Leslie ^[1-2]提出的捕食者-食饵模型是经典的捕食者-食饵模型之一. Leslie捕食模型丰富多样的动态特性一直受到数学、数学生物学、生态学、经济学等领域的广泛关注.关于Leslie捕食系统及其改进系统已有很多的研究^[3-8].具有第二类功能性反应函数的Leslie捕食者-食饵系统又被称为Holling-Tanner系统, 形式如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}} = rx(1 - \frac{x}{K}) - \frac{{mx}}{{A + x}}y,}\\ {\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}} = y[s(1 - {h_1}\frac{y}{x})],} \end{array}} \right. $

(1.1)

其中$r, s, m, K, h_1, A$均为正整数.在模型(1.1)中, $x$, $y$分别表示食饵种群和捕食者种群在时刻$t$的密度; 食饵种群遵循Logistic增长, $r$是食饵种群的内禀增长率, $K$为食饵种群的容纳量; $s$是捕食种群的内禀增长率, $K(x)=x/h_1$为捕食种群的容纳量, 其与食饵种群的大小成比例, $h_1$为食饵转化为捕食者的度量; $\frac{mx}{A + x}$是第二类功能性反应函数^[9].

近年来, Holling-Tanner系统引起了学术界的广泛关注, 见文献[3-4, 10-14]. Tanner ^[10]应用系统(1.1)研究有关哺乳动物捕食系统的动力学行为. Harski等^[11-12]应用系统(1.1)研究一类田鼠-黄鼠狼捕食系统. Hsu等^[3]对Holling-Tanner系统(1.1)的动力学行为进行了较深入的研究, 得到正平衡点不稳定的条件及极限环的存在性. Hsu和Huang ^[4]对Holling-Tanner系统极限环的唯一性进行研究, 得到极限环唯一的充分条件. Gasull等^[13]对Holling-Tanner系统的极限环进行研究.

经济阈值(简称$ET$)为病害合理防治时机的一种病害密度指标, 即病害的某一密度(病情), 病害达此密度时应该采取控制措施, 以防止病害种群密度增加而达到经济损害水平^[15].在生态资源管理中, 当种群数量低于经济阈值时, 不需要采取任何控制措施.但是, 一旦种群数量上升到$ET$, 一些控制措施应被使用.阈值控制策略是一种状态反馈控制策略, 状态脉冲微分方程可以为阈值控制策略提供一个非常自然的描述.

最近, 脉冲微分方程理论得到了广泛的发展^[16-19].由于状态反馈脉冲控制微分方程不仅具有连续微分方程的性质而且具有脉冲微分方程的性质, 因此, 状态反馈脉冲控制微分方程也被称为半连续动力系统.陈^[20-21]提出半连续动力系统的几何理论.文献[22, 23]利用半连续动力系统理论对具有脉冲效应的种群动力系统周期解的存在性进行研究.尽管对状态反馈脉冲控制数学模型已经获得一些研究成果, 但在连续系统存在极限环的条件下, 脉冲系统的周期解是否存在？在阈值控制策略下, 在连续系统的极限环内, 脉冲系统1阶周期解的性态如何？这是值得探讨的问题.

我们以Holling-Tanner系统为基础, 构建具有状态反馈脉冲控制的Holling-Tanner系统.用Holling-Tanner系统描述植物与害虫的关系, $x$表示植物种群在$t$时刻的密度, $y$表示害虫种群在$t$时刻的密度, $H$表示经济阈值.当害虫密度到达$H$时, 采用脉冲控制的方法降低害虫密度.假设被杀死的害虫数量与害虫密度成比率, 比率系数为$p(p \in(0, 1))$.于是, 具有状态反馈脉冲控制的Holling-Tanner系统如下.

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}} = rx(1 - \frac{x}{K}) - \frac{{mx}}{{A + x}}y,}\\ {\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}} = sy(1 - {h_1}\frac{y}{x}),} \end{array}} \right\}\;y}&{ < H,}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta y = - py,} \end{array}}&{y = H,} \end{array}} \right. $

(1.2)

其中$\Delta y=y(t^+)-y(t)$, $p$是脉冲强度.

本文研究具有状态反馈脉冲控制的Holling-Tanner系统(1.2).用后继函数及根的存在定理获得脉冲系统阶1周期解的存在性; 用数学分析的方法得解的唯一性及轨道稳定性, 特别地讨论在连续系统的极限环内脉冲系统阶1周期解的存在性.

为了方便后面的研究, 对系统(1.2)无量纲化.作变换$ rt \to t, \frac{x}{K} \to x, \frac{m}{rK}y \to y, $则系统(1.2)化为下列等价系统

$ \begin{equation}\label{eq3} \left\{\begin{array}{l} \left.\begin{array}{cll} \frac{{\rm{d}}x}{{\rm{d}}t} &=& x(1-x)-\frac{x}{a+x}y, \\ \frac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}t} &=& y(\delta -\beta \frac{y}{x}), \end{array}\right \}\ y < h, \\ \left.\begin{array}{cll} \Delta y&=&-py, \end{array}\right. \hspace{2.25cm} y = h, \end{array}\right. \end{equation} $

(1.3)

其中$h = \frac{Hm}{rK}$, $\delta = \frac{s}{r}$, $\beta =\frac{sh_1}{m}$, $a =\frac{A}{K}$.

由生态意义, 本文只在$R_+^2 $上讨论.为方便, 用$(x_A, y_A)$表示点$A$的坐标.

无脉冲作用下, 系统(1.3)的子系统为

$ \begin{equation}\label{eq4} \left\{\begin{array}{l} \frac{{\rm{d}}x}{{\rm{d}}t} = x(1-x)-\frac{x}{a+x}y, \\ \frac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}t} = y(\delta -\beta \frac{y}{x}). \end{array}\right. \end{equation} $

(2.1)

显然，系统(2.1)有一个边界平衡点$E_1(1, 0)$和唯一的正平衡点$E_* (x_*, y_* )$, 其中$x_*=\frac{1}{2}\{(1-a-\frac{\delta}{\beta})+[(1-a-\frac{\delta}{\beta})^2+4a]^{1/2}\}$, $y_* = \frac{\delta}{\beta}x_* $.系统(2.1)的边界平衡点$E_1(1, 0)$是以$x$轴为稳定流形的鞍点.

由文献[3-4]知, 系统(2.1)具有如下的性质:

引理2.1^[3]  系统(2.1)的解是正的且有界, 并且存在$T>0$, 使得当$t>T$时, $x(t) < 1$, $y(t) < \frac{\delta }{\beta}$.

引理2.2^[3]  若$P(x_*) >0$成立, 则系统(2.1)的正平衡点局部渐近稳定; 若$P(x_*) < 0$成立, 则系统(2.1)的正平衡点是不稳定的焦点或结点, 其中$P(x) =2x^2+(a+\delta -1)x+a\delta$.

引理2.3^[3]  若下列条件之一满足, 则系统(2.1)的正平衡点$E_*(x_*, y_*)$是全局渐近稳定的.

$(1)$ $a+ \delta \geq 1 $;

$(2)$ $a+ \delta < 1 $且$(1-a-\delta)^2 -8a\delta \leq0 $;

$(3)$ $a+ \delta < 1 $, $(1-a-\delta)^2 -8a\delta >0 $且$\alpha_{2} < x_* < 1$;

$(4)$ $a+ \delta < 1 $, $(1-a-\delta)^2 -8a\delta >0 $, 且$\beta$充分小.

其中$\alpha_{1}=\frac{1}{4}\{(1-a-\delta)-[(1-a-\delta)^2-8a\delta]^{1/2}\}$, $\alpha_{2}=\frac{1}{4}\{(1-a-\delta)+[(1-a-\delta)^2-8a\delta]^{1/2}\}$, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$是方程$P(x) = 0$的两个根.

引理2.2^[3-4]   若条件$a+ \delta < 1 $, $(1-a-\delta)^2 -8a\delta >0 $及$0 < \alpha_{1} < x_* < \alpha_{2}$成立, 则正平衡点$E_* ( x_*, y_*)$是不稳定的, 并且若$x_*$在$\alpha_{2}$附近, 则系统(2.1)有唯一的极限环.

以下总假定系统(2.1)有唯一的极限环且正平衡点$E_* ( x_*, y_*)$是不稳定的焦点.

用$L_0$表示系统(2.1)的极限环.等倾线$\beta y = \delta x$与极限环有两个交点$A_0(x_{A_0}, h_1)$, $A(x_A, h_2)$, 不妨假设${h_1} < {h_2}$.显然$h_1 < y_* < h_2$.过这两个交点分别作$x$轴的平行直线, 分别记为${l_2}:y = {h_2}$和${l_1}:y = {h_1}$, 则极限环$L_0$夹在两直线之间(见图图 1(a)).

关于半连续动力系统及解映射的定义在文献[20-21]中能找到.对脉冲系统(1.3), 脉冲集$M=\{(x, y) \in {\rm I\!R}_+^2|y = h, x \ge 0\}$, 相集$N=\varphi(M)=\{(x, y)\in {\rm I\!R}_ + ^2 |y = (1 - p)h, x \ge 0\}$.脉冲映射$\varphi: (x, y)\in M \to ((x, (1-p)y)) \in {\rm I\!R} _ + ^2 $.系统(1.3)是一个半连续动力系统.

注2.1  若点$A \in M$, 则脉冲系统(1.3)在点$A$发生脉冲, 脉冲映射把$A$映射到相集$N$.

下面给出脉冲系统(1.3)的后继函数、阶1周期解及阶$k$周期解的定义.更为详细的情况见文献[16-17, 20-21].

定义2.1  若脉冲系统(1.3)从点$C(x_C, (1 - p)h)\in N$出发的轨线与脉冲集$M$相交, 并跳转到点$C_1 (x_{C_1}, (1 - p)h)\in N$, 则称点$C_1$为点$C$的后继点, 称$g(C) = x_{C_1}-x_C $为点$C$的后继函数(见图 1(b)).

由复合函数的连续性, 可知后继函数是连续的.

定义2.2  对脉冲系统(1.3), 若存在点$H\in N$及$t_1>0$使得

$ f(H, t_1) = H'\in M, \varphi (H') = \varphi (f(H, t_1)) = H \in N, $

则称$f(H, t_1)$为脉冲系统(1.3)的阶$1$周期解.轨线$L_{HH'}+\overline{H'H } = \Gamma$为阶$1$环(见图 2(a)).

定义2.3  对脉冲系统(1.3), 若存在点$ p_1 \in N$及$t_{i}, i = 1, 2, ..., k$使得

$ f(p_i, t_i)= q_i\in M, \varphi(q_i) = p_{i + 1}\in N, f(p_{k + 1}, t_{k + 1}) = p_1, $

则称$f(p_1, t_1 + t_2 + ... + t_k + t_{k+1})$为脉冲系统(1.3)的阶$k$周期解(见图 2(b)).

定义2.4  设$\Gamma = f(P, t)$为脉冲系统(1.3)的阶$1$周期解.若对任意$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$和$t_0 \geq0$使对任意点$P_1 \in U(P, \delta ) \cap N$, 当$t>t_0$时有$d(f(P_1, t), \Gamma ) < \varepsilon $, 则称脉冲系统(1.3)的阶$1$周期解$\Gamma$为轨道稳定的.

引理2.5  若$g(x)$是$[a, b]$上的连续函数, 且$g(a) \cdot g(b) < 0$, 则至少存在一点$\xi\in(a, b)$, 使得$g(\xi ) = 0$.

注2.2  若$g(H) = 0$, 则从点$H$出发的轨线为脉冲系统(1.3)的周期解.

引理2.6  对脉冲系统(1.3), 设点$C(x_C, (1 -p)h)$和$B(x_B, (1 -p)h)$是相集$N$上的两点, 它们的后继点分别为$C_1 (x_{C_1}, (1 -p)h)$和$B_1 (x_{B_1 }, (1 - p)h)$.若条件$g(C)\cdot g(B) < 0$成立, 则在$C$和$B$之间存在脉冲系统(1.3)的阶$1$周期解.

当条件$h > {h_2}$成立时, 脉冲集$M$在极限环的上方.按$y = (1 - p)h$的位置关系, 有如下三种情形(见图 3).

从极限环内出发的轨线直接趋向极限环, 从极限环外出发的轨线至多有限次脉冲后最终趋向极限环.于是, 有如下的结论.

定理3.1  若$h>{h_2}$成立, 则脉冲系统(1.3)的轨线最终趋向极限环.

当条件$h = {h_2}$成立时, 直线$y = h$与极限环的交点$A$既在脉冲集上, 也在极限环上.过点$A$作直线段$x = {x_A}(0 < y < h_2)$, 交极限环于$A'$.过点$A'$作直线$y = {y_{A'}}$.由$y = (1 - p)h$关于$p$的单调性, 存在${p_*} \in (0, 1)$使$y_{A'} = (1 - p_*)h$ (见图 4).

定理3.2  若条件$h = {h_2}$成立, 则对任一$p \in (0, p_*]$, 脉冲系统(1.3)有阶$1$周期解.

证   若$p= {p_*}$, 则根据轨线的走向, 从某点出发的轨线最终趋向极限环, 然后过点$A$, 并跳转到$A'$.这意味着从$A'$出发的轨线是脉冲系统(1.3)的一个阶1周期解(见图 4(a)).

对满足$p < {p_*}$的$p$, 直线$y = (1 - p)h$位于直线$y = (1 - {p_*})h$与直线$y = h_2$之间.线段$x = {x_A}(0 < y < h_2)$与$y = (1 - p)h$相交, 记交点为$S_0$.根据轨线走向, 从点$S_0$出发的轨线最终趋向极限环, 并过脉冲集的点$A$, 然后跳转到$S_0$.这意味着从$S_0$出发的轨线$L_{S_{0}A}$与线段$\overline{AS_0}$构成脉冲系统(1.3)的阶1周期解(见图 4(b)).

定理3.3  若条件$h = {h_2}$成立, 则对任一$p \in (p_*，1)$, 脉冲系统(1.3)有唯一的阶$1$周期解, 且该阶$1$周期解是轨道稳定的.

证   对满足条件$p >{p_*}$的$p$, 直线$y = (1 - p)h$位于直线$y = (1 - {p_*})h$下方.线段$x = {x_A}$ $(0 < y < h_2)$与$y = (1 - p)h$相交, 记交点为$C_1$.记直线$y = (1 - p)h$与等倾线$x' = 0$的交点为$B$ (见图 5).

从点$C_1$出发的轨线交脉冲集$M$于点$C_2$, 跳转至后继点$C_3$.根据轨线走向, $x_{C_3}>x_{C_1}$, 后继函数$g(C_1)=x_{C_3}-x_{C_1}>0$.在直线$y = (1 - p)h$上$B$的右侧选择一点$B_1(x_{B_1}, (1-p)h)$.过点$B_1$的轨线交脉冲集$M$于点$B_{2}$, 脉冲后交相集$N$于$B_3(x_{B_3}, (1-p)h)$.点$B_3$为点$B_1$的后继点, 且$x_{{B_3}} < x_{B_1}$.于是, 后继函数$g(B_1) =x_{B_3} -x_{B_1} < 0$.由引理2.6, 在点$C_1$与$B_1$之间存在点$H(x_{H}, (1-p)h)$, 使$g(H) =0$.因此, 脉冲系统(1.3)存在阶1周期解.

下证阶1周期解的唯一性.

设从点$C_3$出发的轨线交脉冲集$M$于点$C_4$, 相点为$C_5$.根据轨线走向, $x_{C_5}>x_{C_3}$.从点$C_5$出发的轨线交脉冲集$M$于$C_6$, 相点为$C_7$.如此继续下去得到两个序列(见图 6(a)):

$ x_{C_2}, x_{C_4}, \cdots, x_{C_{2n} }, \cdot\cdot \cdot \in M;\hspace{0.8cm} x_{C_1}, x_{C_3}, x_{C_5}, \cdot\cdot\cdot, x_{C_{2n-1}}, \cdot \cdot \cdot \in N. $

同理, 从点$B_1$出发的轨线也得到两个序列:

$ x_{B_2}, x_{B_4}, \cdot\cdot\cdot, x_{B_{2n}}, \cdot \cdot\cdot \in M; \hspace{0.8cm} x_B, x_{B_1}, x_{B_3}, \cdot\cdot\cdot, x_{B_{2n-1}}, \cdot\cdot\cdot \in N. $

上面的序列满足如下条件:

$ {x_{{C_1}}} < {x_{{C_3}}} < \cdots < {x_{{C_{2n - 1}}}} < \cdots < x_H < \cdots < {x_B}_{_{2n - 1}} < \cdots < {x_{{B_3}}} < {x_{{B_1}}}; $

$ [{x_{{C_{2n-1 }}}}, {x_{{B_{2n-1}}}}] \supset [{x_{{C_{2n + 1}}}}, {x_{{B_{2n + 1}}}}], \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } d(C_{2n-1}, B_{2n-1}) = 0. $

由闭区间套定理, 存在唯一的一点$\xi\in({x_{{C_{2n-1}}}}, {x_{{B_{2n-1}}}})$, 使得

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x_{C_{2n - 1}} = \xi= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x_{B_{2n - 1}}. $

于是$x_H=\xi$.这说明脉冲系统(1.3)的阶1周期解是唯一的.

最后证阶1周期解的轨道稳定性.

在$H$充分小的邻域内任取一点$Q_0$, 要求与$H$不同.不妨设$x_{C} < x_{Q_0 } < x_H$ (否则, $x_H < x_{Q_{_0 }} < x_B$, 证明类似).由数列$\{ x_{C_{_{2n + 1} } }\}$的单调性, 存在正整数$l$, 使得

$ x_{C_{_{2l + 1} } } < x_{Q_{_0 } } < x_{C_{_{2l + 3} } } < x_H. $

从点$Q_0$出发的轨线交脉冲集$M$, 相点为$Q_1$.易知相点$Q_1$在$C_{2l + 3} $到$C_{2l +5}$之间, 从而$x_{C_{2l + 3}} < x_{Q_{_1} } < x_{C_{2l + 5}}$.记点$Q_2$为点$Q_1$的后继点.易知点$Q_2$在$C_{2l + 5}$与$C_{2l + 7}$之间, 且$x_{C_{2l + 5}} < x_{Q_{_2 } } < x_{C_{2l +7}}$.如此进行下去得一个点列$ \{ Q_k \} \subset N$, $k = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot $ (见图 6(b)), 满足以下条件:

(1) $Q_k $在$C_{2l + 2k + 1}$与$C_{2l + 2k +3}$之间;

(2) $x_{C_{2l + 2k + 1} } < x_{Q_{_k } } < x_{C_{2l + 2k + 3} }.$

因此$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } x_{Q_k} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } x_{C_{_{2l + 2k + 1} } } = x_H.$由$Q_0$的任意性得脉冲系统(1.3)的阶1周期解是轨道稳定的.

情况1   $h\le{y_*}$

定理3.4  若$h\le{y_*}$成立, 则对任一$p \in (0, 1)$, 脉冲系统(1.3)存在唯一的阶$1$周期解, 且该阶$1$周期解是轨道稳定的.

证  记等倾线$x' =0$与线段$y = h$, $y = (1-p)h \hspace{0.1cm} (x_* < x < 1)$的交点分别为$C_0$和$B$ (见图 7).过点$C_0$作$y = (1-p)h$的垂线, 垂足为$C$.过点$C$的轨线交脉冲集$M$于$C'$, 脉冲后交相集$N$于$C_1$.点$C_1$为点$C$的后继点, 且$x_{C_1}>x_{C}$.于是, 后继函数$g(C) = x_{C_1} - x_{C} > 0$.过点$B$的轨线交脉冲集$M$于$B'$, 脉冲后交相集$N$于$B_1$.点$B_1$为点$B$的后继点, 且$x_{B_1} < x_{B}$.于是, 后继函数$g(B) = x_{B_1} -x_{B} < 0$.由引理2.6, 在点$C$与$B$之间存在点$H$, 使$g(H)= 0$.这说明脉冲系统(1.3)存在阶1周期解.采用定理3.3相同的方法可证得脉冲系统(1.3)阶1周期解的唯一性及轨道稳定性.

情况2   $ y_* < h < {h_2}$

记直线$y=h$与等倾线$y =\frac{\delta}{\beta}x$的交点为$R(x_R, r)$, 过$R$的轨线为${L_R}$.从点$R$出发, ${L_R}$与$x = {x_R}$的交点为$R''$, 与$y=h$的交点为$B$ (见图 8(a)).记$Q$为轨线${L_R}$的负向与线段$RR''$间的交点组成的集合.显然$Q$为非空有界集.

记$y_{M} = \max \{ y|({x_R}, y) \in Q\}, y_{m} = \min \{ y|({x_R}, y) \in Q\}$, $p_{m} =1-\frac{y_{M}}{h}, p_{M} = 1- \frac{y_{m}}{h}.$

若$Q$只有一个元素, 则${p_{m }}={p_{M }}$; 若$Q$有两个或两个以上的元素, 则${p_{m }} < {p_{M }}$.设$Q_0$为$Q$中的点, 过$Q_0$作直线$y=h_{Q_0}$.由函数$y = (1 - p)h$关于$p$的单调连续性, 存在$p'\in (0, p_M)$使$h_{Q_0} = (1 - p')h$.从点$Q_0$出发的轨线达到$R$, 脉冲后又回到点$Q_0$.于是轨线${L_R}$在直线$y= (1 - p')h$与$y=h$之间的部分$L_{Q_0R}$与线段$\overline{RQ_0}$构成一个阶1周期解(见图 8(b)).有如下结论:

定理3.5  若$ y_* < h < {h_2}$成立, 则对集合$Q$中的每个点, 脉冲系统(1.3)对应一个阶$1$周期解.

记直线$y =(1-p_m)h$与线段$x=x_R \hspace{0.1cm}(0 < y < h)$的交点为$Q_1$, 轨线${L_R}$在$R''$与$B$之间的部分与直线$y =(1-p_M)h$的交点为$S$, 直线$y =(1-p_M)h$与$x=x_R$的交点为$R'$.从$R'$出发, ${L_R}$与直线$y =(1-p_m)h$的第一个交点为$R_4$.过$B$作$y =(1-p_M)h$的垂线段$x=x_B \hspace{0.1cm}((1-p_M)h\le y\le h)$, 与$y =(1-p_M)h$的交点为$B''$, 与$y =(1-p_m)h$的交点为$B'$ (见图 8(a)).

定理3.6  若$y_* < h < {h_2}$成立, 且点$B''$在点$S$的右边, 则

$(1)$如果轨线${L_{SB}}$与线段$BB''$不相交, 则对任一$p$, 脉冲系统(1.3)有阶$1$周期解;

$(2)$如果轨线${L_{SB}}$与线段$BB''$相交, 则存在一个$p_2$, 对任一$p\in(p_2, 1)$, 脉冲系统(1.3)有阶$1$周期解.

证  若$p = p_{M }$, 则由定理3.5, 脉冲系统(1.3)有阶$1$周期解.

当$ p < p_M$时, 如果轨线${L_{SB}}$与线段$BB''$不相交, 当$0 < p < {p_{M}}$时, 直线$y = (1 - p)h$在直线$y = (1 - {p_{M}})h$与直线$y = h$之间(见图图 9(a)); 如果轨线${L_{SB}}$与线段$BB''$相交, 记交点为$B'_0$.过点$B'_0$作直线$y = {h_{B'_0}}$.由$y = (1 - p)h$关于$p$的单调性, 存在${p_2} \in (0, {p_{M }})$使${y_{B'_0}} = (1 - {p_2})h$.当$p \in ({p_2}, p_{M})$时, $y = (1 - p)h$在$y = (1-{p_{2}})h$与$y = (1-{p_{M}})h$之间(见图 9(b)).

在图 9中, $F_2$为$y = (1 - p)h$与等倾线$x' = 0$的交点, 点$F_3$在直线$y = (1 - p)h$上点$F_2$的右边.从$F_3$出发的轨线经脉冲后, 相点$F_4$在点$F_3$的左侧, 故后继函数$g(F_3) = x_{F_4} - x_{F_3} < 0$; 点$D_4$为点$D_3$的后继点, $D_4$在点$D_3$的右边, 故后继函数$g(D_3) =x_{D_4} - x_{D_3} > 0$.由引理2.6知脉冲系统(1.3)存在阶1周期解.

当$p > p_{M }$时, $h > (1 - {p_{M }})h > (1 - p)h$.记直线$y = (1 - p)h$与线段$x = {x_R} \hspace{0.1cm}(0 < y < h)$的交点为$D$, 记直线$y = (1 - p)h$与等倾线$x' = 0$的交点为$F_0$ (见图 10(a)).点$D$在点$R'$的下方.记点$D_1$为点$D$的后继点.由极限环的特点, 相点$D_1$在点$D$的右边, 故后继函数$g(D) =x_{D_1} - x_D> 0$.在$y = (1 - p)h$上点$F_0$的右边选着一点$F$.从$F$出发的轨线经脉冲后, 相点${F_1}$在点$F$的左侧(见图 10(a)), 故后继函数$g(F) =x_{F_1} - x_F> 0$.由引理2.6知脉冲系统(1.3)在$D$与$F$之间存在阶1周期解.

推论3.1  若$ y_* < h < {h_2}$成立, 则对任一个$p\in(p_{M }, 1)$, 脉冲系统(1.3)存在唯一的阶$1$周期解, 且周期解是轨道稳定的.

证  由定理3.6, 脉冲系统(1.3)在$D$与$F$之间存在阶1周期解.采用定理3.3相同的方法可得阶1周期解是唯一的且具有轨道稳定性.

定理3.7  若${y_*} < h < {h_2}$, 且点$B'$在点$R_4$的左侧, 则存在一个$p_3\in (0, p_m)$, 对任一$p\in (p_3, p_m)$, 脉冲系统(1.3)有阶$1$周期解(点$B'$和$R_4$见图 8(a)).

证  当点$B'$在点$R_4$的左侧时, 轨线${L_{R_4R}}$与线段$BB'$相交, 记交点为$B'_1$.过点$B'_1$作直线$y = {h_{B'_1}}$.由函数$y = (1 - p)h$关于$p$的单调连续性, 存在${p_3} \in (0, {p_{m }})$使得${y_{B'}} = (1 - {p_3})h$.当$p \in ({p_3}, p_{m})$时, 直线$y = (1 - p)h$在$y = (1-{p_3})h$与$y = (1 - {p_{m }})h$之间(见图 10(b)).

记$x=x_R$与$y = (1 - p )h$的交点为$S_1$, $y = (1 - p )h$与轨线${L_{R'B}}$的交点为$S_0$.记$x=x_B$与$y = (1 - p )h$的交点为$B'_2$.从${S_1}$出发的轨线脉冲到点${S_2}$, 点${S_2}$为点${S_1}$的后继点.由轨线的走向, 点${S_2}$位于点${S_1}$的右边(见图 10(b)).于是, 后继函数$g({S_1})> 0$.另一方面, 由解对初值的连续依赖性, 对$B'_2$的充分小邻域${U_0}({B'_2})$内的点, 存在$S_0$的邻域$U({S_0})$, 满足条件$U({S_0}) \cap {U_0}({B'_2}) = \emptyset $.从$S_0$左邻域$U_-(S_0)$出发的轨线最终到$B'_2$的邻域${U_0}({B'_2})$.假设${S^3} \in {U_ - }({S_0})$, 则$g({S^3}) < 0$.由引理2.6, 脉冲系统(1.3)有阶1周期解.

本节选择参数对脉冲系统(1.3)进行数值模拟.

情形1   取$a = 0.1$, $\delta = 0.2$, $\beta =0. 2$.简单计算得系统的正平衡点$E_* (x_*, y_* )$是不稳定的焦点, 其中${x_*} = 0.27$, ${y_*} = 0.27$.系统(2.1)有唯一的极限环, $h_1 = 0.152$, $h_2 = 0.382$.

(1) 取$h = {h_2} = 0.382$, 此时${p_*} = 0.50785$.

Ⅰ.取$p = 0.2$, ${x_0} = 0.382$, ${y_0} = 0.3056$, 则$p < {p_*}$, 定理3.2的条件满足, 脉冲系统有阶1周期解.从图 11可见阶1周期解.

Ⅱ.取${p} = 0.7 $, ${x_0} = 0.382$, ${y_0} = 0.1146$, 则${p} > {p_*}$, 定理3.4的条件满足, 脉冲系统有阶1周期解.从图 12中可见在点$(0.52, 0.1146)$处脉冲系统有阶1周期解.

(2) 取$h = 0.25$, $p = 0.6$, $x_0 = 0.65$, $y_0 = 0.1$, 则$h < {y_*}$, 定理3.4的条件满足, 脉冲系统(1.3)存在唯一的阶1周期解.从图 13可见在点$(0.763, 0.1)$处有阶1周期解.

情形2  取$a = 0.2$, $\delta = 0.15$, $\beta = 0.075$.经简单的计算得正平衡点$E_*(x_*, y_*)$是不稳定的焦点, 其中$x_* = 0.1483$, ${y_*} = 0.2967$, 系统(2.1)有唯一的极限环, $h_1= 0.1765$, $h_2 = 0.493.$

(1) 让$h = 0.356$, 则${y_*} < h < {h_2}$, $p_{M} = 0.219$.从图 14能观察到, 对$p = 0.2$, 脉冲系统(1.3)存在阶1周期解.这意味着数值结果与定理3.6的第一种情况相一致.

(2) 让$h = 0.4565$, 则${y_*} < h < {h_2}$, ${p_{M}} = 0.47426$, ${p_{m}} =0.12377 $, $p_2=0.42169$, $p_3=0.07996$.

取$p=0.46$, ${x_0} = 0.37$, ${y_0} = 0.24651$, 则$p_M>p>p_2$.从图 15能观察到脉冲系统存在阶1周期解, 这意味着数值结果与定理3.6的第二种情况相一致.

取$p=0.7$, ${x_0} = 0.23$, ${y_0} = 0.13695$, 则${p} = 0.7 > {p_{M}}$.从图 16能观察到脉冲系统存在阶1周期解.这意味着数值结果与推论3.1的情况相一致.

取$p = 0.12$, ${x_0} = 0.356$, ${y_0} = 0.40172$, 则$p_3 < p < p_m$.从图 17能观察到脉冲系统存在阶1周期解这意味着数值结果与定理3.7的情况相一致.

情形3  阶$k$周期解

让$a = 0.2, \delta = 0.1, \beta = 0.06$.经简单的计算得正平衡点$E_*$是不稳定的焦点.连续系统(2.1)有唯一的极限环, ${h_1} =0.179$, ${h_2} = 0.466$.

让$h = 0.431$, 则${y_*} < h < {h_2}$.改变参数$p$及初始值, 脉冲系统(1.3)出现阶$k$周期解, 见图 18.

本文研究状态反馈脉冲控制Holling-Tanner系统周期解的存在性、唯一性及轨道稳定性.在正平衡点为不稳定焦点且无脉冲系统有唯一极限环的条件下, 脉冲系统有如下的结论:

(1) 若$h > {h_2}$, 即经济阈值$h$充分大, 则脉冲系统(1.3)没有阶$k$周期解, 所有的轨线至多经若干次脉冲后趋向极限环;

(2) 若$h = {h_2}$, 则脉冲系统(1.3)有阶1周期解, 并且存在一个$p_* \in (0, 1)$, 对任一$p \in (p_*，1)$, 脉冲系统(1.3)有唯一的阶$1$周期解, 且该阶$1$周期解是轨道稳定的.

(3) 若$h < {h_2}$, 则脉冲系统周期解的存在性、唯一性及轨道稳定性与参量$h, p$有关.

当经济阈值$h \leq y_*$时, 脉冲系统(1.3)存在唯一的阶1周期解, 且周期解是轨道稳定的; 当$y_* < h < {h_2}$, 根据推论3.1, 存在一个${p_{M}} \in (0, 1)$, 使得对任意的$p \in({p_{M}, 1)}$, 脉冲系统(1.3)有唯一的周期解，且周期解是轨道稳定的.

但当$0 < p < {p_{M}}$时, 系统周期解的情况是复杂的.从定理3.5、定理3.6及定理3.7知, 对下列三种情况, 系统(1.3)的阶1周期解存在:

(Ⅰ)点$B'$在点$R_4$的左侧;

(Ⅱ)点$B''$在点$S$的右边;

(Ⅲ)集合$Q$中的每个点.

(4) 改变参数$a$, $\beta$, $\delta$, $p$, $h$, 在连续系统的极限环内脉冲系统(1.3)可能会出现各种阶$k$周期解.这说明当正平衡点${E_*}$为不稳定焦点时, 脉冲系统(1.3)有比较复杂的动力学行为.

当脉冲系统(1.3)存在阶1周期解时, 其周期$T$随着$p$增大而增大.周期解的周期$T$与参数$p$的关系如图 19.脉冲系统阶1周期解的存在性说明可将捕食种群数量控制在经济阈值之下.脉冲控制的周期随脉冲强度增大而增大说明通过控制脉冲强度可控制系统的脉冲周期.