随机共振理论开始是用来解释70万年前的地球冰川期以及暖气候交互发生的现象.这一非线性现象受到广泛的关注.随机共振是弱信号在噪声、非线性系统下能量得到增强, 在信号的输出和信噪比先增后减下, 产生的共振输出.从1989年开始, 学者就对Duffing振子随机共振输出特性进行了一系列的研究^[1], 2003年, 讨论了振子的微弱信号检测^[2].随机共振实际上是要求研究振子的信号、噪声以及非线性系统三者的最佳匹配.但在实际工程的应用中, 信号和噪声情况往往是未知的, 同时得到的数据使系统的三者之间也并不总是最佳的匹配, 因此我们需要调节系统三者相应的参数来实现.然而, 以往是采用数据分析的数值运算的方法, 这很难实现系统的三者之间的最佳的匹配.近年来一些学者提出了Duffing振子变尺度随机共振模型^[3-4], 对模型用解析运算的方法, 讨论了大频率信号的共振.建立了Duffing振子广义调参的随机共振机制的近似解, 较成功地解决了振子的信号、噪声以及非线性系统三者的最佳匹配关系.本文就是在这基础上提出了一类更为广泛的广义Duffing非线性扰动方程随机共振模型, 利用泛函分析同伦映射的解析方法, 构造了模型渐近解的迭代关系式.并利用迭代关系依次求出了模型的各次渐近解.最后通过举例, 指出了用泛函分析同伦映射方法得到的广义Duffing非线性扰动振子随机共振机制的近似解简单而有效.

对于非线性微分方程的求解, 一般是不能得到初等函数的精确解.故我们需用近似的方法求其渐近解析解.作者等也利用一些方法来求得有关非线性方程的渐近近似解^[5-13].本文是用经过改进的泛函分析同伦映射迭代方法来求广义Duffing扰动方程的随机共振模型的近似解.并讨论了它的物理意义.

讨论如下广义非线性Duffing扰动方程

$ \begin{equation} \frac{{\rm d}^{2}v}{{\rm d}t^{2}}+2c\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}-a_{1}v+a_{2}v^{3}+a_{3}v^{5}=B\cos(2\pi\omega)+\sqrt{2E}g(t), \end{equation} $

(2.1)

$ \begin{equation} v^{(i)}(0)=h_{i}, \ \ i=0, 1, \end{equation} $

(2.2)

其中$v(t)$是Brown粒子的位移函数, $2c$为阻尼系数, $\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=-a_{1}+a_{2}v^{3}+a_{3}v^{5}$表示势场$V$的作用力, 这里的$a_{j}>0\ (i=1, 2, 3)$为系统参数; $B\cos(2\pi\omega t)$表示以振幅为$B$, 圆频率为$\omega$, 初位相为零的周期驱动力; $\sqrt{2E}g(t)$是以强度为$E$的噪声信号, 这里$g(t)$为Gauss白噪声, 设它是充分光滑的有界函数, 而常数$h_{i}\ (i=0, 1)$为位移函数$v(t)$的初始值.模型(2.1), (2.2)为Brown粒子在液体介质的势场$V$中运动的一个微分方程模型.

为了得到模型(2.1), (2.2)的渐近解, 引入如下泛函同伦映射$F[v, s]$^[14-16]

$ \begin{equation} F[v, s]=L(v)-L(\overline{v})+s[L(\overline{v})+a_{2}v^{3}+a_{5}v^{3}-B\cos(2\pi\omega t)-\sqrt{2E}g(t)], \end{equation} $

(2.3)

其中$\overline{v}$为模型(2.1), (2.2)的初始迭代函数, $s\in[0, 1]$是人为引进的参变数^[14], 而线性微分算子$L$为

$ L=\frac{{\rm d}^{2}}{{\rm d}t^{2}}+2c\frac{\rm d}{{\rm d}t}-a_{1}. $

显然, 由映射(2.3)知, $F[v, 1]=0$就是Duffing扰动方程(2.1).所以$F[v, s]=0$当$s\rightarrow 1$时满足初始条件(2.2)的解就是Duffing扰动随机共振模型(2.1), (2.2)的解.

首先选取初始迭代函数为如下线性初值问题的解

$ \begin{equation} L(\overline{v})=B\cos(2\pi\omega)+\sqrt{2E}g(t), \end{equation} $

(2.4)

$ \begin{equation} \overline{v}^{(i)}(0)=h_{i}, \ \ i=0, 1. \end{equation} $

(2.5)

不难得到初值问题(2.4), (2.5)的解为

$ \begin{eqnarray} \overline{v}(t)&=&\exp(-ct) \Big[h_{1}\cos(\sqrt{c^{2}+a_{1}}\ t)+\frac{h_{2}+ch_{1}}{\sqrt{c^{2}+a_{1}}}\sin(\sqrt{c^{2}+a_{1}}\ t)\Big] \\ && +\frac{1}{\sqrt{c^{2}+a_{1}}}\int^{t}_{0} \exp(c(\tau-t))\sin[\sqrt{c^{2}+a_{1}}(\tau-t)] \\ &&\times[B\cos(2\pi\omega\tau)+\sqrt{2E}g(\tau)]{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

(2.6)

再设广义非线性Duffing扰动模型(2.1), (2.2)的解$v$为

$ v = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{v_i}} {s^i},\;\;s \in [0,1]. $

(2.7)

将(2.7)式代入泛函同伦映射(2.3), 对相应的非线性项展开为$s$的幂级数, 合并$s$的同次幂项的系数, 并令其为零.由$s^{0}$幂的系数为零得

$ \begin{equation} L(v_{0})=L(\overline{v}). \end{equation} $

(2.8)

于是由(2.8)式, 我们可选取零次渐近解$v_{0}(t)$为$\overline{v}(t)$.由(2.6)式得

$ \begin{eqnarray} v_{0}(t)&=&\exp(-ct) [h_{1}\cos(\sqrt{c^{2}+a_{1}}\ )t]+ \frac{h_{2}+ch_{1}}{\sqrt{c^{2}+a_{1}}}\sin[\sqrt{{c^{2}+a_{1}}}\ t] \\ &&+\frac{1}{\sqrt{(c^{2}+a_{1})}}{\int^{t}_{0} \exp(c(\tau-t))\sin[\sqrt{c^{2}+a_{1}}(\tau-t)}] \\ && \times[B\cos(2\pi\omega\tau)+\sqrt{2E}g(\tau)]{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

(2.9)

将(2.7)式代入泛函同伦映射(2.3), 令$s^{1}$的系数为零得

$ \begin{equation} L(v_{i})=-a_{2}v^{3}_{0}-a_{3}v^{5}_{3}. \end{equation} $

(2.10)

由方程(2.10), 可得到满足零初始条件的解$v_{1}$为

$ \begin{equation} v_{1}(t)=-\frac{1}{\sqrt{c^{2}+a_{1}}}\int^{t}_{0} \exp(c(\tau-t))\sin[\sqrt{c^{2}+a_{1}}(\tau-t)] [a_{2}v^{3}_{0}+a_{3}v^{5}_{0}]{\rm d}\tau. \end{equation} $

(2.11)

将(2.7)式代入$F[v, s]$, 按$s$的幂展开, 并合并$s$同次幂的系数.对于$s^{2}$的系数为零, 有

$ \begin{equation} L(v_{2})=-(3a_{2}v^{2}_{0}v_{1}+5a_{3}v^{4}_{0})v_{1}. \end{equation} $

(2.12)

于是可得方程(2.12)在零初始条件下的解为

$ \begin{equation} v_{2}(t)=-\frac{1}{\sqrt{c^{2}+a_{1}}}\int^{t}_{0} \exp(c(\tau-t))\sin[\sqrt{c^{2}+a_{1}}(\tau-t)] [(3a_{2}v^{2}_{0}v_{1}+5a_{3}v^{4}_{0})v_{1}]{\rm d}\tau, \end{equation} $

(2.13)

其中$v_{0}, v_{1}$分别由(2.11), (2.12)式表示.

用同样的方法将(2.7)式代入$F[v, s]$, 按$s$的幂展开, 并合并$s$同次幂的系数.对于$s^{j}\ (j=3, 4, \cdots)$的系数为零, 有

$ \begin{equation} L(v_{j})=-G_{j}, \ \ j=3, 4, \cdots, \end{equation} $

(2.14)

其中$G_{j}$为

$ {G_j} = \frac{1}{{(j - 1)!}}{[\frac{{{\partial ^{j - 1}}}}{{\partial {s^{j - 1}}}}({a_2}{(\sum\limits_{i = 0}^\infty {{v_i}} (\tau ){s^i})^3} + {a_3}{(\sum\limits_{i = 0}^\infty {{v_i}} (\tau ){s^i})^5})]_{s = 0}},\;\;j = 3,4, \cdots . $

由泛函同伦映射(2.3)的迭代方法, 可继续得到(2.14)式在零初始条件下的各次函数$v_{j}\ (j=3, 4, \cdots)$为

$ \begin{equation} v_{j}(t)=-\frac{1}{\sqrt{c^{2}+a_{1}}}\int^{t}_{0} \exp(c(\tau-t))\sin[\sqrt{c^{2}+a_{1}}(\tau-t)] G_{j}(\tau){\rm d}\tau, \ \ j=3, 4, \cdots. \end{equation} $

(2.15)

将得到的$v_{j}\ (j=0, 1, \cdots)$代入(2.7)式并令$s=1$, 可得

$ \begin{eqnarray} V(t)&=&\exp(-ct) \Big[h_{1}\cos(\sqrt{c^{2}+a_{1}} t)+\frac{h_{2}+ch_{1}}{\sqrt{c^{2}+a_{1}}} \sin[\sqrt{c^{2}+a_{1}}\ t]\Big] \\ && +\frac{1}{\sqrt{c^{2}+a_{1}}}\int^{t}_{0}[\exp(c(\tau-t))\sin[\sqrt{c^{2}+a_{1}}](\tau-t)] \\ && \times\Big[B\cos(2\pi\omega\tau)+\sqrt{2E}g(\tau)-\sum^{\infty}_{i=0}G_{i}(\tau)\Big]{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

(2.16)

利用泛函分析不动点理论^[17], 可以证明(2.16)式在足够大的有限区域$t\in[0, 1]$上是一致收敛的.故得到的$V(t)$是广义Duffing扰动方程的随机共振模型(2.1), (2.2)的精确解.而

$ \begin{eqnarray} V_{n}(t)&=&\exp(-ct) \Big[h_{1}\cos(\sqrt{c^{2}+a_{1}}\ t)+\frac{h_{2}+ch_{1}}{\sqrt{c^{2}+a_{1}}} \sin[\sqrt{c^{2}+a_{1}}\ t]\Big] \\ && +\frac{1}{\sqrt{c^{2}+a_{1}}}\int^{t}_{0}[\exp(c(\tau-t))\sin[\sqrt{c^{2}+a_{1}}](\tau-t)] \\ && \times\Big[B\cos(2\pi\omega\tau)+\sqrt{2E}g(\tau)-\sum^{n}_{i=0}G_{i}(\tau)\Big]{\rm d}\tau, \ \ n=1, 2, \cdots \end{eqnarray} $

(2.17)

就是广义非线性Duffing扰动模型(2.1), (2.2)的第$n$次渐近解.

为了简单, 设具有周期驱动力和Gauss白噪声的广义Duffing扰动随机共振模型的一组无量纲参数为: $c=B=1, a_{1}=3, a_{2}=a_{3}=\varepsilon\ (0 < \varepsilon\ll 1), \omega=1, E=\frac{1}{2}, h_{1}=1, h_{2}=0$, 而$g(t)=\sin 2\pi t$.这时具有周期驱动力和Gauss白噪声的广义Duffing随机共振模型(2.1), (2.2)为

$ \begin{equation} \frac{{\rm d}^{2}v}{{\rm d}t^{2}}+2\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}-v+\varepsilon(v^{2}+v^{3})=\cos 2\pi t+\sin2\pi t, \end{equation} $

(3.1)

$ \begin{equation} v(0)=1, \ \ v'(0)=0.\end{equation} $

(3.2)

由广义泛函同伦映射(2.3)和(2.7)式, 再由初始迭代函数(2.9)式, 初始近似函数$v_{0}$为

$ \begin{eqnarray} V_{0}(t)\equiv v_{0}(t)&=&\exp(-t)[\cos 2t+\frac{1}{2}\sin 2t] \\ &&-\int^{t}_{0}\exp(\tau-t)\sin2(\tau-t)[\cos(2\pi(\tau-t))+\sin(2\pi(\tau-t))]{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

(3.3)

由(2.9), (2.11)式, 可得满足零初始条件的解$v_{1}$

$ \begin{equation} v_{1}(t)-\frac{1}{2}\int^{t}_{0}\exp(\tau-t)\sin[2(\tau-t)][v_{0}(\tau-t)^{3} +(v_{0}(\tau-t))^{5}]{\rm d}\tau. \end{equation} $

(3.4)

于是, 由(2.7), (2.20), (2.21)式, 并令$s=1$, 我们便得到具有周期驱动力和Gauss白噪声的广义Duffing扰动随机共振模型(3.1), (3.2)的一次无量纲渐近解$V_{1}(t)$

$ \begin{eqnarray} V_{1}(t)&=&\exp(-t)[\cos 2t+\frac{1}{2}\sin 2t] -\int^{t}_{0}\exp(\tau-t)\sin[2(\tau-t)] \\ && \times [\cos(2\pi(\tau-t))+\sin(2\pi(\tau-t)) +(v_{0}(\tau-t))^{3}+(v_{0}(\tau-t))^{5}]{\rm d}\tau, \end{eqnarray} $

(3.5)

其中$v_{0}$由(3.3)式表示.

为了简单说明由广义泛函同伦映射迭代方法得到的具有周期驱动力以及Gauss白噪声的广义Duffing共振模型的精确解和渐近解的接近程度, 现取$\varepsilon=0.1$和$\varepsilon=0.05$, 由(3.3)-(3.5)式用模拟方法得到的Duffing扰动随机共振模型(3.1), (3.2)的零次渐近解$V_{0}$曲线(``+"线), 一次渐近解$V_{1}$曲线(虚线)和精确解$V$曲线(实线)的比较图形, 分别参见图 1和图 2所示.

由图 1和图 2可以看出, 渐近解和精确解具有较好的近似度, 而且取正参数$\varepsilon$越小, Duffing扰动模型(3.1), (3.2)的渐近解和精确解两者曲线就越靠近.

由(2.9), (2.11), (2.13)式, 可得满足零初始条件的(2.14)式的解$v_{2}$

$ \begin{eqnarray*} v_{2}&=&-\frac{1}{2}\int^{t}_{0}[\exp(\tau-t)\sin2(\tau-t)][\cos(2\pi(\tau-t))+\sin 2\pi(\tau-t) \\ && +3(v_{0}(\tau-t))^{2}+5(v_{0}(\tau-t))^{4}v_{1}(\tau-t)]{\rm d}\tau. \end{eqnarray*} $

于是由(2.7), (3.3), (3.4)式并令$s=1$, 我们便得到具有周期驱动力和Gauss白噪声的广义Duffing扰动随机共振模型(3.1), (3.2)的二次无量纲渐近解$V_{2}(t)$

$ \begin{eqnarray} V_{2}(t)&=&\exp(-t)[\cos 2t+\frac{1}{2}\sin 2t] \\ && -\int^{t}_{0}[\exp(\tau-t)\sin 2(\tau-t)[\cos(2\pi(\tau-t))+\sin 2\pi(\tau-t) +(v_{0}(\tau-t))^{3} \\ &&+(v_{0}(\tau-t))^{5} +3(v_{0}(\tau-t))^{2}+5(v_{0}(\tau-t))^{4}v_{1}(\tau-t)]{\rm d}\tau], \end{eqnarray} $

(3.6)

其中$v_{0}, v_{1}$分别由(3.3), (3.4)式表示.

由泛函同伦映射迭代式还可以依次得到广义Duffing扰动随机共振模型(3.1), (3.2)的$n\ (n=3, 4, \cdots)$次无量纲渐近解$V_{n}(t)$.

由于渐近解函数序$\{V_{n}(t)\}$在$t\in[0, 1]$上是一致收敛的.而且由摄动理论^[17]知, 渐近解$V_{n}(t)$与精确解$V(t)$关于小参数具有如下渐近估计

$ \begin{equation} V_{t}=V_{n}(t)+O(\varepsilon^{n}), \ \ t\in[0, T_{0}], \ 0 < \varepsilon\ll 1. \end{equation} $

(3.7)

由泛函同伦映射迭代方法得到的广义Duffing扰动随机共振模型的渐近解, 因为它是渐近的解析表示式, 故可通过解析运算对随机共振模型作进一步的研究, 而得到有关的物理量的性态.

譬如, 当需要研究随机共振系统平衡点的势垒高度时, 由Brown粒子的位移函数$v(t)$的渐近解析式$V_{n(t)}$可由解析运算来计算模型的势函数受到特征信号周期驱动力$B\cos 2\pi\omega t$调制时势场$V$的作用力$F(t)$的第$n$次渐近变化函数$F_{n}(t)$

$ F_{n}(t)=-\frac{a_{1}}{2}V^{2}_{n}+\frac{a_{2}}{4}V^{4}_{n} +\frac{a_{3}}{6}V^{6}_{n}-B\cos 2\pi\omega t. $

利用(3.6)式便可得到具有周期驱动力和Gauss白噪声的广义Duffing扰动随机共振模型(3.1), (3.2)的势场$V$的作用力$F(t)$的二次渐近变化函数$F_{2}(t)$

$ \begin{eqnarray*} F_{2}(t)&=&-\frac{1}{2}\exp(-t)[\cos 2t+\frac{1}{2}\sin 2t] \\ && -\int^{t}_{0}[\exp(\tau-t)\sin[2(\tau-t)][\cos(2\pi(\tau-t))+\sin 2\pi(\tau-t) \\ && +(v_{0}(\tau-t))^{3}+(v_{0}(\tau-t))^{5} +3(v_{0}(\tau-t))^{2}+5(v_{0}(\tau-t))^{4}v_{1}(\tau-t)]{\rm d}\tau]^{2} \\ && +\frac{\varepsilon}{4}\exp(-t)[\cos 2t+\frac{1}{2}\sin 2t] \\ && -\int^{t}_{0}[\exp(\tau-t)\sin[2(\tau-t)][\cos(2\pi(\tau-t))+\sin 2\pi(\tau-t) \\ && +(v_{0}(\tau-t))^{3}+(v_{0}(\tau-t))^{5} +3(v_{0}(\tau-t))^{2}+5(v_{0}(\tau-t))^{4}v_{1}(\tau-t)]{\rm d}\tau]^{4} \\ && +\frac{\varepsilon}{6}\exp(-t)[\cos 2t+\frac{1}{2}\sin 2t] \\ && -\int^{t}_{0}[\exp(\tau-t)\sin[2(\tau-t)][\cos(2\pi(\tau-t))+\sin 2\pi(\tau-t) +(v_{0}(\tau-t))^{3} \\ &&+(v_{0}(\tau-t))^{5} +3(v_{0}(\tau-t))^{2}+5(v_{0}(\tau-t))^{4}v_{1}(\tau-t)]{\rm d}\tau]^{6}+\cos 2\pi t, \end{eqnarray*} $

其中$v_{0}, v_{1}$分别由(3.3), (3.4)式表示.再由(3.7)式知上述得到的势场$V$的作用力$F(t)$的二次近似的变化函数$F_{2}(t)$具有如下的渐近摄动估计式

$ F(t)=F_{2}(t)+O(\varepsilon^{2}), \ \ 0 < \varepsilon\varepsilon\ll 1. $

此外, 我们还可利用渐近解析方法来通过势场作用力的计算, 作逃逸速率参数的分析和噪声强度的变化对随机共振的影响和调节系统各参数来达到最优匹配等等的物理性状.

广义泛函同伦映射方法当选定合适的初始近似后, 就能较快速度得到较好的渐近解析解, 并用解析运算来进一步讨论相应物理模型的物理性态.本文就是从一类广义Duffing扰动方程随机共振模型来得到其满意的渐近解.并以它为基点, 还可研究相关的其它物理量的性态.