不同于明孤子,暗孤子的波幅是局部减小的. 在物理领域,暗孤子已经引起了广泛的注意. 例如,在光纤系统、光信息科学、信号传输以及其它光应用领域中,暗孤子已经被广泛研究^[1]. 特别的,已经在光纤维^{[2, 3, 4]}、等离子体^{[5, 6]}、波色-爱因斯坦凝聚态^[7],甚至在水面^[8] 中观测到暗孤子的存在. 散焦的非线性薛定谔 (NLS) 方程是一个在数学和物理领域中被广泛研究的光学方程.比如,利用 Hirota 方法可以得到耦合的散焦 NLS 方程的明-暗和暗-暗孤子解^[9]. 在文献^[10]中,作者构造了耦合的多分量 NLS 方程的多重暗孤子解.

众所周知,AKNS 方程族的第三个流是著名的耦合的复值 mKdV 方程^[11] \[\left\{ \begin{align} & {{q}_{t}}=-{{q}_{xxx}}+6q{{q}_{x}}r, \\ & {{r}_{t}}=-{{r}_{xxx}}+6qr{{r}_{x}}. \\ \end{align} \right.\tag{1.1}\] 将约化条件 $r=-q^{*}$ 和 $r=q^{*}$ 代入方程 (1.1) 中, 分别得到了聚焦 mKdV 方程和散焦 mKdV 方程,两个方程的主要差别在于散焦 mKdV 方程有暗孤子解^{[12, 13]}.

散焦 mKdV 方程是正则的色散方程,源自于许多物理现象的研究中,特别在流体力学和等离子体等研究领域,包括二层流体模型和非麦克斯韦电子分布等应用领域. 从数学的角度来看,散焦 mKdV 方程是一个可积模型,具有 Lax 对和无穷多守恒律^[14]. 此外,散焦 mKdV 方程的柯西问题具有局部适定性^[15]. 最近,在文献^{[16, 17]} 中,作者构造了耦合 mKdV 方程的 N 重达布变换,考虑约化条件 $r=-q^{*}$ 及平凡的种子解,作者得到了聚焦 mKdV 方程的两个明孤子解.在文献^{[12, 13]} 中,作者利用达布变换给出了散焦 mKdV方程(方程 (1.1) 中 $r=q$) 的多重暗孤子解,但是,该达布矩阵是通过递归方法得到的,并且种子解是常数.

此外,在文献 ^{[18, 19]} 中,作者给出了 AKNS 方程族的 N 孤子解的行列式表示. 在文献^{[20, 21, 22, 23, 24]} 中,贺劲松教授带领的团队改进了该方法,给出了 N 重达布变换的行列式表示,得到了许多有意思的解,比如呼吸子解、positon 解、 怪波解等等. 行列式表示的优势在于以下三个方面: 1. 显式给出 N 重达布矩阵中的元素; 2. 显式给出变换后的解,这对进一步探讨,诸如所得解是否存在的问题很有帮助; 3. 变换后的特征函数也表示成行列式的形式,这对下一次达布变换的构造很有帮助.进一步的,在文献 ^[25]中,已经构造了散焦 NLS 方程的新的达布变换,该变换仅依赖于一个谱参数及其相应的特征函数,并得到了该方程的 N 重暗孤子解的行列式表示.

本文的框架如下: 第二节构造耦合 mKdV 方程 (1.1)的新达布变换.在第三节中,通过将约化条件 $r=q^{*}$ 附加到耦合 mKdV 方程 (1.1) 的新达布变换中,并同时选取周期的非零种子解,得到散焦 mKdV 方程的 N 重暗孤子解. 作为其应用,暗的单孤子、暗的 2 孤子和暗的 3 孤子解及其图像分别给出. 特别地,证明了暗的单孤子解和暗的 2 孤子解都是光滑的,同时证明了暗的 N 孤子解在特征值的某一领域内是光滑的. 结论和探讨在最后一节给出.

众所周知,方程 (1.1) 的谱问题为 \begin{equation}\ \phi_x=U\phi,\quad U=\left(\begin{array}{cc} -{\rm i}\lambda~~&q\\ r~~&{\rm i}\lambda \end{array}\right)\tag{2.1} \end{equation} 和 \begin{equation}\ \phi_t=V\phi,\quad V=\left(\begin{array}{cc} -4{\rm i}\lambda^{3}-2{\rm i}qr\lambda+q_xr-qr_x~~&4q\lambda^{2}+2 {\rm i}q_x\lambda-q_{xx}+2q^{2}r\\ 4r\lambda^{2}-2{\rm i}r_x\lambda-r_{xx}+2qr^{2}~~&4{\rm i}\lambda^{3}+2{\rm i}qr\lambda-q_xr+qr_x \end{array}\right), \tag{2.2} \end{equation} 其中 $q$ 和 $r$ 为位势,$\lambda$ 为谱参数, $\phi=\Bigg(\begin{array}{c} \phi_1\\ \phi_2 \end{array}\Bigg)$ 为特征函数.

显然,在规范变换 $\tilde{\phi}=T\phi$ 下,系统 (2.1) 和 (2.2) 分别转化为 \begin{equation}\ \tilde{\phi}_x=\tilde{U}\tilde{\phi},\quad T_x+TU=\tilde{U}T, \tag{2.3} \end{equation} \begin{equation}\ \tilde{\phi}_t=\tilde{V}\tilde{\phi},\quad T_t+TV=\tilde{V}T, \tag{2.4} \end{equation} 其中 $\tilde{U}$,$\tilde{V}$ 分别与 $U,V$ 有相同形式,即 $U$ 和 $V$ 中的位势 $q$ 和 $r$ 分别变为 $\tilde{U}$ 和 $\tilde{V}$ 中的新位势 $\tilde{q}$ 和 $\tilde{r}$. 一般而言,假定达布矩阵 $T$ 是一个关于谱参数 $\lambda$ 的 $2\times2$ 的矩阵多项式 \begin{equation}\ T=\left(\begin{array}{cc} a_1~~&b_1\\ c_1~~&d_1 \end{array}\right)\lambda +\left(\begin{array}{cc} a_0~~&b_0\\ c_0~~&d_0 \end{array}\right),\tag{2.5} \end{equation} 其中 $a_1,b_1,c_1,d_1,a_0,b_0,c_0,d_0$ 是待定的关于 $x,t$ 的函数.

为了确定这些变量,需要比较系统 (2.3) 和 (2.4) 中谱参数 $\lambda$ 的同次幂前的系数.具体地,由公式 (2.3) 中的 $x$ 部分可以得到 \begin{equation}\left\{\begin{array}{l} b_1=c_1=0,a_{1,x}=d_{1,x}=0,\\ a_{0,x}=\tilde{q}c_0-rb_0,\\ b_{0,x}=\tilde{q}d_0-qa_0,\\ c_{0,x}=\tilde{r}a_0-rd_0,\\ d_{0,x}=\tilde{r}b_0-qc_0,\\ \tilde{q}d_1=qa_1+2{\rm i}b_0,\\ \tilde{r}a_1=rd_1-2{\rm i}c_0.\end{array}\right.\tag{2.6} \end{equation} 类似地,由公式 (2.4) 中的 $t$ 部分可以得到 \begin{equation}\label{8}\left\{\begin{array}{l} b_1=c_1=0, a_{1, t}=d_{1, t}=0,\\ -{\rm i}qra_1+2rb_0=2\tilde{q}c_0-{\rm i}\tilde{q}\tilde{r}a_1,\\ {\rm i}q_xa_1+2qa_0=2\tilde{q}d_0+{\rm i}\tilde{q}_xd_1,\\ -{\rm i}r_xd_1+2rd_0=2\tilde{r}a_0-{\rm i}\tilde{r}_xa_1,\\ {\rm i}qrd_1+2qc_0=2\tilde{r}b_0+{\rm i}\tilde{q}\tilde{r}d_1,\\ (-q_{xx}+2q^{2}r)a_1+2{\rm i}q_xa_0+2{\rm i}qrb_0=-2{\rm i}\tilde{q}\tilde{r}b_0 +2{\rm i}\tilde{q}_xd_0+(-\tilde{q}_{xx}+2\tilde{q}^{2}\tilde{r})d_1,\\ (-r_{xx}+2qr^{2})d_1-2{\rm i}qrc_0-2{\rm i}r_xd_0=-2{\rm i}\tilde{r}_xa_0 +2{\rm i}\tilde{q}\tilde{r}c_0+(-\tilde{r}_{xx}+2\tilde{q}\tilde{r}^{2})a_1,\\ a_{0, t}+(q_xr-qr_x)a_0+(-r_{xx}+2qr^{2})b_0 =(\tilde{q}_x\tilde{r}-\tilde{q}\tilde{r}_x)a_0+(-\tilde{q}_{xx}+2\tilde{q}^{2}\tilde{r})c_0,\\ b_{0, t}+(-q_{xx}+2q^{2}r)a_0+(-q_xr+qr_x)b_0 =(\tilde{q}_x\tilde{r}-\tilde{q}\tilde{r}_x)b_0+(-\tilde{q}_{xx}+2\tilde{q}^{2}\tilde{r})d_0,\\ c_{0, t}+(q_xr-qr_x)c_0+(-r_{xx}+2qr^{2})d_0 =(-\tilde{r}_{xx}+2\tilde{q}\tilde{r}^{2})a_0+(-\tilde{q}_x\tilde{r}+\tilde{q}\tilde{r}_x)c_0,\\ d_{0, t}+(-q_{xx}+2q^{2}r)c_0+(-q_xr+qr_x)d_0 =(-\tilde{r}_{xx}+2\tilde{q}\tilde{r}^{2})b_0+(-\tilde{q}_x\tilde{r}+\tilde{q}\tilde{r}_x)d_0,\\ \tilde{q}d_1=qa_1+2{\rm i}b_0,\\ \tilde{r}a_1=rd_1-2{\rm i}c_0. \end{array}\right.\tag{2.7} \end{equation} 不难发现: 这里的 $a_1$ 和 $d_1$ 都与 $x$ 和 $t$ 无关. 因此,$a_1$ 和 $d_1$ 都是常数. 为了构造耦合 mKdV 方程 (1.1) 的新达布变换,这里考虑系统 (2.1) 和 (2.2) 的两种不同的达布变换.

情形 1 取 $a_1=1,d_1=0$,得到 $d_{0}$ 也与 $x$ 和 $t$ 无关. 为简单起见, 不妨取 $d_0=1$. 此外,可以得到 $b_0=\frac{1}{2}{\rm i}q$,$c_0=\frac{1}{2}{\rm i}\tilde{r}$.

为了构造该达布变换,需要找到系统 (2.1) 和 (2.2) 的特殊解. 为此,令 $f_1=f_1(\lambda_1)=\Bigg(\begin{array}{c}f_{11}(\lambda_1)\\f_{12} (\lambda_1)\end{array}\Bigg)$ 为系统 (2.1) 和 (2.2) 当 $\lambda=\lambda_1$ 时的解,可以得到下面的引理.

引理 2.1^[26]  由 $f_1$ 及 $\lambda_1$ 给出的达布矩阵为 \[{{T}_{a}}={{T}_{a}}\left( \lambda ;{{\lambda }_{1}},{{f}_{1}} \right)=\left( \begin{matrix} \lambda -{{\lambda }_{1}}-\frac{1}{2}iq\frac{{{f}_{12}}}{{{f}_{11}}} & \frac{1}{2}iq \\ -\frac{{{f}_{12}}\left( {{\lambda }_{1}} \right)}{{{f}_{11}}\left( {{\lambda }_{1}} \right)} & 1 \\ \end{matrix} \right).\tag{2.8}\] 方程 (1.1) 的新解为 \begin{equation} \tilde{q}=\frac{1}{2}{\rm i}q_x-\lambda_1q-\frac{1}{2}{\rm i}q^{2}\frac{f_{12}(\lambda_1)}{f_{11}(\lambda_1)}, \tilde{r}=2{\rm i}\frac{f_{12}(\lambda_1)}{f_{11}(\lambda_1)}.\tag{2.9} \end{equation}

情形2 类似地,取 $a_1=0,d_1=1$,得到 $a_{0}$ 与 $x$ 和 $t$ 无关. 为简单起见, 不妨取 $a_0=1$. 此外,有 $b_0=-\frac{1}{2}{\rm i}\tilde{q}$ 和 $c_0=-\frac{1}{2}{\rm i}r$.

同样的,令 $g_1=g_1(\mu_1)=\Bigg(\begin{array}{c}g_{11}(\mu_1)\\ g_{12}(\mu_1)\end{array}\Bigg)$ 为系统 (2.1) 和 (2.2) 中谱参数 $\lambda=\mu_1$ 时的解,可以得到下面的引理.

引理 2.2^[26]  由 $g_1$ 和 $\mu_1$ 给出的达布矩阵为 \begin{equation}\ T_b=T_b(\lambda; \mu_1,g_1)=\left(\begin{array}{cc} 1~~& -\frac{g_{11}(\mu_1)}{g_{12}(\mu_1)}\\[3mm] -\frac{1}{2}{\rm i}r~~& \lambda-\mu_1+\frac{1}{2}{\rm i}r\frac{g_{11}(\mu_1)}{g_{12}(\mu_1)} \end{array}\right),\tag{2.10} \end{equation} 方程 (1.1) 的新解为 \begin{equation}\ \tilde{q}=-2{\rm i}\frac{g_{11}(\mu_1)}{g_{12}(\mu_1)}, \tilde{r}=-\frac{1}{2}{\rm i}r_x-\mu_1r+\frac{1}{2}{\rm i}r^{2}\frac{g_{11}(\mu_1)}{g_{12}(\mu_1)}.\tag{2.11} \end{equation}

在文献 ^[16] 中,作者从平凡的种子解出发,得到了聚焦 mKdV 方程的明孤子解. 而在本文中，将从非平凡的种子解出发构造散焦 mKdV 方程 (1.1)的暗孤子解. 为此,需要根据上述两个达布变换 (即引理1和引理2) 及对特征值取极限的方法构造新的达布变换.

下面列出一些特殊的记号.\begin{equation}\ \sigma(f_1,g_1)=-\frac{W(f_1,g_1)}{2(\lambda_1-\mu_1)},\quad \sigma(f_1,f_1)=-\lim_{\lambda\rightarrow\lambda_1}\frac{W(f_1(\lambda),f_1(\lambda_1))}{2(\lambda-\lambda_1)}=\frac{1}{2}W(f_1,f_{1,\lambda_1}), \tag{2.12} \end{equation} 其中 $W(f_1,g_1)=f_{11}(\lambda_1)g_{12}(\mu_1)-f_{12}(\lambda_1)g_{11}(\mu_1)$.

第一个解: 假设 $f_0=f_0(\lambda_1)=\Bigg(\begin{array}{c}f_{01}(\lambda_1)\\ f_{02}(\lambda_1)\end{array}\Bigg)$ 为系统 (2.1) 和 (2.2) 中谱参数 $\lambda=\lambda_1$ 时的解. 将 $T_a$ 作用到 $f_0$ 上，得到系统 (2.1) 和 (2.2) 中谱参数 $\lambda=\lambda_1$ 时的解 $$\tilde{f}_0=T_a(\lambda; \lambda_1,f_1)|_{\lambda=\lambda_1}f_0=\frac{W(f_1,f_0)}{2f_{11}(\lambda_1)} \left(\begin{array}{c} {\rm i}q\\ 2 \end{array}\right).$$ 通过直接计算,发现 $W(f_1,f_0)$ 是与 $x$ 和 $t$ 无关的,故可取 $W(f_1,f_0)=1$. 于是得到系统 (2.1) 和 (2.2) 中谱参数 $\lambda=\lambda_1$ 时的解为 $$\tilde{f}_0=\frac{1}{2f_{11}(\lambda_1)} \left(\begin{array}{c} {\rm i}q\\ 2 \end{array}\right).$$

第二个解: 假设 $f_1(\lambda)=\Bigg(\begin{array}{c}f_{11}(\lambda)\\ f_{12}(\lambda)\end{array}\Bigg)$ 为系统 (2.1) 和 (2.2) 的解,容易验证 $\phi_1(\lambda)=\frac{f_1(\lambda)}{\lambda-\lambda_1}$ 也是系统 (2.1) 和 (2.2) 的解. 将 $T_a$ 作用到 $\phi_1(\lambda)$ 上可以得到系统 (2.1) 和 (2.2) 的解 $$\tilde{\phi}_1(\lambda)=T_a(\lambda; \lambda_1,f_1)\phi_1(\lambda)= \left(\begin{array}{c} f_{11}(\lambda)\\ 0 \end{array}\right)- \frac{W(f_1(\lambda),f_1(\lambda_1))}{2(\lambda-\lambda_1)f_{11}(\lambda_1)} \left(\begin{array}{c} iq\\ 2 \end{array}\right).$$ 取极限 $\lambda\rightarrow\lambda_1$,可以得到系统 (2.1) 和 (2.2) 取谱参数 $\lambda=\lambda_1$ 时的解 $$\tilde{f}=\lim_{\lambda\rightarrow\lambda_1}\tilde{\phi}_1(\lambda)= \left(\begin{array}{c} f_{11}(\lambda_1)\\ 0 \end{array}\right)+\frac{\sigma(f_1,f_1)}{f_{11}(\lambda_1)} \left(\begin{array}{c} {\rm i}q\\ 2 \end{array}\right).$$

令 $C_1$ 为任意常数,则 $$\tilde{h}=\tilde{f}+2C_1\tilde{f}_0= \left(\begin{array}{c} f_{11}(\lambda_1)\\ 0 \end{array}\right)+\frac{C_1+\sigma(f_1,f_1)}{f_{11}(\lambda_1)} \left(\begin{array}{c} {\rm i}q\\ 2 \end{array}\right)$$ 也是系统 (2.1) 和 (2.2) 取谱参数 $\lambda=\lambda_1$ 时的解. 最后, 将 $T_b(\lambda; \lambda_1,\tilde{h})$ 作用到 $\tilde{\phi}/(\lambda-\lambda_1)$ 上,可以得到下面的引理.

引理 2.3  对于系统 (2.1) 和 (2.2),一次新的达布变换和一次达布变换后的新解可分别表示成如下的行列式形式 \begin{equation} \phi^{[1]}=T_b(\lambda; \lambda_1,\tilde{h})\frac{\tilde{\phi}}{\lambda-\lambda_1}=\phi-\frac{\sigma(\phi,f_1)}{C_1+\sigma(f_1,f_1)}f_1=T^{[1]}\phi, \tag{2.13} \end{equation} 其中一次达布矩阵为 \begin{eqnarray*} T_1&=&T^{[1]}=T^{[1]}(\lambda; \lambda_1,f_1)\\ &=& \frac{1}{C_1+\sigma(f_1,f_1)} \left(\begin{array}{cc} \left|\begin{array}{cc}C_1+\sigma(f_1,f_1)~& -\frac{f_{12}(\lambda_1)}{2(\lambda-\lambda_1)} \\ f_{11}(\lambda_1)~&1\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}C_1+\sigma(f_1,f_1)~& \frac{f_{11}(\lambda_1)}{2(\lambda-\lambda_1)}\\ f_{11}(\lambda_1)~&0\end{array}\right|\\ [7mm] \left|\begin{array}{cc}C_1+\sigma(f_1,f_1)~& -\frac{f_{12}(\lambda_1)}{2(\lambda-\lambda_1)}\\ f_{12}(\lambda_1)~&0\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}C_1+\sigma(f_1,f_1)~& \frac{f_{11}(\lambda_1)}{2(\lambda-\lambda_1)}\\ f_{12}(\lambda_1)~&1\end{array}\right| \end{array}\right), \end{eqnarray*} 新解为 \begin{eqnarray}\label{30}\left\{\begin{array}{l} q^{[1]}=q-{\rm i}\frac{(f_{11}(\lambda_1))^{2}}{C_1+\sigma(f_1, f_1)} =\frac{1}{C_1+\sigma(f_1, f_1)}\left|\begin{array}{cc} C_1+\sigma(f_1, f_1)~&f_{11}(\lambda_1)\\ {\rm i}f_{11}(\lambda_1)~&q\end{array}\right|,\\ [6mm] r^{[1]}=r-{\rm i}\frac{(f_{12}(\lambda_1))^{2}}{C_1+\sigma(f_1, f_1)} =\frac{1}{C_1+\sigma(f_1, f_1)}\left|\begin{array}{cc} C_1+\sigma(f_1, f_1)~&f_{12}(\lambda_1)\\ {\rm i}f_{12}(\lambda_1)~&r\end{array}\right|. \end{array}\right. \tag{2.14} \end{eqnarray} 注 2.1  达布矩阵 $T^{[1]}$,新解 $q^{[1]}$ 和 $r^{[1]}$ 都仅依赖于一个谱参数 $\lambda_1$ 及其对应的特征函数 $f_1$,这不同于文献 ^[16] 中的结果.

关于引理2.3 的详细证明过程可参考文献 ^[25]. 此外,有 \begin{equation} q^{[1]}r^{[1]}=qr-\partial_x^{2}\ln|C_1+\sigma(f_1,f_1)|.\tag{2.15} \end{equation} 同时,新变量 $\phi^{[1]},q^{[1]},r^{[1]}$ 满足 \begin{equation} \phi_x^{[1]}=U^{[1]}\phi^{[1]},\quad \phi_t^{[1]}=V^{[1]}\phi^{[1]}, \tag{2.16} \end{equation} 其中 $U^{[1]}$ 和 $V^{[1]}$ 分别与 $U$ 和 $V$ 有相同的形式.

接下来,主要构造系统 (2.1) 和 (2.2) 的 N 重达布变换. 令 $f_j=\Bigg(\begin{array}{c}f_{j1}\\f_{j2}\end{array}\Bigg)$ 为系统 (2.1) 中 $\lambda=\lambda_j$ $(j\geq1)$ 时的解,$C_1,C_2,C_3\cdots$ 均为常数. 根据引理2.3 及重复上述达布变换 N 次, 可以得到下面的结论.

定理2.1  对于系统 (2.1) 和 (2.2),N 重达布变换和 N 次达布变换后的新解可以分别写成如下的行列式形式 \begin{equation}\ \phi^{[N]}=T_N\phi=\frac{1}{|\Delta_N|}\left(\begin{array}{c} \left|\begin{array}{cc}\Delta_N~~&\gamma\\\alpha_{N1}~~&\phi_1\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}\Delta_N~~&\gamma\\\alpha_{N2}~~&\phi_2\end{array}\right| \end{array}\right), \tag{2.17} \end{equation} 其中 \begin{equation}\ T_N=\frac{1}{|\Delta_N|}\left(\begin{array}{cc} \left|\begin{array}{cc}\Delta_N~~&-\beta_{N2}\\\alpha_{N1}~~&1\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}\Delta_N~~&\beta_{N1}\\\alpha_{N1}~~&0\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}\Delta_N~~&-\beta_{N2}\\\alpha_{N2}~~&0\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}\Delta_N~~&\beta_{N1}\\\alpha_{N2}~~&1\end{array}\right| \end{array}\right),N\geq1 \tag{2.18} \end{equation} 及 \begin{equation}\ \Delta_N=\left(\begin{array}{cccc} C_1+\sigma(f_1,f_1)&\sigma(f_1,f_2)&\cdots&~~\sigma(f_1,f_N)\\ \sigma(f_2,f_1)&~~C_2+\sigma(f_2,f_2)~~&\cdots&~~\sigma(f_2,f_N)\\ \vdots&\vdots&&~~\vdots\\ \sigma(f_N,f_1)&\sigma(f_N,f_2)&\cdots&~~C_N+\sigma(f_N,f_N)\end{array}\right), \tag{2.19} \end{equation} $$\gamma=(\sigma(\phi,f_1),\cdots,\sigma(\phi,f_N))^{T},~~ \alpha_{Ni}=(f_{1i},f_{2i},\cdots,f_{Ni}),$$ \begin{equation}\ \beta_{Ni}=\bigg(\frac{f_{1i}}{2(\lambda-\lambda_1)}, \frac{f_{2i}}{2(\lambda-\lambda_2)},\cdots,\frac{f_{Ni}}{2(\lambda-\lambda_N)}\bigg)^{T},~~ i=1,2.\tag{2.20} \end{equation}

证  根据 (2.13) 式中的 $T^{[1]}$ ,容易得到第 2 次的达布矩阵为 $$T^{[2]}=\left(\begin{array}{cc} 1+\frac{f_{21}^{[1]}f_{22}^{[1]}}{2(\lambda-\lambda_2)(C_2+\sigma(f_2^{[1]},f_2^{[1]}))} ~~& -\frac{(f_{21}^{[1]})^{2}}{2(\lambda-\lambda_2)(C_2+\sigma(f_2^{[1]},f_2^{[1]}))}\\ [4mm] \frac{(f_{22}^{[1]})^{2}}{2(\lambda-\lambda_2)(C_2+\sigma(f_2^{[1]},f_2^{[1]}))} ~~& 1-\frac{f_{21}^{[1]}f_{22}^{[1]}}{2(\lambda-\lambda_2)(C_2+\sigma(f_2^{[1]},f_2^{[1]}))}\end{array}\right).$$ 将 $\left\{\begin{array}{l} f_{21}^{[1]}=f_{21}-\frac{\sigma(f_1,f_2)}{C_1+\sigma(f_1,f_1)}f_{11}\\ f_{22}^{[1]}=f_{22}-\frac{\sigma(f_1,f_2)}{C_1+\sigma(f_1,f_1)}f_{12} \end{array}\right.$ 代入上面的 $T^{[2]}$ 中,可以得到 2 重达布变换为 \begin{eqnarray*} T_2&=&T^{[2]}T_1\\ &=&\scriptsize{ \frac{1}{|\Delta_2|}\left(\begin{array}{cc}\left|\begin{array}{ccc} C_1+\sigma(f_1,f_1)&\sigma(f_1,f_2)& -\frac{f_{12}}{2(\lambda-\lambda_1)}\\[3mm] \sigma(f_1,f_2)&C_2+\sigma(f_2,f_2)& -\frac{f_{22}}{2(\lambda-\lambda_2)}\\\ f_{11}&f_{21}&1\end{array}\right|& \left|\begin{array}{ccc} C_1+\sigma(f_1,f_1)&\sigma(f_1,f_2)& \frac{f_{11}}{2(\lambda-\lambda_1)}\\[3mm] \sigma(f_1,f_2)&~~C_2+\sigma(f_2,f_2)~~& \frac{f_{21}}{2(\lambda-\lambda_2)}\\\ f_{11}&f_{21}&0 \end{array}\right|\\[10mm] \left|\begin{array}{ccc} C_1+\sigma(f_1,f_1)&\sigma(f_1,f_2)& -\frac{f_{12}}{2(\lambda-\lambda_1)}\\[3mm] \sigma(f_1,f_2)&C_2+\sigma(f_2,f_2)& -\frac{f_{22}}{2(\lambda-\lambda_2)}\\\ f_{12}&f_{22}&0 \end{array}\right|& \left|\begin{array}{ccc} C_1+\sigma(f_1,f_1)&\sigma(f_1,f_2)& \frac{f_{11}}{2(\lambda-\lambda_1)}\\ [3mm] \sigma(f_1,f_2)&~~C_2+\sigma(f_2,f_2)~~& \frac{f_{21}}{2(\lambda-\lambda_2)}\\\ f_{12}&f_{22}&1 \end{array}\right|\end{array}\right).} \end{eqnarray*} 对上述的过程重复 N 次，可以得到 N 重达布变换 (2.18).

推论2.1  由种子解 $q,r$ 出发,经 N 重达布变换 (2.18),可得到新解 $q^{[N]}$,$r^{[N]}$ 为 \begin{equation} q^{[N]}=\frac{1}{|\Delta_N|}\left|\begin{array}{cc}\Delta_N~~&(\alpha_{N1})^{T}\\ {\rm i}\alpha_{N1}~~&q\end{array}\right| \tag{2.21} \end{equation} 和 \begin{equation}\ r^{[N]}=\frac{1}{|\Delta_N|}\left|\begin{array}{cc}\Delta_N~~&(\alpha_{N2})^{T}\\ {\rm i}\alpha_{N2}~~&r\end{array}\right|.\tag{2.22} \end{equation} 证  由 (2.14) 式中的一次变换后的新解 $q^{[1]}$ 和 $r^{[1]}$ ,不难得到 \begin{equation} q^{[N]}=\frac{1}{C_N+\sigma(f_N^{[N-1]},f_N^{[N-1]})} \left|\begin{array}{cc} C_N+\sigma(f_N^{[N-1]},f_N^{[N-1]})~~&f_{N1}^{[N-1]}\\ {\rm i}f_{N1}^{[N-1]}~~&q^{[N-1]} \end{array}\right|.\tag{2.23} \end{equation} 将 $$C_N+\sigma(f_N^{[N-1]},f_N^{[N-1]})=C_N+\sigma(f_N^{[N-2]},f_N^{[N-2]})-\frac{(\sigma(f_{N-1}^{[N-2]},f_N^{[N-2]}))^{2}}{C_{N-1}+\sigma(f_{N-1}^{[N-2]},f_{N-1}^{[N-2]})}$$ 和 $$f_N^{[N-1]}=f_N^{[N-2]}-\frac{\sigma(f_N^{[N-2]},f_{N-1}^{[N-2]})}{C_{N-1}+\sigma(f_{N-1}^{[N-2]},f_{N-1}^{[N-2]})}f_{N-1}^{[N-2]}$$ 代入 (2.23)式,经直接计算可以得到 $$q^{[N]}=\frac{\left|\begin{array}{ccc} C_{N-1}+\sigma(f_{N-1}^{[N-2]},f_{N-1}^{[N-2]})&\sigma(f_{N-1}^{[N-2]},f_{N}^{[N-2]})&f_{N-1,1}^{[N-2]}\\ \sigma(f_N^{[N-2]},f_{N-1}^{[N-2]})& ~C_N+\sigma(f_{N-1}^{[N-2]},f_{N-1}^{[N-2]})~&f_{N1}^{[N-2]}\\ {\rm i}f_{N-1,1}^{[N-2]}& {\rm i}f_{N1}^{[N-2]}&q^{[N-2]} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} C_{N-1}+\sigma(f_{N-1}^{[N-2]},f_{N-1}^{[N-2]})~&\sigma(f_{N-1}^{[N-2]},f_N^{[N-2]})\\ \sigma(f_N^{[N-2]},f_{N-1}^{[N-2]})~&C_N+\sigma(f_{N-1}^{[N-2]},f_{N-1}^{[N-2]})\end{array}\right|}.$$ 重复$ (N-1)$ 次上述过程,可以得到 (2.21)式. 同理可以证明 (2.22) 式.

对方程 (1.1) 附加约化条件 $r=q^{*}$,得到著名的散焦 mKdV 方程 \begin{equation}\ q_t+q_{xxx}-6|q|^{2}q_x=0, \tag{3.1} \end{equation} 其Lax对为 \[\left\{ \begin{align} & {{\phi }_{x}}=\left( \begin{matrix} -\text{i}\lambda ~~ & q \\ {{q}^{*}}~~ & \text{i}\lambda \\ \end{matrix} \right)\phi , \\ & {{\phi }_{t}}=\left( \begin{matrix} -4\text{i}{{\lambda }^{3}}-2\text{i}|q{{|}^{2}}\lambda +{{q}_{x}}{{q}^{*}}-qq_{x}^{*}~~ & 4q{{\lambda }^{2}}+2\text{i}{{q}_{x}}\lambda -{{q}_{xx}}+2|q{{|}^{2}}q \\ 4{{q}^{*}}{{\lambda }^{2}}-2\text{i}q_{x}^{*}\lambda -q_{xx}^{*}+2|q{{|}^{2}}{{q}^{*}}~~ & 4\text{i}{{\lambda }^{3}}+2\text{i}|q{{|}^{2}}\lambda -{{q}_{x}}{{q}^{*}}+qq_{x}^{*} \\ \end{matrix} \right)\phi . \\ \end{align} \right.\tag{3.2}\]

引理 3.1  如果选取 $f_{12}(\lambda_1)={\rm i}(f_{11}(\lambda_1))^{*}$ 和 $C_1+\sigma(f_1,f_1)$ 为实值函数,新解 (2.14)式中的约化关系 $r^{[1]}=(q^{[1]})^{*}$ 同样满足.

经直接计算,不难发现 $f_{12}(\lambda_1)={\rm i}(f_{11}(\lambda_1))^{*}$ 成立当且仅当 $\lambda_1$ 是实数. 此外,有 \begin{equation} |q^{[1]}|^{2}=|q|^{2}-\partial_x^{2}\ln|C_1+\sigma(f_1,f_1)|.\tag{3.3} \end{equation} 对于系统 (2.1) 和 (2.2),已经构造了它的 N 重达布变换 (2.18) 和 N 次变换后的新解 $q^{[N]}$ 与 $r^{[N]}$,接下来将找一个方法, 即从周期的非零种子解出发得到散焦 mKdV 方程 (3.1) 的暗孤子解. 特别地, 将证明单的暗孤子解和暗的 2 孤子解都是光滑的,进一步证明暗的 N 孤子解在某一区域内是光滑的. 为此,选取 (3.1)式的种子解为 \begin{equation}\ q=c{\rm e}^{{\rm i}\rho}, \tag{3.4} \end{equation} 其中$\rho=ax+bt$,$c$ 是正的实数,$a,b$ 都是实数. 将 (3.4)式代入方程 (3.1), 同时比较 ${\rm e}^{{\rm i}\rho}$ 的系数,可以得到 \begin{equation} b=a^{3}+6ac^{2}.\tag{3.5} \end{equation} 也就是说,种子解具有形式 $$q=c{\rm e}^{{\rm i}(ax+(a^{3}+6ac^{2})t)}.$$

容易发现 (3.2) 式的一个解为 \[\left\{ \begin{align} & {{\phi }_{2}}=(-\text{i}(\lambda +\frac{1}{2}a)+{{c}_{1}}(\lambda )){{\text{e}}^{-\frac{1}{2}\text{i}\rho +d(\lambda )}}, \\ & {{\phi }_{1}}=c{{\text{e}}^{\frac{1}{2}\text{i}\rho +d(\lambda )}} \\ \end{align} \right.\tag{3.6}\] 其中 $c_1(\lambda)=\sqrt{c^{2}-(\lambda+\frac{1}{2}a)^{2}}, d(\lambda)=c_1(\lambda)x+(4\lambda^{2}-2a\lambda+a^{2}+2c^{2})c_1(\lambda)t.$ 经过直接计算,有 \[\left\{ \begin{align} & {{\phi }_{1}}=(-\text{i}(\lambda +\frac{1}{2}a)+{{c}_{1}}(\lambda )){{\text{e}}^{\frac{1}{2}\text{i}\rho +d(\lambda )}}, \\ & {{\phi }_{2}}=c{{\text{e}}^{-\frac{1}{2}\text{i}\rho +d(\lambda )}} \\ \end{align} \right.\tag{3.7}\] 也是 (3.2) 式的解. 不失一般性,当 $\lambda=\lambda_j$ 时,两个解 (3.6) 和 (3.7) 式的线性组合 \begin{equation}\label{fj} f_j=\left.\left(\begin{array}{c} (c+\lambda+\frac{1}{2}a+{\rm i}c_1(\lambda)){\rm e}^{\frac{1}{2}{\rm i}\rho+d(\lambda)}\\ [3mm] {\rm i}(c+\lambda+\frac{1}{2}a-{\rm i}c_1(\lambda)){\rm e}^{-\frac{1}{2}{\rm i}\rho +d(\lambda)} \end{array}\right)\right|_{\lambda=\lambda_j}=\left(\begin{array}{c} f_{j1}\\f_{j2} \end{array}\right)\tag{3.8} \end{equation} 可以作为方程 (3.2) 的一个基本解. 直接计算可得 \[\left\{ \begin{align} & \sigma ({{f}_{j}},{{f}_{j}})=-\frac{c(c+{{\lambda }_{j}}+\frac{1}{2}a)}{{{c}_{1}}({{\lambda }_{j}})}{{\text{e}}^{2d({{\lambda }_{j}})}}, \\ & \sigma ({{f}_{j}},{{f}_{k}})=\frac{2{{c}^{2}}}{{{\lambda }_{j}}-{{\lambda }_{k}}}(\cos {{\theta }_{j}}+\sin {{\theta }_{j}})(\cos {{\theta }_{k}}+\sin {{\theta }_{k}})\sin ({{\theta }_{k}}-{{\theta }_{j}}){{\text{e}}^{d({{\lambda }_{j}})+d({{\lambda }_{k}})}},j\ne k, \\ \end{align} \right.\tag{3.9}\] 其中 $c^{2}-(\lambda_j+a/2)^{2}>0$,$\frac{\lambda_j+a/2}{c}=\sin2\theta_j.$ 不难发现 $\frac{c_1(\lambda_j)}{c}=\cos2\theta_j>0.$ 将 (3.8) 式中的 $f_j$ 和 (3.4) 式中的 $q$ 代入 (2.21) 式中, 可以得到暗的 N 孤子解为 \begin{eqnarray}\ &&q^{[N]}= onumber\\ &&\scriptsize{ \frac{\left|\begin{array}{ccccc} C_1+\sigma(f_1,f_1)&\sigma(f_1,f_2)&\cdots&\sigma(f_1,f_N)& c(1+{\rm i}{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_1}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_1)}\\ \sigma(f_1,f_2)&C_2+\sigma(f_2,f_2)&\cdots&\sigma(f_2,f_N)& c(1+{\rm i}{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_2}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_2)}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \sigma(f_1,f_N)&\sigma(f_2,f_N)&\cdots&C_N+\sigma(f_N,f_N)& c(1+{\rm i}{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_N}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_N)}\\ c({\rm i}-{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_1}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_1)}& c({\rm i}-{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_2}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_2)}&\cdots& c({\rm i}-{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_N}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_N)}& c{\rm e}^{{\rm i}\rho} \end{array}\right|}{|\Delta_N|}},onumber\\ \tag{3.10} \end{eqnarray} 由 N 重达布变换 $T_N$ 生成的特征函数为 \begin{equation}\ \phi^{[N]}=\frac{1}{|\Delta_N|}\left(\begin{array}{c} \left|\begin{array}{cc}\Delta_N~~&\gamma\\\alpha_{N1}~~& (c+\lambda+\frac{1}{2}a+{\rm i}c_1(\lambda)){\rm e}^{\frac{1}{2} {\rm i}\rho+d(\lambda)}\end{array}\right|\\ [6mm] \left|\begin{array}{cc}\Delta_N~~&\gamma\\ {\rm i}(\alpha_{N1})^{*}~~& {\rm i}(c+\lambda+\frac{1}{2}a-{\rm i}c_1(\lambda)){\rm e}^{-\frac{1}{2} {\rm i}\rho+d(\lambda)}\end{array}\right| \end{array}\right),\tag{3.11} \end{equation} 其中 $\Delta_N$ 和 $\alpha_{N1}$ 分别由 (2.19) 和 (2.20) 式给出,其中 $C_j=-\frac{c(c+\lambda_j+\frac{1}{2}a)}{c_1(\lambda_j)}$,$\gamma$ 由 (2.21)式给出, $$\sigma(f_j,\phi)=-\frac{1}{2(\lambda_j-\lambda)}\left|\begin{array}{cc}f_{j1}~~& (c+\lambda+\frac{1}{2}a+{\rm i}c_1(\lambda)){\rm e}^{\frac{1}{2}{\rm i}\rho+d(\lambda)}\\[3mm] f_{j2}~~& {\rm i}(c+\lambda+\frac{1}{2}a-{\rm i}c_1(\lambda)){\rm e}^{-\frac{1}{2}{\rm i}\rho+d(\lambda)} \end{array}\right|~ (1\leq j\leq N), $$ $\sigma(f_j,f_j)$ 和 $\sigma(f_j,f_k)$ 由 (3.9) 式给出. 参照文献 ^[25]中引理 5 的证明,得到下面的引理.

引理 3.2  令 $\lambda_j=\lambda_1(j=2,3,\cdots,N)$,则 (3.10) 式中的 $q^{[N]}$ 在整个平面上是光滑的.

由公式 (3.10),可以知道 $q^{[N]}$ 是连续依赖于 $\lambda_j(1\leq j\leq N)$. 因此,在 $\lambda_j(j=1,2,\cdots,N)$ 的参数空间中,必存在 $\lambda_j=\lambda_1 \ (j=2,3,\cdots,N)$ 的某个邻域 $\Omega$,使得 $q^{[N] 是光滑的. 进而, 可以得到下面的定理.

定理3.1  令 $\lambda_jot=\lambda_k$ $(j\ne k)$,$\lambda_j\in \Omega$ ($1\leq j,k\leq N$), 则公式 (3.10) 的暗的 N 孤子解 $q^{[N]}$ 在整个平面上是光滑的.

情形1  在公式 (3.10) 中取 $N=1,$ 则单的暗孤子解为 \begin{equation}\label{1dark} q^{[1]}=c{\rm e}^{{\rm i}\rho}\frac{1-{\rm e}^{-4{\rm i}\theta_1} {\rm e}^{2d(\lambda_1)}}{1+{\rm e}^{2d(\lambda_1)}}, \tag{3.12} \end{equation} 则 \begin{equation} |q^{[1]}|^{2}=c^{2}-\frac{c_1^2(\lambda_1)}{\cosh^2(d(\lambda_1))}.\tag{3.13} \end{equation} 显然,该解在整个平面上是光滑的. 单的暗孤子的图像及其投影图在图 1中给出.

图 1

图 1 单的暗孤子在参数 $a=0.4,c=1,\lambda_1=0.5 $时的图像(左)及投影图(右)

情形2   在 (3.10) 式中取 $N=2,$ 得暗的 2 孤子解为 \begin{equation}\ q^{[2]}=\frac{\left|\begin{array}{ccc} C_1+\sigma(f_1,f_1)&\sigma(f_1,f_2)&c(1+{\rm i}{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_1}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_1)}\\ \sigma(f_1,f_2)&C_2+\sigma(f_2,f_2)&c(1+{\rm i}{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_2}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_2)}\\ c({\rm i}-{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_1}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_1)}& c({\rm i}-{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_2}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_2)} &~c{\rm e}^{{\rm i}\rho} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} C_1+\sigma(f_1,f_1)~&\sigma(f_1,f_2)\\ \sigma(f_1,f_2)&C_2+\sigma(f_2,f_2)\\ \end{array}\right|}.\tag{3.14} \end{equation} 由于 \begin{eqnarray*} & &\left|\begin{array}{cc}C_1+\sigma(f_1,f_1)&\sigma(f_1,f_2)\\\sigma(f_1,f_2)&C_2+\sigma(f_2,f_2)\end{array}\right|\\ &=&\bigg(-\frac{c}{c_1(\lambda_1)}\bigg)\bigg(c+\lambda_1+\frac{1}{2}a)(1+{\rm e}^{2d(\lambda_1)})\bigg)\bigg(-\frac{c}{c_1(\lambda_2)}\bigg)\bigg(c+\lambda_2+\frac{1}{2}a)(1+{\rm e}^{2d(\lambda_2)})\bigg)\\ && -\frac{4c^{4}}{(\lambda_1-\lambda_2)^{2}}(\sin\theta_1+\cos\theta_1)^{2} (\sin\theta_2+\cos\theta_2)^{2} \sin^{2}(\theta_2-\theta_1){\rm e}^{2d(\lambda_1)+2d(\lambda_2)}\\ &=&c^{2}(\cos\theta_1+\sin\theta_1)^{2}(\cos\theta_2+\sin\theta_2)^{2}{\rm e}^{2d(\lambda_1)+2d(\lambda_2)} \bigg(\frac{1}{\cos2\theta_1\cos2\theta_2}-\frac{1}{\cos^{2}(\theta_1+\theta_2)}\bigg)\\ &&+\frac{c^{2}}{\cos2\theta_1\cos2\theta_2}(1+\sin2\theta_1)(1+\sin2\theta_2)(1+{\rm e}^{2d(\lambda_1)}+{\rm e}^{2d(\lambda_2)})\end{eqnarray*} 和 $\cos^{2}(\theta_1+\theta_2)-\cos2\theta_1\cos2\theta_2 =\frac{1}{2}(1-\cos2(\theta_1-\theta_2))\geq0, $ 则公式 (3.14) 中的 $q^{[2]}$ 是光滑的. 暗的 2 孤子解的图像及其投影图见图 2.

图 2

图 2 2暗孤子在参数 $a=0.8,c=1,\theta_1=\frac{\pi}{3},\theta_2=-\frac{\pi}{3}$ 时图像(左)及投影图(右)

情形3   在公式 (3.10) 中取$ N=3,$ 得暗的 3 孤子解为 \begin{eqnarray}\label{dark3s} & &q^{[3]}=onumber\\ & &\scriptsize {\frac{\left|\begin{array}{cccc} C_1+\sigma(f_1,f_1)&\sigma(f_1,f_2)&\sigma(f_1,f_3)& c(1+{\rm i}{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_1}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_1)}\\ \sigma(f_1,f_2)&C_2+\sigma(f_2,f_2)&\sigma(f_2,f_3)&c(1+{\rm i}{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_2}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_2)}\\ \sigma(f_1,f_3)&\sigma(f_2,f_3)&C_3+\sigma(f_3,f_3)&c(1+{\rm i}{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_3}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_3)}\\ c({\rm i}-{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_1}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_1)}& c({\rm i}-{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_2}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_2)}& c({\rm i}-{\rm e}^{-2{\rm i}\theta_3}){\rm e}^{{\rm i}\rho/2+d(\lambda_3)}& c{\rm e}^{{\rm i}\rho} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} C_1+\sigma(f_1,f_1)&\sigma(f_1,f_2)&\sigma(f_1,f_3)\\ \sigma(f_1,f_2)&C_2+\sigma(f_2,f_2)&\sigma(f_2,f_3)\\ \sigma(f_1,f_3)&\sigma(f_2,f_3)&C_3+\sigma(f_3,f_3)\end{array}\right|}},onumber\\ \tag{3.15} \end{eqnarray} 其中 $C_j=-\frac{c(c+\lambda_j+\frac{1}{2}a)}{c_1(\lambda_j)}$,$\sigma(f_j,f_j)$ 和 $\sigma(f_j,f_k)$ 由公式 (3.9) 给出.暗的 3 孤子解的图像及其投影图见图 3.

图 3

图 3 3暗孤子在参数 $a=-0.9,c=1,\theta_1=\frac{\pi}{6},\theta_2=-\frac{\pi}{8}, \theta_3=-\frac{\pi}{3}$ 时图像(左)及投影图(右)