由于较为真实地反映了生物种群演化进程中群体和个体的有机联系,基于个体尺度 (Size structure,Body size) 的种群模型在近三十年来吸引了生态学家和数学家的广泛关注,参见集成文献[1, 2, 3, 4, 5]. 美国学者Tucker与Zimmerman在文献[6]中分析了一类较为广泛的种群模型,它含有个体年龄以及有限个个体尺度结构变量. 作者们用压缩映像原理证明了无穷时间轴上正解的存在性,讨论了平衡态的存在性,并用有界线性算子半群理论给出了平衡态的局部稳定性条件. 在文献[7]中意大利学者Dercole 等人探讨一个非线性植物增长模型,其中尺度变量表示树的底部直径. 除了研究平衡态的稳定性质,文中还给出了群落的持续生存条件. 日本生态学者Kohyama提出了一个森林的多种群尺度结构模型^[8]. 其研究结果表明: 在无外界种子进入的封闭森林系统中,三个种群可以共存,考虑个体尺度结构和对光的单向竞争有利于增强群落的稳定性. Botsford~对具有个体尺度结构的鱼类模型建立了一个线性模型^[9],并研究相应的最优收获问题,其收获努力度与个体尺度无关,但被限制在一个待定的时变尺度范围内. 文中导出了最优性条件,考虑了几种特殊情况下的最优策略. 结果表明: 一般情况下的最优策略应为时变或脉冲模式. Kato在文献[10]中考虑一类两种群模型的最优收获问题,证明了有关系统解的存在性,给出了最大值原理. 文献[11]旨在分析一类线性尺度结构模型的最优繁殖率控制问题,它源于遏制有害生物入侵. 文献[12]考察一类资源－消费者系统,其中资源种群有两个,对消费者考虑尺度结构. 借助拓展的半群技巧获得了稳定性条件. 文献[13]提出一类周期环境中种群资源的最优开发策略,重点刻画收获强度; 文献[14]则处理捕食系统的资源利用问题,其中只考虑捕食者种群的尺度结构. 文献[15]研究周期环境中尺度结构模型的最优收获问题,但控制变量不是常见的收获系数,而是单位时间内的收获量.

一般而言,种群个体数量的增加对个体的平均繁殖率和死亡率的影响并不相同. 因此,本文在具有尺度结构的种群演化过程中考虑密度制约,但生命参数对密度的依赖方式不同,体现在不同的个体加权函数. 此外,还引入对新生个体的控制因素. 本文关注两类问题: 系统平衡态的稳定性、种群个体的最优收获策略,它们分别对应于与生态平衡的持续性和再生资源的科学管理.

基于以上考虑,本文研究如下非线性尺度结构种群模型

$\label{eq:model} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial p(s,t)}{\partial t}+\frac{\partial[g(s)p(s,t)]}{\partial s}=f(s)-\mu(s,J(t))p(s,t)-u(s,t)p(s,t),&(s,t)\in Q_T,\\ g(0)p(0,t)=\int_0^m\beta(s,R(t))p(s,t){\rm d}s+b,& t\in(0,T),\\ p(s,0)=p_0(s),& s\in(0,m),\\ J(t)=\int_0^m\delta(s)p(s,t){\rm d}s,& t\in(0,T),\\ R(t)=\int_0^m\gamma(s)p(s,t){\rm d}s,& t\in(0,T),\end{array} \right.$

(2.1)

其中 $Q_T=(0,m)\times(0,T)$,固定常数$m$表示个体最大尺度,$0<T\leq \infty.$ 状态变量 $p(s,t)$ 表示 $t$ 时刻尺度为 $s$ 的个体数量,控制函数 $u$ 代表收获努力度. $g(s)$ 表示个体尺度增长率. $f(s)$ 表示种群个体的外部迁入,$\delta(s),\gamma(s)$ 为权函数,$\beta(s,R(t))$ 和 $\mu(s,J(t))$ 分别表示出生率和死亡率,$p_0(s)$ 表示初始尺度分布,$b$ 表示对新生个体的调控值.

本文采用如下基本假设:

$(H_1)$~ $f(s)$为非负连续函数;

$(H_2)$~ $g\in C^1([0,m])$ 且 $0\leq g(s)\leq g^*,\ s\in [0,m]$,$g(0)>0$,$\frac{\delta(\cdot)}{g(\cdot)},~\frac{\gamma(\cdot)}{g(\cdot)}\in L^1[0,m]$;

$(H_3)$~ $\mu(\cdot,x)\in L_{\rm loc}^1(0,m),~\mu(s,x)\geq 0$ 且 $\mu(s,x)$ 关于 $x$ 单调递增且局部 Lipschitz 连续; 定义 $$\tau(s)=\int_0^s\frac{1}{g(z)}\text{d}z $$满足 $$\int_{0}^{m}{\mu }({{\tau }^{-1}}(\tau (m)-s),x)\text{d}s=+\infty . $$

$(H_4)$~ $0 \leq\beta(s,x)\leq M_1$,$\beta$ 关于 $x$ 单调递减且局部 Lipschitz 连续;

$(H_5)$~ $0\leq \delta(s)\leq M_2,~0\leq \gamma(s)\leq M_3,\ M_i\ (i=2,3)$ 为固定正常数;

$(H_6)$~ $0\leq p_0(s)\leq M_4,~\lim \limits_{s\rightarrow m_{-}}p_0(s)=0$.

注 模型(2.1)的解的存在唯一性已在文献[16]中得到证明.

在探讨稳定性时假设没有人为因素干扰,即 $u(s,t)=0.$ 易知模型 (2.1)的平衡态 $p_1(s)$ 由以下方程确定

$\label{eq:staequ} \left\{ \begin{array}{ll} g'(s)p_1(s)+g(s)p'_1(s)=f(s)-\mu(s,J_1)p_1(s),\ \ s\in (0,m),\\ g(0)p_1(0)=\int_0^m\beta(s,R_1)p_1(s){\rm d}s+b,\\ J_1=\int_0^m\delta(s)p_1(s){\rm d}s,~R_1=\int_0^m\gamma(s)p_1(s){\rm d}s. \end{array} \right.$

(3.1)

由(3.1)式可得到微分方程

$\label{eq:psequ} p'_1(s)=-\frac{\mu(s,J_1)+g'(s)}{g(s)}p_1(s)+\frac{f(s)}{g(s)}.$

(3.2)

求解方程 (3.2)得

$\label{eq:psresult} p_1(s)=\frac{g(0)p_1(0)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,J_1)}{g(r)}{\rm d}r}+\frac{1}{g(s)}\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,J_1)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r. $

(3.3)

将 (3.3) 式代入 (3.1) 式中的第二第三式可得

$\label{eq:comequ} \left\{ \begin{array}{rl} p_1(0)=& p_1(0)\int_0^m\frac{\beta(s,R_1)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,J_1)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s\\ & +\frac{1}{g(0)}\int_0^m\frac{\beta(s,R_1)}{g(s)}\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,J_1)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s+\frac{b}{g(0)},\\ J_1=& g(0)p_1(0)\int_0^m\frac{\delta(s)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,J_1)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s \\ & +\int_0^m\frac{\delta(s)}{g(s)}\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,J_1)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s,\\ R_1=& g(0)p_1(0)\int_0^m\frac{\gamma(s)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,J_1)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s \\ & +\int_0^m\frac{\gamma(s)}{g(s)}\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,J_1)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s. \end{array} \right.$

(3.4)

定义该种群的净再生数为 $$N(R,J)=\int_0^m\frac{\beta(s,R)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,J)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s,~~J\geq 0,R\geq 0. $$ 则有下述引理成立:

引理3.1 若方程组 (3.4) 存在正解 $(p_1(0),J_1,R_1)$,则系统 (2.1) 存在相应的非平凡平衡态 $p_1(s)$,它由 (3.3)式给出.

下面证明 (3.4) 式存在唯一的正解 $(p_1(0),J_1,R_1)$. 令

$T(J,R)=\frac{1}{g(0)}\int_{0}^{m}{\frac{\beta (s,R)}{g(s)}}\int_{0}^{s}{f}(s-r){{\text{e}}^{-\int_{s-r}^{s}{\frac{\mu (\sigma ,J)}{g(\sigma )}}\text{d}\sigma }}\text{d}r\text{d}s,$

(3.5)

$F(s,J,R)=\frac{\beta (s,R)}{g(s)}{{\text{e}}^{-\int_{0}^{s}{\frac{\mu (r,J)}{g(r)}}\text{d}r}}.$

(3.6)

由假设可知$0\leq F(s,J,R)\leq \frac{\beta(s,0)}{g(s)},s\in [0,m].$

引理3.2 假设 $N(0,0)<1$,则存在常数 $M_5,~M_6,~M_7$ 使得 $p_1(0)$ 和 $J_1,~R_1$ 满足 $0\leq p_1(0)\leq M_5,~0\leq J_1\leq M_6,~0\leq R_1\leq M_7$.

证    由 (3.4)式,$T(J,R)$ 和 $F(s,J,R)$ 的单调性,可推出 $$p_1(0)=\frac{T(J_1,R_1)+\frac{b}{g(0)}}{1-\int_0^mF(s,J_1,R_1){\rm d}s} \leq \frac{T(0,0)+\frac{b}{g(0)}}{1-\int_0^mF(s,0,0){\rm d}s}:=M_5, $$ 由假设可知 $T(J_1,R_1)\geq 0$,故 $p_1(0)\geq 0$. 由以上结果和式 (3.4) 可以得到 $$ 0\leq J_1\leq \Big(g(0)M_5+\|f||_1\Big)\bigg\|\frac{\delta}{g}\bigg\|_1:=M_6, $$ $$0\leq R_1 \leq \Big(g(0)M_5+\|f\|_1\Big)\bigg\|\frac{\gamma}{g}\bigg\|_1:=M_7, $$其中,记$\|\cdot\|_{L^1[0,m]:=\|\cdot\|_1}$,下同.证毕.

引理3.3 令 $\Omega = [0,M_5]\times[0,M_6]\times[0,M_7]$,定义映射 $\Gamma:\Omega \subset {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb R}^3,$ $\Gamma A=Y,$ $$A= \left(\begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right),\qquad Y=\left(\begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right), $$其中\begin{eqnarray*} y_1&=&a_1\int_0^m\frac{\beta(s,a_3)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s\\ &&+\frac{1}{g(0)}\int_0^m\frac{\beta(s,a_3)}{g(s)}\int_0^sf(s-r) {\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s+\frac{b}{g(0)},\end{eqnarray*} $$ y_2=a_1g(0)\int_0^m\frac{\delta(s)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s+\int_0^m\frac{\delta(s)}{g(s)}\int_0^sf(s-r) {\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s, $$ $$ y_3=a_1g(0)\int_0^m\frac{\gamma(s)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s+\int_0^m\frac{\gamma(s)}{g(s)}\int_0^sf(s-r) {\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s. $$ 则存在某个常数 $\overline{M}$,使得对任意的 $A^1,A^2\in \Omega$,有 $$\|\Gamma A^1-\Gamma A^2\|\leq \overline{M}\|A^1-A^2\|, $$${\Bbb R}^3$ 上的范数取为 $$\|A\|=|a_1|+|a_2|+|a_3|. $$

证     由假设 $(H_3),(H_4)$ 及 $(H_6)$ 可知:当 $|x_i| \leq n,i=1,2,n=\min\{M_5,M_6,M_7\}$时, $$|\beta(s,x_1)-\beta(s,x_2)|\leq L(n)|x_1-x_2|,|\mu(s,x_1)-\mu(s,x_2)|\leq L(n)|x_1-x_2|. $$ 由 $T(J,R)$ 和 $F(s,J,R)$ 都关于 $J$ 和 $R$ 单调递减,$\int_0^mF(s,0,0){\rm d}s< 1$ 以及引理3.2可知. 映射 $\Gamma$ 将 $\Omega$ 映射到自身. 令 $\Gamma A^i = Y^i,$ 其中 \[A^i= \left(\begin{array}{c} a_1^i\\ a_2^i\\ a_3^i\end{array}\right),~~Y^i=\left(\begin{array}{c} y_1^i\\ y_2^i\\ y_3^i\end{array}\right),~~i=1,2.\]由于\begin{eqnarray*}&&\bigg|a_1^1\int_0^m\frac{\beta(s,a_3^1)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^1)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s-a_1^2\int_0^m\frac{\beta(s,a_3^2)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^2)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s\bigg|\\&\leq &|a_1^1-a_1^2|\int_0^m\frac{\beta(s,a_3^1)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^1)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s+a_1^2\int_0^m\bigg|\frac{\beta(s,a_3^1)}{g(s)}-\frac{\beta(s,a_3^2)}{g(s)}\bigg|{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^1)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s\\&&+a_1^2\int_0^m\frac{\beta(s,a_3^2)}{g(s)}\Big|{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^1)}{g(r)}{\rm d}r}-{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^2)}{g(r)}{\rm d}r}\Big|{\rm d}s\\&\leq & \bigg\|\frac{\beta(\cdot,0)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_1^1-a_1^2|+M_5\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_3^1-a_3^2| +M_5\bigg\|\frac{\beta(\cdot,0)}{g(\cdot)}\bigg\|_1\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_2^1-a_2^2|\frac{1}{g(0)}\\ &&\times\bigg|\int_0^m\frac{\beta(s,a_3^1)}{g(s)}\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2^1)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s \\&&-\int_0^m\frac{\beta(s,a_3^2)}{g(s)}\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2^2)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s\bigg|\\ &\leq & \frac{1}{g(0)}\int_0^m\bigg|\frac{\beta(s,a_3^1)}{g(s)}-\frac{\beta(s,a_3^2)}{g(s)}\bigg|\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s \frac{\mu(\sigma,a_2^1)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s\\ &&+\frac{1}{g(0)}\int_0^m\frac{\beta(s,a_3^2)}{g(s)}\int_0^sf(s-r)\Big|{\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2^1)} {g(\sigma)}{\rm d}\sigma}-{\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2^2)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}\Big|{\rm d}r{\rm d}s\\ &\leq &\frac{\|f\|_1}{g(0)}\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_3^1-a_3^2|+\frac{\|f\|_1}{g(0)}\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)} \bigg\|_1\bigg\|\frac{\beta(\cdot,0)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_2^1-a_2^2|,\end{eqnarray*}所以 \begin{eqnarray} |y_1^1-y_1^2|&\leq &\bigg\|\frac{\beta(\cdot,0)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_1^1-a_1^2|+\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1\bigg\|\frac{\beta(\cdot,0)}{g(\cdot)} \bigg\|_1\Big(M_5+\frac{\|f\|_1}{g(0)}\Big)|a_2^1-a_2^2|\\ &&+M_5\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_3^1-a_3^2|. \end{eqnarray} 又由于 \begin{eqnarray*}&& g(0)\bigg|a_1^1\int_0^m\frac{\delta(s)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^1)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s-a_1^2\int_0^m\frac{\delta(s)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^2)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s\bigg|\\&\leq &g(0)|a_1^1-a_1^2|\int_0^m\frac{\delta(s)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^1)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s+g(0)a_1^2\int_0^m\frac{\delta(s)}{g(s)} \Big|{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^1)}{g(r)}{\rm d}r}-{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^2)}{g(r)}{\rm d}r}\Big|{\rm d}s\\ &\leq &g(0)\bigg\|\frac{\delta}{g}\bigg\|_1|a_1^1-a_1^2|+g(0)M_5\bigg\|\frac{\delta}{g}\bigg\|_1\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_2^1-a_2^2|\\&&\times \bigg|\int_0^m\frac{\delta(s)}{g(s)}\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2^1)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s-\int_0^m\frac{\delta(s)}{g(s)}\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2^2)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s\bigg|\\ &\leq &\|f\|_1\bigg\|\frac{\delta}{g}\bigg\|_1\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_2^1-a_2^2|,\end{eqnarray*}所以 \begin{eqnarray} |y_2^1-y_2^2|\leq g(0)\bigg\|\frac{\delta}{g}\bigg\|_1|a_1^1-a_1^2|+\bigg\|\frac{\delta}{g}\bigg\|_1\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1\Big(g(0)M_5+\|f\|_1\Big)|a_2^1-a_2^2|\ . \end{eqnarray} 同理因为 \begin{eqnarray*} && g(0)\bigg|a_1^1\int_0^m\frac{\gamma(s)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^1)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s-a_1^2\int_0^m\frac{\gamma(s)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^2)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s\bigg|\\&\leq &g(0)|a_1^1-a_1^2|\int_0^m\frac{\gamma(s)}{g(s)}{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^1)}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}s+g(0)a_1^2\int_0^m\frac{\gamma(s)}{g(s)}\Big|{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^1)}{g(r)}{\rm d}r}-{\rm e}^{-\int_0^s\frac{\mu(r,a_2^2)}{g(r)}{\rm d}r}\Big|{\rm d}s\\ &\leq &g(0)\bigg\|\frac{\gamma}{g}\bigg\|_1|a_1^1-a_1^2|+g(0)M_5\bigg\|\frac{\gamma}{g}\bigg\|_1\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_2^1-a_2^2|\\&&\times\bigg|\int_0^m\frac{\gamma(s)}{g(s)}\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2^1)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s-\int_0^m\frac{\gamma(s)}{g(s)}\int_0^sf(s-r){\rm e}^{-\int_{s-r}^s\frac{\mu(\sigma,a_2^2)}{g(\sigma)}{\rm d}\sigma}{\rm d}r{\rm d}s\bigg|\\ &\leq &\|f\|_1\bigg\|\frac{\gamma}{g}\bigg\|_1\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1|a_2^1-a_2^2|,\end{eqnarray*} 所以\begin{eqnarray}|y_3^1-y_3^2|\leq g(0)\bigg\|\frac{\gamma}{g}\bigg\|_1|a_1^1-a_1^2|+\bigg\|\frac{\gamma}{g}\bigg\|_1\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1\Big(g(0)M_5+\|f\|_1\Big)|a_2^1-a_2^2|\ . \end{eqnarray} 再令 $$\overline{M}=\max\{N_1,N_2,N_3\}, $$ 其中 $$N_1=\bigg\|\frac{\beta(\cdot,0)}{g(\cdot)}\bigg\|_1+g(0)\bigg\|\frac{\delta}{g}\bigg\|_1+g(0)\bigg\|\frac{\gamma}{g}\bigg\|_1, $$\begin{eqnarray*} N_2&=&\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1\bigg\|\frac{\beta(\cdot,0)}{g(\cdot)}\bigg\|_1\Big(M_5+\frac{\|f\|_1}{g(0)}\Big)+\bigg\|\frac{\delta}{g}\bigg\|_1\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1\Big(g(0)M_5+\|f\|_1\Big)\\&&+\bigg\|\frac{\gamma}{g}\bigg\|_1\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1\Big(g(0)M_5+\|f\|_1\Big),\end{eqnarray*} $$N_3=M_5\bigg\|\frac{L(n)}{g(\cdot)}\bigg\|_1. $$ 则根据 ${\Bbb R}^3$ 上范数的定义可得 $$\|Y^1-Y^2\|\leq \overline{M}\|A^1-A^2\|, $$ 从而引理得证.

定理3.1 假设 $N_i < 1,~i=1,2,3$,则 方程(3.4) 有唯一正解 $p_1(s)$.

证     由定理条件可得 $\overline{M}< 1$. 再根据引理3.3可知 $\Gamma$ 为 $\Omega$ 上的压缩映射. $\Gamma$ 的唯一不动点 $(a_1^*,~a_2^*,~a_3^*)$ 就是方程 (3.4) 的解,从而方程 (3.4) 有唯一解. 又因为 $(a_1^*,~a_2^*,~a_3^*)$ 是非负的,再根据式 (3.2) 可知,方程 (3.4) 的解是非负的. 又由假设 $f(s)\geq0$,从而解不恒为零,故解必为正的,定理得证.

下面两节研究由 (3.3)式 所给出的平衡尺度分布 $p_1(s)$ 的稳定性.

对于平衡态 $p_1(s)$,考虑其扰动 $u(s,t):=p(s,t)-p_1(s)$.将 $p(s,t)$ 带入 (2.1) 式化简,略去高阶项,并应用 (3.1)-(3.4) 式 得

$\label{eq:41charact} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial u(s,t)}{\partial t}+\frac{\partial(g(s)u(s,t))}{\partial s}= -\mu(s,J_1)u(s,t)-\mu'_J(s,J_1)p_1(s)\int_0^m\delta(s)u(s,t){\rm d}s,\\ g(0)u(0,t)=\int_0^m \left\{\beta(s,R_1)+\gamma(s)\int_0^m\beta'_R(s,R_1)p_1(s){\rm d}s\right\}u(s,t){\rm d}s. \end{array} \right.$

(4.1)

下面推导平衡态的特征方程.

假设方程 (4.1) 存在形如 $u(s,t)={\rm e}^{\lambda t}U(s)$ 的解,将其代入方程 (4.1) 并令 $$\overline{U_1}=\int_0^m\delta(s)U(s){\rm d}s,\overline{U_2}=\int_0^m\gamma(s)U(s){\rm d}s, $$ $$G(s,J_1)={\rm e}^{-\int_0^s\frac{g'(r)+\mu(r,J_1)}{g(r)}{\rm d}r}, $$可得

$\label{eq:us} \begin{array}{l} U'(s)=-\frac{g'(s)+\mu(s,J_1)+\lambda}{g(s)}U(s)-\frac{\mu'_J(s,J_1)p_1(s)}{g(s)}\overline{U_1},\\ U(0) =\frac{1}{g(0)}\bigg[\int_0^m\beta(s,R_1)U(s){\rm d}s+\overline{U_2}\int_0^m\beta'_R(s,R_1)p_1(s){\rm d}s\bigg]. \end{array}$

(4.2)

求解方程 (4.2) 得

$U(s)=\bigg[U(0)-\overline{U_1}\int_0^s\frac{\mu'_J(\sigma,J_1)p_1(\sigma)}{g(\sigma)} {\rm e}^{\int_0^\sigma\frac{g'(r)+\mu(r,J_1)+\lambda}{g(r)}{\rm d}r}{\rm d}\sigma\bigg]G(s,J_1){\rm e}^{-\lambda\tau(s)}.$

(4.3)

将 (4.3)式 分别代入 $\overline{U_1},~\overline{U_2}$ 的表达式得到

$\overline{{{U}_{1}}}={{A}_{11}}(\lambda )U(0)+{{A}_{12}}(\lambda )\overline{{{U}_{1}}},$

(4.4)

$\overline{{{U}_{2}}}={{A}_{21}}(\lambda )U(0)+{{A}_{22}}(\lambda )\overline{{{U}_{1}}},$

(4.5)

其中

$A_{11}(\lambda)=\int_0^m\delta(s)G(s,J_1){\rm e}^{-\lambda\tau(s)}{\rm d}s,\label{eq:a11}$

(4.6)

$A_{12}(\lambda)=-p_1(0)\int_0^m\delta(s)G(s,J_1){\rm e}^{-\lambda\tau(s)}\int_0^s\frac{\mu'_J(\sigma,J_1)}{g(\sigma)}{\rm e}^{\lambda\tau(\sigma)}{\rm d}\sigma {\rm d}s,\label{eq:a12}$

(4.7)

$A_{21}(\lambda)=\int_0^m\gamma(s)G(s,J_1){\rm e}^{-\lambda\tau(s)}{\rm d}s,\label{eq:a21}$

(4.8)

$A_{22}(\lambda)=-p_1(0)\int_0^m\gamma(s)G(s,J_1){\rm e}^{-\lambda\tau(s)}\int_0^s\frac{\mu'_J(\sigma,J_1)}{g(\sigma)}{\rm e}^{\lambda\tau(\sigma)}{\rm d}\sigma {\rm d}s.\label{eq:a22}$

(4.9)

将 (4.3) 式带入 (4.2) 式中的第二式得

$\label{eq:g0u0} g(0)U(0)=A_{31}(\lambda)U(0)+A_{32}(\lambda)\overline{U_1}+A_{33}(\lambda)\overline{U_2},$

(4.10)

其中

$A_{31}(\lambda)=\int_0^m\beta(s,R_1)G(s,J_1){\rm e}^{-\lambda\tau(s)}{\rm d}s,\label{eq:a31}$

(4.11)

$A_{32}(\lambda)=-p_1(0)\int_0^m\beta(s,R_1)G(s,J_1){\rm e}^{-\lambda\tau(s)}\int_0^s\frac{\mu'_J(\sigma,J_1)}{g(\sigma)}{\rm e}^{\lambda\tau(s)}{\rm d}\sigma {\rm d}s,\label{eq:a32}$

(4.12)

$A_{33}(\lambda)=\int_0^m\beta'_R(s,R_1)p_1(s){\rm d}s. \label{eq:a33} $

(4.13)

于是由方程 (4.4)-(4.5) 和 (4.10) 式得

$\label{eq:chararesult} \left\{ \begin{array}{l} A_{11}(\lambda)U(0)+[A_{12}(\lambda)-1]\overline{U_1}=0,\\ A_{21}(\lambda)U(0)+A_{22}(\lambda)\overline{U_1}-\overline{U_2}=0,\\ {}[A_{31}(\lambda)-g(0)]U(0)+A_{32}(\lambda)\overline{U_1}+A_{33}(\lambda)\overline{U_2}=0. \end{array} \right.$

(4.14)

方程 (4.14)存在非零解当且仅当它的系数行列式为0. 于是有如下结果:

命题4.1 线性系统 (4.1) 存在非零解 $u(s,t)={\rm e}^{\lambda t}U(s)$ 当且仅当 $\lambda$ 满足如下特征方程

$C(\lambda):= \left|\begin{array}{cccc} A_{11}(\lambda) & ~A_{12}(\lambda)-1 ~ & 0 \\ A_{21}(\lambda) & A_{22}(\lambda) & -1\\ A_{31}(\lambda)-g(0) & A_{32}(\lambda) & A_{33}(\lambda)\end{array}\right|=0.$

根据线性稳定性的一般理论可得如下结果:

定理5.1 如果特征方程 $C(\lambda)=0$ 所有的根都有负实部,则系统 (2.1) 的平衡态 $p_1(s)$ 渐近稳定; 若特征方程 $C(\lambda)=0$ 存在具有正实部的根,则平衡态 $p_1(s)$ 不稳定.

为了获得更加具体的稳定性判别法则,以下给出

推论5.1 设 $\mu$与$J(t)$ 无关,$g(0)=1$. 当 $\Lambda<0$时,系统 (2.1) 的平衡态 $p_1(s)$ 渐近稳定; 当$\Lambda>0$,平衡态 $p_1(s)$ 不稳定,其中, $$\Lambda=\int_0^m\beta'_R(s,R_1)p_1(s){\rm d}s\int_0^m\gamma(s)G(s,J_1){\rm d}s-\frac{b}{p_1(0)}. $$

证     由推论条件可得 $$A_{12}(\lambda)=A_{22}(\lambda)=A_{32}(\lambda)=0. $$

令 $K(\lambda):=C(\lambda)+1$,于是特征方程有如下形式 \begin{eqnarray*} K(\lambda)=1&=&\int_0^m\beta'_R(s,R_1)p_1(s){\rm d}s\cdot\int_0^m\gamma(s)G(s,J_1){\rm e}^{-\lambda\tau(s)}{\rm d}s\\ &&+\int_0^m\beta(s,R_1)G(s,J_1){\rm e}^{-\lambda\tau(s)}{\rm d}s. \end{eqnarray*} 若 $\Lambda>0$,则 $$K(0)=\int_0^m\beta'_R(s,R_1)p_1(s){\rm d}s\int_0^m\gamma(s)G(s,J_1){\rm d}s-\frac{b}{p_1(0)}+1=\Lambda+1>1. $$ 此外易知 $K(\lambda)$ 关于 $\lambda$ 单调递减且 $\lim \limits_{\lambda \rightarrow +\infty} K(\lambda)=0$. 因此 $K(\lambda)$ 有唯一正实根.

另一方面,若 $\Lambda<0$,假设 $K(\lambda)=1$ 有根 $\lambda=x+{\rm i}y$ 且 $x\geq0$,则 \begin{eqnarray*} 1&=&{\rm Re}(K(\lambda)) \\ &=&\int_0^m\beta'_R(s,R_1)p_1(s){\rm d}s\cdot\int_0^m\gamma(s)G(s,J_1){\rm e}^{-x\lambda\tau(s)}\cos(y\lambda\tau(s)){\rm d}s \\ &&+\int_0^m\beta(s,R_1)G(s,J_1){\rm e}^{-x\lambda\tau(s)}\cos(y\lambda\tau(s)){\rm d}s \\ &\leq&\int_0^m\beta'_R(s,R_1)p_1(s){\rm d}s\cdot\int_0^m\gamma(s)G(s,J_1){\rm d}s+\int_0^m\beta(s,R_1)G(s,J_1){\rm d}s\\ &=&\Lambda+1<1,\end{eqnarray*} 这不可能,推论得证.

由于特征方程 $C(\lambda)=0$ 的高度复杂性,在一般情形下分析其根的平面区域分布非常困难. 本节运用数值分析方法来研究种群的演化性态.

系统模型 (2.1) 是一类具有全局反馈的一阶非线性变系数双曲型偏微分积分方程,其解对初值分布具有敏感的依赖性. 因此我们选取具有良好逼近精度的迎风差分格式对原模型作近似分析.

系统 (2.1) 的迎风差分格式可以概述如下

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{p_j^{n+1}-p_j^{n}}{\tau}+g_j\frac{p_j^{n}-p_{j-1}^{n}}{h} = f_j-\mu_j^n p_j^n-\frac{g_j-g_{j-1}}{h}p_j^n ,\\ g(0)p_0^n=h\sum_{k=0}^N\beta_j^np_k^n +b,\\ J^n=h\sum_{k=0}^N\delta_j p_j^n ,\\ R^n=h\sum_{k=0}^N\gamma_j p_j^n ,\end{array} \right.$

(6.1)

其中 $n$ 为演化时间步数,$\tau$ 为时间步长; 尺度区间取为$[0,1]$,并将其平均分为 $N$ 段,尺度步长 $h=1/N$. 根据冻结系数法与Fourier分析知识,欲使以上算法稳定实现,以下条件应当满足 $$\frac{\tau}{h}\max \limits_{j}|g_j|< 1. $$

在以下两例中,首先对模型 (2.1) 进行离散化处理,然后通过计算结果模拟种群的演化性态.

例1 种群趋于灭绝.

假设模型中种群的初始分布函数为

$ p_0(s)=\left\{ \begin{array}{ll} (s-0.1)^{2}(0.3-s)^2,~~& 0.1\leq s \leq 0.3,\\ (s-0.6)^{2}(1-s)^2,& 0.6 \leq s \leq 1,\\0,& \mbox{其它}.\end{array} \right.$

(6.2)

系统 (2.1) 的其它参数设置如下 $$b=10,~~f(s)=s(1-s),~~g(s)=\frac{1}{10}(1-s), $$ $$\delta(s)=1-s,~~\gamma(s)=1-\frac{1}{3}s, $$ $$\mu(s,J)=\frac{(5s+11)(11-s)}{10}+2J,~~\beta(s,R)=\frac{(20s+1)(31-s)}{30}-R. $$在此例中取尺度步长 $h=0.025$,时间步长 $\tau=0.02$,时间迭代步数 $n=120$,由计算结果可得图 1. 由此可以看出种群的密度随着时间越来越大而逐渐趋于零.

例2 种群的持续生存能力增强.

假设模型中种群的初始分布函数为

$ p_0(s)=\left\{ \begin{array}{ll}s^2(0.3-s)^2,~~&0\leq s \leq 0.3,\\ (s-0.6)^2(1-s)^2,~~& 0.6 \leq s \leq 1,\\ 0,& \mbox{其它}. \end{array} \right.$

系统 (2.1) 的其它参数设置如下 $$b=10,~~f(s)=s,~~g(s)=1-s, $$ $$ \delta(s)=2(1-s),~~\gamma(s)=1-s, $$ $$\mu(s,J)=2(s-0.2)(0.8-s)+2J,~~ \beta(s,R)=5s^2(1-s)-R. $$ 在此例中取尺度步长 $h=0.02$,时间步长 $\tau=0.01$,时间迭代步数 $n=50$,由计算结果可得图 2.由此可以看出随着时间的流逝,种群的密度函数逐渐远离水平面.这表明: 相当于初始分布而言,种群个体的尺度分布区间越来越长,峰值逐渐上升.

本节和下一节研究系统 (2.1) 的最优控制问题

$\label{eq:control}\max \Phi(u):=\int_0^T\int_0^m\Big[\omega(s,t)u(s,t)p^u(s,t)-\frac{1}{2}\rho u^2(s,t)\Big]{\rm d}s{\rm d}t,$

(7.1)

其中 $T$ 代表控制计划周期,$\omega(s,t)$ 表示 $t$ 时刻尺度为 $s$ 的个体经济价值,$\rho > 0$表示收获种群个体的成本因子. 收获强度 $u(s,t)$ 属于容许控制集

$U=\{h\in {{L}^{\infty }}({{Q}_{T}}):0\le {{\zeta }_{1}}(s,t)u(s,t)\le {{\zeta }_{2}}(s,t),\ \ \text{a}.\text{e}.\ (s,t)\in {{Q}_{T}}\},$

$\zeta_{1}(s,t),\zeta_{2}(s,t)$ 分别表示最小和最大收获强度,它们均有界;$p^{u}(s,t)$ 表示给定 $u\in U$ 时系统 (2.1) 的解. 因此 $\Phi(u)$ 表示在时间段 $[0,T]$ 内捕捞种群个体所获得的总经济利益.

构造最优控制问题 (2.1)-(7.1) 的共轭系统如下

$\label{eq:16} \left\{ \begin{array}{rl} \xi_t+g(s)\xi_s=& \mu\xi+(\omega+\xi)u+\delta(s)\int_0^mp\mu_J(s,J(t))\xi {\rm d}s \\& -\left [\beta(s,R(t))+\gamma(s)\int_0^m p\beta_R(s,R(t)){\rm d}s\right] \xi(0,t),~ (s,t)\in Q_T,\\ \xi(m,t)=&\xi(s,T)=0. \end{array} \right.$

(7.2)

下一引理的证明可以参照文献[10]完成,此处略去.

引理7.1 给定 $u \in U$,共轭系统(7.2)在 $L^{\infty}(Q_T)$ 上存在弱解 $\xi$ 使得

$\|\xi_1-\xi_2\|\leq cT\|u_1-u_2\|_{L^{\infty}(Q_T)},$

(7.3)

其中 $c$ 为固定常数,$\xi_i$ 为系统 (7.2) 相应于控制变量 $u_i,~i=1,2$的解.

引理7.2 对 $\forall u\in U,~\nu\in L^{\infty}(Q)$ 以及充分小的 $\varepsilon>0$,当 $u+\varepsilon\nu\in U$ 时,有 $$\frac{1}{\varepsilon}[p^{u+\varepsilon\nu}-p^u](s,t)\rightarrow z(s,t),~\varepsilon \rightarrow 0+, $$ 其中 $z\in L^{\infty}(Q)$ 且满足系统

$\label{eq:equ71} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial z(s,t)}{\partial t}+\frac{\partial[g(s)z(s,t)]}{\partial s}=-\mu(s,J^u(t))z(s,t)-p^u\mu_J(s,J^u(t))\overline{J(t)}-\nu p^u-u z(s,t),\\ g(0)z(0,t)=\int_0^m\Big[\beta(s,R^u(t))z(s,t)+p^u\beta(s,R^u(t))\overline{R(t)}\Big]{\rm d}s,\\ z(s,0)=0,\\ \overline{J(t)}=\int_0^m\delta(s)z(s,t){\rm d}s,\\ \overline{R(t)}=\int_0^m\gamma(s)z(s,t){\rm d}s. \end{array} \right.$

(7.4)

证     对于给定的$u$,系统(7.4)是线性的,其解的存在唯一性可类似于文献[13]处理. 函数 $\frac{1}{\varepsilon}[p^{u+\varepsilon\nu}-p^u]$ 逐点极限的存在性可参照文献[10]中定理10.4证明. 记 $p^{u+\varepsilon\nu}:=p^\varepsilon,~p^u$ 分别为系统 (2.1)相应于 $u^{\varepsilon}:=u+\varepsilon\nu$ 和 $u$ 的解,则 $\frac{1}{\varepsilon}[p^{\varepsilon}-p^u]$ 满足如下系统

$\label{eq:equ72} \left\{ \begin{array}{ll} \Big[\frac{1}{\varepsilon}(p^{\varepsilon}-p^u)\Big]_t+\Big[g(s)\frac{p^{\varepsilon}-p^u}{\varepsilon}\Big]_s\\ =-\frac{1}{\varepsilon}\big[\mu(s,J^{\varepsilon}(t))p^{\varepsilon}-\mu(s,J^u(t))p^u\big]-\frac{1}{\varepsilon}[(u+\varepsilon\nu)p^{\varepsilon}-up^u],\\ g(0)\frac{p^{\varepsilon}(0,t)-p^u(0,t)}{\varepsilon}=\int_0^m\frac{1}{\varepsilon}[\beta(s,R^{\varepsilon}(t))p^{\varepsilon}(s,t)-\beta(s,R^u(t))p^u(s,t)]{\rm d}s,\\ \frac{1}{\varepsilon}[p^{\varepsilon}-p^u](s,0)=0,\\ \frac{1}{\varepsilon}[J^{\varepsilon}(t)-J^u(t)]=\int_0^m\delta(s)\frac{1}{\varepsilon}(p^{\varepsilon}-p^u)(s,t){\rm d}s,\\ \frac{1}{\varepsilon}[R^{\varepsilon}(t)-R^u(t)]=\int_0^m\gamma(s)\frac{1}{\varepsilon}(p^{\varepsilon}-p^u)(s,t){\rm d}s. \end{array} \right.$

(7.5)

应用系统 (2.1) 的解关于收获强度 $u$ 的连续性,可对 (7.5) 式中第一式右端获得下列结果

$\begin{align} & -\frac{1}{\varepsilon }[{{u}^{\varepsilon }}{{p}^{\varepsilon }}-u{{p}^{u}}]-\frac{1}{\varepsilon }[\mu (s,{{J}^{\varepsilon }}(t))-\mu (s,{{J}^{u}}(t))] \\ & {{p}^{\varepsilon }}-\frac{1}{\varepsilon }[{{p}^{\varepsilon }}-{{p}^{u}}]\mu (s,{{J}^{u}}(t))\to -{{p}^{u}}{{\mu }_{J}}(s,{{J}^{u}}(t)) \\ & \overline{J(t)}-\mu (s,{{J}^{u}}(t))z-uz-\nu {{p}^{u}},~~\varepsilon \to {{0}_{+}}. \\ \end{align}$

(7.6)

同理可得

$\label{eq:equ74} \frac{1}{\varepsilon}[\beta(s,R^{\varepsilon}(t))p^{\varepsilon}-\beta(s,R^u(t))p^u]\rightarrow p^u\beta_R(s,R^u(t))\overline{R(t)}+\beta(s,R^u(t))z,~~\varepsilon\rightarrow 0_{+}.$

(7.7)

对系统 (7.5) 取极限 $\varepsilon\rightarrow 0_+$,并利用 (7.6)-(7.7)式即得引理结论. 证毕.

记 $p^u,~\xi^u$ 分别是状态系统和共轭系统对应于 $u\in U$ 的解,定义如下映射: $F:L^1(Q_T)\rightarrow L^{\infty}(Q_T)$,

$\label{eq:21} (Ff)(s,t)=\left\{ \begin{array}{ll} f(s,t),&\zeta_1(s,t) \leq f(s,t)\leq \zeta_2(s,t),\\ \xi_1(s,t),~~& f(s,t)< \zeta_1(s,t),\\ \xi_2(s,t),&f(s,t)>\zeta_2(s,t). \end{array} \right.$

(7.8)

下面证明本节主要结果.

定理7.1 如果 $u^*$ 是最优收获策略,记 $p^*$ 和 $\xi$ 分别为状态系统 (2.1) 与共轭系统 (7.2) 对应于 $u^*$ 的解,那么

$\label{eq:22} u^*(s,t)=\bigg[F\Big(\frac{(\omega+\xi)p^*}{\rho}\Big)\bigg](s,t),\ {\rm a.e.}\ \ L^{\infty}(Q_T).$

(7.9)

证     设 $(u^*,p^*)$ 为控制问题(2.1)-(7.1)的最优对. 对任意固定的 $\nu\in {\cal T}_{U}(u^*)$ (表示集 $U$ 在 $u^*$ 处的切锥^[17])以及充分小的 $\varepsilon>0$,有 $$u^{\varepsilon}=u^*+\varepsilon \nu\in U. $$ 令 $p^{\varepsilon}$ 为系统 (2.1) 相应于 $u^{\varepsilon}$ 的解. 由 $u^*$ 的最优性可得 \begin{eqnarray*} \int_0^T\int_0^m\Big[\omega u^*p^*-\frac{1}{2}\rho {u^*}^2\Big](s,t){\rm d}s{\rm d}t\geq\int_0^T\int_0^m\Big[\omega u^{\varepsilon}p^{\varepsilon}-\frac{1}{2}\rho (u^{\varepsilon})^2\Big](s,t){\rm d}s{\rm d}t,\end{eqnarray*} 整理后可知 \begin{eqnarray*} \int_0^T\int_0^m\bigg[\omega u^*\frac{p^{\varepsilon}-p^*}{\varepsilon}+\omega\nu p^{\varepsilon}-\rho \nu u^*-\frac{1}{2}\rho \varepsilon \nu^2\bigg](s,t){\rm d}s{\rm d}t\leq 0. \end{eqnarray*} 令 $\varepsilon\rightarrow 0^+$,由上式和引理7.2可得

$\label{eq:23} \int_0^T\int_0^m\Big[\omega u^*z+\omega\nu p^*-\rho \nu u^*\Big](s,t){\rm d}s{\rm d}t\leq0,$

(7.10)

其中 $z(s,t)$ 满足系统 (7.4).

以下证明 $$\int_0^T\int_0^m\omega(s,t)u^*(s,t)z(s,t){\rm d}s{\rm d}t=\int_0^T\int_0^m\xi(s,t)\nu(s,t)p^*(s,t){\rm d}s{\rm d}t. $$

对系统 (7.2) (需将 $u$ 换为 $u^*$,对 $p,~J(t),~R(t)$ 做相应的替换)的第一式两边同时乘以 $z(s,t)$,然后在 $Q_T$ 上积分得 \begin{eqnarray*}\label{eq:24} \mbox{左边}&=&\int_0^T\int_0^m\xi_tz{\rm d}s{\rm d}t+\int_0^T\int_0^mg\xi_sz{\rm d}s{\rm d}t\\ &=&-\int_0^T\int_0^m[z_t\xi+gz_s\xi+g'z\xi]{\rm d}s{\rm d}t-\int_0^Tg(0)\xi(0,t)z(0,t){\rm d}t\\ &=&-\int_0^T\int_0^m[z_t+(gz)_s]\xi {\rm d}s{\rm d}t-\int_0^T\int_0^m\Big[p^*\beta_R(s,R^*(t))\overline{R(t)}+z\beta\Big]\xi(0,t){\rm d}s{\rm d}t,\\\label{eq:25} \mbox{右边}&=&\int_0^T\int_0^m\mu(s,J^*(t))z\xi {\rm d}s{\rm d}t+\int_0^T\int_0^mu^*z\xi {\rm d}s{\rm d}t\\ &&+\int_0^T\int_0^mp^*\mu_J(s,J^*(t))\xi\overline{J(t)}+\int_0^T\int_0^m\omega u^*z{\rm d}s{\rm d}t\\ &&-\int_0^T\int_0^m\Big[p^*\beta_R(s,R^*(t))\overline{R(t)}+z\beta\Big]\xi(0,t){\rm d}s{\rm d}t. \end{eqnarray*} 由此可得

$\begin{align} & \int_{0}^{T}{\int_{0}^{m}{\left[ {{z}_{t}}+{{\left( gz \right)}_{s}} \right]\xi \text{d}s\text{d}t=}}-\int_{0}^{T}{\int_{0}^{m}{\mu \left( s,{{J}^{*}}\left( t \right) \right)\xi \text{d}s\text{d}t}} \\ & -\int_{0}^{T}{\int_{0}^{m}{{{\mu }^{*}}z\xi \text{d}s\text{d}t}} \\ & -\int_{0}^{T}{\int_{0}^{m}{{{p}^{*}}\mu J\left( s,{{J}^{*}}\left( t \right) \right)\overline{J\left( t \right)}\xi \text{d}s\text{d}t}} \\ & -\int_{0}^{T}{\int_{0}^{m}{\omega {{u}^{*}}z\text{d}s\text{d}t}} \\ \end{align}$

(7.11)

对系统(7.4) (需将 $u$ 换为$u^*$,对$p,~J(t),~R(t)$做相应的替换)的第一式的两边同时乘以 $\xi(s,t)$,并在 $Q_T$ 上积分得

$\begin{align} & \int_{0}^{T}{\int_{0}^{m}{\left[ {{z}_{t}}+{{\left( gz \right)}_{s}} \right]\xi \text{d}s\text{d}t=}}-\int_{0}^{T}{\int_{0}^{m}{\mu \left( s,{{J}^{*}}\left( t \right) \right)\xi \text{d}s\text{d}t}} \\ & -\int_{0}^{T}{\int_{0}^{m}{{{\mu }^{*}}z\xi \text{d}s\text{d}t}} \\ & -\int_{0}^{T}{\int_{0}^{m}{{{p}^{*}}\mu J\left( s,{{J}^{*}}\left( t \right) \right)\overline{J\left( t \right)}\xi \text{d}s\text{d}t}} \\ & -\int_{0}^{T}{\int_{0}^{m}{v{{p}^{*}}z\text{d}s\text{d}t}} \\ \end{align}$

(7.12)

于是由 (7.11) 和 (7.12) 式可知 $$\int_0^T\int_0^m\omega(s,t) u^*(s,t)z(s,t){\rm d}s{\rm d}t=\int_0^T\int_0^m\nu(s,t) p^*(s,t)\xi(s,t) {\rm d}s{\rm d}t. $$ 从而由不等式 (7.10) 知

$\label{eq:28} \int_0^T\int_0^m\nu\Big[(\omega+\xi)p^*-\rho u^*\Big]{\rm d}s{\rm d}t\leq 0,$

(7.13)

它对任意 $\nu \in T_{U}(u^*)$ 都成立. 根据法锥与切锥的关系知

$(\omega+\xi)p^*\in {\cal N}_{U}(u^*),$

(7.14)

其中 ${\cal N}_{U}(u^*)$ 表示 $U$ 在 $u^*$ 处的法锥^[16]. 应用法向量的结构性质即得 (7.9)式. 证毕.

为了应用 Ekeland变分原理^[18],定义如下映射$\widetilde{\Phi}:L^1(Q_T)\rightarrow [-\infty ,+\infty)$,

$\label{eq:29} \widetilde{\Phi}(u)=\left\{ \begin{array}{ll} \Phi(u),~~&u\in U,\\ -\infty,&\mbox{其它}. \end{array} \right. $

(8.1)

直接验证易得以下引理,证明略去.

引理8.1 泛函 $\widetilde{\Phi}(u)$ 是上半连续的.

根据 Ekeland 变分原理可知,对任一 $\varepsilon>0$,在 $L^1(Q_T)$ 上存在 $u_{\varepsilon}$ 满足

$\label{eq:30} \widetilde{\Phi}(u_{\varepsilon})\geq \sup \limits_{u\in U} \widetilde{\Phi}(u)-\varepsilon,$

(8.2)

$\widetilde{\Phi}(u_{\varepsilon})\geq \sup \limits_{u\in U} \Big\{\widetilde{\Phi}(u)-\sqrt{\varepsilon}\|u_{\varepsilon}-u\|_{L^1(Q_T)}\Big\}.\label{eq:31}$

(8.3)

由 (8.3) 式即知扰动泛函 $$\widetilde{\Phi}_{\varepsilon}(u):=\widetilde{\Phi}(u)-\sqrt{\varepsilon}\|u_{\varepsilon}-u\|_{L^1(Q_T)} $$ 在 $u_{\varepsilon}$ 处取得最大值. 根据证明定理7.1的证明方法可得如下引理:

引理8.2 如果 $u_{\varepsilon}$ 使扰动泛函 $\widetilde{\Phi}_{\varepsilon}(u)$ 达到最大值,那么

$\label{eq:32} u_{\varepsilon}(s,t)=F\bigg[\frac{(\omega+\xi_\varepsilon)p_{\varepsilon}-\sqrt{\varepsilon}\theta^{\varepsilon}}{\rho}\bigg](s,t),\ \ {\rm a.e.} \ \ L^\infty(Q_T),$

(8.4)

其中 $p_{\varepsilon},~\xi_{\varepsilon}$ 分别表示对应于 $u_{\varepsilon}$ 的状态和协态,$\theta_{\varepsilon}\in L^\infty(Q_T)$ 且满足 $$|\theta_\varepsilon(s,t)|\leq 1. $$

下面证明最优收获策略的存在唯一性.

定理8.1 假设条件 $(H_1)-(H_6)$ 都成立. 若$T/\rho$足够小,则最优收获问题(2.1)-(7.1)存在唯一的最优收获策略 $u^*\in U$.

证     先证唯一性. 定义映射 $\widetilde{F}: U\rightarrow U$ 如下

$\widetilde{F}(u)=F\bigg(\frac{(\omega+\xi)p}{\rho}\bigg) ,$

(8.5)

其中 $p$ 和 $\xi$ 分别是状态系统和共轭系统对应于 $u$ 的解. 由 $p$ 和 $\xi$ 关于控制变量 $u$ 的连续依赖性,可得

$\begin{align} & \|\tilde{F}({{u}_{1}})-\tilde{F}({{u}_{2}})\|=\|F({{u}_{1}})-F({{u}_{2}}){{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}} \\ & \le \|\frac{(\omega +{{\xi }_{1}}){{p}_{1}}}{\rho }-\frac{(\omega +{{\xi }_{2}}){{p}_{2}}}{\rho }{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}} \\ & \le \frac{1}{\rho }\|\omega ({{p}_{1}}-{{p}_{2}})+{{\xi }_{1}}({{p}_{1}}-{{p}_{2}})+{{p}_{2}}({{\xi }_{1}}-{{\xi }_{2}}){{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}} \\ & \le \frac{1}{\rho }\{[\|\omega {{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}+\|{{\xi }_{1}}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}]\|{{p}_{1}}-{{p}_{2}}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}} \\ & +\|{{p}_{2}}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}\|{{\xi }_{1}}-{{\xi }_{2}}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}\}\le \frac{cT}{\rho }\|{{u}_{1}}-{{u}_{2}}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}, \\ \end{align}$

(8.6)

其中 $c$ 是由状态系统和共轭系统解的 $L^\infty$ 界及 Lipschtiz常数确定的常数. 从而当 $T/\rho$ 足够小时,映射 $\widetilde{F}$ 是压缩的,故存在唯一不动点 $\overline{u}\in U$. 而定理~7.1~意味着,如果最优收获 $u^*$ 存在,那么它必是映射 $\widetilde{F}$ 的不动点. 因此,最优策略一旦存在,它必唯一.

再证存在性. 以下证明 $\overline{u}$ 就是最优收获策略,即证明

$\widetilde{\Phi}(\overline{u})=\sup \limits_{u\in U}\widetilde{\Phi}(u).$

(8.7)

由引理8.2和映射 $\widetilde{F}$ 的压缩性,可以得到

$\begin{align} & \|\tilde{F}({{u}_{\varepsilon }})-{{u}_{\varepsilon }}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}=\|F(\frac{(\omega +{{\xi }_{\varepsilon }}){{p}_{\varepsilon }}}{\rho })- \\ & F(\frac{(\omega +{{\xi }_{\varepsilon }}){{p}_{\varepsilon }}-\sqrt{\varepsilon }{{\theta }_{\varepsilon }}}{\rho }){{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}\le \|\frac{\sqrt{\varepsilon }{{\theta }_{\varepsilon }}}{\rho }{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}\le \frac{\sqrt{\varepsilon }}{\rho }. \\ \end{align}$

(8.8)

从而

$\begin{align} & \|\bar{u}-{{u}_{\varepsilon }}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}=\|\tilde{F}(\bar{u})-{{u}_{\varepsilon }}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}= \\ & \|\tilde{F}(\bar{u})-\tilde{F}({{u}_{\varepsilon }})+\tilde{F}({{u}_{\varepsilon }})-{{u}_{\varepsilon }}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}\le \\ & \|\tilde{F}(\bar{u})-\tilde{F}({{u}_{\varepsilon }}){{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}+\|\tilde{F}({{u}_{\varepsilon }})-{{u}_{\varepsilon }}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}} \\ & \le \frac{cT}{\rho }\|\bar{u}-{{u}_{\varepsilon }}{{\|}_{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}+\frac{\sqrt{\varepsilon }}{\rho }. \\ \end{align}$

(8.9)

于是当 $T/\rho$ 足够小时,有 $$\|\overline{u}-u_\varepsilon\|_{L^\infty(Q_T)}\leq \frac{\sqrt{\varepsilon}/\rho}{1-cT/\rho}. $$所以当 $\varepsilon\rightarrow 0_{+}$ 时,$u_\varepsilon\rightarrow\overline{u}$. 再由(8.2)式便得 $ \widetilde{\Phi}(\overline{u})=\sup \limits_{u\in U}\widetilde{\Phi}(u). $

对于本文提出的模型,通过细致分析,我们获得了平衡态的存在唯一性条件,导出了确定平衡态稳定性的特征方程,利用其根的分布给出了判断平衡态的稳定性法则. 如果不考虑密度制约 对死亡率的影响,还能找到由推论5.1所示的阈值 $\Lambda=0$. 关于最优收获问题(2.1)-(7.1),我们在一定条件下确立了最优策略的存在唯一性,并以反馈形式给出了最优收获策略. 考虑到状态系统的非线性特征,无法精确求解. 因此文中给出了近似算法,通过两个例子展示了种群的演化行为. 另一方面,最优策略的近似计算更为困难一些,它可以构成有意义的计算数学课题.