最近几十年,分数阶微分方程已经获得了很大的发展,参看专著[1-5]及其引用的文献.和整数阶微分方程相比较,分数阶微分方程在模拟记忆、遗传、粘弹性系统和电磁系统等方面有很多优越性,参看文献[6-9].分数阶微分方程(系统)理论的研究涉及解的存在性和唯一性^[10-19]、稳定性^[20-24]、能控性^[25-29]和数值算法^[30-31],等等.

微分方程(系统)局部解的存在性是研究解的连续依赖性、有限时间稳定性和能控性的先决条件.为了研究微分方程的解李雅普诺夫意义下的稳定性,必须保证方程全局解的存在性.

动力系统中的时滞现象是不可避免的.分数阶时滞微分系统已经引起了相当的关注.有很多文章研究分数阶时滞微分方程初值问题解的存在性^[10-17].在2009年,周勇教授等在文献[12]中考虑了$p$型分数阶中立型微分方程初值问题

(1.1) $ {^CD}_{t_0, t}^q g(t, x_t)=f(t, x_t), $

(1.2) $x_{t_0}=\varphi, \quad (t_0, \varphi)\in \Omega$

解的存在性和唯一性,其中$0<q<1$, $^CD_{t_0, t}^q$表示$q$阶Caputo分数阶导数, $\Omega$是$[0, \infty )\times {\cal C}$ (${\cal C}=C([-1, 0], {\mathbb{R}}^n)$)的开子集, $f, g:\Omega\to {\mathbb{R}}^n$是给定的满足一定条件的函数, $x_t\in {\cal C} $由$x_{t}(\theta)=x(p(t, \theta))$, $-1\leq \theta\leq 0$定义, $p(t, \theta)$是一个$p$函数.文献[12]中得到了几个有价值的定理.

在2010年, Agarwal等人在文献[13]中考虑了有界时滞的分数阶中立型泛函微分方程初值问题

(1.3) $^CD_{t_0, t}^{\alpha}(x(t)-g(t, x_{t}))=f(t, x_{t}), \quad t\in [t_0, +\infty), \quad t_0\geq 0, $

(1.4) $x_{t_0}(\theta)=\phi(\theta), \quad \theta\in [-r, 0], $

其中${^C D}_{t_0, t}^{\alpha}$是满足$0<\alpha<1$的Caputo分数阶导数, $f, g\in [t_0, +\infty)\times C([-r, 0], {\mathbb{R}}^n)$满足一些假设的给定函数, $\phi\in C([-r, 0], {\mathbb{R}}^n)$.如果$x\in C([t_0-r, t_0+a])$ ($a>0$),则对任意的$t\in [t_0, t_0+a]$, $x_t$定义为$x_t(\theta)=x(t+\theta) $, $\theta\in [-r, 0]$.基于Krasnoselskii不动点定理,文献[13]得到了初值问题(1.3)-(1.4)三个解的局部存在性定理.

微分方程初值问题全局解的存在性是研究李雅普诺夫意义下稳定性的先决条件.然而,目前致力于研究分数阶时滞微分方程解的全局存在性的文章还比较少^[14].在2008年, Lakshmikantham在文献[14]中运用比较原则研究一类分数阶微分差分方程初值问题

(1.5) $D_{t_0, t}^{q}x(t)=f(t, x_t), \quad t>t_0, $

(1.6) $x_{t_0}=\phi_{0}\in {\cal C}$

解的全局存在性,其中$0<\alpha<1$, $\tau>0$, $t_0\geq 0$, ${\cal C}= C([-\tau, 0], {\mathbb{R}})$表示$[-\tau, 0]$上的连续函数空间.初值问题(1.5)-(1.6)的解的全局存在性如下

定理1.1^{[14,定理4.2]}  设$f\in C([t_0, \infty )\times {\cal C}, {\mathbb{R}})$,且对$(t, \phi)\in [t_0, \infty)\times {\cal C}$,

(1.7) $|f(t, \phi)|\leq |g(t, \|\phi\|)|, $

其中对每个$t$, $g(t, u)\in C([t_0, \infty)\times {\mathbb{R}}_{+}, {\mathbb{R}}_{+} )$关于$u$是非减的.如果$t\geq t_0$时初值问题

(1.8) $D_{t_0, t}^{q}u=g(t, u), $

(1.9) $u(t_0)=u_0\geq 0$

的最大解$\eta(t)=\eta(t, t_0, u_{0})$存在,则初值问题(1.5)-(1.6)解$x(t_0, \phi_0)(t) $的最大存在区间是$[t_0-\tau, \infty)$.

初值问题(1.5)-(1.6)是在一维空间中讨论的.也就是说, (1.5)的未知函数$x(t)$在${\mathbb{R}}$中.在空间${\mathbb{R}}^n$ ($n>1$)中,初值问题(1.5)-(1.6)定义在$[t_0-\tau, \infty)$上的解还没有相关结果.受此启发,在这篇文章中,我们考虑分数阶时滞微分方程初值问题

(1.10) $^CD_{t_{0}, t}^{\alpha}x(t)=f(t, x_{t}), \quad t\geq t_0\geq 0, $

(1.11) $x_{t_{0}}(\theta)=\phi(\theta), \quad \theta\in[-r, 0] $

的全局解的存在性,其中$x\in {\mathbb{R}}^n$, $0<\alpha\leqslant1$, $^CD_{t_{0}, t}^{\alpha}$表示下限为$t_0$的$\alpha$阶Caputo导数, $f\in C([t_0, \infty)\times {\cal C}, {\mathbb{R}}^n )$, ${\cal C}=C([-r, 0], {\mathbb{R}}^n )$, $\phi\in {\cal C}$, $r>0$, $x_{t}=x(t+\theta)$, $-r\leqslant\theta\leqslant 0$, $t\geq t_0$.

这篇文章的剩余部分结构如下:第二节介绍一些预备知识,第三节给出这篇文章的主要结果.

在这篇文章中,记号${\mathbb{R}} ^n$表示$ n$维欧氏空间. ${\cal C}=C([-r, 0], {\mathbb{R}} ^n)$表示从$[-r, 0]$到${\mathbb{R}}^n$的连续函数空间. $|\cdot|$表示欧氏空间上的向量范数.对任意的$\phi \in {\cal {\cal C}}$,定义范数$\|\phi\|=\sup \limits_{\theta \in [-r, 0]} |\phi(\theta)|_{{\mathbb{R}}^n}$.

定义2.1^{[1, 5]}  给定${\mathbb{R}}$的一个区间$[a, b]$,函数$f\in L^{1}([a, b], {\mathbb{R}} ^n)$的$\alpha$ ($\alpha\in {\mathbb{R}} ^+$)阶积分定义为

(2.1) $I_{a, t}^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{a}^{t} (t-s)^{\alpha-1}f(s){\rm d}s, \quad t\in [a, b], \quad \alpha>0, $

其中$\Gamma$为Gamma函数.

定义2.2^{[1, 5]}  设函数$f$定义在$[a, b]$上且$f^{(n)}(t)\in L^1[a, b]$.函数$f$的下限为$a$的$\alpha$阶Caputo导数定义为

(2.2) $^CD_{a, t}^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_{a}^{t}(t-s)^{n-\alpha-1}f^{(n)}(s){\rm d}s, \quad t\in [a, b], $

其中$0<n-1<\alpha\leq n $.

特别,当$0<\alpha\leq 1$时,有

(2.3) $^CD_{a, t}^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_{a}^{t}(t-s)^{-\alpha}f' (s){\rm d}s= I_{a, t}^{1-\alpha}f' (t), \quad t\in [a, b].$

定义2.3  如果$x$在$[t_0-r, b)$上连续,在$[t_0, b)$上连续可微且$t\geq t_0$满足方程$ (1.10)$,则称$x$是方程(1.10)在$[t_0, b)$的一个解.

定义2.4  设$f$连续, $x$是方程(1.10)在区间$[t_0, b)$上的一个解, $b>t_0$.我们称$\widehat{x}$是$x$的一个延拓解,如果存在一个常数$b_1>b$使得$\widehat{x}$定义在$[t_0-r, b_1)$,在$[t_0-r, b)$上与$x$相等,且在$[t_0, b_1)$上$\widehat{x}$满足方程(1.10).

记

(2.4) $I_0=[t_0, t_0+\delta]$

和

(2.5) $A(\delta, \gamma)=\left\{x\in C([t_0-r, t_0+\delta ], {\mathbb{R}}^n )|x_{t_0}=\phi, \sup\limits_{t_0\leq t\leq t_0+\delta}|x(t)-\phi(0)|\leq \gamma \right\}, $

其中$\delta$, $\gamma$是正常数.进一步假设

(H$_1)$$f(t, \varphi)$在$I_0$上关于$t$是可测的;

(H$_2)$$f(t, \varphi)$在$C([-r, 0], {\mathbb{R}}^n)$上关于$\varphi$是连续的;

(H$_3)$存在$\alpha_1\in (0, \alpha)$和一个实值函数$m(t)\in L^{\frac{1}{\alpha_1}}(I_0)$使得对每个$x\in A(\delta, \gamma)$,成立$|f(t, x_t)|\leq m(t)$, $t\in I_0$.

引理2.1^{[13, Theorem 3.1]}  假设存在 $\delta\in (0, a)$ 和 $\gamma\in (0, +\infty)$ 使得假设(H$_1$)-(H$_3$)成立.则存在正实数 $\eta$ ,使得初值问题(1.3)-(1.4) (情形 $g(t, x_t)=0$ )

(2.6) $D_{t_0, t}^{\alpha}x(t)=f(t, x_t), \quad t\in [t_0, +\infty), \quad t_0\geq 0, $

(2.7) $x_{t_0}=\phi$

在 $[t_0, t_0+\eta]$ 上至少存在一个解.

在这节中,我们首先给出初值问题(1.10)-(1.11)解的局部存在性.

定理3.1  假设 $f\in C([t_0, \infty )\times {\cal C}, {\mathbb{R}}^n)$ .则初值问题(1.10)-(1.11)在$[t_0-r, t_0+\eta]$上至少存在一个解, $\eta>0$.

证  我们将运用引理2.1来证明这个定理.只需证明：存在正数$\delta$和$\gamma$使得方程(1.10)中的函数$f$满足引理2.1的条件(H$_1)$-(H$_3)$.因为$f\in C([t_0, \infty )\times {\cal C}, {\mathbb{R}}^n)$,所以对任意正数$\delta$和$\gamma$, $f$满足条件(H$_1)$-(H$_2)$.下面我们证明$f$满足条件(H$_3)$.

选择正数$\gamma=2\|\phi\|$,其中$\phi$是初值问题(1.10)-(1.11)的初始函数.设$I_{0}$和$A(\delta, \gamma)$分别由(2.4)和(2.5)式给定.记

(3.1) $B\triangleq \{ x_t\in {\cal C}: x(t)\in A(\delta, \gamma) \}.$

则集合$B$是有界的.事实上,对$x_t\in B$,成立

(3.2) $\sup\limits_{t_0\leq t\leq t_0+\delta}|x(t)-\phi(0)|\leq \gamma.$

对$t\in[t_0-r, t_0]$,成立

(3.3) $\sup\limits_{t_0-r\leq t\leq t_0}|x(t)-\phi(0)|\leq \sup\limits_{t_0-r\leq t\leq t_0}(|x(t)|+|\phi(0)|) \leq 2\|\phi\|=\gamma.$

结合(3.2)和(3.3)式得到

(3.4) $\sup\limits_{\theta\in [-r, 0]}|x_t(\theta)-\phi(\theta) |\leq \gamma, \quad t\in [t_0, t_0+\delta].$

于是对$x_t\in B$成立$\|x_t-\phi\|\leq \gamma$.这说明集合$B$包含在有界闭集$\bar{O}(\phi, \gamma)$中.因此,集合$I_{0}\times B$是有界闭集$I_{0}\times \bar{O}(\phi, \gamma) \subset [t_0, +\infty]\times {\cal C} $的一个子集.因为$f\in C([t_0, +\infty]\times {\cal C}, {\mathbb{R}}^n)$,所以泛函$f$在集合$I_0\times B$上是有界的.否则,至少存在一个点$(t_1, x_{t_1}) \in I_0\times B$使得当$(t, x_t)\to (t_1, x_{t_1}) $时$|f(t, x_t)| \to \infty$,这与$f$在点$(t_1, x_{t_1})$的连续性相矛盾.由泛函$f$在$I_0\times B$上的有界性知,存在常数$M>0$使得$|f(t, x_t)|\leq M$, $(t, x_t)\in I_0\times B$.选择$m(t)=M$.由于$(t, x_t)\in I_0\times B$时$|f(t, x_t)|\leq M$知, $f(t, x_t)$满足引理2.1的条件(H$_{3})$.由引理2.1知,存在一个正数$\eta$使得初值问题(1.10)-(1.11)在$[t_0-r, t_0+\eta]$上至少有一个解.

注3.1  文献[14]中的定理3.1关于解的局部存在性仅仅在一维空间中成立,而本文中的定理3.1在${\mathbb{R}}^n$ ($n\geq 1$)中成立.

定理3.2  设$f\in C([t_0, \infty )\times {\cal C}, {\mathbb{R}}^n)$,且对$[t_0, \infty)\times {\cal C}$每个紧子集, $f(t, \varphi)$关于$\varphi$满足李普希兹条件,即存在一个常数$k>0$使得

(3.5) $|f(t, \psi_1)-f(t, \psi_2)|\leq k\|\psi_1-\psi_2\|, \quad \psi_1, \psi_2\in {\cal C}, $

则初值问题(1.10)-(1.11)有唯一解.

证  由定理3.1可知,初值问题(1.10)-(1.11)在$[t_0-r, t_0+\eta]$上至少存在一个解, $\eta>0$.如果$x(t)$和$y(t)$都是初值问题(1.10)-(1.11)在$[t_0-r, t_0+\eta]$上过$[t_0, \phi]$的解,则$x(t)$和$y(t)$分别满足

(3.6) $x(t)=\phi(0)+\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{t_0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}f(s, x_s){\rm d}s, \quad t_0\leq t\leq t_0+\eta, $

(3.7) $x_{t_0}(\theta)=\phi(\theta), \quad \theta\in [-r, 0] $

和

(3.8) $y(t)=\phi(0)+\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{t_0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}f(s, y_s){\rm d}s, \quad t_0\leq t\leq t_0+\eta, $

(3.9) $y_{t_0}(\theta)=\phi(\theta), \quad \theta\in [-r, 0]. $

由(3.6)-(3.9)式知

(3.10) $x(t)-y(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{t_0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}[f(s, x_{s})-f(s, y_s)]{\rm d}s, $

(3.11) $x_{t_0}(\theta)-y_{t_0}(\theta)=0, \quad \theta\in [-r, 0]. $

结合(3.5)和(3.10)式得到

(3.12) $|x(t)-y(t)|\leq \frac{k}{\Gamma(\alpha)}\int_{t_0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}\sup\limits_{t_0\leq s\leq t_0+\eta}\|x_s-y_s\|{\rm d}s, \quad t_0\leq t\leq t_0+\eta. $

由$x_{t_0}=y_{t_0}$知对$t_0\leq t\leq t_0+\eta$成立

(3.13) $\sup\limits_{t_0\leq s\leq t}\|x_s-y_s\|=\sup\limits_{t_0-r\leq s\leq t}|x(s)-y(s)|\leq \sup\limits_{t_0\leq s\leq t_0+\eta}|x(s)-y(s)|.$

由(3.12)和(3.13)式得

(3.14) $\begin{eqnarray}|x(t)-y(t)|&\leq &\frac{k}{\Gamma(\alpha)}\int_{t_0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}{\rm d}s \sup\limits_{s\in [t_0, t_0+\eta]}|x(s)-y(s)| \\& =&\frac{k(t-t_0)^{\alpha}}{\Gamma(\alpha+1)}\sup\limits_{s\in [t_0, t_0+\eta]}|x(s)-y(s)| \\&\leq&\frac{k\eta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha+1)}\sup\limits_{s\in [t_0, t_0+\eta]}|x(s)-y(s)|, \quad t_0\leq t\leq t_0+\eta. \end{eqnarray}$

于是得到

(3.15) $\sup\limits_{t\in [t_0, t_0+\eta]}|x(t)-y(t)|\leq \frac{k\eta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha+1)}\sup\limits_{s\in [t_0, t_0+\eta]}|x(s)-y(s)|.$

取正数$\eta_{1}$($\eta_1<\eta$)使得$\frac{k\eta_1^{\alpha}}{\Gamma(\alpha+1)}<1$.由(3.15)式知

(3.16) $\sup\limits_{t\in [t_0, t_0+\eta_1]}|x(t)-y(t)|< \sup\limits_{s\in [t_0, t_0+\eta_1]}|x(s)-y(s)|.$

再由$x_{t_0}=y_{t_0}$得

(3.17) $\sup\limits_{t\in [t_0-r, t_0+\eta_1]}|x(t)-y(t)|< \sup\limits_{s\in [t_0-r, t_0+\eta_1]}|x(s)-y(s)|.$

矛盾.

下面我们运用文献[32]中的方法讨论方程(1.10)解的延拓.

定理3.3  设$f\in C([t_0, \infty )\times {\cal C}, {\mathbb{R}}^n)$.如果$x$是初值问题(1.10)-(1.11)在$[t_0-r, b)$上的一个不可延拓的解,则对任一紧集$W \subset [ t_0, \infty)\times {\cal C}$,存在$t_w$使得$t_w\leq t<b$时$(t, x_t)\not \in W$.

证  情形$b=\infty$,定理的结论显然成立.因此我们仅仅考虑$b<\infty$的情形.

如果定理的结论不真,则必存在一个序列$\{t_k\}$$ : t_k \rightarrow b^-$, $k\rightarrow\infty$使得$(t_k, x_{t_k})\in W$.因为$W$是紧的,所以存在$\psi \in {\cal C}$使得

(3.18) $(t_k, x_{t_k})\rightarrow (b, \psi) \in W, \quad k\rightarrow\infty.$

因此,对任意的$\varepsilon\in(0, r)$,有

(3.19) $\lim\limits_{k\rightarrow\infty} \sup\limits_{\theta \in [-r, -\varepsilon]}|x(t_k+\theta)-\psi(\theta)| =0.$

于是当$-r\leq\theta<0$时成立$x(b+\theta)=\psi(\theta)$.从而有$\lim \limits_{t\rightarrow b^-}x(t)=\psi(0)$.定义$x(b)=\psi(0)$.则$\|\psi\|=\|x_b\|$且$(b, \psi)=(b, x_b)\in W \subset[t_0, \infty)\times {\cal C} $.由定理3.1知,存在$q>0$使得方程(1.10)的解$x(b, \psi)(t)$在$[b-r, b+q]$上存在.这与解$x$在$[t_0-r, b)$上不可延拓相矛盾.

现在我们介绍初值问题(1.10)-(1.11)解的全局存在性定理.

定理3.4  设$f\in C([t_0, \infty)\times {\cal C}, {\mathbb{R}}^n )$.如果存在一个连续函数$g(t)$使得$|f(t, x_{t})|\leq g(t)$, $ t\in [t_0, \infty)$,则初值问题(1.10)-(1.11)在$[t_{0}-r, \infty)$上至少有一个解.

证  由定理3.1可知,初值问题(1.10)-(1.11)在$[t_0-r, t_0+\eta]$ ($\eta>0$)上至少有一个解.如果定理的结论不成立,则存在一个常数$b$ ($b>t_0+\eta$)使得初值问题(1.10)-(1.11)的解在$[t_0-r, b)$上不可延拓.于是由定理3.3知,存在序列序列$t_k$, $k=1, 2, \cdots, $满足$t_0\leq t_1<t_2< \cdots <t_k< \cdots <b$且$t_k\to b$, $k\to \infty$使得

(3.20) $\| x_{t_k}\|\to \infty, \quad k\to \infty. $

初值问题(1.10)-(1.11)等价于

(3.21) $x(t)=\phi(0)+\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{t_{0}}^{t}(t-s)^{\alpha-1}f(s, x_{s}){\rm d}s, \quad t_0\leq t <b.$

记$\max\limits_{t\in [t_0, b]}|g(t)|=M$.则对一切$t_0\leq t<b$时,成立

(3.22) $\begin{eqnarray}|x(t)|& \leq& |\phi(0)|+\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{t_{0}}^{t}(t-s)^{\alpha-1}|f(s, x_{s})|{\rm d}s \\&\leq&|\phi(0)|+\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{t_{0}}^{t}(t-s)^{\alpha-1}|g(s)|{\rm d}s \\&\leq& |\phi(0)|+ \frac{(t-t_0)^{\alpha}}{\Gamma(\alpha+1)}M \\&<&|\phi(0)|+\frac{(b-t_0)^{\alpha}}{\Gamma(\alpha+1)}M<\infty.\end{eqnarray}$

不等式(3.22)与(3.20)式矛盾.

注3.2  文献[14]中的定理4.2仅在一维空间${\mathbb{R}}$中成立.本文的定理3.4在$n$维空间${\mathbb{R}}^n$$ (n\geq 1)$中成立.另外,本文定理3.4的限制条件比文献[14]中的定理4.2的限制条件少.本文的定理3.4是文献[14]中定理4.2的一个推广.

由定理3.4,容易得到下面的推论.

推论3.1  设$f\in C([t_0, \infty)\times {\cal C}, {\mathbb{R}}^n )$.如果函数$f$是有界的,则初值问题(1.10)-(1.11)在$[t_{0}-r, \infty)$上至少有一个解.

推论3.2  设$f\in C([t_0, \infty)\times {\cal C}, {\mathbb{R}}^n)$.如果$f(t, \varphi)$有界且关于$\varphi\in {\cal C}$满足李普希兹条件,则初值问题(1.10)-(1.11)在$[t_0-r, \infty)$上有唯一解.