Processing math: 4%

数学物理学报, 2025, 45(3): 756-766

一类 Klein-Gordon-Maxwell 系统解的存在性和多重性

段誉, 孙歆,*

贵州工程应用技术学院理学院 贵州毕节 551700

Existence and Multiplicity of Solutions to a Class of Klein-Gordon-Maxwell Systems

Duan Yu, Sun Xin,*

College of Science, Guizhou University of Engineering Science, Guizhou Bijie 551700

通讯作者: *E-mail: sunxinwan3612@163.com

收稿日期: 2024-08-13   修回日期: 2025-01-13  

基金资助: 毕节市科学技术项目([2023]28)
毕节市科学技术项目([2023]52)

Received: 2024-08-13   Revised: 2025-01-13  

Fund supported: Bijie Scientific and Technological Program([2023]28)
Bijie Scientific and Technological Program([2023]52)

摘要

研究如下 Klein-Gordon-Maxwell 系统{Δu+V(x)u(2ω+ϕ)ϕu=f(x,u)+K(x)|u|s2u,xR3,Δϕ=(ω+ϕ)u2,xR3,其中 ω>0 是一个常数, 1<s<2.f 仅在原点附近满足局部条件时, 利用变分法和 Moser 迭代证明了系统解的存在性和多重性. 完善了此系统解研究的已有结果.

关键词: Klein-Gordon-Maxwell 系统; 变分法; Moser 迭代; 非平凡解

Abstract

This article concerns the following Klein-Gordon-Maxwell system {Δu+V(x)u(2ω+ϕ)ϕu=f(x,u)+K(x)|u|s2u,xR3,Δϕ=(ω+ϕ)u2,xR3, where ω>0 is a constant. When f satisfies local condition just in a neighborhood of the origin, existence and multiplicity of nontrivial solutions can be proved via variational methods and Moser iteration. Our result completes some recent works concerning research on solutions of this system.

Keywords: Klein-Gordon-Maxwell system; variational methods; moser iteration; nontrivial solutions

PDF (576KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

段誉, 孙歆. 一类 Klein-Gordon-Maxwell 系统解的存在性和多重性[J]. 数学物理学报, 2025, 45(3): 756-766

Duan Yu, Sun Xin. Existence and Multiplicity of Solutions to a Class of Klein-Gordon-Maxwell Systems[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(3): 756-766

1 引言

研究如下 Klein-Gordon-Maxwell 系统

{Δu+V(x)u(2ω+ϕ)ϕu=f(x,u)+K(x)|u|s2u,xR3,Δϕ=(ω+ϕ)u2,xR3,
(1.1)

其中 ω>0 是一个常数, 1<s<2, u,ϕ:R3R. 系统 (1.1) 起源于数学物理领域中的某些应用问题. 为了描述三维空间中非线性 Klein-Gordon 场与静电场之间相互作用所产生的孤立波问题, 文献 [1] 首次提出了如下 Klein-Gordon-Maxwell 系统模型

{Δu+[m20(ω+eϕ)2]u=|u|q2u,xR3,Δϕ=(eω+e2ϕ)u2,xR3
(1.2)

其中 0<ω<m0,4<q<6, m0e 分别表示粒子的质量和电量, 而 ω 表示相位.系统的未知因素是联系粒子的场 u 和电磁位势 ϕ. 有关此系统物理方面的详述可参见文献 [1,2]. 系统 (1.1) 作为系统 (1.2) 的一般情形, 近年来受到了众多学者的关注, 众多可解性条件被陆续给出, 如次线性条件[3,4], 渐近线性[5-7], 超线性条件H,[8-22]. 需要指出的是, 当非线性项是凹凸非线性项时, 文献 [23-26] 研究了系统 (1.1) 解的存在性和多重性, 其中凸项均要求在无穷远处满足超线性增长条件. 当 f 仅在原点附近满足局部条件而在无穷远处无任何增长性条件时, 本文利用变分法和 Moser 迭代给出了系统 (1.1) 解的存在性、多重性和集中性, 丰富了此系统的研究结果. 本文针对 Vf 做如下假设

(V) V(x)C(R3,R), V0:=inf;

(K_1) K(x)\in L^{\frac{2}{2-s}}(\mathbb{R}^{3}), 1< s<2;

(K_2) K(x)> 0, x\in \mathbb{R}^3;

(F_1) 设 \tau>0 是某一常数, f(x,t)\in C(\mathbb{R}^{3}\times (-\tau,\tau),\mathbb{R}), 且 \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{f(x,t)}{K(x)|t|^{s-1}}=0关于x\in \mathbb{R}^{3} 一致成立;

(F_2) f(x,-t)=-f(x,t) 关于任意的 (x,t)\in \mathbb{R}^{3}\times(-\tau,\tau) 成立.

本文的主要结果如下

定理 1.1 (i) 假设 (V), (K_1)-(K_2) 及 (F_1) 成立, 1< s<2, 则存在 D>0 使得当 \|K\|_{\frac{2}{2-s}}<D 时, 系统 (1.1) 至少存在一个非平凡解 \{(u,\phi_{u})\}\|u\|_{\infty}\leq C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}^{\frac{1}{2-s}}, \quad \lim \limits_{\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\rightarrow0}\|u\|=0, \quad \lim \limits_{\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\rightarrow0}\|\phi_{u}\|_{\mathcal{D}^{1,2}}=0.

(ii) 假设 (V), (K_1)-(K_2) 及 (F_1)-(F_2) 成立, 1< s<2, 则系统 (1.1) 存在一列负能量解.

注 1.1K 满足 K(x)\in L^{1}(\mathbb{R}^{3})\bigcap L^{\infty}(\mathbb{R}^{3}) 及 (K_2) 时, 文献 [27] 研究了 Schr\ddot{\rm o}dinger-Poisson 系统无穷多负能量解的存在性问题. 与文献 [27,定理 1.5] 相比, 本文在更弱的条件下, 考虑了 Klein-Gordon-Maxwell 系统解的存在性和多重性.

注 1.2 与文献 [23-26] 中关于非线性项 f 的假设不同的是, 本文对 f 在无穷远处无任何增长性条件要求.

2 预备知识

\begin{equation*} \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^3):=\bigg\{u\in L^{6}(\mathbb{R}^3): |\nabla u|\in L^{2}(\mathbb{R}^3)\bigg\}, \end{equation*}

其范数为\|u\|_{\mathcal{D}^{1,2}}=\big(\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2{\rm d}x\big)^{\frac{1}{2}}.

L^p(\mathbb{R}^3) 表示通常的 Lebesgue 空间, 其范数为

\begin{eqnarray*} \|u\|_p=\left(\int_{\mathbb{R}^3}|u|^p{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}},\ p\in[1,+\infty); \end{eqnarray*}
\|u\|_\infty=\mathrm{ess}\sup\limits_{x\in\mathbb{R}^3}|u(x)|.

定义

\begin{equation*} H=\bigg\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^3):\int_{\mathbb{R}^3}(|\nabla u|^2+V(x)u^2){\rm d}x<+\infty\bigg\}, \label{2.10001} \end{equation*}

其范数为

\|u\|=\bigg(\int_{\mathbb{R}^3}\big(|\nabla u|^2+V(x)u^2\big){\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}.

显然在条件 (V) 成立的情形下, 对任意的 2\leq p\leq6, 嵌入映射 H\hookrightarrow L^{p}(\mathbb{R}^3) 是连续映射. 故存在 S_ p>0,

\begin{equation*} \|u\|_p\leq S_ p\|u\|\ \ \forall u\in H. \label{2.01} \end{equation*}

引理 2.1[8]

对任何 u\in H^1(\mathbb{R}^3), 存在唯一的 \phi=\phi_u\in\mathcal{ D}^{1,2}(\mathbb{R}^3) 满足方程 \Delta \phi=(\omega+\phi)u^2.

(i) 在集合 \{x|u(x)\neq 0\}上, -\omega\leq \phi_u\leq 0;

(ii) \|\phi_u\|_{\mathcal{ D}^{1,2}}\leq C\|u\|^2,\int_{\mathbb{R}^3}| \phi_u|u^2{\rm d}x\leq C\|u\|^4.

由于 f 在无穷远处无任何增长性条件要求, 因此 \int_{\mathbb{R}^3}F(x,u){\rm d}x 在空间H 中无意义. 为了解决此困难, 受文献 [27,28] 的启发, 本文首先将 f 延拓成某一合适函数 \bar{f} 而确保 \int_{\mathbb{R}^3}\bar{F}(x,u){\rm d}x 在空间 H 中有意义; 其次利用 Moser 迭代说明修正系统的非零解的 L^\infty 范数比较小, 从而修正系统的解就是原系统的解.

\rho(t)\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) 是偶的截断函数, 其满足 \rho'(t)t\leq 0, |\rho'(t)|\leq \frac{a}{2}

\begin{equation*} \rho(t)=\begin{cases}1, \ \ \ \ \ \ \ \ |t|\leq a,\\ 0, \ \ \ \ \ \ \ \ |t|\geq 2a ; \label{4} \end{cases} \end{equation*}

其中 0< a< \frac{\tau}{2}.\theta>0 满足 0< \theta<\frac{2-s}{s}, 构造函数 \bar{F} 如下

\bar{F}(x,t)=\rho(t)F(x,t)+C(1-\rho(t))K(x)|t|^{s}, \ \ \ \bar{f}(x,t)=\bar{F}_t(x,t),

其中 0<C<\frac{\theta}{4}. 由文献 [27,引理4.1] 知, \bar{F} 满足如下性质

引理 2.2[27] 假设 (F_1) 成立, 则对任意的 0<\theta<\frac{2-s}{s}, 存在 0< a<\frac{\tau}{2}\bar{f}(x,t)\in C(\mathbb{R}^{3}\times\mathbb{R},\mathbb{R}) 使得 \bar{f}(x,t) 关于 t 是奇函数且满足

(i) 当 |t|\leq a 时, \bar{f}(x,t)=f(x,t);

(ii) \bar{f}(x,t)t-2\bar{F}(x,t)\leq \theta K(x)|t|^s, \forall (x,t)\in \mathbb{R}^{3}\times\mathbb{R}, 其中 \bar{F}(x,t)=\int^t_0\bar{f}(x,\xi){\rm d}\xi;

(iii) |\bar{F}(x,t)|\leq \frac{1}{2s}K(x)|t|^s, \forall (x,t)\in \mathbb{R}^{3}\times\mathbb{R}.

现考虑修正后的如下 Klein-Gordon-Maxwell 系统

\begin{equation} \begin{cases} -\Delta u+ V(x)u-(2\omega+\phi)\phi u=\bar{f}(x,u)+K(x)|u|^{s-2}u, & x\in \mathbb{R}^{3},\\ \Delta \phi=(\omega+\phi)u^2, & x\in \mathbb{R}^{3}. \end{cases}\label{1} \end{equation}
(2.1)

按照常规做法 (见文献 [8] 等) 知, 系统 (2.1) 对应的泛函为

I(u)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\big(|\nabla u|^2+V(x)u^2-\omega\phi_uu^2\big){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^3}\bar{F}(x,u){\rm d}x-\frac{1}{s}\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^s{\rm d}x, \ \forall u\in H.

由引理 2.1 及引理 2.2 知, I 在空间 H 上是有意义的, I\in C^1(H,\mathbb{R}). 类似于文献 [8,(2.5) 式] 的计算知, 对任意的 u,v\in H, 有

\begin{align*} \langle I^{'}(u), v\rangle&=\int_{\mathbb{R}^3}\big[\nabla u\cdot\nabla v+V(x)uv-(2\omega+\phi_u)\phi_uuv\big]{\rm d}x\\ & -\int_{\mathbb{R}^3}\bar{f}(x,u)v{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^{s-2}uv{\rm d}x. \end{align*}

由命题 3.5[1] 知, u 是泛函 I 的临界点当且仅当(u,\phi)\in H\times \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^3) 是系统 (2.1) 的解, 并且 \phi=\phi_u. 因此, 为了得到系统 (1.1) 非零解, 只需寻找泛函 IL^\infty 范数不超过 a 的非零临界点即可.

引理 2.3[29]

假设 X 是一个实 Banach 空间, I \in C^1(X,\mathbb{R}) 且满足 (PS) 条件. 若 I 是下方有界的, 则

c\equiv\inf\limits_{X}I 是泛函 I 的一个临界值.

引理 2.4[30]

假设 X 是一个 Banach 空间, I \in C^1(X,\mathbb{R}) 是偶泛函, 下方有界且满足 (PS) 条件, I(0)=0. 若对任意的 k\in \mathbb{N}, 存在有限维子空间 X^k\rho_k > 0 使得

\sup\limits_{X^k\cap S_{\rho_k}}I<0,

其中 S_{\rho_k}=\{u\in X: \|u\|=\rho_k\}, 则 I 有一列临界点 u_k\neq 0 满足 I(u_k)\leq 0, \|u_k\|\rightarrow 0, k\rightarrow \infty.

S:=\inf\limits_{u\in \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)\setminus \{0\}}\frac{\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2{\rm d}x}{(\int_{\mathbb{R}^3}|u|^6 {\rm d}x)^{\frac{1}{3}}}. 在本文中, C 表示正常数, 在不同的位置可表示不同的数值.

3 定理 1.1 的证明

为了证明定理 1.1, 下面给出两个引理.

引理 3.1 假设 (V), (K_1)-(K_2) 及 (F_1) 成立, 则 I(u) 是下方有界的且满足 (PS) 条件.

由引理 2.1 及引理 2.2 知,

\begin{equation*} \begin{split} \hspace{0.8cm}I(u)&=\frac{1}{2}\|u\|^2-\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\omega\phi_uu^2{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^3}\bar{F}(x,u){\rm d}x-\frac{1}{s}\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^s{\rm d}x\\ \hspace{0.8cm}&\geq \frac{1}{2}\|u\|^2-\frac{3}{2s}\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^s{\rm d}x \geq \frac{1}{2}\|u\|^2- C\|u\|^{s}. \end{split} \end{equation*}

结合 1< s<2 知: 当 \|u\|\rightarrow+\infty 时, I(u)\rightarrow+\infty. 进而知, I(u)H 中是下方有界的. 设 \{u_{n}\}\subset H 是泛函 I(PS) 序列, 即存在 M>0 满足

\begin{equation*} |I(u_n)|\leq M, I^{'}(u_n)\rightarrow 0, n\rightarrow\infty. \end{equation*}

I(u) 在空间 H 中是强制的易知, 序列 \{u_{n}\} 是有界的. 首先证明下述结论成立: 对任意的 \varepsilon>0, 存在 R(\varepsilon)>0n(\varepsilon)>0 使得当 R\geq R(\varepsilon), n\geq n(\varepsilon)

\begin{equation}\int_{|x|\geq 2R}\big(|\nabla u_n|^2+u_n^2 \big){\rm d}x< \varepsilon.\label{0} \end{equation}
(3.1)

对任意给定的 R>0, 令 \xi_R:\mathbb{R}^3\rightarrow[0,1] 是一个光滑的函数且满足

\begin{equation*} \xi_R(x)=\begin{cases}0,\ \ \ 0\leq|x|\leq R,\\ 1,\ \ \ |x|\geq 2R, \end{cases} \end{equation*}

\begin{equation*} |\nabla\xi_R(x)|\leq \frac{C}{R}, \ \ \ \ \forall x\in \mathbb{R}^3, \label{119} \end{equation*}

其中 C>0 是某个与 R 无关的常数. 类似于引理 3.4[31] 的证明知, 对任意的 \varepsilon>0, 存在 R(\varepsilon)>0n(\varepsilon)>0 使得当 R\geq R(\varepsilon), n\geq n(\varepsilon) 时有

\begin{equation} |\langle I^{'}(u_n),u_n\xi_R\rangle|\leq\varepsilon, \label{21} \end{equation}
(3.2)
\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^3}|u_n\nabla u_n\nabla\xi_R|{\rm d}x\leq \varepsilon, \label{22} \end{equation}
(3.3)
\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u_n|^{s}\xi_R{\rm d}x\leq \|K\|_{L^{\frac{2}{2-s}}(B^{c}_R(0))}S_2^s\|u_n\|^{s}<\varepsilon.\label{223} \end{equation}
(3.4)

由引理 2.2 及 \xi_R 的定义知

\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^3}\bar{f}(x,u_n)u_n\xi_R{\rm d}x\leq (\theta+\frac{1}{s})\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u_n|^s\xi_R{\rm d}x.\label{123} \end{equation}
(3.5)

由 (3.2)-(3.5) 式及引理 2.1(i) 知

\begin{equation} \left. \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\mathbb{R}^3}\big(|\nabla u_n|^2+V_0u_n^2)\xi_R{\rm d}x&\leq&\displaystyle \int_{\mathbb{R}^3}\big(|\nabla u_n|^2+V(x)u_n^2\big)\xi_R{\rm d}x\\[3mm] &\leq&\displaystyle -\int_{\mathbb{R}^3} u_n\nabla u_n\nabla\xi_R{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^3}(2\omega+\phi_{u_n})\phi_{u_n}u_n^2\xi_R{\rm d}x\\[3mm] &&\displaystyle +\int_{\mathbb{R}^3}\bar{f}(x,u_n)u_n\xi_R{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u_n|^{s}\xi_R{\rm d}x+\varepsilon\\[3mm] &\leq&\displaystyle (3+\theta+\frac{1}{s})\varepsilon. \label{24} \end{array} \right. \end{equation}
(3.6)

即 (3.1) 式成立.

其次证明: \{u_{n}\} 在空间 H 中存在强收敛的子列. 因为 \{u_{n}\}\subset H 是泛函 I 的有界 (PS) 序列, 所以存在 \{u_n\} 的一个子列 (不失一般性 仍记之为 \{u_n\})u\in H 使得

在空间H中, u_n\rightharpoonup u;在L_{\rm loc}^q(\mathbb{R}^3)(1\leq q < 6)中,u_n\rightarrow u;u_n(x)\rightarrow u(x) 关于a.e. x\in \mathbb{R}^3.

由于在 L_{\rm loc}^p(\mathbb{R}^3)(2\leq p<6) 中, u_n\rightarrow u, 故结合 (3.1) 式易知, 在空间 L^p(\mathbb{R}^3)(2\leq p<6) 中, u_n\rightarrow u, n\rightarrow\infty. 因为

\begin{equation}\label{2} \left. \begin{array}{rcl} \displaystyle \|u_n-u\|^2 &=&\displaystyle\langle I^{'}(u_n)-I^{'}(u), u_n-u\rangle+\int_{\mathbb{R}^3}\big(\bar{f}(x,u_n)-\bar{f}(x,u)\big)(u_n-u){\rm d}x\\ &&\displaystyle+2\omega\int_{\mathbb{R}^3}(\phi_{u_n}u_n-\phi_{u}u)(u_n-u){\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^3}(\phi^2_{u_n}u_n-\phi^2_{u}u)(u_n-u){\rm d}x\\ &&\displaystyle+\int_{\mathbb{R}^3}\big(K(x)|u_n|^{s-2}u_n-K(x)|u|^{s-2}u\big)(u_n-u){\rm d}x, \end{array} \right. \end{equation}
(3.7)

所以要证: u_n\rightarrow u( n\rightarrow\infty), 只需证明 (3.7) 式右端五项均收敛于零即可.

易知

\begin{equation}\label{3} \langle I^{'}(u_n)-I^{'}(u), u_n-u\rangle\rightarrow 0(n\rightarrow\infty). \end{equation}
(3.8)

由于对任意的 2\leq p< 6, 嵌入映射 H\hookrightarrow L^{p}(\mathbb{R}^3) 是紧映射, 故由引理 2.2 知,

\begin{aligned}\left|\int_{\mathbb{R}^{3}} \bar{f}\left(x, u_{n}\right)\left(u_{n}-u\right) \mathrm{d} x\right| &\leq\left(\theta+\frac{1}{s}\right) \int_{\mathbb{R}^{3}} K(x)\left|u_{n}\right|^{s-1}\left|u_{n}-u\right| \mathrm{d} x \\&\leq\left(\theta+\frac{1}{s}\right)\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\left\|u_{n}\right\|_{2}^{s-1}\left\|u_{n}-u\right\|_{2} \rightarrow 0.\end{aligned}
(3.9)

同理可证

\begin{equation}\label{5} \int_{\mathbb{R}^3}\bar{f}(x,u)(u_n-u){\rm d}x\rightarrow 0, \quad \int_{\mathbb{R}^3}\big(K(x)|u_n|^{s-2}u_n-K(x)|u|^{s-2}u\big)(u_n-u){\rm d}x\rightarrow 0, \end{equation}
(3.10)
\begin{equation}\label{06} 2\omega\int_{\mathbb{R}^3}(\phi_{u_n}u_n-\phi_{u}u)(u_n-u){\rm d}x\rightarrow 0,\quad \int_{\mathbb{R}^3}(\phi^2_{u_n}u_n-\phi^2_{u}u)(u_n-u){\rm d}x\rightarrow 0, (n\rightarrow\infty). \end{equation}
(3.11)

故由 (3.7)-(3.11) 式知: 在空间 H 中, u_n\rightarrow u( n\rightarrow\infty).

引理 3.2 假设 (V), (K_1)-(K_2) 及 (F_1) 成立, (u,\phi_u) 是系统 (2.1) 的弱解, 则存在常数 C>0 满足 \|u\|_{\infty}\leq C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}^{\frac{1}{2s}}\|u\|^{\frac{3s-2}{2s}}.

因为 (u,\phi_u) 是系统 (2.1) 的非平凡弱解, 所以

\begin{array}{l}\int_{\mathbb{R}^{3}}\left[\nabla u \cdot \nabla v+V(x) u v-\left(2 \omega+\phi_{u}\right) \phi_{u} u v\right] \mathrm{d} x \\-\int_{\mathbb{R}^{3}} \bar{f}(x, u) v \mathrm{~d} x-\int_{\mathbb{R}^{3}} K(x)|u|^{s-2} u v \mathrm{~d} x=0, \forall v \in H.\end{array}
(3.12)

对任意的 m\in \mathbb{N}, \beta>1, 定义 A_m=\{x\in\mathbb{R}^3:|u|^{\beta-1}\leq m\}, B_m=\mathbb{R}^3\backslash A_m

\begin{equation*} u_m=\begin{cases}u|u|^{2(\beta-1)}, \ \ \ \ \ x\in A_m,\\ m^2u, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\in B_m. \end{cases} \end{equation*}

易知 u_m\in H, u_m\leq|u_m|\leq |u|^{2\beta-1},

\begin{equation}\label{7} \begin{split} \hspace{0.8cm}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u_{m}\cdot\nabla u{\rm d}x&=\int_{A_m}(2\beta-1)|u|^{2(\beta-1)}|\nabla u|^2{\rm d}x+\int_{B_m}m^{2}|\nabla u|^2{\rm d}x\\ \hspace{0.8cm}&\geq\int_{A_m}(2\beta-1)|u|^{2(\beta-1)}|\nabla u|^2{\rm d}x. \end{split} \end{equation}
(3.13)

\begin{equation*} \eta_m=\begin{cases}u|u|^{(\beta-1)}, \ \ \ \ \ x\in A_m,\\ mu, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\in B_m. \end{cases} \end{equation*}

\eta_m^2=uu_m\leq |u|^{2\beta},

\begin{equation}\label{8} \int_{\mathbb{R}^3}\big(V(x)uu_m-(2\omega+\phi_{u})\phi_{u}uu_m\big){\rm d}x= \int_{\mathbb{R}^3}\big(V(x)\eta_m^2-(2\omega+\phi_{u})\phi_{u}\eta_m^2\big){\rm d}x\geq0, \end{equation}
(3.14)
\begin{equation}\label{07} \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla\eta_m|^2{\rm d}x = \int_{A_m}\beta^2|u|^{2(\beta-1)}|\nabla u|^2{\rm d}x+\int_{B_m}m^{2}|\nabla u|^2{\rm d}x. \end{equation}
(3.15)

由 (3.13)-(3.15) 式知

\begin{equation}\label{1001} \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla\eta_m|^2{\rm d}x- \int_{\mathbb{R}^3}\nabla u_m\cdot\nabla u{\rm d}x= (\beta-1)^2 \int_{A_m}|u|^{2(\beta-1)}|\nabla u|^2{\rm d}x, \end{equation}
(3.16)
\begin{equation}\label{110} \left. \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{A_m}(2\beta-1)|u|^{2(\beta-1)}|\nabla u|^2{\rm d}x&\leq&\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u_{m}\cdot\nabla u{\rm d}x\\ &\leq&\displaystyle \int_{\mathbb{R}^3}\big(\nabla u_{m}\cdot\nabla u+V(x)uu_m-(2\omega+\phi_{u})\phi_{u}uu_m\big){\rm d}x. \end{array} \right. \end{equation}
(3.17)

从而由 (3.12) 式及 (3.16)-(3.17) 式知

\begin{equation}\label{102} \left. \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla\eta_m|^2{\rm d}x&=&\displaystyle \int_{\mathbb{R}^3}\nabla u_m\cdot\nabla u{\rm d}x+ (\beta-1)^2 \int_{A_m}|u|^{2(\beta-1)}|\nabla u|^2{\rm d}x \\&\leq&\displaystyle \frac{\beta^2}{2\beta-1}\int_{\mathbb{R}^3}\big(\nabla u_m\cdot\nabla u+V(x)uu_m-(2\omega+\phi_{u})\phi_{u}uu_m\big){\rm d}x\\ &\leq&\displaystyle\beta^2\int_{\mathbb{R}^3}\bar{f}(x,u)u_m{\rm d}x+\beta^2\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^{s-2}uu_m{\rm d}x. \end{array} \right. \end{equation}
(3.18)

\begin{align*}\label{90} \bigg(\int_{A_m} |\eta_m|^6{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{3}}&\leq S^{-1}\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla\eta_m|^2{\rm d}x\\ &\leq S^{-1}\beta^2\int_{\mathbb{R}^3}\bar{f}(x,u)u_m{\rm d}x+S^{-1}\beta^2\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^{s-2}uu_m{\rm d}x. \end{align*}

进而结合引理 2.2, (K_1)-(K_2), |u_m|\leq |u|^{2\beta-1}\eta_m 的定义知

\begin{equation}\label{100} \left. \begin{array}{rcl} \displaystyle\bigg(\int_{A_m} |u|^{6\beta}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{3}}&\leq&\displaystyle S^{-1}\beta^2\int_{\mathbb{R}^3}\bar{f}(x,u)u_m{\rm d}x+S^{-1}\beta^2\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^{s-2}uu_m{\rm d}x\\ &\leq&\displaystyle(\frac{1}{s}+\theta+1)S^{-1}\beta^2\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^{s-1}|u_m|{\rm d}x\\ &\leq&\displaystyle(\frac{1}{s}+\theta+1)S^{-1}\beta^2\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\|u\|_{\frac{2[2(\beta-1)+s]}{s}}^{2(\beta-1)+s}. \end{array} \right. \end{equation}
(3.19)

C=(\frac{1}{s}+\theta+1)S^{-1}, 则 C>0. 在 (3.19) 式中取 m\rightarrow +\infty, 则由 Fatou 引理知

\bigg(\int_{\mathbb{R}^3} |u|^{6\beta}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{3}}\leq \big(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\big)\beta^2\|u\|_{\frac{2[2(\beta-1)+s]}{s}}^{2(\beta-1)+s},

\begin{equation}\label{007} \|u\|_{6\beta}\leq \big(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\big)^{\frac{1}{2\beta}}\beta^{\frac{1}{\beta}}\|u\|_{\frac{2[2(\beta-1)+s]}{s}}^{\frac{2(\beta-1)+s}{2\beta}}. \end{equation}
(3.20)

下面就 (3.20) 式利用 Moser 迭代说明 \|u\|_\infty\leq C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}^{\frac{1}{2s}}\|u\|^{\frac{3s-2}{2s}}. 定义 \beta_{0}=1, 6\beta_{n}=\frac{2[2(\beta_{n+1}-1)+s]}{s},n=0,1,2,\cdots. 易知如下结论成立

\frac{2\left(\beta_{n+1}-1\right)+s}{2 \beta_{n}}=\frac{3 s}{2}, \quad \beta_{n}=\left(\frac{3 s}{2}\right)^{n} \frac{2 s}{3 s-2}+\frac{s-2}{3 s-2},
(3.21)
\begin{equation}\label{23} \beta_{n}> 1(n\geq1), \quad\frac{2(\beta_{n}-1)+s}{2\beta_{n}}<1, \end{equation}
(3.22)
\frac{2\left(\beta_{n+1}-1\right)+s}{2 \beta_{n+1}}=\frac{3 s}{2} \frac{\beta_{n}}{\beta_{n+1}},(n=0,1,2, \cdots).
(3.23)

在 (3.20) 式中取 \beta=\beta_{1}, 则

\begin{equation}\label{012} \|u\|_{6\beta_{1}}\leq \big(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\big)^{\frac{1}{2\beta_{1}}}\beta_{1}^{\frac{1}{\beta_{1}}}\|u\|_{\frac{2[2(\beta_{1}-1)+s]}{s}}^{\frac{2(\beta_{1}-1)+s}{2\beta_{1}}}=\big(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\big)^{\frac{1}{2\beta_{1}}}\beta_{1}^{\frac{1}{\beta_{1}}}\|u\|_{6}^{\frac{2(\beta_{1}-1)+s}{2\beta_{1}}}. \end{equation}
(3.24)

在 (3.20) 式中取 \beta=\beta_{2}, 则结合(3.21)-(3.24) 式知

\begin{equation}\label{13} \left. \begin{array}{rcl} \displaystyle \|u\|_{6\beta_{2}}&\leq&\displaystyle \big(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\big)^{\frac{1}{2\beta_{2}}}\beta_{2}^{\frac{1}{\beta_{2}}}\|u\|_{\frac{2[2(\beta_{2}-1)+s]}{s}}^{\frac{2(\beta_{2}-1)+s}{2\beta_{2}}}\\ &=&\displaystyle \big(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\big)^{\frac{1}{2\beta_{2}}}\beta_{2}^{\frac{1}{\beta_{2}}}\|u\|_{6\beta_{1}}^{\frac{2(\beta_{2}-1)+s}{2\beta_{2}}}\\ &\leq&\displaystyle \big(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\big)^{\frac{1}{2\beta_{2}}+\frac{1}{2\beta_{1}}\frac{2(\beta_{2}-1)+s}{2\beta_{2}}}\beta_{2}^{\frac{1}{\beta_{2}}}\beta_{1}^{\frac{1}{\beta_{1}}}\|u\|_{6}^{\frac{2(\beta_{1}-1)+s}{2\beta_{1}}\cdot{\frac{2(\beta_{2}-1)+s}{2\beta_{2}}}}\\ &=&\displaystyle\big(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\big)^{\frac{1}{2\beta_{2}}+\frac{1}{2\beta_{2}}\frac{3s}{2}}\beta_{2}^{\frac{1}{\beta_{2}}}\beta_{1}^{\frac{1}{\beta_{1}}}\|u\|_{6}^{\frac{2(\beta_{1}-1)+s}{2\beta_{1}}\cdot{\frac{2(\beta_{2}-1)+s}{2\beta_{2}}}}\\ &=&\displaystyle \big(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\big)^{\sum\limits_{i=0}^{1}\frac{1}{2\beta_{2}}(\frac{3s}{2})^i}\prod\limits_{i=1}^{2}\beta_i^{\frac{1}{\beta_i}}\|u\|_{6}^{\prod\limits_{i=1}^{2}\frac{2(\beta_i-1)+s}{2\beta_i}}. \end{array} \right. \end{equation}
(3.25)

由 Moser 迭代知

\begin{equation}\label{104} \|u\|_{6\beta_n}\leq\big(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\big)^{\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2\beta_n}(\frac{3s}{2})^i}\prod\limits_{i=1}^{n}\beta_i^{\frac{1}{\beta_i}}\|u\|_{6}^{\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{2(\beta_i-1)+s}{2\beta_i}}. \end{equation}
(3.26)

由 (3.22)-(3.23) 式知,

\frac{1}{2}<\frac{2(\beta_{n+1}-1)+s}{2\beta_{n+1}}=\frac{3s}{2}\frac{\beta_{n}}{\beta_{n+1}}<1,

\begin{equation}\label{28} \frac{1}{(3s)^n}<\frac{1}{\beta_{n}}<(\frac{2}{3s})^n. \end{equation}
(3.27)

由(3.21) 式及 (3.23) 式知

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2\beta_n}(\frac{3s}{2})^i =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(\frac{3s}{2})^{n}-1}{2s(\frac{3s}{2})^{n}+s-2}= \frac{1}{2s},
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{2(\beta_i-1)+s}{2\beta_i}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{3s}{2})^n\frac{1}{\beta_n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(\frac{3s}{2})^n}{(\frac{3s}{2})^n\frac{2s}{3s-2}+\frac{s-2}{3s-2}}=\frac{3s-2}{2s}.

由 (3.27) 式知

\ln (\prod\limits_{i=1}^{n}\beta_i^{\frac{1}{\beta_i}})=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\ln \beta_i}{\beta_i}\leq \sum\limits_{i=1}^{n}(\frac{2}{3s})^i\ln (3s)^i=\sum\limits_{i=1}^{n}i(\frac{2}{3s})^i\ln (3s).

根据达朗贝尔判别法易知正项级数 \sum\limits_{i=1}^{\infty}i(\frac{2}{3s})^i\ln (3s) 是收敛的; 结合比较判别法知正项级数 \sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{\ln \beta_i}{\beta_i} 也是收敛的, 设其和为 \delta.\delta=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{\ln \beta_i}{\beta_i}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\ln \beta_i}{\beta_i}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\ln (\prod\limits_{i=1}^{n}\beta_i^{\frac{1}{\beta_i}})=\ln (\prod\limits_{i=1}^{\infty}\beta_i^{\frac{1}{\beta_i}}).

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\prod\limits_{i=1}^{n}\beta_i^{\frac{1}{\beta_i}}=\prod\limits_{i=1}^{\infty}\beta_i^{\frac{1}{\beta_i}}={\rm e}^{\delta}.

在 (3.26) 式令 n\rightarrow+\infty, 则

\begin{equation*}\label{15} \|u\|_{\infty}\leq\bigg(C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\bigg)^{\frac{1}{2s}}{\rm e}^{\delta}\|u\|_{6}^{\frac{3s-2}{2s}}\leq C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}^{\frac{1}{2s}}\|u\|^{\frac{3s-2}{2s}}. \end{equation*}

定理 1.1 的证明 (i) 显然 H 是实 Banach 空间. 由引理 3.1 知, I \in C^1(H,\mathbb{R}) 是下方有界的且满足 (PS) 条件, 定义其下确界为 c=\inf\limits_{H}I. 由引理 2.3 知, c 是泛函 I 的一个临界值. 即存在u\in H 使得 u 是泛函 I 的一个临界点且 I(u)=c. 现证明 u\neq 0\|u\|_\infty\leq a. 由引理 2.1 及引理 2.2 知, 对任意固定的 v\in H

\begin{equation*} \begin{split} \hspace{0.8cm}I(tv)&=\frac{t^2}{2}\|v\|^2-\frac{t^2}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\omega\phi_{tv}v^2{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^3}\bar{F}(x,tv){\rm d}x-\frac{t^s}{s}\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|v|^s{\rm d}x\\ \hspace{0.8cm}&\leq \frac{t^2}{2}\|v\|^2+\frac{t^2\omega^2}{2}\|v\|_2^2-\frac{t^s}{2s}\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|v|^s{\rm d}x. \end{split} \end{equation*}

结合 1< s<2 知, 当 t 充分小时, I(tv)<0. 从而 I(u)=c=\inf\limits_{H}I\leq I(tv)<0, u\neq0.

下证: \|u\|_\infty\leq a. 因为 (u,\phi_u) 是系统 (2.1) 的非平凡弱解, 所以由引理 2.1-2.2 知

\begin{align*} \|u\|^2&\leq\|u\|^2-\int_{\mathbb{R}^3}(2\omega+\phi_u)\phi_uu^2{\rm d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^3}\bar{f}(x,u)u{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^{s}{\rm d}x\leq (\frac{1}{s}+\theta+1)S_2^s\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\|u\|^{s}, \end{align*}

\begin{equation*}\label{3.29} \|u\|\leq (\frac{1}{s}+\theta+1)^{\frac{1}{2-s}}S_2^{\frac{s}{2-s}}\|K\|_{\frac{2}{2-s}}^{\frac{1}{2-s}}. \end{equation*}

从而结合引理 3.2 知

\|u\|_{\infty}\leq C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}^{\frac{1}{2s}}\|u\|^{\frac{3s-2}{2s}}\leq C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}^{\frac{1}{2s}+\frac{3s-2}{2s(2-s)}}=C\|K\|_{\frac{2}{2-s}}^{\frac{1}{2-s}}.

这意味着: 存在常数 D>0 使得当 \|K\|_{\frac{2}{2-s}}<D 时, \|u\|_{\infty}\leq a.\{(u,\phi_{u})\} 是系统 (1.1) 的一个非平凡解且当\|K\|_{\frac{2}{2-s}}\rightarrow0时, \|u\|\rightarrow 0,\|\phi_{u}\|_{\mathcal{D}^{1,2}}\leq C\|u\|^2\rightarrow 0;

(ii) 由引理 2.2 知, I是偶泛函, I(0)=0; 由引理 3.1 知, I 是下方有界的且满足 (PS) 条件. 故由引理 2.4 及引理 3.2 知, 只需证明如下结论成立即可

\sup\limits_{X^k\cap S_{\rho_k}}I<0.

事实上, 对任意的 k\in \mathbb{N}, 取 k 个线性无关的函数 e_1,\cdots, e_k \in C^\infty_0 (\mathbb{R}^3), 定义 X^k := span\{e_1, \cdots, e_k\}. 由 (K_2) 知, 在子空间 X^k 上可定义一个等价范数

\|u\|_{s,K}:=(\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^s{\rm d}x)^{\frac{1}{s}}.

由引理 2.1, 引理 2.2 及有限维空间范数等价性知, 对任意的 u\in X^k

\begin{equation*} \begin{split} \hspace{0.8cm} I(u)&=\frac{1}{2}\|u\|^2-\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\omega\phi_{u}u^2{\rm d}x-\frac{1}{s}\int_{\mathbb{R}^3}K(x)|u|^s{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^3}\bar{F}(x,u){\rm d}x\\ \hspace{0.8cm}&\leq \frac{1}{2}\|u\|^2+\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\omega^2u^2{\rm d}x-\frac{1}{2s}\|u\|_{s,K}^s\\ \hspace{0.8cm}&\leq C\|u\|^2-\frac{1}{2s}\|u\|_{s,K}^s. \end{split} \end{equation*}

1< s<2 知, 存在充分小的 \rho_k\in (0,1) 满足 I(u)\big|_{\|u\|= \rho_k}< 0. 从而有 \sup\limits_{X^k\cap S_{\rho_k}}I<0.

参考文献

Benci V, Fortunato D.

Solitary waves of the nonlinear Klein-Gordon equation coupled with the Maxwell equations

Rev Math Phys, 2002, 14(4): 409-420

[本文引用: 3]

Benci V, Fortunato D.

The nonlinear Klein-Gordon equation coupled with the Maxwell equations

Nonlinear Anal, 2001, 47(9): 6065-6072

[本文引用: 1]

Li L, Tang C L.

Infinitely many solutions for a nonlinear Klein-Gordon-Maxwell system

Nonlinear Anal, 2014, 110: 157-169

[本文引用: 1]

Jing Y T, Liu Z L.

Elliptic systems with a partially sublinear local term

J Math Study, 2015, 48(3): 290-305

[本文引用: 1]

Wang L X, Xiong C L, Zhao P P.

On the existence and multiplicity of solutions for nonlinear Klein-Gordon-Maxwell systems

Electron J Qual Theory Differ Equ, 2023, 19: 1-18

[本文引用: 1]

Liu X Q, Kang J C, Tang C L.

Existence and concentration of positive solutions for Klein-Gordon-Maxwell system with asymptotically linear nonlinearities

J Math Phys, 2022, 63( 4): 041513

段誉, 孙歆.

渐近线性 Klein-Gordon-Maxwell 系统正解的存在性

数学物理学报, 2022, 42A(4): 1103-1111

[本文引用: 1]

Duan Y, Sun X.

Existence of positive solutions for Klein-Gordon-Maxwell systems with an asymptotically linear nonlinearity

Acta Math Sci, 2022, 42A(4): 1103-1111

[本文引用: 1]

He X M.

Multiplicity of solutions for a nonlinear Klein-Gordon-Maxwell system

Acta Appl Math, 2014, 130(1): 237-250

[本文引用: 4]

Sun X, Duan Y, Liu J.

Existence and multiplicity of nontrivial solutions for 1-Superlinear Klein-Gordon-Maxwell system

Appl Math Lett, 2024, 157: 109167

D'Aprile T, Mugnai D.

Solitary waves for nonlinear Klein-Gordon-Maxwell and Schr\ddot{\rm o}dinger-Maxwell equations

Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics, 2004, 134( 5): 893-906

Wen X P, Chen C F.

Existence and asymptotic behavior of nontrivial solutions for the Klein-Gordon-Maxwell system with steep potential well

Electron J Qual Theory Differ Equ, 2023, 17: 1-18

Chen S T, Tang X H.

Infinitely many solutions and least energy solutions for Klein-Gordon-Maxwell systems with general superlinear nonlinearity

Comput Math Appl, 2018, 75(9): 3358-3366

李易娴, 张正杰.

一类与 Klein-Gordon-Maxwell 问题有关的方程组的基态解的存在性

数学物理学报, 2023, 43A(3): 680-690

Li Y X, Zhang Z J.

The Existence of ground state solutions for a class of equations related to Klein-Gordon-Maxwell systems

Acta Math Sci, 2023, 43A(3): 680-690

Miyagaki O H, de Moura E L, Ruviaro R.

Positive ground state solutions for quasicritical the fractional Klein-Gordon-Maxwell system with potential vanishing at infinity

Complex Variables and Elliptic Equations, 2019, 64: 315-329

DOI:10.1080/17476933.2018.1434625     

This paper deals with the fractional Klein-Gordon-Maxwell system when the nonlinearity has a quasicritical growth at infinity, where V(x) is bounded or involving zero mass potential, that is, when V(x) -> 0, as vertical bar x vertical bar -> infinity. The interaction of the behaviour of the potential and nonlinearity recover the lack of the compactness of Sobolev embedding in whole space. The positive ground state solution is obtained by proving that the solution satisfies the Mountain Pass level.

Xu L P, Chen H B.

Existence and multiplicity of solutions for nonhomogeneous Klein-Gordon-Maxwell equations

Electronic Journal of Differential Equations, 2015, 102: 1-12

Wu D L, Lin H X.

Multiple solutions for superlinear Klein-Gordon-Maxwell equations

Mathematische Nachrichten, 2020, 293: 1827-1835

Shi H X, Chen H B.

Multiple positive solutions for nonhomogeneous Klein-Gordon-Maxwell equations

Appl Math Comput, 2018, 337: 504-513

Liu X Q, Chen S J, Tang C L.

Ground state solutions for Klein-Gordon-Maxwell system with steep potential well

Appl Math Lett, 2019, 90: 175-180

Wang L, Tang L Q, Sun J J.

Infinitely many sign-changing solutions for a kind of fractional Klein-Gordon-Maxwell system

Fractional Calculus and Applied Analysis, 2023, 26(2): 672-693

Liu X Q, Tang C L.

Infinitely many solutions and concentration of ground state solutions for the Klein-Gordon-Maxwell system

J Math Anal Appl, 2022, 505( 2): 125521

Gan C L, Xiao T, Zhang Q F.

Improved results of nontrivial solutions for a nonlinear nonhomogeneous Klein-Gordon-Maxwell system involving sign-changing potential

Adv Differ Equ, 2020, 167: 1-16

Chen S J, Song S Z.

Multiple solutions for nonhomogeneous Klein-Gordon-Maxwell equations on \mathbb{R}^3

Nonlinear Anal RWA, 2015, 22: 259-271

[本文引用: 1]

Wei C Q, Li A R.

Existence and multiplicity of solutions for Klein-Gordon-Maxwell systems with sign-changing potentials

Adv Differ Equ, 2019, 72: 1-11

[本文引用: 2]

段誉, 孙歆.

带有凹凸非线性项的 Klein-Gordon-Maxwell 系统解的存在性和多重性

应用数学, 2022, 35(1): 120-127

Duan Y, Sun X. Existence and multiplicity of solutions for Klein-Gordon-Maxwell systems with concave-convex nonlinearities, Mathmatic Applicata, 2022, 35(1): 120-127

谢苏静, 黄文念.

一类 Klein-Gordon-Maxwell 方程无穷多解的存在性

高校应用数学学报, 2018, 33A(3): 315-323

Xie S J, Huan W N.

Existence of infinitely many solutions for a Klein-Gordon-Maxwell system

Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities, 2018, 33A(3): 315-323

陈丽珍, 李安然, 李刚.

带有次线性项和超线性项的 Klein-Gordon-Maxwell 系统多重解的存在性

数学物理学报, 2017, 37A(4): 663-670

[本文引用: 2]

Chen L Z, Li A R, Li G.

Existence of infinitely many solutions to a class of Klein-Gordon-Maxwell system with superlinear and sublinear terms

Acta Math Sci, 2017, 37A(4): 663-670

[本文引用: 2]

Sun M Z, Su J B, Zhao L G.

Solutions of a Schr\ddot{\rm o}dinger-Poisson system with combined nonlinearities

J Math Anal Appl, 2016, 442(2): 385-403

[本文引用: 5]

Wang Z Q.

Nonlinear boundary value problems with concave nonlinearitiesnear the origin

Nonlinear Differ Equ Appl, 2001, 8: 15-33

[本文引用: 1]

Rabinoeitz P H.

Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations

Providencn, RI: American Mathematical Society, 1986

[本文引用: 1]

Liu Z L, Wang Z Q.

On Clark's theorem and its applications to partially sublinear problems

Ann Inst H Poincar\acute{e} Anal Non-Lineaire, 2015, 32(5): 1015-1037

[本文引用: 1]

Sun J T, Chen H B, Nieto J J.

On ground state solutions for some non-autonomous Schr\ddot{\rm o}dinger-Poisson systems

J Differential Equations, 2012, 252(5): 3365-3380

[本文引用: 1]

/