我们讨论下面的非经典反应扩散方程 \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_{t}-\Delta{u_t}-\Delta{u}-\int^{\infty}_{0}k(s)\triangle u(t-s){\rm d}s+f(x,u)=g(x),\quad t\geq0,\\[2mm] u(0)=u_{0},x\in{\Bbb R}^{3} \end{array}\right.\tag{1.1} \end{equation} 在 ${\Bbb R}^{3}$ 上解的长时间行为,其中$g\in H^{-1}({\Bbb R}^{3})$.非线性函数 $f\in C^2({\Bbb R}^{4},{\Bbb R})$ 是局部有界可测函数,并且存在 $r_{0}>0$ 和正常数 $c_{i} (i=1,2,3)$ 使得 \begin{equation} f(\cdot,0)\in L^{2}({\Bbb R}^{3}); \tag{1.2} \end{equation} \begin{equation} \left|f'(x,0)\right|\leq c_{1},~~ \forall x\in {\Bbb R}^{3}; \tag{1.3} \end{equation} \begin{equation} \left|f"(x,s)\right|\leq c_{2}(1+|s|^{3}),~~ \forall s\in{\Bbb R},x\in {\Bbb R}^{3}; \tag{1.4} \end{equation} \begin{equation} \liminf\limits_{|s|\rightarrow \infty}\frac{f(x,s)}{s}\geq 0,~~ \forall |x|\leq r_{0}; \tag{1.5} \end{equation} \begin{equation} (f(x,s)-f(x,0))s\geq c_{3}s^{2},~~ \forall s\in{\Bbb R},|x|>r_{0} \tag{1.6} \end{equation} 成立, 其中 $f'$ 表示 $f(\cdot,\cdot)$ 关于第二个变量的偏导数.

方程 (1.1) 中衰退记忆的影响是通过线性时间卷积函数 $\triangle u(\cdot)$ 和记忆核 $k(\cdot)$ 来体现的. 这里 $k(\cdot)\in {\cal C}^{2}({\Bbb R}^{+}),k(s)\geq0,k'(s)\leq0, \forall s\in{\Bbb R}^{+}$. 设 $\mu(s)=-k'(s)$ 满足下面的条件 \begin{equation} \mu\in{\cal C}^{1}({\Bbb R}^{+})\bigcap L^{1}({\Bbb R}^{+}),\mu(s)\geq0, \mu'(s)\leq0,~~ \forall s\in{\Bbb R}^{+}; \tag{1.7} \end{equation} \begin{equation} \mu'(s)+\delta\mu(s)\leq0,~~ \forall s\in{\Bbb R}^{+},\delta>0.\tag{1.8} \end{equation} 问题 (1.1) 在文献 ^[15] 中首次被提出并研究. 文献 ^[16] 中,作者在外力项满足平移有界而非平移紧,非线性项满足临界指数增长时讨论了非自治非经典反应扩散方程一致吸引子的存在性. 孙春友等人在文献 ^[7] 中研究了类似问题在有界域上解的渐近行为.

如果不考虑记忆核的影响,问题 (1.1)$_1$ 即为非经典反应扩散方程, 该方程在流体力学和热传导领域有着广泛的应用,见文献 ^[]. 作为无穷维动力系统中最基本的模型之一,在有界域^{[4, 8, 9, 10, 11, 12, 13]}和无界域^{[10, 14, 20]} 情形下这类问题解的长时间行为都已被广泛研究. 然而,到目前为止还未曾见针对带衰退记忆的非经典反应扩散方程 (1.1) 在无界域上全局吸引子的存在性的任何结论. 本文将文献 ^[] 在有界域上的结果推广到无界域的情形.

众所周知,无界区域上 Sobolev 嵌入不再是紧的; Poincaré 不等式也不再适用, 这些问题都使得方程 (1.1) 在无界区域上解的长时间行为的研究显得更为有趣和复杂. 为了克服上述困难,我们使用了一些典型的方法,参见文献 ^{[10, ]}. 例如, 作者在文献 ^[] 中使用了截断函数和 Temam^[19]的思想研究了无界域上波方程和带衰退记忆的波方程的解的长时间行为. 王碧祥在文献 ^[18] 中提出尾部估计的方法, 并将其理论应用到了反应扩散方程上.

本文主要证明问题 (1.1) 对应的解半群在 $H^{1}({\Bbb R}^{3})\times L^{2}_{\mu} ({\Bbb R}^{+},H^{1}({\Bbb R}^{3}))$ 中全局吸引子的存在性. 为此,我们把问题分解到有界域和无界域上分别讨论: 对无界域,通过对解的球外估计,证明在充分大的球外解任意小; 在有界域,利用算子半群分解技巧证明解具有渐近光滑性质. 另外,利用平移紧定理得到了记忆项的紧性,从而获得了全局吸引子的存在性.

本文的主要结果是

定理 1.1 假设 $f$ 满足(1.2)--(1.8)式,$g\in L^{2}({\Bbb R}^{3})$. 则问题 (1.1) 对应的解半群$S(t)$在 $H^{1}({\Bbb R}^{3})\times L^{2}_{\mu} ({\Bbb R}^{+},H^{1}({\Bbb R}^{3}))$ 中存在全局吸引子${\cal A}$.

全文安排如下: 第二节是文章的预备工作,回顾了一些将要用到的概念和结论; 在第三节, 我们证明了问题 (1.1) 相应解半群的渐近紧性和本文的主要结论.

类似文献^{[5, ]},引入变量 $$ \eta^{t}(x,s)=\int^{s}_{0}u(x,t-r){\rm d}r,~~ s\geq0, $$ $$ \partial_{t}\eta^{t}(x,s)=u(x,t)-\partial_{s}\eta^{t}(x,s),~~ s\geq0.$$ 令 $\mu(s)=-k'(s)$ 且 $k(\infty)=0$,则 (1.1)式转化为 \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_{t}-\Delta{u_t}-\Delta{u}-\int^{\infty}_{0}\mu(s)\triangle \eta^{t}(s){\rm d}s+f(x,u)=g(x),\\[2mm] \eta^{t}_{t}=-\eta^{t}_{s}+u.\end{array}\right.\tag{2.1} \end{equation} 相应的初始条件为 \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u(x,0)=u_{0}(x),& x\in{\Bbb R}^{3},\\\ \eta^{0}(x,s)=\eta_{0}(x,s)=\int_{0}^{s}u(x,-r){\rm d}r, \quad &(x,s)\in{\Bbb R}^{3}\times{\Bbb R}^{+}, \end{array} \right.\tag{2.2} \end{equation} 其中 $u(\cdot)$ 满足以下条件: 存在两个正数 ${\mathfrak R}$ 和 $\varrho\leq\delta$,使得 $$\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-\varrho s}\|\nabla u(-s)\|^{2}{\rm d}s\leq{\mathfrak R}.$$

不失一般性,记$H=L^{2}({\Bbb R}^{3}),V=H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 和 $V^{-1}= H^{-1}({\Bbb R}^{3})$. 用 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 和 $\|\cdot\|$ 分别表示 $H$ 中的内积和范数. 对空间 $V$,定义范数为: $\|u\|^2_{V}=\|u\|^2+\|\nabla u\|^2$.除此以外,用 $C$ 表示任意的正常数,每行甚至同一行中的 $C$ 都不同.

根据记忆核 $\mu(\cdot)$ 满足的条件,设 $L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},V)$ 为定义于 ${\Bbb R}^{+}$ 上取值于 $V$ 的一族 Hilbert 空间,并且赋予相应的内积和范数为 $$\langle\varphi_{1},\varphi_{2}\rangle_{\mu,V}=\int_{0}^{\infty}\mu(s)\langle\nabla\varphi_{1},\nabla\varphi_{2}\rangle{\rm d}s, ~~ \|\varphi\|_{\mu,V}=\int_{0}^{\infty}\mu(s)\|\nabla \varphi(s)\|^{2}{\rm d}s.$$ 记${\cal M}=V\times L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},V),$ 并且赋予范数 $\|z\|_{{\cal M}}=\|(u,\eta^{t})\|_{{\cal M}}= [\frac{1}{2}(\|u\|_{V}+\|\eta^{t}\|_{\mu,V})]^{2}.$

引理 2.1^{[15, 16]}  记$I=[0,T],\forall\;T>0$. 设记忆核$\mu(s)$满足(1.7)和(1.8)式,则对于任意的 $\eta^{t}\in {\cal C}(I;L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},V))$,存在常数 $\delta>0$ 使得 \begin{equation} \langle\eta^{t},\eta_{s}^{t}\rangle_{\mu,V} \geq\frac{\delta}{2}\|\eta^{t}\|_{\mu,V}.\tag{2.3} \end{equation}

引理 2.2 ^{[5, 15, 16]}\quad 假设 (1.2)--(1.6) 式成立. 则对每个 $u>0$,存在 $\rho(u)\geq0$ 使得 \begin{equation} {\mathfrak F}(u)\geq -u\|u\|^{2}-\rho(u),~~ \forall\;u\in V, \tag{2.4} \end{equation} 其中 ${\mathfrak F}(u)=\int_{{\Bbb R}^{3}}\int_{0}^{u(x)}f(x,y){\rm d}y{\rm d}x$.且存在 $\alpha>0$ 和 $\beta\geq0$ 使得 \begin{equation} \langle f(x,u),u\rangle\geq \alpha\|u\|^{2}-\frac{1}{2}\|\nabla u\|^{2}-\beta,~~ \forall \;u\in V. \tag{2.5} \end{equation}

引理 2.3^{[5, 6]}  设$\mu\in{\cal C}^{1}({\Bbb R}^{+})\bigcap L^{1}({\Bbb R}^{+})$ 为非负函数且满足: 若存在 $s_{0}\in{\Bbb R}^{+}$, 使得 $\mu(s_{0})=0$,则 $\mu(s)=0$ 对所有的 $s\geq s_{0}$ 均成立. 此外,设 ${\bf X}_{0},{\bf X}_{1},{\bf X}_{2}$ 均为 Banach 空间,其中 ${\bf X}_{0},{\bf X}_{1}$ 自反并满足: ${\bf X}_{0}\hookrightarrow{\bf X}_{1}\hookrightarrow{\bf X}_{2}$, 其中嵌入 ${\bf X}_{0}\hookrightarrow{\bf X}_{1}$ 是紧的. 设 ${\bf C}\subset L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},{\bf X}_{1})$ 满足

(1) ${\bf C}$ 在 $L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},{\bf X}_{0})\bigcap H^{1}_{\mu} ({\Bbb R}^{+},{\bf X}_{2})$ 中有界；

(2) $\sup\limits_{\eta\in{\bf C}}\|\eta(s)\|^{2}_{{\bf X}_{1}}\leq h(s), \forall\; s\in{\Bbb R}^{+},h(s)\in L_{\mu}^{1}({\Bbb R}^{+}).$\\ 则 ${\bf C}$ 在 $L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},{\bf X}_{1})$ 中相对紧.

引理 3.1^{[15, 16]}  假设 (1.2)--(1.8) 式成立, 并且 $g\in H^{-1}({\Bbb R}^{3})$. 则对任意的 $T>0$ 和 $z_0=(u_{0},\eta_{0})\in {\cal M}$,问题 (2.1)--(2.2) 存在唯一的弱解 $z(t)=(u(t),\eta^{t}(t))$ 满足: $z(t)\in {\cal C}^1(0,T;{\cal M})\cap L^\infty(0,T;{\cal M}),$ 并且 $u(t)$ 连续依赖于 ${\cal M}$ 中的初值 $z_{0}$.

根据引理3.2,我们可定义问题 (2.1)--(2.2) 在 ${\cal M}$ 中的连续解半群 $\{S(t)\}_{t\geq0}$,即$S(t):{\cal M}\rightarrow{\cal M},$ $$z_0=(u_0,\eta_0)\rightarrow(u(t),\eta^t)=S(t)z_0.$$

引理 3.2  假设 (1.2)--(1.8) 式成立,并且 $g\in H^{-1}({\Bbb R}^{3})$. 则存在仅依赖于 $g$ 和 $\delta$ 的正常数 $R$,以及 ${\cal M}$ 中的任意有界子集 $B$,使得 \begin{equation} \|z(t)\|^{2}_{{\cal M}}=\frac{1}{2}(\|u\|^{2}_{V}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu,V})\leq R^{2},\forall\; t\geq t_{0}=t_0(B).\tag{3.1} \end{equation}

证  用$u$ 与 $(2.1)_1$式在$H$中做内积,用$\eta^{t}$与 $(2.1)_2$式在$L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},V)$中做内积,然后作和计算得 \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^{2}+\|\nabla u\|^{2}+\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2})+\|\nabla u\|^{2}+\langle\eta^{t},\eta_{s}^{t}\rangle_{\mu,V}^{2}+\langle f(x,u),u\rangle=\langle g(x),u\rangle, \tag{3.2} \end{equation} 由(2.3) 和 (2.5)式,可得 \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^{2}+\|\nabla u\|^{2}+\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2})+\frac{\alpha_{1}}{2}(\|u\|^{2}+\|\nabla u\|^{2}+\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2})\leq C(1+\|g\|^{2}), \tag{3.3} \end{equation} 其中 $\alpha_{1}=\frac{1}{2}\min\{4\alpha,1,2\delta\}$.利用 Gronwall 引理,我们有 \begin{equation} \|z(t)\|_{{\cal M}}^{2}\leq\|z(0)\|^{2}_{{\cal M}}{\rm e}^{-\alpha_{1} t}+\frac{C}{\alpha_{1}}(1+\|g\|^{2}_{V^{-1}}).\tag{3.4} \end{equation} 因此,设 $\|z_0\|_{{\cal M}}\leq R_0$,取 $t_0=\frac{1}{\alpha_1}\ln\frac{\alpha_1R_0^2}{C(1+\|g\|^{2}_{V^{-1}})}$,则有 $$\|z(t)\|_{{\cal M}}^{2}\leq \frac{2C}{\alpha_1}(1+\|g\|^{2}_{V^{-1}}),~~ \forall t\geq t_0.$$ 令 $R^{2}=\frac{2C}{\alpha_1}(1+\|g\|^{2}_{V^{-1}})$,从而 $\|z(t)\|_{{\cal M}}^{2}\leq R^{2},\forall t\geq t_0.$

由引理 3.2 可知,存在吸收集 $B_R\subset{\cal M}$,使得对任意的有界子集 $B\subset{\cal M}$,有 $S(t)B\subset B_R,\forall t\geq t_0.$ 令 ${\Bbb B}_{0}=\bigcup\limits_{t\geq0}S(t)B_{R_{0}}$, 其中 $B_{R_{0}}$ 表示 $V$ 中原点为圆心,半径为 $R_{0}$ 的球, 则 ${\Bbb B}_{0}$ 是 $V$ 中正不变,有界的吸收集,即 $S(t){\Bbb B}_{0}\subset{\Bbb B}_{0}$. 对 $\forall\; t\geq0$,有界集 $B\subset V$,存在 $t_{0}=t_{0}(B)\geq0$,使得 $S(t)B\subset{\Bbb B}_{0}$,$\forall\;t\geq t_{0}$.

使用文献 ^{[, 10, 18]} 中的技巧,对任意的 $r\geq r_{0}$, 引入两个光滑函数 $\varphi^{r}_{i}(\cdot): {\Bbb R}^{3}\rightarrow {\Bbb R}^{+},$ $i=1,2$,使得 $$\varphi^{r}_{1}(x)+\varphi^{r}_{2}(x)=1,\quad \forall x\in{\Bbb R}^{3},$$ $$\varphi^{r}_{1}(x)=0,~~ \forall\;|x|\leq r, \varphi^{r}_{2}(x)=0,~~\forall\;|x|\geq r+1.$$

因为 $f(x,s)$ 是连续的,所以存在 $u_{r}>0$ 使得当 $|s|\leq1,|z|\leq u_{r}$,$|x|\leq r_{0}+1$ 时,有 \begin{equation} |f(x,s)||z|\leq \left(\frac{3}{8\pi(r_0+1)^3}\right)\frac{1}{r} \tag{3.5} \end{equation} 成立,这里不妨设 $u_{r}\leq1$.此外,由 (1.5) 式可得,存在 $M_{r}>0$ 使得当 $|s|\geq u_{r}$ 时, 对每一 $|x|\leq r_{0}$,都有 \begin{equation} \frac{f(x,s)}{s}\geq-M_{r}.\tag{3.6} \end{equation} 因此,我们将 $-f(x,s)+g(x)$ 分解为 $$-f(x,s)+g(x)=-f_{1}(x,s)-f_{2}(x,s)+g_{1}(x)+g_{2}(x), $$ 其中 $$f_{1}(x,s)=(f(x,s)-f(x,0))\varphi^{r}_{1}(x)+(c_{3}s+f(x,s)-f(x,0)+M_{r}s)\varphi^{r}_{2}(x),$$ $$f_{2}(x,s)=-(c_{3}s+M_{r}s)\varphi^{r}_{2}(x), g_{i}(x)=(-f(x,0)+g(x))\varphi^{r}_{i}(x),i=1,2.$$ 显然,$f_{1}(\cdot,0)\equiv0$ 且 $f$ 也满足 (1.3)--(1.5) 式 (常数可以被重新定义),并且对任意的 $s\in{\Bbb R}$ 和几乎处处的 $x\in{\Bbb R}^{3}$,有 \begin{equation}f_{1}(x,s)s\geq c_{4}s^{2},\tag{3.7} \end{equation} 其中 $c_{4}>0$. 此外, $$ f_{2}(x,s)=0,~~ g_{2}(x)=0,~~ \forall s\in {\Bbb R}^{3},~~ |x|\geq r+1,$$ $$\|g_1\|_{V^{-1}},~~ \|g_{1}\|\rightarrow 0,~~ r\rightarrow\infty.$$ 所以,我们分解问题 (2.1)--(2.2) 的解 $S(t)z_{0}=z(t)=(u(t),\eta^{t})$ 为 $$z^{r}(t)=z^{r}_{1}(t)+z^{r}_{2}(t),u=v^{r}+w^{r},\eta^{t}=\zeta^{tr}+\xi^{tr},$$ 其中 $z_{1}^{r}(t)=(v^{r}(t),\zeta^{tr})$ 和 $z^{r}_{2}=(w^{r}(t),\xi^{tr})$ 满足下面方程 \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} v^{r}_{t}-\Delta{v^{r}_t}-\Delta{v^{r}}-\int^{\infty}_{0}\mu(s)\triangle\zeta^{tr}(s){\rm d}s+f_{1}(x,v^{r})=g_{1}(x),\\ [2mm] \zeta_{t}^{tr}=-\zeta_{s}^{tr}+v^{r},\\ v^{r}(x,t)\mid_{t=0}=u_{0}(x),\\\ \zeta^{0}=\zeta^{0r}(x,s)=\eta_{0}(x,s)=\int^{s}_{0}u(x,-r){\rm d}r \end{array} \right.\tag{3.8} \end{equation} 和 \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} w^{r}_{t}-\Delta{w^{r}_t}-\Delta{w^{r}}-\int^{\infty}_{0}\mu(s)\triangle\xi^{tr}(s){\rm d}s+f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r})+f_{2}(x,u)=g_{2}(x),\\ [2mm] \xi_{t}^{tr}=-\xi_{s}^{tr}+w^{r},\\ w^{r}(x,t)\mid_{t=0}=0,\\ \xi^{0}=\xi^{0r}(x,s)=0.\end{array} \right.\tag{3.9} \end{equation} 利用与引理 3.1 类似的方法可证明方程 (3.8) 和 (3.9) 解的存在唯一性. 为了方便,我们记方程(3.8) 和 (3.9) 的解算子分别为 $\{S_{1}(t)\}_{t\geq0}$ 和 $\{S_{2}(t)\}_{t\geq0}$,则对于初值 $z_{0}\in{\cal M}$,有 $$z(t)=S(t)z_{0}=S_{1}(t)z_{0}+S_{2}(t)z_{0},\forall\;t\geq0.$$

引理 3.3  假设 (1.2)--(1.8)式成立,且 $g\in H^{-1}({\Bbb R}^{3})$. 对于任意的 $\varepsilon>0$,存在 $t_{\varepsilon}\geq1$ (依赖于 $r$) 和 $r_{\varepsilon}\geq r_{0}$,使得问题 (3.8) 的解 $z_1^{r}$ 满足: 对任意的 $z_{0}\in{\Bbb B}_{0}$ 和 $r\geq r_{\varepsilon}$,成立 $$\|z^{r}_{1}(t_{\varepsilon})\|_{{\cal M}}\leq \frac{\varepsilon}{2}.$$

证  用$v^{r}$与$(3.8)_1$式在$H$中做内积,用$\zeta^{tr}$与$(3.8)_2$式的在$L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},V)$中做内积,计算后得 \begin{equation} ~~\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|v^{r}\|^{2}+\|\nabla v^{r}\|^{2}+\|\zeta^{tr}\|_{\mu,V}^{2})+\|\nabla v^{r}\|^{2}+\langle\zeta^{tr},\zeta^{tr}_{s}\rangle_{\mu,V}^{2}+\langle f_{1}(x,v^{r}),v^{r}\rangle=\langle g_{1}(x),v^{r}\rangle, \tag{3.10} \end{equation} 因为 $f_{1}(\cdot,0)\equiv0$ 且 $f_{1}$ 也满足 (1.3)--(1.5)式,则由 (3.7) 式,可知 \begin{eqnarray} \langle f_{1}(x,v^{r}),v^{r}\rangle\geq c_{4}\int_{{\Bbb R}^{3}}|v^{r}|^{2}{\rm d}x\geq c_{4} \int_{|x|>r_{0}}|v^{r}|^{2}{\rm d}x\geq\alpha\|v^{r}\|^{2}-\frac{1}{4}\|\nabla v^{r}\|^{2}.\tag{3.11}\end{eqnarray} 应用引理 2.1,将 (3.11) 式代入 (3.10)式,有 \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|v^{r}\|^{2}+\|\nabla v^{r}\|^{2}+\|\zeta^{tr}\|_{\mu,V}^{2})+\frac{\alpha_{2}}{2}(\|v^{r}\|^{2}+\|\nabla v^{r}\|^{2}+\|\zeta^{tr}\|_{\mu,V}^{2})\leq\|g_1\|^{2}_{V^{-1}}, \tag{3.12} \end{equation} 其中 $\alpha_{2}=\min\{2\alpha,1,\delta\}$.应用 Gronwall 引理,可得 \begin{equation} \|z^{r}_{1}(t)\|_{{\cal M}}^{2}\leq C_{0}\|z^{r}_{1}(0)\|^{2}_{{\cal M}}{\rm e}^{-\alpha_{2} t}+\frac{C}{\alpha_{2}}\|g_{1}\|^{2}.\tag{3.13} \end{equation}

设 $\|z^{r}_{1}(0)\|^{2}_{{\cal M}}=\|z_{0}\|^{2}_{{\cal M}}\leq R_{0}$, 并且注意到当 $r\rightarrow\infty$ 时,$\|g_1\|^{2}_{V^{-1}}\rightarrow 0$, 所以对任意的 $\varepsilon>0$,存在 $t_{\varepsilon}\geq1$ (依赖于 $r$) 和 $r_{\varepsilon}\geq r_{0}$,当 $r\geq r_{\varepsilon}$ 时,有 $\|z^{r}_{1}(t_{\varepsilon})\|_{{\cal M}}\leq \frac{\varepsilon}{2}$.

为了得到动力系统 $S(t)$ 必要的紧性,我们作如下定义: 设 $B_{r}=\{x\in{\Bbb R}^{3}:|x|\leq r\}\subset{\Bbb R}^{3}$ 是具有光滑边界的有界区域. 定义 $L^{2}(B_{r})$ 上的算子 $A$ 为: $A=-\Delta,$ 定义域为 $D(A)=H^{2}(B_{r})\cap H_{0}^{1}(B_{r}).$ 考虑一族 Hilbert 空间 $D(A^{s/2}),s\in{\Bbb R}$,它们的内积和范数分别为 $$\langle\cdot,\cdot\rangle_{D(A^{s/2})}=\langle A^{s/2}\cdot,A^{s/2}\cdot\rangle, \|\cdot\|_{D(A^{s/2})}=\|A^{s/2}\cdot\|.$$ 特别地,$\langle\cdot,\cdot\rangle_{L^{2}(B_{r})}$ 和 $\|\cdot\|_{L^{2}(B_{r})}$ 分别表示 $L^{2}(B_{r})$ 空间的内积和范数. 并且有 $$D(A^{s/2})\hookrightarrow D(A^{r/2}),~~ \forall s>r.$$

为了方便起见,记 ${\cal H}^{s}(B_{r})=D(A^{(1+s)/2}),0\leq s\leq1.$ 特别地, $${\cal H}^{-1}(B_{r})=L^{2}(B_{r}),~~{\cal H}^{0}(B_{r})=V(B_{r}),~~ {\cal H}^{1}(B_{r})=H^{2}(B_{r})\cap H_{0}^{1}(B_{r}).$$ 同理,定义 $L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},{\cal H}^{s}(B_{r}))$ 为定义于 ${\Bbb R}^{+}$ 上取值于 ${\cal H}^{s}(B_{r})$ 的一族 Hilbert 空间,并且赋予相应的内积和范数为 $$\langle\varphi_{1},\varphi_{2}\rangle_{\mu,{\cal H}^{s}(B_{r})}= \int_{0}^{\infty}\mu(s)\langle\varphi_{1},\varphi_{2}\rangle_{{\cal H}^{s}(B_{r})}{\rm d}s, \|\varphi\|_{\mu,{\cal H}^{s}(B_{r})}=\int_{0}^{\infty}\mu(s) \|\varphi(s)\|_{{\cal H}^{s}(B_{r})}^{2}{\rm d}s.$$

同时,设 $$H_\mu^1({\Bbb R}^{+},{\cal H}^{s}(B_{r}))=\{\varphi:\varphi(s), \partial_s\varphi(s)\in L_\mu^2({\Bbb R}^{+},{\cal H}^{s}(B_{r}))\}, $$ 其上相应的内积和范数分别为 \begin{eqnarray*} \langle\varphi_{1},\varphi_{2}\rangle_{H_\mu^1({\Bbb R}^{+},{\cal H}^{s}(B_{r}))} &=&\int_{0}^{\infty}\mu(s)\langle\varphi_{1}(s),\varphi_{2}(s)\rangle_{{\cal H}^{s}(B_{r})}{\rm d}s \\ &&+\int_{0}^{\infty}\mu(s)\langle\partial_s\varphi_{1}(s),\partial_s\varphi_{2}(s)\rangle_{{\cal H}^{s}(B_{r})}{\rm d}s, \end{eqnarray*} $$\|\varphi\|_{H_\mu^1({\Bbb R}^{+},{\cal H}^{s}(B_{r}))}^2=\|\varphi\|_{\mu, {\cal H}^{s}(B_{r})}^2+\|\partial_s\varphi\|_{\mu,{\cal H}^{s}(B_{r})}^2.$$

定义一族 Hilbert 空间 $${\cal M}_{s}(B_{r})={\cal H}^{s}(B_{r})\times L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+}, {\cal H}^{s}(B_{r})),$$ 并且赋予范数 $$\|z\|_{{\cal M}_{s}(B_{r})}=\|(u,\eta^{t})\|_{{\cal M}_{s}(B_{r})} =\Big[\frac{1}{2}(\|u\|_{{\cal H}^{s}(B_{r})}^2+\|\eta^{t}\|_{\mu, {\cal H}^{s}(B_{r})}^2)\Big]^{\frac{1}{2}}.$$ 显然,${\cal M}_{0}(B_{r})={\cal M}(B_{r})$.

引理 3.4  假设 (1.2)--(1.8) 式成立,且 $g\in H^{-1}({\Bbb R}^{3})$. 对任意的 $\varepsilon>0$,存在 $r_{1}$ 和 $r_{2}$,且 $r_{1}\geq r_{\varepsilon}$, 取 $r_{2}=2r_{1}+2$,使得问题 (3.9) 在时刻 $t_{\varepsilon}$ 和相应 $r_{1}$ 的解 $z_{2}(t)=(w^{r_{1}}(t_{\varepsilon}),\xi^{t_{\varepsilon}r_{1}})$ 满足: $\|z^{r_{1}}_{2}(t_{\varepsilon})\|_{{\cal M}(B^{c}_{r_{2}})}\leq \frac{\varepsilon}{2}$, 其中 $z_{0}\in{\Bbb B}_{0}$,$t_{\varepsilon}$ 在引理 3.3 中已经给出, $B^{c}_{r_{2}}={\Bbb R}^{3}\backslash B_{r_{2}}$.

在证明引理 3.4 之前,我们需要以下两个辅助引理.

引理 3.5  在引理 3.4 的条件下,对于引理 3.3 中已给出的 $t_{\varepsilon}\geq1$,存在 $R_{1}=R_{1}(R_{0},t_{\varepsilon})$,使得当 $\|z_{0}\|_{{\cal M}}\leq R_{0}$ 时,问题 (2.1)--(2.2) 的解 $z(t)=S(t)z_{0}$ 满足 \begin{equation} \int_{0}^{t_{\varepsilon}}(\|\nabla u(s)\|^{2}+\|u(s)\|^{2}+\|\eta^{t}(s)\|_{\mu,V}){\rm d}s\leq R_{1}.\tag{3.14} \end{equation}

证  对 (3.3)式从 $[0,t_{\varepsilon}]$ 积分即可得证.\rule{0.8mm}{3.5mm} 这样,固定 $\varepsilon>0$,在以上引理中选取合适的 $r\geq r_{\varepsilon}>r_{0}$ 和 $t_{\varepsilon}>0$.

推论 3.6 \begin{equation} \sup\limits_{t\in[0,t_{\varepsilon}]}\sup\limits_{z_{0}\in{\Bbb B}_{0}} \{\|u\|_{V},\|v^{r}\|_{V},\|w^{r}\|_{V},\|\eta^{t}\|_{\mu,V}, \|\zeta^{t}\|_{\mu,V},\|\xi^{t}\|_{\mu,V}\} < \infty.\tag{3.15} \end{equation}

引理 3.7  在引理 3.4 的条件下,给定任意 $R\geq0$,则存在 $\Lambda_{0}=\Lambda_{0}(R_{0},R_{1},t_{\varepsilon})$,使得当 $\|z_{0}\|_{{\cal M}}\leq R_{0}$时,问题 (2.1)--(2.2) 的解 $z(t)=S(t)z_{0}$ 满足 \begin{equation} \int_{0}^{t_{\varepsilon}}\|u_{t}(y)\|_{V}^{2}{\rm d}y=\int_{0}^{t_{\varepsilon}}(\|\nabla u_{t}(y)\|^{2}+\|u_{t}(y)\|^{2}){\rm d}y\leq \Lambda_{0}.\tag{3.16} \end{equation}

证  用$u_{t}$与$(2.1)_1$式的在$H$中做内积,用$\eta^{t}$与$(2.1)_2$式在 $L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},V)$中做内积,计算后得 \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|^{2}+\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2}+2{\mathfrak F}(u)-2\langle g,u\rangle)+\|u_{t}\|^{2}+\|\nabla u_{t}\|^{2} onumber\\ &\leq& \langle\triangle\eta^{t},u_{t}\rangle-\langle\eta^{t},\eta_{s}^{t}\rangle_{\mu,V}^{2}+\langle u,\eta^{t}\rangle_{\mu,V}^{2}.\tag{3.17}\end{eqnarray} 而 \begin{eqnarray} |\langle\triangle\eta^{t},u_{t}\rangle|=\bigg|-\int^{\infty}_{0}\mu(s)\langle\nabla\eta^{t}(s), \nabla u_{t}\rangle {\rm d}s\bigg| \leq\frac{k_{0}}{2}\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu,V}+\frac{1}{2}\|\nabla u_{t}\|^{2},\tag{3.18} \end{eqnarray} 其中 $k_0=\int^{\infty}_{0}\mu(s){\rm d}s$. 同理,可得 \begin{eqnarray} \langle u,\eta^{t}\rangle_{\mu,V}^{2}\leq\frac{k_{0}}{2}\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu,V}+\frac{1}{2}\|\nabla u\|^{2}.\tag{3.19}\end{eqnarray} 结合 (3.17)--(3.19)式及引理 2.1 得 \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|^{2}+\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2}+2 {\mathfrak F}(u)-2\langle g,u\rangle)+2\|u_{t}\|^{2}+\|\nabla u_{t}\|^{2}\leq \|\nabla u\|^{2}+(2k_{0}-\delta)\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2}, \tag{3.20} \end{equation} 其中 $\delta < 2k_{0}$.在 (2.4) 式中取 $u=\frac{1}{4}$,从而上式可化为 \begin{eqnarray} \|\nabla u\|^{2}+\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2}+2{\mathfrak F}(u)-2\langle g,u\rangle \geq\|\nabla u\|^{2}+\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2}-\|u\|^{2}-2\|g\|^{2}-\rho(\frac{1}{4}).\tag{3.21}\end{eqnarray} 利用 (1.4) 式和广义 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式 $\|u\|_{L^{3}({\Bbb R}^{3})}\leq\|u\|^{\frac{1}{2}}\|\nabla u\|^{\frac{1}{2}}$,有 \begin{eqnarray} &&\|\nabla u\|^{2}+\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2}+2{\mathfrak F}(u)-2\langle g,u\rangle onumber\\ &\leq&\|\nabla u\|^{2}+\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2}+C(\|u\|^{\frac{3}{2}}\|\nabla u\|^{\frac{3}{2}}+\|\nabla u\|^{6})+|2\langle g,u\rangle| onumber\\ &\leq& C(\|u\|_{V}^{2}+\|u\|_{V}^{6})+\|\eta^{t}\|_{\mu,V}^{2}+\|g\|^2_{V^{-1}}.\tag{3.22}\end{eqnarray} 结合 (3.21) 和 (3.22)式,利用引理 3.5,对 (3.20) 式从 $[0,t_{\varepsilon}]$ 积分可得证该引理.

引理 3.4 的证明  对于给定的 $r_{1}\geq r_{\varepsilon}$, 定义 $\phi(x):{\Bbb R}^{3}\rightarrow [0,1]$ 为 \begin{equation} \phi(x)= \left\{\begin{array}{ll} 0, |x| < r_{1}+1,\\\ \frac{1}{r_{1}+1}(|x|-r_{1}-1), r_{1}+1\leq|x|\leq2r+2,\\\ 1, |x|>2r_{1}+2.\end{array} \right.\tag{3.23} \end{equation} 则 $|\nabla \phi(x)|\leq \frac{1}{r_{1}+1},|\nabla \phi^{2}(x)|\leq \frac{2}{r_{1}+1}\phi(x),\Delta\phi(x)\equiv0.$

用$2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}$ 在$L^{2}({\Bbb R}^{3})$中与$(3.9)_1$ 式作内积, 用$2\phi^{2}(x)\xi^{tr_{1}}$ 在$L^{2}({\Bbb R}^{+},V)$中与$(3.9)_2$式作内积,得 \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)(|w^{r_{1}}|^{2}+ |\nabla w^{r_{1}}|^{2}){\rm d}x+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla \xi^{tr_{1}}|^{2}{\rm d}x{\rm d}s onumber\\ &&+2\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla w^{r_{1}}|^{2} +\frac{4}{r_{1}+1}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi(x)w^{r_{1}}(\nabla w_{t}^{r_{1}} +\nabla w^{r_{1}}){\rm d}x onumber\\ &&+\frac{4}{r_{1}+1}\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi(x)w^{r_{1}}\nabla \xi^{tr_{1}}{\rm d}x{\rm d}s +\frac{4}{r_{1}+1}\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi(x)\xi^{tr_{1}}\nabla \xi_{t}^{tr_{1}}{\rm d}x{\rm d}s onumber\\ && +\langle f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r_{1}}),2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\rangle onumber\\ &=&\langle -f_{2}(x,u)+g_{2},2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\rangle-\frac{4}{r_{1}+1}\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi(x)\xi^{tr_{1}}\nabla \xi_{s}^{tr_{1}}{\rm d}x{\rm d}s onumber\\ &&-2\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)\nabla\xi^{tr_{1}}\nabla \xi_{s}^{tr_{1}}{\rm d}x{\rm d}s +\frac{4}{r_{1}+1}\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi(x)\xi^{tr_{1}}\nabla w^{r_{1}} {\rm d}x{\rm d}s. \tag{3.24} \end{eqnarray}

由$(3.9)_2$式可知: $\nabla\xi_{t}^{tr_{1}}=-\nabla\xi_{s}^{tr_{1}}+\nabla w^{r_{1}}$, 所以对 (3.24) 式整理可得 \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)(|w^{r_{1}}|^{2} +|\nabla w^{r_{1}}|^{2}){\rm d}x+\frac{\rm d}{{\rm d}t} \int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla \xi^{tr_{1}}|^{2}{\rm d}x{\rm d}s onumber\\ &&+2\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla w^{r_{1}}|^{2} onumber\\ &\leq&-\frac{4}{r_{1}+1}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi(x)w^{r_{1}}(\nabla w_{t}^{r_{1}}+\nabla w^{r_{1}}){\rm d}x-\frac{4}{r_{1}+1}\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi(x)w^{r_{1}}\nabla \xi^{tr_{1}}{\rm d}x{\rm d}s onumber\\ &&-\langle f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r_{1}}),2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\rangle+\langle -f_{2}(x,u)+g_{2},2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\rangle onumber\\ &&-\delta\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla\xi^{tr_{1}}|^{2}{\rm d}x{\rm d}s.\tag{3.25}\end{eqnarray}

由引理 3.2,并利用 H\"{o}lder 和 Young 不等式,对 $\forall t\geq \max\{t_{0},t_{\varepsilon}\}$,有 \begin{eqnarray} \left|\frac{4}{r_{1}+1}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi(x)w^{r_{1}}\nabla w_{t}^{r_{1}}{\rm d}x\right| &\leq&\frac{4}{r_{1}+1}\int_{|x|\geq2r_{1}+2}|w^{r_{1}}||\nabla w_{t}^{r_{1}}|{\rm d}x onumber\\ &\leq&\frac{C}{r_{1}+1}+\frac{2}{r_{1}+1}\|\nabla w_{t}^{r_{1}}\|^{2} \tag{3.26} \end{eqnarray} 且 \begin{equation} \left|\frac{4}{r_{1}+1}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi(x)w^{r_{1}}\nabla w^{r_{1}}{\rm d}x\right|\leq\frac{C}{r_{1}+1}; \tag{3.27} \end{equation} \begin{eqnarray} &&\left|-\frac{4}{r_{1}+1}\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi(x)w^{r_{1}}\nabla \xi^{tr_{1}}{\rm d}x{\rm d}s\right| onumber\\ &\leq&\frac{C}{(r_{1}+1)^{2}}+2k_{0}\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla\xi^{tr_{1}}|^{2}{\rm d}x{\rm d}s.\tag{3.28}\end{eqnarray}

另一方面,由广义 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式和引理 3.4,可得 \begin{eqnarray} &&\left|\langle f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r_{1}}),2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\rangle\right| onumber\\ &\leq& 2c_{2}\int_{{\Bbb R}^{3}}(1+|u|^{4}+|v^{r_{1}}|^{4})\phi^{2}(x)|w^{r_{1}}|^{2}{\rm d}x onumber\\ &\leq &2c_{2}\left(\int_{{\Bbb R}^{3}}(1+|u|^{4}+|v^{r_{1}}|^{4})^{\frac{3}{2}}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{3}}\left(\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{6}(x)|w^{r_{1}}|^{6}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{3}} onumber\\ &\leq &2c_{2}(1+||\nabla u||^{4}+||\nabla v^{r_{1}}||^{4})\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla w^{r_{1}}|^{2}{\rm d}x onumber\\ &\leq &C(1+\frac{\varepsilon}{2})\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla w^{r_{1}}|^{2}{\rm d}x,\forall t\geq \max\{t_{0},t_{\varepsilon}\}.\tag{3.29}\end{eqnarray} 再利用 $f_{2}$ 和 $g_{2}$ 的性质,可知 \begin{equation} \langle -f_{2}(x,u)+g_{2},2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\rangle=0.\tag{3.30} \end{equation} 结合以上不等式,我们有 \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)(|w^{r_{1}}|^{2}+|\nabla w^{r_{1}}|^{2}){\rm d}x+\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla \xi^{tr_{1}}|^{2}{\rm d}x{\rm d}s\right) onumber\\ &\leq&\alpha_{3}\left(\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)(|w^{r_{1}}|^{2}+|\nabla w^{r_{1}}|^{2}){\rm d}x+\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla \xi^{tr_{1}}|^{2}{\rm d}x{\rm d}s\right) onumber\\ &&+\frac{C}{(r_{1}+1)^{2}}+\frac{2}{r_{1}+1}\|\nabla w_{t}^{r_{1}}\|^{2},\tag{3.31} \end{eqnarray} 其中 $\alpha_{3}=\max\{C(1+\frac{\varepsilon}{2}),2k_{0}-\delta\}$.

最后对上式从 $[0,t_{\varepsilon}]$ 上积分,根据引理 3.5,引理 3.7 和 $w^{r_{1}}(0)=0$,可得 \begin{eqnarray*} &&\int_{V(B^{c}_{r_{2}})}(|w^{r_{1}}(t_{\varepsilon})|^{2}+|\nabla w^{r_{1}}(t_{\varepsilon})|^{2}){\rm d}x+\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{V(B^{c}_{r_{2}})}|\nabla \xi^{tr_{1}}|^{2}{\rm d}x{\rm d}s onumber\\ &\leq &{\rm e}^{\alpha_{3}t_{\varepsilon}}\bigg(\frac{Ct_{\varepsilon}}{(r_{1}+1)^{2}}+\frac{2}{r_{1}+1}\int^{t_{\varepsilon}}_{0}\|\nabla w_{t}^{r_{1}}(y)\|^{2}{\rm d}y\bigg) onumber\\ &\leq &{\rm e}^{\alpha_{3}t_{\varepsilon}}\bigg(\frac{Ct_{\varepsilon}}{(r_{1}+1)^{2}}+\frac{2\Lambda_{0}}{r_{1}+1}\bigg):=\frac{C}{r_{1}+1}.\end{eqnarray*} 此时,固定 $t_\varepsilon$,选取 $r_{1}$ 充分大, 使得 $$\sqrt{{\rm e}^{\alpha_{3}t_{\varepsilon}}\bigg(\frac{Ct_{\varepsilon}}{(r_{1}+1)^{2}} +\frac{2\Lambda_{0}}{r_{1}+1}\bigg)}\leq\frac{\varepsilon}{2}, $$ 从而有 $\|z_{2}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{{\cal M}(B^{c}_{r_{2}})}\leq \frac{\varepsilon}{2}$.

引理 3.8  假设 (1.2)--(1.8)式成立,且 $g\in L^{2}({\Bbb R}^{3})$. 对任意的 $\varepsilon>0$,$z_{0}\in{\Bbb B}_{0}$,固定 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ (在引理 3.4 中给出),则存在常数 $K_{\varepsilon,r_{2}}$ 使得 $\|\tilde{z_{2}}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{{\cal M}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})}\leq K_{\varepsilon,r_{2}}$ 成立,其中 $\tilde{z_{2}}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})=(1-\phi(x))z_{2}^{r_{1}} (t_{\varepsilon})$.

证  定义 $\tilde{z_{2}}^{r_{1}}(t)=(1-\phi(x))z_{2}^{r_{1}}(t)$, 当 $|x|\geq 2r_{1}+2$ 时,$\tilde{z}_{2}^{r_{1}}\equiv0$, 所以 $\tilde{z_{2}}^{r_{1}}$ 被限制在 $B_{r_{2}}$ 上,并且对任意的 $t>0$, $\tilde{z_{2}}^{r_{1}}(t)\in {\cal M}_{0}(B_{r_{2}})$.则 $\tilde{z_{2}}^{r_{1}}(t)=(\tilde{w}_{t}^{r_{1}},\tilde{\xi}^{tr_{1}})$ 是对应于 $r=r_{1}$ 时下面初值问题的唯一解 \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \tilde{w}_{t}^{r_{1}}+A\tilde{w}_{t}^{r_{1}}+A\tilde{w}^{r_{1}}-\int^{\infty}_{0}\mu(s)\triangle\tilde{\xi}^{tr_{1}}(s){\rm d}s+(1-\phi(x)[f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r_{1}})] onumber\\ [2mm]=-(1-\phi(x))f_{2}(x,u)+(1-\phi(x))g_{2}+2\nabla\phi(x)(\nabla w^{r_{1}}+\nabla w_{t}^{r_{1}}) onumber\\[2mm] \quad+2\nabla\phi(x)\int^{\infty}_{0}\mu(s)\nabla\xi^{tr_{1}}(s){\rm d}s,\\ [2mm] \tilde{\xi}_{t}^{tr_{1}}=-\tilde{\xi}_{s}^{tr_{1}}+\tilde{w}^{r_{1}},\\ \tilde{w}^{r_{1}}(x,t)\mid_{t=0}=0,\\ \tilde{\xi}^{0r_{1}}(x,s)=0.\end{array} \right.\end{eqnarray}

用 $A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}$ 在 $L^{2}(B_{r_{2}})$ 作用于上面方程的第一个方程, 用 $\tilde{\xi}^{tr_{1}}$ 在 $L^{2}({\Bbb R}^{+},{\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}}))$ 作用于上面方程的和第二个方程,然后作和可得 \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|A^{\frac{1}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2}+\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2} +\|\tilde{\xi}^{tr_{1}}\|_{\mu,{\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})}) onumber\\ &&+\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2} +\langle\tilde{\xi}^{tr_{1}}(s),\tilde{\xi}_{s}^{tr_{1}}(s)\rangle_{\mu,{\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})} onumber\\ &=&-\langle(1-\phi(x))(f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r})),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle-\langle(1-\phi(x))f_{2}(x,u),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle onumber\\ &&+\langle(1-\phi(x))g_{2}(x),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle+\langle2\nabla\phi(x)(\nabla w^{r_{1}} +\nabla w_{t}^{r_{1}}),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle onumber\\ &&+2\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{B_{r_{2}}}\nabla\phi(x)A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\nabla\xi^{tr_{1}}(s){\rm d}x{\rm d}s.\tag{3.32}\end{eqnarray}

现在对 (3.32) 式中的每一项作估计. 首先,由引理 2.1,我们有 \begin{equation} \langle\tilde{\xi}^{tr_{1}}(s),\tilde{\xi}_{s}^{tr_{1}}(s)\rangle_{\mu,{\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})} \geq\frac{\delta}{2}\|\tilde{\xi}^{tr_{1}}\|_{\mu,{\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})}.\tag{3.33} \end{equation}

其次,根据条件 (1.3)--(1.4) 和 (3.15),利用 H\"{o}lder 不等式和连续嵌入 $D(A^{\frac{5}{8}})\hookrightarrow L^{12}(B_{r_{2}})$, $D(A^{\frac{3}{8}})\hookrightarrow L^{4}(B_{r_{2}})$,与 (3.29) 式的估计类似可得 \begin{eqnarray} &&\left|-\langle(1-\phi(x))(f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r_{1}})),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle\right| onumber\\ &\leq &c_{2}\int_{B_{r_{2}}}(1+|u|^{4}+|v^{r_{1}}|^{4})|(1-\phi(x))w^{r_{1}}||A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}|{\rm d}x onumber\\ &\leq& c_{2}(1+\|u\|_{L^{6}}^{4}+\|v^{r_{1}}\|_{L^{6}}^{4})\|\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{12}(B_{r_{2}})}\|A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{4}(B_{r_{2}})} onumber\\ &\leq& C\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})}+\frac{1}{5}\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})},\tag{3.34} \end{eqnarray} 并且注意到 $|\nabla \phi(x)|\leq \frac{1}{r_{2}+1}$,$L^{2}(B_{r_{2}})\hookrightarrow L^{\frac{4}{3}}(B_{r_{2}})$ 可得到 \begin{equation} \langle2\nabla\phi(x)(\nabla w^{r_{1}}+\nabla w_{t}^{r_{1}}),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle\leq C(1+\|\nabla w_{t}^{r_{1}}\|^{2})+\frac{1}{5}\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})}; \tag{3.35} \end{equation} \begin{equation} 2\int^{\infty}_{0}\mu(s)\int_{B_{r_{2}}}\nabla\phi(x)A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\nabla\xi^{tr_{1}}(s){\rm d}x{\rm d}s\leq Ck_{0}\|\xi^{tr_{1}}\|^{2}_{\mu,V_{(B_{r_{2}})}}+\frac{1}{5}\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})}.\tag{3.36} \end{equation} 类似地,利用 $f_{2},\;g_{2}$ 的定义,$\phi(x)$ 的性质和 (1.2)式,有 \begin{equation} \left|-\langle(1-\phi(x))f_{2}(x,u),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle\right|\leq C+\frac{1}{5}\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})}, \tag{3.37} \end{equation} \begin{equation} \left|-\langle(1-\phi(x))g_{2},A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle\right|\leq C+\frac{1}{5}\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})}.\tag{3.38} \end{equation} 将 (3.33)--(3.38) 式代入 (3.32)式,得到 \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|A^{\frac{1}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2}+\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2} +\|\tilde{\xi}^{tr_{1}}\|_{\mu,{\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})}) onumber\\ &\leq &C\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2}+C(1+\|\nabla w_{t}^{r_{1}}\|^{2})+Ck_{0}\|\xi^{tr_{1}}\|^{2}_{\mu,V(B_{r_{2}})} onumber\\ &\leq& C(\|A^{\frac{1}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2}+\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2} +\|\tilde{\xi}^{tr_{1}}\|_{\mu,{\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})}) onumber\\ && +C(1+\|\nabla w_{t}^{r_{1}}\|^{2})+Ck_{0}\|\xi^{tr_{1}}\|^{2}_{\mu,V(B_{r_{2}})}\tag{3.39} \end{eqnarray} 取引理 3.3 中的 $t_{\varepsilon}>0$,再利用 (3.15) 式和引理 3.7 (用 $w^{r_{1}}$ 替代 $u$),对上式在 $[0,t_{\varepsilon}]$ 运用 Gronwall 引理, 结合 $\tilde{w}^{r_{1}}(0)=0$,我们得到 $$ \|A^{\frac{1}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2} +\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2} +\|\tilde{\xi}^{tr_{1}}\|_{\mu,{\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})}\leq C{\rm e}^{Ct_{\varepsilon}}(1+t_{\varepsilon}), $$ 因此,存在 $K_{\varepsilon,r_{2}}$,使得 \begin{equation} \|\tilde{z_{2}}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{{\cal M}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})} \leq K_{\varepsilon,r_{2}},~~ \forall \;z_{0}\in{\Bbb B}_{0}.\tag{3.40} \end{equation} 证毕.

下面验证记忆项的紧性.

首先,对于任意的 $\xi^{tr_{1}}_{0}\in L_{\mu}^{2}({\Bbb R}^{+};{\cal H}^{0}(B_{r_{2}}))$, Cauchy 问题 \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{t}\xi^{tr_{1}}=-\partial_{s}\xi^{tr_{1}}+w^{r_{1}},~~ t>0,\\ \xi^{0}=\xi_{0} \end{array} \right.\tag{3.41} \end{equation} 有唯一解 $\xi^{tr_{1}}\in{\cal C}({\Bbb R}^{+};L_{\mu}^{2}({\Bbb R}^{+};{\cal H}^{0}(B_{r_{2}})))$,并且有显式表达式 \begin{equation} \xi^{tr_{1}}(x,s)= \left\{\begin{array}{ll} \int_{0}^{s}w^{r_{1}}(t-y){\rm d}y,&0 < s\leq t,\\[3mm] \int_{0}^{t}w^{r_{1}}(t-y){\rm d}y,~~&s>t.\end{array} \right.\tag{3.42} \end{equation} 引理 3.9  在引理 3.8 的条件下,记 $${\cal K}^{r_{1}}_{t_{\varepsilon}}:=\Pi S_{2}(t_{\varepsilon},{\Bbb B}_{0}).$$ 对每一个给定的 $t_{\varepsilon}>0$ 和任意的 $\varepsilon>0$,存在正常数 $N=N(t_{\varepsilon},\varepsilon,r_{2})$,使得

(1) ${\cal K}^{r_{1}}_{t_{\varepsilon}}$ 在 $L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+}; {\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}}))\bigcap H^{1}_{\mu}({\Bbb R}^{+}; {\cal H}^{0}(B_{r_{2}}))$ 有界;

(2) $\sup\limits_{\xi^{t_{\varepsilon}r_{1}}\in{\cal K}^{r_{1}}_{t_{\varepsilon}}} \|\xi^{t_{\varepsilon}r_{1}}(s)\|^{2}_{{\cal H}^{0}(B_{r_{2}})}\leq N,$\\ 其中 $S_{2}(t,\cdot)$ 是方程 $(3.9)(r=r_{1})$ 所对应的解半群, $\Pi:{\cal H}^{0}\times L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+};{\cal H}^{0}(B_{r_{2}})) \rightarrow L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+};$ ${\cal H}^{0}(B_{r_{2}}))$ 的投影算子.

证  根据 (3.42)式,有 \begin{equation} \partial_{s}\xi^{tr_{1}}(x,s)= \left\{\begin{array}{ll} w^{r_{1}}(t-s),~~& 0 < s\leq t,\\ 0,& s>t.\end{array} \right.\tag{3.43} \end{equation} 从而结合引理 3.8,即知 (1) 成立.

其次,显然有 \begin{equation} \|\xi^{t_{\varepsilon}r_{1}}(x,s)\|_{{\cal H}^{0}(B_{r_{2}})}\leq \left\{\begin{array}{ll} \int_{0}^{s}\|w^{r_{1}}(t-y)\|_{{\cal H}^{0}(B_{r_{2}})}{\rm d}y \leq\int_{0}^{t_{\varepsilon}}\|w^{r_{1}}(t-y)\|_{{\cal H}^{0}(B_{r_{2}})}{\rm d}y, & 0 < s\leq t_{\varepsilon},\\ [3mm] \int_{0}^{t_{\varepsilon}}\|w^{r_{1}}(t-y)\|_{{\cal H}^{0}(B_{r_{2}})}{\rm d}y, & s>t_{\varepsilon}.\end{array} \right.\tag{3.44} \end{equation} 从而结合引理 3.8,即知 (2) 成立.

因此,由引理 3.2 知 ${\cal K}^{r_{1}}_{t_{\varepsilon}}$ 在 $L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+};{\cal H}^{0}(B_{r_{2}}))$ 中相对紧.

定理1.1的证明  由引理 3.3 和引理 3.4 可知,对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $t_{\varepsilon}$ 和 $r_{2}=r_{2}(\varepsilon)$,使得当 $t\geq t_{\varepsilon}$ 时 $$\|S(t){\Bbb B}_{0}\|_{{\cal M}(B^{c}_{r_{2}})}=\|z(t)\|_{{\cal M}(B^{c}_{r_{2}})}\leq \varepsilon,\quad \forall\;z_{0}\in{\Bbb B}_{0}.$$ 再利用紧嵌入 ${\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})\hookrightarrow {\cal H}^{0}(B_{r_{2}})=V(B_{r_{2}})$ 和引理 3.9,可知 $S(t){\Bbb B}_{0}$ 在 ${\cal M}(B_{r_{2}})$ 中相对紧.

因此,根据 Temam 的经典理论(见文献 ^[19]),与方程 (1.1) 相对应的半群 $S(t)$ 在$H^{1}({\Bbb R}^{3})\times L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+},H^{1}({\Bbb R}^{3}))$ 中存在全局吸引子.