设$B$表示$\bf C^{n}$中的单位球、$D$表示复平面上的单位圆; $H(B)$和$H^{\infty}(B)$分别表示$B$上全纯函数全体和有界全纯函数全体.

定义1.1 $[0, 1)$上一个正的连续函数$\mu$称为是正规的,如果存在常数$0< a\leq b$以及$0\leq r_{0}<1$使得$\frac{\mu(r)}{(1-r)^a}$在$ [r_{0}, 1)$上递减且$ \frac{\mu(r)}{(1-r)^b}$在$[r_{0}, 1)$上递增.

例如$\mu(r)=(1-r)\left(\log\log\frac{e^{2}}{1-r}\right)^{-1}$, $\mu(r)=(1-r)^{\alpha}\log^{\beta}\frac{e}{1-r}$$(\alpha>0, \ \beta $为实数),

$\mu(r)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}(1-r)^{1/2}},&\displaystyle{1-\frac{1}{n}\leqr<1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)}, \\[3mm] \displaystyle{\frac{(2n)!!(n+1)}{(2n+1)!!}(1-r)^{3/2}}, \ & \displaystyle{1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)\leqr<1-\frac{1}{n+1}}, \end{array}\right.$

$(n=1, 2, \cdots)$等都是此种形式的正规函数.不失一般性,本文中设$r_{0}=0$.

本文中${z=(z_{1}, \cdots, z_{n}), \w=(w_{1}, \cdots, w_{n}), \ \langle z, w\rangle=\sum\limits_{j=1}^{n}z_{j\}\overline{w}_{j}}$. $H(B)$中函数$f$的梯度$\nabla f$和径向导数$Rf$分别定义为

$ \nabla f(z)=\left(\frac{\partial f}{\partial z_{1}}(z), \cdots, \frac{\partial f}{\partial z_{n}}(z)\right), \ \ R f(z)=\sum\limits_{j=1}^{n}z_{j}\frac{\partial f}{\partial z_{j}}(z)=\langle \nabla f(z), \overline{z}\rangle. $

在单位圆盘$D$上将满足条件$ \displaystyle{\sup_{z\inD}(1-|z|^{2})|f''(z)|<\infty} $的解析函数全体构成的函数空间称为Zygmund空间.其实这里的$1-|z|^{2}$就是一种权函数,人们将权函数拓广为$(1-|z|^{2})^{\alpha} \ (\alpha>0)$后的空间称为Zygmund型空间.下面我们将Zygmund型空间中的权进一步拓广为上述定义的正规权,将变量拓广为多复变量.

定义1.2 设$\mu$是$[0, 1)$上的正规函数,函数$f$属于正规权Zygmund空间$Z_{\mu}(B)$是指: $f\in H(B)$且

${\| f\| _{\mu}=\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)\ \sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} \left|\frac{\partial^{2}f}{\partial z_{j}\partial z_{k}}(z)\right|}<\infty\ .$

在范数${\| f\| _{Z_{\mu}}=|f(0)|+\sum\limits_{k=1}^{n}\left|\frac{\partial f}{\partial z_{k}}(0)\right|+\| f\| _{\mu}} $下$Z_{\mu}(B)$构成一个Banach空间.

Zygmund型空间是一种经典的函数空间,国内外有很多数学工作者对其进行了研究,例如文献[1-12].由于多复变量情形有几种导数形式可供选择,因而在单位球上研究Zygmund型空间的性质要比在单位圆盘上复杂得多,往往需要几种等价范数相互运用,在文献[11]中给出了正规权Zygmund空间几种范数的等价性.

定义1.3 设$\mu$是$[0, 1)$上的正规函数,函数$f$属于正规权Bloch空间$\beta_{\mu}(B)$是指: $f\in H(B)$且

$\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|Rf(z)|<\infty\ .$

在函数空间的理论研究中,经常会碰到如下问题:某个函数空间的一个函数与一个给定的函数相乘后还在不在这个空间中?另外,要想一个函数与某个空间中的任何函数相乘后还在这个空间中,这个函数必须满足什么条件?一般来讲,某个空间中的一个函数与另一个函数相乘后未必还在这个空间中,哪怕是和一个非常简单的函数.例如

$ f(z_{1}, z_{2})=\log\frac{1}{1-z_{1}}+\log\frac{1}{1-z_{2}}$

在以二维单位圆柱为支撑集的Bloch空间中,但与函数$\psi(z_{1}, z_{2})=z_{1}$相乘后就不在这个空间中了.这说明在研究函数空间之间性质时对点乘子的讨论是非常必要的.

定义1.4 设$X$、$Y$为$B$上两个函数空间,如果对一切$f\in X$都有$\psi f\in Y$,就称$\psi$为空间$X$到$Y$的一个点乘子. $M_{\psi}: f\rightarrow \psi f$称为$X$到$Y$的乘子算子.

函数空间乘子理论的研究已有很长的历史,大量的结果已被获得,其中与本文有一定关系的例如文献[13-25].点乘子问题实际上是乘子算子$M_{\psi}$的有界性问题.本文将讨论$B$上正规权Zygmund空间上乘子算子为有界算子或紧算子的条件.

我们将用记号$c, c_{1}, c_{2}, c_{3}, \cdots$来表示与变量$z$、$w$无关的正数,当然$c, c_{1}, $$c_{2}$, $c_{3}, $$\cdots$可以与某些参数有关,不同的地方可以代表不同的数; $``E\approx F"$表示比较,称为$E$等价于$F$,即存在正的常数$A_{1}$和$A_{2}$使得$A_{1}E \leq F \leq A_{2}E$.

为了证明主要结果,我们先给一些引理.

引理2.1 设$\mu$是$[0, 1)$上的正规函数,若$f\in H(B)$,则下列几个条件是等价的:

(1) $f\in Z_{\mu}(B)$;

(2) ${I_{1}=|f(0)|+\mathop {\sup }\limits_{z \in B} \mu(|z|)|R^{(2)}f(z)|}<\infty$,这里$R^{(2)}f=R(Rf)$;

(3) $ {I_{2}=|f(0)|+\mathop {\sup }\limits_{z \in B} \mu(|z|)\|\nabla(Rf) (z)|}<\infty$.

进一步有$I_{1}\ \approx \ I_{2} \ \approx \ \| f\| _{Z_{\mu}}$,这里的控制常数与$f$无关.

证 可参见文献[11,定理3.1].

引理2.2 设$\mu$是$[0, 1)$上的正规函数,若$f\in Z_{\mu}(B)$,则

$ |Rf(z)|\leq c\left(\int_{0}^{|z|}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t\right)\| f\| _{Z_{\mu}} \ \ (z\in B), $

$ |f(z)|\leq c\left\{1+\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho|z|}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t\right){\rm d}\rho\right\}\| f\| _{Z_{\mu}} \ \ (z\in B ). $

证 可参见文献[12].

引理2.3 设$\mu$为$[0, 1)$上的正规函数, $g(\xi)=1+\sum\limits_{s=1}^{\infty}2^{s}\ \xi^{n_{s}}\ (\xi\in D), $则

(1) $g(r)$在[0, 1)上严格递增且存在常数$M_{0}>0$和$N_{0}>0$使得

$ \inf\limits_{r\in [0, 1)}\mu(r)g(r)\geq N_{0}, \ \ \ \ \sup\limits_{\xi\in D}\mu(|\xi|)|g(\xi)|\leq M_{0}. $

(2)存在常数$M_{1}>0$和$N_{1}>0$使得${\mu(\rho)g'(\rho)\leq \frac{N_{1}}{1-\rho}}$对一切${0\leq \rho<1}$成立且${\mu(\rho)g'(\rho)\geq \frac{M_{1}} {1-\rho}}$对一切${\mu^{-1}(\frac{1}{2})=r_{1}<\rho<1}$成立.

这里$ n_{s}$是$(1-r_{s})^{-1}$的整数部分, $r_{0}=0, \ \mu(r_{s})=2^{-s}\ (s=1, 2, \cdots )$.

证 该结果为文献[20]中的定理1和文献[21]中引理2.4的结合.

引理2.4 设$\mu$为$[0, 1)$上的正规函数, $0<r_{0}<1$为一个定数, $r_{0}<|w|<1$, $0< \rho\leq 1$, $k$为正整数,则

$ \int_{0}^{\rho|w|}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t \approx \int_{0}^{\rho|w|^{k}}\frac{1}{\mu(t)}\{\rm d}t.$

证 估计式${\int_{0}^{\rho|w|^{k}}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t\leq\int_{0}^{\rho|w|}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t}$是显然的,下面考虑反向估计

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\rho|w|^{k}}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t &=&\int_{0}^{1}\frac{\rho|w|^{k}{\rm d}s}{\mu(\rho|w|^{k}s)} \geq \int_{0}^{1}\left(\frac{1-\rho|w|s}{1-\rho|w|^{k}s}\right)^{b}\frac{\rho|w|^{k}{\rm d}s}{\mu(\rho|w|s)}\\ &=&\int_{0}^{\rho|w|}\left(\frac{1-t}{1-|w|^{k-1}t}\right)^{b}\frac{|w|^{k-1}{\rm d}t}{\mu(t)}\geq \int_{0}^{\rho|w|}\left(\frac{1-\rho|w|}{1-\rho|w|^{k}}\right)^{b}\frac{|w|^{k-1}{\rm d}t}{\mu(t)}\\ &\geq&\int_{0}^{\rho|w|}\left(\frac{1-|w|}{1-|w|^{k}}\right)^{b}\frac{|w|^{k-1}{\rm d}t}{\mu(t)}\geq\frac{r_{0}^{k-1}}{k^{b}}\int_{0}^{\rho|w|} \frac{{\rm d}t}{\mu(t)}. \end{eqnarray*}$

证毕.

引理2.5 设$\mu$为$[0, 1)$上的正规函数,序列$\{f_{j}(z)\}$在$Z_{\mu}(B)$上有界且在$B$的任一紧子集上一致收敛于0,则有下列结论成立

(1)当${\int_{0}^{1}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}<\infty}$时, $ \displaystyle{\lim_{j\rightarrow\infty}\sup_{z\in B}|Rf_{j}(z)|=0 \ \ \mbox{且} \ \ \lim_{j\rightarrow\infty}\sup_{z\in B}|f_{j}(z)|=0;} $

(2)当${\int_{0}^{1}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}=\infty}$时, $ \displaystyle{\lim_{j\rightarrow\infty}\sup_{z\in B}|f_{j}(z)|=0.}$

证 可参见文献[12].

定理3.1 设$\mu$为$[0, 1)$上的正规函数, $\psi\in H(B)$,则乘子算子$M_{\psi}$为$Z_{\mu}(B)$上有界算子的充要条件是: $\psi\in H^{\infty}(B)$和

(3.1) $ I_{1}=\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|R\psi(z)|\int_{0}^{|z|}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t<\infty $

以及

(3.2) $I_{2}=\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|R^{(2)}\psi(z)|\int_{0}^{|z|}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t\right\}{\rm d}\rho<\infty $

同时成立.

证 若$M_{\psi}$为$Z_{\mu}(B)$上的有界算子,不失一般性,任取$w\in B$且满足$|w|>1/2$,设$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$是待定的常数,我们取

$\begin{eqnarray*} f_{w}(z)&=&a_{1}\int_{0}^{\langle z, w\rangle^{3}}\left\{\int_{0}^{\rho}g(t){\rm d}t\right\}{\rm d}\rho +a_{2} \int_{0}^{|w|^{2}\langle z, w\rangle^{2}}\left\{\int_{0}^{\rho}g(t){\rm d}t\right\}{\rm d}\rho\\&&+ a_{3}\int_{0}^{|w|^{4}\langle z, w\rangle}\left\{\int_{0}^{\rho}g(t) {\rm d}t\right\}{\rm d}\rho, \end{eqnarray*}$

其中$g$为引理2.3中的那个函数.可得

$\begin{eqnarray*} Rf_{w}(z)&=&3a_{1}\langle z, w\rangle^{3}\int_{0}^{\langle z, w\rangle^{3}}g(t){\rm d}t\ + \ 2a_{2}|w|^{2}\langle z, w\rangle^{2}\int_{0}^{|w|^{2}\langle z, w\rangle^{2}}g(t){\rm d}t \\&&+ a_{3}|w|^{4}\langle z, w\rangle\int_{0}^{|w|^{4}\langle z, w\rangle}g(t){\rm d}t \ \Rightarrow \\R^{(2)}f_{w}(z)&=&9a_{1}\langle z, w\rangle^{3}\int_{0}^{\langle z, w\rangle^{3}}g(t){\rm d}t + 4a_{2}|w|^{2}\langle z, w\rangle^{2}\int_{0}^{|w|^{2}\langle z, w\rangle^{2}}g(t){\rm d}t \\&&+ a_{3}|w|^{4}\langle z, w\rangle\int_{0}^{|w|^{4}\langle z, w\rangle}g(t){\rm d}t + 9a_{1}\langle z, w\rangle^{6}g(\langle z, w\rangle^{3}) \\&& + 4a_{2}|w|^{4}\langle z, w\rangle^{4}g(|w|^{2}\langle z, w\rangle^{2})+a_{3}|w|^{8}\langle z, w\rangle^{2}g(|w|^{4}\langle z, w\rangle). \end{eqnarray*}$

根据正规函数的定义以及引理2.3,经计算可得

$\mu(|z|)|R^{(2)}f_{w}(z)|\leq 2(9|a_{1}|+4|a_{2}|+|a_{3}|)M_{0}.$

根据引理2.1可得$\| f_{w}\| _{Z_{\mu}}\leq cM_{0}$,因而$\| M_{\psi}f_{w}\| _{Z_{\mu}}\leq c\| M_{\psi}\| M_{0}$.

如果我们选取$a_{1}=1$、$a_{2}=-3$、$a_{3}=3$就有$Rf_{w}(w)=R^{(2)}f_{w}(w)=0$,因而根据引理2.1可得$\mu(|w|)|R^{(2)}[\psi f_{w}](w)|\leq c\| M_{\psi}f_{w}\| _{Z_{\mu}}\leq c_{1}\| M_{\psi}\| M_{0}$,从而

$\mu(|w|)|R^{(2)}\psi(w)|\int_{0}^{|w|^{6}}\left\{\int_{0}^{\rho}g(t){\rm d}t\right\}{\rm d}\rho\leq c_{1}\| M_{\psi}\| M_{0}. $

再结合引理2.3--2.4就有

$\mu(|w|)|R^{(2)}\psi(w)|\int_{0}^{|w|}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t\right\}{\rm d}\rho\leq \frac{c_{2}\| M_{\psi}\| M_{0}}{N_{0}}. $

这表明(3.2)式成立.

如果我们选取$a_{1}=3$、$a_{2}=-8$、$a_{3}=5$就有$f_{w}(w)=R^{(2)}f_{w}(w)=0$,同样可得

$ 4|w|^{6}\mu(|w|)|R\psi(w)|\int_{0}^{|w|^{6}}g(t){\rm d}t \leq c_{1}\| M_{\psi}\| M_{0}. $

利用引理2.3-2.4可得

$\mu(|w|)|R\psi(w)|\int_{0}^{|w|}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t\leq \frac{c_{2}\| M_{\psi}\| M_{0}}{N_{0}}. $

这意味着(3.1)式成立.

我们再选取$a_{1}=1$、$a_{2}=-2$、$a_{3}=1$就有$f_{w}(w)=Rf_{w}(w)=0$.因而

$ 2|w|^{6}\mu(|w|)|\psi(w)|\int_{0}^{|w|^{6}}g(t){\rm d}t +2\mu(|w|)|\psi(w)\| w|^{12}g(|w|^{6})\leq c_{1}\| M_{\psi}\| M_{0} \ \Rightarrow $

$\begin{eqnarray*}|\psi(w)|&=&\frac{\mu(|w|)|\psi(w)|g(|w|^{6})}{\mu(|w|)g(|w|^{6})}\leq\frac{2^{11} c_{1}\| M_{\psi}\| M_{0}}{\mu(|w|)g(|w|^{6})}\\&\leq& \frac{2^{11} c_{1}\| M_{\psi}\| M_{0}}{N_{0}} \left(\frac{1-|w|^{6}}{1-|w|}\right)^{b}\leq \frac{2^{11}6^{b} c_{1}\| M_{\psi}\| M_{0}}{N_{0}}. \end{eqnarray*}$

这样得到$\psi\in H^{\infty}(B)$.

反过来,如果题设条件成立.对任意$f\in Z_{\mu}(B)$,根据引理2.1和引理2.2,我们有

$\begin{eqnarray*}\mu(|z|)|R^{(2)}[\psi f](z)|&\leq &|\psi(z)|\mu(|z|)|R^{(2)}f(z)| \\&& + 2\mu(|z|)|R\psi(z)\| Rf(z)|+ \ \mu(|z|)|R^{(2)}\psi(z)\| f(z)| \\& \leq &(c_{1}\| \psi\| _{\infty}+c_{2}I_{1}+c_{3}I_{2})\| f\| _{Z_{\mu}}. \end{eqnarray*}$

根据引理2.1可得$M_{\psi}$是$Z_{\mu}(B)$上的一个有界算子.定理证毕.

推论3.2 设$p>0$, $\mu(r)=(1-r)^{p} \ \ (0\leq r<1)$, $\psi\in H(B)$,则$\psi$为$Z_{\mu}(B)$上点乘子的充要条件为: (1)当$p<2$时, $\psi\in Z_{\mu}(B)$; (2)当$p>2$时, $\psi\in H^{\infty}(B)$; (3)当$p=2$时, $\psi\in H^{\infty}(B)$且

$ \sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|\log\frac{e}{1-|z|^{2}}<\infty. $

证 (1)当$p<2$时,积分${\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho}$收敛,因而(3.2)式等同$\psi\in Z_{\mu}(B)$,根据引理2.2可得$\psi\in H^{\infty}(B)$.

再利用引理2.2可得:当$p<1$时, $|R\psi(z)|\leq c\| \psi\| _{Z_{\mu}}$;当$p=1$时, $|R\psi(z)|\leq c\left(\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\right)\|\psi\|_{Z_{\mu}}$;当$p>1$时, $|R\psi(z)|\leq c(1-|z|^{2})^{1-p}\|\psi\|_{Z_{\mu}}$.上述结果结合

$ \sup\limits_{0<x\leq 1}x\left(\log\frac{e}{x}\right)^{2}=\frac{4}{e}, $

可得(3.1)式成立.

(2)当$p>2$时,因$\psi\in H^{\infty}(B)$意味着

$ \sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})|R\psi(z)|<\infty \ \ \mbox{和} \ \ \sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|<\infty. $

这表明(3.1)和(3.2)式成立.

(3)当$p=2$时, $\psi\in H^{\infty}(B)$意味着(3.1)式成立. (3.2)式成立等同于

$ \sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|\log\frac{e}{1-|z|^{2}}<\infty. $

推论证毕.

注 从上述推论可以看到,定理3.1中的三个条件一般不是独立的,有时是可以简化的.比如当${\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{1}{\mu(t)}\ {\rm d}t\right){\rm d}\rho}$收敛时,条件$\psi\in H^{\infty}(B)$多余;当${\int_{0}^{1}\frac{1}{\mu(t)}{\rm d}t<\infty}$时,条件就可简化为$\psi\in Z_{\mu}(B)$;当$a>2$时,条件就可简化为$\psi\in H^{\infty}(B)$.

问题 在所有情况下, (3.1)式是否可以去掉?

定理3.3 设$\mu$为$[0, 1)$上的正规函数, $\psi\in H(B)$,则乘子算子$M_{\psi}$为$Z_{\mu}(B)$上紧算子的充要条件是: $\psi\equiv 0$.

证 设$\{z^{j}\}$为任一趋近$B$边界的$B$中点列,不妨设$|z^{j}|>\sqrt{r_{1}}=\sqrt{\mu^{-1}(1/2)}$$(j=1, 2, \cdots)$.如果${\int_{0}^{1}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}}=\infty$且${\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho<\infty}$时,取函数列

$ f_{j}(z)=\int_{0}^{1}\frac{F_{j}(tz)}{t}\ {\rm d}t\bigg/\int_{0}^{|z^{j}|^{4}}g(t){\rm d}t, $

其中

$F_{j}(z)=\left(\int_{0}^{\langle z, z^{j}\rangle^{2}}g(t)\ {\rm d}t\right)^{2}-\left(\int_{0}^{|z^{j}|^{2}\langle z, z^{j}\rangle}g(t){\rm d}t\right)^{2}. $

显然$\{f_{j}(z)\}$在$B$内任一紧子集上一致收敛于0.另外,经计算可得

$Rf_{j}(z^{j})=F_{j}(z^{j})\bigg/\int_{0}^{|z^{j}|^{4}}g(t)\ {\rm d}t=0$

且$\| f_{j}\| _{Z_{\mu}}\leq c$以及${R^{(2)}f_{j}(z^{j})=2|z^{j}|^{4}g(|z^{j}|^{4})}$.

由于$\psi$为$Z_{\mu}(B)$上的点乘子,因而必有$\psi\in Z_{\mu}(B)$.根据引理2.1和引理2.3以及引理2.5可得,当$j\rightarrow\infty$时,有

$\begin{eqnarray*} 0&\leftarrow &c_{1}\| M_{\psi}(f_{j})\| _{Z_{\mu}}+c_{2}\| \psi\| _{Z_{\mu}}\sup\limits_{z\in B}|f_{j}(z)|\\&\geq &2\mu(|z^{j}|)|\psi(z^{j})\| z^{j}|^{4}g(|z^{j}|^{4})\geq 2^{1-2b}r_{1}^{2}N_{0}|\psi(z^{j})|. \end{eqnarray*}$

这意味着$\displaystyle{\lim_{|z|\rightarrow 1^{-}}|\psi(z)|=0.}$根据极大模原理可得$\psi\equiv 0$.

由于紧算子一定是有界算子,因而(3.1)和(3.2)式成立.再取函数列

$g_{j}(z)=(1-|z^{j}|^{2})\int_{0}^{\langle z, z^{j}\rangle}g(t){\rm d}t. $

根据引理2.1和引理2.3可得$\| g_{j}\| _{Z_{\mu}}\leq c$且$\{g_{j}(z)\}$在$B$内任一紧子集上一致收敛0,当${\int_{0}^{1}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}}<\infty$时,根据引理2.1、引理2.3和引理2.5可得

$\begin{eqnarray*}\frac{M_{1}r_{1}^{2}}{2^{b}}|\psi(z^{j})|&\leq &|\psi(z^{j})|(1-|z^{j}|^{2})\mu(|z^{j}|)g'(|z^{j}|^{2})|z^{j}|^{4}\leq \mu(|z^{j}|)|\psi(z^{j})\| R^{(2)}g_{j}(z^{j})|\\& \leq &c_{1}\| M_{\psi}(g_{j})\| _{Z_{\mu}}+c_{2}I_{1}\sup\limits_{z\in B}|Rg_{j}(z)|+c_{3}I_{2}\sup\limits_{z\in B}|g_{j}(z)|\rightarrow 0 \ (j\rightarrow\infty). \end{eqnarray*}$

这样也得到$\psi\equiv0$.

如果${\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho=\infty}$,取函数列

$h_{j}(z)=G_{j}(z)\bigg/\int_{0}^{|z^{j}|^{6}}\left(\int_{0}^{\rho}g(t){\rm d}t\right){\rm d}\rho, $

其中

$\begin{eqnarray*}G_{j}(z)&=&\left\{\int_{0}^{\langle z, z_{j}\rangle^{3}}\left(\int_{0}^{\rho}g(t){\rm d}t\right){\rm d}\rho\right\}^{2}+\left\{\int_{0}^{|z^{j}|^{4}\langle z, z_{j}\rangle}\left(\int_{0}^{\rho}g(t){\rm d}t\right){\rm d}\rho\right\}^{2} \\&&- 2\left\{\int_{0}^{|z^{j}|^{2}\langle z, z_{j}\rangle^{2}}\left(\int_{0}^{\rho}g(t){\rm d}t\right){\rm d}\rho\right\}^{2}. \end{eqnarray*}$

同样可得$\| h_{j}\| _{Z_{\mu}}\leq c$且$\{h_{j}(z)\}$在$B$内任一紧子集上一致收敛0.经计算可得$h_{j}(z^{j})=Rh_{j}(z^{j})=0$以及

$R^{(2)}h_{j}(z^{j})=4|z^{j}|^{12}\left(\int_{0}^{|z^{j}|^{6}}g(\rho)\ {\rm d}\rho\right)^{2}/\int_{0}^{|z^{j}|^{6}}\left(\int_{0}^{\rho}g(t)\ {\rm d}t\right){\rm d}\rho \\ \;\;\;\;\;+ \ 4|z^{j}|^{12}g(|z^{j}|^{6})\ + 4|z^{j}|^{6}\int_{0}^{|z^{j}|^{6}}g(\rho)\ {\rm d}\rho>4|z^{j}|^{12}g(|z^{j}|^{6}). $

这样就可得,当$j\rightarrow\infty$时

$ 0\leftarrow c\| M_{\psi}(h_{j})\| _{Z_{\mu}}\geq 4\mu(|z^{j}|)|z^{j}|^{12}g(|z^{j}|^{6})|\psi(z^{j})|\geq \frac{4r_{1}^{6}N_{0}}{6^{b}}|\psi(z^{j})|. $

这样也得到$\psi\equiv0$.定理证毕.