在统计学中,如最小二乘估计,水手刀法统计,密度核估计,递归密度核估计,非线性回归核估计,等等,很多统计量,表现形式为随机变量序列加权和,因此对随机变量序列加权和极限性质的研究是有必要的,并且已有了很丰富的结果.如强大数定律(见文献[2-4]等等),完全收敛性(见文献[5-7]),等等.

最近Sung^[5]对同分布NA随机变量序列加权和获得了如下完全收敛性结果.

定理A 设$1<\alpha\leq 2$, $\gamma>0$, $\{X, X_{n}, n\ge 1\}$为同分布的NA随机变量序列, $\{a_{nk}, n\geq1, $$ 1\leq k\leq n\}$为常数序列满足

(1.1) $\sup\limits_{n\geq1}\sum\limits^n_{k=1}|a_{nk}|^\alpha<\infty.$

假设

(1.2) $EX=0, \ \\left\{\begin{array}{ll}E|X|^\alpha<\infty, &\ \ \mbox{如果}\ \alpha>\gamma, \\E|X|^\alpha\log(1+|X|)<\infty, &\ \ \mbox{如果}\ \alpha=\gamma, \\E|X|^\gamma<\infty, &\ \ \mbox{如果}\ \alpha<\gamma, \end{array}\right.$

则对任意$\varepsilon>0$,有

(1.3) $\sum\limits_{n=1}^\infty n^{-1}P\left(\max\limits_{1\le m\len}\left|\sum\limits_{k=1}^ma_{nk}X_k\right|>\varepsilon\log^{1/\gamma}n\right)<\infty, $

其中$\log x=\log_e\max\{e, x\}$, $\forall x>0$.

一方面,在定理A中,如果当$1\leq k\leq n-1$时令$a_{nk}=0$,当$k=n$时令$a_{nn}=1$,则(1.3)式等价于$E|X|^\gamma<\infty$;如果对所有$n\geq1$及$1\leq k\leq n$,令$a_{nk}=1$,则(1.3)式可推出$E|X|^\alpha/\log^{\alpha/\gamma}(1+|X|)<\infty$.这表明,当$\alpha<\gamma$时,定理A的矩条件是充分必要的,但当$\alpha\geq \gamma$时,定理A的矩条件不是必要的.随之而来的问题是,当$\alpha\geq \gamma$时,在条件$E|X|^\alpha/\log^{\alpha/\gamma}(1+|X|)<\infty$下, (1.3)式是否成立?完全回答这一问题是有难度的, Chen和Sung^[1]在比$E|X|^\alpha/\log^{\alpha/\gamma}(1+|X|)<\infty$强但比$E|X|^\alpha<\infty$弱的矩条件下得到了下面结果.

定理B 设$1<\alpha\leq 2$, $0<\gamma<\alpha$, $\{X, X_{n}, n\ge 1\}$为同分布的NA随机变量序列, $\{a_{nk}, n\geq1, 1\leq k\leq n\}$为常数序列满足(1.1)式.假设$EX=0$及$E|X|^\alpha/\log^{\alpha/\gamma-1}(1+|X|)<\infty$,则对任意$\varepsilon>0$, (1.3)式成立.

定理A和定理B的主要工具是文献[8,定理1],但追根溯源是用到了NA随机变量序列如下的性质:设$Y_i, 1\leq i\leq n$是非负的NA序列,则有

$E\prod\limits_{i = 1}^n {{Y_i}} \le \prod\limits_{i = 1}^n E {Y_i}.$

从而由此得到了NA序列的指数型概率不等式.但对于其它序列如$\rho^*$ -混合序列, $\varphi$ -混合序列,等等,没有这样的概率性质,因而不能用同NA序列情形时的方法得到相应的结果.虽然如此,还是有作者克服了这个困难,他们应用$\rho^*$ -混合序列最大值的Rosenthal不等式后,对某些部分作出了细致并且复杂的计算得到了如同定理A的结果,参见文献[9-11],等等.对于$\varphi$ -混合序列,在一定的混合速度限制条件下,也有相应的最大值的Rosenthal不等式,因此定理A对于$\varphi$ -混合序列也是成立的.但至今还没有文献讨论定理B在$\varphi$ -混合情形时是否成立.

另一方面,在矩条件$E|X|^\alpha<\infty$下,直接应用NA序列最大值的$\alpha$-阶Marcinkiewicz-Zygmund矩不等式(见文献[12]),定理B是成立的.事实上我们有如下更一般的结果.

定理C 设$1<\alpha\leq 2$, $\{X_{n}, n\ge 1\}$为NA随机变量序列(不必同分布), $\{a_{nk}, n\geq1, 1\leq k\leq n\}$为常数序列满足(1.1)式.假设对任意$n\geq1$, $EX_n=0$及$\sup\limits_{n\geq1}E|X_n|^\alpha<\infty$,则对任意$\varepsilon>0$有

(1.4) $\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}P\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}a_{nk}X_k\right|>\varepsilon f^{1/\alpha}(n)\right\}<\infty, $

其中$f(\cdot)$为正函数满足$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)=\infty$及$\int^\infty_1(xf(x))^{-1}{\rm d}x<\infty$.

本文的目的就是在$\varphi$ -混合序列情形下证明定理B和定理C也是成立的,本文将使用$\varphi$ -混合序列最大值的2 -阶Marcinkiewicz-Zygmund矩不等式及再截尾方法,其方法完全不同于已有结果的证明方法.

先来介绍$\varphi$ -混合序列的概念.

定义1.1 设$\{X_n, n\geq1\}$是一随机变量序列,记${\cal F}^m_n=\sigma(X_i, n\leq i\leq m)$,定义$\varphi$ -混合系数如下

$\varphi(n)=\sup\limits_{k\geq1}\sup\{|P\{B|A\}-P\{B\}|:\ A\in {\cal F}^k_1, B\in {\cal F}^\infty_{n+k}, P\{A\}\not=0\}.$

如果当$n\rightarrow\infty$时有$\varphi(n)\rightarrow0$,则称$\{X_n, n\geq1\}$是$\varphi$ -混合随机变量序列.

$\varphi$ -混合的定义是由Dobrushin^[13]首先对Markov过程引入了,至今已有了丰富的结果,更多的性质与结论可参见陆传荣和林正炎的专著[14].

以下是本文的主要结果,必要的引理及定理的证明放到第2节.

定理1.1 设$0<\gamma<\alpha\leq 2$, $\{X, X_{n}, n\ge 1\}$为同分布的$\varphi$ -混合随机变量序列,其混合系数满足$\sum\limits^\infty_{n=1}\varphi^{1/2}(n)<\infty$,又设常数序列$\{a_{nk}, n\geq1, 1\le k\le n\}$满足(1.1)式.假设$E|X|^\alpha/\log^{\alpha/\gamma-1}(1+|X|)<\infty$,若$1<\alpha\leq 2$,还设$EX=0$.则对任意$\varepsilon>0$, (1.3)式成立.

由定理1.1,立知下面推论成立.

推论1.1 设$0<\gamma<\alpha\leq 2$, $\{X, X_{n}, n\ge 1\}$为同分布的$\varphi$ -混合随机变量序列,其混合系数满足$\sum\limits^\infty_{n=1}\varphi^{1/2}(n)<\infty$,设$E|X|^\alpha/\log^{\alpha/\gamma-1}(1+|X|)<\infty$,若$1<\alpha\leq 2$,还设$EX=0$.

(1)若常数序列$\{b_n, n\geq1\}$满足$\sup\limits_{n\geq1}n^{-1}\sum\limits^n_{k=1}|b_k|^\alpha<\infty$,则对任意$\varepsilon>0$,有

$\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}P\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}b_kX_k\right|>\varepsilon n^{1/\alpha}\log^{1/\gamma}n\right\}<\infty.$

进而有

$\frac{\sum\limits^n_{k=1}b_kX_k}{n^{1/\alpha}\log^{1/\gamma}n}\rightarrow 0\ \ {\rm a.s.} .$

(2)若常数序列$\{b_n, n\geq1\}$满足$\sum\limits^\infty_{n=1}|b_n|^\alpha<\infty$,则对任意$\varepsilon>0$,有

$\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}P\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}b_kX_k\right|>\varepsilon \log^{1/\gamma}n\right\}<\infty.$

进而有

$\frac{\sum\limits^n_{k=1}b_kX_k}{\log^{1/\gamma}n}\rightarrow 0\ \ {\rm a.s.} .$

注1.1 主要结论的证明使用了再截尾方法.在证明中先对$a_{nk}X_k$进行截尾,截尾水平为$\log^{1/\gamma}n$,然后再对$X_k$进行截尾,截尾水平为$n^{1/\alpha}\log^{1/\gamma}n$.这种方法充分利用了权所提供的信息.

注1.2 如果$\{b_n, n\geq1\}$是有界的常数序列,显然有$\sup\limits_{n\geq1}n^{-1}\sum\limits^n_{k=1}|b_k|^\alpha<\infty$,即推论1.1(1)的条件满足.下面给出一个无界情形的例子.如果$\sqrt{n}$不是整数,则令$b_n=1$,如果$\sqrt{n}$是整数,则令$b_n=(\sqrt{n})^{1/\alpha}$.则

$\sum\limits^n_{k=1}|b_k|^\alpha=n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor+\sum\limits^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}_{i=1}\left(i^{1/\alpha}\right)^\alpha=n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor+\sum\limits^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}_{i=1}i<2n, $

从而推论1.1(1)的条件满足,其中$\lfloor\cdot\rfloor$表示取整函数.

定理1.2 设$1<\alpha\leq 2$, $\{X_{n}, n\ge 1\}$为$\varphi$ -混合随机变量序列(不必同分布),其混合系数满足$\sum\limits^\infty_{n=1}\varphi^{1/2}(n)<\infty$, $\{a_{nk}, n\geq1, 1\leq k\leq n\}$为常数序列满足(1.1)式.假设对任意$n\geq1$, $EX_n=0$及$\sup\limits_{n\geq1}E|X_n|^\alpha<\infty$,则对任意$\varepsilon>0$, (1.4)式成立,其中$f(\cdot)$为正函数满足$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)=\infty$及$\int^\infty_1(xf(x))^{-1}{\rm d}x<\infty$.

由定理1.2可获得相应于推论1.1的结果,这里不再一一列出来.

本文约定, $C$总代表正常数,在不同的地方可以代表不同的值.对于事件$A, B$, $I(A)$表示事件$A$的示性函数, $I(A, B)=I(A\cap B)$.

定理的证明需要下面的引理.第一个引理就是$\varphi$ -混合随机变量序列最大值的2-阶Marcinkiewicz-Zygmund矩不等式,可由文献[15,引理1]及[14,引理2.2.10]直接得到.

引理2.1 对任意$\varphi$ -混合序列$\{X_n, n\geq1\}$,若$\sum\limits^\infty_{n=1}\varphi^{1/2}(n)<\infty$,则有

$E\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits_{k=1}^{m}(X_k-EX_k)\right|^2\leq C\sum\limits^n_{k=1}E|X_k|^2, \ \ \forall\ n\geq1, $

其中正常数$C$只与混合速度系数$\varphi(\cdot)$有关.

引理2.2 在定理1.1的条件下有

(2.1) $\begin{equation}\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}\sum\limits^n_{k=1}P\{|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma}n\}<\infty\end{equation}$

及

(2.2) $\begin{equation}\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}\cdot \log^{-\alpha/\gamma}n\sum\limits^n_{k=1}E|a_{nk}X_k|^\alpha I(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n)<\infty.\end{equation}$

证 记$b_n=n^{1/\alpha}\log^{1/\gamma}n$,取$\beta\in (0, \alpha)$.先证(2.1)式.注意到

(2.3) $\begin{eqnarray}P\{|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma}n\}&=&P\{|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma}n, |X_k|>b_n\}\\&&+P\{|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma}n, |X_k|\leq b_n\}.\end{eqnarray}$

由Markov不等式有

(2.4) $\begin{equation}P\{|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma}n, |X_k|>b_n\}\leq \log^{-\beta/\gamma}n\ |a_{nk}|^\beta E|X|^\beta I(|X|>b_n)\end{equation}$

及

(2.5) $\begin{equation}P\{|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma}n, |X_k|\leq b_n\}\leq \log^{-\alpha/\gamma}n\ |a_{nk}|^\alpha E|X|^\alpha I(|X|\leq b_n).\end{equation}$

易知

(2.6) $\begin{eqnarray}&&\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}\cdot \log^{-\beta/\gamma}n\bigg(\sum\limits^n_{k=1}|a_{nk}|^\beta\bigg)E|X|^\beta I(|X|>b_n)\\&\leq& C\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-\beta/\alpha}\cdot \log^{-\beta/\gamma}n\ E|X|^\beta I(|X|>b_n)\\&\leq& CE|X|^\alpha/\log^{\alpha/\gamma}(1+|X|)<\infty\end{eqnarray}$

及

(2.7) $\begin{eqnarray}&&\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}\cdot \log^{-\alpha/\gamma}n\bigg(\sum\limits^n_{k=1}|a_{nk}|^\alpha\bigg)E|X|^\alpha I(|X|\leq b_n)\\&\leq& C\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}\cdot\log^{-\alpha/\gamma}n\ E|X|^\alpha I(|X|\leq b_n)\\&\leq &CE|X|^\alpha/\log^{\alpha/\gamma-1}(1+|X|)<\infty.\end{eqnarray}$

由(2.3)-(2.7)式知(2.1)式成立.再证(2.2)式.类似地有

(2.8) $\begin{eqnarray}E|a_{nk}X_k|^\alpha I(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n)&=&E|a_{nk}X_k|^\alpha I(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n, |X_k|>b_n)\\&& +E|a_{nk}X_k|^\alpha I(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n, |X_k|\leq b_n).\end{eqnarray}$

因

(2.9) $\begin{eqnarray}E|a_{nk}X_k|^\alpha I(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n, |X_k|>b_n)\leq \log^{(\alpha-\beta)/\gamma}n\ |a_{nk}|^\beta E|X|^\beta I(|X|>b_n)\end{eqnarray}$

及

(2.10) $\begin{equation}E|a_{nk}X_k|^\alpha I(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n, |X_k|\leq b_n)\leq |a_{nk}|^\alpha E|X|^\alpha I(|X|\leq b_n), \end{equation}$

因此由(2.8)-(2.10), (2.6)及(2.7)式知(2.2)式成立.

引理2.3 引理2.3在定理1.1的条件下,若$1<\alpha\leq 2$,则有

$\log^{-1/\gamma}n\ \max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}Ea_{nk}X_kI(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma} n)\right|\rightarrow 0.$

证 记$b_n=n^{1/\alpha}\log^{1/\gamma}n$.由$EX=0$有

(2.11) $\begin{eqnarray}\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}Ea_{nk}X_kI(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma} n)\right|\leq \sum\limits^n_{k=1}E|a_{nk}X_k|I(|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma} n).\end{eqnarray}$

注意到

(2.12) $\begin{eqnarray}E|a_{nk}X_k|I(|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma} n)&=&E|a_{nk}X_k|I(|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma} n, |X_k|>b_n)\\&& +E|a_{nk}X_k|I(|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma} n, |X_k|\leq b_n).%\tag{2.12}\end{eqnarray}$

因为

(2.13) $\begin{eqnarray}&&E|a_{nk}X_k|I(|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma} n, |X_k|>b_n)\\&\leq& |a_{nk}|E|X|I(|X|>b_n)\\&=&|a_{nk}|E\left(\frac{|X|^\alpha}{\log^{\alpha/\gamma-1}(1+|X|)} \cdot |X|^{1-\alpha}\log^{\alpha/\gamma-1}(1+|X|)\right)I(|X|>b_n)\\&\leq& Cn^{-1+1/\alpha}|a_{nk}|%\tag{2.13}\end{eqnarray}$

及

(2.14) $\begin{eqnarray}&&E|a_{nk}X_k|I(|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma} n, |X_k|\leq b_n)\\&\leq& \log^{(1-\alpha)/\gamma}n\ |a_{nk}|^\alpha E|X|^\alpha I(|X|\leq b_n)\\&=&\log^{(1-\alpha)/\gamma}n\ |a_{nk}|^\alpha E\left(\frac{|X|^\alpha}{\log^{\alpha/\gamma-1}(1+|X|)} \cdot \log^{\alpha/\gamma-1}(1+|X|)\right) I(|X|\leq b_n)\\&\leq& C \log^{-1+1/\gamma}n, %\tag{2.14}\end{eqnarray}$

易知

(2.15) $\log^{-1/\gamma} n\cdot n^{-1+1/\alpha}\bigg(\sum\limits^n_{k=1}|a_{nk}|\bigg)\leq C\log^{-1/\gamma} n\rightarrow0$

及

(2.16) $\log^{-1/\gamma} n \cdot \log^{-1+1/\gamma}n\bigg(\sum\limits^n_{k=1}|a_{nk}|^\alpha\bigg)\leq C\log^{-1}n\rightarrow0.$

于是由(2.11)-(2.16)式,引理得证.

定理1.1的证明 令$X_{nk}=a_{nk}X_kI(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n)$.因对任意$n\geq1$及任意$\varepsilon>0$有

$\begin{eqnarray*}&&\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}a_{nk}X_k\right|>\varepsilon \log^{1/\gamma}n\right\}\\&&\subset \bigcup^n_{k=1}\{|a_{nk}X_k|>\log^{1/\gamma}n\}\cup\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}X_{nk}\right|>\varepsilon\log^{1/\gamma}n\right\}.\end{eqnarray*}$

由(2.1)式,对任意$\varepsilon>0$,要证(1.3)式,只要证

(2.17) $\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}P\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}X_{nk}\right|>\varepsilon\log^{1/\gamma}n\right\}<\infty.$

如果$0<\alpha\leq 1$,由Markov不等式, $C_r$ -不等式有

$P\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}X_{nk}\right|>\varepsilon\log^{1/\gamma}n\right\}\leq C\log^{-\alpha/\gamma}n\ \sum\limits^n_{k=1}E|a_{nk}X_k|^\alpha I(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n).$

因此由(2.2)式知, (2.17)式成立.当$1<\alpha\leq 2$时,由引理2.3,对任意$\varepsilon>0$,要证(1.17)式,只要证

(2.18) $\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}P\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}(X_{nk}-EX_{nk})\right|>\varepsilon\log^{1/\gamma}n\right\}<\infty.$

由Markov不等式,引理2.1,有

$\begin{eqnarray*}&&P\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}(X_{nk}-EX_{nk})\right|>\varepsilon\log^{1/\gamma}n\right\}\\&\leq &C\log^{-2/\gamma}n\ \sum\limits^n_{k=1}E(X_{nk}-EX_{nk})^2\\&\leq &C\log^{-2/\gamma}n\ \sum\limits^n_{k=1}E|a_{nk}X_k|^2I(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n)\\&=&C\log^{-2/\gamma}n\ \sum\limits^n_{k=1}E\left(|a_{nk}X_k|^\alpha\cdot|a_{nk}X_k|^{2-\alpha}\right)I(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n)\\&\leq& C\log^{-\alpha/\gamma}n\ \sum\limits^n_{k=1}E|a_{nk}X_k|^\alpha I(|a_{nk}X_k|\leq \log^{1/\gamma}n).\end{eqnarray*}$

因此,由(2.2)式知(2.18)式成立.定理得证.

定理1.2的证明 令$X_{nk}=a_{nk}X_kI(|X|\leq f^{1/\alpha}(n))$.因对任意$n\geq1$及任意$\varepsilon>0$有

$\begin{eqnarray*}&&\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}a_{nk}X_k\right|>\varepsilon f^{1/\alpha}(n)\right\}\\&&\subset \bigcup^n_{k=1}P\{|a_{nk}X_k|>f^{1/\alpha}(n)\}\cup\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}X_{nk}\right|>\varepsilon f^{1/\alpha}(n)\right\}, \end{eqnarray*}$

因此要证(1.4)式,只要证

(2.19) $\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}\sum\limits^n_{k=1}\{|a_{nk}X_k|>f^{1/\alpha}(n)\}<\infty$

及对任意$\varepsilon>0$

(2.20) $\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}P\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}X_{nk}\right|>\varepsilon f^{1/\alpha}(n)\right\}<\infty.$

由Markov不等式及条件(1.1),有

$\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}\sum\limits^n_{k=1}P\{|a_{nk}X_k|>f^{1/\alpha}(n)\}\leq C\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{1}{nf(n)}\leq C\int^\infty_1\frac{{\rm d}x}{xf(x)}<\infty, $

即(2.19)式成立.由$EX_n=0$,有

$\begin{eqnarray*}f^{-1/\alpha}(n)\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|E\sum\limits^m_{k=1}X_{nk}\right|&\leq& f^{-1/\alpha}(n)\sum\limits^n_{k=1}E|a_{nk}X_k|I(|a_{nk}X_k|>f^{1/\alpha}(n))\\&\leq &f^{-1/\alpha}(n)\sum\limits^n_{k=1}(|a_{nk}|^\alpha E|X_k|^\alpha \cdot f^{(1-\alpha)/\alpha}(n))\\&\leq &Cf^{-1}(n)\rightarrow 0.\end{eqnarray*}$

因此,要证(2.20)式,只要证对任意$\varepsilon>0$,有

(2.21) $\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}P\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}(X_{nk}-EX_{nk})\right|>\varepsilon f^{1/\alpha}(n)\right\}<\infty.$

由Markov不等式及引理2.1,有

$\begin{eqnarray*}&&P\left\{\max\limits_{1\leq m\leq n}\left|\sum\limits^m_{k=1}(X_{nk}-EX_{nk})\right|>\varepsilon f^{1/\alpha}(n)\right\}\\&\leq &Cf^{-2/\alpha}(n)\sum\limits^n_{k=1}E|a_{nk}X_k|^2I(|a_{nk}X_k|\leq f^{1/\alpha}(n))\\&=&Cf^{-2/\alpha}(n)\sum\limits^n_{k=1}E|a_{nk}X_k|^{\alpha+2-\alpha}I(|a_{nk}X_k|\leq f^{1/\alpha}(n))\\&\leq& Cf^{-2/\alpha}(n)\sum\limits^n_{k=1}(|a_{nk}|^\alpha E|X_k|^\alpha\cdot f^{(2-\alpha)/\alpha}(n))\\&\leq &Cf^{-1}(n).\end{eqnarray*}$

于是由$\sum\limits^\infty_{n=1}(nf(n))^{-1}\leq C\int^\infty_1(nf(n))^{-1}{\rm d}x<\infty$知(2.21)式成立.定理得证.