本文在三维有界光滑区域中研究了非齐次不可压MHD方程组的无粘无电阻极限问题

$ \begin{equation} \partial_{t}\rho+u\cdot\nabla \rho=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(1.1)

$ \begin{equation} \rho\partial_{t}u-\nu\Delta u+\rho u\cdot\nabla u+\nabla (p+\frac{1}{2}|b|^2)=b\cdot\nabla b, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(1.2)

$ \begin{equation}b_t-\mu\Delta b+u\cdot\nabla b-b\cdot\nabla u=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(1.3)

$ \begin{equation} \nabla\cdot u=0, \nabla\cdot b=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(1.4)

初值为

$ \begin{eqnarray} \rho(0, x)=\rho_0(x), u(0, x)=u_0(x), b(0, x)=b_0(x), ~~ {\rm in}\ \Omega. \end{eqnarray} $

(1.5)

这里的常数$\nu>0$是粘性系数, $\mu>0$是磁场的电阻系数.未知函数$\rho, u, b$和$p$分别表示密度, 速度, 磁场和流体的压力.初始密度$\rho_0(x)$满足$m\leq\rho_0(x)\leq M$, $m$和$M$是正常数.

由于方程组(1.1)-(1.5)具有明确的物理背景以及重要的数学意义, 因此得到了广泛的研究.它描述了不可压流体的导电粒子经过电磁场时的宏观状态, 参见文献[7, 13, 19].近几十年, 这个数学模型的研究得到迅速的发展^{[10-11, 25]}.当磁场$b\equiv0$时, 系统退化为非齐次不可压Navier-Stokes方程, 这个方程首先被应用到海洋学和水文学^[20], 关于该模型的数学研究也可以参见文献[4-5, 8, 21, 24].

无粘无电阻极限问题是流体力学中一个经典的课题.建立了当粘性系数和电阻系数趋向于零时, 非齐次不可压MHD方程组解的渐收敛进状态理论.也就是在适当的范数意义下建立与非齐次不可压Euler方程相应解的关系, 这个方程描述为

$ \label{1.6}\partial_{t}\rho^{0}+u^{0}\cdot\nabla \rho^{0}=0, ~~{\rm in}\ \Omega, $

(1.6)

$ \rho^{0}\partial_{t}u^{0}+\rho^{0} u^{0}\cdot\nabla u^0+\nabla (p^{0}+\frac{1}{2}|b^0|^2)=b^0\cdot\nabla b^0, ~~{\rm in}\ \Omega, $

(1.7)

$ \begin{equation} b^0_t-\mu\Delta b^0+u^0\cdot\nabla b^0-b^0\cdot\nabla u^0=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(1.8)

$ \begin{equation} \nabla\cdot u^{0}=0, \nabla\cdot b^{0}=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(1.9)

具有相同的初值

$ \begin{equation} \rho^{0}(0, x)=\rho_0(x), u^{0}(0, x)=u_0(x), b^0(0, x)=b_0(x), \ {\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(1.10)

边界条件为

$ \begin{equation} u^{0}\cdot n=0, b^{0}\cdot n=0, \ {\rm on}\ \partial\Omega. \end{equation} $

(1.11)

当陈述系统(1.1)-(1.5)带有具体的物理边界条件时, 最常见的一类是No-Slip边界条件, 即$u=0$.另一类是由Navier^[23]引进的Navier Slip边界条件

$ \begin{equation} u\cdot n=0, (S(u)n)_\tau=\alpha_\tau u_\tau, ~~ {\rm on}\ \partial\Omega, \end{equation} $

(1.12)

这里$S(u)=\frac{1}{2}(\nabla u+(\nabla u)^\top)$是粘性应力张量, $n$是单位外法向量, $\tau$是单位切向量.在文献[29]中得到了一个如下的等价形式

$ \begin{equation} u\cdot n=0, \nabla\times u\cdot\tau=[\beta u]_\tau, ~~ {\rm on}\ \partial\Omega, \end{equation} $

(1.13)

$ \begin{equation} b\cdot n=0, \nabla\times b\cdot\tau=[\beta b]_\tau, ~~ {\rm on}\ \partial\Omega. \end{equation} $

(1.14)

当$\beta=0$时, 条件(1.13)-(1.14)成为一个特殊的Navier Slip边界条件, 我们称为Vorticity Slip边界条件

$ \begin{equation} u\cdot n=0, \nabla\times u\cdot\tau=0, ~~{\rm on}\ \partial\Omega, \end{equation} $

(1.15)

$ \begin{equation} b\cdot n=0, \nabla\times b\cdot\tau=0, ~~{\rm on}\ \partial\Omega, \end{equation} $

(1.16)

这个边界条件首先由Xiao和Xin对三维Navier-Stokes方程进行研究, 可参考文献[26, 28].后来作者和合作者延拓了这一强收敛结果到三维非齐次不可压Navier-Stokes方程. Ferreira和Planas^[14]建立了条件(1.13)-(1.14)下的收敛理论.比较Xiao和Xin^[30]的收敛结果, Guo和Wang^[12]关于齐次MHD方程组获得了一个更弱的收敛结果.有关Navier-Stokes方程组在Slip边界条件下的消失粘性极限的结果, 读者可以参考文献[2, 6, 15-16].此外, 非齐次不可压Navier-Stokes方程组在全空间或者有界区域带周期边界条件情形时, 可以参考文献[9, 17-18]. Zhang^[31]得到了非齐次不可压MHD方程组关于柯西问题的无粘无电阻极限的强收敛结果.

本文的主要目的是研究系统(1.1)-(1.5)带边界条件(1.15)-(1.16)的无粘无电阻极限问题.通过一致有界估计和紧性收敛原理, 我们得到了解的强收敛估计.由于耦合了非常数的密度, 我们的问题不同于齐次MHD方程组^[27].为了匹配边界条件, Berselli和Spirito曾使用条件$\nabla\rho=0$去解决Boussineq问题.考虑我们的问题时也需要加一个额外的与密度相关的条件, 而我们发现了一个更弱的边界条件能够起到相同的效果去平衡动量方程

$ \begin{equation} \nabla\rho\cdot n=0, \ {\rm on}\ \partial\Omega. \end{equation} $

(1.17)

这两个密度的条件都能够得到类似于Navier-Stokes方程组^[26]的收敛结果, 本文只对条件(1.17)给出证明.

本文主要定理陈述如下：

定理1.1  假设$\rho_0\in H^3(\Omega), u_0, b_0\in W\cap H^3(\Omega)$和$\nabla \rho_0\cdot n=0$.存在一个独立于$\nu$, $\mu$的时间$T_0>0$, 在相同时间相同初值条件下, 使得问题(1.1)-(1.5), (1.15)-(1.16)有唯一解$(\rho, u, b)$收敛到非齐次不可压Euler方程的解$(\rho^0, u^0, b^0)$, 且在$[0, T_0]$有

$ \|\rho-\rho^0\|_2^2+\|u-u^0\|_2^2+\|b-b^0\|_2^2\leq C(T_0)(\nu+\mu). $

对一般带曲率边界的区域, 我们指出用类似的方法不能匹配边界条件, 因为边界项出现的积分项$-\int_\Omega\triangle\psi_u\psi_u{\rm d}x$不能被控制, 这里$\psi_u=-\triangle u$, 所以我们得不到解的一致估计.另一种研究消失粘性极限问题的方法是去寻找适当的条件, 使Euler系统也匹配相同的边界条件.具体的方法之一是找到合适的初值, 使得Euler方程旋度的切分量能够随时间具有保持性.但是, 由于磁场$b$和速度场$u$的强耦合性, 我们用Xiao和Xin在文献[28]中的方法不能得到类似关于Navier-Stokes方程的收敛结果.此外, 我们还将继续考虑类似于Masmoudi和Rousset^[22]在条件(1.13)-(1.14)下的一致正则估计及收敛结果.

本文安排如下:在第二节我们介绍了一些函数空间和一些基本的性质, 在第三节分析了slip边界条件的一些性质, 在第四节证明了系统(1.1)-(1.5)带边界条件(1.15)-(1.16)的适当性问题.最后一节我们得到了强解的收敛率估计.

在全文中, 记$\Omega\subset \mathbb{R}^3$是一类带平直边界的光滑有界区域, 我们称为平坦区域, 比如立方体小盒子区域, 区域的单位外法向量$n$为$(0, 0, \pm 1)$.内积记为$(\cdot)$, 标准的Sobolev空间$H^s(\Omega)$ $(s>0)$带范数$\|\cdot\|_m=\|\cdot\|_{H^m}$和$\|\cdot\|_{L^2}=\|\cdot\|$, $\nabla\times\phi=\varepsilon_{ijk}\partial_j\phi_k$, $\phi\cdot\nabla \varphi=\sum\limits_{i, j=1}^3\phi_i\partial_i\varphi_j$.记交换子为$[-\Delta, A]B=-\Delta(AB)-A(-\Delta B)$.为了方便, 在书写空间时我们将$\Omega$省略.记函数空间记为

$ X = \{\upsilon\in L^{2}(\Omega); \nabla\cdot \upsilon = 0, \ \upsilon\cdot n = 0\}, $

$ V = H^1 (\Omega)\cap X\subset X, \ V^*\ \mbox{是}V {的对偶空间, } $

$ W = \{\upsilon\in V\cap H^2 (\Omega); \nabla\times \upsilon\cdot \tau = 0\ {\rm on}\ \partial\Omega\}\subset X. $

引理2.1^[26]  假设$s\geq 0$是一个整数, $\upsilon\in H^s$是一个向量值函数, 那么

$ \begin{eqnarray*} \|\upsilon\|_s\leq C(\|\nabla\times \upsilon\|_{s-1}+\|\nabla\cdot \upsilon\|_{s-1}+|n\cdot \upsilon|_{s-\frac{1}{2}}+\| \upsilon\|_{s-1}). \end{eqnarray*} $

引理2.2  令Stokes算子$A= -\Delta$的定义域满足$D(A) =W\subset V$, 是正闭双线性型的自伴扩张算子, 有

$ (Au, v)=a(u, v) \equiv \int_\Omega \nabla\times u\cdot \nabla\times v {\rm d}x, $

它的逆是紧的且有可数多个特征值$\{\lambda_{j}\}$使得$ 0 < \lambda_{1}\leq\lambda_{2}\cdots \rightarrow \infty, $相关的特征向量$\{e_{j}\}\subset W\cap C^{\infty}(\Omega)$在$H$里面组成一个完备的正交基.

引理2.3  假如$f\in H^s$, $Df\in L^\infty$, 且$g\in H^{s-1}\cap L^\infty$, 那么有

$ \sum\limits_{|\alpha|\leq s}\|D^\alpha(fg)-fD^\alpha g\|\leq c(\|f\|_s\|g\|_{L^\infty}+\|Df\|_{L^\infty}\|g\|_{s-1}). $

引理2.4  设$\Omega\subset \mathbb{R}^n$是一个有界光滑区域, $p, q, r\in [1, \infty]$, 对任意的整数$i, j$和$l$, $0\leq i, l\leq j$, 那么存在常数$\alpha\in[0, 1]$, $c>0$, 对任意函数$\varphi$属于相关的Sobolev空间, 那么有

$ \|D^l\varphi\|_{L^p(\Omega)}\leq C\|D^j\varphi\|_{L^q(\Omega)}^\alpha\|D^i\varphi\|_{L^r(\Omega)}^{1-\alpha}, $

这里$ \frac{1}{p}=\frac{l}{n}+\alpha(\frac{1}{q}-\frac{j}{n})+(1-\alpha)(\frac{1}{r}-\frac{i}{n}). $

本节讨论了在平坦区域里, 系统(1.1)-(1.5)在边界条件(1.15)-(1.16)下的一些基本性质.记$\omega_u=\nabla\times u$, $\omega_b=\nabla\times b$.

引理3.1  设$u\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$, 那么边界条件$u\cdot n=0$, $b\cdot n=0$, $\nabla\times u\cdot \tau=0$, $\nabla\times b\cdot \tau=0$等价于条件$u_3 = 0$, $b_3 = 0$, $\partial_{3}u_{j} = 0$, $\partial_{3}b_{j} = 0, \ j=1, 2$.

我们的目标是为了得到条件$\triangle\omega_u\times n=0$, $\triangle\omega_b\times n=0$, 事实表明一个额外的与密度相关的条件是必要的.下面我们给出密度的保持性条件.

引理3.2  设密度初值在边界上满足$\nabla\rho_0\cdot n=0$, 那么对任意时间$t>0$, $\rho(t)$满足保持性条件$\nabla\rho(t)\cdot n=0$.

证  使用梯度算子作用传输方程, 乘以单位外法向量$n$, 再与$\nabla\rho\cdot n$作内积, 由带初值的线性常微分方程可知引理成立.

引理3.3  假设$\rho\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$, $u\in C^{\infty}(\overline{\Omega})\cap W$, 且$\nabla\rho_0\cdot n=0$在边界上成立.那么条件$\nabla\times(\rho u_t)\cdot\tau=0$成立.

下面, 我们记非线性项为

$ B_1(\rho, u, b)=\rho u\cdot\nabla u-b\cdot\nabla b+\nabla (p+\frac{1}{2}|b|^2), $

$ B_2(u, b)= u\cdot\nabla b-b\cdot\nabla u, $

这里$\nabla p$由下面的方程组可解

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \mbox{div}(\rho^{-1} \nabla p) = \mbox{div}(\nu\rho^{-1}\Delta u+\rho^{-1}b\cdot\nabla b- u\cdot\nabla u-\frac{\rho^{-1}}{2}\nabla|b|^2), \ &{\rm in}\ \Omega, \\ \nabla p\cdot n = -\rho u\cdot\nabla u\cdot n, \ &{\rm on}\ \partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

我们有下面的命题.

命题3.1  设$\rho\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$, $\nabla\rho_0\cdot n=0$, $u, b\in C^{\infty}(\overline{\Omega})\cap W$.那么有$\nabla\times B_1(\rho, u, b)\cdot\tau=0, $ $ \nabla\times B_2(u, b)\cdot\tau=0$.

证  通过旋度的定义可知$\nabla\times B_2(u, b)\cdot\tau=0$在边界上成立, 此外, 由引理3.1, 可知$\partial_{i, 3}u_{j} = 0, $ $\partial_{i, 3}b_{j} = 0, \mbox{for}\ i, j=1, 2 \ {\rm on} \ \partial\Omega$.

$ \begin{eqnarray*} (\nabla\times B_1(\rho, u, b))_j&=&(\nabla\times(\rho u\cdot\nabla u-b\cdot\nabla b))_j\\ & =&(\nabla\rho\times(u\cdot\nabla u)+\rho u\cdot\nabla\omega_u-\rho\omega_u\cdot\nabla u -b\cdot\nabla \omega_b+\omega_b\cdot\nabla b)_j. \end{eqnarray*} $

因为$\nabla\rho\cdot n=0, \ (u\cdot\nabla u)\cdot n=0$, 可以推出$\nabla\rho\times(u\cdot\nabla u)\times n=0$.此外由引理3.1, 有

$ \begin{eqnarray*} (\rho u\cdot\nabla\omega_u-\rho\omega_u\cdot\nabla u)_1 &=&\rho\sum\limits_{i=1}^3(u_i\partial_i \omega_{u1}-\omega_{ui}\partial_i u_1)\\ &=&\rho(\sum\limits_{i=1}^2(u_i\partial_i \omega_{u1}-\omega_{ui}\partial_i u_1) +(u_3\partial_3 \omega_{u1}-\omega_{u3}\partial_3 u_1))\\ &=&0. \end{eqnarray*} $

类似地, $(\rho u\cdot\nabla\omega_u-\rho\omega_u\cdot\nabla u)_2=0$, $(b\cdot\nabla \omega_b-\omega_b\cdot\nabla b)_j=0$, $j=1, 2$.

本节我们通过半迦辽金逼近法, 建立了系统(1.1)-(1.5), (1.15)-(1.16)弱解的整体存在性和强解的局部存在唯一性, 具体可以参考文献[1].

定义4.1  设$\rho_0\in L^{\infty}(\Omega)$, $u_0, b_0\in X$.若$\rho\in L^{\infty}(\Omega), u, b\in L^{\infty}(0, T;X)\cap L^{2}(0, T;V)$且$\rho u^{\prime}, b^{\prime}\in L^1(0, T;V^*)$.那么我们说$\rho, u, b$是系统(1.1)-(1.5), (1.15)-(1.16)的弱解, 且满足下面的条件

$ (\rho^{\prime}, \varphi)+(u\cdot\nabla\rho, \varphi)=0, $

$ (\rho u^{\prime}, \phi) + \nu(\omega_u, \nabla\times \phi) + (\rho u\cdot\nabla u-b\cdot\nabla b, \phi) = 0, $

$ (b^\prime, \phi)+\mu(\omega_b, \nabla\times\phi)+(u\cdot\nabla b-b\cdot\nabla u, \phi), $

这里$\omega_u=\nabla\times u$, $\omega_b=\nabla\times b$, 测试函数$\phi$, $\varphi$满足$\phi\in V$, $\varphi\in H^1_0$.此外, 我们记初值为$\rho(0)=\rho_0$, $u(0)=u_0$, $b(0)=b_0$.

下面我们给出弱解的整体存在性, 这里的区域$\Omega$可以延拓到一般的光滑有界单连通区域.但是在证明强解时, 区域只能限制在平坦区域.

定理4.1  设$\rho_0\in L^{\infty}(\Omega), u_0, b_0\in X$, 那么对任意给定的时间$T>0$, 在时间区间$[0, T)$上至少存在一个弱解且在分布意义下满足下面的能量估计

$ \begin{eqnarray*} (\|\sqrt{\rho}u(t)\|^2+\|b(t)\|^2)+2\nu\int_0^T\|\nabla\times u\|^2{\rm d}\tau+2\mu\int_0^T\|\nabla\times b\|^2{\rm d}\tau \leq \|\sqrt{\rho_{0}}u_0\|^2+\|b_0\|^2. \end{eqnarray*} $

注4.1  与文献[3]的弱收敛结果相比较, 尽管这里得到了弱解的整体存在性, 但是不能用同样的方法得到非齐次不可压MHD方程组类似的无粘无电阻极限的结果, 这是因为理想非齐次不可压MHD方程组旋度的保持性条件难以满足.

下面我们给出在$H^3(\Omega)$范数意义下强解的局部存在唯一性.

定理4.2  设$\rho_0\in H^3(\Omega), u_0, b_0\in W\cap H^3(\Omega)$.那么存在时间$T^*>0$使得系统(1.1)-(1.6), (1.15)-(1.16)有唯一强解$(\rho, u, b)$满足

$ (u, b)\in L^2(0, T;H^4(\Omega))\cap C([0, T^*);H^3(\Omega)), \\u_t, b_t\in L^2(0, T;W), $

对任意$t\in[0, T^*)$, 有下面的能量估计

$ \begin{eqnarray*} &&\|\rho\|_3^3+\|\sqrt{\rho}\nabla\times\psi_u(t)\|^2+\|\nabla\times\psi_b(t)\|^2 +\int_0^t\|\psi_{ut}(s)\|^2+\|\psi_{bt}(s)\|^2{\rm d}s\\ &&+\nu\int_0^t\|\Delta\psi_u(s)\|^2+\|\Delta\psi_b(s)\|^2{\rm d}s \leq C \end{eqnarray*} $

成立.这里$\psi_u=-\Delta u$, $\psi_b=-\Delta b$, 且$\psi_u$, $\psi_b$在边界上满足$(\nabla\times\psi_u)\cdot\tau=0$, $(\nabla\times\psi_b)\cdot\tau=0$.

定理4.1和定理4.2的详细证明过程是一个相当标准的过程, 这里的证明我们就不再给出.至于强解的唯一性, 我们假设两个强解分别为$(\rho_1, u_1, b_1, p_1)$和$(\rho_2, u_2, b_2, p_2)$.记相应的差$a=\rho_1-\rho_2, v=u_1-u_2, m=b_1-b_2, q=p_1-p_2$满足

$ a_t+v\cdot\nabla\rho_2+u_1\cdot\nabla a=0, $

$ \begin{array}{l} (au_{1t}+\rho_2v_{t})-\nu\Delta v+a u_1\cdot\nabla u_1 +\rho_2 v\cdot\nabla u_1+\rho_2 u_2\cdot\nabla v\nonumber\\[2mm] +m\cdot\nabla b_1+b_2\cdot\nabla m+\nabla(q+\frac{1}{2}|m|^2)=0, \end{array} $

$ \partial_tm+\mu\Delta m+v\cdot\nabla b_1+u_2\cdot\nabla m+ b\cdot\nabla u_1+b_2\cdot\nabla v=0. $

上述方程分别和$a$, $v$, $m$作内积, 有

$ \begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|a\|^2+\|v\|^2+\|m\|^2)\leq g(t)(\|a\|^2+\|v\|^2+\|m\|^2), \end{eqnarray*} $

这里$g(t)$在$[0, T]$上是一个正可积函数.运用Gronwall不等式和初值$a(0)=0$, $v(0)=0$, $m(0)=0$可以得到$a=0$, $v=0$, $m=0$, 这样就证明了强解的唯一性.

注4.2  事实上, 旋度$\omega_u=\nabla\times u, \omega_b=\nabla\times b$满足下面的非齐次不可压MHD旋度方程, 通过对系统(1.1)-(1.5)取旋度可得

$ \begin{equation} \partial_t\rho+u\cdot\nabla \rho=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(4.1)

$ \begin{equation} \rho(\partial_t\omega_u+u\cdot\nabla \omega_u-\omega_u\cdot\nabla u)+ \nabla\rho\times(\partial_t u+u\cdot\nabla u)\\ -\nu\Delta\omega_u=b\cdot\nabla \omega_b-\omega_b\cdot\nabla b , ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(4.2)

$ \begin{equation} \partial_t\omega_b-\mu\omega_b+\nabla\times(u\cdot\nabla b-b\cdot\nabla u)=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(4.3)

$ \begin{equation} \nabla\cdot u=0, \nabla\cdot b=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(4.4)

$ \begin{equation} \nabla\rho(0, x)=\nabla\rho_0, \omega_u(0, x)=\omega_{u0}, \omega_b(0, x)=\omega_{b0}, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(4.5)

边界条件为

$ \begin{eqnarray} \omega_u\cdot\tau=0, \omega_b\cdot\tau=0, \ \Delta\omega_u\cdot\tau=0, \Delta\omega_b\cdot\tau=0, \ {\rm on}\ \partial\Omega. \end{eqnarray} $

(4.6)

且$\psi_u=-\Delta u, \psi_b=-\Delta b$满足

$ \begin{equation} \rho_t+u\cdot\nabla \rho=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(4.7)

$ \begin{equation} \rho\psi_{ut}-\nu\Delta\psi_u+\rho u\cdot\nabla \psi_u =-[-\Delta, \rho\partial_t]u-[-\Delta, \rho u\cdot\nabla]u -\Delta(b\cdot\nabla b), ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(4.8)

$ \begin{equation} \psi_{bt}-\mu\Delta\psi_b-\Delta(u\cdot\nabla b-b\cdot\nabla u)=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(4.9)

$ \begin{equation} \nabla\cdot\psi_u=0, \nabla\cdot\psi_b=0, ~~{\rm in}\ \Omega, \end{equation} $

(4.10)

$ \begin{equation} \Delta\rho(0, x)=\Delta\rho_0, \Delta u(0, x)=\Delta u_0, \Delta b(0, x)=\Delta b_0, ~~{\rm in}\ \Omega. \end{equation} $

(4.11)

相应的边界条件为

$ \begin{eqnarray} \psi_u\cdot n=0, \psi_b\cdot n=0, (\nabla\times\psi_u)\cdot\tau=0, (\nabla\times\psi_b)\cdot\tau=0, \ &{\rm on}\ \partial\Omega. \end{eqnarray} $

(4.12)

本节主要研究了非齐次不可压MHD方程组的无粘无电阻极限问题, 首先, 我们给出下面的一致界估计.

命题5.1  设$\rho_0\in H^3(\Omega), u_0, b_0\in W\cap H^3(\Omega)$, $\nabla\rho_0\cdot n=0$.存在依赖于初值$\|(\rho_0, u_0, b_0)\|_{H^3}$的时间$T_0>0$, 使得系统(1.1)-(1.5), (1.15)-(1.16)在初值为$(\rho_0, u_0, b_0)$时, 它的强解$\rho(\nu, \mu), $ $u(\nu, \mu), $ $ b(\nu, \mu)$满足下面的一致界

$ \|\rho(\cdot, t)\|_3+\|u(\cdot, t)\|_3+\|b(\cdot, t)\|_3 \leq C, \quad \in [0, T_0], $

这里$C$是独立于$\nu$, $\mu$的正常数.

首先, 我们给出下面的引理:

引理5.1  假设$\Phi(t)=\int_0^t[1+\|\rho (s)\|_3^2+\|u(s)\|_3^2+\|b(s)\|_3^2]^2{\rm d}s$.通过传输方程可得

$ \begin{eqnarray} \sup\limits_{0\leq s\leq t}\|\rho (s)\|_3^2\leq C(1+\Phi(t)). \end{eqnarray} $

(5.1)

证  运用算子$D^\alpha(\alpha\leq3)$作用方程(4.1), 再与$D^\alpha \rho$作内积可得

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\rho(t)\|_3^2+\sum\limits_{\alpha\leq3}(D^\alpha(u\cdot\nabla\rho) -u\cdot\nabla D^\alpha\rho, D^\alpha\rho)=0, $

因此, 通过Young's不等式得到(5.1)式.

引理5.2  假设$A=1+\|\rho\|_3^2$, $B=\|u_0\|_3^2+\|b_0\|_3^2$.通过非齐次不可压MHD方程组可得

$ \begin{eqnarray} &&\|u(t)\|_3^2+\|b(t)\|_3^2+\int_0^t\|u_t(s)\|_2^2+\|b_t(s)\|_2^2{\rm d}s +\int_0^t\nu\|\nabla u(s)\|_2^2+\mu\|\nabla b(s)\|_2^2{\rm d}s\nonumber\\ &\leq &C[A^2B+A(A+B)\Phi(t)+(A+B)\Phi(t)^2+\Phi(t)^3], \end{eqnarray} $

(5.2)

这里C是独立于$\nu$, $\mu$的正常数.

证  下面我们分三步来证明:

(1)  方程(1.2)和(1.3)分别乘以$u, b$, 在$\Omega$上积分可得

$ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\sqrt{\rho}u\|^2+\|b\|^2)+\nu\|\nabla\times u\|^2 +\mu\|\nabla\times b\|^2=0. \end{eqnarray} $

(5.3)

方程(1.2)和(1.3)分别乘以$u_t, b_t$, 在$\Omega$上积分可得

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{\Omega}\rho|u_t|^2+|b_t|^2{\rm d}x+\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\frac{\nu}{2}\|\nabla\times u\|^2+\frac{\mu}{2}\|\nabla\times b\|^2)\nonumber\\ &=&-\int_{\Omega}(\rho u\cdot\nabla u+b\cdot\nabla b)\partial_tu{\rm d}x -\int_{\Omega}(u\cdot\nabla b-b\cdot\nabla u)\partial_tb{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

通过Hölder不等式可知

$ \begin{eqnarray} m\|u_t\|^2+\|b_t\|^2+\nu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times u\|^2 +\mu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times b\|^2 \leq C(\|u\|_2^4+\|b\|_2^4), \end{eqnarray} $

(5.4)

这里$C$是依赖于$m, M$和嵌入定理的正常数.

(2)  方程(4.2)和(4.3)分别乘以$\omega_u, \omega_b$, 在$\Omega$上积分可得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1 }{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\sqrt{\rho}\omega_u\|^2+\|\omega_b\|^2) +\nu\|\nabla\times\omega_u\|^2+\mu\|\nabla\times\omega_b\|^2\nonumber\\ &=&\int_{\Omega}-\nabla\rho\times(\partial_t u+u\cdot\nabla u)\omega_u +(\rho\omega_u\cdot\nabla u+b\cdot\nabla \omega_b-\omega_b\cdot\nabla \omega_b)\omega_u {\rm d}x \nonumber\\ &&+\int_{\Omega}\nabla\times(u\cdot\nabla b-b\cdot\nabla u)\omega_b{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

故

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1 }{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\sqrt{\rho}\omega_u\|^2+\|\omega_b\|^2) +\nu\|\nabla\times\omega_u\|^2+\mu\|\nabla\times\omega_b\|^2\nonumber\\ &\leq&c_4(\|\rho\|^4_3+\|u\|^4_3+\|b\|^4_3+\|u\|^2_3)+\frac{m}{2}\|u_t\|^2. \end{eqnarray} $

(5.5)

因此, 方程(5.4)加上方程(5.5), 在$[0, t]$上积分, 记$\nu\leq1$, 可得

$ \begin{eqnarray} &&\int_0^t\|u_t(s)\|^2+\|b_t(s)\|^2{\rm d}s+\nu\|\omega_u\|^2+\mu\|\omega_b\|^2 +\|\omega_u\|^2+\|\omega_b\|^2\nonumber\\ &&+\int_0^t\nu\|\nabla\times\omega(s)\|^2+ \mu\|\nabla\times\omega(s)\|^2{\rm d}s \leq C[B+\Phi(t)]. \end{eqnarray} $

(5.6)

如果方程(4.2)和(4.3)分别和$\omega_{ut}, \omega_{bt}$作内积, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{\Omega}\rho|\omega_{ut}|^2+|\omega_{bt}|^2{\rm d}x +\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{ut}\|^2 +\frac{\mu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{bt}\|^2\nonumber\\ &=&\int_{\Omega}\rho(\omega_u\cdot\nabla u-u\cdot\nabla \omega_u)\omega_{ut} -\nabla\rho\times(\partial_t u+u\cdot\nabla u)\omega_{ut} +(b\cdot\nabla \omega_b-\omega_b\cdot\nabla b)\omega_{ut}{\rm d}x \\ &&-\int_{\Omega}\nabla\times(u\cdot\nabla b-b\cdot\nabla u)\omega_{bt}{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

故

$ \begin{eqnarray} &&m\|\omega_{ut}\|^2+\|\omega_{bt}\|^2 +\nu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{ut}\|^2 +\mu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{bt}\|^2\nonumber\\ &\leq& C(\|u\|_3^4+\|b\|_3^4+\|\rho\|^2_3(\|u_t\|^2+\|u\|_3^4)), \end{eqnarray} $

(5.7)

(3)  方程(4.8)和(4.9)分别和$\psi_u, \psi_b$作内积, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1 }{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\sqrt{\rho}\psi_u\|^2+\|\psi_b\|^2) +\nu\|\nabla\times\psi_u\|^2+\mu\|\nabla\times\psi_b\|^2\nonumber\\ &=&\int_{\Omega}-[-\Delta, \rho\partial_t] u\psi_u-[-\Delta, \rho u\cdot\nabla]u\psi_u+ \Delta(b\cdot\nabla b)\psi_u {\rm d}x \\ && +\int_{\Omega}\Delta(u\cdot\nabla b-b\cdot\nabla u)\psi_b{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

可得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1 }{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\sqrt{\rho}\psi_u\|^2+\|\psi_b\|^2) +\nu\|\nabla\times\psi_u\|^2+\mu\|\nabla\times\psi_b\|^2\nonumber\\ &\leq&c(\|\rho\|^4_3+\|u\|^4_3+\|u\|^2_3+\|b\|^4_3+\|u_t\|^2) +\frac{m}{2}\|\omega_{ut}\|^2. \end{eqnarray} $

(5.8)

把(5.7)和(5.8)式相加得到

$ \begin{eqnarray} &&m\|\omega_{ut}\|^2+\|\omega_{bt}\|^2+2\nu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{ut}\|^2 +2\mu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{bt}\|^2 \nonumber\\ &&+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\rho}\psi_u\|^2+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\rho}\psi_b\|^2 +2\nu\|\nabla\times\psi_u\|^2 +2\mu\|\nabla\times\psi_b\|^2\nonumber\\ &\leq& c_{12}(\|\rho\|^4_3+\|u\|^4_3+\|b\|^4_3+\|u\|^2_3+\|b\|^2_3 +\|u_t\|^2+\|\rho\|^2_3(\|u\|^4_3+\|u_t\|^2)), \end{eqnarray} $

(5.9)

在$[0, t] $上积分有

$ \begin{eqnarray} &&\int_0^t\|\omega_{ut}\|^2+\|\omega_{bt}\|^2{\rm d}s +\nu\|\nabla\times\omega_{ut}\|^2+\mu\|\nabla\times\omega_{bt}\|^2 +\|\psi_u\|^2+\|\psi_b\|^2\nonumber\\ && +\int_0^t\nu\|\nabla\times\psi_u\|^2+\mu\|\nabla\times\psi_b\|^2{\rm d}s\nonumber\\ &\leq& C[AB+(A+B)\Phi(t)+\Phi(t)^2]. \end{eqnarray} $

(5.10)

方程(4.8)和(4.9)分别和$\psi_{ut}, \psi_{bt}$做内积可得

$ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}\rho|\psi_{ut}|^2+|\psi_{bt}|^2{\rm d}x +\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_u\|^2 +\frac{\mu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_b\|^2\nonumber\\ &=&\int_{\Omega}-\rho u\cdot\nabla \psi\psi_t-[-\Delta, \rho\partial_t]u\psi_{ut} -[-\Delta, \rho u\cdot\nabla]u\psi_{ut}{\rm d}x\nonumber\\ &&+\int_{\Omega}-\Delta(b\cdot\nabla b)\psi_{ut} +\Delta(u\cdot\nabla b+b\cdot\nabla u)\psi_{bt}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

(5.11)

由引理2.3和引理2.4有

$ \begin{eqnarray} &&m\|\psi_{ut}\|^2+\|\psi_{bt}\|^2+\nu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_u\|^2 +\mu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_b\|^2\nonumber\\ &\leq& C(\|u\|^4_3+\|b\|^4_3+\|\rho\|^2_3(\|u\|^4_3+\|\omega_{ut}\|^2+\|u_t\|^2). \end{eqnarray} $

(5.12)

方程(4.8)和(4.9)分别和$-\Delta\psi_u, -\Delta\psi_b$作内积, 使用边界条件(4.12), 可以推出

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\rho}\nabla\times\psi_u\|^2+ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_b\|^2+ \nu\|\Delta\psi_u\|^2+\mu\|\Delta\psi_b\|^2\nonumber\\ &\leq&C(\|\rho\|^4_3+\|u\|^4_3+\|b\|^4_3+\|u\|^2_3+\|b\|^2_3+\|\omega_t\|^2). \end{eqnarray} $

(5.13)

由(5.1), (5.6), (5.10), (5.12)和(5.13)式可以得到

$ \begin{eqnarray} &&\int_0^t\|\psi_{ut}\|^2+\|\psi_{bt}\|^2{\rm d}s+\nu\|\nabla\times\psi_u\|^2 +\mu\|\nabla\times\psi_b\|^2+\|\nabla\times\psi_u\|^2\nonumber\\ &&+\|\nabla\times\psi_b\|^2+ \int_0^t\nu\|\Delta\psi_u\|^2+\mu\|\Delta\psi_b\|^2{\rm d}s\nonumber\\ &\leq& C[A^2B+A(A+B)\Phi(t)+(A+B)\Phi(t)^2+\Phi(t)^3]. \end{eqnarray} $

(5.14)

因此, 引理成立.

引理5.3  设$T^*=T^*(c, \bar{c}, A, B)\in(0, T]$.那么存在$T^*$满足$ \Phi(t)\leq 1, \ t\leq T^*. $

证  记$E(t)=1+\Phi(t)$, 根据(5.14)式, 可以得到$\frac{\rm d}{{\rm d}t}E(t)\leq CE(t)^6$, 这里C是独立于$\nu$和$\mu$的常数.如果$0 < t < (5C)^{-1}$, 可以得到$E(t)\leq(1-5Ct)^{-\frac{1}{5}}$, 只要$t\leq T^*=\frac{31}{160C}$, 则有$E(t)\leq 2$.

证明命题5.1  由引理5.2和引理5.3, 这里存在$T_0\leq T^*$, 对任意的$t\in T_0$, 可以得到一致界估计.

定理5.1  假设$\rho_0\in H^3(\Omega), u_0\in W\cap H^3(\Omega)$, $T_0>0$, $\rho(\nu, \mu), u(\nu, \mu)$和$b(\nu, \mu)$是非齐次不可压MHD方程组在$[0, T_0]$上的相关强解.那么当$\nu, \mu\rightarrow0$时, $(\rho, u)$在相同的初值意义下收敛到唯一解$(\rho^0, u^0)$

$ (\rho(\nu, \mu), u(\nu, \mu), b(\nu, \mu))\rightarrow (\rho^0, u^0, b^0)\, \ \mbox{ 在}\ L^q(0, T;H^3(\Omega)), $

$ (\rho(\nu, \mu), u(\nu, \mu), b(\nu, \mu))\rightarrow (\rho^0, u^0, b^0)\, \ \mbox{ 在}\ C(0, T;H^2(\Omega)), $

对任意$1\leq q < \infty$.

证  由命题5.1可知

$ (\rho(\nu, \mu), u(\nu, \mu), b(\nu, \mu))\ \mbox{在}\ C([0, T_0];H^3(\Omega)) \mbox{一致有界}, $

$ (\rho^\prime(\nu, \mu), u^\prime(\nu, \mu), b^\prime(\nu, \mu))\ \mbox{在}\ L^2(0, T_0;H^2(\Omega))\mbox{一致有界}, $

对$\nu, \mu>0$.通过标准的紧性收敛原理, 存在$\nu, \mu$的子序列$\nu_n, \mu_n$和向量函数$\rho^0, u^0, b^0$有

$ (\rho(\nu_n, \mu_n), u(\nu_n, \mu_n), b(\nu_n, \mu_n)) \rightarrow (\rho^0, u^0, b^0) \ \mbox{在} \ L^{q}(0, T; H^{3}(\Omega)), $

$ (\rho(\nu_n, \mu_n), u(\nu_n, \mu_n), b(\nu_n, \mu_n)) \rightarrow (\rho^0, u^0, b^0) \ \mbox{在}\ C([0, T];H^{2}(\Omega)), $

对任意$1\leq q < \infty$, 当$\nu_n, \mu_n \rightarrow 0$, 通过取极限我们发现$(\rho^0, u^0, b^0)$是下面极限系统的解

$ \partial_{t}\rho^{0}+u^{0}\cdot\nabla \rho^{0}=0, ~~{\rm in}\ \Omega, $

$ \rho^{0}\partial_{t}u^{0}+\rho^{0} u^{0}\cdot\nabla u^0+\nabla (p^{0}\frac{1}{2}|b^0|^2)=0, ~~{\rm in}\ \Omega, $

$ b^0_t-\mu\Delta b^0+u^0\cdot\nabla b^0-b^0\cdot\nabla u^0=0, ~~{\rm in}\ \Omega, $

$ \nabla\cdot u^{0}=0, \nabla\cdot b^{0}=0, ~~{\rm in}\ \Omega, $

$ \rho^{0}(0, x)=\rho_0(x), u^{0}(0, x)=u_0(x), b^0(0, x)=b^0_0(x), ~~{\rm in}\ \Omega. $

带边界条件

$ u^0\cdot n=0, \nabla\times u^0\cdot\tau=0, ~~ {\rm on}\ \partial \Omega, $

$ b^0\cdot n=0, \nabla\times b^0\cdot\tau=0, ~~ {\rm on}\ \partial \Omega, $

这里$p^0$满足

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \mbox{div}(\rho^{0-1} \nabla p^0) = \mbox{div}(\rho^{0-1}b^0\cdot\nabla b^0- u^0\cdot\nabla u^0-\frac{\rho^{0-1}}{2}\nabla|b^0|^2), \\[2mm] \nabla p^0\cdot n = -\rho^0 u^0\cdot\nabla u^0\cdot n. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

如同前面证明非齐次不可压MHD方程组强解的存在唯一性一样, 也可以得到上面系统的解$(\rho^0, u^0, b^0)$是存在唯一的.

最后我们证明主要定理1.1.

证  记$a=\rho-\rho^0, v=u-u^0, M=b-b^0$和$q=p-p^0$, 那么$a, v, M, q$解下面的系统

$ \begin{eqnarray} a_t+u\cdot\nabla a=-v\cdot\nabla\rho^0, \end{eqnarray} $

(5.15)

$ \begin{eqnarray} &&\rho(v_t+u\cdot\nabla v)-\nu\Delta u-b\cdot\nabla M +\nabla (q+\frac{1}{2}[(b+b^0)\cdot M]\nonumber\\ &=&-\rho v\cdot\nabla u^0+\nabla(p^0+\frac{1}{2}|b^0|^2)\frac{a}{\rho^0}+M\cdot\nabla b^0-\frac{a}{\rho^0}b^0\cdot\nabla b^0\equiv F, \end{eqnarray} $

(5.16)

$ \begin{equation} M_t+u\cdot\nabla b-\mu\Delta M-b\cdot\nabla v=M\cdot\nabla u^0-v\cdot\nabla b^0\equiv G, \end{equation} $

(5.17)

$ \begin{equation} \mbox{div}\ v=0, \mbox{div}\ M=0, \end{equation} $

(5.18)

初值为$a\mid_{t=0}=0, v\mid_{t=0}=0, M\mid_{t=0}=0, \ x\in \Omega. $由(4.12)式知, 边界条件满足$\nabla\times u\times n=0$, $\nabla\times u^0\times n=0$, $\nabla\times b\times n=0$, $\nabla\times b^0\times n=0$, $(\nabla\times)^3 u\times n=0$, $(\nabla\times)^3 b\times n=0$.

(1)  运用算子$D^\alpha (\alpha\leq2)$, 从方程(5.15)可得

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|a(t)\|_2^2=-\sum\limits_{|\alpha\leq2|}(D^\alpha(u\cdot\nabla a) -u\cdot\nabla D^\alpha a, D^\alpha a)-\sum\limits_{|\alpha\leq2|}(D^\alpha(v\cdot\nabla\rho^0) , D^\alpha a). \end{eqnarray*} $

由Hölder不等式, Young's不等式可得

$ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|a(t)\|_2^2\leq C(\|a(s)\|_2^2+\|v(s)\|_2^2). \end{eqnarray} $

(5.19)

(2)  记$\omega_v=\nabla\times v, \Psi_v=-\Delta v, \Psi_M=-\Delta M$, 运用算子$-\Delta$作用方程(5.16), (5.17)再分别和$\Psi_v, \Psi_M$做内积得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\sqrt{\rho}\Psi_u(t)\|^2+\|\Psi_M(t)\|^2) +\nu((\Delta)^2u, \Psi_v(s))+\mu((\Delta)^2b, \Psi_M(s))\nonumber\\ &=&(\nu\Delta u^0, -\Delta v)+(\mu\Delta M^0, -\Delta M) -([-\Delta, \rho u\cdot\nabla]v, -\Delta v)\nonumber\\ &&-([-\Delta, \rho \partial_t]v, -\Delta v)+(-\Delta(b\cdot\nabla M), -\Delta v) +(-\Delta(b\cdot\nabla v), -\Delta M)\nonumber\\ &&+(-\Delta(u\cdot\nabla M), -\Delta M)+(-\Delta F, -\Delta v)+ (-\Delta G, -\Delta M)\nonumber\\ &=&\sum\limits_{i=1}^{9}R_i. \end{eqnarray} $

(5.20)

下面分别计算$R_i$, 由Cauchy-Schwarz不等式得

$ \begin{eqnarray*} R_1+R_2&\leq &\frac{1}{2}(\nu\|\nabla\times v\|_2^2+\mu\|\nabla\times M\|_2^2) +C(\nu+\mu)(\|u^0\|_3^2+\|b^0\|_3^2)\\ &\leq& \frac{1}{2}(\nu\|\nabla\times v\|_2^2+\mu\|\nabla\times M\|_2^2) +C(\nu+\mu). \end{eqnarray*} $

同样可得

$ R_3=(-\Delta(\rho u\cdot\nabla v)-\rho u\cdot\nabla\Psi_v, -\Delta v) \leq C(1+\|\rho\|_3+\|u\|_3)^2\|v\|_2^2\leq C\|v\|_2^2 $

和

$ R_4\leq C(\|\rho\|_3\|v_t\|+\|\rho\|_3\|v_t\|_1)\|v\|_2 \leq C\|\rho\|_3\|v_t\|_1\|v\|_2\leq C(\|v\|_2^2+\|\nabla\times v_t\|^2). $

由$\nabla\cdot b=0$知

$ (b\cdot\nabla \Psi_M, -\Delta v)+(b\cdot\nabla \Psi_v, -\Delta M)=0, $

类似处理$R_3$可得$R_5+R_6\leq C(\|v\|_2^2+\|M\|_2^2)$和$R_7\leq C\|M\|_2^2$.此外

$ \begin{eqnarray*} R_8+R_9&\leq& C(\|v\|_2^2+\|F\|_2^2)+C(\|M\|_2^2+\|G\|_2^2)\\ &\leq &C(\|a\|_2^2+\|v\|_2^2+\|M\|_2^2)+C\|a\nabla(p^0+\frac{|b^0|^2}{2})/\rho^0\|_2^2. \end{eqnarray*} $

由$p^0$的定义可得

$ \|a\nabla(p^0+\frac{|b^0|^2}{2})/\rho^0\|_2^2\leq C\|a\|_2^2(1+\|u^0_t\|_2^2). $

又

$ \nu((\Delta)^2u, \Psi_v(s)) \leq C\nu\|(\nabla\times)^3u\|(\|\nabla\times)^3u\|+\|\nabla\times)^3u^0\|)\leq C\nu, $

$ \mu((\Delta)^2b, \Psi_M(s))\leq C\mu\|(\nabla\times)^3b\|(\|\nabla\times)^3b\|+\|\nabla\times)^3b^0\|)\leq C\mu. $

综上所述, 我们可以得到

$ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|a(t)\|_2^2+\\\|\sqrt{\rho}\Psi_u(t)\|^2+\|\Psi_M(t)\|^2)%\\ \leq C(\nu+\mu+\|a\|_2^2+\|v\|_2^2+\|M\|_2^2+\|\nabla\times v_t\|^2). \end{equation} $

(5.21)

下面我们估计$\|\nabla\times v_t\|^2$, 类似于估计(5.10), 可以得到下面的估计

$ \begin{equation} \nu\|\Delta v(t)\|^2+\int_0^t\|\nabla\times v_t(s)\|^2{\rm d}s%\nonumber\\ \leq C\nu +C\int_0^t(\|a(s)\|_2^2+\|v(s)\|_2^2+\|M(s)\|_2^2){\rm d}s, \end{equation} $

(5.22)

由(5.19), (5.21)和(5.22)式可得

$ \begin{equation} \|a(t)\|_2^2+\|\Psi_v(t)\|^2+\|\Psi_M(t)\|^2%\nonumber\\ \leq C(\nu+\mu)+C\int_0^t(\|a(s)\|_2^2+\|v(s)\|_2^2+\|M(s)\|_2^2){\rm d}s, \end{equation} $

(5.23)

通过Gronwall's不等式, 我们可以得到下面的收敛率估计

$ \begin{equation} \|a(t)\|_2^2+\|\Psi_v(t)\|^2+\|\Psi_M(t)\|^2 \leq C(T_0)(\nu+\mu). \end{equation} $

(5.24)

因此, 定理1.1证明完毕.