考虑如下带有阻尼项Boussinesq方程的Cauchy问题

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{llll} \partial_{t}u-\mu\Delta u+u\cdot\nabla u+\gamma_1|u|^{\alpha-1}u+\nabla p = \theta f, {\quad} & t\geq 0, x\in {{\Bbb R}} ^3, \\ \partial_{t}\theta-\nu\Delta\theta+u\cdot\nabla \theta+\gamma_2|\theta|^{\beta-1}\theta = 0, & t\geq 0, x\in {{\Bbb R}} ^3, \\ {\rm {div}}\; u = 0, & t\geq 0, x\in {{\Bbb R}} ^3, \end{array}\right. \end{equation} $

初始值为

(1.2) $ \begin{equation} u\mid_{t = 0} = u_0(x), \; \; \theta\mid_{t = 0} = \theta_0(x), \; \; \; \; x\in {{\Bbb R}} ^3, \end{equation} $

这里$ |u|^{\alpha-1}u, \; |\theta|^{\beta-1}\theta $都是阻尼项, 参数$ \alpha\geq 1, \; \beta\geq1, $$ \gamma_1\geq0, \; \gamma_2\geq0 $. 未知向量函数$ u = (u_{1}(x, t), u_{2}(x, t), u_{3}(x, t)) $表示流体的速度. 未知函数$ \theta = \theta(x, t) $, $ p = p(x, t) $分别表示温度与压力函数. $ f = f(x, t) $为已知的外力向量函数. 常数$ \mu>0, \; \nu>0 $分别表示流体粘性系数和导热系数. 为方便起见, 本文假设$ \gamma_1 = \gamma_2 = \mu = \nu = 1. $

阻尼效应有很广泛的应用背景. 例如, 在渗流, 流体流动过程中考虑摩擦, 拉力或耗散机制时, 数学模型都会出现阻尼项^[1-2]. 由于方程(1.1)相比于不可压Navier-Stokes方程中多了一个未知的温度函数且温度与速度之间存在着复杂的非线性关系, 及含有更多的非线性项和很强的耦合项, 所以对该系统的研究更具有实际意义和挑战性.

当系统(1.1)中的$ \theta = 0 $, 系统(1.1)变成不可压Navier-Stokes方程组. 目前, 关于此方程组的解的衰减性已有大量的研究结果. Schonbek^[6-7]利用Fourier区域分解方法得到了解的衰减率. Zhang^[8]利用一种新的Fourier分解方法研究了Navier-Stokes方程组解的大时间行为. 之后, Zhou^[9]也利用自己的一种新方法(Zhou方法)考虑了解的衰减性质. 当系统(1.1)中的$ \gamma_1 = \gamma_2 = 0 $, 系统(1.1)变成经典的Boussinesq方程组, 关于此方程组解的存在性、唯一性和正则性可参见文献[17-18]等.

带有阻尼项的Navier-Stokes方程组已经有一些研究结果, 但是不多. 我们^[3]第一个证明了此方程组的弱解的整体存在性($ \alpha\geq 1 $), 强解的整体存在性($ \alpha\geq \frac{7}{2} $)和唯一性($ \frac{7}{2}\leq\alpha\leq 5 $). 这个结论随后被Zhang等^[12]进行了改进($ \alpha\geq 3 $). 接着Zhou^[11]也证明了强解的唯一性可以提高到($ \alpha\geq 3 $), 而且证明了"3" 在某种意义下是临界点. 关于解的衰减性, 我们^[5]第一个考虑了此方程组的解的衰减性, 如果$ u_0(x)\in L^1({{\Bbb R}} ^3)\cap L^2({{\Bbb R}} ^3) $, $ \alpha> \frac{7}{3}, $解有如下一致的衰减率

(1.3) $ \begin{equation} \|u\|_{L^2} ^2\leq C (t+1)^{-\min\{{\frac{1}{2}, \; \frac{3\alpha-7}{2(\alpha-1)}}\}} . \end{equation} $

Jia等^[10]假设$ \|e^{\triangle t}u_0\|_2^2\leq C(t+1)^{-\mu}\; (\mu>0) $和$ \alpha\geq\frac{10}{3}, $证明了如下的$ L^2 $衰减:

$ \|u\|_{L^2}^2\leq C (t+1)^{-\min\{\mu, \; \frac{3}{2}\}}. $

最近, Jiang等^[13]利用文献[9]中提到的Zhou方法得到了$ u_0\in H^1({{\Bbb R}} ^3), \alpha\geq 3 $时解的衰减率. 关于带有阻尼项的MHD方程组的解的衰减性质, Ye^[4]证明了类似(1.3)的结论. 如何理解阻尼项中参数$ \alpha, \beta $对系统的影响是一个十分有趣的问题. 特别是, 参数$ (\alpha, \beta)<3. $本文基于文献[6]中提到的Fourier分解方法研究方程组(1.1) Cauchy问题解的大时间性态, 并和热方程作比较, 在满足一定条件下得到了衰减上界.

为方便起见, 我们只讨论光滑解的衰减性. 类似于Navier-Stokes方程的方法可构造光滑逼近解序列和先验估计, 得到弱解的衰减估计, 详细细节可参见文献[14].

引理2.1  假设初始值$ (u_{0}, \theta_{0})\in (L^1({{\Bbb R}} ^3)\times L^2({{\Bbb R}} ^3)). $外力$ f\in L^\infty(0, T; L^2({{\Bbb R}} ^3)). $则对任意的$ \alpha\geq1, \; \beta\geq1, $方程组(1.1)存在弱解$ (u(x, t), \theta(x, t)) $且满足

(2.1) $ \begin{equation} \|\theta(t)\|_2^2+2\int_0^t\|\nabla\theta(s)\|_2^2{\rm d}s+2\int_0^t\|\theta(s)\|_{\beta+1}^{\beta+1}{\rm d}s = \|\theta_0\|_2^2, \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} \|u(t)\|_2^2+2\int_0^t\|\nabla u(s)\|_2^2{\rm d}s+2\int_0^t\|u(s)\|_{\alpha+1}^{\alpha+1}{\rm d}s\leq \|u_0\|_2^2+2\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\theta fu|{\rm d}x{\rm d}s. \end{equation} $

注2.1   注意到如果外力$ |f|\leq C(t+1)^{-\frac{5}{4}} $, 我们可以得到如下的有界性

$ \|u\|_2\leq C, \|\theta\|_2\leq C. $

下面, 我们证明温度$ \theta(x, t) $的衰减性.

定理2.1   假设$ (u_{0}, \theta_{0})\in (L^1({{\Bbb R}} ^3)\times L^2({{\Bbb R}} ^3)). $外力$ f\in L^\infty(0, T; L^{\frac{3}{2}}({{\Bbb R}} ^3) ). $则对$ \beta>\frac{7}{3} $有

$ \|\theta\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\min\{\frac{1}{2}, \frac{3\beta-7}{2}\}}, $

这里$ C = C(\|\theta_{0}\|_1, \|\theta_{0}\|_2). $

证   在方程组$ (1.1) $的第二式两端乘以$ \theta $并在$ {{\Bbb R}} ^3 $上积分, 应用Plancherel定理, 有

(2.3) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi+2\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\theta|^{\beta+1}{\rm d}x = -2\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\xi|^2|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi. \end{equation} $

令$ Q(t) $是球心在原点且半径为$ r(t) $的球, 即

(2.4) $ \begin{equation} Q(t) = \bigg\{\xi: |\xi|\leq r(t) = \bigg[\frac{3}{2(t+1)}\bigg]^{\frac{1}{2}}\bigg\}, \end{equation} $

那么(2.3)式变成如下的形式

(2.5) $ \begin{eqnarray} && \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi+2\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\theta|^{\beta+1}{\rm d}x{}\\ & = &-2 \int_{{{\Bbb R}} ^3}|\xi|^2|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi \leq -\frac{3}{t+1}\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\xi|^2|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi+\int_{Q(t)} \bigg[\frac{3}{t+1}-2|\xi|^2\bigg]|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi, \end{eqnarray} $

忽略左端的正项, 并在两端乘以$ (t+1)^3 $, 有

(2.6) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}[(t+1)^3\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi]\leq 3(t+1)^2\int_{Q(t)}|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi. \end{equation} $

下面我们来估计$ |\hat{\theta}|. $对方程组$ (1.1) $中的第二式两端取Fourier变换

$ \hat{\theta}_{t}+|\xi|^{2}\hat{\theta} = A(\xi, t) = -\widehat{u\cdot \nabla \theta}-\widehat{|\theta|^{\beta-1}\theta}, $

解这个一阶微分方程, 有

(2.7) $ \begin{equation} \hat{\theta}(\xi, t) = \hat{\theta}(\xi, 0)e^{-|\xi|^{2}t}-\int_{0}^{t}e^{-|\xi|^{2}(t-s)}A(\xi, s)\; {\rm d}s. \end{equation} $

利用分部积分和$ {\rm {div}}\; u = 0, $可知

(2.8) $ \begin{equation} |\widehat{u\cdot \nabla \theta }| = |\int_{{{\Bbb R}}^{3}}{\rm {div}}(u\theta)\exp(-{\rm i}\xi x)\; {\rm d}x|\leq\sum\limits_i\int_{{{\Bbb R}}^{3}}|u_{i}\theta||\xi_{i}|\; {\rm d}x \leq C|\xi|\|\theta\|_2\|u\|_2, \end{equation} $

$ |\widehat{|\theta|^{\beta-1}\theta}|\leq\|\widehat{|\theta|^{\beta-1}\theta}\|_{\infty}\leq\||\theta|^{\beta-1}\theta\|_{1} = \|\theta\|_{\beta}^{\beta}, $

则有

(2.9) $ \begin{equation} |A(\xi, t)|\leq C|\xi|\|\theta\|_2\|u\|_2+C\|\theta\|_{\beta}^{\beta}. \end{equation} $

下面我们分两种情况来估计$ \|\theta\|_{\beta}^{\beta}. $

情形1    借助Gagliardo-Nirenberg不等式, 得

(2.10) $ \begin{equation} \|\theta\|_{\beta}\leq C\|\theta\|_{2}^\eta\|\nabla\theta\|_{2}^{1-\eta}, \end{equation} $

这里$ \eta = \frac{6-\beta}{2\beta}, \; 0\leq\eta\leq1, $即$ 2\leq\beta\leq 6. $将(2.10)式代到(2.9)式中, 有

(2.11) $ \begin{equation} |\widehat{|\theta|^{\beta-1}\theta}|\leq C \|\theta\|_{\beta}^{\beta}\leq C\|\theta\|_{2}^{3-\frac{\beta}{2}}\|\nabla\theta\|_{2}^{\frac{3}{2}\beta-3}\leq C\|\nabla\theta\|_{2}^{\frac{3}{2}\beta-3}, \end{equation} $

因此

$ |A(\xi, t)|\leq C|\xi|+\|\nabla\theta\|_{2}^{\frac{3}{2}\beta-3}, $

并且(2.7)式中的温度$ \theta(x, t) $有如下的估计

(2.12) $ \begin{eqnarray} |\hat{\theta}(\xi, t)| &\leq& |\hat{\theta}_0|e^{-|\xi|^{2}t}+\int_{0}^{t}e^{-|\xi|^{2}(t-s)}[|\xi|+\|\nabla\theta\|_{2}^{\frac{3}{2}\beta-3}]{\rm d}s{}\\ &\leq& |\hat{\theta}_0|+C|\xi|^{-1}+e^{-|\xi|^{2}t} \bigg\{\int_{0}^{t}e^{|\xi|^{2}s\frac{4}{10-3\beta}}{\rm d}s\bigg\}^{\frac{10-3\beta}{4}}\times \bigg\{\int_{0}^{t}\|\nabla\theta\|_{2}^{2}{\rm d}s\bigg\}^{\frac{3\beta-6}{4}}{}\\ &\leq& |\hat{\theta}_0|+C|\xi|^{-1}+C|\xi|^{-\frac{10-3\beta}{2}}{}\\ &\leq& C+C|\xi|^{-1}+C|\xi|^{-\frac{10-3\beta}{2}}, \end{eqnarray} $

其中$ 2<\beta<\frac{10}{3}. $将(2.8)式代到(2.6)式中, 则有

(2.13) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}[(t+1)^3\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi]&\leq& C(t+1)^2\int_{Q(t)}[C+|\xi|^{-2}+|\xi|^{-(10-3\beta)}]{\rm d}\xi{}\\ & \leq &C(t+1)^{\frac{3}{2}}+C(t+1)^{\frac{11-3\beta}{2}}, \end{eqnarray} $

其中$ \beta>\frac{7}{3}. $在(2.13) 式两端关于时间$ t $积分, 我们有

$ (t+1)^3\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi\leq \int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{\theta}_0|^2{\rm d}\xi+ \int_{0}^{t}(s+1)^{\frac{3}{2}} {\rm d}s+\int_{0}^{t}(s+1)^{\frac{11-3\beta}{2}} {\rm d}s, $

也就是

(2.14) $ \begin{equation} \|\theta\|_2^2\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}+(t+1)^{-\frac{3}{2}(\beta-\frac{7}{3})}. \end{equation} $

如果$ \frac{3\beta-7}{2}\geq\frac{1}{2} $, 即$ \frac{8}{3}\leq\beta<\frac{10}{3} $, 则

(2.15) $ \begin{equation} \|\theta\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}. \end{equation} $

如果$ \frac{3\beta-7}{2}\leq\frac{1}{2} $, 即$ \frac{7}{3}<\beta\leq\frac{8}{3} $, 则

(2.16) $ \begin{equation} \|\theta\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\frac{3}{2}(\beta-\frac{7}{3})}. \end{equation} $

情形2   基于内插不等式, 有

(2.17) $ \begin{equation} \|\theta\|_{\beta}^{\beta}\leq C\|\theta\|_{2}^{\frac{2}{\beta-1}}\|\theta\|_{\beta+1}^{\frac{(\beta-2)(\beta+1)}{(\beta-1)}}, \end{equation} $

这里$ \beta\geq 2, $所以

$ |A(\xi, t)|\leq C|\xi|+C\|\theta\|_{\beta+1}^{\frac{(\beta-2)(\beta+1)}{\beta-1}}, $

且

$ |\hat{\theta}(\xi, t)|\leq C+C|\xi|^{-1}+C|\xi|^{-\frac{2}{\beta-1}}. $

重复情形1中的类似(2.13)式的分析, 下面我们只给出主要的步骤

(2.18) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg[(t+1)^3\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{\theta}|^2{\rm d}\xi\bigg] &\leq & C(t+1)^2\int_{Q(t)}[C+|\xi|^{-2}+|\xi|^{-\frac{4}{\beta-1}}]{\rm d}\xi{}\\ &\leq& C(t+1)^{\frac{3}{2}}+C(t+1)^{\frac{\beta+3}{2(\beta-1)}}, \end{eqnarray} $

这里要求$ \beta>\frac{7}{3}, $则

(2.19) $ \begin{equation} \|\theta\|_2^2\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}+(t+1)^{-\frac{3\beta-7}{2(\beta-1)}}. \end{equation} $

如果$ \frac{3\beta-7}{2(\beta-1)}\geq\frac{1}{2} $, 即$ \beta\geq3 $, 则

(2.20) $ \begin{equation} \|\theta\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}. \end{equation} $

结合$ (2.15), $$ (2.16) $和$ (2.20) $式, 当$ \beta> \frac{7}{3}, $则有如下的衰减

$ \|\theta\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\min\{\frac{1}{2}, \; \frac{3}{2}(\beta-\frac{7}{3})\}}. $

定理2.1证毕.

接下来, 我们来讨论速度$ u(x, t) $的衰减问题. 压力项$ p $的估计依赖于$ \alpha $和定理1.1.

定理3.1   如果$ (u_{0}, \theta_{0})\in (L^1({{\Bbb R}} ^3)\times L^2({{\Bbb R}} ^3)). $外力$ f\in L^\infty(0, T; L^{\frac{3}{2}}({{\Bbb R}} ^3) ), $且

$ |f|\leq C(t+1)^{-\frac{5}{4}}, {\quad} \|f\|_2^2\leq C(t+1)^{-\mu}, \mu>1, $

则方程组(1.1)对$ t\geq 0 $有如下结果

i) 当$ \beta\geq \frac{8}{3} $时

$ \|u\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\min\{\frac{1}{2}, \frac{3\alpha-7}{2}\}}, \; \; \; \; \alpha>\frac{7}{3}; $

ii) 当$ \frac{7}{3}<\beta\leq \frac{8}{3} $时

$ \|u\|_2^2\leq C(t+1)^{-\min\{\frac{3\alpha-7}{2}, \frac{3\beta-6}{4}\}}, \; \; \; \; \alpha>\frac{7}{3}, $

这里的常数$ C = C(\|u_{0}\|_1, \|u_{0}\|_2, \|\theta_{0}\|_1, \|\theta_{0}\|_2, f) $.

证   类似(2.5) 式有

(3.1) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t} \bigg[(t+1)^3\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{u}|^2{\rm d}\xi\bigg]&\leq & 3(t+1)^2\int_{Q(t)}|\hat{u}|^2{\rm d}\xi+2(t+1)^3\int_{{{\Bbb R}} ^3}\theta fu{\rm d}x{}\\ &\leq& 3(t+1)^2\int_{Q(t)}|\hat{u}|^2{\rm d}\xi+C(t+1)^3(t+1)^{-\frac{5}{4}}\|\theta\|_2, \end{eqnarray} $

这里$ Q(t) $和(2.4) 式中的定义一样. 下面我们来估计$ |\hat{u}|. $重复估计$ \hat{\theta} $的类似过程有

$ \hat{u}_{t}+|\xi|^{2}\hat{u} = B(\xi, t) = -\widehat{u\cdot \nabla u}- \widehat{|u|^{\alpha-1}u}-\widehat{\nabla p}+\widehat{\theta f}, $

所以

(3.2) $ \begin{equation} \hat{u}(\xi, t) = \hat{u}(\xi, 0)e^{-|\xi|^{2}t}-\int_{0}^{t}e^{-|\xi|^{2}(t-s)}B(\xi, s)\; {\rm d}s, \end{equation} $

其中$ |B(\xi, t)| $估计的细节参见文献[5], 所以

(3.3) $ \begin{equation} |B(\xi, t)|\leq C|\xi|+C\| u\|_{\alpha}^{\alpha}+C(t+1)^{-\mu}. \end{equation} $

类似(2.10)和(2.17)式, 利用Gagliardo-Nirenberg不等式, 有如下估计

(3.4) $ \begin{equation} \|u\|_{\alpha}^{\alpha} \leq C\|u\|_{2}^{3-\frac{\alpha}{2}}\|\nabla u\|_{2}^{\frac{3}{2}\alpha-3}\leq C\|\nabla u\|_{2}^{\frac{3}{2}\alpha-3}, \; \; 2\leq\alpha\leq6; \end{equation} $

(3.5) $ \begin{equation} \|u\|_{\alpha}^{\alpha}\leq C\|u\|_{2}^{\frac{2}{\alpha-1}}\|u\|_{\alpha+1}^{\frac{(\alpha-2)(\alpha+1)}{\alpha-1}}\; \; \alpha\geq 2. \end{equation} $

情形1    $ \beta\geq\frac{8}{3} $, $ \|\theta\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}. $

不等式(3.1)变成

(3.6) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg[(t+1)^3\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{u}|^2{\rm d}\xi\bigg] \leq 3(t+1)^2\int_{Q(t)}|\hat{u}|^2{\rm d}\xi+C(t+1)^{\frac{3}{2}}. \end{equation} $

i) $ 2\leq\alpha\leq6. $因此$ (3.3) $式变为

(3.7) $ \begin{equation} |B(\xi, t)|\leq C|\xi|+C\|\nabla u\|_{2}^{\frac{3}{2}\alpha-3}+C(t+1)^{-\mu}. \end{equation} $

将(3.7) 式代入(3.2) 式得

(3.8) $ \begin{eqnarray} |\hat{u}(\xi, t)|& \leq &|\hat{u}_0|e^{-|\xi|^{2}t}+ \int_{0}^{t}e^{-|\xi|^{2}(t-s)}[|\xi|+C\|\nabla u\|_{2}^{\frac{3}{2}\alpha-3}+C(s+1)^{-\mu}]{\rm d}s{}\\ &\leq& |\hat{u}_0|+C|\xi|^{-1}+C(t+1)^{1-\mu}+Ce^{-|\xi|^{2}t} \bigg\{ \int_{0}^{t}[e^{|\xi|^{2}s}]^{\frac{4}{10-3\alpha}}{\rm d}s\bigg\}^{\frac{10-3\alpha}{4}}{}\\ &\leq & C+C|\xi|^{-1}+C(t+1)^{1-\mu}+C|\xi|^{-\frac{10-3\alpha}{2}}, \end{eqnarray} $

其中$ 2<\alpha<\frac{10}{3}. $

将上面所有的估计代到(3.6) 式中得

(3.9) $ \begin{eqnarray} && \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg[(t+1)^3\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{u}|^2{\rm d}\xi\bigg]{}\\ &\leq & C(t+1)^2\int_{Q(t)}[C+|\xi|^{-2}+|\xi|^{-(10-3\alpha)}+(t+1)^{2(1-\mu)}]{\rm d}\xi+C(t+1)^{\frac{3}{2}}{}\\ & \leq &C(t+1)^{\frac{3}{2}}+C(t+1)^{\frac{11-3\alpha}{2}}, \end{eqnarray} $

这里$ \alpha>\frac{7}{3}. $

在上式两端关于时间$ t $积分, 然后再除以$ (t+1)^3 $有

(3.10) $ \begin{equation} \|u\|_2^2\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}+(t+1)^{-\frac{3\alpha-7}{2}}. \end{equation} $

如果$ \frac{3\alpha-7}{2}\geq\frac{1}{2} $, 即$ \frac{8}{3}\leq\alpha<\frac{10}{3} $, 我们有

(3.11) $ \begin{equation} \|u\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}. \end{equation} $

如果$ \frac{3\alpha-7}{2}\leq\frac{1}{2} $, 即$ \frac{7}{3}<\alpha\leq\frac{8}{3} $, 我们有

$ \|u\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\frac{3\alpha-7}{2}}. $

ii) $ \alpha\geq2. $由$ (3.5) $式有

(3.12) $ \begin{equation} |B(\xi, t)|\leq C|\xi|+C\|u\|_{\alpha+1}^{\frac{(\alpha-2)(\alpha+1)}{\alpha-1}}+C(t+1)^{-\mu}. \end{equation} $

重复上面的过程, 有如下结果

$ \|u\|_2^2\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}+(t+1)^{-\frac{3\alpha-7}{2(\alpha-1)}}. $

当$ \alpha\geq3 $时, 有

(3.13) $ \begin{equation} \|u\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}. \end{equation} $

情形2    $ \frac{7}{3}<\beta\leq\frac{8}{3} $, $ \|\theta\|_{2}^{2}\leq C(t+1)^{-\frac{3\beta-7}{2}}. $

(3.1) 式可以变形为

(3.14) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg[(t+1)^3\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\hat{u}|^2{\rm d}\xi\bigg] \leq 3(t+1)^2\int_{Q(t)}|\hat{u}|^2{\rm d}\xi+C(t+1)^{\frac{14-3\beta}{4}}. \end{equation} $

i) $ 2\leq\alpha\leq6. $

(3.15) $ \begin{equation} |B(\xi, t)|\leq C|\xi|+C\|\nabla u\|_{2}^{\frac{3}{2}\alpha-3}+C(t+1)^{-\mu}. \end{equation} $

重复情形1中类似(2.13)式的过程, 我们只给出主要的步骤

(3.16) $ \begin{equation} |\hat{u}(\xi, t)| \leq |\hat{u}_0|+C|\xi|^{-1}+C(t+1)^{1-\mu}+C|\xi|^{-\frac{10-3\alpha}{2}}, \end{equation} $

其中$ 2<\alpha<\frac{10}{3}. $类似(3.9)式有

(3.17) $ \begin{equation} \|u\|_2^2\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}+(t+1)^{-\frac{3\alpha-7}{2}}+(t+1)^{-\frac{3\beta-6}{4}}. \end{equation} $

如果$ \frac{3\alpha-7}{2}\geq\frac{1}{2}, \; \frac{3\beta-6}{4}\leq\frac{1}{2}, $即$ \frac{8}{3}\leq\alpha<\frac{10}{3}, \; \frac{7}{3}<\beta\leq\frac{8}{3}, $则

$ \|u\|_2^2\leq C(t+1)^{-\frac{3\beta-6}{4}}, $

如果$ \frac{3\alpha-7}{2}\leq\frac{1}{2}, \; \frac{3\beta-6}{4}\leq\frac{1}{2}, $即$ \frac{7}{3}<\alpha\leq\frac{8}{3}, \; \frac{7}{3}<\beta\leq\frac{8}{3}, $则

$ \|u\|_2^2\leq C(t+1)^{-\min\{\frac{3\alpha-7}{2}, \frac{3\beta-6}{4}\}}. $

ii) $ \alpha\geq2. $由$ (3.5) $式有

(3.18) $ \begin{equation} |B(\xi, t)|\leq C|\xi|+C\|u\|_{\alpha+1}^{\frac{(\alpha-2)(\alpha+1)}{\alpha-1}}+C(t+1)^{-\mu}. \end{equation} $

重复上面的过程, 有如下结论成立

$ \|\hat{u}\|_2^2 = \|u\|_2^2\leq C(t+1)^{-\frac{1}{2}}+(t+1)^{-\frac{3\alpha-7}{2(\alpha-1)}}+C(t+1)^{-\frac{3\beta-6}{4}}, $

这里$ \alpha>\frac{7}{3}. $

如果$ \frac{3\alpha-7}{2(\alpha-1)}\geq\frac{1}{2}, \; \frac{3\beta-6}{4}\leq\frac{1}{2}, $即$ \alpha\geq3, \; \frac{7}{3}<\beta\leq\frac{8}{3}, $则

$ \|u\|_2^2\leq C(t+1)^{-\frac{3\beta-6}{4}}. $

定理3.1得证.

推论3.1    如果速度$ u $满足定理3.1中的结论, 有

$ \|u\|_2^2\leq C(t+1)^{-(\frac{3}{2}-\frac{2}{\alpha-1})}, \; \; \; \alpha\geq3. $

由于方程组(1.1)在某种意义下和热方程相似, 很自然的就会把方程(1.1)和热方程(4.1)作比较. 先介绍一下热方程

(4.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{llll} \partial_{t}v-\Delta v = f, \; v\mid_{t = 0} = u_0(x), \\ \partial_{t}w-\Delta w = 0, \; w\mid_{t = 0} = \theta_0(x). \end{array}\right. \end{equation} $

定理4.1   设$ u_0\in L^2_\sigma({{\Bbb R}} ^3) $, $ \theta_0 \in L^\infty({{\Bbb R}} ^3)\times L^2({{\Bbb R}} ^3) $和$ \|f(t)\|_2 \leq C(t + 1)^{-\mu} $, $ \mu>\frac{3}{2}+1 $, $ \max|f(t)|\leq C(t + 1)^{-\nu} $, $ \nu = \frac{3}{4}+\frac{\delta}{2}+1 $, $ 0<\delta \leq \frac{3}{2} $. 并假设$ (v, w) $是热方程(4.1)的解且满足

(4.2) $ \begin{equation} \|v\|_2^2+ \|w\|_2^2\leq C_1(t + 1)^{-\delta}, \; \; \; t\geq 0, \end{equation} $

其中常数$ C_1 \geq 0 $. 则对$ (\alpha, \beta)\geq\frac{10}{3}, $$ t \geq 0 $有

$ \|u(t)\|_2^2+ \|\theta(t)\|_2^2\leq C_2(t + 1)^{-\delta}, $

其中常数$ C_2 = C_2(\|u_0\|_2, \|\theta_0\|_2, \|f\|_{2}, \|f\|_{\infty}, C_1). $

为了得到解$ (u;\; \theta) $的衰减的上界, 这节也会利用Fourier分解方法来进行证明和推导. 严谨的证明请参考关于Navier-Stokes方程组中的构造过程^[14-15]. 首先, 先介绍几个后面证明中会用到的有用的引理. 这些引理的细节证明参见文献[16].

引理4.1^[16]   设$ u_0 \in L^2({{\Bbb R}} ^n), $$ v(x, t) $是具有初值$ v(0) = u_0 $的齐次热方程$ v_t = \triangle v $的解. 如果$ \hat{u}_0 $在原点处为0的阶数为$ \rho\geq 0 $, 则对任意的$ t \geq0, $存在正常数$ C_1 > 0 $, $ C_2 \geq 0, $方程的解$ v $满足

$ C_1(t+1)^{-\frac{n}{2}-\rho}\leq\|v(t)\|_2^2 \leq C_2(t+1)^{-\frac{n}{2}-\rho}. $

引理4.2^[16]  假设$ v $是非齐次热方程$ v_t = \triangle v+f $的解. 如果$ \widehat{v(0)} = \hat{u}_0 $在原点处为0阶数为$ \eta $. 外力$ f $满足$ \|f(t)\|_2 \leq C(t + 1)^{-\mu} $和$ |\hat{f}(\xi, t)| \leq C|\xi|^{-\sigma}, \; \xi\in {{\Bbb R}} ^n $, 这里$ \mu >\frac{ 1}{2}(\frac{n}{2} +\eta+2), $$ \sigma > \eta + 2 $. 则对任意的$ t\geq0, $存在正常数$ C_1 > 0 $, $ C_2 \geq 0, $有如下结论成立

$ C_1(1 + t)^{-\frac{n}{2}-\eta}\leq \|v\|_2^2 \leq C_2(1 + t)^{-\frac{n}{2}-\eta}. $

引理4.3^[16]   如果$ v $是非齐次热方程$ v_t = \triangle v + f $的解, 其中外力满足$ \|f(t)\|_\infty \leq C(t + 1)^{-\nu} $, $ \nu = \frac{n}{4} + \frac{\delta}{2} + 1. $若对$ t\geq0, $$ \|v\|_2\leq C(t + 1)^{-\frac{\delta}{2}}, $则对任意的$ t\geq1 $, 有

(1) $ \|\nabla v\|_\infty\leq C(t + 1)^{-\frac{n}{4}-\frac{\delta}{2}-\frac{1}{2}}; $

(2) $ \|v\|_\infty\leq C(t + 1)^{-\frac{n}{4}-\frac{\delta}{2}}. $

引理 4.4^[16]    设$ \varphi(x) $是从$ {{\Bbb R}}^+ $到$ {{\Bbb R}}^+ $的有界可测函数, 且当$ \delta > 0 $, $ \lambda\geq2 $, $ C_1 $, $ C_2 $, $ t\geq0 $时

$ \varphi(t) \leq C_1(t + 1)^{-\delta} + C_2(t + 1)^{-\lambda} \bigg(\int^ t_0\varphi(s){\rm d}s\bigg)^2. $

如果当$ t\rightarrow \infty, $$ \varphi(t)\rightarrow 0 $, 有如下的结论成立

$ \varphi(t) \leq C(t + 1)^{-\min\{\delta, \; \lambda\}}, $

这里常数$ C $依赖于$ ( \delta, \lambda, C_1, C_2) $, 函数$ \varphi $的上确界范数, $ \varphi $在无穷远处的衰减率.

注4.1  如果外力$ f $满足引理4.2, 且$ \frac{3}{2}+\eta = \delta, $$ \mu>\frac{1}{2}(\delta+2), $$ \sigma>\delta-\frac{n}{2}+2 $则(4.2) 式成立.

引理4.5  设初始温度$ \theta_0 \in L^\infty({{\Bbb R}} ^n), $$ (u, \theta) $为方程组(1.1) 的光滑解, 则由极值原理有

$ \|\theta\|_\infty \leq \|\theta_0\|_\infty. $

下面我们来证明定理4.1.

证   设在相同的初始值$ (u_0, \theta_0) $下, $ (u, \theta) $和$ (v, w) $分别满足方程组(1.1) 和(4.1). 令$ U = u-v $, $ V = \theta-w $. (1.1)式减去(4.1)式, 得

(4.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{llll} \partial_{t}U-\Delta U+u\cdot\nabla u+|u|^{\alpha-1}u+\nabla p = \theta f-f, \\ \partial_{t}V-\Delta V+u\cdot\nabla \theta+|\theta|^{\beta-1}\theta = 0, \\ {\rm {div}}\; U = 0, \\ U\mid_{t = 0} = 0, \; \; V\mid_{t = 0} = 0. \end{array}\right. \end{equation} $

下面我们对(4.3)式进行能量估计. 对$ (4.3) $式中的第一个式子两端乘以$ U $, 并在$ {{\Bbb R}} ^3 $上积分得

(4.4) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|U\|_2^2+\|\nabla U\|_2^2{}\\ & = &-\int_{{{\Bbb R}} ^3}u\cdot\nabla u U{\rm d}x-\int_{{{\Bbb R}} ^3}|u|^{\alpha-1}uU{\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}} ^3}(\theta-1) fU{\rm d}x{}\\ & = &\int_{{{\Bbb R}} ^3}u\cdot\nabla u v{\rm d}x-\int_{{{\Bbb R}} ^3}|u|^{\alpha+1}{\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}} ^3}|u|^{\alpha-1}uv{\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}} ^3}(\theta-1) fU{\rm d}x{}\\ &\leq&\|u\|_2^2\|\nabla v\|_\infty-\|u\|^{\alpha+1}_{\alpha+1}+\frac{1}{2}\|u\|^{\alpha+1}_{\alpha+1}+C\|v\|^{\alpha+1}_{\alpha+1}+\|U\|_2\|\theta-1\|_\infty\|f\|_2. \end{eqnarray} $

在$ (4.3) $式的第二个式子两端乘以$ V $并在$ {{\Bbb R}} ^3 $上积分, 有

(4.5) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|V\|_2^2+\|\nabla V\|_2^2& = &-\int_{{{\Bbb R}} ^3}u\cdot\nabla \theta V{\rm d}x-\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\theta|^{\beta-1}\theta V{\rm d}x{}\\ & = &\int_{{{\Bbb R}} ^3}u\cdot\nabla \theta w{\rm d}x-\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\theta|^{\beta+1}{\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\theta|^{\beta-1}\theta w{\rm d}x{}\\ &\leq&\|u\|_2\|\theta\|_2\|\nabla w\|_\infty-\|\theta\|^{\beta+1}_{\beta+1}+\frac{1}{2}\|\theta\|^{\beta+1}_{\beta+1}+C\|w\|^{\beta+1}_{\beta+1}, \end{eqnarray} $

将$ (4.4) $式和$ (4.5) $式相加有

(4.6) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|U\|_2^2+\|V\|_2^2)+2(\|\nabla U\|_2^2+\|\nabla V\|_2^2)+\|u\|^{\alpha+1}_{\alpha+1}+\|\theta\|^{\beta+1}_{\beta+1}{}\\ &\leq&\|u\|_2^2\|\nabla v\|_\infty+\|u\|_2\|\theta\|_2\|\nabla w\|_\infty+C\|v\|^{\alpha+1}_{\alpha+1} +\|\theta-1\|_\infty\|f\|_2 \|U\|_2+C\|w\|^{\beta+1}_{\beta+1}{}\\ &\leq&(\|u\|_2^2+\|\theta\|_2^2)(\|\nabla v\|_\infty+\|\nabla w\|_\infty) +C(\|v\|^{\alpha+1}_{\alpha+1}+C\|w\|^{\beta+1}_{\beta+1})+\|\theta-1\|_\infty\|f\|_2 \|U\|_2.{\qquad} \end{eqnarray} $

构造一个新的函数$ g(t), $且有$ \ln G(t) = 2\int_{0}^{t}g^2(s){\rm d}s $, $ t\geq 0. $显然, $ G' = 2g^2G $. (4.6)式变形为

(4.7) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\{(\|U\|_2^2+\|V\|_2^2)G(t)\}{}\\ &\leq& 2G(t)[g^2(\|U\|_2^2+\|V\|_2^2)-(\|\nabla U\|_2^2+\|\nabla V\|_2^2)]{}\\ &&+G(t)(\|u\|_2^2+\|\theta\|_2^2)(\|\nabla v\|_\infty+\|\nabla w\|_\infty){}\\ &&+2 G(t)(\|v\|^{\alpha+1}_{\alpha+1}+G(t)\|w\|^{\beta+1}_{\beta+1})+G(t)\|\theta-1\|_\infty\|f\|_2 \|U\|_2, {\quad} \end{eqnarray} $

利用Plancherel定理, (4.7)式右端的第一项变为

(4.8) $ \begin{eqnarray} &&g^2(t)(\|U\|_2^2+\|V\|_2^2)-(\|\nabla U\|_2^2+\|\nabla V\|_2^2){}\\ & = & \int_{{{\Bbb R}} ^3}(g^2(t)-|\xi|^2)(|\hat{U}|^2+|\hat{V}|^2){\rm d}\xi \leq \int_{|\xi|\leq g(t)}(g^2(t)-|\xi|^2)(|\hat{U}|^2+|\hat{V}|^2){\rm d}\xi{}\\ &\leq& g^2(t) \int_{|\xi|\leq g(t)}(|\hat{U}|^2+|\hat{V}|^2){\rm d}\xi, {\quad} \end{eqnarray} $

将(4.8) 式代入(4.7) 式有

(4.9) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\{G(t)\|U\|_2^2+\|V\|_2^2)\}{}\\ &\leq & 2g^2(t)G(t) \int_{|\xi|\leq g(t)}(|\hat{U}|^2+|\hat{V}|^2){\rm d}\xi +G(t)(\|u\|_2^2+\|\theta\|_2^2)(\|\nabla v\|_\infty+\|\nabla w\|_\infty){}\\ &&+2 G(t)(\|v\|^{\alpha+1}_{\alpha+1}+\|w\|^{\beta+1}_{\beta+1})+G(t)\|\theta-1\|_\infty\|f\|_2 \|U\|_2. \end{eqnarray} $

接下来, 我们来估计

$ \int_{|\xi|\leq g(t)}(|\hat{U}|^2+|\hat{V}|^2){\rm d}\xi. $

对(4.3)式中前两式两端取Fourier变换, 并利用常微分方程求解得到

$ \hat{U}(\xi, t) = \int_{0}^{t}e^{-|\xi|^{2}(t-s)}M(\xi, s)\; {\rm d}s, \; \; \; \; \hat{V}(\xi, t) = \int_{0}^{t}e^{-|\xi|^{2}(t-s)}N(\xi, s)\; {\rm d}s. $

类似于第二节中的(2.9) 式和第三节中的(3.3) 式, 对$ \mu>\frac{3}{2}+1, $有

$ |M(\xi, t)|\leq C|\xi|\|u\|_2^2+C\| u\|_{\alpha}^{\alpha}+C(t+1)^{-\mu}, $

$ |N(\xi, t)|\leq C|\xi|\|\theta\|_2\|u\|_2+C\|\theta\|_{\beta}^{\beta}, $

且

(4.10) $ \begin{eqnarray} |\hat{U}(\xi, t)|+|\hat{V}(\xi, t)|&\leq & C|\xi|\int_{0}^{t}(\|u\|_2^2+\|\theta\|_2^2){\rm d}s+\int_{0}^{t}(\|u\|_\alpha^\alpha+\|\theta\|_\beta^\beta){\rm d}s{}\\ &&+ C \|\theta_0\|_{\infty}\int_{0}^{t}(s+1)^{-\mu}{\rm d}s. \end{eqnarray} $

类似于文献[10]中的分析, 我们知道$ u\in L^{\frac{10}{3}}(0, \infty;L^{\frac{10}{3}}({{\Bbb R}} ^3)), $$ \theta\in L^{\frac{10}{3}}(0, \infty;L^{\frac{10}{3}}({{\Bbb R}} ^3)). $由于$ u\in L^{\alpha+1}(0, \infty;L^{\alpha+1}({{\Bbb R}} ^3)), \theta\in L^{\beta+1}(0, \infty;L^{\beta+1}({{\Bbb R}} ^3)), $对$ \alpha\geq \frac{10}{3}, \beta\geq \frac{10}{3} $有如下的结果

$ \int_{0}^{t}\| u\|_{\alpha}^{\alpha}{\rm d}s\leq C, \; \; \int_{0}^{t}\| \theta\|_{\beta}^{\beta}{\rm d}s\leq C. $

因此(4.10)式变为

(4.11) $ \begin{equation} |\hat{U}(\xi, t)|+|\hat{V}(\xi, t)|\leq C|\xi|\int_{0}^{t}(\|u\|_2^2+\|\theta\|_2^2){\rm d}s+C. \end{equation} $

定义$ \varphi(t) = \|u\|_2^2+\|\theta\|_2^2. $根据第二部分中的(2.1)和(2.2) 式, 则对$ t \geq 0 $, 有

(4.12) $ \begin{equation} \varphi(t)\leq \varphi(0)+C\int_{0}^{t}\|f\|_2{\rm d}s = C. \end{equation} $

定义$ \Phi(t) = \int_{0}^{t}\varphi(s){\rm d}s, $由(4.12)式, 有

$ |\hat{U}(\xi, t)|+|\hat{V}(\xi, t)|\leq C|\xi|\Phi(t)+C, $

所以

(4.13) $ \begin{eqnarray} \int_{|\xi|\leq g(t)}(|\hat{U}(\xi, t)|^2+|\hat{V}(\xi, t)|^2){\rm d}\xi &\leq & C\Phi^2(t)\int_{|\xi|\leq g(t)}|\xi|^2{\rm d}\xi+C\int_{|\xi|\leq g(t)}{\rm d}\xi{}\\ &\leq& C\Phi^2(t)g^5(t)+Cg^3(t), \end{eqnarray} $

将(4.13)式代入(4.9)式, 有

(4.14) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\{G(t)(\|U\|_2^2+\|V\|_2^2)\}{}\\ &\leq& G(t)[\Phi^2(t)g^7(t)+g^5(t)]+G(t)\varphi(t)(\|\nabla v\|_\infty+\|\nabla w\|_\infty){}\\ &&+2 G(t)(\|v\|^{\alpha+1}_{\alpha+1}+\|w\|^{\beta+1}_{\beta+1})+G(t)\|\theta-1\|_\infty\|f\|_2 \|U\|_2. \end{eqnarray} $

由引理4.3, 有

(4.15) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\{G(t)(\|U\|_2^2+\|V\|_2^2)\}{}\\ &\leq& G(t)[\Phi^2(t)g^7(t)+g^5(t)+\varphi(t)(t+1)^{-\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2}-\frac{1}{2}}{}\\ &&+(\|v\|_\infty^{\alpha-1}\|v\|^2_{2}+\|w\|_\infty^{\beta-1}\|w\|^2_{2})+(t+1)^{-\mu}]{}\\ & \leq & G(t)[\Phi^2(t)g^7(t)+g^5(t)]+\varphi(t)(t+1)^{-\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2}-\frac{1}{2}}{}\\ &&+[(t+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\alpha-1)-\frac{\delta}{2}}+(t+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\beta-1)-\frac{\delta}{2}} +(t+1)^{-\mu}]. \end{eqnarray} $

选取合适的函数$ g(t) = \gamma^{\frac{1}{2}}[2(t+1)]^{-\frac{1}{2}} $, 则

(4.16) $ \begin{equation} G(t) = e^{2\int_{0}^{t}g^2(s){\rm d}s} = (t+1)^{\gamma}. \end{equation} $

这里, 我们注意到$ \gamma>\frac{3}{2}+2. $将$ G(t) $代入(4.15)式有

(4.17) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\{(t+1)^{\gamma}(\|U\|_2^2+\|V\|_2^2)\}{}\\ &\leq & C\Phi^2(t)(t+1)^{-\frac{7}{2}}(t+1)^{\gamma}+(t+1)^{\gamma}(t+1)^{-\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2}-\frac{1}{2}}\varphi(t){}\\ && +(t+1)^{-\frac{5}{2}}(t+1)^{\gamma}+(t+1)^{\gamma}(t+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\alpha-1)-\frac{\delta}{2}}{}\\ &&+(t+1)^{\gamma}(t+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\beta-1)-\frac{\delta}{2}} +(t+1)^{\gamma-\mu}, \end{eqnarray} $

这里$ \gamma $的取值, 需要保证(4.10)式的右端项的第二项的$ (t+1) $次幂为正, 即$ \gamma>\frac{3}{4}+\frac{\delta}{2}+\frac{1}{2}. $注意到$ \Phi'(t)>0 $和$ \int_1^t\varphi(s){\rm d}s\leq\Phi(t), $关于时间从1到$ t $积分, 有

(4.18) $ \begin{eqnarray} &&(t+1)^{\gamma}(\|U\|_2^2+\|V\|_2^2){}\\ &\leq & C(\|U(1)\|_2^2+\|V(1)\|_2^2)+(t+1)^{-\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2}-\frac{1}{2}+\gamma}\int_1^t\varphi(t){\rm d}s{}\\ &&+C\Phi^2(t)\int_1^t(s+1)^{-\frac{7}{2}}(s+1)^{\gamma}{\rm d}s{}\\ &&+\int_1^t(s+1)^{-\frac{5}{2}}(s+1)^{\gamma}{\rm d}s+\int_1^t(s+1)^{\gamma}(s+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\alpha-1)-\frac{\delta}{2}}{\rm d}s{}\\ &&+\int_1^t(s+1)^{\gamma}(s+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\beta-1)-\frac{\delta}{2}}{\rm d}s +\int_1^t(s+1)^{\gamma}(s+1)^{-\mu}{\rm d}s. \end{eqnarray} $

根据定理4.1中的假设, 我们知道

$ \|U(1)\|_2^2+\|V(1)\|_2^2\leq C. $

对时间$ t\geq1 $两边除以$ (t + 1)^{\gamma} $有

(4.19) $ \begin{eqnarray} \|U\|_2^2+\|V\|_2^2&\leq& C(t+1)^{-\gamma}+C\Phi^2(t)(t+1)^{-\frac{5}{2}}+(t+1)^{-\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2}-\frac{1}{2}}\Phi(t){}\\ &&+(t+1)^{-\frac{3}{2}}+(t+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\alpha-1)-\frac{\delta}{2}+1}{}\\ &&+(t+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\beta-1)-\frac{\delta}{2}+1} +(t+1)^{-\mu+1}. \end{eqnarray} $

因此对$ t\geq0, $有$ \|U\|_2^2+\|V\|_2^2 $是有界的. 下面我们来估计$ \Phi(t) $这项.

$ \begin{eqnarray*} \varphi(t)& = &\|u\|_2^2+\|\theta\|_2^2\\ &\leq &2\|v\|_2^2+2\|w\|_2^2+2\|U\|_2^2+2\|V\|_2^2\\ &\leq &2C_1(t + 1)^{-\delta}+2\|U\|_2^2+2\|V\|_2^2\\ &\leq & 2C_1(t + 1)^{-\delta}+C(t+1)^{-\gamma}+C\Phi^2(t)(t+1)^{-\frac{5}{2}}+(t+1)^{-\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2}-\frac{1}{2}}\Phi(t)\\ &&+(t+1)^{-\frac{3}{2}}+(t+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\alpha-1)-\frac{\delta}{2}+1}+(t+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\beta-1)-\frac{\delta}{2}+1} +(t+1)^{-\mu+1}. \end{eqnarray*} $

由于$ \gamma >\frac{ 3}{2} + 2 > \delta $, 将$ (t + 1)^{-\gamma} $替换成$ (t + 1)^{-\delta} $有

(4.20) $ \begin{eqnarray} \varphi(t)&\leq &C(t + 1)^{-\delta}+C\Phi^2(t)(t+1)^{-\frac{5}{2}}+(t+1)^{-\frac{3}{2}}+(t+1)^{-\mu+1}{}\\ &&+(t+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\alpha-1)-\frac{\delta}{2}+1}+(t+1)^{-(\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2})(\beta-1)-\frac{\delta}{2}+1}, \end{eqnarray} $

这里, 利用Young不等式, 我们可以得到如下估计

$ (t+1)^{-\frac{3}{4}-\frac{\delta}{2}-\frac{1}{2}}\Phi(t)\leq C (t+1)^{-\frac{5}{2}}\Phi^2(t)+C(t+1)^{-\delta}. $

接着, 我们来证明$ { }\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\varphi(t) = 0 $. 由(4.12)式知$ \varphi(t) $是有界的. 再由(4.20)式有$ \Phi(t)\leq Ct $. 利用引理4.4, 和$ \lambda = 1+ \frac{3}{2} = \frac{5}{2}, $可知$ \lambda \geq 2 $, $ 0<\delta \leq \frac{3}{2} $, $ \min\{\delta, \lambda\} = \delta. $定理4.1证毕.