Banach收缩原理是不动点理论中最基础且最重要的结果,它不仅在数学领域而且在很多其它领域中也具有广泛的应用.很多学者以各种形式推广和改进了Banach收缩原理,得到很多重要结果,最典型和简单形式的结果是Kannan型不动点定理^[1]和Chatterjea型不动点定理^[2].

2008年, Akram, Zafar和Siddiqui^[3]引进了如下三元函数类${\cal A}$如下.

${\cal A}$是所有满足以下两个条件的函数$\alpha:\mathbb{R} _{+}^{3}:={[0, \infty)}^{3} \to \mathbb{R} _{+}:=[0, \infty)$的集合

($\alpha$1) $\alpha$是连续的(关于$\mathbb{R} _{+}^{3}$的Eucliean度量);

($\alpha$2)存在$k \in [0, 1)$,当$a\leq \alpha(a, b, b)$或$a\leq \alpha(b, a, b)$或$a\leq \alpha(b, b, a)$, $\forall \, a, b\in [0, \infty)$时$a \leq k\, b$.

同时,他们在实度量空间上定义了${\cal A}$ -收缩的概念.

实度量空间$X$上的自映射$T是{\cal A}$ -收缩是指对任何$x, y \in X$,

其中$\alpha \in {\cal A}$,并利用此条件得到了若干个重要的不动点存在定理. 2012年, Saha和Dey^[4]利用${\cal A}$ -收缩把文献[3]中部分结果推广到积分型的结论.文献[3]中指出${\cal A}$ -收缩条件推广和改进了$M$ -收缩^[5], $K$ -收缩^[1], $B$ -收缩^[6]和$R$ -收缩^[7]等.显然, ${\cal A}$ -收缩也是如下收缩条件的推广

其中$a, b, c\in [0, 1)$且满足$a+b+c<1$,因此也是以下收缩条件的推广

其中$k\in [0, \frac{1}{3})$,因此文献[3]的结论也推广了Kannan型定理的变形结果^[8].另外,文献[9]的作者在复值度量空间上引进${\cal A}$ -收缩概念,讨论并得到了文献[3]中的相应结论.

本文的目的是把${\cal A}$ -收缩定义的条件($\alpha$2)中的$k\in [0, 1)$改成$k=1$,并得到一个或一族映射的(公共)不动点存在定理.

文献[3]中作者通过利用给定条件构造数列$\{x_n\}$并利用柯西准则(即$d(x_{n+1}, x_{n+2})\leq h\, d(x_{n}, x_{n+1}), \forall \, n\in {\mathbb N}$,其中$h \in [0, 1)$为常数)判别$\{x_n\}$的柯西性,但是在$h=1$的条件下不能利用柯西准则,因此需要与文献[3]完全不同的方法证明柯西性.

首先,给出一类新的函数类${\cal A^{*}}$.

定义1.1  一个非空集合${\cal A}^{*}$是由所有满足如下性质的函数$\alpha'$组成的,其中$\alpha' :\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}$具有

(Ⅰ) $\alpha'在\mathbb{R} _{+}^{3}$的每个变元上都连续;

(Ⅱ)当$a\ne 0且a\leq\alpha' (a, b, b)$或$a\leq\alpha' (b, a, b)$或$a\leq\alpha' (b, b, a)$时, $a< b$;

例1.1  定义$\alpha' :\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}$为

显然$\alpha'$是连续的.假设$x_1 \ne 0$且成立$x_1\leq\alpha' (x_1, x_2, x_2)$,则

于是$x_1<x_2.$类似地,可证明(Ⅱ)中的另两个事实.因此$\alpha' \in {\cal A}^{*}$.另一方面,显然$\alpha' \notin {\cal A}$.

例1.2  定义函数$\alpha' : ({\mathbb{R} }_{+})^{3} \to {\mathbb{R} }_{+}$为$\alpha' (x_1, x_2, x_3)=\beta x_1+\gamma x_2+\sigma x_3, \, \forall \, x_1, x_2, x_3 \in {\mathbb{R} }_{+}$,其中$\beta, \gamma, \sigma \in [0, \infty)$且满足$\beta+\gamma+\sigma<1$.易知$\alpha' \in {\cal A} \subset {\cal A}^{*}.$

注1.1  (1)根据${\cal A}$ -收缩定义,定义1.1及例1.1可知${\cal A} \subsetneq {\cal A}^{*}$.

(2)若$\alpha' \in {\cal A}^{*}$,则$x\leq\alpha' (x, 0, 0)$或$x\leq\alpha' (0, x, 0)$或$x\leq\alpha' (0, 0, x)$时$x=0$,否则若$x\ne 0$,则根据(Ⅱ)得到$x<0$,这是矛盾.

(3)若$\alpha' \in {\cal A}^{*}$,则当$x\leq\alpha' (x, x, x)$时$x=0$,否则若$x\ne 0$,则根据(Ⅱ)得到$x<x$,这是矛盾.

文献[3]中给出了如下形式的${\cal A}$ -隐式收缩型映射的不动点存在定理.

定理2.1  设$(X, d)$为完备的实度量空间, $T$为$X$上的自映射使得

其中$\alpha\in {\cal A}$.则$T$有唯一的不动点$z\in X$,且对$\forall x\in X$, $\lim\limits_{n\to \infty}T^{n}x=z$.

首先,用${\cal A}^{*}$代替${\cal A}$得到定理2.1的变形和改进的结果.

定理2.2  设$(X, d)$为完备的实度量空间, $T$为$X$上的自映射且满足如下条件

其中$\alpha' \in {\cal A}^{*}$.则$T$有唯一的不动点$z\in X$,且对$\forall x\in X$, $\lim\limits_{n\to \infty}T^{n}x=z$.

证  任取$x \in X$并记$x_0=x$.定义$Tx_{n}=x_{n+1}$, $\forall n\in{\mathbb N}\cup \{0\}$.如果存在非负整数$n$使得$x_n=x_{n+1}$,则$x_n是T$的不动点.于是可假设$x_n\ne x_{n+1}$, $\forall \, n \in {\mathbb N}\cup \{0\},$因此$d(x_n, x_{n+1})\ne 0$, $\forall \, n \in {\mathbb N}\cup \{0\}.$

由(2.1)式,对每个$n=1, 2, \cdots,$有

于是根据$\alpha' \in {\cal A}^{*}$的条件(Ⅱ),有

由(2.2)式易知$\{d(x_{n}, x_{n+1})\}_{n=0}^{\infty}$是单调下降的实数列,因此存在非负实数$a \in[0, \infty)$满足

对已知式子$d(x_{n}, x_{n+1})\leq\alpha' (d(x_{n-1}, x_{n}), d(x_{n-1}, x_{n}), d(x_{n}, x_{n+1}))$的两边取$n\rightarrow\infty$,则根据(2.3)式及$\alpha'$的连续性得到

因此根据注1.1(3)得到

假设$\{x_{n}\}$不是柯西序列,则存在$c \in (0, \infty)$使得对任何$k\in{\mathbb N}$,存在$m(k)>n(k)>k且m(k), n(k)\in{\mathbb N}$,满足

不妨设$m(k)$是满足(2.6)式的最小正整数,则有

因为

因此结合(2.5)式得到

又因为

及

因此

于是结合(2.5)及(2.8)式得到

同理,因为

及

因此

于是结合(2.5)及(2.9)式得到

根据(2.1)式,我们有下列关系

整理得

令$k\rightarrow\infty$,则根据(2.5), (2.8)和(2.10)式及函数$\alpha'$的连续性得到

因此根据注1.1(2)得到$c=0$,这是矛盾的.于是$\{x_{n}\}$必是柯西序列.由$X$的完备性,存在$z\in X$使得

根据(2.1)式得

令$n\rightarrow\infty$,则由上式得到

于是根据注1.1(2)得到$d(Tz, z)=0,$因此$Tz=z$,即$z$为$T$的不动点.

假设$w$也是$T$的一个不动点,则由(2.1)式可得

于是根据注1.1(2)得到$d(z, w)=0.$因此$z=w$,于是$z$为$T$的唯一不动点.

例2.1  令$X=\{a, b, c\}$并定义$d:X \times X \to [0, \infty)$为

则易知$(X, d)$是完备的度量空间.定义映射$T:X \to X$为$Ta=Tc=a, Tb=c$.

考虑例1.1中的函数$\alpha' :\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}$,对任何$x_1, x_2, x_3\in [0, \infty)$

由于

因此可知

于是$T, \alpha'$满足定理2.1的所有条件,于是$T$有唯一不动点$a.$

注2.1  (1)由于在定理2.2中构造的序列$\{x_n\}$满足$x_{n+1}=Tx_n\in TX$,因此$X$的完备性可用$TX$的完备性代替.

(2)考虑例1.2中的函数$\alpha'$.如果取$\beta<1, \gamma=\sigma=0$,则定理2.2就是实度量空间上的Banach不动点定理,如果取$\beta=0, \gamma=\sigma< \frac{1}{2}$,则定理2.2就是实度量空间上的Kannan型不动点定理,如果取$\beta=\gamma=\sigma<\frac{1}{3}$,则定理2.2就是变形的Kannan不动点定理.

下列结果是定理2.1在$X$及$TX$的非完备条件下的表现形式.

定理2.3  设$(X, d)$为实度量空间, $T$为$X$的一个自映射且满足(2.1)式.如果存在$x_0 \in X$使得迭代序列$\{T^{n}x_0\}_{n\in {\mathbb N}}$有收敛的子序列$\{T^{n_i}x_0\}_{i\in {\mathbb N}}$,则$T$有唯一的不动点.

证  令$x_{n}=T^{n}x_{0}$ ($n=1, 2, \cdots$),则$x_{n}=Tx_{n-1}$ ($n=1, 2, \cdots$).正像定理2.2的证明过程可知$\{x_n \}$是柯西序列.根据给定条件存在子序列$\{x_{n_i}\}$是收敛的,不妨设其极限为$z$,则容易证明$\{x_n\}$也收敛于$z,$即$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}d(x_{n}, z)=0.$余下的证明完全相同于定理2.2的证明,在此省略.

现在,将给出无穷多的映射的公共不动点的存在定理.

定理2.4  设$(X, d)$为完备的实度量空间, $\{T_i\}_{i=1}^{\infty}是X$上的自映射族.如果对任何$i, j \in{\mathbb N}且i\ne j$,

其中$\alpha' \in {\cal A}^{*}$.则$\{T_i\}_{i=1}^{\infty}$有唯一的公共不动点$z\in X$.

证  任取$x_0 \in X$,则归纳地可定义一个序列$\{x_n\}_{n=0}^{\infty}$满足如下条件$x_n=T_nx_{n-1},$$n=1, 2, \cdots.$

对任何$n=1, 2, \cdots$,根据(2.11)式,有

整理得

于是根据$\alpha'$的性质得到

采用(2.3)-(2.5)式的过程可推出$\lim\limits_{n\to \infty}d(x_n, x_{n+1})=0,$即(2.5)式成立.

假设$\{x_{n}\}$不是柯西序列,则存在$c \in (0, \infty)$使得对任何$k\in{\mathbb N}$,存在$m(k)>n(k)>k且m(k), n(k)\in{\mathbb N}$,满足

不妨设$m(k)$是满足上式的最小正整数,则有

采用(2.7)-(2.10)式的证明过程可得到

根据(2.11)式,有

整理得到

在上式中取$k\to \infty$,则根据(2.5), (2.12)式及$\alpha'$的性质得到

于是根据注1.1(2)得到$c=0$,这是一个矛盾,故$\{x_{n}\}$柯西序列.由$X$的完备性存在$z \in X$使得

对任何固定的$n=1, 2, \cdots,$考虑$i\in {\mathbb N}$使得$i>n$.根据(2.11)式,有

即

令$i \to \infty$,则有上式得到

于是得到

因此$z是\{T_i\}_{i=1}^{\infty}$的一个公共不动点.如果$y$也是$\{T_i\}_{i=1}^{\infty}$的公共不动点,则由(2.11)式,有

因此得到$d(z, y)=0 \Longrightarrow z=y$.这说明$z是\{T_i\}_{i=1}^{\infty}$的唯一公共不动点.

根据定理2.4,得到更一般性的结果.

定理2.5  设$(X, d)$为完备的实度量空间, $\{T_i\}_{i=1}^{\infty}是X$上的自映射族, $\{m_i\}_{i=1}^{\infty}$是正整数组.如果对任何$i, j \in{\mathbb N}且i\ne j$,有

其中$\alpha' \in {\cal A}^{*}$.则$\{T_i\}_{i=1}^{\infty}$有唯一的公共不动点$z\in X$.

证  令$f_i=T_i^{m_i}$, $\forall \, i=1, 2, \cdots$,则$\{f_i\}_{i=1}^{\infty}$满足定理2.4的所有条件,因此$\{f_i\}_{i=1}^{\infty}$有唯一公共不动点$u \in X.$

任意固定$i \in {\mathbb N}$.因为$f_iT_iu=T_if_iu=T_iu$,因此$T_iu是f_i$的不动点.对任何$j \in {\mathbb N}且j\ne i$,根据(2.13)式

因此

这导出$d(T_iu, f_jT_iu)=0$,因此$T_iu是f_j$的不动点($\forall \, j \ne i$),于是$T_iu是\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$的公共不动点.由$\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$的不动点的唯一性得到$T_iu=u$($\forall \, i \in {\mathbb N}$),因此$u是\{T_i\}_{i=1}^{\infty}$的公共不动点.显然, $u是\{T_i\}_{i=1}^{\infty}$的唯一公共不动点.

我们将给出具有两个实度量的非空集合上满足${\cal A}^{*}$ -隐式收缩条件的映射的唯一不动点定理.

定理2.6  设$(X, d)$和$(X, \delta)$是两个实度量空间. $T:X\rightarrow X$是一个映射使得

(1)对任何$x, y\in X$, $d(x, y)\leq \delta(x, y)$;

(2) $X$关于$d$是完备的;

(3) $T在(X, d)$上连续的;

(4)存在$\alpha' \in {\cal A^{*}}$使得对任何$x, y\in X$,有

则$T$有唯一的不动点$z\in X$.

证  正像定理2.2的证明过程可构造序列$\{x_n\}$使其满足$x_{n+1}=Tx_n$且根据(2.14)式可证明$\{x_n\}在(X, \delta)$上是柯西序列.于是根据条件(1)可知$\{x_n\}在(X, d)$上也是柯西序列.根据条件(2)存在$z \in X$使得

根据条件(3),有

于是$Tz=z$.

假设$w$也是$T$的不动点,则由(2.14)式得到

因此根据注1.1(2)得到$\delta(z, w)=0$,即$z=w.$于是$z$为$T$的唯一不动点.

注2.2   1)若(2.14)式中的$\delta(x, y), \delta(x, Tx), \delta(y, Ty)$分别用$d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty)$代替,则定理2.6中的$T$的连续性是多余的.事实上,此时,由(2.14)式和条件(1)得到(2.1)式,因此根据定理2.2得到定理2.6的结果.

2)若(2.14)式中的$\delta(x, y), \delta(x, Tx), \delta(y, Ty)$部分地分别用$d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty)$代替,且$\alpha'$关于每个变元是单调递增的(即当$x_1\leq x_2, y_1\leq y_2, z_1\leq z_3$时$\alpha' (x_1, y_1, z_1)\leq \alpha' (x_2, y_2, z_2)$),则定理2.6仍成立.

下面结果是定理2.6在没有完备条件且仅在一点连续条件下的表现形式.

定理2.7  设$(X, d)$和$(X, \delta)$是两个实度量空间. $T:X\rightarrow X$是一个映射使得

(ⅰ)定理2.6中条件(1)和(4)成立;

(ⅱ)存在$x_{0}\in X$使得迭代序列$\{T^{n}x_{0}\}$有一个子序列$\{T^{n_{i}}x_{0}\}在(X, d)$中收敛于$z$;

(ⅲ) $T在z\in X$关于度量$d$是连续的;

则$T$有唯一的不动点$z\in X$.

证  取条件(ⅱ)中给定的$x_{0}$,定义序列$x_{n}=Tx_{n-1}$ ($n=1, 2, \cdots$),则$x_{n}=T^{n}x_{0}$ ($n=1, 2, \cdots$).根据定理2.6的证明过程,由条件(ⅰ)可推出$\{x_{n}\}在(X, d)$中是柯西序列.又由条件(ⅱ)知存在序列$\{x_{n}\}$的子序列$\{x_{n_{i}}\}在(X, d)$中收敛于$z$,于是容易得到$\{x_{n}\}在(X, d)$中收敛于$z$,即

根据条件(ⅲ)得到

于是$Tz=z$.余下的证明完全类似与定理2.6,在此省略.