设${\bf H}$为实或复的希尔伯特空间, 其内积及相应范数分别定义为$\langle\cdot, \cdot\rangle$和$\|\cdot\|$, ${\bf X}$为${\bf H}$连续紧嵌入子空间, $Z^+$表示所有正整数集合.对任何给定的整数$q\ge 0$和实数$t_1, t_2$, $C^q[t_1, t_2]$表示所有$q$次连续可微映射$x: [t_1, t_2]\to \bf X$组成的集合, 其范数定义如下

$ \|x\|_{C^q[t_1, t_2]} =\sum\limits_{i=0}^q\max\limits_{t\in [t_1, t_2]}\|x^{(i)}(t)\|. $

特别的, $C^0[t_1, t_2]$简记为$C[t_1, t_2]$.

本文致力于中立型延迟微分方程(NDDEs)真解的长时间稳定性.这类方程具有以下形式

$ \begin{equation} y^{\prime}(t) = f(t, y(t), y(t-\tau(t)), y^{\prime}(t-\tau(t)), ~~~~~~~~t\geq t_0, \end{equation} $

(1.1)

$ \begin{equation} y(t) = \phi(t), ~~~~~~~~~t_{*}\leq t\leq t_0, \end{equation} $

(1.2)

其中$t_0\ge 0$, $t_{*}=\inf_{t\geq t_0}\{t-\tau(t)\}$, $\phi\in C^1[t_{*}, t_0]$, $\eta(t):=t-\tau(t)$和$\tau(t)$连续且分别满足

$ \begin{equation}\lim\limits_{t\to +\infty}\eta(t)=+\infty, \end{equation} $

(1.3)

$ \begin{equation} \tau(t)\geq\tau_{0}>0, ~~\forall t\geq t_0, \end{equation} $

(1.4)

这里$\tau_0$为常数.当延迟为实常数时, 即$\tau(t)=\tau$, 条件(1.3)和(1.4)显然满足.

中立型延迟微分方程在许多科学领域中有着广泛应用^{[1-3, 5, 8, 14]}, 因而最近其解的性质引起了众多学者的兴趣.本文研究其解的长时间稳定性, 即, 对于任何连续可微初始函数$\phi$, 方程(1.1)的解是一致最终有界的.该性质在动力系统的研究领域被称为耗散性.由有界吸引集所表征的耗散系统展现出更复杂的动力学行为, 如混沌.许多学者对ODEs生成的动力系统及其数值离散系统的耗散性进行了大量的研究工作(参见文献[10-11, 13, 18-19]). Hale将耗散性概念推广到滞后型泛函微分方程(RFDEs)和Hale型中立型泛函微分方程(HNFDEs), 并研究了无穷维耗散系统的长时间行为^[9].然而, 将这种耗散性概念推广到一般变延迟NDDEs (1.1)-(1.2)似乎是困难的.其主要原因是初始函数$\phi$是连续可微的, 但其解$y$一般不是, 因此NDDEs (1.1)-(1.2)难以生成一个动力系统.这促使我们研究一般形式的中立型变延迟微分方程NDDEs (1.1)解的一致最终有界性.

对常微分方程(ODEs)和延迟微分方程(DDEs)真解和数值解的一致最终有界性, 已有大量的研究工作(参见文献[6, 10-13, 18-21, 29-31]).对NDDEs, 尽管几位研究者已研究了其真解和数值解的一致最终有界性(如, 王和李^[22]研究了具有分段常数延迟的NDDEs, 王和张^[25]研究了比例延迟NDDEs, 甘^[7]研究了常延迟NDDEs), 然而由于一般变延迟NDDEs (1.1)的困难性, 他们的注意力主要集中于NDDE (1.1)的一些特殊情况.据我们所知, 至今为止, 尚未见到任何关于一般变延迟NDDEs (1.1)解的一致最终有界性的研究文献.

我们也指出, 在文献[7]中, 甘获得了以下常延迟微分方程解一致最终有界的相当苛刻的一个充分条件(详见第3节)

$ \begin{eqnarray} y^{\prime}(t) = f(t, y(t), G(t, y(t-\tau), y^{\prime}(t-\tau))), ~~~~~~~~t\geq 0. \end{eqnarray} $

(1.5)

这也激励我们去为一般的变延迟NDDE(1.1)提供一个更弱的充分条件.

在下一节, 我们将研究系统(1.1)真解的渐近行为, 将给出真解一致最终有界的充分条件.这是本文的主要结果.基于这个结果, 我们得到了常延迟微分方程和比例延迟微分方程这两个典型特例的解的一致最终有界的充分条件.最后给出了一些例子以说明本文的理论结果.

首先我们介绍一致最终有界性的定义.对于非中立型微分方程, 文献[4]对$t_0=0$以及文献[16]对任意固定的$t_0$引入了类似定义.

定义2.1  如果存在$R>0$, 使得对所有的$R_1>0$存在$T(R_1)>0$使得对所有的$\phi\in C^1[t_*, t_0]$及所有的$t_0$, 有

$ \begin{equation} \|\phi\|_{C^1[t_*, t_0]} < R_1\Longrightarrow\|y(t)\| < R, \qquad \forall t>t_0+T(R_1). \end{equation} $

(2.1)

则称方程(1.1)的解是一致最终有界的.

现在, 我们假设$f:[0, \infty)\times {\bf X}\times {\bf X}\times {\bf X}\to {\bf H}$是一个局部Lipschitz连续函数且对所有的$t\geq 0, y, u, v\in {\bf X}$, 满足以下条件

$ \begin{equation}{\rm Re}\langle f(t, y, u, v), y\rangle \leq \alpha\|y\|^2 +\beta\|f(t, 0, u, v)\|^2, \end{equation} $

(2.2)

$ \begin{equation} \|f(t, 0, u, v)\|^2 \leq \gamma_1 + L_u \|u\|^2 + L_v \|v\|^2, \end{equation} $

(2.3)

$ \begin{equation} \| f(t, y, u, v)\|^2 \leq \gamma_2 + L_y \|y\|^2 + \sigma \|f(t, 0, u, v)\|^2, \end{equation} $

(2.4)

其中$\alpha < 0$, $\beta$, $\gamma_1$, $L_u$, $L_v$, $\gamma_2$, $L_y$和$\sigma\ge 0$是常数.

命题2.1  如果函数$f$满足条件(2.2), 则$\beta\geq 0$.

证  在(2.2)式中令$y=0$, 即可获得$\beta\ge 0$.得证.

命题2.2  如果函数$f$满足条件(2.3), 则$\gamma_1\geq 0$, $L_u\geq 0$且$L_v\geq 0$.

证  我们首先证明$\gamma_1\ge 0$.在(2.3)式中令$u=v=0$, 即可得$\gamma_1\ge 0$.为证$L_u\ge 0$, 我们使用反证法.设$L_u\ge 0$不真, 也就是说, $L_u< 0$.让我们选取$v=0$及$\|u\|$充分大的$u$.则因$\gamma_1$为常数, 我们可以获得$\|f(t, 0, u, v)\|<0$, 这是一个矛盾.至此证明了$L_u\ge 0$.类似地, 我们可以证明$L_v\ge 0$.

命题2.3  如果函数$f$满足条件(2.3)和(2.4)且$\sigma\ge 0$, 则$\gamma_2+ \sigma \gamma_1\geq 0$和$L_y\geq 0$.

证  由(2.3)式, (2.4)式及$\sigma\ge 0$, 我们有

$ \begin{eqnarray} \| f(t, y, u, v)\|^2 &\leq& \gamma_2 + \sigma \gamma_1+ L_y \|y\|^2 + \sigma L_u \|u\|^2 + \sigma L_v \|v\|^2. \end{eqnarray} $

(2.5)

那么, 类似于命题2.2, 可以证明$\gamma_2+ \sigma \gamma_1\geq 0$及$L_y\geq 0$.

为证明我们的主要结果, 我们需要以下关于解$y(t)$条件估计的引理.

引理2.1  设$y(t)$是方程(1.1)的解, 其中$f$满足条件(2.2)-(2.3)且$\alpha < 0$.则我们有

$ \begin{equation} \|y(t)\|^2\leq \tilde{\phi} + \frac{\beta \gamma_1}{-\alpha}\left[1-{\rm e}^{2\alpha (t-t_0)}\right], \quad t\in [t_0, t_0+\tau_0], \end{equation} $

(2.6)

$ \begin{equation} \|y(t)\|^2\leq {\rm e}^{2\alpha \tau_0}\|y(t-\tau_0)\|^2+\left[1-{\rm e}^{2\alpha \tau_0}\right]\frac{\beta}{-\alpha} \|\Phi\|^2_{C[t-\tau_0, t]}, \quad \forall t\ge t_0+\tau_0, \end{equation} $

(2.7)

其中

$ \begin{eqnarray*}\tilde{\phi}:=\max\left\{1, \frac{\beta }{-\alpha}L_u, \frac{\beta }{-\alpha} L_v \right\} \|\phi\|_{C^1[t_{*}, t_0]}^2, ~~~\Phi(t):=f(t, 0, y(\eta(t)), y^\prime(\eta(t))), \forall t\ge t_0.\end{eqnarray*} $

证  为简单计, 我们用$Y(t)$表示$\|y(t)\|^2$.则由(2.2)式可得

$ \begin{eqnarray*} Y^\prime(t)=2{\rm Re}\langle y(t). y^\prime(t)\rangle &=& 2{\rm Re}\langle y(t), f(t, y(t), y(\eta(t)), y^\prime(\eta(t))\rangle\\ &\leq& 2\alpha Y(t) +2\beta\|\Phi(t)\|^2, \qquad t>t_0. \end{eqnarray*} $

进而可得

$ {\rm e}^{-2\alpha t}Y^\prime(t)-2\alpha {\rm e}^{-2\alpha t}Y(t)\leq 2\beta {\rm e}^{-2\alpha t}\|\Phi(t)\|^2, \qquad t>t_0. $

对任意$t^*$, $t_0\leq t^*\leq t$, 从$t^*$到$t$积分可得

$ \begin{equation} \int_{t^*}^t({\rm e}^{-2\alpha s}Y(s))^\prime {\rm d}s\leq \int_{t^*}^t 2 {\rm e}^{-2\alpha s}\beta \|\Phi(s)\|^2 {\rm d}s, \end{equation} $

(2.8)

这意味着

$ \begin{equation} Y(t)\leq {\rm e}^{2\alpha (t-t^*)}Y(t^*)+\left[1-{\rm e}^{2\alpha (t-t^*)}\right]\frac{\beta}{-\alpha}\|\Phi(s)\|^2_{C[t^*, t]}. \end{equation} $

(2.9)

如果$t\in (t_0, t_0+\tau_0]$, 在(2.9)式中, 令$t^*=t_0$可得

$ \begin{equation} Y(t)\leq \tilde{\phi} + \frac{\beta \gamma_1}{-\alpha}\left[1-{\rm e}^{2\alpha (t-t_0)}\right]. \end{equation} $

(2.10)

注意这里用到了条件(2.3).对任意$t > t_0+\tau_0$, 在(2.9)式中取$t^*=t-\tau_0$可得(2.7).如此完成了引理2.1的证明.

现对于任意$t > t_0$, 定义

$ \Psi(t):=\max\left\{Y(t), \frac{\beta}{-\alpha}\|\Phi(t)\|^2\right\}. $

基于上述结果, 我们现在陈述本文的主要结果.

定理2.1  设$y(t)$是方程(1.1)的解, $f$满足条件(2.2)-(2.4)且

$ \begin{equation} \label{eq2.11}\alpha < 0, \qquad \sigma\ge 0, \end{equation} $

(2.11)

$ \begin{equation} \label{eq2.12}\alpha+\beta(L_u+L_vL_y)-L_v\sigma\alpha < 0, ~~L_v \sigma < 1. \end{equation} $

(2.12)

则对任意$\epsilon>0$, 存在$T=T(\|\phi\|_{C^1[t_{*}, 0]}, \epsilon)$, 使得对所有$t > T$,

$ \begin{equation} \|y(t)\|^2 < \frac{\beta (\gamma_1 + L_v\gamma_2) }{ - [\alpha + \beta(L_u+L_vL_y)-L_v \sigma \alpha](1-{\rm e}^{2\alpha \tau_0}) } + \epsilon := R +\epsilon, \end{equation} $

(2.13)

这意味着其解是一致最终有界的.

证  我们首先需要证明$\gamma_1 + L_v\gamma_2\ge 0$.注意到在命题2.2和2.3中已证$L_v\ge 0$和$\gamma_2+ \sigma \gamma_1\geq 0$, 我们有$L_v\gamma_2+ L_v\sigma \gamma_1\geq 0$.然后从$L_v\sigma < 1$和$\gamma_1\ge 0$可得$\gamma_1 + L_v\gamma_2\ge 0$.

现在, 如同文献[29], 鉴于条件(1.3)和(1.4), 我们可以构造一个严格递增的序列$\{\xi_k\}$ $(\xi_0=t_0)$, 其满足

$ \begin{equation} \lim\limits_{k\to\infty}\xi_k = +\infty; \end{equation} $

(2.14)

$ \begin{equation} \eta(t-\tau_0) > \xi_k, \quad \forall t > \xi_{k+1}, k=0, 1, \cdots; \end{equation} $

(2.15)

存在严格递增序列$ \{n_k\}, n_k\in Z^+, $使得

$ \begin{equation} \lim\limits_{k\to\infty}n_k = +\infty~~~ {\hbox{且}} ~~~\xi_k=t_0+n_k\tau_0, ~~ k=1, 2, \cdots. \end{equation} $

(2.16)

我们将使用数学归纳法来证明此定理.事实上, 利用数学归纳法我们将证明

$ \begin{equation} \Psi(t)\leq \theta^{l-1}\tilde{\phi} + r\sum\limits_{j=0}^{n_{l-1}+i-1} \theta^j, \quad t\in (\xi_{l-1}+(i-1)\tau_0, \xi_{l-1}+i\tau_0], \quad l, i\in Z^+, \end{equation} $

(2.17)

其中

$ \begin{eqnarray} \theta&=&\frac{\beta(L_u+L_vL_y) -L_v\sigma\alpha}{-\alpha}+\frac{\alpha+\beta(L_u+L_vL_y)-L_v\sigma\alpha}{\alpha}{\rm e}^{2\alpha \tau_0}, \\ r&=&\frac{ \beta (\gamma_1+L_v\gamma_2) }{-\alpha}, \quad r_0=(1-{\rm e}^{2\alpha \tau_0})r.\nonumber \end{eqnarray} $

(2.18)

鉴于(2.12)式, 我们有$\theta < 1$.

我们将分两步证明这一结论.首先我们证明(2.17)式对$l=1$成立, 进而在假设(2.17)式对任意固定的$l=k$, $k\in Z^+$成立的情况下证明(2.17)式对于$l=k+1$也成立.

第1步  (2.17)式对于$l=1$成立.为了证明这一点, 我们需通过归纳证明以下不等式

$ \begin{equation} \Psi(t)\leq \tilde{\phi}+r\sum\limits_{j=0}^i\theta^j, \quad t\in (t_0+i\tau_0, t_0+(i+1)\tau_0], \quad i=0, 1, \cdots, n_1-1. \end{equation} $

(2.19)

事实上, 如果$t\in (t_0, t_0+\tau_0]$, 从(2.6)和(2.3)式我们知道(2.19)式成立.现在我们假设(2.19)式对于$t\in \bigcup\limits_{i=0}^{q-1} (t_0+i\tau_0, t_0+(i+1)\tau_0]$, 其中$1\leq q < n_1$, 成立.则对于$t\in (t_0+q\tau_0, t_0+(q+1)\tau_0]$, 定义

$ {\mathcal A}_1=\{x|x\in [t-\tau_0, t] ~~\mbox{且}~~ \eta(x)\leq t_0\}, ~~{{\cal A}_2} = [t-\tau_0, t]\backslash {{\cal A}_1}. $

如果$t\in {{\cal A}_1}$, 利用条件(2.3), 我们有

$ \begin{eqnarray} \frac{\beta}{-\alpha}\|\Phi(t)\| &\leq& \frac{\beta}{-\alpha}\|f(t, 0, y(\eta(t)), y^\prime(\eta(t)))\|\\ &\le& \frac{\beta}{-\alpha}\left[\gamma_1+L_u\|y(\eta(t))\|^2+L_v\|y^\prime(\eta(t))\|^2\right]\\ &\le& \tilde{\phi} + \frac{\beta \gamma_1}{-\alpha}. \end{eqnarray} $

(2.20)

注意到上述不等式中的$\tilde{\phi}$已在引理2.1中定义.若$t\in {{\cal A}_2}$, 利用(2.3)和(2.4)式, 我们有

$ \begin{eqnarray}\frac{\beta}{-\alpha}\|\Phi(t)\| &\leq& \frac{\beta}{-\alpha}\left\{L_u Y(\eta(t)) + L_v\left[\gamma_2 + L_y Y(\eta(t)) + \sigma \|\Phi(\eta(t))\|^2\right] + \gamma_1\right\}\\ &\leq& \theta \Psi(\eta(t)) + \frac{\beta (\gamma_1+L_v\gamma_2)}{-\alpha} . \end{eqnarray} $

(2.21)

注意归纳假设, 即

$ \Psi(\eta(t))\leq \tilde{\phi}+r\sum\limits_{j=0}^{q-1}\theta^j, \qquad t\in (t_0+q\tau_0, t_0+(q+1)\tau_0]. $

将上述不等式代入(2.21)式, 我们获得

$ \begin{eqnarray} \frac{\beta}{-\alpha}\|\Phi(t)\| &\leq& \theta \tilde{\phi} + r\sum\limits_{j=0}^q \theta^j, \qquad t\in {{\cal A}_2}. \end{eqnarray} $

(2.22)

由(2.7)式及关于$Y(t-\tau_0)$的归纳假设, 可得

$ \begin{eqnarray} Y(t) &\leq& \max\left\{Y(t-\tau_0), \frac{\beta}{-\alpha}\max\limits_{t-\tau_0\leq s\leq t} \|\Phi(s)\|^2\right\} \\ &\leq& \max\left\{Y(t-\tau_0), \frac{\beta}{-\alpha} \max\limits_{s\in {\mathcal A}_1}\|\Phi(s)\|^2, \frac{\beta}{-\alpha} \max\limits_{s\in {{\cal A}_2}}\|\Phi(s)\|^2\right\}\nonumber \\ &\leq& \max\left\{\tilde{\phi} + r\sum\limits_{j=0}^{q-1}\theta^j, ~ \tilde{\phi} + \frac{\beta \gamma_1}{-\alpha}, ~\theta \tilde{\phi} + r\sum\limits_{j=0}^{q}\theta^j\right\}\nonumber \\ &\leq& \tilde{\phi} + r\sum\limits_{j=0}^{q}\theta^j. \end{eqnarray} $

(2.23)

不等式(2.22)和(2.23)隐含着(2.19)式对于$t\in (q\tau_0, (q+1)\tau_0]$成立.这表明(2.19)式对任意$t\in (0, \xi_1]$都成立, 即(2.17)式对于$l=1$成立.

第2步  现在, 假设(2.17)式对于任意固定$l=k$, $k\in Z^+$, 都成立, 我们证明对于$k+1$, 不等式(2.17)也成立.实际上, 我们可以利用数学归纳法证明

$ \begin{equation} \Psi(t)\leq \theta^k\tilde{\phi} + r\sum\limits_{j=0}^{n_k+i} \theta^j, \quad t\in (\xi_k + (i-1)\tau_0, \xi_k + i\tau_0], \quad i=1, 2, \cdots, n_{k+1}-n_k. \end{equation} $

(2.24)

为证明(2.24)式对$i=1$, 即$t\in (\xi_k, \xi_k + \tau_0]$, 成立, 我们首先利用(2.7)式和条件(2.3)-(2.4)来估计$Y(t)$:

$ \begin{eqnarray} Y(t)&\leq& {\rm e}^{2\alpha \tau_0}Y(t-\tau_0)+\left[1-{\rm e}^{2\alpha \tau_0}\right]\frac{\beta}{-\alpha} \|\Phi\|^2_{C[t-\tau_0, t]}\\ &\le& {\rm e}^{2\alpha \tau_0}Y(t-\tau_0)+\left[1-{\rm e}^{2\alpha \tau_0}\right]\\ &&\times\frac{\beta}{-\alpha} \max\limits_{t-\tau_0\le s\le t}\left[(L_u+L_vL_y)Y(\eta(s))+L_v\sigma\|\Phi(\eta(s))\|^2+\gamma_1+L_v\gamma_2\right]\\ &\le& \left[{\rm e}^{2\alpha \tau_0}+\left(1-{\rm e}^{2\alpha \tau_0}\right)\frac{\beta(L_u+L_vL_y)}{-\alpha}\right]\max\limits_{\eta(t-\tau_0)\le s\le t-\tau_0}Y(s)\\ &&+\left(1-{\rm e}^{2\alpha \tau_0}\right)\frac{-\alpha L_v\sigma}{-\alpha}\frac{\beta}{-\alpha}\max\limits_{\eta(t-\tau_0)\le s\le t-\tau_0}\|\Phi(s)\|^2+\left(1-{\rm e}^{2\alpha \tau_0}\right)\frac{\beta(\gamma_1+L_v\gamma_2)}{-\alpha}\\ &\le& \theta \max\limits_{\eta(t-\tau_0)\le s\le t-\tau_0}\Psi(s)+r_0. \end{eqnarray} $

(2.25)

由类似于(2.21)式的不等式及归纳假设, 可得

$ \begin{eqnarray} \Psi(t)&=& \max\left\{Y(t), \frac{\beta}{-\alpha}\|\Phi(t)\|^2\right\}\\ &\leq& \max\left\{\theta \max\limits_{\eta(t-\tau_0)\le s\le t-\tau_0}\Psi(s)+r_0, \theta \Psi(\eta(t))+r\right\}\\ &\leq&\theta \max\limits_{\eta(t-\tau_0)\leq s\leq t-\tau_0}\Psi(s) + r\nonumber \\ &\leq& \theta \left[\theta^{k-1}\tilde{\phi} + r \sum\limits_{j=0}^{n_k} \theta^j \right] + r\\ &\leq& \theta^k\tilde{\phi} + r\sum\limits_{j=0}^{n_k+1} \theta^j, \end{eqnarray} $

(2.26)

这意味着(2.24)式成立.现在我们假设(2.24)式对于$t\in \bigcup_{i=0}^{q-1} (\xi_k + i\tau_0, \xi_k + (i+1)\tau_0]$, 其中$1\leq q < n_{k+1}-n_k$, 成立.则对于$t\in (\xi_k + q\tau_0, \xi_k + (q+1)\tau_0]$, 因$\eta(t-\tau_0)\in [\xi_{k-1}, \xi_k+q\tau_0]$, 一个类似于(2.26)式的证明显示

$ \begin{eqnarray*} \Psi(t) &\leq& \theta \max\limits_{\eta(t-\tau_0)\leq x\leq t-\tau_0}\Psi(x) + r\\ &\leq& \theta \max\left\{\theta^{k-1}\bar{\phi}+r\sum\limits_{j=0}^{n_k}\theta^j, \max\limits_{1\leq p\leq q}\left(\theta^k\bar{\phi} + r\sum\limits_{j=0}^{n_k+p} \theta^j\right)\right\} + r\\ &\leq& \theta^k\bar{\phi} + r\sum\limits_{j=0}^{n_k + q + 1} \theta^j. \end{eqnarray*} $

这意味着(2.24)式对任意$t\in (\xi_k, \xi_{k+1}]$都成立.这表明(2.17)式对于任意$l\geq 1$都成立.进而对于任意$\epsilon>0$, 当$l\ge 1+\frac{\ln(\epsilon/\tilde{\phi})}{\ln(\theta)}$, 即$t>T=t_0+n_{l-1}\tau_0$, 我们有

$ \Psi(t)\leq \theta^{l-1}\tilde{\phi} + r\sum\limits_{j=0}^{+\infty} \theta^j\le \epsilon+\frac{r}{1-\theta}, \quad \forall t>T= t_0+n_{l-1}\tau_0, $

因而(2.13)式成立.这意味着方程(1.1)的解是一致最终有界的.证毕.

注1  对于$L_v=0$这种特殊情形, 从定理2.1我们可以得到文和李在文献[13]中所得到的Volterra泛函微分方程(VFDEs)的耗散性.

注2  对于$L_u=0$和$L_v=0$这种特例, 从定理2.1我们可获得Humphries和Stuart在文献[13]中所获非延迟动力系统的耗散性.

注3  渐近稳定的系统暗示着其解是一致最终有界的.然而, 反之不成立, 因为一致最终有界的解并不一定渐近收敛到不动点.注意到, 对VFDE及更一般的中立型泛函微分方程(NFDEs)

$ \begin{eqnarray} y^{\prime}(t) &=& f(t, y_t, y^{\prime}_t), ~~t\geq t_0, \qquad y_t(s)=y(t+s), \quad s\in [-\tau, 0], \end{eqnarray} $

(2.27)

其解的稳定性和渐近稳定性得到了广泛及深入研究(参见文献[15, 23-24, 26-27, 32-33]).然而, 研究者甚少注意变延迟NDDEs解的一致最终有界性, 更不用说NFDEs.

对常延迟方程(1.1).我们有以下推论:

推论2.1  假定$y(t)$是以下方程的解

$ \begin{eqnarray} y^{\prime}(t) = f(t, y(t), y(t-\tau), y^{\prime}(t-\tau)), ~~~~~~~~t\geq t_0, \end{eqnarray} $

(2.28)

其中$\tau$是常数, $f$满足条件(2.2)-(2.4)和条件(2.11)-(2.12).则对任意$\epsilon>0$, 存在$l\ge 1+\frac{\ln(\epsilon/\tilde{\phi})}{\ln(\theta)}$, 其中$\tilde{\phi}$已在引理2.1中及$\theta$在(2.18)式中给出, 使得对任意$t >T=t_0+2(l-1)\tau$我们有

$ \begin{equation} \|y(t)\|^2 < \frac{\beta (\gamma_1 + L_v\gamma_2) }{ - [\alpha + \beta(L_u+L_vL_y)-L_v \sigma \alpha](1-{\rm e}^{2\alpha \tau}) } + \epsilon := R +\epsilon. \end{equation} $

(2.29)

这意味着其解是一致最终有界的.

证  我们仅需构造满足条件(2.14)-(2.16)的严格递增序列$\{\xi_k\}$ $(\xi_0=t_0)$.余下的证明因类似于定理2.1而略去.为构造严格递增序列$\{\xi_k\}$ $(\xi_0=t_0)$, 令$\tau_0=\tau$及$\xi_k= t_0+2k\tau$.则条件(2.14)和(2.16)显然成立.为验证(2.14)式, 注意到

$ \eta(t-\tau)=t-\tau-\tau=t-2\tau. $

这表明(2.14)式成立, 证毕.

注  当系统(2.28)为DDE, 即, 函数$f$不依赖于“中立项”$y^\prime(t-\tau)$时, 推论2.1与文献[12]中的结论相一致.

应当指出, 虽然比例延迟$t-\tau(t)=pt$不满足条件(1.4), 但是定理2.1中的结论适用于比例延迟NDDEs, 并有以下推论.

推论2.2  假定$y(t)$是方程

$ \begin{eqnarray} y^{\prime}(t) = f(t, y(t), y(pt), y^{\prime}(pt)), \qquad t\geq 0 \end{eqnarray} $

(2.30)

的解, 这里$0 < p < 1$是常数, $f$满足条件(2.2)-(2.4)和条件(2.11)-(2.12).则对任意的$\epsilon>0$, 存在$l\ge 1+\frac{\ln(\epsilon/\tilde{\phi})}{\ln(\theta)}$, 其中$\tilde{\phi}$在引理2.1及$\theta$在(2.18)式中已有定义, 使得对所有的$t > T=t_0+2(l-1)\tau_0$有

$ \begin{equation} \|y(t)\|^2 < \frac{\beta (\gamma_1 + L_v\gamma_2) }{ - [\alpha + \beta(L_u+L_vL_y)-L_v \sigma \alpha](1-{\rm e}^{2\alpha \tau_0}) } + \epsilon := R +\epsilon, \end{equation} $

(2.31)

其中$\tau_0$将在(2.32)式中给出.这意味着其解是一致最终有界的.

证  选取$t_0>0$并将区间$[0, +\infty)$分成$[0, t_0]\cup [t_0, +\infty)$, 进而我们可以将定理2.1应用于$t\in [t_0, +\infty)$上的比例延迟微分方程.由于解的渐近行为不受初始区间$[0, t_0]$上值的影响, 对比例延迟NDDE, 我们可获得定理2.1的类似结论.

我们现详细说明构造满足条件(2.14)-(2.16)的严格递增序列$\{\xi_k\}$ $(\xi_0=t_0)$的过程.当$t\ge t_0>0$, 由于$pt=t-(1-p)t$和$(1-p)t\ge (1-p)t_0>0$, 我们可以选取

$ \begin{eqnarray} \tau_0=(1-p)t_0. \end{eqnarray} $

(2.32)

我们首先确定$\xi_1$.注意到

$ \begin{eqnarray} p^{-2}t_0=t_0+(p^{-2}-1)t_0=t_0+\frac{1+p}{p^2}(1-p)t_0=t_0+\frac{1+p}{p^2}\tau_0. \end{eqnarray} $

(2.33)

由此我们可定义$\mu=\lceil\frac{1+p}{p^2}\rceil$, 其中$\lceil x\rceil$表示大于或者等于$x$的最小整数, 并选取$\xi_1=t_0+\mu \tau_0$.则条件(2.14)可以证明如下

$ \begin{eqnarray}\eta(t-\tau_0)&=&p(t-\tau_0)>pt_0+p\lceil\frac{1+p}{p^2}\rceil\tau_0-p\tau_0\\ &\ge& pt_0+p^{-1}\tau_0+\tau_0-p\tau_0\\ &\ge& t_0+p^{-1}\tau_0-p\tau_0\\ &>& t_0=\xi_0, \qquad \forall t>\xi_1. \end{eqnarray} $

(2.34)

现在我们确定$\xi_2$.从(2.33)式, 我们有

$ \begin{eqnarray} p^{-2}\xi_1=p^{-2}(t_0+\mu \tau_0)=p^{-2}t_0+p^{-2}\mu \tau_0\le t_0+\mu\tau_0+p^{-2}\mu \tau_0. \end{eqnarray} $

(2.35)

定义$\nu=\lceil p^{-2}\rceil$.我们可以选取$\xi_2=t_0+(1+\nu)\mu\tau_0$.类似的推导表明$\xi_k=t_0+(1+\nu+\cdots+\nu^{k-1})\mu\tau_0=t_0+\frac{1-\nu^{k}}{1-\nu}\mu\tau_0$.显然, 序列$\{\xi_k\}$ $(\xi_0=t_0)$满足条件(2.14)和(2.16).为验证条件(2.14), 我们使用如下事实, 即对于$t>\xi_k$, 我们有

$ \begin{eqnarray}\eta(t-\tau_0)&=&p(t-\tau_0)>pt_0+p(1+\nu+\cdots+\nu^{k-1})\mu\tau_0-p\tau_0\\ &\ge& pt_0+p^{-1}\tau_0+\tau_0+p\nu(1+\nu+\cdots+\nu^{k-2})\mu\tau_0-p\tau_0\\ &\ge& t_0+p^{-1}\tau_0-p\tau_0+p\nu(1+\nu+\cdots+\nu^{k-2})\mu\tau_0\\ &>& t_0+(1+\nu+\cdots+\nu^{k-2})\mu\tau_0=\xi_{k-1}. \end{eqnarray} $

(2.36)

如此, 我们构造出满足条件(2.14)-(2.16)的严格递增序列$\{\xi_k\}$ $(\xi_0=t_0)$.证明的其余部分类似于定理2.1, 故略去.

我们以几个注记结束本节.

注1  在文献[25]中, 其作者通过将自治比例延迟微分方程变换为常延迟微分方程系统, 已获得了一致最终有界性结果.本文, 我们直接考虑非自治比例延迟微分方程(2.30)并获得了一致最终有界性结果.

注2  对于比例延迟微分方程构造满足条件(2.14)-(2.16)的严格递增序列$\{\xi_k\}$ $(\xi_0=t_0)$的方法, 可以推广至幂延迟$\eta(t)=t^p, ~0 < p < 1, t_0=1$, 的情形, 甚至更一般的消失延迟情形.结合常延迟和比例延迟的方法, 对线性延迟$\eta(t)=pt-\tau, ~0 < p < 1, ~\tau\ge 0$, 及更一般满足条件(1.3)和(1.4)的延迟问题, 我们也可以构造出满足条件(2.14)-(2.16)的严格递增序列$\{\xi_k\}$ $(\xi_0=t_0)$.

本节我们将通过例子来说明上述定理的应用.

例3.1  考虑线性问题

$ \begin{equation} y^\prime(t)=ay(t)+by(t-\tau(t))+cy^\prime(t-\tau(t))+d, \qquad t\geq 0, \end{equation} $

(3.1)

其中$\eta(t):=t-\tau(t)$和$\tau(t)$分别满足条件(1.3)与(1.4), $a$, $b$, $c$和$d$是复数, 且满足${\rm Re}(a) < 0$和$|c| < 1$, $y(t)$是一个复值标量函数.由定理2.1可知, 如果存在一个常数$\vartheta$使得

$ \begin{equation} \max\left\{1, \frac{|a|+\sqrt{|a|^2+4(|b|+2|ac|)(|b|+|ac|)}}{2(|b|+2|ac|)}\right\} < \vartheta < \frac{1}{|c|}, \end{equation} $

(3.2)

$ \begin{equation} (1-\vartheta |c|) {\rm Re} (a) + |b| + |ac| < 0, \end{equation} $

(3.3)

则其解是一致最终有界的, 这里$|\cdot|$表示复数的模.这个结论可以证明如下.

我们首先计算常数$\alpha$, $\beta$, $\gamma_1$, $L_u$, $L_v$, $\gamma_2$, $L_y$和$\sigma$.为此, 我们将广泛使用杨不等式$2pq\le \epsilon p^2+q^2/\epsilon, ~\epsilon>0$.令$\delta>0$且满足

$ \begin{eqnarray}\delta < -[(1-\vartheta |c|) {\rm Re} (a) + |b| + |ac|].\end{eqnarray} $

(3.4)

则我们有

$ \begin{eqnarray}{\rm Re}\langle f(t, y, u, v), y\rangle &=&{\rm Re}\langle ay+bu+cv+d, y\rangle\\ &\leq& {\rm Re}(a)|y|^2+|y||bu+cv+d|\\ &\leq& \left({\rm Re}(a)+\frac{|b|+|ac|+2\delta}{2(1-\vartheta |c|)}\right)|y|^2\\ && +\frac{1-\vartheta |c|}{2(|b|+|ac|+2\delta)}|bu+cv+d|^2, \end{eqnarray} $

(3.5)

这表明条件(2.2)满足, 其中

$ \alpha={\rm Re}(a)+\frac{|b|+|ac|+2\delta}{2(1-\vartheta |c|)}, \quad \beta=\frac{1-\vartheta |c|}{2(|b|+|ac|+2\delta)}. $

为证明$\alpha < 0$, 我们只需注意$0 < 1-\vartheta |c|\le 1$, 而且我们从(3.4)式可得

$ 2(1-\vartheta |c|){\rm Re} (a)+ |b| + |ac|+2\delta < 0. $

在计算$\gamma_1$, $L_u$和$L_v$之前, 我们首先计算常数$\gamma_2$, $L_y$和$\sigma$.

$ \begin{eqnarray}|ay+bu+cv+d|^2 &\leq& |a|^2|y|^2+2|a||y||bu+cv+d|+|bu+cv+d|^2\\ &\le& \left(1+\frac{|b|+|ac|}{\vartheta |a|(1-\vartheta |c|)}\right)|a|^2|y|^2\\ &&+\left(1+\frac{\vartheta |a|(1-\vartheta |c|)}{|b|+|ac|}\right)|bu+cv+d|^2. \end{eqnarray} $

(3.6)

则条件(2.4)满足, 其中

$ \gamma_2=0, \quad L_y=\left(1+\frac{|b|+|ac|}{\vartheta |a|(1-\vartheta |c|)}\right)|a|^2, \quad \sigma=1+\frac{\vartheta |a|(1-\vartheta |c|)}{|b|+|ac|}> 0. $

现在我们计算$\gamma_1$, $L_u$和$L_v$的值.我们首先令

$ \begin{eqnarray*}L_v=\vartheta |c|/\sigma=\frac{(|b|+|ac|)\vartheta |c|}{|b|+|ac|+\vartheta |a|(1-\vartheta |c|)}, \\ \quad\lambda=\frac{(|b|+2|a||c|)|c|\vartheta^2 -\vartheta |ac|-|a||c|^2-|bc|}{[|b|+|ac|+\vartheta |a|(1-\vartheta |c|)]\vartheta}. \end{eqnarray*} $

因$\vartheta$满足(3.2)式, 易证$\lambda>0$.进而我们有

$ \begin{eqnarray}|bu+cv+d|^2 &\leq& |b|^2|u|^2+2|b||c||u||v|+2|b||u||d|+2|c||v||d|+|c|^2|v|^2+|d|^2\\ &\leq& |b|^2|u|^2+\frac{\vartheta |c||b|^2}{1-\vartheta|c|}|u|^2+\frac{(1-\vartheta|c|)|c|}{\vartheta}|v|^2 +\frac{2\delta(|b|+|ac|)}{1-\vartheta |c|}|u|^2\\ &&+\frac{1-\vartheta |c|}{2\delta(|b|+|ac|)}|b|^2|d|^2 +\lambda|v|^2+\frac{1}{\lambda}|c|^2|d|^2+|c|^2|v|^2+|d|^2\\ &\le& \gamma_1 + L_u |u|^2 + L_v |v|^2, \end{eqnarray} $

(3.7)

其中

$ \begin{eqnarray*}L_u=\frac{|b|^2+2\delta(|b|+|ac|)}{1-\vartheta |c|}, \qquad \gamma_1=\frac{1-\vartheta |c|}{2\delta(|b|+|ac|)}|b|^2|d|^2+\frac{1}{\lambda}|c|^2|d|^2+|d|^2. \end{eqnarray*} $

我们余下需验证条件(2.12).首先回顾$L_v\sigma=\vartheta |c|<1$, 由此可得

$ \begin{eqnarray} &&(1-L_v\sigma)\alpha+\beta(L_u+L_vL_y)\\ &=&(1-\vartheta |c|)\left({\rm Re}(a)+\frac{|b|+|ac|+2\delta}{2(1-\vartheta |c|)}\right)\\ &&+\frac{1-\vartheta |c|}{2(|b|+|ac|+2\delta)}\left(\frac{|b|^2+2\delta(|b|+|ac|)}{1-\vartheta |c|}+\frac{(|b|+|ac|)|ac|}{1-\vartheta |c|}\right)\\ &\le&(1-\vartheta |c|){\rm Re}(a)+\frac{|b|+|ac|}{2}+\delta+\frac{|b|+|ac|}{2}\\ &=&(1-\vartheta |c|){\rm Re}(a)+|b|+|ac|+\delta\\ & < & 0. \end{eqnarray} $

(3.8)

根据定理2.1, 如果条件(3.2)和(3.3)都满足, 则方程(3.1)的解是一致最终有界的.当$c=0$, 即(3.1)式是非中立型DDE时, 我们有

$ \alpha={\rm Re}(a)+\frac{|b|}{2}+\delta, \quad \beta=\frac{1}{2(|b|+2\delta)}, \quad\gamma_2=0, \quad L_y=\left(1+\frac{|b|}{\vartheta |a|}\right)|a|^2, \quad \sigma=1+\frac{\vartheta |a|}{|b|}, $

$ \gamma_1=\frac{|b||d|^2}{2\delta}+|d|^2, \quad L_u=|b|^2+2\delta|b|, \quad L_v=0. $

则如果条件${\rm Re}(a)+|b| < 0$成立, DDE的解是一致最终有界的.这与文献[29]中所获结论完全相同.

如果$a < 0$为实常数, 那么条件(3.2)和(3.3)可写成

$ \begin{equation} \frac{|a|+\sqrt{|a|^2+4(|b|+2|ac|)(|b|+|ac|)}}{2(|b|+2|ac|)} < \vartheta < \frac{1}{|c|}+\frac{|b|+|ac|}{a|c|}, \end{equation} $

(3.9)

其等价于

$ \begin{equation} a+|b| < 0, \qquad (a+|b|)(a+|b|-3a|c|)+|ac|^2>0. \end{equation} $

(3.10)

例3.2  在文献[7]中, 甘考虑了如下常延迟NDDE ($\tau>0$)

$ \begin{eqnarray} y^{\prime}(t) = f(t, y(t), G(t, y(t-\tau), y^{\prime}(t-\tau))), ~~~~~~~~t\geq 0, \end{eqnarray} $

(3.11)

并给出了(3.11)的解一致最终有界的充分条件

$ \begin{equation} {\rm Re}\langle f(t, y, u), y\rangle \leq \gamma+\alpha\|y\|^2 +\beta\|v\|^2, \quad t\ge 0, y\in {\bf X}, v\in {\bf H}, \end{equation} $

(3.12)

$ \begin{equation} \|G(t, u, f(t-\tau, u, v))\|^2 \leq c\max\{\|u\|^2, \|v\|^2\}+c_0, \quad t\ge 0, u\in {\bf X}, v\in {\bf H}, \end{equation} $

(3.13)

$ \begin{equation} \alpha+\beta < 0, \qquad 0 < c < 1. \end{equation} $

(3.14)

此外, 甘也考虑了以下方程

$ \begin{equation} y_1^{\prime}(t) = \sin (t)-ay_1+by_2+\frac{b_1[y_1(t-1)+b_2y_1^\prime(t-1)]}{1+[y_1(t-1)+b_2y_1^\prime(t-1)]^2}, \quad t\ge 0, \end{equation} $

(3.15)

$ \begin{equation} y_2^{\prime}(t) = \cos (t)+by_1-ay_2+\frac{b_1[y_2(t-1)+b_2y_2^\prime(t-1)]}{1+[y_2(t-1)+b_2y_2^\prime(t-1)]^2}, \quad t\ge 0, \end{equation} $

(3.16)

其初始条件为$ y_1(t)=2(\sin(t)+\cos(t)), ~y_2(t)=2(\sin(t)-\cos(t)), ~ t\le 0$, 其中$y_1(t)$, $y_2(t)$是实值标量函数, $a>0$, $b$, $b_1$和$b_2$为实参数.根据他的结果, 他断言, 该系统的解是一致最终有界的, 如果

$ \begin{eqnarray}|b|+|b_1| < a \quad \mbox{且 }\quad (1-ab_2)^2+(b^2+b_1^2)b^2_2 < \frac{1}{4}. \end{eqnarray} $

(3.17)

但是, 正如他在文中所指出的那样, 如果

$ \begin{eqnarray} a=0.05, \quad b=\frac{a}{2}, \quad b_1=\frac{a}{2}, \quad b_2=\frac{1}{a}, \end{eqnarray} $

(3.18)

虽然条件(3.17)不满足, 但单支$\theta$ -方法以及线性$\theta$ -方法获得的数值解是一致最终有界的.为何?系数为(3.18)式的系统(3.15)-(3.16)的解是否一致最终有界?我们在本文中所获结果回答了这些问题.显然, (3.11)式是(1.1)式的特例.根据我们在推论2.1所述结果, 我们可断言, 不仅对系数(3.18), 而且对所有满足条件

$ \begin{eqnarray} |b| < a \end{eqnarray} $

(3.19)

的系数, 系统(3.15)-(3.16)的解都是一致最终有界的.为证明这一结论, 令$y=(y_1, y_2)^T, $ $u=(u_1, u_2)^T, $ $v=v(v_1, v_2)^T$和

$ \begin{eqnarray} f(t, y, u, v)=\left(\begin{array}{c} \sin(t)-ay_1+by_2+\frac{b_1(u_1+b_2v_1)}{1+(u_1+b_2v_1)^2}\\ \cos (t)+by_1-ay_2+\frac{b_1(u_2+b_2v_2)}{1+(u_2+b_2v_2)^2} \end{array}\right). \end{eqnarray} $

(3.20)

那对任意的$0 < \epsilon < a-|b| $, 我们有

$ \begin{eqnarray} {\rm Re}\langle f(t, y, u, v), y\rangle &=& y_1\sin(t)+y_2\cos(t)-a\|y\|^2+2by_1y_2\\ &&+y_1\frac{b_1(u_1+b_2v_1)}{1+(u_1+b_2v_1)^2}+y_2\frac{b_1(u_2+b_2v_2)}{1+(u_2+b_2v_2)^2}\\ &\le& -a\|y\|^2+|b|\|y\|^2+\|y\|\|f(t, 0, u, v)\|\\ &\le& (-a+b+\epsilon)\|y\|^2+\frac{1}{4\epsilon}\|f(t, 0, u, v)\|^2 \end{eqnarray} $

(3.21)

及(2.2)式, 其中$\alpha= -a + |b|+\epsilon < 0, ~ \beta=\frac{1}{4\epsilon}$.对条件(2.3), 我们有

$ \begin{eqnarray} \|f(t, 0, u, v)\|^2 &=& \sin^2(t)+\cos^2(t)+\frac{b^2_1(u_1+b_2v_1)^2}{[1+(u_1+b_2v_1)^2]^2}+\frac{b^2_1(u_2+b_2v_2)^2}{[1+(u_2+b_2v_2)^2]^2}\\ &&+2\sin(t)\frac{b_1(u_1+b_2v_1)}{1+(u_1+b_2v_1)^2}+2\cos(t)\frac{b_1(u_2+b_2v_2)}{1+(u_2+b_2v_2)^2}\\ &\le& 1+2\sqrt{2} |b_1|+2b^2_1. \end{eqnarray} $

(3.22)

因此, 条件(2.3)满足, 其中$L_u=L_v=0, ~\gamma_1 = 1+2\sqrt{2} |b_1|+2b^2_1$.而条件(2.4)可以写成以下形式

$ \begin{eqnarray} \|f(t, y, u, v)\|^2 &=& a^2y^2_1+b^2y_2^2-4aby_1y_2+\left[\sin(t)+\frac{b_1(u_1+b_2v_1)}{1+(u_1+b_2v_1)^2}\right]^2\\ &&+2(-ay_1+by_2)\left[\sin(t)+\frac{b_1(u_1+b_2v_1)}{1+(u_1+b_2v_1)^2}\right]\\ &&+b^2y^2_1+a^2y_2^2+\left[\cos(t)+\frac{b_1(u_2+b_2v_2)}{1+(u_2+b_2v_2)^2}\right]^2\\ &&+2(by_1-ay_2)\left[\cos(t)+\frac{b_1(u_2+b_2v_2)}{1+(u_2+b_2v_2)^2}\right]\\ &\le& 2(a+|b|)^2\|y\|^2+2\|f(t, 0, u, v)\|^2, \end{eqnarray} $

(3.23)

其中$L_y =2(a+|b|)^2, ~\sigma=2, ~ \gamma_2=0$.现在不难验证条件(2.12)

$ \begin{eqnarray*} (1-L_v\sigma)\alpha+\beta(L_u+L_yL_v)= -a + |b|+\epsilon < 0. \end{eqnarray*} $

那么由推论2.1, 条件(3.19)确保了(3.15)-(3.16)式的解是一致最终有界的.

例3.3  作为一个具体的例子, 我们考虑非线性问题

$ \begin{equation} y^{\prime}(t)=-ay(t)+\frac{cy^{\prime}(t-\tau(t))}{1+[y^{\prime}(t-\tau(t))]^n}, \end{equation} $

(3.24)

其中$y(t)$是一个实值标量函数, $a>0$和$c$是实参数且$n$是一个正偶数.这个方程由文献[17]中的实际模型修改而得.应用定理2.1于(3.24)式, 我们可以断言(3.24)式的解是一致最终有界的.事实上, 对任意$0 < \epsilon < a $, 我们选取

$ \alpha= -a + \epsilon, ~\beta=\frac{1}{4\epsilon}, ~ L_y = \\ (1+\lambda)a^2, ~\sigma=\frac{1+\lambda}{\lambda}, ~\gamma_1=0, ~ L_u=L_v=0, ~ \gamma_2= c^2, $

其中$\lambda >0$, 使得于${\bf R}$中通常欧几里得内积, 条件(2.2)-(2.4)和(2.11)-(2.12)满足.因此, (3.24)式的解是一致最终有界的.

例3.4  作为最后一个例子, 我们将我们的结果应用于Nicholson丽蝇模型

$ \begin{eqnarray} y^\prime(t)&=&-\mu y(t)+b_1{\rm e}^{-\xi y(t-\tau)-\nu_0\tau}y(t-\tau)\\ &&+\mu b_2{\rm e}^{-\nu_0\tau}y(t-\tau)+b_2{\rm e}^{-\nu_0\tau}y^\prime(t-\tau)+c, \quad t\ge 0, \end{eqnarray} $

(3.25)

其中$\mu, b_1, b_2, \xi, \nu_0, \tau$为正数且$4b_2{\rm e}^{-\nu_0\tau} < 1$.特别地, 如果进一步假设$c=0$和$\nu_0=0$, 从上述方程可以导出文献[14]中所考虑的模拟澳大利亚绵羊丽蝇数量的延迟Nicholson丽蝇方程, 这个模型结合了人口模型^[3]和Nicholson丽蝇模型, 这里$\tau$表示分开成年和幼年的临界年龄.注意到(3.25)式的解是正的, 使用与例3.1类似的推导, 我们可以获得关于(3.25)式的解一致最终有界的充分条件

$ \left[-\mu + (b_1+\mu b_2){\rm e}^{-\nu_0\tau}\right]\left[-\mu + (b_1+\mu b_2){\rm e}^{-\nu_0\tau}+3\mu b_2{\rm e}^{-\nu_0\tau}\right]+\mu^2b^2_2{\rm e}^{-2\nu_0\tau}>0. $

由此条件, 我们也可以获得一个稍强但更易检验的充分条件

$ -\mu \left(1-4b_2{\rm e}^{-\nu_0\tau}\right)+ b_1{\rm e}^{-\nu_0\tau} < 0. $

本文获得了变延迟NDDE解一致最终有界的充分条件, 并给出了这个界.我们也考虑了变延迟NDDEs的两个典型特例, 常延迟微分方程和比例延迟微分方程, 并将结果应用于几个具体的线性和非线性例子.推广本文所用分析方法于非线性NFDEs (2.27)将是我们未来的研究工作之一.

在微分方程数值方法研究中, 获得能保持原问题性质的数值方法是非常需要的.本文所获结果将成为变延迟NDDEs各种数值方法类似性质研究的基础.事实上, 基于本文所获理论结果, 关于常延迟NDDEs数值解的一致最终有界性结果已在文献[28]中发表.变延迟NDDEs(1.1)或更一般的NFDEs(2.27)数值解的一致最终有界性将是我们下一步的研究内容.