具有阻尼项的粘弹性波动方程解的高能爆破

具有阻尼项的粘弹性波动方程解的高能爆破

李倩^,^*, 邢艳元^,

长治学院数学系山西长治 046011

Finite Time Blow up of Solutions for Nonlinear Wave Equation with the Damping Term at Arbitrarily Positive Initial Energy

Li Qian^,^*, Xing Yanyuan^,

Department of Mathematics, Changzhi University, Shanxi Changzhi 046011

通讯作者: ^*E-mail: liqian206@outlook.com

收稿日期: 2024-08-19 修回日期: 2024-10-28

基金资助:

山西省应用基础研究计划项目(202203021222332)
山西省应用基础研究计划项目(202103021223379)

Received: 2024-08-19 Revised: 2024-10-28

Fund supported:

Fundamental Science Research Projects of Shanxi Province(202203021222332)
Fundamental Science Research Projects of Shanxi Province(202103021223379)

作者简介 About authors

E-mail:czxyxyy@czc.edu.cn

摘要

研究了带有强阻尼项和线性弱阻尼项的粘弹性波动方程的初边值问题在高的初始能级状态下解的有限时间爆破. 利用了凹函数方法找到问题的解在任意正初始能级状态下爆破的充分条件.

关键词： 波动方程; 高初始能级; 爆破; 粘弹性项

Abstract

This paper studies the finite time blow up of solutions for a initial boundary value problem of a viscoelastic wave equation with the strong damping term and linear weak damping term at high initial energy level. By using the concavity method, we obtain some new sufficient conditions on initial data such that the solution with arbitrarily positive initial energy blows up in finite time.

Keywords： wave equation; high initial energy; finite time blow up; viscoelastic term

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本文引用格式

李倩, 邢艳元. 具有阻尼项的粘弹性波动方程解的高能爆破[J]. 数学物理学报, 2025, 45(3): 748-755

Li Qian, Xing Yanyuan. Finite Time Blow up of Solutions for Nonlinear Wave Equation with the Damping Term at Arbitrarily Positive Initial Energy[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(3): 748-755

1 引言

本文研究了如下带有强阻尼项和线性弱阻尼项的粘弹性波动方程的初边值问题

$\left\{\begin{array}{ll}u_{t t}-\Delta u+\int_{0}^{t} g(t-\tau) \Delta u(\tau) \mathrm{d} \tau-\Delta u_{t}+u_{t}=|u|^{p-2} u, & (x, t) \in \Omega \times(0,+\infty), \\u(x, t)=0, & (x, t) \in \partial \Omega \times(0,+\infty), \\u(x, 0)=u_{0}(x), u_{t}(x, 0)=u_{1}(x), & x \in \Omega,\end{array}\right.$

(1.1)

解的有限时间爆破, 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ $(n\geq 1)$ 中具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界区域, $g$ 为松弛函数, $\Delta$ 是 $n$ 维 Laplace 算子, $u_0, u_1$ 是给定的初始数据. 参数 $p$ 满足

$\begin{array}{l}2<p<\infty, \quad n=1,2 \\2<p \leq \frac{2 n}{n-2}, \quad n \geq 3\end{array}$

(1.2)

系统 (1.1) 描述了弹性梁在轴向力的拉伸或挤压下的动态形变. 其中的未知函数 $u(x,t)$ 描述了可拉伸梁的横向偏移, 耗散项 $\Delta u_t$ 和 $u_t$ 表示系统所受的摩擦力, 非线性源项 $|u|^{p-2}u$ 表示系统所受的外力. 波动方程解的整体存在性和不存在性已经被很多学者进行了研究. 在文献 [2] 中, Gazzola 和 Squassina 研究了如下波动方程初边值问题

$\begin{equation}\label{s3} u_{tt}-\Delta u-\omega\Delta u_t+\mu u_t=|u|^{p-2}u, \end{equation}$

(1.3)

作者应用位势井理论, 得到了在低的初始能级状态下, 解整体存在和不存在的门槛条件, 并且在 $\omega=0$ 的情况下, 得到了解在高的初始能级状态下在有限时间内发生爆破的充分条件. 受该文献的启发, 之后很多学者研究了带有强阻尼项的波动方程解的爆破问题. 如苏晓和王书彬在文献 [19] 中研究了方程 (1.3) 的初边值问题在 $\omega>0$ 的情况下解的动力学行为, 在一定的条件下, 得到了解在任意正的初始能级状态下在有限时间爆破的充分条件, 并且给出了在任意正初始能量状态下解在能量空间中整体存在的充分条件. 在文献 [23] 中, 徐润章和杨延冰研究了一类带有色散项和强阻尼项的波动方程解的爆破性质. 作者通过构造恰当的辅助函数, 应用凹函数方法得到了解在高的初始能级状态下在有限时间发生爆破的充分条件. 在方程 (1.3) 中的非线性源项替换为对数源项的情况下, 徐润章等在文献 [10] 中在三种不同的能级 (次临界、临界和任意正初始) 状态下研究了带有对数源项的波动方程的初边值问题. 作者证明了弱解的局部存在性, 应用位势井理论, 在次临界能级状态下, 证明了解的整体存在与能量衰减, 并且将次临界能级状态下的所有结果平行的推广到临界能级状态下. 王焰金在文献 [20] 中改进了如上结果, 进一步研究了带有线性阻尼和非线性源项的粘弹性波动方程. 作者通过构造了恰当的辅助泛函, 应该凹函数的方法, 结合函数的单调性和一些分析技巧, 得到了解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在文献 [22] 中, 徐润章等研究了一类带有色散项、强阻尼项、线性弱阻尼项的粘弹性波动方程的初边值问题. 作者引入了位势井族得到了不变集, 得到了在低的初始能级状态下解整体存在和不存在的门槛条件, 在文献 [20] 的启发下, 证明了解在任意正初始能级状态下在有限时间内发生爆破.

在文献 [11] 中, Messaoudi 研究了如下形式的波动方程初边值问题

$\begin{equation}\label{ss3} u_{tt}-\Delta u+\int_{0}^{t}g(t-\tau)\Delta u(\tau){\rm d}\tau+u_t|u_t|^{m-2}=u|u|^{p-2}, \end{equation}$

(1.4)

证明了当 $p>m$ 的情况下, 问题的解在负的初始能级状态下在有限时间内发生爆破. 后来同一作者在文献 [12] 中推广了这一结果, 得到了在低的初始能量状态下解在有限时间发生爆破的条件. 最近宋海涛在文献 [16] 中应用反证法和凹函数的方法得到了问题 (1.4) 的解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在同一方向上, 李倩和贺罗飞在文献 [9] 中研究了问题 (1.1), 得到了解在低的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 相关的文献推荐读者还可阅读文献 [1,3,4,6 -8,15,18,21].

受上述文献的启发, 本文研究了问题 (1.1) 的解在高初始能级状态下发生爆破的问题. 通过构造恰当的辅助函数, 应用凹函数的方法和一些分析技巧推导出了解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 提高了已有文献 [9] 中的结果. 本文做了如下安排, 在第二部分给出了预备知识. 第三部分证明了高能爆破定理.

2 预备知识

在这一部分, 给出一些基本假设和相关引理定理. 首先, 对松弛函数做如下假定

(A) $g:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R}_{+}$ 是不增的可微的函数并且满足

$g'(\tau)\leq0, \quad 1-\int^{\infty}_{0}g(\tau){\rm d}\tau=l>0, \quad \int^{\infty}_{0}g(\tau){\rm d}\tau<\frac{\frac{p}{2}-1}{\frac{p}{2}-1+\frac{1}{2p}}.$

引入如下能量泛函

$\begin{align*} E(t)&:=\frac{1}{2}||u_t||^{2}_{2}+\frac{1}{2}(1-\int^t_0g(\tau){\rm d}\tau)||\nabla u||^2_2+\frac{1}{2}(g\circ\nabla u)(t)-\frac{1}{p}||u||^{p}_{p}. \end{align*}$

其中

$(g\circ \phi)(t)=\int^t_0g(t-\tau)||\phi(t)-\phi(\tau)||^2_2{\rm d}\tau.$

结合文献 [5,22] 中的方法, 可以推导出如下解的局部存在性定理, 在这里省略了证明.

定理 2.1 假定条件 (1.2) 与 (A) 成立, 设 $(u_0,u_1)\in H_0^1(\Omega)\times L^2(\Omega)$ . 则存在时间 $T>0$ , 使得问题 (1.1) 在 $[T]$ 上存在唯一的弱解

$\begin{align*} & u\in C([0,T);H^1_0(\Omega)), \\ & u_t\in C([0,T);L^2(\Omega))\cap L^2([0,T),H^1_0(\Omega)). \end{align*}$

引理 2.1^[9] 假定条件 (1.2) 和 (A) 成立. 设 $u$ 是初边值问题 $(1.1)$ 的解. 则能量函数 $E(t)$ 是非增的且有如下不等式成立

$\begin{equation}\label{zs1} \frac{ {\rm d}E(t)}{{\rm d}t}\leq-||\nabla u_t||^2_2-||u_t||^2_2\leq0,\quad \forall t\geq0. \end{equation}$

(2.1)

注 2.1 由如上引理我们可以得到如下能量不等式

$E(t) \leq E(0)-\int_{0}^{t}\left(\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2}+\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2}\right) \mathrm{d} \tau.$

(2.2)

引理 2.2^[17] 假定 $0<T\leq \infty$ , 函数 $\phi(t)$ 满足如下条件

$\phi(t)\in C^2,\quad \phi(t)\geq0, \quad t\in[0,T)$

并满足如下不等式

$\phi''(t)\phi(t)-(1+\gamma)(\phi'(t))^2\geq0, \quad t\in [0,T)$

其中 $\gamma>0$ . 若 $\phi(0)>0$ , $\phi'(0)>0$ 则 $T<\infty$ . 事实上存在 $t_*=\frac{\phi(0)}{\gamma\phi'(0)}$ , $T\leq t_*$ , 当 $t\rightarrow T$ , $\phi(t)\rightarrow \infty$ .

3 有限时间爆破

在这一小节给出解的高能爆破定理并给出证明, 证明主要使用了凹函数的方法和一些分析技巧.

定理 3.1 设 $(u_0,u_1)\in H_0^1(\Omega)\times L^2(\Omega)$ , 假定条件 (1.2) 与 (A) 成立, $u$ 是问题 (1.1) 的唯一弱解. 若 $E(0)>0$ 且

$\begin{equation}\label{s1} 2\int_\Omega u_0u_1{\rm d}x+||u_0||^2_2+||\nabla u_0||^2_2>\frac{2p}{\nu}E(0), \end{equation}$

(3.1)

则 $u(t)$ 在有限时间内爆破. 其中 $0<\varepsilon_1, \varepsilon_2<1$ 为待定的常数, $\lambda_1>0$ 是 $-\Delta$ 在 Dirichlet 边界条件下的第一特征值,

$\nu=\sup_{0<\varepsilon_1,\varepsilon_2<1}\nu(\varepsilon_1,\varepsilon_2),$

$\nu(\varepsilon_1,\varepsilon_2):=\min\{\sqrt{(p+2)\alpha\varepsilon_1\varepsilon_2\lambda_1}, \alpha\varepsilon_1(1-\varepsilon_2)\lambda_1, \alpha(1-\varepsilon_1)\},$

$\alpha:=(p-2)l-\frac{1}{p}(1-l)>0.$

证假设 $u(t)$ 是问题 (1.1) 的整体解. 令

$\begin{equation}\label{f} H(t):=2(u,u_t)+||u||^2_2+||\nabla u||^2_2-\frac{2p}{\nu}E(0), \end{equation}$

(3.2)

其中 $\nu$ 是一个常数随后给出. 对 $H(t)$ 关于 $t$ 求导可得

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} H(t)=2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+2\left(u, u_{t t}\right)+2\left(u, u_{t}\right)+2\left(\nabla u, \nabla u_{t}\right)$

(3.3)

方程 (1.1) 两边同乘以 $u$ 并在 $\Omega$ 上进行积分, 可得

$\left(u, u_{t t}\right)+\|\nabla u\|_{2}^{2}-\int_{0}^{t} g(t-\tau) \int_{\Omega} \nabla u(t) \nabla u(\tau) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau+\left(\nabla u, \nabla u_{t}\right)+\left(u, u_{t}\right)=\|u\|_{p}^{p}, t \in[0, \infty)$

(3.4)

将 (3.4) 式代入 (3.3) 式, 可得

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} H(t)=2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}-2\|\nabla u\|_{2}^{2}+2 \int_{0}^{t} g(t-\tau) \int_{\Omega} \nabla u(t) \nabla u(\tau) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau+2\|u\|_{p}^{p}$

(3.5)

估计等式 (3.5) 右边第三项, 可得

$\begin{aligned}& \int_{0}^{t} g(t-\tau) \int_{\Omega} \nabla u(t) \nabla u(\tau) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau \\= & \int_{0}^{t} g(t-\tau)\|\nabla u(t)\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t} g(t-\tau) \int_{\Omega} \nabla u(t)(\nabla u(\tau)-\nabla u(t)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau \\\geq & \int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\|\nabla u\|_{2}^{2}-\frac{p}{2}(g \circ \nabla u)(t)-\frac{1}{2 p} \int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\|\nabla u\|_{2}^{2}\end{aligned}$

(3.6)

将 (3.6) 式代入 (3.5) 式, 结合能量泛函 $E(t)$ 的定义, 可得

$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} H(t) \geq & 2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}-2\left(1-\int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}+2\|u\|_{p}^{p} \\& -p(g \circ \nabla u)(t)-\frac{1}{p} \int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\|\nabla u\|_{2}^{2} \\= & (p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+(p-2)\left(1-\int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\right)\|\nabla u\|_{2}^{2} \\& -\frac{1}{p} \int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(t)\end{aligned}$

(3.7)

结合能量不等式 (2.2), 可得

$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} H(t) \geq & (p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\left[(p-2) l-\frac{1}{p}(1-l)\right]\|\nabla u\|_{2}^{2} \\& -2 p E(0)+2 p \int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+2 p \int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau.\end{aligned}$

(3.8)

由条件

$\int_{0}^{\infty} g(\tau) \mathrm{d} \tau<\frac{\frac{p}{2}-1}{\frac{p}{2}-1+\frac{1}{2 p}}, \quad p>2$

(3.9)

可得

$\alpha:=(p-2) l-\frac{1}{p}(1-l)>0$

(3.10)

则 (3.8) 式可转化为

$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} H(t) & \geq(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0) \\& \geq(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha \varepsilon_{1}\|\nabla u\|_{2}^{2}+\alpha\left(1-\varepsilon_{1}\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0) \\& \geq(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha \varepsilon_{1} \lambda_{1}\|u\|_{2}^{2}+\alpha\left(1-\varepsilon_{1}\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0) \\& \geq(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \lambda_{1}\|u\|_{2}^{2}+\alpha \varepsilon_{1}\left(1-\varepsilon_{2}\right) \lambda_{1}\|u\|_{2}^{2}+\alpha\left(1-\varepsilon_{1}\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0)\end{aligned}$

(3.11)

其中 $0<\varepsilon_1, \varepsilon_2<1$ 为待定的常数, $\lambda_1>0$ 是 $-\Delta$ 在 Dirichlet 边界条件下的第一特征值.

由 Cauchy 不等式可得

$\begin{equation}\label{f9} (p+2)||u_t||^2_2+\alpha\varepsilon_1\varepsilon_2\lambda_1|| u||^2_2\geq2\sqrt{(p+2)\alpha\varepsilon_1\varepsilon_2\lambda_1}|(u_t,u)|. \end{equation}$

(3.12)

则不等式 (3.11) 可转化为

$\begin{aligned}H^{\prime}(t) & \geq 2 \sqrt{(p+2) \alpha \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \lambda_{1}}\left|\left(u_{t}, u\right)\right|+\alpha \varepsilon_{1}\left(1-\varepsilon_{2}\right) \lambda_{1}\|u\|_{2}^{2}+\alpha\left(1-\varepsilon_{1}\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0) \\& \geq \nu\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)\left[2\left|\left(u_{t}, u\right)\right|+\|u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}-\frac{2 p}{\nu\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)} E(0)\right] \\& \geq \nu\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)\left[2\left(u_{t}, u\right)+\|u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}-\frac{2 p}{\nu\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)} E(0)\right].\end{aligned}$

(3.13)

这里

$\begin{equation}\label{s} \nu(\varepsilon_1,\varepsilon_2):=\min\{\sqrt{(p+2)\alpha\varepsilon_1\varepsilon_2\lambda_1}, \alpha\varepsilon_1(1-\varepsilon_2)\lambda_1, \alpha(1-\varepsilon_1)\}. \end{equation}$

(3.14)

取

$\begin{equation}\label{s2} \nu=\sup_{0<\varepsilon_1,\varepsilon_2<1}\nu(\varepsilon_1,\varepsilon_2), \end{equation}$

(3.15)

则不等式 (3.13) 可写为

$H^{\prime}(t) \geq \nu\left(2\left(u_{t}, u\right)+\|u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}-\frac{2 p}{\nu} E(0)\right)=\nu H(t),$

(3.16)

即 $H(t)\geq H(0){\rm e}^{\nu t},\quad t\geq0.$

由假定条件 (3.1) 可知 $H(0)>0$ , 从而有

$\lim_{t\rightarrow+\infty}H(t)=+\infty.$

再次使用 Cauchy 不等式可知当 $t\rightarrow+\infty$ , 有

$\begin{equation} ||u_t||^2_2+||u||^2_2+||\nabla u||^2_2\rightarrow+\infty. \end{equation}$

(3.17)

由 Poincaré 不等式, 可得

$\begin{equation} ||u_t||^2_2+(1+\frac{1}{\lambda_1})||\nabla u||^2_2\rightarrow+\infty. \end{equation}$

(3.18)

为应用引理 2.2, 对 $\forall T_0>0$ , 定义如下辅助函数

$\phi(t):=\|u\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}\left(\|u(\tau)\|_{2}^{2}+\|\nabla u(\tau)\|_{2}^{2}\right) \mathrm{d} \tau+\left(T_{0}-t\right)\left[\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla u_{0}\right\|_{2}^{2}\right]$

(3.19)

其中 $T_0>0$ 表示足够大的时间, 显然 $\forall t\in[0,T_0)$ , 有 $\phi(t)>0$ . 对 $\phi$ 关于 $t$ 求导, 可得

$\begin{aligned}\phi^{\prime}(t) & =2\left(u, u_{t}\right)+\|u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}-\left[\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla u_{0}\right\|_{2}^{2}\right] \\& =2\left(u, u_{t}\right)+2 \int_{0}^{t}\left[\left(u(\tau), u_{\tau}(\tau)\right)+\left(\nabla u(\tau), \nabla u_{\tau}(\tau)\right)\right] \mathrm{d} \tau.\end{aligned}$

(3.20)

对 $\phi$ 关于 $t$ 求二阶导数并结合 (3.4) 式, 可得

$\begin{aligned}\phi^{\prime \prime}(t) & =2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+2\left(u, u_{t t}\right)+2\left(u, u_{t}\right)+2\left(\nabla u, \nabla u_{t}\right) \\& =2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}-2\|\nabla u\|_{2}^{2}+2 \int_{0}^{t} g(t-\tau) \int_{\Omega} \nabla u(t) \nabla u(\tau) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau+2\|u\|_{p}^{p}\end{aligned}$

(3.21)

将 (3.6) 式代入 (3.21) 式, 并应用 $E(t)$ 的定义, 可得

$\begin{aligned}\phi^{\prime \prime}(t) & \geq 2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}-2\left(1-\int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}-p(g \circ \nabla u)(t)-\frac{1}{p} \int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\|\nabla u\|_{2}^{2}+2\|u\|_{p}^{p} \\& =(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\left[(p-2) l-\frac{1}{p}(1-l)\right]\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(t)\end{aligned}$

(3.22)

应用能量不等式, 则上式可转化为

$\phi^{\prime \prime}(t) \geq(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0)+2 p\left[\int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau\right]$

(3.23)

由 (3.18) 式, 可知当 $t\rightarrow+\infty$ 时, 有

$\begin{equation} (p+2)||u_t||^2_2+\alpha||\nabla u||^2_2-2pE(0)\rightarrow+\infty. \end{equation}$

(3.24)

则存在 $0<\epsilon<1, \xi>0, T_*>0$ 使得

$\begin{equation} \min\{\epsilon(p+2), 2p\}>4+\xi, \end{equation}$

(3.25)

$\begin{equation} (p+2)||u_t||^2_2+\alpha||\nabla u||^2_2-2pE(0)>\epsilon\Big[(p+2)||u_t||^2_2+\alpha||\nabla u||^2_2\Big], \quad t>T_*. \end{equation}$

(3.26)

则由 (3.25) 式和 (3.26) 式, 可得

$\begin{aligned}\phi^{\prime \prime}(t) & >\epsilon\left[(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha\|\nabla u\|_{2}^{2}\right]+2 p \int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+2 p \int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau \\& >(4+\xi)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+2 p \int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+2 p \int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau \\& >(4+\xi)\left[\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau\right], \quad t>T_{*}\end{aligned}$

(3.27)

显然有 $\phi''(t)>0$ . 设 $\phi''(t)\geq(4+\xi)A_1$ , $\phi(t)\geq A_2$ , $A_3:=\frac{1}{2}\phi'(t)$ , 其中

$\begin{array}{l}A_{1}:=\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau, \\A_{2}:=\|u\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}\|u(\tau)\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t}\|\nabla u(\tau)\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau.\end{array}$

(3.28)

则有如下不等式

$\phi''(t)\phi(t)-\frac{4+\xi}{4}(\phi'(t))^2\geq(4+\xi)(A_1A_2-A_3^2).$

因为对任意的 $\theta\in \mathbb{R}$ 有

$A_{2} \theta^{2}-2 A_{3} \theta+A_{1}=\int_{\Omega}\left(\theta u-u_{t}\right)^{2} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{t}\left\|\theta u-u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t} \| \theta|\nabla u|-\left|\nabla u_{\tau}\right|| |_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau \geq 0$

(3.29)

则二次函数根的判别式 $A^2_3-A_1A_2\leq0.$ 由此可推出

$\begin{equation} \phi''(t)\phi(t)-\frac{4+\xi}{4}(\phi'(t))^2\geq0,\quad t\in[T_*, T_0]. \end{equation}$

(3.30)

最后由引理 2.6,可知当 $t>T_*$ , 有

$\lim_{t\rightarrow T}\phi(t)=+\infty$

这与假定 $u(t)$ 是方程的整体解矛盾, 则定理得证.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Chen

Y X

, Xu

R Z

Global well-posedness of solutions for fourth order dispersive wave equation with nonlinear weak damping, linear strong damping and logarithmic nonlinearity

Nonlinear Anal, 2020, 192: 1-39