近年来, 齐型空间上 Besov 和 Triebel-Lizorkin 函数空间的相关研究得到了很大的发展, 因为这两个函数空间提供了统一的框架去研究一些经典的函数空间, 如 Lebesgue 空间, Hardy 空间等. 我们首先回顾一下 Coifman 与 Weiss 意义下的齐型空间 $(X, d, \mu)$ 的定义 (参见文献 [1,2]). 设 $X$ 是一个非空集合, 集合 $X$ 上的拟度量 $d$ 满足: 对于任意的 $x, y, z\in X,$ (i) $d(x,y)=0$ 当且仅当 $x=y$; (ii) $d(x,y)=d(y,x)$; (iii) 存在常数 $A_0\in [1,\infty)$, 使得

我们定义拟度量球 $B(x,r):= \{y \in X : d(y,x)< r \}$, 其中 $x\in X$, $r> 0$. 注意到, 拟度量 $d$ 可能不具有 Hölder 正则性, 且拟度量球可能不是开集. 集合 $X$ 上的测度 $\mu$ 满足双倍条件, 即: 如果存在一个常数 $C_{(\mu)}$, 使得对于任意的 $x\in X$, $r> 0$,

特别地, 由双倍条件 (1.2) 式可以得到, 存在正常数 $C_{(\mu)}$, 使得对任意的 $x \in X$, $\lambda \in [1,\infty)$, $r > 0$, 有

其中 $\omega:= \log_2 C_{(\mu)}$ 为 $X$ 的上维数. 为了建立 Coifman 与 Weiss 引入的 Hardy 空间的极大函数刻画, 通常需要对 Coifman 与 Weiss 意义下的齐型空间增加额外的假设. Macías 和 Segovia^[3] 证明了, 对任意拟度量空间 $(X, d)$, 存在一个与 $d$ 几何等价的拟度量 $d'$ 且 $d'$ 满足以下正则性

其中 $C$ 为正常数, $\vartheta \in (0,1)$, 均与 $x, x', y \in X$ 无关. 此外, 由这个新的拟度量 $d'$ 定义的球记为 $B'$, 即 $B'(x,r):= \{y \in X : d'(y,x)< r \}$, 如果测度 $\mu$ 满足以下性质

此时称满足 (1.4) 式 和 (1.5) 式 的齐型空间 $(X, d', \mu)$ 为 Ahlfors 正规齐型空间. 显然, 测度条件 (1.5) 式比 (1.2) 式强. Han, Müller 和 Yang^[4] 引入了另一类齐型空间, 称为 RD 空间, 其中拟度量 $d'$ 满足 (1.4) 式, 测度 $\mu$ 满足: 存在常数 $0<\kappa \leq \omega$ 以及 $c \in (0,1]$, 使得对任意的 $x \in X$, $0< r< \sup_{x, y \in X} d'(x, y)/2$ 以及 $1 \le \lambda< \sup_{x, y \in X} d'(x, y)/2$, 有

此时测度条件 (1.6) 式虽弱于 (1.5)式但仍强于 (1.2) 式. 相关空间的定义可以参见文献 [4-10].

关于齐型空间上的函数空间理论, 1994 年 Han 和 Sawyer^[11] 在 Ahlfors 正规齐型空间上引入了齐次 Besov 空间和齐次 Triebel-Lizorkin 空间. 关于 Besov 和 Triebel-Lizorkin 空间在 Ahlfors 正则齐型空间上的更多应用, 可以参见文献 [9,12,13]. 另一方面, Han, Müller 和 Yang^[4,14] 在 RD 空间上引入并研究了 Besov 空间和 Triebel-Lizorkin 空间. Grafakos 等^[15]系统地建立了 RD 空间上的 Besov 空间和 Triebel-Lizorkin 空间的多线性分析理论. 而在测度仅满足双倍条件的 Coifman 与 Weiss 意义下的齐型空间上, Besov 空间和 Triebel-Lizorkin 空间的研究也获得了很多发展.

另一方面, 多参数函数空间的研究也是现代调和分析理论发展的一个重要方向 (参见文献 [7,8,10,16-23]). 多参数理论始于 Zygmund 研究的强极大函数 (参见文献 [16]). 基于此, Müller, Ricci 和 Stein^[21,22] 研究了 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^n$ 上多参数结构的 $L^p$ 理论 ($1 < p <\infty$). Han 等^[19]构造了乘积小波再生公式, 该公式在试验函数的分布意义下成立. 对于加权的有界性, Fefferman^[18] 证明了如果 $w\in A_p(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m )$, $1 < p <\infty$, 则乘积奇异积分算子在 $L_w^p(\mathbb{R}^{n+m})$ 上有界. 对 $w\in A_{\infty}$, Ding 等^[17]人得到了 $H_w^p(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m )$ 上奇异积分算子的有界性. Lu 和 Zhu^[24] 将卷积算子的有界性扩展到加权的 Triebel-lizorkin 空间和加权的 Besov 空间. Zheng, Xiao 和 Tao^[8] 在欧氏空间上建立了乘积 Besov 空间和乘积 Triebel-Lizorkin 空间的刻画以及 Journé 类乘积奇异积分算子在这类空间上的有界性. Zheng, Xiao 和 Tao^[23] 在乘积 RD 空间上给出了乘积加权 Triebel-Lizorkin 空间和乘积加权 Besov 空间的 Plancherel-Pôlya 刻画及相关估计.

鉴于上述研究工作的基础, 我们自然可以问：以上工作在没有逆双倍条件的假设下是否也成立?即能否将 Ahlfors 正规齐型空间及 RD 空间上的相关研究推广到测度 $\mu$ 仅满足双倍条件及 $d$ 仅为原始拟度量的 Coifman 与 Weiss 意义下的齐型空间 $(X, d, \mu)$ 上? 受文献 [24] 在加权 Besov 空间和加权 Triebel-Lizorkin 空间上结果和文献 [8,10,23] 中关于乘积函数空间的结果的启发, 本文研究 Coifman 与 Weiss 意义下的齐型空间的乘积空间 $(X_1\times X_2, d_1\times d_2, \mu_1\times\mu_2)$, 建立该乘积空间上的乘积加权 Besov 空间和乘积加权 Triebel-Lizorkin 空间的 Plancherel-Pôlya 型刻画. 为此, 需给出Coifman 与 Weiss 意义下的齐型空间 $(X, d, \mu)$ 上的试验函数及乘积试验函数的相关定义, 下文中设 $x, y \in X$, $r >0$, $\gamma >0$, $s\in(-1,1)$ 和 \ $\epsilon \in(0,1]$, 简记 \ $V_r(x)=\mu(B(x,r))$, $V(x,y)=\mu(B(x,d(x,y)))$,

定义 1.1 试验函数^[4] 给定 $x_0\in X$, $\beta \in(0,1]$, $\gamma \in(0,\infty)$, 称定义于 $X$ 上的函数 $f$ 是中心在 $x_0$ 且宽度为 $r$ 的 $(\beta,\gamma)$ 型试验函数, 如果函数 $f$ 满足以下两个条件

(1) (尺寸条件)

(2) (光滑条件) 当 $d(x,y)\leq (2A_0)^{-1}[r+d(x_0,x)]$,

将中心在 $x_0 \in X$ 带有宽度 $r>0$ 的 $(\beta, \gamma)$ 型试验函数的集记为 $\mathcal{G}(x_0,r,\beta,\gamma)$. 若 $f \in \mathcal{G}(x_0,r,\beta,\gamma)$, 则其 $\mathcal{G}(x_0,r,\beta,\gamma)$ 范数定义为

也定义

则其相应的范数定义为

固定 $x_0 \in X$, $r=1$ 简记 $\mathring{\mathcal{G}}(x_0,1,\beta,\gamma)$ 为 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$.

命题 1.1 对所有的 $x\in X$, $\beta \in(0,1]$, $\gamma \in(0,\infty)$ 和 $r>0$, 在范数等价的意义下有 $\mathring{\mathcal{G}}(x,r,\beta,\gamma)=\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$, 且 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$ 是 Banach 空间.

证 首先验证 $\mathring{\mathcal{G}}(x,r_1,\beta,\gamma)=\mathring{\mathcal{G}}(x,r_2,\beta,\gamma)$, 其中 $x\in X, r_1>0,r_2>0$, $0< \beta \leq 1$, $\gamma >0$. 事实上, 若$f\in \mathring{\mathcal{G}}(x,r_1,\beta,\gamma)$, 我们有

这是因为对于任意的 $y, y'\in X$ 有

再估计$|f(y)-f(y')|$, 对于 $d(y,y')$ 可以再进行分类. 若 $d(y,y')\leq (2A_0)^{-1}[r_1+d(x,y)]$, 则可直接利用试验函数的光滑性估计; 若 $(2A_0)^{-1}[r_1+d(x,y)] \leq d(y,y')\leq (2A_0)^{-1}[r_2+d(x,y)]$, 则使用试验函数的尺寸条件, 由 $f$ 的 $\mathring{\mathcal{G}}(x,r_2,\beta,\gamma)$ 范数的定义, 不难证得不等式 (1.11).

类似我们可以验证 $\mathring{\mathcal{G}}(x,1,\beta,\gamma)=\mathring{\mathcal{G}}(x_0,1,\beta,\gamma)$, 其中 $x,x_0\in X$. 先考虑尺寸条件, 有

对于光滑性条件, 需要用类似的办法分类讨论. 综上证得, 对所有的 $x\in X$ 和 $r>0$, 在范数等价的意义下有 $\mathring{\mathcal{G}}(x,r,\beta,\gamma)=\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$.

其次证明 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$ 是 Banach 空间. 假定 $\{f_n(x)\}$ 是 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$ 中的 Cauchy 列, 则对固定的 $x$, $\forall \varepsilon >0$, $\exists N \in N^{+}$, 当 $n,m >N$ 时, 有

因此

所以我们可以找到极限函数 $f(x) := \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n(x)$. 进一步, 对任意 $x\in X$ 有

以及对 $x,y\in X$, 当 $d(x,y)\leq (2A_0)^{-1}[r+d(x_0,x)]$ 时, 有

只要选取充分小的 $\varepsilon$ 及相应的函数$f_n$. 这样即可得极限函数 $f(x)$ 满足试验函数的条件 (1.9) 和 (1.10), 因此 $f(x)$ 属于 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$, 而且 Cauchy 列 $\{f_n(x)\}$ 收敛于 $f(x)$. 从而证得 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$ 是 Banach 空间.

综上, 容易证得, 对所有的 $x\in X$ 和 $r>0$, 在范数等价的意义下有 $\mathring{\mathcal{G}}(x,r,\beta,\gamma)=\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$ 且 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$ 是 Banach 空间.

如果存在常数 $C$, 使得对任意的 $f\in \mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$ 有 $|\mathcal{L}(f)| \leq C\|f\|_{\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)}$, 则称 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$ 的线性泛函 $\mathcal{L}$ 是有界的.

$\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$ 的对偶空间 $(\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma))'$ 是从 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta,\gamma)$ 到 $\mathbb{C}$ 的全体有界线性泛函.

定义 1.2 (乘积试验函数^[19]) 设 $f(x,y)$ 是乘积空间 $X_1 \times X_2$ 上的函数, 设 $x_0 \in X_1$, $y_0 \in X_2$, $\gamma_i >0$, $r_i >0$, $\beta_i \in(0,1]$$(i=1,2)$. 若固定 $y\in X_2$, $f(x,y)$ 作为变量 $x$ 的函数, 是 $\mathcal{G}_1(x_0,r_1,\beta_1,\gamma_1)$ 中的一个试验函数. 固定 $x\in X_1,$$f(x,y)$ 作为变量 $y$ 的函数, 是 $\mathcal{G}_2(y_0,r_2,\beta_2,\gamma_2)$ 中的一个试验函数. 如果函数 $f(x,y)$ 满足以下三个条件

(i) 对于任意的 $y\in X_2$,

(ii) 对于任意的 $y, y'\in X_2$, $d_2(y,y')\leq (2A_0)^{-1}(r_2+d_2(y,y_0)$,

(iii) 在变量 $x$ 与 $y$ 交换时, 上式 (i) 和 (ii) 也成立, 则称定义于乘积空间 $X_1 \times X_2$ 上的函数 $f(x,y)$ 是中心在 $(x_0, y_0) \in X_1 \times X_2$ 带有宽度 $r_1, r_2>0$ 的 $(x_0,y_0;r_1,r_2;\beta_1,\beta_2; \gamma_1,\gamma_2)$ 型试验函数.

将中心在 $(x_0, y_0) \in X_1 \times X_2$, 带有宽度 $r_1, r_2>0$ 的 $(x_0,y_0;r_1,r_2;\beta_1,\beta_2; \gamma_1,\gamma_2)$ 型试验函数的全体记为 $\mathcal{G}(x_0,y_0;r_1,r_2; \beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$. 若 $f \in \mathcal{G}(x_0,y_0;r_1,r_2; \beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$, 则 $f$ 在空间 $\mathcal{G}(x_0,y_0;r_1,r_2; \beta_1,\beta_2; \gamma_1,\gamma_2)$ 中的范数定义为

定义 $\mathring{\mathcal{G}}(x_0,y_0;r_1,r_2;\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2) :=\{f\in \mathcal{G}(x_0,y_0;r_1,r_2; \beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2): \int_{X_1} f(x,y) {\rm d}\mu_1 (x) =0= \int_{X_2}f(x,y){\rm d} \mu_2 (y)\}$, 则其相应的范数定义为

固定 $(x_0,y_0)\in X_1 \times X_2$, 简记 $\mathring{\mathcal{G}}(x_0,y_0;1,1;\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$ 为 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$.

类似命题, 1.1 可以证得, 对所有的 $x\in X_1$, $y\in X_2$ 和 $r_1,r_2>0$, 在范数等价的意义下有

且 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$ 是 Banach 空间. 如果存在常数 $C$, 使得对任意的 $f\in \mathring{\mathcal{G}}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$ 有 $|\mathcal{L}(f)| \leq C\|f\|_{\mathring{\mathcal{G}}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)}$, 则称 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$ 的线性泛函 $\mathcal{L}$ 是有界的. $\mathring{\mathcal{G}}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$ 的对偶空间 $(\mathring{\mathcal{G}}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2))'$ 是从 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$ 到 $\mathbb{C}$ 的全体有界线性泛函.

设 $\eta_i \in (0,1)$, $\beta_i,\gamma_i,\in (0,\eta_i)$$(i=1,2)$. 定义 $\mathring{\mathcal{G}}_0^{\eta_1,\eta_2} ( \beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$ 为空间 $\mathring{\mathcal{G}}(\eta_1,\eta_2;\eta_1,\eta_2)$ 在空间 $\mathring{\mathcal{G}}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$ 中的闭包, 定义其范数为 $\| \cdot \|_{\mathring{\mathcal{G}}_0^{\eta_1,\eta_2}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)}=\| \cdot \|_{\mathring{\mathcal{G}}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)}$. 定义 $(\mathring{\mathcal{G}}_0^{\eta_1,\eta_2} ( \beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2))'$ 为 $\mathring{\mathcal{G}}_0^{\eta_1,\eta_2} ( \beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$ 的对偶空间.

为了给出乘积齐型空间上的离散型 Calderón 再生公式, 需要引入 Hytönen 和 Kairema 在齐型空间上建立的二进系统.

引理 1.1^[25,26] 给定常数 $0< c_0< C_0<\infty$, $\delta \in(0,1)$ 且 $12A_0^3C_0 \delta \leq c_0$. 对每一个 $k\in \mathbb{Z}$, 存在一组点集 $\mathcal{X}^k:=\{z_{\alpha}^k\subset X: \alpha \in \mathcal{A}_k\}$, 其中 $\mathcal{A}_k$ 是可数指标集, 有

(1) $d(z_{\alpha}^k,z_{\beta}^k)\geq c_0 \delta^k$, $\alpha \neq \beta$;

(2) 对于任意的 $x\in X$, $\min_{\alpha \in \mathcal{A}_k}d(x,z_{\alpha}^k)\leq C_0 \delta^k$;

进一步存在一个集族 $\{Q_{\alpha}^k:k \in \mathbb{Z}, \alpha \in \mathcal{A}_k\}$, 有

(3) 对于任意固定的 $k$, $\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}_k}Q_{\alpha}^k=X$, 以及 $\{Q_{\alpha}^k:\alpha \in \mathcal{A}_k\}$ 是不相交的;

(4) 对于任意的 $k,l,\alpha,\beta$, $k\leq l$, 则 $Q_ {\beta}^l\subset Q_{\alpha}^k$ 或 $Q_{\beta}^l \cap Q_{\alpha}^k=\varnothing$;

(5) 对于任意的 $k\in \mathbb{Z}$, $\alpha \in \mathcal{A}_k$, $B( z_{\alpha}^k,c_{\natural}\delta^k)\subset Q_{\alpha}^k\subset B(z_{\alpha}^k,C^{\natural}\delta^k)$, 其中 $c_ {\natural}:=(3A_0^2)^{-1}c_0$, $C^{\natural}:=2A_0C_0$, $z_{\alpha}^k$ 是 $Q_{\alpha}^k$ 的中心.

根据 $\{\mathcal{A}_k\}_{k \in \mathbb{Z}}$ 的构造, 我们可以进一步假设, 对任意的 $k \in \mathbb{Z}$, $\mathcal{X}^{k+1}\supset \mathcal{X}^{k}$. 因此我们可以设 $\mathcal{G}_k:=\mathcal{A}_{k+1}\backslash \mathcal{A}_k$ 以及 $\mathcal{Y}^k:=\{z_{\alpha}^{k+1}\}_{\alpha \in \mathcal{G}_k}=:\{y_{\alpha}^k\}_{\alpha \in \mathcal{G}_k}$. 下文中, 对任意的 $k \in \mathbb{Z}$ 与 $\alpha \in \mathcal{A}_k$, 用 $Q^{k, m}_{\alpha} \ ( m=1,2,\cdots,N(k,\alpha))$ 表示所有的 $Q^{k+j_0}_{\tau} \subset Q^{k}_{\alpha}$ 组成的集合, 其中 $\tau \in\mathcal{A}_{k+j_0}$, $j_0$ 是充分大的自然数. 用 $y^{k, m}_{\alpha}$ 表示 $Q^{k, m}_{\alpha}$ 的中心.

在此基础上, 为引入乘积试验函数空间上正交小波基表示的离散型 Calderón 再生公式, 我们先回顾一下由 Auscher 和 Hytönen 构造的 $L^2(X)$ 的正交小波基.

定义 1.3^[25] 存在常数 $a \in (0,1]$, $\eta \in(0,1)$, $C$, $v\in(0,\infty)$, 以及 $L^2(X)$ 上的正交小波基 $\{\psi_{\alpha}^k:k\in \mathbb{Z},\alpha \in \mathcal{G}_k\}$ 满足

(i) 对于任意的 $x\in X$,

(ii) 对于任意的 $x, x' \in X$, $d(x,x')\leq \delta^k$,

(iii)

进一步引进乘积齐型空间 $( X_1 \times X_2,d_1 \times d_2, \mu_1 \times \mu_2)$ 上的正交小波基. 对于任意的 $k_i \in \mathbb{Z}$, $\alpha_i \in \mathcal{G}_{k_i}$, $(x_1,x_2)\in X_1 \times X_2$, 设 $\psi_{\alpha_i}^{k_i}$$(i=1,2)$ 是定义 1.3 中的正交小波基, 记

称 $\psi^{k_1,k_2}_{\alpha_1,\alpha_2}$ 为乘积正交小波基.

为建立齐型空间上乘积加权 Besov 空间和乘积加权 Triebel-Lizorkin 空间, 我们先给出 Muckenhoupt 权的定义. 称局部可积非负函数 $w$ 是 $A_r(X)$ 权, 如果存在正常数 $C$ 使得

其中 $M$ 表示 Hardy-Littlewood 极大算子.当 $1\leq r <\infty$ 时,

下面给出乘积齐型空间上的强极大函数的定义.

定义 1.4^[8] 对于任意的 $f\in L_{\rm loc}^1(X_1\times X_2)$, 强极大函数 $\mathcal{M}_sf$ 定义为,

其中上确界取自包含 $x_1$ 的所有球 $B_1\subset X_1$, 包含 $x_2$ 的所有球 $B_2\subset X_2$ 以及 $\mu(B_1 \times B_2)=\mu_1(B_1) \times \mu_2(B_2)$.

现在我们引入乘积齐型空间上权函数的定义.

定义 1.5 (乘积齐型空间上的权函数^[23]) 对于任意的 $B_1 \times B_2$ 如(1.13) 式, $(x_1,x_2)\in X_1 \times X_2$, 当 $1< r<\infty$ 时, 有

则称 $X_1 \times X_2$ 上非负的局部可积函数 $w(x_1,x_2 )$ 是 $A_r(X_1\times X_2)$ 权.

当 $r=1$ 时, 有

则称 $w$ 是 $A_1(X_1\times X_2)$ 权.

当 $r=\infty$ 时, $A_{\infty}(X_1\times X_2)$ 权定义为

关于 $A_r(X_1\times X_2)$ 权, 文献 [23] 还给出了下列性质.

(i) 如果 $w(x_1,x_2 )\in A_r(X_1\times X_2)$, 则几乎处处的 $x_1\in X_1$, $w(x_1,\cdot )$ 是 $A_r(X_2)$ 权; 相似地, 几乎处处的 $x_2\in X_2$, $w(\cdot,x_2 )$ 是 $A_r(X_1)$ 权;

(ii) 当 $1< r< t<\infty$ 时, 有 $A_1\subset A_r\subset A_t\subset A_{\infty}$;

(iii) 下列加权 Fefferman-Stein 向量值不等式满足

$\int_{X_1\times X_2}| \mathcal{M}_s(\vec{f})(x)|^s_{\ell^n}w(x){\rm d}\mu(x)\leq C\int_{X_1\times X_2}| \vec{f}(x)|^s_{\ell^n}w(x){\rm d}\mu(x), 1< s,n<\infty,$ 其中 $w\in A_r(X_1\times X_2)$, $\vec{f} \in (f_1,f_2,\cdots )\in \ell^n$.

本文考虑 $w(x,y)$ 是 $A_r(X_1\times X_2)$ 权, $1\leq r<\infty$. 接下来, 我们给出乘积加权 Besov 空间与乘积加权 Triebel-Lizorkin 空间的定义.

定义 1.6 设 $w\in A_r(X_1 \times X_2)$, $r\geq 1$, $\psi^{k_1,k_2}_{\alpha_1,\alpha_2}$ 为 (1.12) 式中定义的乘积正交小波基,

(i) 对于 $p\in (\max \{ p( s_1,\beta_1 \wedge \gamma_1)r, p( s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2) r\},\infty]$ 和 $q\in(0,\infty]$, 若 $f\in \big( \mathring{\mathcal{G}}_0^{\eta_1,\eta_2}( \beta_1, \beta_2;\\ \gamma_1,\gamma_2) \big)'$ 且满足

其中 $\widetilde{\mathcal{X}}_{Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}}= \mathcal{X}_{Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}}/(\mu(Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}))^{\frac{1}{2}}$$(i=1,2)$, 则称 $f$ 属于乘积加权 Besov 空间, 记作 $f\in \dot{B}_{p,q,w}^{s_1,s_2}(X_1 \times X_2)$, 其范数如 (1.14) 式所定义;

(ii) 对于 $p\in ( \max\{ p( s_1,\beta_1 \wedge \gamma_1 )r, p( s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2 ) r \}, \infty )$, $q\in ( \max\{ p( s_1,\beta_1 \wedge \gamma_1 )r, p( s_2,\\\beta_2 \wedge \gamma_2 )r \}, \infty ]$, 若 $f\in \big( \mathring{\mathcal{G}}_0^{\eta_1,\eta_2}( \beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2) \big)'$ 且满足

则称 $f$ 属于乘积加权 Triebel-Lizorkin 空间, 记作 $f\in \dot{F}_{p,q,w}^{s_1,s_2}(X_1 \times X_2)$, 其范数如 (1.15) 式所定义.

本文主要的结果是在乘积齐型空间 $(X_1 \times X_2, d_1 \times d_2, \mu_1 \times \mu_2)$ 上建立如下乘积加权 Besov 空间和乘积加权 Triebel-Lizorkin 空间的 Plancherel-Pôlya 型等价性质.

定理1.1 设 $w\in A_r(X_1 \times X_2)$, $r\geq 1$, $\psi^{k_1,k_2}_{\alpha_1,\alpha_2}$ 和 $\varphi^{k_1,k_2}_{\alpha_1,\alpha_2}$ 均是 (1.12) 式中定义的乘积正交小波基, $\delta \leq (2A_0)^{-10}$, $\beta_i,\gamma_i \in (0,\eta_i)$$(i=1,2)$, 则对于任意的 $f\in (\mathring{\mathcal{G}}_0^{\eta_1,\eta_2}(\beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2))'$,

(i) 当 $s_i\in ( -(\beta_i \wedge \gamma_i ),\beta_i \wedge \gamma_i)$, $p\in ( \max\{ p( s_1, \beta_1 \wedge \gamma_1 )r, p( s_2, \beta_2 \wedge \gamma_2 )r\}, \infty ]$, $q\in (0,\infty]$, 有

(ii) 当 $s_i \in ( -(\beta_i \wedge\gamma_i), \beta_i \wedge \gamma_i)$, $p\in ( \max \{ p(s_1,\beta_1 \wedge \gamma_1)r, p(s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2)r\},\infty )$, $q\in ( \max \{ p(s_1,\beta_1 \wedge \gamma_1)r, p(s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2)r\},\infty ]$, 有

注 1.1 由上述定理 1.1 可知, 基于小波 $\psi_{\alpha_1,\alpha_2}^{k_1,k_2}$ 所定义的乘积加权 Besov 空间和乘积加权 Triebel-Lizorkin 空间的定义是独立于小波函数 $\psi_{\alpha_1,\alpha_2}^{k_1,k_2}$ 的选取. 定理 1.1 中对乘积加权 Besov 空间和乘积加权 Triebel-Lizorkin 空间的 Plancherel-Pôlya 型的等价性刻画, 即使退化到不加权的情形, 该结论也是新的.

本文的行文如下, 定理 1.1 的证明在第 2 节中给出. 记号 $C$ 表示正常数, 它在不同处可以取不同值. $a \lesssim b$ 表示存在常数 $C > 0$ 使得 $a\leq Cb$, 用 $a\simeq b$ 表示 $a \lesssim b \lesssim a$. 对于任意的 $s,t \in \mathbb{R}$, $s \wedge t$ 表示 $\min \{s,t\}$ 与 $s \vee t$ 表示 $\max\left\{s,t\right\}$. 当 $q \geq 1$ 时, $\frac{1}{q}+\frac{1}{q'}=1$.

在本节中, 我们先建立与乘积正交小波基相关的离散型乘积 Calderón 再生公式和一些相关估计.

设 $Q_k$ 是核函数 $Q_k(x,y)=\sum\limits_{\alpha \in \mathcal{G}_{k}}\psi^{k}_{\alpha}(x)\psi^{k}_{\alpha}(y)$ 的表示算子, 由于 $\psi^{k}_{\alpha}(x)$ 是 $L^2(X)$ 上的正交基, 因此有

其中 $I$ 是 $L^2(X)$ 中的恒等算子, 因此, 很容易看出下面引理中的乘积小波再生公式是成立的.

引理 2.1^[19] 设 $\psi^{k_1,k_2}_{\alpha_1,\alpha_2}$ 是如 (1.12) 式中定义的乘积正交小波基, 使得对任意的 $f\in\mathcal{G}_0^{\eta_1,\eta_2}( \beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2)$, 有

在 $( \mathring{\mathcal{G}}_0^{\eta_1,\eta_2}( \beta_1,\beta_2;\gamma_1,\gamma_2) )'$ 上成立, $\beta_i, \gamma_i \in (0, \eta_i)$, $\eta_i \in (0,1)$$(i=1,2)$.

引理 2.2^[8] 对于任意的 $p \in (0, 1]$ 和 \ $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}\subset \mathbb{C}$, 有

引理 2.3^[23] 设 $w\in A_p(X_1 \times X_2)$, $p\in(1,\infty)$ 和 $t\in(1,\infty]$, 那么对于任意的序列 $\{f_j\}_{j=1}^{\infty}$ 的可测函数, 有

为建立齐型空间上乘积加权 Besov 空间和乘积加权 Triebel-Lizorkin 空间的相关估计, 需建立下面的三个重要引理. 下文中引理 2.4 的单参情形下的相应结果参照文献 [27,引理 3.5].

引理 2.4 设 $\gamma_i\in(0,\infty)$, $p\in \big(\max \big\{\frac{\omega_1}{\omega_1+\gamma_1},\frac{\omega_2}{\omega_2+\gamma_2}\big\},1\big]$, 那么对于任意的 $k_1,k_1',k_2, k_2' \in \mathbb{Z}$, $\alpha_i \in \mathcal{G}_{k_i}$ 和 $m_i\in \{1,2,\cdots,N(k_i,\alpha_i)\}$, $(x_1,x_2)\in X_1 \times X_2$, $y_{\alpha_i}^{k_i,m_i} \in Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}$$(i=1,2)$, 有

证 对于任意的 $k_i,k_i' \in \mathbb{Z}$, $\alpha_i \in \mathcal{G}_{k_i}$, $m_i\in \{1,2,\cdots,N(k_i,\alpha_i)\}$ 以及 $z_i, \ y_{\alpha_i}^{k_i,m_i} \in Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}$$(i=1,2)$, 我们可以得到

和

对于任意的 $(x_1,x_2)\in X_1 \times X_2$, 通过这些估计和引理 1.1, 可得

对于情形 $I_1$. 由于 $d_i(x_i,z_i)<\delta^{k_i \wedge k'_i}$$(i=1,2)$, 有

和

通过这些估计可以得到

对于情形 $I_2$. 由 $l_2\in \mathbb{N}$ 以及 $d_2(x_2,z_2)\simeq 2^{l_2}\delta^{k_2 \wedge k_2'}\gtrsim \delta^{k_2 \wedge k_2'}$, 易得 $\delta^{k_2\wedge k_2'}+d_2(x_2,z_2)\simeq 2^{l_2}\delta^{k_2 \wedge k'_2}$ 和 $V_{\delta^{k_1 \wedge k_2'}}(x_2)+V(x_2,z_2)\simeq V_{2^{l_2}\delta^{k_2 \wedge k'_2}}(x_2)$. 通过这些估计和双倍条件 (1.3) 式, 可得

由于 $I_3$ 与 $I_2$ 的估计类似, 易得

结合 $I_2$ 与 $I_3$ 的估计, 类似地可以得到关于 $I_4$ 的估计, 得

最后, 根据级数收敛性可得

综上所述可得 (2.4) 式成立, 因此引理 2.4 证毕.

下文中引理 2.5 的单参情形下的相应结果参照 [27,引理 3.6].

引理 2.5 设 $\gamma_i\in(0,\infty)$, $t \in \big(\max \big\{\frac{\omega_1}{\omega_1+\gamma_1},\frac{\omega_2}{\omega_2+\gamma_2}\big\},1\big]$, 那么对于任意的 $k_i$, $k_i'\in \mathbb{Z}$, $\alpha_i \in \mathcal{G}_{k_i}$ 和 $m_i\in \{1,2,\cdots,N(k_i,\alpha_i)\}$, $(x_1,x_2)\in X_1 \times X_2$, $a_{\alpha_i}^{k_i,m_i} \in \mathbb{C}$ 和 $y_{\alpha_i}^{k_i,m_i} \in Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}$$(i=1,2)$, 有

证 对于任意的 $k_1,k_1',k_2,k_2'\in \mathbb{Z}$, $\alpha_i \in \mathcal{G}_{k_i}$, $m_i\in \{1,2,\cdots,N(k_i,\alpha_i)\}$ 以及 $z_i, y_{\alpha_i}^{k_i,m_i} \in Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}$, 我们可以得到 $\mu_i ( Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}) {\mathcal{X}}_{Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}}(z_i)\simeq V_{\delta^{k_i}}(z_i){\mathcal{X}}_{Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}}(z_i)$, 且通过双倍条件 (1.3) 式, 我们也可以得到 $V_{\delta^{k_i \wedge k'_i}}(z_i) \lesssim \delta^{( k_i \wedge k'_i-k_i)\omega_i }V_{\delta^{k_i}}(z_i)$$(i=1,2)$, 类似于引理 2.4 的证明, 有

至此完成了引理 2.5 的证明.

几乎正交估计是证明定理 1.1 的重要工具, 下文中引理 2.6 的单参情形下的相应结果参照文献 [p155]. 下面给出乘积小波函数族的几乎正交估计.

引理 2.6 设 $\psi^{k_1,k_2}_{\alpha_1,\alpha_2},\varphi_{\alpha_1',\alpha_2'}^{k_1',k_2'}$ 是如 (1.12) 式中定义的乘积小波函数族, 则存在 $\beta_i,\gamma_i,\beta'_i,\gamma'_i \in (0,\eta_i)$, $\eta _i \in(0,1)$, $\beta'_i \in ( 0, \gamma_i\wedge \beta_i )$, $i=1,2$, 使得

证 在这里我们强调一下, 引理中的小波函数族不要求满足正交性条件. 下面来证明引理中的不等式, 对于任意的 $(x_1,x_2) \in X_1 \times X_2$,

下面不妨对 $\big| \int_{X_1} \frac{\psi_{\alpha_1}^{k_1}(x_1)}{\sqrt{\mu_1( Q_{\alpha_1}^{k_1,m_1})}} \frac{\varphi_{\alpha_1'}^{k_1'}(x_1)}{\sqrt{\mu_1( Q_{\alpha_1'}^{k_1',m_1'})}} {\rm d} \mu_1 (x_1)\big|$ 进行估计. 利用 $\int_ {X_1}\psi_{\alpha_1}^{k_1}(x_1){\rm d} \mu_1 (x_1)=0$ 可得

其中 $W_1:=\{ x_1 \in X_1: d_1(x_1,y_{\alpha_1}^{k_1,m_1})\leq (2A_0)^{-1}( \delta^{k_1'}+d_1(y_{\alpha_1'}^{k_1',m_1'},x_1)) \}$, $W_2:=X_1 \setminus W_1$. 对于 $V_1$, 利用文献 [19,定理 3.3], 可得

对于 $V_2$. 由 $d_1(x_1,y_{\alpha_1}^{k_1,m_1})> (2A_0)^{-1}( \delta^{k_1'}+d_1(y_{\alpha_1'}^{k_1',m_1'},x_1))$, 我们有 $V(x_1,y_ {\alpha_1}^{k_1,m_1})\geq CV(x_1,$$(2A_0)^{-1}( \delta^{k_1'}+d_1(y_{\alpha_1'}^{k_1',m_1'},x_1))\geq C[V_{\delta^{k_1}}(y_{\alpha_1'}^{k_1',m_1'}) +V( y_{\alpha_1'}^{k_1',m_1'},x_1)]$ 和 $\delta^{k_1}+d_1(x_1,y_{\alpha_1}^{k_1,m_1}) \geq C [\delta^{k_1}+\delta^{k_1'}+d_1(y_{\alpha_1'}^{k_1',m_1'},x_1)] \geq C \delta^{k_1'}$.利用这些估计和文献 [P155], 可得

类似可得

即有 (2.6) 式成立, 引理 2.6 证毕.

下面我们给出定理 1.1(i) 的证明

证 若 $f \in ( \mathring{\mathcal{G}}_0^{\eta_1,\eta_2} ( \beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2))'$, 由乘积小波再生公式 (2.2) 式有

其中对于任意的 $k_i' \in \mathbb{Z}$, $\alpha_i' \in \mathcal{G}_{k_i'}$$(i=1,2)$.

对任意的 $k_i \in \mathbb{Z}$, $\alpha_i \in \mathcal{G}_{k_i}$, $m_i\in \{1,2,\cdots,N(k_i,\alpha_i)\}$ 以及 $z_i$, $y_{\alpha_i}^{k_i,m_i} \in Q_{\alpha_i}^{k_i,m_i}$, $y_{\alpha_i'}^{k_i',m_i'} \in Q_{\alpha_i'}^{k_i',m_i'}$, 我们有

和

利用这些估计, 以及 (2.6) 式和(2.5) 式, 则对于任意固定的 $\beta_i' \in (0,\beta_i\wedge \gamma_i)$, 有

其中 $\beta_i'> \max\{s_i,-s_i+\omega_2 ( \frac{1}{t}-1 )\}$. 关于 $p$, 下面分为两种情况进行讨论

(1) $\max\{ p( s_1, \beta_1 \wedge \gamma_1)r, p( s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2)r \}< p\leq 1$; (2) $1< p \leq\infty$.

当 $1< p \leq\infty$ 时, 根据引理 2.5 和引理 2.3, 对于 $t\leq \min\{1,\frac{p}{r}\}$ 和 $w\in A_{p/t}(X_1 \times X_2)$, 可得

然后我们将考虑两种情况: $0 < q\leq 1$ 和 $q > 1$. 若 $0 < q\leq 1$, 利用 (2.3) 式和

对于 $\max\{ p( s_1, \beta_1 \wedge \gamma_1)r, p( s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2)r \}< t< q\leq 1$, 可得

若 $q > 1$ 时, 使用 Hölder 不等式和下面的估计

对于 $\max\{ p( s_1, \beta_1 \wedge \gamma_1)r, p( s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2)r \}< t\leq 1$, 可得

当 $\max\{ p( s_1, \beta_1 \wedge \gamma_1)r, p( s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2)r \}< p\leq 1$ 时, 利用 (2.3) 式和定理 2.3, 对于 $t\leq \min\{1,\frac{p}{r}\}$ 和 $w\in A_{p/t}(X_1 \times X_2)$, 可得

那么对于 $\frac{1}{p}$ 和 $\frac{1}{1-p}$, 通过 Hölder 不等式, 可得

因此, 当 $q\leq 1$ 时, 利用 (2.3) 式, 当 $q> 1$ 时, 使用 Hölder 不等式, 可得

对于倒数第二个不等式, 我们可取 $\max\{ p( s_1,\beta_1 \wedge \gamma_1 )r, p( s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2 )r \}< t< \min\{1,p,q\}$, 使得

定理 1.1(i) 证明完毕.

其次证明定理 1.1(ii) 对于任意的 $x_1\in X_1$ 和 $x_2\in X_2$, 由引理 2.5 和 (2.7) 式得

对于倒数第一个不等式, 我们可分两种情形. 当 $\max\{ p( s_1,\beta_1 \wedge \gamma_1 )r, p( s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2 ) r \}< t< q<1$ 时, 通过引理 2.2 和

可得

再考虑当 $q>1$, $\max\{ p( s_1,\beta_1 \wedge \gamma_1 )r, p( s_2,\beta_2 \wedge \gamma_2 ) r \}< t\leq 1$ 时, 通过 Hölder 不等式和

可得

最后, 由引理 2.3,当 $1< p \leq\infty$ 时, 对于 $t\leq \min\{1,\frac{p}{r}\}$ 和 $w\in A_{p/t}(X_1 \times X_2)$, 得到如下估计

这就完成了对定理 1.1(ii) 的证明. 综上所述, 定理 1.1 证毕.