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数学物理学报, 2025, 45(3): 702-706

关于带算子的一些性质

黄洁怡,, 程娜,*

西华大学理学院 成都 610039

Some Properties about Band Operators

Huang Jieyi,, Cheng Na,*

School of Science, Xihua University, Chengdu 610039

通讯作者: *E-mail: chengnaanna@126.com

收稿日期: 2024-05-17   修回日期: 2025-01-26  

基金资助: 国家自然科学基金(12301122)

Received: 2024-05-17   Revised: 2025-01-26  

Fund supported: NSFC(12301122)

作者简介 About authors

E-mail:hs836364617@126.com

摘要

该文首先给出带算子与保带算子、带算子与正交射之间的关系, 其次利用 Riesz 空间中的 rich center 性质给出可逆带算子的逆是带算子的条件.

关键词: 带算子; 带算子的逆; 中心理想; 保带算子

Abstract

The paper first gives the relationship between band operators and band preserving operators, band operators and orthomorphism, and second gives the condition that the inverse of an invertible band operator is a band operator by using the rich center property in Riesz spaces.

Keywords: band operator; inverse of band operator; ideal center; band preserving operator

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本文引用格式

黄洁怡, 程娜. 关于带算子的一些性质[J]. 数学物理学报, 2025, 45(3): 702-706

Huang Jieyi, Cheng Na. Some Properties about Band Operators[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(3): 702-706

1 引言

近年来, Riesz空间中算子的研究热度不断升高, 算子本身的性质以及算子之间的关系成为了一大热点. 算子的性质主要讨论了它的可逆性、保不交性、序有界性、正则性等; 算子之间的关系主要讨论了带算子与保不交算子、理想算子与序连续算子、理想算子与保不交算子、Maharam 算子与格同态算子、序有界算子与保不交算子等算子之间的关系. 算子性质的研究进一步促进了 Riesz 空间中算子理论的发展.

假设 EF 是 Riesz 空间, TEF 的线性算子. 若在 Ex1x2, 有 Tx1Tx2F 中成立, 称 T 是保不交算子. 在特殊算子性质的研究中, 保不交算子是学者们重点研究的特殊算子, 见参考文献 [1-5]. 而对于保不交算子的逆算子是否为保不交算子, 学者们进行了深入研究, 对此问题给出否定回答, 见参考文献 [1,6]. 2003 年, Turan[7] 为讨论保不交算子的逆算子的性质, 引入理想算子, 得到若 T 是双射逆理想算子, 则 T1 是保不交算子的结论.

在这之前, 首先引入中心理想的概念[8]: 由恒等算子 IOrth(E) 中生成的理想称为 E 的中心理想, 记作 Z(E), 即 Z(E)=\{T:E E: λR+,λITλI\}. 2007 年 Uyar[9] 回答了 Abramovich 和 Kitover 在文献 [1] 中提出的问题: 假设对 gZ(Y), T1gTZ(X) 可交换, 是否对 fZ(X), 有 TfT1Z(Y) 成立? Uyar 首先给出了这个问题的否定答案, 给出问题 8.1 的反例, 即: 假设 E=L1[a,b], F 是与 Ed-同构的向量格, 此时对 gZ(F), T1gTZ(E), 但对 fZ(E), TfT1Z(F). 因此他在文献 [9] 中引入带算子, 得到如下结论: 若 T:EF 是双射算子, 则以下成立 (1) 若 T 是带算子, 则对 gZ(F), T1gT 是保带算子. (2) 若 T1 是带算子, 则对 fZ(E), TfT1 是保带算子. 特别的, 若 Td-同构的, 则对 gZ(F),fZ(E), T1gT, TfT1 是保带算子.

2019 年, Turan 和 Özcan[10] 讨论了带算子和逆带算子的基本性质, 讨论了带算子与序连续算子、逆带算子与序有界保不交算子的关系.

2023 年, Özcan 和 Turan[8] 利用 Riesz 空间的 rich center 性质讨论逆理想算子的相关性质, 且给出理想算子、带算子和序有界保不交算子等价的条件.

文中所有 Riesz 空间都看作是 Archimedean-Riesz 空间, 其余没有解释的符号见文献 [11,12], 下面将给出一些重要的概念和定义.

EF 是 Riesz 空间, T:EF 是线性算子

定义 1.1[12] 当算子 T 使 T(B)BE 中每个带 B 都成立时, 称T 是保带算子, 记作 B(E).

定义 1.2[12] 序有界的保带算子称为 E 的正交射, 记作 Orth(E).

定义 1.3[13] (1) 若对 E 中的每个带 B, 都有 T(B)F 中的带, 则称T 是带算子;

(2) 若对 F 中的每个带 B, 都有 T1(B)E 中的带, 则称 T 是逆带算子.

但是带算子和逆带算子的集合都不是向量空间, 下面将给出反例

例 1.1 (1) 令 I 是恒等算子, 即 I(x,y)=(x,y), 算子 T:R2R2 定义为 T(x,y)=(0,x), (x,y) R2, 则 IT 都是带算子, 但I+T 不是带算子: B={(x,0):xR}R2 中的带, 而 (I+T)(B)={(x,x):xR} 不是 R2 中的带;

(2) 算子 T:R2R2 定义为 T(x,y)=(0,x), (x,y) R2 且和恒等算子 I 都是逆带算子, 但 I+T 不是逆带算子:B={(x,0):xR}R2 中的带, 而(I+T)1(B)={(x,x):xR} 不是 R2 中的带.

因此可说明两者的集合都不能构成向量空间.

定义 1.4[8]E 具有分离序对偶 E, 若对每个 x,yE 且满足 0xy, 存在一个 Z(E) 中的网 πα, 使得 0παI 且在 σ(E,E) 中有 πα(y)x 成立 (IE 上的恒等算子), 则称 E 有拓扑全中心.

定义 1.5[8] 若对每个 x,yE 满足 |x||y|, 存在中心理想 πZ(E), 使得 π(y)=x|π|I, 则称 Riesz 空间有 rich center 性质.

定义 1.6[10]E 上的每个保带算子是有界的, 则称 E 有有界保带性质.

注: 每个具有 rich center 性质的 Riesz 空间都有拓扑全中心. 我们用 B(E)c 表示在 L(E)B(E) 的交换式, 即 B(E)c=\{TL(E) : πB(E), Tπ=πT\}, 类似的, Z(E)c 将表示 Z(E)L(E) 中的交换式.

2 主要结果

文献 [14] 指出若 T(Bx)=BTx, 则 T1 是带算子. 本文利用 rich center 性质, 只需 T(Bx)BTx, 可以得到 T1 是带算子的结论.

引理 2.1EF 是 Riesz 空间, 并且 T:EF 是双射算子, 则有以下结论成立: QB(F),T1QTB(E)cRB(E),TRT1B(F)c.

" 令 RB(E)QB(F), 由假设, 可以得到

(TRT1)Q=(TRT1)QTT1=TR(T1QT)T1=T(T1QT)RT1=Q(TRT1)

因此有

TRT1B(F)c

" 令 QB(F)RB(E), 由假设, 可以得到

(T1QT)R=(T1QT)RT1T=T1Q(TRT1)T=T1(TRT1)QT=R(T1QT),

因此有

T1QTB(E)c.

引理 2.2EF 是 Riesz 空间, 并且 T:EF 是双射算子, 若 T 是带算子, 则对每个 QB(F), 有 T1QTB(E).

QB(F), 且 JE 是带, 由于 T 是带算子, 则有: T(J)F 中的带. 又因为 Q 是保带算子, 则有

Q(T(J))T(J),

通过这个式子, 可以得到

T1QT(J)T1T(J)=J,

因此有

T1QTB(E).

引理 2.3[8]E 是 Riesz 空间有 rich center 性质, 并且 T:EE 是线性算子, 若 TZ(E)c 中的元素, 则 T 是序有界保不交算子.

推论 2.1E 是 Riesz 空间有 rich center 性质, 并且 T:EE 是线性算子, 若 TB(E)c 中的元素, 则 T 是序有界保不交算子.

由于 Z(E)B(E), 有: B(E)cZ(E)c, 则由引理 2.3 可得上述结论.

若我们在序有界算子中定义中心理想的交换式, 将其记作 Z(E)bc, 即有Z(E)bc=\{TLb(E) : πZ(E), Tπ=πT\}. 假设 E 是 Riesz 空间且有分离序对偶以及拓扑全中心, 则由文献 [15] 有Z(E)bc=Orth(E).

引理 2.4EF 是 Riesz 空间, 并且 T:EF 是双射算子. 若对每个 RB(E), 都有 TRT1Orth(F) 成立, 则映射 h : B(E)Orth(F),Rh(R)=TRT1 是代数单射同态.

B(E) 中任意取两个算子 Q, R, 我们有以下等式

h(Q)h(R)=(TQT1)(TRT1)=TQRT1=h(QR).

因此可证得 h 是代数同态算子. 下面证明 h 是单射算子

假设 RB(E) 并且 h(R)=0, 取 xE, 由于 T 是双射算子, 则 y(F) 使得: T(x)=y, 因此有 x=T1(y). 得到

T(R(x))=TRT1(y)=h(R)(y),

T(R(x))=0,

R(x)=0, 就可以得到 R=0, 因此 R 是单射算子.

定理 2.1EF是Riesz空间有rich center性质, 并且E相对一致完备具有有界保带性质和投影性质. T:EF是双射算子, 若T是带算子, 则T1也是带算子.

由于 T:EF 是双射算子, 则由文献 [10] 知: T1 是带算子当且仅当 T 是逆带算子, 又因为 E 有投影性质, 因此我们只需要证明对 xE, 有 T(Bx)BTx 成立即可.

取任意 yBx, 不失一般性的, 我们取 |y||x|, 由于 E 有 rich center 性质, 则 RZ(E), 使得

R(x)=y,|R|I,

因此有

T(R(x))=T(y)TRT1(T(x))=T(y).

另一方面, 令 QZ(F), 由于 T 是带算子, 并且 Z(F)B(F), 则由引理 2.2 可得

T1QTB(E).

因为 B(E) 是可交换的, 令 T1QTB(E)c, 则由引理 2.1, 对 RB(E), 有

TRT1B(E)c,
(2.1)

根据推论 2.1, 可得 TRT1 是序有界算子, 则 TRT1B(F)bc.

由于 F 有 rich center 性质, 则得到 B(F)bcZ(F)bc=Orth(F), 因此, 可以根据 (2.1) 式定义一个映射

h:B(E)Orth(F),Rh(R)=TRT1,

根据引理 2.4 可以知道 h 是代数同态算子. 由于 E 有有界保带性质, 则 B(E) 是半素 f-代数, 并且 Orth(F) 也是半素 f-代数, 又因为 B(E) 是相对一致完备的, h:B(E)Orth(F) 是代数同态算子,则通过文献 [15,定理 5.1] 可知 h 是格同态算子, 因此有

|TRT1|=|h(R)|=h|R|=T|R|T1,

并且对 0|R|I, 有 0h|R|h(I)=I, 即: 0T|R|T1I

TRT1(T(x))=T(y), 有

|T(y)|=|TRT1(T(x))||TRT1||T(x)|=T|R|T1|T(x)||T(x)|,

|T(y)||T(x)|, 因此有 T(y)BTx.

从而 T 是正则逆带算子, 即 T1 是正则带算子, 由文献 [10] 即可得 T1 是带算子.

推论 2.2EF 是 Riesz 空间有 rich center 性质, T:EF 是双射算子

(1) 设 F 相对一致完备, 具有有界保带性质和投影性质, 若 T1 是带算子, 则 T 也是带算子;

(2) 设 EF 相对一致完备, 具有有界保带性质和投影性质, 则 T 是带算子当且仅当 T1 是带算子.

证 (1) 由假设, 用 T1 代替 T 有: (T1)1=T, 由定理 2.1 可得 T 是带算子;

(2) 由定理和 (1) 显然得证.

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If Double-struck capital R-n is partially ordered by a generating closed cone K, then (Double-struck capital R-n, K) is a pre-Riesz space. We show for a disjointness preserving bijection T on (Double-struck capital R-n, K) that the inverse of T is also disjointness preserving. We prove that for T there is k is an element of P(b) such that T (k) is band preserving, where b is the number of bands in (Double-struck capital R-n, K), and P(b) the set of orders of permutations on b symbols.

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