=P((u\cdot\nabla)v), \label{10} $

(3.7)

$ b(u, v, w)=\sum\limits_{i, j=1}^{2}{\int_{\Omega }{{{u}_{i}}}}\frac{\partial {{v}_{j}}}{\partial {{x}_{i}}}\cdot {{w}_{j}}\text{d}x=(B(u, v), w). $

(3.8)

三线性算子满足下述不等式(参见文献[30])

$ b(u, v, v)=0, \ b(u, v, w)=-b(u, w, v), \ \ \forall \ u, v, w\in V, $

(3.9)

$ \|b(u, v, w)\|\le C\|u{{\|}^{\frac{1}{2}}}\|u\|_{V}^{\frac{1}{2}}\|v{{\|}_{V}}\|w{{\|}_{V}}, \ \forall \ u, v, w\in V, $

(3.10)

$ \|b(u, v, u)\|\le C\|u{{\|}^{\frac{1}{2}}}\|u\|_{V}^{\frac{3}{2}}\|v{{\|}_{V}}, \ \forall \ u, v\in V, $

(3.11)

$ \|b(u, v, w)\|\le C\|u{{\|}_{V}}\|v{{\|}_{V}}\|w{{\|}^{\frac{1}{2}}}\|w\|_{V}^{\frac{1}{2}}, \ \forall u, v, w\in V, $

(3.12)

$ \|b(u, v, w)\|\le C\lambda _{V}^{\frac{1}{4}}\|u{{\|}_{V}}\|v{{\|}_{V}}\|w{{\|}_{V}}, \ \forall \ u, v, w\in V, $

(3.13)

$ |b(u, v, w)|\le C\|u{{\|}^{\frac{1}{2}}}\|Au{{\|}^{\frac{1}{2}}}\|v{{\|}_{V}}\|w\|, \ \forall (u, v, w)\in D(A)\times V\times H. $

(3.14)

Ladyzhenskaya不等式:对于任意的$u\in V$, 有

$ \|u\|_{L^{3}}\leq C\|u\|^{\frac{1}{2}}\|\nabla u\|^{\frac{1}{2}}. $

(3.15)

方程(1.1)可以写作下述抽象形式

$ Au + B(u, u) + G(u) = \sigma (t, x), $

(3.16)

压力$p$在投影算子$P$作用下消去, $G(u)=\alpha u$, $B(u, u)$表示双线性算子.显然方程(3.16)等价于方程(1.1)的下面弱形式

$ ({u_t}, v) + \nu (\nabla u, \nabla v) + (B(u, u), v) + (G(u), v) = (\sigma (t, x), v), $

(3.17)

其中$v\in {\cal E}$.

利用Galerkin逼近方法以及一些能量估计, 我们可以得到问题(1.1)-(1.3)的整体解如下述定理, 证明从略.

定理3.1 假设方程(3.16)中外力$\sigma(x, t)\in L^2_{\rm loc}({\Bbb R}^+, H) \subset L^2_{\rm loc}({\Bbb R}^+, V')$, 初值$u_{\tau}\in H$, 则问题(1.1)-(1.3)的抽象形式(3.16)有唯一的整体弱解$u(t, x)$:

$ u \in C([\tau, + \infty );H) \cap {L^2}(\tau, T;V) \cap {L^\infty }(\tau, T;D(A) \cap H). $

(3.18)

进一步地, 上述整体解生成一个连续过程$\{U(\tau, t)\} (\tau\in {\Bbb R}, \ t>\tau)$.特别的, 如果$\sigma(x, t)=0$, 即自治系统情形, 上述结果也是成立的.

自治情形可以写作装备有初边值的下面抽象形式

$ {u_t} + \nu Au + B(u, u) + \alpha u = h(x), \;\;x \in \Omega, $

(4.1)

$ {\rm{div}}u = 0. $

(4.2)

定理4.1 对任意的$h\in V'$和初值$u_0\in H$, 问题(4.1)-(4.2)整体解所生成的半群$\{S(t)\}, t\geq\tau\in {\Bbb R}$存在一个不变的紧的吸收$H$中所有有界集合的全局吸引子${{\cal A}}$.

证明可以从两步着手:由能量估计得到吸收球的存在性, 利用半群分解方法给出半群的渐近光滑性.

由于嵌入$H\hookrightarrow V'$是稠密的, 故对于任意的$h\in V'$, 我们可以找到一个依赖于$h$和$\varepsilon$的函数$h^{\varepsilon}\in H$使得

$ \|h- {h^\varepsilon }\| \le \varepsilon . $

(4.3)

半群具有以下分解: $S(t)u_0=S_v(t)u_0+S_w(t)u_0$, 其中$S_v(t)u_0=v(t)$和$S_w(t)u_0=w(t)$分别满足下面问题

$ {v_t} + \nu Av + \alpha v = h- {h^\varepsilon }, $

(4.4)

$ {\rm div} v=0, $

(4.5)

$ v(x, 0) = {u_0}(x) $

(4.6)

和

$ {w_t} + \nu Aw + B(u, u) + \alpha w = {h^\varepsilon }, $

(4.7)

$ {\rm{div}}w = 0, $

(4.8)

$ w(x, 0) = 0, \;\;x \in \Omega . $

(4.9)

引理4.1 设外力$h\in V'$, 初值$u_{\tau}\in H$, 则半群在$H$中存在有界的吸收集$B_0$, 其中

$ B_0=\left\{u\in H:\|u\|_H\leq \rho\right\} $

是$H$中的一个有界集合.

证 方程(4.1)两边与$u$做内积, 在$\Omega$上分部积分, 可得

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|^2+\nu\|\nabla u\|^2+\alpha\|u\|^2= \int_{\Omega}h(x)u{\rm d}x\leq \frac{\alpha}{2}\|u\|^2+\frac{2\|h\|^2}{\alpha}, $

(4.10)

其中$(B(u, u), u)=0$, $\|\cdot\|$表示$H$范数, $\|\nabla(\cdot)\|$等价于空间$V$范数.

Poincaré不等式$\|\nabla u\|^2\geq \lambda\|u\|^2$暗含了下式

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|^2+\lambda \nu\| u\|^2+\alpha\|u\|^2\leq \frac{1}{\lambda\nu}\|h(x)\|^2_{V'}+\lambda\nu\|u\|^2, $

(4.11)

即

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|^2+2\alpha\|u\|^2\leq \frac{2}{\lambda\nu}\|h(x)\|^2_{V'}. $

(4.12)

根据Gronwall不等式, 可知

$ \|u(x, t)\|^2\leq {\rm e}^{-2\alpha t}\|u_0\|^2+\frac{1}{\alpha\nu\lambda}\|h(x)\|^2_{V'}. $

(4.13)

选取$\rho^2={\rm e}^{-2\alpha t}\|u_0\|^2+\frac{1}{\alpha\nu\lambda}\|h(x)\|^2_{V'}$使得$B_0=\big\{u:\|u\|^2_H\leq \rho^2\big\}$, 即$B_0$是半群$\{S(t)\}_{t\geq 0}$在$H$中的有界吸收球.引理4.1得证.

定理4.2 对于任意的外力$f\in V'$, 带有初边值问题的(4.1)-(4.2)生成的半群$\{S(t)| t\geq0\}$在$H$上是渐近紧的.

证 利用半群分解方法, 本定理的证明分作下述引理.

引理4.2 对于系统(4.4)-(4.6), 存在常数$\varepsilon=\varepsilon(f, \delta)$使得对任意$t\geq 0$, 系统的解满足

$ \|S_v(t)u_0\|_{H}^2=\|v(x, t)\|^2_H\leq Q(\|u_0\|_H){\rm e}^{-2\alpha t}+\delta, $

(4.14)

其中$Q(\cdot)$是$[0, +\infty)$上的非负增函数.

证 方程(4.4)式两边乘以$v(t)$, 在区域$\Omega$上分部积分可得

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|v\|^2+\nu\|\nabla v\|^2+\alpha\|v\|^2 \leq\frac{1}{\nu\lambda}\|f-f^{\varepsilon}\|^2_{V'}+\nu\lambda\|v\|^2, $

(4.15)

从而

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|v\|^2+2\alpha\|v\|^2 \leq\frac{2}{\nu\lambda}\|f-f^{\varepsilon}\|^2_{V'}, $

(4.16)

应用Gronwall不等式可得

$ \|v\|_{H}^2\leq Q(\|u_0\|_H){\rm e}^{-2\alpha t}+\frac{1}{\alpha\nu\lambda }\|f-f^{\varepsilon}\|^2_{V'}. $

(4.17)

选取合适的$\varepsilon\leq \nu\alpha\lambda\delta$, 引理4.2得证.

引理4.3 对任意的$T>0$和$\varepsilon>0$, 存在依赖于$T, \ f^{\varepsilon}, \ \|u_0\|_H$的非负常数$M>0$使得对任意的$0 < s\leq1$, 问题(4.7)-(4.9)的解满足性质

$ \|S_w(t)u_0\|^2_{{\cal H}_s}=\|w(t)\|^2_{{\cal H}_s}\leq M. $

(4.18)

证 对(4.7)式两边关于$A^{s}w(t)$做内积, 分部积分有

$ \frac{1}{2}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\int_\Omega | {A^{\frac{s}{2}}}w{|^2}{\rm{d}}x + \nu \int_\Omega | {A^{\frac{{s + 1}}{2}}}w{|^2}{\rm{d}}x + \alpha \int_\Omega | {A^{\frac{s}{2}}}w{|^2}{\rm{d}}x + (B(u, u), {A^s}w) = \langle {f^\varepsilon }, w\rangle . $

(4.19)

由于$0 < s\leq1$, 利用Cauchy不等式可得

$ \langle f^{\varepsilon}, w\rangle\leq C\|f^{\varepsilon}\|\|A^{\frac{s+1}{2}}w\|\leq \frac{1}{2\nu}\|f^{\varepsilon}\|^2+\frac{\nu}{2}\int_{\Omega}|A^{\frac{s+1}{2}}w|^2{\rm d}x $

(4.20)

和

$ |(B(u, u), {{A}^{s}}w)|\le C\|B(u, u)\|\|{{A}^{\frac{s+1}{2}}}w\|\le C(\nu )\|u{{\|}^{2}}\|\nabla u{{\|}^{2}}+\frac{\nu }{2}\|{{A}^{\frac{s+1}{2}}}w{{\|}^{2}}\le {{C}_{1}}\|u{{\|}^{4}}+{{C}_{2}}\|\nabla u{{\|}^{4}}+\frac{\nu }{2}\|{{A}^{\frac{s+1}{2}}}w{{\|}^{2}}. $

(4.21)

结合(4.19)-(4.21)式, 利用定理3.1有

$ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\int_{\Omega }{|}{{A}^{\frac{s}{2}}}w{{|}^{2}}\text{d}x+\alpha \le {{C}_{3}}(\int_{\Omega }{|}{{A}^{\frac{s}{2}}}w{{|}^{2}}\text{d}x+1), $

(4.22)

其中$C_3=C_3(\nu, \alpha, \|f^{\varepsilon}\|^2, \|u_0\|^2)$.这意味下式成立

$ \int_{\Omega }{|}{{A}^{\frac{s}{2}}}w{{|}^{2}}\text{d}x\le {{\text{e}}^{{{C}_{3}}t}}, \ \ \forall \ t\ge 0. $

(4.23)

由于嵌入${\cal H}_{s}\hookrightarrow V\hookrightarrow H$是紧的, 所以易得半群的渐近紧性.引理4.3成立.

进而, 定理4.2及定理4.1得证.

考虑非自治系统的初边值问题

$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{t}}+\nu Au+B(u, u)+\alpha u=\varepsilon g(x, t)=\sigma (x, t), ~~ & (x, t)\in \Omega \times [\tau, \infty ), \\ \text{div}u=0, & (x, t)\in \Omega \times [\tau, \infty ), \\ u(x, t)=0, & (x, t)\in \partial \Omega \times [\tau, \infty ), \\ u(\tau, x)={{u}_{\tau }}(x), & x\in \Omega . \\ \end{array} \right. $

(5.1)

假设$u_{\tau}\in H$, 外力$\sigma\in L^2_{b}({\Bbb R}, H)$.根据定理3.1可得上述问题的唯一解

$ u(\cdot ;\tau, {{u}_{\tau }})\in C([\tau, +\infty );H)\cap {{L}^{2}}(\tau, T;V)\cap {{L}^{\infty }}(\tau, T;D(A)\cap H). $

记$u(t; \tau, u_{\tau})$为问题的解, 则解可以生成过程: $U(t, t-\tau): H\rightarrow H$.利用解的性质, 可以得到下面引理.

引理5.1 算子族$\{U(t, t-\tau)\}(\tau\leq t):H\rightarrow H$是$H$上的连续过程.

假定$\sigma'=2\nu\lambda_1, \ R_{\sigma'}=\{r:{\Bbb R}\rightarrow(0, +\infty)|\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow-\infty}}{\rm e}^{\sigma' t}r^2(t)=0\}$, 记${{\cal D}}_{\sigma'}$为集族$\hat{D}=\{D(t):t\in {\Bbb R}\}\subset {{\cal D}}(H)$使得$D(t)\subset \bar{B}(0, r_{\hat{D}}(t))$对$r_{\hat{D}}\in R_{\sigma'}$是成立的, 其中$\bar{B}(0, r_{\hat{D}}(t))$表示球心在零点半径为$r_{\hat{D}}(t)$的$V$中的球, $\lambda_1$为满足Poincaré不等式的第一本征值.

假设$u_{\tau}\in H$, 外力$g\in L^2_{b}({\Bbb R}, H)\subset L^2_{\rm loc}({\Bbb R}, H)$.此外假设存在常数$\beta>0$, $0\leq \alpha < \frac{\eta}{2}$和$\eta=\lambda\nu$使得

$ \|g(t){{\|}^{2}}\le \beta {{\text{e}}^{\alpha |t|}}, $

(5.2)

这暗含了下述式子

$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \int_{-\infty }^{t}{{{\text{e}}^{\eta s}}}\|g(s){{\|}^{2}}\text{d}s <+\infty, & \forall t\in \mathbb{R}, \\ \int_{-\infty }^{\tau }{\left( \int_{-\infty }^{t}{{{\text{e}}^{\eta s/2}}}\|g(s){{\|}^{2}}\text{d}s \right)}\text{d}t <+\infty, ~~ & \forall \ \tau \in \mathbb{R}. \\ \end{array} \right. $

(5.3)

引理5.2 假设初值$u_{\tau}\in H$, 外力$g\in L^2_{b}({\Bbb R}, H)$满足(5.2)式或者(5.3)式, 则系统在$H$中存在关于过程$\{U(t, \tau)\}$的$D_{\sigma}$拉回吸收集族$\hat{B}_{\sigma'}(t)$.

证 令$t\in {\Bbb R}, \ \tau\in {\Bbb R}$, $u_{\tau}\in H$, 记

$ u(r)=u(r;t-\tau, {{u}_{0}})=U(r-t+\tau, t-\tau, {{u}_{0}}), \ \forall r\ge t-\tau . $

注意到$b(u, v, v)=0$, 可得

$ \frac{\text{d}}{\text{d}t}({{\text{e}}^{{\sigma }'t}}\|u(t){{\|}^{2}})+2\nu {{\text{e}}^{{\sigma }'t}}\|\nabla u(t){{\|}^{2}}+2\alpha {{\text{e}}^{{\sigma }'t}}\|u{{\|}^{2}}={\sigma }'{{\text{e}}^{{\sigma }'t}}\|u(t){{\|}^{2}}+2{{\text{e}}^{{\sigma }'t}}(\sigma (t), u(t))\le \frac{{{\sigma }'}}{{{\lambda }_{1}}}{{\text{e}}^{{\sigma }'t}}\|\nabla u(t){{\|}^{2}}+\alpha {{\text{e}}^{{\sigma }'t}}\|u(t){{\|}^{2}}+\frac{4}{\alpha }{{\text{e}}^{{\sigma }'t}}\|\sigma (t){{\|}^{2}}=2\nu {{\text{e}}^{{\sigma }'t}}\|\nabla u(t){{\|}^{2}}+\alpha {{\text{e}}^{{\sigma }'t}}\|u(t){{\|}^{2}}+\frac{4}{\alpha }{{\text{e}}^{{\sigma }'t}}\|\sigma (t){{\|}^{2}}, $

(5.4)

即

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}({\rm e}^{\sigma' t}\|u(t)\|^2)+ \alpha {\rm e}^{\sigma' t}\|u\|^2\leq \frac{4}{\alpha} {\rm e}^{\sigma' t}\|\sigma(t)\|^2. $

(5.5)

令$\hat{D}\in {{\cal D}}_{\sigma'}$, 因此容易得到

$ \|U(t, \tau, {{u}_{\tau }})\|_{H}^{2}\le {{\text{e}}^{-({\sigma }'+2\alpha )(t-\tau )}}\|{{u}_{\tau }}{{\|}^{2}}+\frac{4}{\alpha }\int_{\tau }^{t}{{{\text{e}}^{\alpha (s-t)}}}\|\sigma {{\|}^{2}}\text{d}s \\\le {{\text{e}}^{-({\sigma }'+2\alpha )(t-\tau )}}r_{{\hat{D}}}^{2}+\frac{4}{\alpha }\int_{\tau }^{t}{{{\text{e}}^{\alpha (s-t)}}}\|\sigma {{\|}^{2}}\text{d}s \\\le {{\text{e}}^{-({\sigma }'+2\alpha )(t-\tau )}}r_{{\hat{D}}}^{2}+\frac{4}{\alpha }(\int_{t-1}^{t}{{{\text{e}}^{\alpha (s-t)}}}\|\sigma (s){{\|}^{2}}\text{d}s \\+\int_{t-2}^{t-1}{{{\text{e}}^{\alpha (s-t)}}}\|\sigma (s){{\|}^{2}}\text{d}s+\cdots ) \\\le {{\text{e}}^{-({\sigma }'+2\alpha )(t-\tau )}}r_{{\hat{D}}}^{2}+\frac{4}{\alpha }(\int_{t-1}^{t}{\|\sigma (s){{\|}^{2}}}\text{d}s \\+{{\text{e}}^{-\alpha }}\int_{t-2}^{t-1}{\|\sigma (s){{\|}^{2}}}\text{d}s+{{\text{e}}^{-2\alpha }}\int_{t-3}^{t-2}{\|\sigma (s){{\|}^{2}}}\text{d}s+\cdots ) \\\le {{\text{e}}^{-({\sigma }'+2\alpha )(t-\tau )}}r_{{\hat{D}}}^{2}+\frac{4}{\alpha }(1+{{\text{e}}^{-\alpha }}+{{\text{e}}^{-2\alpha }}+\cdots )\|\sigma (s)\|_{L_{b}^{2}(\mathbb{R};H)}^{2} \\\le \|{{u}_{\tau }}{{\|}^{2}}{{\text{e}}^{-({\sigma }'+2\alpha )(t-\tau )}}+\frac{4}{\alpha }\frac{1}{(1-{{\text{e}}^{-\alpha }})}\|\sigma (s)\|_{L_{b}^{2}(\mathbb{R};H)}^{2} \\\le {{\text{e}}^{-({\sigma }'+2\alpha )(t-\tau )}}r_{{\hat{D}}}^{2}+\frac{4}{\alpha }(1+\frac{1}{\alpha })\|\sigma (s)\|_{L_{b}^{2}(\mathbb{R};H)}^{2} \\\le {{\text{e}}^{-({\sigma }'+2\alpha )(t-\tau )}}r_{{\hat{D}}}^{2}+\frac{4}{\alpha }(1+\frac{1}{\alpha })\|{{\sigma }_{0}}\|_{L_{b}^{2}(\mathbb{R};H)}^{2}, $

(5.6)

其中$u_{\tau}\in D(\tau), \ t\geq\tau$.

设定

$ {{\text{e}}^{-({\sigma }'+2\alpha )(t-\tau )}}r_{{\hat{D}}}^{2}\le \frac{4}{\alpha }(1+\frac{1}{\alpha })\|{{\sigma }_{0}}\|_{L_{b}^{2}(\mathbb{R};H)}^{2}, $

则记$R_{\sigma'}(t)$为满足下述定义的非负实数

$ (R_{\sigma'}(t))^2=\frac{4}{\alpha}\Big(1+\frac{1}{\alpha}\Big) \|\sigma_0\|^2_{L^2_b({\Bbb R};H)}, $

(5.7)

考察集族$\hat{B}_{\sigma'}$在$H$拓扑下的闭包

$ B_{\sigma'}(t)=\{u\in H|\|u\|_H\leq R_{\sigma'}(t)\}. $

(5.8)

可得$\hat{B}_{\sigma'}\in {{\cal D}}_{\sigma'}$, 即$\hat{B}_{\sigma'}$是过程$\{U(t, \tau)\}$的${{\cal D}}_{\sigma'}$的拉回吸收集族.引理立证.

由解的性质可得过程的连续性.

引理5.3 假设$\{u^n_{\tau}\}$是$H$中的序列并且若收敛到$u_{\tau}\in H$, 则

$ U(t,\tau )u_{\tau }^{n}\rightharpoonup U(t,\tau ){{u}_{\tau }}\ 在H中弱收敛,\ \ \forall \ t\ge \tau , $

(5.9)

$ U(\cdot ,\tau )u_{\tau }^{n}\rightharpoonup U(\cdot ,\tau ){{u}_{\tau }}在{{L}^{2}}(\tau ,T;V)中弱收敛,\ \ \forall \ t\ge \tau . $

(5.10)

引理5.4 解过程$\{U(t, \tau)\}$是拉回$D_{\sigma'}$-渐近紧的, 即对任意固定的$\hat{D}\in D_{\sigma'}$, $\tau_n\rightarrow-\infty$, $u^n_{\tau}\in D(\tau)$和$\tau, t\in {\Bbb R}$, 序列$U(t, \tau_n)u^n_{\tau}$存在在$H$中强收敛的子序列.

证 设$\{u^n_{\tau}\}$为$H$中的有界序列, $\{\tau_n\}\subset R_{\tau}, \ \tau_n\rightarrow-\infty$ $(n\rightarrow+\infty)$.由于$\hat{B}_{\sigma'}$是拉回${{\cal D}}_{\sigma'}$ -吸收的, 故对任意整数$k\geq 0$, 存在$\tau_{{\hat{D}}}(t, k)\leq t$使得

$ U(t-k, \tau-k)D(\tau-k)\subset B_{\sigma'}(t-k), \ \forall\ \tau\leq \tau_{{\hat{D}}}(t, k) $

(5.11)

和

$ U(t-k, \tau)D(\tau)\subset B_{\sigma'}(t-k). $

(5.12)

利用对角化原理, 存在序列$\{(\tau_{n'}, u^{n'}_{\tau})\}\subset\{(\tau_n, u^n_{\tau})\}$和$\{u_k\}\subset V$使得对任意的$k\geq 0$和$u_k\in B_{\sigma'}(t-k)$, 有

$ U(t-k,{{\tau }_{{{n}'}}})u_{\tau }^{{{n}'}}\rightharpoonup {{u}_{k}}\ 在H中. $

(5.13)

利用引理5.3可得

$ u = \mathop {\lim }\limits_{n' \to \infty } {\mkern 1mu} U(t,{\tau _{n'}})u_\tau ^{n'} = \mathop {\lim }\limits_{n' \to \infty } {\mkern 1mu} U(t,t - k)U(t - k,{\tau _{n'}})u_\tau ^{n'} \\= U(t,t - k)\mathop {\lim }\limits_{n' \to \infty } {\mkern 1mu} U(t - k,{\tau _{n'}})u_\tau ^{n'} = U(t,t - k){u_k}, $

(5.14)

上式中的极限均选取$H$中的弱拓扑.

下面我们将证明$H$中的渐近紧性, 即当$n\rightarrow+\infty$时

$ \|U(t, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}-u\|_H\rightarrow 0. $

(5.15)

这等价于证明下述式子

$ \mathop {\lim \inf }\limits_{n' \to \infty } \|U(t, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}\|_H\geq \|u\|_H, $

(5.16)

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n' \to \infty } \|U(t, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}\|_H\leq \|u\|_H. $

(5.17)

由于(5.13)式暗含(5.16)式, 从而我们仅需证明(5.17).

方程(5.1)两边同乘以${\rm e}^{\sigma' t}u$, 分部积分可得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}({\rm e}^{\sigma' t}\|u(t)\|^2)+2\nu {\rm e}^{\sigma' t}\|\nabla u(t)\|^2+2\alpha {\rm e}^{\sigma' t}\|u(t)\|^2 =\sigma' {\rm e}^{\sigma' t}\|u(t)\|^2+2{\rm e}^{\sigma' t}(\sigma(t), u(t)), $

(5.18)

即

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}{\rm e}^{\sigma' t}\|u(t)\|^2=-F(u(t)){\rm e}^{\sigma' t}+2{\rm e}^{\sigma' t}(\sigma(t), u(t)), $

(5.19)

其中

$ F(u(t))=2\nu\|\nabla u(t)\|^2+(\sigma'-2\alpha)\| u(t)\|^2. $

进而可得

$ \|u(t)\|^2={\rm e}^{-\sigma' (t-\tau)}\|u_{\tau}\|^2 +\int^t_{\tau}{\rm e}^{-\sigma(t-s)}((\sigma(s), u(s))-F(u(s))){\rm d}s. $

(5.20)

因此对任意的$k\geq0$和$\tau_{n'}\leq t-k$, 有下式成立

$ \|U(t, {{\tau }_{{{n}'}}})u_{\tau }^{{{n}'}}{{\|}^{2}}=\|U(t, t-k)U(t-k, {{\tau }_{{{n}'}}})u_{\tau }^{{{n}'}}{{\|}^{2}} \\=\|U(t-k, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}\|^2{\rm e}^{-\sigma' k} \\+2\int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)} (\sigma(s), U(s, s-k)U(s-k, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}){\rm d}s \\-\int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)}F(U(s, s-k) U(s-k, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}){\rm d}s.\label{c19} $

(5.21)

由(5.14)式可知

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n' \to \infty } \|U(t-k, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}\|^2{\rm e}^{-\sigma' k}\leq {\rm e}^{-\sigma' k} \|u_k\|^2. $

(5.22)

利用引理5.3可得

$ U(\cdot ,t-k)U(t-k,{{\tau }_{{{n}'}}})u_{\tau }^{{{n}'}}\rightharpoonup U(\cdot ,t-k){{u}_{k}}\ 在{{L}^{2}}(t-k,t;V)中弱收敛,\ \ \forall \ t>\tau , $

(5.23)

这暗含下式成立

$ \mathop {\lim }\limits_{_{n' \to \infty }} 2\int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)} (\sigma(s), U(s, s-k)U(s-k, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}){\rm d}s \\=2\int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)} (\sigma(s), U(s, s-k)u_k){\rm d}s. $

(5.24)

接下来, 我们将处理(5.21)式右端的每一项.利用(5.14)和(5.23)式, 我们有

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n' \to \infty } \left(-\int^t_{t-k} {\rm e}^{-\sigma'(t-s)}F(U(s, s-k)U(s-k, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}){\rm d}s\right) \\= - \mathop {\lim \inf }\limits_{n' \to \infty } \Big\{ \int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)}\Big[2\nu\|\nabla U(s, s-k)U(s-k, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}\|^2 \\+(\alpha'-2\alpha)\|U(s, s-k)U(s-k, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}\|^2\Big]{\rm d}s\Big\} \\\leq -\int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)}\Big(2\nu\|\nabla U(s, s-k)u_k\|^2+(\sigma'-2\alpha)\| U(s, s-k)u_k\|^2\Big){\rm d}s \\=-\int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)}F(U(s, s-k)u_k){\rm d}s. $

(5.25)

结合式子(5.21)-(5.25)可得

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n' \to \infty } \|U(t, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}\|^2 \leq {\rm e}^{-\sigma' k}\|u_k\|^2+2\int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)} (\sigma(s), U(s, s-k)u_k){\rm d}s \\-\int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)}F(U(s, s-k)u_k){\rm d}s. $

(5.26)

利用(5.14)和(5.20)式, 我们得到

$ \|u(t)\|^2=\|U(t, t-k)u_k\|^2 \\={\rm e}^{-\sigma' k}\|u_k\|^2+ 2\int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)}(\sigma(s), U(s, s-k)u_k){\rm d}s \\-\int^t_{t-k}{\rm e}^{-\sigma'(t-s)}F(U(s, s-k)u_k){\rm d}s, $

(5.27)

其中

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n' \to \infty } \|U(t, \tau_{n'})u^{n'}_{\tau}\|^2\leq \|u(t)\|^2. $

(5.28)

综合(5.16), (5.17), (5.28)式以及弱收敛(5.13), 我们可以得出强收敛(5.15), 进而可以得到过程的渐近紧性.引理5.4得证.

结合引理5.1-5.4可得拉回吸引子的存在性定理.

定理5.1 假设$\sigma=\varepsilon g\in L^2_{b}({\Bbb R}, H)$满足(5.2)或者(5.3)式, 初值$u_{\tau}\in H$, 则非自治系统的过程在$H$中存在一个拉回${{\cal D}}_{\sigma'}$ -吸引子${{\cal A}}_{\sigma'}(t)\in {{\cal D}}_{\sigma'}$, 其中${{\cal A}}_{\sigma'}(t)=\Lambda(\hat{B}_{\sigma'}, t)={{\cal A}}_{\varepsilon}$.

本部分我们将证明非自治系统(1.1)在$\varepsilon>0$时的拉回吸引子关于$\varepsilon=0$时全局吸引子的上半连续性.

本文的主要定理论述如下:

定理6.1 假设$\sigma=\varepsilon g\in L^2_{b}({\Bbb R}, H)$满足(5.2)或者(5.3)式, 初值$u_{\tau}\in H$, 则和系统(1.1)等价的系统(5.1)在$\varepsilon>0$时的拉回吸引子${\mathcal A}_{\varepsilon}=\{{\mathcal {A}}_{\varepsilon}(t)\}_{t\in {\mathbb R}}$关于$\varepsilon=0$时的全局吸引子${\cal A}$满足下面上半连续性

$ \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} {\rm dis}_{X}({{\cal A}}_{\varepsilon}(t), {{\cal A}})=0, \quad \forall~ t\in {\mathbb R}. $

(6.1)

下面, 我们将利用定理2.4和引理2.2来证明我们的主要结果定理6.1.

引理6.1  (1) 设$u_{\tau}\in H$, 则相应系统(5.1)的自治情形$\varepsilon=0$时解生成的半群$\{S(t)\}$存在全局吸引子$\mathcal {A}\in H$.

(2) 假设$u_{\tau}\in H(\Omega)$, 外力$g\in L^2_{b}({\Bbb R}, H)$满足(5.2)或者(5.3)式, 则相应系统(5.1)的非自治情形$\varepsilon\geq0$的解$u_{\varepsilon}(x, t)\; \; (\varepsilon\geq 0)$生成的过程$\{U_{\varepsilon}(t, \tau)\}$存在拉回吸引子${\cal A}_{\varepsilon}\in H$.

基于初值$u_{\tau}\in H$的问题(5.1)的解$u_{\varepsilon}(t)=U_{\varepsilon}(t, \tau) u_{\tau}$具有下面分解

$ u_{\varepsilon}=U_{\varepsilon}(t, \tau)u_{\tau}=U_{1, \varepsilon}(t, \tau)u_{\tau} +U_{2, \varepsilon}(t, \tau)u_{\tau}, $

(6.2)

其中

$ U_{1, \varepsilon}(t, \tau)u_{\tau}=v(t), $

(6.3)

$ U_{2, \varepsilon}(t, \tau)u_{\tau}=w(t) $

(6.4)

分别满足下述初边值问题

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{v_t} + \nu Av + B(v, v) + \alpha v = 0, }\\ {v(x, t){|_{\partial \Omega }} = 0, }\\ {v(\tau, x) = {v_\tau }(x)} \end{array}} \right. $

(6.5)

和

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{w_t} + \nu Aw + \alpha w = B(w, w) - B(w, u) - B(u, w) + \varepsilon f(x, t), }\\ {w(x, t){|_{\partial \Omega }} = 0, }\\ {w(\tau, x) = 0.} \end{array}} \right. $

(6.6)

引理6.2 假设$u_{\tau}\in H$, 外力$g\in L^2_{b}({\Bbb R}, H)$满足(5.2)或者(5.3)式.则对任意的有界集$B\subset H$和$t\in {\mathbb R}$, 存在时刻$T(B, t)>0$使得

$ \parallel U_{\varepsilon}(t, t-\tau)u_{t-\tau}\parallel^{2}\leq R_{\varepsilon}(t), \quad \forall~ \tau\geq T(B, t), \forall ~u_{t-\tau}\in B, $

(6.7)

其中$R_{\varepsilon}(t)=C\varepsilon {\rm e}^{-\eta t}\int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{\eta s}\|g(s)\|_{H}^{2}{\rm d}s$, $C$是不依赖于$B, t, \tau$的正常数.

证 选取$\eta=\nu\lambda$, $R_{\eta}=\{r:{\Bbb R}\rightarrow(0, +\infty)|\displaystyle{\lim_{t\rightarrow-\infty}}{\rm e}^{\eta t}r^2(t)=0\}$, 记${{\cal D}}_{\eta}$为集族$\hat{D}=\{D(t):t\in {\Bbb R}\}\subset {{\cal D}}(H)$使得$D(t)\subset \bar{B}(0, r_{\hat{D}}(t))$, $r_{\hat{D}}$, 其中$\bar{B}(0, r_{\hat{D}}(t))$表示球心在零点半径是$r_{\hat{D}}(t)$的$H$中的闭球.

令$t\in {\Bbb R}, \ \tau\in {\Bbb R}$, $u_{\tau}\in H$, 记

$ u_{\varepsilon}(r)=u(r;t-\tau, u_0)= u_{\varepsilon}(r-t+\tau, t-\tau, u_0), \ r\geq t-\tau. $

(6.8)

由于$u\in C([\tau, +\infty); H)\cap L^2(\tau, T;V)\cap L^{\infty}(\tau, T;D(A)\cap H)$, 注意到$(B(u_{\varepsilon}, u_{\varepsilon}), u_{\varepsilon})=0$, 从而得到

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big({\rm e}^{\eta t}\|u_{\varepsilon}(t)\|^2\Big)+2\nu {\rm e}^{\eta t}\|\nabla u_{\varepsilon}(t)\|^2+2\alpha {\rm e}^{\eta t}\|u_{\varepsilon}(t)\|^2 \\\eta {\rm e}^{\eta t}\|u_{\varepsilon}(t)\|^2+2{\rm e}^{\eta t}(\varepsilon g(t), u_{\varepsilon}(t)) \\\leq \frac{\eta}{\lambda}{\rm e}^{\eta t}\|\nabla u_{\varepsilon}(t)\|^2+\frac{\eta}{\lambda}{\rm e}^{\eta t}\|\nabla u_{\varepsilon}(t)\|^2+\frac{C\varepsilon}{\eta}{\rm e}^{\eta t}\|g(t)\|_H^2 \\\leq \frac{2\eta}{\lambda}{\rm e}^{\eta t}\|\nabla u_{\varepsilon}(t)\|^2+\frac{C\varepsilon}{\eta}{\rm e}^{\eta t}\|g(t)\|_H^2 //\leq 2\nu {\rm e}^{\eta t}\|\nabla u_{\varepsilon}(t)\|^2+\frac{C\varepsilon}{\eta}{\rm e}^{\eta t}\|g(t)\|_H^2, $

(6.9)

对所有的$u_{\varepsilon}\in H$都成立, 即

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big({\rm e}^{\eta t}\| u_{\varepsilon}(t)\|^2\Big)+2\alpha {\rm e}^{\eta t}\|u_{\varepsilon}(t)\|^2\leq \frac{C\varepsilon}{\eta}{\rm e}^{\eta t}\|g(t)\|_H^2, $

(6.10)

这暗含下式

$ \|u_{\varepsilon}(t)\|^2\leq {\rm e}^{-\eta(t-\tau)}\| u_{\tau}\|^2+\frac{C\varepsilon}{\eta} \int^t_{\tau}{\rm e}^{-\eta(t-\xi)}\|g(\xi)\|_H^2{\rm d}\xi $

(6.11)

对所有$\tau\in {\Bbb R}$为真.

设$\hat{D}\in {{\cal D}}_{\eta}$已知, 选择合适的参数$\eta$, 我们可得

$ \|u_{\varepsilon}(t, t-\tau)u_{t-\tau}\|^2_{H}\leq {\rm e}^{-\eta (t-\tau)}r^2_{\hat{D}}+\frac{\varepsilon}{\eta} \int^t_{-\infty}{\rm e}^{-\eta(t-\xi)}\|g(\xi)\|_H^2{\rm d}\xi $

(6.12)

对所有的$u_{\tau}\in D(\tau), \ t\geq\tau$都成立.

设定${\rm e}^{-\eta (t-\tau)}r^2_{\hat{D}}\leq \frac{\varepsilon}{\eta}\int^t_{-\infty}{\rm e}^{-\eta(t-\xi)}\|g(\xi)\|_H^2{\rm d}\xi$, 则我们记$R_{\varepsilon}(t)$为满足下面定义的非负常数

$ (R_{\varepsilon}(t))^2=\frac{2\varepsilon}{\eta} \int^t_{-\infty}{\rm e}^{-\eta(t-\xi)}\|g(\xi)\|_H^2{\rm d}\xi. $

(6.13)

考察$H$中满足下述定义的闭球族$\hat{B}_{\varepsilon}$

$ B_{\varepsilon}(t)=\{u_{\varepsilon}\in H|\|u_{\varepsilon}\|_{H}\leq 2R_{\varepsilon}(t)\}. $

(6.14)

直接验证可得$\hat{B}_{\varepsilon}\in {{\cal D}}_{\eta}$, 因此$\hat{B}_{\eta}$是关于过程$\{u_{\varepsilon}(t, t-\tau)\}$的${{\cal D}}_{\eta}$-拉回吸收集族.引理6.2得证.

设定

$ B_{\varepsilon}=\{u_{\varepsilon}\in H(\Omega)\mid\parallel u_{\varepsilon}\parallel_{H}\leq R_{\varepsilon}(t)\}, $

(6.15)

则集族${\mathcal B}_{\varepsilon}=\{B_{\varepsilon}(t)\}_{t\in {{\Bbb R}}}$在$H$中是拉回吸收的.进一步地,

$ \lim\limits_{t\rightarrow-\infty}{\rm e}^{\eta t}R_{\varepsilon}(t)=0, \quad \forall ~\varepsilon>0. $

(6.16)

引理6.3 设$R_{\varepsilon}(t)$和$B_{\varepsilon}(t)$定义如上(6.15)和(6.16), 则对任意的$t\in {\mathbb R}$, 问题(6.5)的解$v(t)=U_{1, \varepsilon}(t, t-\tau)u(t-\tau)$满足

$ \|U_{1, \varepsilon}(t, t-\tau)u_{t-\tau}\|_{H}^{2}\leq {\rm e}^{-\eta\tau}R_{\varepsilon}(t-\tau), $

(6.17)

其中$\tau\geq 0$, $u_{t-\tau}\in D_{\varepsilon}(t-\tau)$.

证 方程(6.5)两边同乘以$v$并分部积分可得

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\parallel v(t)\parallel^2+\nu\parallel \nabla v\parallel^{2}+\alpha\|v\|^2\leq 0, $

此处我们利用了三线性算子的性质$(B(v, v), v)=0$.

利用Poincáre'不等式可得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\parallel v(t)\parallel^2+\Big(2\alpha\parallel v\parallel^2+2\lambda\nu\parallel v\parallel^{2}\Big)\leq0, $

(6.18)

选取合适参数$0 < \eta_1\leq \min\{2\eta, 2\alpha\}$, 我们有

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\parallel v(t)\parallel^2 +\eta_1\parallel v\parallel^{2}\leq0. $

(6.19)

对(6.19)式从$t-\tau$到$t$积分可得

$ \|U_{1, \varepsilon}(t, t-\tau)u_{t-\tau}\|_{H}^{2}\leq\Big(\parallel v_{t-\tau}\parallel^2+\parallel \nabla v_{t-\tau}\parallel^{2}\Big){\rm e}^{-\eta_1(t-\tau)}\nonumber\\ \leq {\rm e}^{-\eta_1\tau}R_{\varepsilon}(t-\tau). $

(6.20)

引理6.3可证.

引理6.4 设${\mathcal B}_{\varepsilon}(t)=\{B_{\varepsilon}(t)\}_{t\in {\mathbb R}}$如(6.15)和(6.16)式所定义, 对任意的$t\in {\mathbb R}$, 存在时刻$T_{\varepsilon}(t, {\mathcal B})>0$和函数$I_{\varepsilon}(t)>0$使得对于任意的$\tau\geq T_{\varepsilon}(t, {\mathcal B}) $和$u_{t-\tau}\in B_{\varepsilon}(t-\tau)$, 问题(6.6)的解$U_{2, \varepsilon}(t, \tau)u_{\tau}=w(t)$满足

$ \|U_{2, \varepsilon}(t, t-\tau)u_{t-\tau}\|_{H}^{2}\leq I_{\varepsilon}(t). $

(6.21)

证 方程(6.6)两边关于$w(t)$同时在$H$中做内积可得

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\parallel w(t)\parallel^2+\nu\int_{\Omega}\mid \nabla w(t)\mid^2{\rm d}x+\alpha\int_{\Omega}\mid w(t)\mid^2{\rm d}x\nonumber\\ =\langle B(w, w)-B(w, u)-B(u, w), w\rangle+\varepsilon\langle g(t, x), w\rangle. $

(6.22)

利用Young不等式, 三线性算子的性质$(B(w, w), w)=0$, $(B(u, w), w)=0$以及其所满足的不等式, 式子(6.15)-(6.16), 我们可得

$ \langle B(w, w)-B(w, u)-B(u, w), w\rangle \\\leq |\langle B(w, u), w\rangle| \leq C\|w\|^{\frac{1}{2}}\|w\|^{\frac{3}{2}}_V\|v\|_{V} \\\leq C\|w\|^2\|v\|^2+ \nu\|\nabla w\|^2 \leq C{\rm e}^{-\eta_1\tau}R_{\varepsilon}(t-\tau)\|w\|^2+ \nu\|\nabla w\|^2 $

(6.23)

和

$ \langle g(t, x), w\rangle\leq \frac{\alpha}{2\varepsilon}\parallel w(t)\parallel^2+C\varepsilon\parallel g(t)\parallel_{H}^{2}. $

(6.24)

因此利用(6.22)-(6.24)式, 我们有

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\parallel w(t)\parallel^{2}+\alpha\parallel w(t)\parallel^2\leq C\Big({\rm e}^{-\eta_1\tau}R_{\varepsilon}(t-\tau)\|w\|^2+\varepsilon^2\parallel g(t)\parallel_{H}^{2}\Big), $

(6.25)

其中常数$C$依赖于$\parallel u_{t-\tau}\parallel^{2}_{H}$和$\sigma$以及算子$A$的第一本征值$\lambda$.

关于(6.25)式两端从$t-\tau$到$t$积分, 利用引理6.2和6.3, 注意到$u_{\varepsilon}(t)=v(t)+w(t)$, 我们可得

$ \parallel w(t)\parallel^{2}\leq C{\rm e}^{Ct}\int_{t-\tau}^{t}(1+\varepsilon^{2}\parallel g(x, s)\parallel^2){\rm e}^{-Cs}{\rm d}s=I_{\varepsilon}(t) $

(6.26)

对所有的$t>\tau$都成立, 引理6.4可证.

引理6.5 对任意的$t\in {\mathbb R}$和$\tau> 0$, 若$u_{0}$落在有界集中, 则当$\varepsilon\rightarrow 0^{+}$时, 问题(1.1)在$\varepsilon>0$时的解$u_{\varepsilon}(t)=U_{\varepsilon}(t, t-\tau)u_{0}$在$H$中收敛到问题(1.1)在$\varepsilon=0$时候的解$u(t)=S(\tau)u_{0}$, 即

$ \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\sup\limits_{u_{0}\in B}\|u_{\varepsilon}(t)-u(t)\|_{H}=0, $

(6.27)

其中$B$是$H$中的有界子集.

证 记

$ y^{\varepsilon}(t)=u_{\varepsilon}(t)-u(t), $

(6.28)

则我们可以验证$y^{\varepsilon}(t)$满足方程

$ y^{\epsilon}_{t}+ \nu Ay^{\varepsilon}+ \alpha y^{\varepsilon}=-B(u_{\varepsilon}, u_{\varepsilon})+B(u, u)+\varepsilon g(x, t), $

(6.29)

$ y_{\varepsilon}|_{\partial\Omega}=0, $

(6.30)

$ y_{\varepsilon}|_{t=\tau}=(u_{\varepsilon})_{\tau}-u_{\tau}. $

(6.31)

方程(6.29)两边同乘以$y^{\varepsilon}(t)$, 注意到边界条件, 我们有

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|y^{\varepsilon}\|^{2}+\alpha \| y^{\varepsilon}\|^2+\nu\|\nabla y^{\varepsilon}\|^{2} \\=\langle B(u, u)-B(u_{\varepsilon}, u_{\varepsilon}), y^{\varepsilon} \rangle+\langle\varepsilon g, y^{\varepsilon}\rangle \\\leq\mid\langle B(u, u)-B(u_{\varepsilon}, u_{\varepsilon}), y^{\varepsilon}\rangle\mid+\frac{\varepsilon^{2}}{\lambda\nu}\parallel g(t)\parallel_{H}^{2}+\lambda\nu\parallel y^{\varepsilon}\parallel^{2} \\\leq\mid\langle B(u, u)-B(u_{\varepsilon}, u_{\varepsilon}), y^{\varepsilon}\rangle\mid +\frac{\varepsilon^{2}}{\lambda\nu}\parallel g(t)\parallel_{H}^{2} +\nu\parallel\nabla y^{\varepsilon}\parallel^{2}. $

(6.32)

利用Young不等式和Sobolev嵌入定理, 以及三线性算子的性质以及相关不等式, 可得

$ \mid\langle B(u, u)-B(u_{\varepsilon}, u_{\varepsilon}), y^{\varepsilon}\rangle\mid \\\leq \parallel B(u^{\varepsilon}, u^{\varepsilon})-B(u, u)\parallel_{H}\parallel y^{\varepsilon}\parallel_{H} \\\le \mathop {\sup }\limits_{w \in H,{\|w\|_H} = 1} \mid\langle B(u^{\varepsilon}-u, u)-B(u^{\varepsilon}, u^{\varepsilon}-u), w\rangle_{H}\mid\parallel y^{\varepsilon}\parallel_{H} \\\leq2C{\lambda^{-\frac{1}{4}}}\parallel u^{\varepsilon}-u\parallel_{H}^2(\parallel u^{\varepsilon}\parallel_{V}+\parallel u\parallel_{V}) \\=2C{\lambda^{-\frac{1}{4}}}\parallel y^{\varepsilon}\parallel_{H}^2(\parallel u^{\varepsilon}\parallel_{V}+\parallel u\parallel_{V}). $

(6.33)

因此

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|y^{\varepsilon}\|^{2}+ \nu\|\nabla y^{\varepsilon}\|^{2}+\alpha \| y^{\varepsilon}\|^2 \\\leq 2C{\lambda^{-\frac{1}{4}}}\parallel y^{\varepsilon}\parallel_{H}^2(\parallel u^{\varepsilon}\parallel_{V}+\parallel u\parallel_{V})+\frac{\varepsilon^{2}}{\lambda\nu}\parallel g(t) \parallel_{H}^{2}+\nu\parallel\nabla y^{\varepsilon}\parallel^{2}, $

(6.34)

即

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \|y^{\varepsilon}\|^{2}+2\alpha \| y^{\varepsilon}\|^2\leq 4C{\lambda^{-\frac{1}{4}}}\parallel y^{\varepsilon}\parallel_{H}^2(\parallel u^{\varepsilon}\parallel_{V}+\parallel u\parallel_{V})+\frac{2\varepsilon^{2}}{\lambda\nu}\parallel g(t)\parallel_{H}^{2}. $

(6.35)

利用引理6.2, 6.3, 6.4和式子(6.15)-(6.16), 注意到解的存在性

$ u_{\varepsilon}, u\in C([\tau, +\infty);H)\cap L^2(\tau, T;V)\cap L^{\infty}(\tau, T;D(A)\cap H), $

(6.36)

然后对(6.35)式运用Gronwall不等式, 并注意到$g\in L^{2}_{b}({\mathbb R}, H) \subset L^{2}_{\rm loc}({\mathbb R}, H)$, 可得$\varepsilon\rightarrow 0^+$时

$ \|y^{\varepsilon}\|_{H}^{2} \leq C\varepsilon^2{\rm e}^{C_1(\alpha)\int^{t}_{t-\tau}(1+\|u_{\varepsilon}(s)\|^2_{V} +\|u(s)\|^2_{V}){\rm d}s}\int_{t-\tau}^{t}\|g(s)\|_{H}^{2}{\rm d}s\nonumber\\ \leq C'\varepsilon\rightarrow. 0\ $

(6.37)

这意味着(6.27)式成立.引理6.5得证.

定理6.1的证明 结合引理6.1-6.5, 应用定理2.1-2.4和引理2.1-2.2, 定理6.1得证.