为了描述人类的造血动态(红细胞生成),文献^{[1, 2]}提出了如下时滞微分方程模型 $$ x' (t) = -a (t)x (t) + \sum_{i=1}^{K}\frac{b_{i }(t)x ^{m} (t-\tau_{i }(t))}{1+x ^{n} (t-\tau_{i }(t))} , \tag{1.1}$$ 这里 $0\leq m \leq n$, $$a ,\ b_{i}, \tau_{i }:R\rightarrow (0,+\infty) \mbox{连续,} i =1,2,\cdots,K. $$ 其中$x (t)$ 表示成熟细胞在血液循环中的密度,$a (t)$是$t$时刻细胞在血液循环中的损失率,从干细胞区室进入循环的通量 $f(x (t-\tau_{i }(t)))=\frac{b_{i }(t)x ^{m} (t-\tau_{i }(t))}{1+x ^{n} (t-\tau_{i }(t))}$ 取决于在 $t-\tau_{i }(t)$时刻的$x (t-\tau_{i }(t))$, 且 $ \tau_{i }(t)$ 是$t$时刻骨髓生产未成熟细胞到他们在血液循环流中变为成熟的时滞.由于方程(1.1)是一类具有广泛实际意义的生物系统,其(或类似方程)概周期解或伪概周期解问题的研究已经引起了众多关注. 例如,文献 ^{[3, 4, 5, 6]}建立了确保其正概周期解的存在性和稳定性的一些条件. 文献 ^{[7, 8, 9]} 的作者进一步获得其正伪概周期解存在性和稳定性的一些充分条件. 同时,我们发现上述关于(1.1)的动力学行为的研究结果中均采用了下列基本假设

$ (S_{0})$~ 循环损失率 $ a (t) $ 是非震动的, 即 $ \inf\limits_{t\in R}a (t)> 0 . $

另一方面,文献 ^[10]指出,由于季节波动,生物种群在某些季节死亡率或收获率可能大于或小于出生率,所以振动系数出现在一些线性种群动力学模型中.那么,自然产生了一个问题:何寻求确保带有震动系数循环损失率的造血方程(1.1)的正伪概周期解存在性和指数稳定性的新条件. 因此,除去$(S_{0})$后,模型(1.1)的正伪概周期解问题是值得继续研究的.本文的主要目标是,在放弃$(S_{0})$的前提下,建立具有振动系数循环损失率的模型(1.1)正伪概周期解存在性、唯一性和指数稳定性.

在本文中,假设 $a : R \rightarrow R$ 为概周期函数,$ b_{i},\tau_{i }:R\rightarrow [0,+\infty)$ 是伪概周期函数, $i =1,2,\cdots,K,$ $M[a]=\lim\limits_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}a(s){\rm d}s>0$. 设$g$ 是定义在 $R$上的有界连续函数,记 $ g^{+}=\sup\limits_{t\in R}g(t),$ $g^{-}=\inf\limits_{t\in R}g(t).$ 另外,我们进一步假设 $$ 0\leq m\leq 1,r=\max\limits_{1\leq i \leq K} \tau_{i}^{+} >0,\tag{1.2}$$ 且存在正的常数$\eta^{i}$,$F^{S}$ 和 $F^{i}$,使得 $$F^{i} {\rm e}^{f -\int_{s}^{t}a^{*}(u){\rm d}u}\leq {\rm e}^{ -\int_{s}^{t}a(u){\rm d}u}\leq F^{S} {\rm e}^{ -\int_{s}^{t}a^{*}(u){\rm d}u},\ \mbox{ } t,s\in R \mbox{ }t-s\geq 0 \tag{1.3} $$ 和 $$\eta^{i}=\inf\limits_{t\in R} \bigg\{-a^{*}(t)+ F^{i}\sum\limits_{i=1}^{K} b_{i }(t)\bigg\}, \tag{1.4}$$ 这里 $a^{*} : R \rightarrow (0,+\infty)$ 是一个有界连续函数.

设 $R_+$ 表示非负实数空间,$C= C([-r,0],R )$ 为赋予上确界范数的连续函数空间$\|\cdot\|$,且 $C_{+}= C([-r,0],R_+)$.若 $x (t)$定义在$[-r+t_{0},\sigma)$上且 $t_{0},\sigma\in R $,那么令 $x_{t}\in C $, 这里 $x _t(\theta)=x (t+\theta)$,$\theta\in [-r ,0]$.

与模型(1.1)相关的初始条件定义如下 $$ x_{t_0}=\varphi,\varphi\in C_+ ,~~ \varphi(0)>0.\tag{1.5}$$ 记初值问题(1.4)和(1.5) 的解为 $x_t(t_0,\varphi)(x(t;t_0,\varphi))$,并记其最大存在区间为 $[t_0,\eta(\varphi))$.

注 1.1  设 $f (u)=\frac{u^{m}}{1+u^{n}}$,可以得到 $$ \left.\begin{array}{llllll} \ f'(u)=\frac{u^{m-1}(m-(n-m)u^{n})}{(1+u^{n})^{2}}>0, \mbox{对} u\in (0,\sqrt[n]{\frac{m}{n-m}}) \\[3mm] \ f'(u)=\frac{u^{m-1}(m-(n-m)u^{n})}{(1+u^{n})^{2}} < 0,\mbox{对} u\in ( \sqrt[n]{\frac{m}{n-m}},+\infty)\end{array}\right\},\mbox{这里 } m < n.\tag{1.6}$$ 由 $ \eta^{i}=\inf\limits_{t\in R }\{-a^{*}(t)+ F^{i}\sum\limits_{i=1}^{K} b_{i }(t)\}>0 $ 和 $$ \lim\limits_{\alpha\rightarrow 0^{+}}\frac{\alpha^{m-1}}{1+\alpha^{n}}=\left\{ \begin{array}{llllll} 1,& m=1,\\ +\infty,& m < 1, \end{array}\right. $$ 我们能找到一个正的常数 $\kappa $ 使得 $$ \bar{\eta}^{i}=\inf\limits_{t\in R}\bigg\{-a^{*}(t)+\frac{\alpha^{m-1}}{1+\alpha^{n}}F^{i}\sum\limits_{i=1}^{K} b_{i }(t)\bigg\}>0, \alpha\in (0,\kappa],\tag{1.7} $$ 且 $$ \kappa < \sqrt[n]{\frac{m}{n-m}},m < n. \tag{1.8}$$ 因此,(1.6),(1.8)式表明存在一个常数 $\tilde{\kappa}$ 使得 $$ \kappa < \sqrt[n]{\frac{m}{n-m}} < \tilde{\kappa}, \frac{\kappa^{m}}{1+\kappa^{n}}=\frac{\tilde{\kappa}^{m}}{1+\tilde{\kappa}^{n}}, m < n. \tag{1.9}$$

在此我们将给出证明第三部分主要结果所需的一些重要的引理和定义.

令 $BC(R,R)$ 是从$R$ 到$R$上的连续有界函数集合. 显然, $(BC(R,R),\|\cdot\|_{\infty})$ 是一个巴拿赫空间, $\|\cdot\|_{\infty}$ 表示$\|f\|_{\infty} := \sup\limits_{ t\in R} |f (t)| $. 我们类似于文献 ^[],以 $AP(R,R)$表示从$R$ 到$R$的概周期函数集合. $PAP_{0}(R,R)$ 类函数定义如下 $$\bigg\{f\in BC(R,R)|\lim\limits_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|f(t)|{\rm d}t=0\bigg\}.$$ 函数 $f\in{BC(R,R)}$ 被称为伪概周期函数,如果 $$f=h+\varphi,$$ 其中$h\in{AP(R,R)}$, $\varphi\in{PAP_{0}(R,R)}.$ 这样函数的集合表示为 $PAP(R,R).$ 特别地,$(PAP(R,R),$ $\|\cdot\|_{\infty})$ 是一个巴拿赫空间^[11].

引理 2.1  假设存在一个正的常数 $ M >\kappa $ 使得 $$ -\eta^{S}=\sup\limits_{t\in R } \bigg\{ -a ^{*}(t)M + F^{S} \sum_{i=1}^{K} b_{i }(t) \bigg \} < 0 , \sqrt[n]{\frac{m}{n-m}} < M \leq \tilde{\kappa} \mbox{若 } \ m < n. \tag{2.1}$$ 那么,集合 $\{x_t(t_{0},\varphi): t\in [t_{0},\eta(\varphi))\}$ 有界, 其中 $\eta(\varphi)=+\infty$. 另外,存在 $t _{\varphi}>t_{0}$ 使得 $$\kappa < x (t; t_{0},\varphi) < M ,~~ t \geq t _{\varphi}. \tag{2.2} $$

证  由 $\varphi \in C_+$,应用文献 [13,定理 5.2.1],可得 $x_t(t_{0}, \varphi)\in C_+$,$t \in [t_{0},\eta(\varphi))$. 令 $x (t )= x (t; t_{0},\varphi)$. 基于 $x (t_{0})=\varphi (0)>0$, 在 $t_{0}$ 到$t$上对 (1.1)式积分,可得 $$ x (t) = {\rm e}^{-\int_{t_{0}}^{t} a(v){\rm d}v}x (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} {\rm e}^{ -\int_{s}^{t} a(v){\rm d}v} \sum_{i=1}^{K}\frac{b_{i }(s)x ^{m} (s-\tau_{i }(s))}{1+x ^{n} (s-\tau_{i }(s)) }{\rm d}s>0,t\in [t_{0}, \eta(\varphi)) .\tag{2.3}$$

对任意$t\in [t_{0}-r,\eta(\varphi)) $,定义 $$M(t)=\max\Big\{\xi:\xi\leq t,x (\xi)=\max\limits_{t_{0}-r \leq s\leq t} x (s)\Big\} .$$ 下面证明 $x (t)$ 在 $[t_{0}, \eta(\varphi))$有上界.根据 (1.3),(2.1)式和下面事实 $$\sup\limits_{u\geq 0} \frac{u^{n}}{1+u^{n}}=1,\ \sup\limits_{u\geq 0} \frac{u^{m}}{1+u^{n}}= \frac{(\sqrt[n]{\frac{m}{n-m}})^{m}}{1+(\sqrt[n]{\frac{m}{n-m}})^{n}}\leq 1 \mbox{对} m < n,\tag{2.4}$$ 我们得到 \begin{eqnarray*} x (t) &\leq &F^{S} {\rm e}^{-\int_{t_{0}}^{t} a^{*}(v){\rm d}v}x (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} {\rm e}^{ -\int_{s}^{t} a^{*}(v){\rm d}v}F^{S}\sum_{i=1}^{K} b_{i }(s){\rm d}s \\&\leq &F^{S} {\rm e}^{-\int_{t_{0}}^{t} a^{*}(v){\rm d}v}x (t_{0}) +\sup\limits_{t\in R}\frac{-\eta^{S}}{a^{*}(t)}[1-{\rm e}^{-\int_{t_{0}}^{t} a^{*}(v){\rm d}v}] + M[1-{\rm e}^{-\int_{t_{0}}^{t} a^{*}(v){\rm d}v}]\\&:= &A(t),\ \mbox{ } t\in [t_{0},\eta(\varphi)) . \end{eqnarray*}

由文献[14,定理2.3.1] 和$A(t)$的有界性,得$ \eta(\varphi)=+\infty$.此外,还有 \begin{eqnarray*}\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }A(t)=\sup\limits_{t\in R}\frac{-\eta^{S}}{a^{*}(t)}+M < M,\end{eqnarray*}即存在 $t_{1}\in [t_{0},\ +\infty)$ 使得 $$ 0 < x(t ) < M ,\mbox{ } t\in [t_{1},+\infty) . \tag{2.5}$$

首先证明 $l:=\liminf\limits_{t\to+\infty} x(t)>0$. 应用反证法,假设 $l=0$. 对任意 $t\geq t_{0} $,我们定义 \[ \beta(t)=\max\Big\{\varrho|\varrho\leq t,x (\varrho)=\min\limits_{t_{0} \leq s\leq t} x (s)\Big\}.\] 由此得出 $l=0$ 时 $\beta(t) \to \infty$,$t\to+\infty $ 且有 $$ \lim\limits_{t\to+\infty}x (\beta(t))=0. \tag{2.6}$$ 由$\beta(t)$的定义可知,存在 $t_{2}>t_{1}+r$ 使得 $$0 < x(\beta(t)) < \kappa,\ \beta(t)>t_{1}+r,\mbox{ } t\in [t_{2},+\infty) \tag{2.7}$$ 和 $$ x(\beta(t)) \leq x (s -\tau_{ i}(s )) \leq M\leq \widetilde{\kappa } ,\mbox{ } s\in [t_{1}+r,\ \beta(t)],t\in [t_{2},+\infty),\tag{2.8}$$ 这里 $i=1, 2,\cdots ,K. $ 由(1.3),(1.6)-(1.9),(2.1), (2.3),(2.7) 和 (2.8)式,可得 \begin{eqnarray*} x (\beta(t)) &\geq &F^{i} {\rm e}^{-\int_{t_{1}+r}^{\beta(t)} a^{*}(v){\rm d}v} x (\beta(t)) + \frac{ x ^{m} (\beta(t))}{1+x ^{n} (\beta(t)) }\int_{t_{1}+r}^{\beta(t)} {\rm e}^{ -\int_{s}^{\beta(t)} a^{*}(v){\rm d}v} F^{i}\sum_{i=1}^{K} b_{i }(s){\rm d}s \\&\geq& F^{i} {\rm e}^{-\int_{t_{1}+r}^{\beta(t)} a^{*}(v){\rm d}v}x (\beta(t))+\frac{ x ^{m} (\beta(t))}{1+x ^{n} (\beta(t)) }\inf\limits_{t\in R}\frac{ \eta^{i}}{a^{*}(t)} [1-{\rm e}^{-\int_{t_{1}+r}^{\beta(t)} a^{*}(v){\rm d}v}] \\& & + \frac{ x ^{m} (\beta(t))}{1+x ^{n} (\beta(t)) }[1-{\rm e}^{-\int_{t_{1}+r}^{\beta(t)} a^{*}(v){\rm d}v}] ,\mbox{ 对所有的} t \in [t_{2},+\infty)\end{eqnarray*} 和 $$ \begin{array}[b]{rl} 1 \geq& \ F^{i} {\rm e}^{-\int_{t_{1}+r}^{\beta(t)} a^{*}(v){\rm d}v} +\frac{ x ^{m-1} (\beta(t))}{1+x ^{n} (\beta(t)) }\inf\limits_{t\in R}\frac{ \eta^{i}}{a^{*}(t)} [1-{\rm e}^{-\int_{t_{1}+r}^{\beta(t)} a^{*}(v){\rm d}v}] \\[3mm] &\ + \frac{ x ^{m-1} (\beta(t))}{1+x ^{n} (\beta(t)) }[1-{\rm e}^{-\int_{t_{1}+r}^{\beta(t)} a^{*}(v){\rm d}v}] ,\mbox{ 对所有的 } t \in [t_{2},+\infty) . \end{array}\tag{2.9} $$

若 $m=1$,当 $t\rightarrow+\infty$,由(2.6) 和 (2.9)式可得 $\inf\limits_{t\in R}\frac{ \eta^{i}}{a^{*}(t)}\leq 0,$ 这与(1.4)和(2.1)式相矛盾. 所以,$\liminf\limits_{t\to+\infty} x(t)=l>0.$

若$m < 1$,当 $t\rightarrow+\infty$,由(2.6) 和 (2.9) 式得到矛盾结果: $1\geq +\infty.$ 因此 $\liminf\limits_{t\to+\infty} x(t)=l>0$成立.

其次证明 $\liminf\limits_{t\to+\infty} x(t)=l>\kappa$.仍用反证法,假设 $l\leq \kappa$. 那么, 对任意正的常数 $\Lambda < l$,存在 $t_{3}>t_{1}+r$ 使得 $$ l-\Lambda\leq x (s -\tau_{ i}(s )) \leq M \leq \widetilde{\kappa } ,\mbox{ } s\in [t_{3},+\infty),i=1,2,\cdots ,K. \tag{2.10}$$ 由 (1.3),(1.6),(1.7),(2.3) 和 (2.10)式,我们有 \begin{eqnarray*} x (t) &\geq & {\rm e}^{-\int_{t_{3} }^{t} a(v){\rm d}v}x (t_{3} ) + \int_{t_{3} }^{t} {\rm e}^{ -\int_{s}^{t} a(v){\rm d}v}(l-\Lambda)\sum_{i=1}^{K}b_{i }(s)\frac{(l-\Lambda) ^{m-1} }{1+(l-\Lambda) ^{n} }{\rm d}s \\&\geq &F^{i} {\rm e}^{-\int_{t_{3} }^{t} a^{*}(v){\rm d}v}x (t_{3} ) +\inf\limits_{t\in R}\frac{ \bar{\eta}^{i}}{a^{*}(t)}(l-\Lambda)[1-{\rm e}^{-\int_{t_{3} }^{t} a^{*}(v){\rm d}v}]\\ & \; & + (l-\Lambda)[1-{\rm e}^{-\int_{t_{3} }^{t} a^{*}(v){\rm d}v}] := B(t),\mbox{ } t \in [t_{3},\ +\infty) \end{eqnarray*} 和 $$ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }B(t)=\inf\limits_{t\in R}\frac{ \bar{\eta}^{i}}{a^{*}(t)}(l-\Lambda)+(l-\Lambda), $$ 这样,由 $\Lambda$的任意性和 $\bar{\eta}^{i}>0$,有 $$l=\liminf\limits_{t\rightarrow +\infty}x(t)\geq\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }B(t)\mbox{和} l \geq\inf\limits_{t\in R}\frac{ \bar{\eta}^{i}}{a^{*}(t)}l+l>l.$$ 这样出现矛盾. 因此, $l>\kappa$,且存在 $t_{4}\in [t_{1}+r,+\infty)$ 使得 $$ \kappa < x(t ) ,\mbox{ } t\in [t_{4},+\infty) . \tag{2.11}$$ 又鉴于(2.5) 和 (2.11)式,可知存在 $t _{\varphi}>t_{4}$使得 $\kappa < x(t; t_{0},\varphi) < M,~ t \geq t _{\varphi}. $ 证毕. 引理2.2 (见文献 [9,引理 2.8])  设 $$ B^{*}=\{\varphi|\varphi \in PAP(R,R) \mbox{ 在 $R$ 上一致连续,} K_{1}\leq \varphi(t) \leq K_{2},\mbox{ } t\in R \},$$则 $B^* $ 是 $PAP(R,R)$的一个封闭子集.

定理 3.1  假设 $(2.1)$ 式成立,且 \begin{equation} \sup\limits_{t\in R} \bigg\{- a^{*} (t ) + F^{S}\sum\limits_{i=1}^{K} b_{i}(t ) \bigg[M^{m}\frac{n}{4\kappa}+\frac{1}{1+\kappa^{n}}m\kappa^{m-1} \bigg] \bigg\} < 0, \tag{3.1} \end{equation} 则方程 (1.1)至少有一个正伪概周期解$x^{*}(t)$.

证  由 (3.1)式可知,存在一个常数 $ \varsigma \in (0,1]$ 使得 \begin{equation} \Upsilon (\varsigma)=\sup\limits_{t\in R} \bigg\{- a ^{*} (t ) + F^{S}\sum\limits_{i=1}^{K} b_{i}(t ) \bigg[M^{m}\frac{n}{4\kappa}+\frac{1}{1+\kappa^{n}}m\kappa^{m-1} \bigg] {\rm e}^{\varsigma }\bigg \} < 0 .\tag{3.2} \end{equation} 令 $$ B =\{\varphi|\varphi \in PAP( R ,R ) \mbox{ 在 $ R $上一致收敛,} \kappa\leq \varphi(t) \leq M,t\in R \}. $$由引理 2.2 知 $B $ 是 $PAP( R ,R )$的一个封闭子集. 令 $ \phi \in B $ ,$f(t,z)= \phi(t-z) .$ 由文献[11,p58,定理 5.3]和文献[11,p59,定义 5.7], $ \phi $的一致收敛意味着有对所有 $\Omega\subset R $的紧集 $L$, $f \in PAP( R \times \Omega)$ 且$f $ 在 $z\in L$,$t\in R $上一致连续.这样,连同 $\tau_{i} \in PAP( R ,R )$ 和文献 [11,p60,定理 5.11],得到 $$ \phi (t-\tau_{i} (t)) \in PAP( R ,R ),~~ i =1,2,\cdots,K. $$ 根据文献[11,p58,推论5.4]和伪概周期函数的组合定理, 可得 $$ \sum_{i=1}^{K}\frac{b_{i }(t)\phi^{m}(t-\tau_{i }(t))}{1+\phi^{n}(t-\tau_{i }(t))} \in PAP( R ,R ).$$ 下面考虑一个辅助方程 \begin{equation} x '(t)=-a(t)x(t)+\sum_{i=1}^{K}\frac{b_{i }(t)\phi^{m}(t-\tau_{i }(t))}{1+\phi^{n}(t-\tau_{i }(t))} .\ \tag{3.3} \end{equation} 这里注意 $ M[a]>0,$ 由文献 [15,定理 2.3]知系统 (3.3) 有且只有一个伪概周期解 \begin{equation} x^{\phi}(t) = \int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\int_{s}^{t}a(u){\rm d}u} \sum_{i=1}^{K}\frac{b_{i }(s)\phi^{m}(s-\tau_{i }(s))}{1+\phi^{n}(s-\tau_{i }(s))}{\rm d}s.\tag{3.4} \end{equation} 定义一个映射 $T:PAP( R ,R )\longrightarrow PAP( R ,R )$且设 $$T(\phi(t))=x^{\phi}(t),\phi\in PAP( R ,R ). $$ 对任意 $ \phi \in B$,由 (1.3) 和 (2.1)式得 \begin{eqnarray} x^{\phi}(t) &\leq & \int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\int_{s}^{t}a^{*}(u){\rm d}u}F^{S}\sum_{i=1}^{K} b_{i }(s){\rm d}s onumber\\ & \leq& \int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\int_{s}^{t}a^{*}(u){\rm d}u}[-\eta^{S}+a^{*}(s) M]{\rm d}s \leq M,~~ t\in R . \tag{3.5} \end{eqnarray} 另外,由注记 1.1,有 \begin{equation} \left. \begin{array}{llllll} \ \frac{\kappa^{m}}{1+\kappa^{n}}=\frac{\tilde{\kappa}^{m}}{1+\tilde{\kappa}^{n}}, \ \kappa < \sqrt[n]{\frac{m}{n-m}} < M\leq \tilde{\kappa} \\ [3mm] \ f'(u)=(\frac{u^{m}}{1+u^{n}})'=\frac{u^{m-1}(m-(n-m)u^{n})}{(1+u^{n})^{2}}>0, \forall u\in (0,\sqrt[n]{\frac{m}{n-m}}) \\[3mm] \ f'(u)=(\frac{u^{m}}{1+u^{n}})'=\frac{u^{m-1}(m-(n-m)u^{n})}{(1+u^{n})^{2}} < 0, \forall u\in ( \sqrt[n]{\frac{m}{n-m}},+\infty)\end{array}\right\},m < n, \tag{3.6} \end{equation} \begin{equation} (\frac{u^{n}}{1+u^{n}}) '=\frac{ n u^{ n-1} }{(1+u^{n})^{2}}>0 , \mbox{ } u\in (0,+\infty)\tag{3.7} \end{equation} 和 \begin{equation} F^{i}\frac{\alpha^{m-1}}{1+\alpha^{n}}\sum\limits_{i=1}^{K} b_{i }(t) >a^{*}(t)+\bar{\eta}^{i} \mbox{对所有的} \alpha\in (0, \kappa],t\in R , \tag{3.8} \end{equation} 可以得到 \begin{eqnarray} x^{\phi}(t) & \geq & \int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\int_{s}^{t}a^{*}(u){\rm d}u}\bigg[F^{i}\sum_{i=1}^{K}\frac{b_{i }(s)\kappa^{m}}{1+\kappa^{n} }\bigg]{\rm d}s onumber\\ & \geq & \int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\int_{s}^{t}a^{*}(u){\rm d}u}[\bar{\eta}^{i}+a^{*}(s)] \kappa {\rm d}s\geq \kappa,~~ t\in R .\end{eqnarray} 即映射$T$ 是从 $B $ 到 $ B $ 的自映射. 现在我们来证明映射 $T$是$B $上的一个压缩映射. 事实上,由 $ \varphi,\psi \in B $, 可得 \begin{eqnarray} &&\|T(\varphi)-T(\psi)\|_{\infty} onumber \\ &\leq& \sup_{t \in R} \int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\int_{s}^{t}a^{*}(u){\rm d}u}F^{S}\sum^K_{i=1}b_{ i}(s)\bigg[\bigg|\frac{\varphi^{m}(s-\tau_{i }(s))}{1+\varphi^{n}(s-\tau_{i }(s))}-\frac{\varphi^{m}(s-\tau_{i }(s))}{1+\psi^{n}(s-\tau_{i }(s))}\bigg| onumber \\ && +\bigg|\frac{\varphi^{m}(s-\tau_{i }(s))}{1+\psi^{n}(s-\tau_{i }(s))}-\frac{\psi^{m}(s-\tau_{i }(s))}{1+\psi^{n}(s-\tau_{i }(s))}\bigg|\bigg]{\rm d}s onumber\\ &\leq& \sup_{t \in R} \int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\int_{s}^{t}a^{*}(u){\rm d}u}F^{S}\sum^K_{i=1}b_{ i}(s)\bigg[\varphi^{m}(s-\tau_{i }(s))\bigg|\frac{1}{1+\varphi^{n}(s-\tau_{i }(s))}-\frac{1}{1+\psi^{n}(s-\tau_{i }(s))}\bigg| onumber \\ && +\frac{1}{1+\psi^{n}(s-\tau_{i }(s))}\bigg|\varphi^{m}(s-\tau_{i }(s))- \psi^{m}(s-\tau_{i }(s))\bigg|\bigg]{\rm d}s.\tag{3.10}\end{eqnarray} 由微分中值定理,有 \begin{equation} \bigg| \frac{1}{1+x^{n} }-\frac{1}{1+y^{n} }\bigg|=\bigg |\frac{-n \theta^{n-1}}{(1+\theta^{n}) ^{2} }\bigg|| x -y | \leq \frac{ n \theta^{n-1}}{( 2\sqrt{\theta^{n}}) ^{2} } | x -y |\leq \frac{n}{4\kappa}| x -y | \tag{3.11} \end{equation} 和 \begin{equation} |x^{m}-y^{m}|\leq m\kappa^{m-1}| x -y |, \tag{3.12} \end{equation} 这里 $ x,y\in [\kappa,M], \theta $ 介于 $ x $ 和 $ y $之间. 则由 (3.10),(3.11) 和 (3.12) 式有 \begin{eqnarray*} &&\|T(\varphi)-T(\psi)\|_{\infty} onumber \\ &\leq& \sup_{t \in R}\int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\int_{s}^{t}a^{*}(u){\rm d}u}F^{S}\sum^K_{i=1}b_{ i}(s)\bigg[M^{m}\frac{n}{4\kappa}+\frac{1}{1+\kappa^{n}}m\kappa^{m-1}\bigg] |\varphi (s-\tau_{ i}(s)) - \psi (s-\tau_{ i}(s))|{\rm d}s onumber\\ &\leq& \sup_{t \in R}\int_{-\infty}^{t}{\rm e}^{-\int_{s}^{t}a^{*}(u){\rm d}u}a^{*}(s){\rm e}^{-\varsigma }|\varphi (s-\tau_{ i}(s)) - \psi (s-\tau_{ i}(s))|{\rm d}s onumber\\ &\leq& {\rm e}^{-\varsigma }\|\varphi-\psi\|_{\infty} . onumber \end{eqnarray*} 注意到${\rm e}^{-\varsigma } < 1$,所以显然映射 $T$ 是$B $上的一个压缩映射. 运用文献[16,定理 0.3.1],我们得到映射 $T$ 具有唯一个不动点 $\varphi^{*}\in B $满足 $T\varphi^{*}=\varphi^{*}$. 由 (3.3)式知,$\varphi^{*}$ 满足方程 (1.1).所以$\varphi^{*}$ 是方程(1.1)在$B $上的一个正伪概周期解 . 定理3.1证毕.

定理 3.2  在定理 3.1的假设下, 方程(1.1)的正伪概周期解$x^{*}(t)$ 是全局指数稳定的.

证  由 (3.1)式,能找到一个常数 $ \lambda \in (0,\inf\limits_{t\in R }a^{* }(t )]$ 使得 \begin{equation} \sup\limits_{t\in R} \bigg\{- a^{*} (t )+\lambda + F^{S}\sum^K_{i=1}b_{ i}(t)\bigg[M^{m}\frac{n}{4\kappa}+\frac{1}{1+\kappa^{n}}m\kappa^{m-1}\bigg]{\rm e}^{ \lambda \tau _{i} ^{+}} \bigg \} < 0 . \tag{3.13} \end{equation} 由定理3.1,设$x^{*}(t)$是方程(1.1)的正伪概周期解 . 为了证明定理 3.2, 我们将给出 $x^{*}(t)$ 的全局指数稳定性. 设 $x (t )= x (t; t_{0},\varphi)$. 由引理 2.1,存在$ t _{\varphi}\in [t_{0},\ +\infty)$使得 \begin{equation} \kappa < x(t) < M ,~~ t\in [t _{\varphi},+\infty) . \tag{3.14} \end{equation} 令 $y(t)=x (t )-x^{*}(t)$. 则有 \[{y}'(t)=-a(t)y(t)+\sum\limits_{i=1}^{K}{{{b}_{i}}}(t)[\frac{{{x}^{m}}(t-{{\tau }_{i}}(t))}{1+{{x}^{n}}(t-{{\tau }_{i}}(t))}-\frac{{{x}^{{{*}^{m}}}}(t-{{\tau }_{i}}(t))}{1+{{x}^{{{*}^{n}}}}(t-{{\tau }_{i}}(t))}]\] 和 \[\begin{align} & y(t)={{\text{e}}^{-\int_{{{t}_{0}}}^{t}{a}(v)\text{d}v}}y({{t}_{0}})+\int_{{{t}_{0}}}^{t}{{{\text{e}}^{-\int_{s}^{t}{a}(v)v}}} \\ & \sum\limits_{i=1}^{K}{{{b}_{i}}}(s)[\frac{{{x}^{m}}(s-{{\tau }_{i}}(s))}{1+{{x}^{n}}(s-{{\tau }_{i}}(s))}-\frac{{{x}^{{{*}^{m}}}}(s-{{\tau }_{i}}(s))}{1+{{x}^{{{*}^{n}}}}(s-{{\tau }_{i}}(s))}]\text{d}s,t\in [{{t}_{0}},+\infty ). \\ \end{align}\ \tag{3.15}\]

令 $$ t_{\xi}=t _{\varphi}+r,K_{\varphi}=F^{S}+1,\ \|y\|_{\xi}=\max\limits_{t\in[t_{0}-r,t_{\xi}]}|x(t)-x^{*} (t)|. \tag{3.16}$$ 于是,对任意的 $\varepsilon>0$,显然有 $$ |y(t_{\xi})| < \|y\|_{\xi}+\varepsilon,|y(t) | < K_{\varphi}(\|y\|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{ \lambda t_{\xi}}{\rm e}^{-\lambda t},\mbox{ } t \in [t_{0}-r,t_{\xi}].$$ 下面证明 $$\|y(t)\| < K_{\varphi}(\|y\|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{ \lambda t_{\xi}}{\rm e}^{-\lambda t}, ~~ t > t_{\xi} . \tag{3.17}$$ 否则,必存在 $\theta >t_{\xi} $ 使得 $$\left\{ \begin{array}{rcl} |y(\theta) |&=& K_{\varphi}(\|y\|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{ \lambda t_{\xi}}{\rm e}^{-\lambda \theta},\\ |y(t) | & < &K_{\varphi}(\|y\|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{ \lambda t_{\xi}}{\rm e}^{-\lambda t},\mbox{ } t \in[t_{0}-r,\ \theta).\end{array} \right. \tag{3.18}$$ 由 (1.3),(3.11)-(3.14),(3.16) 和 (3.18)式,有 \[\begin{align} & |y(\theta )|\le {{F}^{S}}{{\text{e}}^{-\int_{{{t}_{\xi }}}^{\theta }{{{a}^{*}}}(v)\text{d}v}}(\|y{{\|}_{\xi }}+\varepsilon )+\int_{{{t}_{\xi }}}^{\theta }{{{\text{e}}^{-\int_{s}^{\theta }{{{a}^{*}}}(v)\text{d}v}}}{{F}^{S}}\sum\limits_{i=1}^{K}{{{b}_{i}}}(s) \\ & \times [{{x}^{m}}(s-{{\tau }_{i}}(s))|\frac{1}{1+{{x}^{n}}(s-{{\tau }_{i}}(s))}-1\left\{ 1+{{x}^{{{*}^{n}}}}(s-{{\tau }_{i}}(s)) \right\} \\ & |+\frac{1}{1+{{x}^{{{*}^{n}}}}(s-{{\tau }_{i}}(s))}|{{x}^{m}}(s-{{\tau }_{i}}(s))-{{x}^{{{*}^{m}}}}(s-{{\tau }_{i}}(s))|]\text{d}s\le {{F}^{S}}{{\text{e}}^{-\int_{{{t}_{\xi }}}^{\theta }{{{a}^{*}}}(v)\text{d}v}}(\|y{{\|}_{\xi }}+\varepsilon ) \\ & +\int_{{{t}_{\xi }}}^{\theta }{{{\text{e}}^{-\int_{s}^{\theta }{{{a}^{*}}}(v)\text{d}v}}}{{F}^{S}}\sum\limits_{i=1}^{K}{{{b}_{i}}}(s)[{{M}^{m}}n4\kappa +\frac{1}{1+{{\kappa }^{n}}}m{{\kappa }^{m-1}}]|y(s-{{\tau }_{i}}(s))|\text{d}s\le \\ & {{K}_{\varphi }}(\|y{{\|}_{\xi }}+\varepsilon ){{\text{e}}^{\lambda {{t}_{\xi }}}}{{\text{e}}^{-\lambda \theta }}[\frac{{{F}^{S}}}{{{K}_{\varphi }}}{{\text{e}}^{-\int_{{{t}_{\xi }}}^{\theta }{({{a}^{*}}(}v)-\lambda )\text{d}v}}+\int_{{{t}_{\xi }}}^{\theta }{{{\text{e}}^{-\int_{s}^{\theta }{({{a}^{*}}(}v)-\lambda )\text{d}v}}}{{F}^{S}} \\ & \sum\limits_{i=1}^{K}{{{b}_{i}}}(s)[{{M}^{m}}\frac{n}{4\kappa }+\frac{1}{1+{{\kappa }^{n}}}m{{\kappa }^{m-1}}]{{\text{e}}^{\lambda \tau _{i}^{+}}}\text{d}s]\le {{K}_{\varphi }}(\|y{{\|}_{\xi }}+\varepsilon ){{\text{e}}^{\lambda {{t}_{\xi }}}}{{\text{e}}^{-\lambda \theta }}[{{F}^{S}}{{K}_{\varphi }}{{\text{e}}^{-\int_{{{t}_{\xi }}}^{\theta }{({{a}^{*}}(}v)-\lambda )\text{d}v}}+ \\ & \int_{{{t}_{\xi }}}^{\theta }{{{\text{e}}^{-\int_{s}^{\theta }{({{a}^{*}}(}v)-\lambda )\text{d}v}}}({{a}^{*}}(s)-\lambda )\text{d}s]\le {{K}_{\varphi }}(\|y{{\|}_{\xi }}+\varepsilon ){{\text{e}}^{\lambda {{t}_{\xi }}}}{{\text{e}}^{-\lambda \theta }}[1-(1-\frac{{{F}^{S}}}{{{K}_{\varphi }}}){{\text{e}}^{-\int_{{{t}_{\xi }}}^{\theta }{({{a}^{*}}(}v)-\lambda )\text{d}v}}] \\ & <\text{ }{{K}_{\varphi }}(\|y{{\|}_{\xi }}+\varepsilon ){{\text{e}}^{\lambda {{t}_{\xi }}}}{{\text{e}}^{-\lambda \theta }}, \\ \end{align}\] 此与(3.18)式的第一个方程相矛盾.所以,(3.17)式成立. 当 $\varepsilon\longrightarrow 0^{+}$,由 (3.17)式可得 $$ |y(t) | \leq K_{\varphi} \|y\|_{\xi} {\rm e}^{ \lambda t_{\xi}}{\rm e}^{-\lambda t}, ~~ t > t_{\xi} ,$$ 证毕.

在此,我们用一个例子来检验第三部分所获得的结果的有效性.

例 4.1  考虑如下带有震动循环损失率的造血模型 \begin{eqnarray} x' (t) &=& -(1.5+2\cos 400t)x(t) + \frac{1}{2}(2+\frac{1}{2}|\cos \sqrt{2}t|) \frac{x^{\frac{1}{4}}(t-2{\rm e}^{ -t^{4}\sin^{2} t })}{1+x^{\frac{1}{2}}(t-2{\rm e}^{ -t^{4}\sin^{2} t })} onumber\\ && + \frac{1}{2}(2+\frac{1}{2}|\sin \sqrt{3}t|) \frac{x^{\frac{1}{4}}(t-2{\rm e}^{ -t^{6}\sin^{2} t })}{1+x^{\frac{1}{2}}(t-2{\rm e}^{-t^{6}\sin^{2} t })} . \tag{4.1} \end{eqnarray} 显然,$ a (t)= 1.5+2\cos 400t ,$ $ a^{*}(t) = 1.5,$ $ F^{S}= {\rm e}^{ \frac{1}{100}},$ $F^{i}= {\rm e}^{-\frac{1}{100}},$ $n=\frac{1}{2},$ $ m=\frac{1}{4},$ $ r=2{\rm e}. $ 令 $\kappa=0.5$ 和 $M=2$.则有 $M=\tilde{\kappa }=2,-{{a}^{{{*}^{-}}}}M+b_{1}^{+}+b_{2}^{+}=-0.5<0,$ \[\underset{\alpha \in \left[ 0,\kappa \right]}{\mathop{\inf }}\,\frac{{{\alpha }^{m-1}}}{1+{{\alpha }^{n}}}\ge \frac{{{(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4}-1}}}{1+{{(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}}}\approx 0.9852>0.75=\frac{{{a}^{{{*}^{+}}}}}{\sum\limits_{i=1}^{K}{b_{i}^{-}}},\] $$ -a^{*}(t)+(b_{1}^++b_{2}^+) \bigg[M^{m}\frac{n}{4\kappa} +\frac{1}{1+\kappa^{n}}m\kappa^{m-1}\bigg] {\rm e}^{ \frac{1}{100}} \approx -0.141 < 0 ,$$ 这说明方程(4.1) 满足定理3.2的假设.因此,方程(4.1) 有唯一的指数稳定的正伪概周期解 $x^*(t)$, 其指数收敛率可取$\lambda\approx 0.01$.我们用数值模拟验证了这个结论(见图 1).

图 1 方程(4.1) 在初值$x_{0}\equiv 0.1,0.5,0.8 $ 条件下的数值解$ x (t) $

注 4.1  在方程 (4.1)中,随时间变化的循环损失率 $$a (t)=1.5+2\cos 400t$$是震动的,不满足 $(S_{0})$. 因而,参考文献^[]中的所有结果都不适合方程 (4.1). 据我们所知,本文获得的具有振动循环损失率的造血模型的正伪概周期解的全局指数稳定性的结论是全新的.