在调和分析中Besov空间和Triebel-Lizorkin空间具有着很重要的作用, 并与很多经典的函数空间有着紧密联系, 其中包括Sobolev空间, Hardy空间, Bessel-potential空间等^{[12, 20]}, 其刻画方式通常是借助于Littlewood-Paley分解来实现的.近年来, 对于变指标函数空间的研究越来越受到重视, 并且这些研究被应用在了很多不同的理论领域, 其中包括表示论、偏微分方程、变分法等.文献[2, 4-6, 9, 18, 21-23]对变 $ p $ 指标, 变 $ \alpha $ 指标以及三个变指标的Besov空间和Triebel-Lizorkin空间进行了深入研究, 文献[25-26]分别研究了 $ {\Bbb R}^n $ 上的变积分变光滑性的Besov型空间 $ B_{p(\cdot), q(\cdot)}^{\alpha(\cdot), \phi } $ 和Triebel-Lizorkin型空间 $ F_{p(\cdot), q(\cdot)}^{\alpha(\cdot), \phi } $ .

在一些抽象的空间上, 也有着关于Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的研究, 例如文献[13-14, 24]等对齐型空间上的常指标Besov空间和Triebel-Lizorkin空间进行了深入研究.这启发了我们去考虑在抽象的空间上研究变指标的Besov空间和Triebel-Lizorkin空间.

考虑到Stratified群具有良好的几何性质, 在其上研究变指标的Besov空间和Triebel-Lizorkin空间将更具有可行性, 而它又与欧式空间的几何结构有着很大的区别, 这使得这种研究又具有一定的复杂性.文献[11, 15]分别研究了Stratified群上的齐次Besov空间和Triebel-Lizorkin空间, 参考了其刻画方式, 我们试图在Stratified群上借助文献[11]中给出的LP -容许函数构造变指标齐次Besov空间和Triebel-Lizorkin空间.就我们目前所知, 尚未有关于Stratified群上的变指标Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的研究.借鉴了文献[17, 21]的证明方法, 我们给出了这些函数空间的等价范数.

本文结构安排如下:首先在第二节中简要介绍Stratified群以及变指标Lebesgue空间的基本性质.随后在第三节中借助LP -容许函数给出Stratified群上的变指标齐次Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的定义, 给出并证明了这两类变指标空间的等价范数, 并由此推出这两类变指标空间在等价范数的意义下与LP -容许函数的选取无关.

首先我们根据文献[10]介绍一些Stratified群的基本性质.称李群 $ G $ 是Stratified群, 如果它是单连通的并且它的李代数 $ {\mathfrak g} $ 具有向量分解 $ {\mathfrak g}=\bigoplus_1^m V_k $ 使得当 $ 1\leqslant j <m $ 时有 $ [V_1, V_j]=V_{j+1} $ , 且 $ [V_1, V_m]=0 $ .在这种情形下, $ {\mathfrak g } $ 作为一个李代数可以由 $ V_1 $ 生成, 并且它是 $ m $ 阶幂零的.像通常一样 $ G $ 与它的李代数 $ {\mathfrak g} $ 通过指数映射建立同构关系.因而存在某个 $ n $ 使 $ G $ 是一个具有底流形 $ {\Bbb R}^n $ 的李群.文献[10, 命题1.2]指出从 $ {\mathfrak g} $ 到 $ G $ 的指数映射是微分同胚并且 $ G $ 的双不变哈尔测度由它的李代数 $ {\mathfrak g} $ 的Lebesgue测度导出.

记 $ X_1, \cdots, X_n $ 为 $ G $ 的左不变向量场.若 $ G $ 是Stratified群, $ {\mathfrak g} $ 上的自然伸缩映射可以由 $ \delta_r(\sum\limits_{j=1}^mX_j)=\sum\limits_{j=1}^mr^jX_j $ 给出, 其中 $ r>0 $ .我们把 $ \delta_r(x) $ 简记做 $ rx $ , 其中 $ x\in G $ .容易看出, 这种伸缩映射不仅是 $ G $ 的群自同构而且是 $ {\mathfrak g} $ 的代数自同构.通过选取适当的坐标系, 可以使得当 $ x\in G $ 时有

$ rx=(r^{d_1}x_1, \cdots, r^{d_n}x_n), $

其中 $ 1=d_1\leqslant\cdots\leqslant d_n=m $ 都是整数.记 $ {\Bbb N}_0={\Bbb N}\cup \{0\} $ .记 $ d(I) $ 为任意多重指标 $ I=(i_1, \cdots, i_n)\in {\Bbb N}_0^n $ 的齐次次数, 即

$ d(I)=\sum\limits_{j=1}^n d_ji_j. $

$ G $ 中的每个多项式可唯一的写成

$ P=\sum\limits_I c_Ix^I\quad (x=x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}, \ c_I\in {\Bbb C}). $

称这样的多项式为 $ k $ 阶齐次次数多项式, 如果 $ \max\{d(I):c_I\neq0 \}=k $ .记所有齐次次数小于等于 $ k $ 阶的多项式全体构成的空间为 $ {\cal P}_k $ , 并记

$ {\cal P} =\bigcup\limits_{k\in {\Bbb N}_0}{\cal P}_k . $

记 $ {\cal S}(G) $ 为 $ G $ 上的Schwartz函数空间, $ {\cal S}'(G) $ 为 $ G $ 上的缓增分布函数空间, 也就是 $ {\cal S}(G) $ 的对偶空间.称 $ Q=\sum\limits_{j=1}^nd_j$ 是 $ G $ 的齐次维数.对 $ G $ 中的任意函数 $ \phi $ , 定义其伸缩为

$ \phi_a(x)=2^{Qa}\phi(2^ax). $

类似的, 记

$ D_a\phi(x)=a^Q\phi(ax). $

显然 $ \|\phi_a\|_1=\|D_a\phi\|_1=\|\phi \|_1 $ .

根据文献[10], 可以找到齐次范数 $ |\cdot| $ , 满足 $ |\cdot| $ 在 $ 0 $ 点以外光滑, 且对任意的 $ x\in G $ 有 $ |ax|=a|x| $ , $ |x^{-1}|=|x| $ , 其中 $ a\geqslant0 $ , 并且 $ |x|=0 $ 当且仅当 $ x=0 $ .

记 $ X=(X_1, \ X_2, \ \cdots, \ X_{n}) $ . $ G $ 上的Schwartz函数类 $ {\cal S}(G) $ 定义为

$ {\cal S}(G)=\left \{\phi \in C^\infty (G): \left | \mu ^\alpha \cdot X^\beta \phi \right |<\infty {\rm\ for\ all}\ \alpha, \beta \in{\Bbb N}_0^{n}, \ \it\mu \in G \right \} . $

通过半范数 $ \left \{ p_N\right \}_{N\in {\Bbb N}} $ 可以将 $ {\cal S}(G) $ 拓扑化, 即

$ p_N(\varphi )\equiv \sum\limits_{d(\alpha )\leqslant N} \sup\limits_{x\in G}(1+|x|)^N\left | X ^\alpha \varphi (x) \right |. $

下面给出 $ G $ 上的次Laplace算子 $ {\cal L} $

$ {\mathcal L}=-\sum\limits_{i=1}^vX_i^2, $

其中 $ X_1, \cdots, X_v $ 是 $ V_1 $ 的基底.

仿照文献[8], 可以在Stratified群上给出变指标Lebesgue空间的定义.称函数 $ p(\cdot):G\rightarrow (0, \infty ) $ 为变指标.对于任意可测集 $ E \subset G $ , 记

$ p_{+}(E)\equiv \sup\limits_{x\in E} p(x), \quad p_{-}(E)\equiv \inf\limits_{x\in E}p(x). $

把 $ p_{+}(G) $ 和 $ p_{-}(G) $ 分别简记做 $ p_{+} $ 和 $ p_{-} $ , 并且总是假设

$ \begin{equation}\label{bbbooo} 0<p_{-}\leqslant p_{+}<\infty . \end{equation} $

(2.1)

记 $ L^{p(\cdot )}(G) $ 为具有如下范数的函数空间

$ \left \| f \right \|_{L^{p(\cdot )}}\equiv \inf\left \{ \lambda >0: { \int_{G}}\left (\frac{\left | f(x) \right |}{\lambda }\right )^{p(x)}{\rm d}x\leqslant 1 \right \}. $

对于 $ G $ 中的函数 $ f $ , 定义 $ \widetilde{f}(x)=f(x^{-1}) $ 以及 $ f^*=\overline{\widetilde{f}} $ .当 $ f\in L^2(G)\cap L^1(G) $ 时, 卷积算子 $ g\mapsto g*f $ 的伴随算子由 $ g \mapsto g*f^* $ 给出.

用 $ A\lesssim B $ 表示不等式 $ A\leqslant CB $ 对于某个常数C成立, 用 $ A \sim B $ 表示 $ A\lesssim B\lesssim A $ 成立.

本节首先借鉴文献[11]一文中给出的Stratified群上的常指标Besov空间的定义方式, 在定义3.3中给出了Stratified群上的变指标齐次Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的范数.随后在定理3.3中给出并证明了这两类变指标空间的等价范数, 由此说明在等价范数的意义下这两类变指标空间与LP -容许函数的选取无关.

定义3.1^{[11, 定义3.1]} 设 $ N\in {\Bbb N} $ .称函数 $ f: G\rightarrow {\Bbb C} $ 有 $ N $ 阶多项式衰减条件, 如果存在常数 $ C > 0 $ , 使得对任意的 $ x\in G $ 都有

$ |f(x)| \leqslant C(1 + |x|)^{-N} . $

称函数 $ f $ 有 $ N $ 阶消失条件, 如果

$ \forall p\in {\cal P} _{N-1}:\quad\int _Gf(x)p(x){\rm d}x=0, $

关于积分绝对收敛.

记 $ {\cal Z}(G) $ 为 $ G $ 中所有具有任意阶消失条件的Schwartz函数全体构成的函数空间.

定义3.2^{[11, 定义3.6]} 称函数 $ \psi \in{\cal S}(G) $ 是LP -容许的, 如果对任意的 $ g \in{\cal Z}(G) $ , 有

$ \begin{equation}\label{bbb001} g=\lim\limits_{N\rightarrow \infty}\sum\limits_{ |j|\leqslant N}g*\psi _j^**\psi _j \end{equation} $

(3.1)

成立, 其中的级数在Schwartz空间的拓扑意义下收敛.对偶性意味着下面的级数对任意的 $ u\in {\cal S}'(G)/{\cal P} $ 收敛

$\begin{equation}\label{bbb002} u=\lim\limits_{N\rightarrow \infty}\sum\limits_{ |j|\leqslant N}u*\psi _j^**\psi _j. \end{equation} $

(3.2)

接下来展示LP -容许函数的一个例子.

例3.1 ^{[11, 引理3.7]} 设 $ \widehat{ \phi} $ 是 $ C^\infty $ 的函数并支在 $ [0, 4] $ , 满足 $ 0 \leqslant \widehat{ \phi} \leqslant 1 $ 且在 $ [0, 1/4] $ 上 $ \widehat{ \phi} \equiv 1 $ .令

$ \widehat{\psi}(\xi)=\sqrt{\widehat{ \phi} (2^{-2}\xi)-\widehat{ \phi} (\xi)} . $

于是, $ \widehat{\psi}\in C_c^\infty({\Bbb R}_+) $ 支在 $ [1/4, 4] $ 并且

$ 1=\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}|\widehat{\psi }(2^{2j}\xi )|^2\quad {\rm a.e.} \ \xi\in{\Bbb R}_+, $

取次Laplace算子 $ \mathcal L $ , 用 $ \psi $ 表示有界左不变算子 $ \widehat{\psi }(\mathcal L) $ 的卷积核.于是 $ \psi $ 是LP -容许的, 并且 $ \psi\in {\cal Z}(G) $ .

接下来, 参考经典情形^{[11, 15]}, 给出Stratified群上的变指标齐次Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的定义.

定义3.3 设 $ G $ 是Stratified群, $ s\in {\Bbb R} $ , $ 0 < q \leqslant\infty $ 并且 $ p(\cdot) $ 满足(2.1)式.取LP -容许函数 $ \psi\in {\cal Z}(G) $ .

(ⅰ) $ G $ 上关于 $ \psi $ 的变指标齐次Besov空间, 记做 $ \dot{B}_{p(\cdot ), q}^{s, \psi} $ , 赋有如下范数

$ \left \| f \right \|_{\dot{B}_{p(\cdot ), q}^{s, \psi}}=\left \| \{2^{sj}f*\psi _j^*\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}; $

(ⅱ) $ G $ 上关于 $ \psi $ 的变指标齐次Triebel-Lizorkin空间, 记做 $ \dot{F}_{p(\cdot ), q}^{s, \psi} $ , 赋有如下范数

$ \left \| f \right \|_{\dot{F}_{p(\cdot ), q}^{s, \psi}}=\left \| \{2^{sj}f*\psi _j^*\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}, $

这里的 $ \ell_q(L^{p(\cdot )}) $ 和 $ L^{p(\cdot )}(\ell_q) $ 是赋有如下范数的函数空间

$ \left \| \{g_j\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}=\left \| \{\left \| g_j \right \|_{L^{p(\cdot )}}\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q}, $

$ \left \| \{g_j\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}=\left \|\left \| \{ g_j \}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q}\right \|_{L^{p(\cdot )}}, $

其中 $ \{g_j\}_{j\in{\Bbb Z}} $ 是 $ G $ 上的可测函数列.

在证明该定义的合理性之前, 我们先给出一些证明中需要用到的一些引理和结论.

引理3.1^{[11, 引理3.2]} 取任意的 $ N, k \in {\Bbb N} $ .

(a) 设 $ f \in C ^k $ 使得对任意满足 $ d(I) \leqslant k $ 的 $ I $ , $ X^I (f) $ 具有 $ N $ 阶衰减条件.设 $ g $ 具有 $ k $ 阶消失条件以及 $ N + k + Q + 1 $ 阶衰减条件.则存在常数 $ C $ 仅依赖于 $ X^I (f) $ 和g的衰减条件, 使得

$ \begin{equation}\label{bbbequ2.1} \forall x\in G \quad \forall 0<t<1:|g*(D_tf)(x)|\leq Ct^{k+Q}(1+|tx|)^{-N}. \end{equation} $

(3.3)

特别地, 如果 $ p > Q/N $ 则

$ \begin{equation}\label{bbbequ2.2} \forall x\in G \quad \forall 0<t<1: \left \| g*(D_tf) \right \|_p\leq C't^{k+Q(1-1/p)}. \end{equation} $

(3.4)

(b) 设 $ g \in C^ k $ 满足当 $ d(I)\leq k $ 时 $ X^I (\widetilde{g}) $ 具有 $ N $ 阶衰减条件.设 $ f $ 具有 $ k $ 阶消失条件和 $ N + k + Q + 1 $ 阶衰减条件.则存在常数 $ C $ 仅依赖于 $ f $ 和 $ X^I(\widetilde{g}) $ 的衰减条件, 使得

$ \begin{equation}\label{bbbequ2.3} \forall x\in G \quad \forall 0<t<1:|g*(D_tf)(x)|\leq Ct^{-k}(1+|x|)^{-N}. \end{equation} $

(3.5)

特别地, 如果 $ p > Q/N $ , 则

$ \begin{equation}\label{bbbequ2.4} \forall x\in G \quad \forall 0<t<1: \left \| g*(D_tf) \right \|_p\leq C't^{-k}. \end{equation} $

(3.6)

注意到, 通过使用右Taylor展式以及类似于文献[11, 引理3.2]的证明方法, 可以证得在不等式(3.3)-(3.6)中的每个 $ g*(D_tf) $ 可以替换为 $ (D_tf)*g $ .

引理3.2^{[11, 引理3.4]} 对任意的 $ \psi \in {\cal S}(G) $ , 映射 $ u\mapsto u*\psi $ 是良好定义的连续算子 $ {\cal S}' (G)/{\cal P} \rightarrow {\cal S}' (G)/{\cal P} $ .若 $ \psi \in {\cal Z}(G) $ , 则相应的卷积算子是良好定义的连续算子 $ {\cal S}' (G)/{\cal P} \rightarrow {\cal S}' (G) $ .

引理3.3 设 $ 0<q\leqslant \infty $ , $ \delta>0 $ , $ p(\cdot) $ 满足(2.1)式并且 $ G $ 是Stratified群.对任意定义在 $ G $ 上的非负可测函数序列 $ \{g_j\}_{-\infty}^\infty $ 记

$ G_j(x)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty 2^{-|k-j|\delta}g_k(x), \quad x\in G. $

则

$ \begin{equation}\label{bbbequ2.5} \left \| \{G_j\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}\lesssim\left \| \{g_j\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}, \end{equation} $

(3.7)

并且

$ \begin{equation}\label{bbbequ2.6} \left \| \{G_j\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}\lesssim\left \| \{g_j\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}. \end{equation} $

(3.8)

(该引理是文献[21, 引理3]的直接推广并且证明过程相似, 这里省略它的证明).

定理3.1 设 $ p(\cdot)\in {\cal B}(G) $ .则对任意的 $ 1<q<\infty $ , 以及任意可测函数序列 $ \left \{ f_j \right \}_{j\in{\Bbb Z}} $ 有

$ \left \| \{Mf_j\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}\lesssim\left \| \{f_j\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}, $

其中 $ M $ 是Hardy-Littlewood极大函数.

证 记 $ A_p $ 为文献[16, p19]中定义的Muckenhoupt $ A_p $ 权空间.由文献[16, 命题7.13]知, 对任意的 $ p_0> 1 $ 以及任意的 $ w\in A_{p_0} $ , Hardy-Littlewood极大函数在Stratified群上的加权Lebesgue空间 $ L_w^{p_0} $ 上有界, 也就是说, 对任意的Stratified群G, 有

$ \int _GMf(x)^{p_0}w(x){\rm d}x\lesssim \int _Gf(x)^{p_0}w(x){\rm d}x. $

由文献[1, 定理1.7]可以看出, 在 $ p_->1 $ 时Hardy-Littlewood极大函数在 $ L^{p(\cdot )}(G) $ 上有界.于是, 通过重新验证文献[8, 推论5.34]和文献[7, 推论2.1]以及其证明过程中用到的相关结论, 定理得证.

定理3.2 设 $ 0<r\leqslant 1 $ .取两组取值分别在区间 $ (0, +\infty] $ 和 $ (0, +\infty) $ 的序列 $ \{b_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $ 和 $ \{d_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $ .若对于某个 $ N_0>0 $ , 有

$ \begin{equation}\label{bbbequ2.7} d_j=o(2^{|jN_0|}), \quad j\rightarrow \pm\infty, \end{equation} $

(3.9)

并且对任意的 $ N>0 $ , 有

$ \begin{equation}\label{bbbequ2.8} d_j\leqslant C_N\sum\limits_{k=-\infty }^\infty 2^{-|j-k|N}b_kd_k^{1-r}, \quad j\in {\Bbb Z}\qquad (C_N<\infty). \end{equation} $

(3.10)

则对于任意的 $ N>0 $ 有

$ \begin{equation}\label{bbbequ2.9} d_j^r\leqslant C_N\sum\limits_{k=-\infty }^\infty 2^{-|j-k|Nr}b_k, \quad j\in {\Bbb Z}, \end{equation} $

(3.11)

其中的 $ C_N $ 表示同一个常数.

这个结论与文献[17, 引理3]类似.这里简要进行证明.

证 令 $ D_{j, N}=\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}2^{-|j-k|N}d_k $ , 其中 $ j\in {\Bbb Z} $ .于是, 由(3.10)式有

$ \begin{eqnarray*} D_{j, N}&\leqslant & C_N\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}2^{-|j-k|N}\sum _{l=-\infty }^\infty 2^{-|k-l|N}b_ld_l^{1-r} \\ &= &C_N\sum _{l=-\infty }^\infty 2^{-|j-l|N}b_ld_l^{1-r} \\ &\leqslant& C_N\sum _{l=-\infty }^\infty 2^{-|j-l|Nr}b_l[D_{j, N}]^{1-r}. \end{eqnarray*} $

因此

$ \begin{equation}\label{bbbequ2.10} d_j^r\leqslant[D_{j, N}]^r\leqslant C_N\sum\limits_{l=-\infty }^\infty 2^{-|j-l|Nr}b_l. \end{equation} $

(3.12)

当 $ N\geqslant N_0 $ 时, 显然有 $ D_{j, N}<\infty $ .于是由(3.12)式可直接得到(3.11)式.

当 $ N< N_0 $ 时, 假设不等式(3.11)的右边是有限的(否则无需证明).由(3.11)式, 对于 $ k, j\in {\Bbb Z} $ , 有

$ \begin{eqnarray*} 2^{-|j-k|N}d_k &\leqslant & 2^{-|j-k|N}C_{N_0}^{\frac{1}{r}}\left [\sum _{l=-\infty }^\infty 2^{-|j-l|{N_0}r}b_l \right]^{\frac{1}{r}}\\ &\leqslant &C_{N_0}^{\frac{1}{r}}\left [\sum _{l=-\infty }^\infty 2^{-|j-l|{N}r}b_l \right]^{\frac{1}{r}}. \end{eqnarray*} $

因此 $ D_{j, N}<\infty $ .于是可以再次由(3.12)式直接得到(3.11)式.

引理3.4 假设 $ \varphi\in L^1(G) $ 可以写作 $ \varphi(x)=\psi(|x|) $ , 其中 $ \psi $ 是定义在 $ [0, \infty) $ 上的非负递减函数.于是对任意的 $ f\in L^p(G) (1\leqslant p\leqslant\infty) $ 有

$ \sup\limits_{j\in {\Bbb Z}}(f*\varphi _j)(x)\leqslant Mf(x)\left \| \varphi \right \|_1, $

其中 $ M $ 表示Hardy-Littlewood极大函数.

(该引理的证明与文献[19, p59, (3.9)式]相同, 在此省略).

引理3.5 假设 $ p(\cdot)\in {\cal B}(G) $ .则对任意的 $ s>1 $ , 有 $ sp(\cdot)\in {\cal B}(G) $ .

(该引理的证明与文献[8, 定理4.37]中由(1)推导出(2)的证明过程相同, 因而在此省略).

对任意的 $ a>0 $ , $ \psi\in {\cal S}(G) $ , $ f\in {\cal S}'(G) $ , 以及 $ x\in G $ , 记

$ M_{\psi, j, a}f(x)=\sup\limits_{y\in G}\frac{|f*\psi_j (y)|}{(1+2^j|x^{-1}y|)^a}. $

记 $ {\cal B}(G) $ 为所有的使得 $ p_->1 $ 并且Hardy-Littlewood极大函数 $ M $ 在 $ L^{p(\cdot)}(G) $ 上有界的指标 $ p(\cdot) $ .事实上从文献[1, 定理1.7]等文献中可以看出, 当 $ p_->1 $ 时存在一些关于 $ p(\cdot) $ 的充分条件使得Hardy-Littlewood极大函数 $ M $ 在 $ L^{p(\cdot)}(G) $ 上有界.接下来给出本文的主要定理, 该定理说明了我们在定义3.3给出的Stratified群上的变指标齐次Besov空间和Triebel-Lizorkin空间在等价范数的意义下与LP -容许函数的选取无关.

定理3.3 假设 $ 0 < q \leqslant\infty $ , $ p(\cdot) $ 满足(2.1)式并且 $ \frac{p(\cdot )}{p_0}\in{\cal B}(G) $ , 其中 $ p_0<p_- $ .固定一个LP -容许函数 $ \psi\in {\cal Z}(G) $ .取另一个任意的LP -容许函数 $ \varphi\in {\cal Z}(G) $ .我们有

(ⅰ) 如果 $ p_0>\frac{Q}{a} $ , 则对任意的 $ f\in{\cal S}'(G) $ , 有

$ \begin{equation}\label{bbbequ1.4} \left \| \{2^{sj}M_{\varphi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}\lesssim \left \| f \right \|_{\dot{B}_{p(\cdot ), q}^{s, \psi}}\lesssim\left \| \{2^{sj}f*\varphi _j^*\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}. \end{equation} $

(3.13)

(ⅱ) 如果 $ \min(p_0, q)>\frac{Q}{a} $ , 则对任意的 $ f\in{\cal S}'(G) $ , 有

$ \begin{equation}\label{bbbequ1.5} \left \| \{2^{sj}M_{\varphi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}\lesssim \left \| f \right \|_{\dot{F}_{p(\cdot ), q}^{s, \psi}}\lesssim\left \| \{2^{sj}f*\varphi_j^*\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}. \end{equation} $

(3.14)

该定理的证明方法参考了文献[17, 21].但是由于Stratified群的几何结构的特殊性, 证明过程又有许多不同, 因此我们详细展示其证明过程.

证 第一步.首先我们证明如下估计

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.1} \left \| \{2^{sj}M_{\varphi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}\lesssim\left \| \{2^{sj}M_{\psi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}. \end{equation} $

(3.15)

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.2} \left \| \{2^{sj}M_{\varphi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}\lesssim\left \| \{2^{sj}M_{\psi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}. \end{equation} $

(3.16)

由定义3.2, 对任意的 $ f\in {\cal S}'(G) $ , 在空间 $ {\cal S}'(G)/{\cal P} $ 中成立等式

$ f=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty f*\psi_k^**\psi_k. $

因此, 由引理3.2可以得到在空间 $ {\cal S}'(G) $ 中成立等式

$ f*\varphi_j^*=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty f*\psi_k^**\psi_k*\varphi_j^*. $

对于上式右边级数的每一项, 可以有如下估计形式

$ \begin{eqnarray*} |f*\psi_k^**\psi_k*\varphi_j^*(y)|&\leqslant& \int _G|f*\psi_k^*(yz^{-1})||\psi_k*\varphi_j^*(z)|{\rm d}z \\ &\leqslant& M_{\psi^*, k, a}f(y)\int _G |\psi_k*\varphi_j^*(z)|(1+2^k|z|)^a{\rm d}z\\ &\equiv &M_{\psi^*, k, a}f(y)I_{j, k}. \end{eqnarray*} $

接下来我们估计 $ I_{j, k} $ .若 $ j\geqslant k $ , 则 $ \psi_k*\varphi_j^*(z)=2^{kQ}\psi * \varphi_{j-k} ^* (2^kz) $ .由引理3.1有

$ |\psi * \varphi_{j-k} ^* (z)|(1+|z|)^{a+Q+1}\lesssim 2^{-(j-k)N}, $

其中取 $ N $ 为足够大的数.于是可以得到

$ \begin{eqnarray*} I_{j, k} &= &\int _G 2^{kQ}|\psi * \varphi_{j-k} ^* (2^kz)|(1+2^k|z|)^a{\rm d}z\\ &= &\int _G \frac{|\psi * \varphi_{j-k} ^* (z)|(1+|z|)^{a+Q+1}}{(1+|z|)^{Q+1}}{\rm d}z\\ &\lesssim& 2^{-(j-k)N} \int _G \frac{1}{(1+|z|)^{Q+1}}{\rm d}z\\ &\thicksim& 2^{-(j-k)N}. \end{eqnarray*} $

若 $ k\geqslant j $ , 则 $ \psi_k*\varphi_j^*(z)=2^{jQ}\psi_{k-j}*\varphi^* (2^jz) $ .由引理3.1后面的注释, 有

$ |\psi_{k-j}*\varphi^* (z)|(1+|z|)^{a+Q+1}\lesssim 2^{-(k-j)(N+2a)} . $

于是

$ \begin{eqnarray*} I_{j, k} &= &\int _G 2^{jQ}|\psi_{k-j}*\varphi^* (2^jz)|(1+2^k|z|)^a{\rm d}z\\ &=& \int _G |\psi_{k-j}*\varphi^* (z)|(1+2^{k-j}|z|)^{a}\\ &\leqslant& \int _G 2^{(k-j)a}\frac{|\psi_{k-j}*\varphi^* (z)|(1+|z|)^{a+Q+1}}{(1+|z|)^{Q+1}}{\rm d}z\\ &\lesssim &2^{(j-k)(N+a)} \int _G \frac{1}{(1+|z|)^{Q+1}}{\rm d}z\\ &\thicksim &2^{(j-k)(N+a)}. \end{eqnarray*} $

对于 $ x, y \in G $ 有

$ \begin{eqnarray*} M_{\psi^*, k, a}f(y)& \leqslant& M_{\psi^*, k, a}f(x) (1+2^k|x^{-1}y|)^a \\ &\leqslant& M_{\psi^*, k, a}f(x) \max(1, 2^{(k-j)a})(1+2^j|x^{-1}y|)^a, \end{eqnarray*} $

因而可以得到

$ \sup\limits_{y\in G}\frac{|f*\psi_k^**\psi_k*\varphi_j^*(y)|}{(1+2^j|x^{-1}y|)^a}\lesssim M_{\psi^*, k, a}f(x)\times \left\{\begin{array}{ll} 2^{(k-j)N},&当 k\leqslant j时, \\ 2^{(j-k)N }, ~~& 当 k\geqslant j时. \end{array}\right. $

于是有

$ M_{\varphi^*, j, a}f(x)\lesssim\sum\limits_{k=-\infty}^\infty M_{\psi^*, k, a}f(x)\times \left\{\begin{array}{ll} 2^{(k-j)N}, &当 k\leqslant j时, \\ 2^{(j-k)N }, ~~& 当 k\geqslant j时, \end{array}\right. $

取 $ N>s+1 $ , 可以得到

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.3} 2^{js}M_{\varphi^*, j, a}f(x)\lesssim\sum\limits_{k=-\infty}^\infty 2^{ks}M_{\psi^*, k, a}f(x)2^{-|k-j|}. \end{equation} $

(3.17)

由(3.17)式以及引理3.3可以得到(3.15)和(3.16)式.

第二步.我们接下来证明下面的估计

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.4} \left \| \{2^{sj}M_{\psi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}\lesssim\left \| \{2^{sj}f*\psi_j ^*\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}, \end{equation} $

(3.18)

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.5} \left \| \{2^{sj}M_{\psi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}\lesssim\left \| \{2^{sj}f*\psi_j ^*\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}. \end{equation} $

(3.19)

类似于第一步的做法, 首先给出在空间 $ {\cal S}'(G) $ 中的如下等式

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.6} f*\psi_j^*=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty f*\psi_k^**\psi_k*\psi_j^*. \end{equation} $

(3.20)

由引理3.1及其后面的注释容易得出

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.7} \left\{\begin{array}{ll} |\psi_k*\psi_j^*(z)|\leqslant C_N \frac{2^{jQ}2^{(j-k)N}}{(1+2^j|z|)^a},& 当 k\geqslant j 时, \\[3mm] |\psi_k*\psi_j^*(z)|\leqslant C_N \frac{2^{kQ}2^{(k-j)N}}{(1+2^k|z|)^a}, & 当 j\geqslant k时. \end{array}\right. \end{equation} $

(3.21)

由(3.20)和(3.21)式可知对任意的 $ f\in {\cal S}'(G) $ , $ y\in G $ 以及 $ j\in N $ 有

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.8} |f*\psi_j^*(y)|\leqslant C_N 2^{jQ}\sum\limits_{k\in {\Bbb Z}}2^{-|j-k|N}\int_G \frac{|f*\psi_k^*(z)|}{(1+2^j|y^{-1}z|)^a}{\rm d}z. \end{equation} $

(3.22)

对任意的 $ r\in (0, 1] $ , 用 $ (1 + 2^j |x^{-1}y|)^a $ 来除等式(3.22)的两边, 之后在等式左边对 $ y \in G $ 取上确界, 在等式右边使用如下不等式

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.9} (1+2^j|x^{-1}y|)(1+2^j|y^{-1}z|)\geqslant(1+2^j|x^{-1}z|), \end{equation} $

(3.23)

$ |f*\psi_k^*(z)|\leqslant |f*\psi_k^*(z)|^r[M_{\psi ^*, k, a}f(x)]^{1-r}(1+2^k|x^{-1}z|)^{a(1-r)}, \\ \frac{(1+2^k|x^{-1}z|)^{a(1-r)}}{(1+2^j|x^{-1}z|)^a}\leqslant \frac{2^{|j-k|a}}{(1+2^k|x^{-1}z|)^{ar}}, $

最后通过计算得到, 对任意的 $ f\in {\cal S}'(G) $ , $ x\in G $ 以及 $ j\in {\Bbb Z} $ , 有

$ \begin{eqnarray*} M_{\psi ^*, j, a}f(x)&\leqslant &C_N 2^{jQ}\sum\limits_{k\in {\Bbb Z}}2^{-|j-k|N}\int_G \frac{2^{|j-k|a}|f*\psi_k^*(z)|^r}{(1+2^k|x^{-1}z|)^{ar}}{\rm d}z[M_{\psi ^*, k, a}f(x)]^{1-r} \\ &\leqslant &C_N \sum\limits_{k\in {\Bbb Z}}2^{-|j-k|N'}\int_G \frac{2^{kQ}|f*\psi_k^*(z)|^r}{(1+2^k|x^{-1}z|)^{ar}}{\rm d}z[M_{\psi ^*, k, a}f(x)]^{1-r}, \end{eqnarray*} $

其中取 $ N'=N-a-Q $ 为足够大的数.现在固定 $ x\in G $ 并使用定理3.2, 其中的 $ d_j $ 和 $ b_j $ 取为如下形式

$ d_j=M_{\psi ^*, j, a}f(x), \quad j\in {\Bbb Z}, \\ b_j=\int_G \frac{2^{kQ}|f*\psi_k^*(z)|^r}{(1+2^k|x^{-1}z|)^{ar}}{\rm d}z, \quad j\in {\Bbb Z} . $

注意到条件(3.9)在 $ N $ 比分布函数 $ f\in {\cal S}'(G) $ 的消失条件的阶数高时可以被满足, 最终我们得到估计

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.10} [M_{\psi ^*, j, a}f(x)]^r\leqslant C_N'\sum\limits_{k\in {\Bbb Z}}2^{-|j-k|N'}\int_G \frac{2^{kQ}|f*\psi_k^*(z)|^r}{(1+2^k|x^{-1}z|)^{ar}}{\rm d}z. \end{equation} $

(3.24)

此外(3.24)式在 $ r > 1 $ 时也成立.事实上, 只需将不等式(3.22)中的 $ a $ 替换为并使用Hölder's不等式和不等式(3.23). Stratified群上的变指标Hölder's不等式的证明可以仿照文献[8, 定理2.26]和[8, 推论2.28]进行.

在估计式(3.18)和(3.19)中, 分别取 $ Q/a<r<p_0 $ 和 $ Q/a<r<\min(p_0, q) $ , 其中 $ p_0 $ 是定理3.3的假设条件中的常数.于是有 $ \frac{1}{(1+|z|)^{ar}}\in L^1 $ .因此由引理3.4和不等式(3.24)可以得到

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.11} [M_{\psi ^*, j, a}f(x)]^r\lesssim \sum\limits_{k\in {\Bbb Z}}2^{-|j-k|N'}M(|f*\psi_k^*|^r)(x). \end{equation} $

(3.25)

选取并固定 $ N' > \max(-s, 0) $ .采用如下方式选取引理3.3中的函数列 $ \{g_j\}_{-\infty}^\infty $

$ g_k=2^{jsr}M(|f*\psi_k^*|^r), \quad j\in {\Bbb Z}. $

于是由不等式(3.25), 对于任意的 $ f\in {\cal S}'(G) $ 有

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.12} \left \| \{2^{js}M_{\psi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}\lesssim\left \| \{2^{js}M_{r}(f*\psi_j^*)\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})} \end{equation} $

(3.26)

和

$ \begin{equation}\label{bbbequ3.13} \left \| \{2^{js}M_{\psi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}\lesssim\left \| \{2^{js}M_{r}(f*\psi_j^*)\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}. \end{equation} $

(3.27)

其中 $ M_r(g)=(M(|g|^r))^\frac 1r $ .由之前的假设, $ r<p_0 $ 并且 $ \frac{p(\cdot )}{p_0}\in{\cal B}(G) $ , 因而通过引理3.5可以得到 $ \frac{p(\cdot )}{r}\in{\cal B}(G) $ .当 $ Q/a<r<p_0 $ 时, 有

$ \begin{eqnarray*} \left \| \{2^{js}M_{r}(f*\psi_j^*)\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}&=&\left \| \{2^{jsr}M(|f*\psi_j^*|^r)\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_{\frac qr}(L^{\frac{p(\cdot )}{r}})} \\ &\lesssim &\left \| \{2^{jsr}|f*\psi_j^*|^r\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_{\frac qr}(L^{\frac{p(\cdot )}{r}})}\\ &=&\left \| \{2^{js}f*\psi_j^*\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}, \end{eqnarray*} $

结合估计式(3.26)可以得到(3.18)式.当 $ Q/a<r<\min(p_0, q) $ 时, 由定理3.1有

$ \begin{eqnarray*} \left \| \{2^{js}M_{\psi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}&=&\left \| \{2^{jsr}M(|f*\psi_j^*|^r)\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{\frac{p(\cdot )}{r}}(\ell_{\frac qr})} \\ &\lesssim& \left \| \{2^{jsr}|f*\psi_j^*|^r\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{\frac{p(\cdot )}{r}}(\ell_{\frac qr})}\\ &=&\left \| \{2^{js}f*\psi_j^*\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{L^{p(\cdot )}(\ell_q)}, \end{eqnarray*} $

结合估计式(3.27)可以推得(3.19)式.

第三步.接下来, 通过(3.15), (3.16), (3.18)和(3.19)式来推导出(3.13)和(3.14)式.这里只展示由(3.15)和(3.18)式导出(3.13)式的过程, 因为另一部分的证明是十分相似的. (3.13)式的左半边不等式可以由以下的不等式链给出

$ \begin{eqnarray*} \left \| \{2^{sj}M_{\varphi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}&\lesssim&\left \| \{2^{sj}M_{\psi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}\\ &\lesssim&\left \| \{2^{sj}f*\psi_j ^*\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}\\ &=&\left \| f \right \|_{\dot{B}_{p(\cdot ), q}^{s, \psi}}. \end{eqnarray*} $

(3.13)式的右半边不等式可以由以下的另一个不等式链给出

$ \begin{eqnarray*} \left \| f \right \|_{\dot{B}_{p(\cdot ), q}^{s, \psi}}&\lesssim &\left \| \{2^{sj}M_{\psi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}\\ &\lesssim&\left \| \{2^{sj}M_{\varphi ^*, j, a}f\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}\\ &\lesssim &\left \| \{2^{sj}f*\varphi _j^*\}_{j\in{\Bbb Z}} \right \|_{\ell_q(L^{p(\cdot )})}. \end{eqnarray*} $

这就证得了想要的结论.

注3.1 从定理3.3可以看出, 当 $ \varphi, \psi\in {\cal Z}(G) $ 是LP -容许函数时, $ \left \| \cdot \right \|_{\dot{B}_{p(\cdot ), q}^{s, \psi}} $ 和 $ \left \| \cdot \right \|_{\dot{B}_{p(\cdot ), q}^{s, \varphi}} $ 是等价的拟范数, $ \left \| \cdot \right \|_{\dot{F}_{p(\cdot ), q}^{s, \psi}} $ 和 $ \left \| \cdot \right \|_{\dot{F}_{p(\cdot ), q}^{s, \varphi}} $ 是等价的拟范数.