本文研究了一类非线性反应扩散方程的淬火现象

$ \begin{equation} \varphi_t(x, t)-\Delta \varphi(x, t)=(1-\varphi(x, t))^{-p}-(1-\varphi(x, t))^{-q}, ~~ \Omega\times (0, T), \label{1.1} \end{equation} $

(1.1)

$ \begin{equation} \varphi(x, t)=0, ~~ \partial \Omega\times (0, T), \label{1.2}\\ \end{equation} $

(1.2)

$ \begin{equation} \varphi(x, 0)=\varphi_0(x), ~~ \Omega, \label{1.3} \end{equation} $

(1.3)

其中$2<q<p$, $\Omega$是属于${\Bbb R}^N$的有界域并且具有光滑边界$\partial\Omega$.特别地, $\varphi_0(x)$是属于$C^1(\bar\Omega)$的非负初值且$ \sup\limits_{x\in\Omega}\varphi_0(x)<1$.定义$T$是问题(1.1)-(1.3)的解$\varphi$的最大存在时间.

问题(1.1)-(1.3)的解$\varphi(x, t)$具有如下性质: $\varphi(x, t)$在$\Omega \times (0, T)$内关于变量$x$有两阶导且关于时间$t$一阶导, 并且在$\bar\Omega \times [0, T)$内有$\varphi(x, t)< 1$.

定义1.1  若最大存在时间$T$是无穷大, 那么问题(1.1)-(1.3)的解$\varphi$整体存在.若最大存在时间$T$是有限的, 那么问题(1.1)-(1.3)的解$\varphi$存在一奇点

$ \lim\limits_{t \rightarrow T } \sup\limits_{x\in \Omega}{\varphi(x, t)}=1, $

即问题(1.1)-(1.3)在时间$T$处存在淬火解, 其中$T$是淬火时间.

Kwawarada^[1]于1975首次研究了淬火现象, 之后许多作者开始关注这一现象^[2-7].特别地Boni和Bernard^[5]研究了一类具有单个源项的抛物系统

$ \begin{equation} \varphi_t(x, t)=L\varphi(x, t)+r(x)(b-\varphi(x, t))^{-p}, ~~ \Omega\times (0, T), \label{1.4} \end{equation} $

(1.4)

$ \begin{equation} \varphi(x, t)=0, ~~ \partial \Omega\times (0, T), \label{1.5} \end{equation} $

(4.5)

$ \begin{equation} \varphi(x, 0)=\varphi_0(x)\geqslant 0, ~~ \Omega.\label{1.6} \end{equation} $

(1.6)

他们得到问题(1.4)-(1.6)的淬火现象并估计了淬火时间, 并发现非线性反应扩散方程的源项对淬火现象具有很大的影响.本文研究具正负号源项的方程的解在有限时间内淬火现象, 并研究了非线性源项的结构对淬火现象的影响.给出了具相反符号源项的淬火条件.

我们给出本文的结构:在第2节和第3节, 我们引入了主要定理并展示了证明的细节.在第4节, 我们进行了数值模拟.

首先, 我们给出研究淬火现象的基础引理, 即解局部存在性定理.

引理2.1^[5]  问题(1.1)-(1.3)在$\Omega\times(0, T)$内存在且唯一, 其中$T$是有限的.

我们假设存在$a\in\Omega$使得

$ \begin{eqnarray}\label{1.7} M=\sup\limits_{x\in\Omega}\varphi_0(x)=\varphi_0(a). \end{eqnarray} $

(2.1)

接下来给出主要定理.

定理2.1  假设$K$是正常数且满足$\sup\limits_{x\in \Omega}|\nabla \varphi_0|= K$.若$M>0$, $A=K^2D2^p$并且

$ 1-M<\min\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1+p-q}{p-q}}, \left(\frac{1}{2A}\right)^{\frac{3}{p-2}}, \left(\left[K {\rm dist}(a, \partial\Omega)\right]^{\frac{3}{p+1}}\right)\right\}, $

那么问题(1.1)-(1.3)的解$\varphi(x, t)$在有限时间内淬火.进一步地估计淬火时间$T$如下

$ \begin{eqnarray}\label{1.19} \int^1_M\frac{{\rm d}\varphi}{g(\varphi)}\leqslant T\leqslant \frac{\left(1-M+(1-M)^{(p+1)/3}\right)^{p+1}}{(p+1)\left(1-2^{p-q}(1-M)^{p-q}-A(1-M)^{(p-2)/3}\right)}, \end{eqnarray} $

(2.2)

其中$g(\varphi)=(1-\varphi)^{-p}-(1-\varphi)^{-q}$.

我们将证明分成两大步.首先, 证明问题(1.1)-(1.3)存在淬火现象.然后, 估计问题(1.1)-(1.3)解$\varphi$的淬火时间上下限.

根据(2.1)式, 存在$a\in\Omega$使得$ M=\sup\limits_{x\in\Omega}\varphi_0(x)=\varphi_0(a)$.定义如下特征值问题

$ \begin{equation} \lambda_{\delta}\varphi + \Delta\varphi = 0, ~~ B(a, \delta), \label{1.8} \end{equation} $

(3.1)

$ \begin{equation} \varphi=0, ~~ \partial B(a, \delta), \label{1.9} \end{equation} $

(3.2)

$ \begin{equation} \varphi>0, ~~ B(a, \delta), \label{1.10} \end{equation} $

(3.3)

其中$\delta>0$且$B(a, \delta)=\{x\in {\Bbb R}^N : ||x-a||< \delta\}\subset \Omega$. Boni和Bernard^[5]问题(3.1)-(3.3)存在解$(\varphi, \lambda_{\delta})$满足$0<\lambda_{\delta}\leqslant \frac{D}{\delta^2}$, 其中$D>0$既与纬度$N$相关又是算子$\Delta$的上界.进一步地, 我们定义$\int_{B(a, \delta)}\varphi {\rm d}x=1$.

利用$\varphi_0\in C^1(\bar\Omega)$, 中值定理和三角不等式, 我们得到

$ \varphi_0(x)\geqslant M-(1-M)^{(p+1)/3}. $

第一步  证明在某一临域内的淬火现象.假设$w(x, t)$如下初边值问题的解

$ \begin{equation} w_t(x, t)-\Delta w=(1-w(x, t))^{-p}-(1-w(x, t))^{-q}, ~~ B(a, \delta)\times(0, T^*), \label{1.11} \end{equation} $

(3.4)

$ \begin{equation} w(x, t)=0, ~~ \partial B(a, \delta)\times (0, T^*), \label{1.12} \end{equation} $

(3.5)

$ \begin{equation} w(x, 0)=\varphi_0(x)\geqslant 0, ~~ B(a, \delta), \label{1.13} \end{equation} $

(3.6)

其中$T^*$是解$w$的最大存在时间.由于初值在$B(a, \delta)$内非负, 根据极值原理, 我们得到在$B(a, \delta)\times(0, T^*)$内$w\geq0$.假设$v$满足

$ v(t)=\int_{B(a, \delta)}w(x, t)\varphi(x){\rm d}x, ~~ \mbox{对}\ t\in [0, T^*). $

由(3.1)和(3.4)式, 我们得到$v$的微分

$ v'(t)=-\lambda_{\delta}v(t)+\int_{B(a, \delta)} (1-w)^{-p}\varphi {\rm d}x-\int_{B(a, \delta)} (1-w)^{-q}\varphi {\rm d}x, ~~ t\in (0, T^*). $

由詹森不等式(Jensen's inequality)可得

$ v'(t)\geqslant-\lambda_{\delta}v(t)+(1-v(t))^{-p}-(1-v(t))^{-q}. $

结合$0\leqslant v(t)\leqslant 1$和

$ 0<\lambda_{\delta}\leqslant \frac{D}{\delta^2}=\frac{DK^2}{(1-M)^{(2p+2)/3}}, $

我们可得

$ v'(t)\geqslant (1-v(t))^{-p}\left(1-(1-v(t))^{p-q}-\frac{DK^2(1-v(t))^p}{(1-M)^{(2p+2)/3}}\right), $

这里$t\in(0, T^*)$.因为

$ 1-v(0)\leqslant 1-M+(1-M)^{(p+1)/3}\leqslant 2(1-M), $

我们有

$ v'(0)\geqslant (1-v(0))^{-p}\left(1-2^{p-q}(1-M)^{p-q}-A(1-M)^{(p-2)/3}\right)>0. $

接下来用反证法证明

$ v'(t)>0, ~~ \mbox{对}\ t\in(0, T^*). $

假设$t_1$是第一时间$t_1\in(0, T^*)$, 并使得$v'(t)>0$, $t \in[0, t_1)$且$v'(t_1) = 0$.那么有$v(t_1)\geqslant v(0)$满足

$ \begin{eqnarray*} 0=v'(t_1) &\geqslant&(1-v(t_1))^{-p}\left(1-(1-v(t_1))^{p-q}-\frac{DK^2(1-v(t_1))^p}{(1-M)^{(2p+2)/3}}\right)\\ &\geqslant & (1-v(0))^{-p}\left(1-2^{p-q}(1-M)^{p-q}-A(1-M)^{(p-2)/3}\right)>0. \end{eqnarray*} $

得出矛盾.因此我们有

$ 1-v(t)\leqslant 1-v(0)\leqslant 2(1-M). $

进一步可得

$ \begin{eqnarray}\label{1.14} v'(t)\geqslant (1-v(t))^{-p}\left(1-2^{p-q}(1-M)^{p-q}-A(1-M)^{(p-2)/3}\right). \end{eqnarray} $

(3.7)

将(3.7)式关于时间$t$在$(0, T^*)$上的积分, 那么

$ \begin{eqnarray}\label{1.15} T^*\leqslant \frac{\left(1-M+(1-M)^{(p+1)/3}\right)^{p+1}}{(p+1)\left(1-2^{p-q}(1-M)^{p-q}-A(1-M)^{(p-2)/3}\right)}. \end{eqnarray} $

(3.8)

由于(3.8)式是有限的, 我们得出$w$在有限时间内淬火.

接下来证明解在有限时间内淬火.由于极值原理, 我们得出在$\Omega\times (0, T)$内$\varphi\geqslant 0$.扩展这个估算并结合极值原理, 可得

$ \varphi(x, t)\geqslant w(x, t), ~~ B(a, \delta)\times(0, T_*), $

$T_*=\min \{T, T^*\}$, 也就是说

$ \begin{eqnarray} T\leqslant T^*\leqslant \frac{\left(1-M+(1-M)^{(p+1)/3}\right)^{p+1}}{(p+1)\left(1-2^{p-q}(1-M)^{p-q}-A(1-M)^{(p-2)/3}\right)}. \end{eqnarray} $

(3.9)

事实上, 假设$T>T^*$, 我们有$\|\varphi(x, T^*)\|_{\infty}\geqslant \|w(x, T^*)\|_{\infty}=1$.这与解$\varphi$的最大存在时间$(0, T)$矛盾.根据$T$是有限的, $\varphi_t>0$和$\varphi < 1$, 我们可得$\varphi$在有限时间内淬火.

第二步  我们证明(2.2)式.首先考虑常微分方程问题

$ \frac{{\rm d}\eta(t)}{{\rm d}t}=g(\eta), \\ \eta(0)=M, $

其中$g(\eta)=(1-\eta)^{-p}-(1-\eta)^{-q}$, $M=\sup\limits_{x\in\Omega} \varphi_0(x)<1$.

假设在$\bar\Omega\times[0, T_k)$内$s(x, t)=\eta(t)$, 并且得到

$ s_t(x, t)-\Delta s=(1-s(x, t))^{-p}-(1-s(x, t))^{-q}, ~~ \Omega\times (0, T_k), \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s(x, t)\geqslant 0, ~~ \partial \Omega\times (0, T_k), \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s(x, 0)\geqslant \varphi_0(x), ~~ \Omega. $

根据极值原理, 可得在$\Omega \times (0, T_k)$内有$0\leqslant \varphi(x, t)\leqslant s(x, t)=\eta(t)$.

因此$g(\varphi)>0$意味着$ \int^{\eta(t)}_M\frac{{\rm d}\varphi}{g(\varphi)}=t.$假设$T_k$是使得$\lim\limits_{t\to T_k}\eta(t)=1$的时间点.因此我们有$ T_k=\int^1_M\frac{{\rm d}\varphi}{g(\varphi)}, $且满足

$ \begin{eqnarray} T\geqslant T_k=\int^1_M\frac{{\rm d}\varphi}{g(\varphi)}. \end{eqnarray} $

(3.10)

若$T_k > T$, 我们有$\eta(T)\geqslant \|w(x, T)\|_{\infty}=1 $.这与解$\eta(t)$的最大存在时间区间$(0, T_k)$相矛盾.

结合(3.7)和(3.8)式, 时间$T$的上下限分别为

$ \begin{eqnarray*} \int^1_M\frac{{\rm d}\varphi}{g(\varphi)}\leqslant T\leqslant \frac{\left(1-M+(1-M)^{(p+1)/3}\right)^{p+1}}{(p+1)\left(1-2^{p-q}(1-M)^{p-q}-A(1-M)^{(p-2)/3}\right)}. \end{eqnarray*} $

本章利用数值实验来展示淬火现象.假设$p=6$, $q=3$, $\Omega=(0, 1)$, $\varphi(x, 0)=0.95$, 那么得到如下初边值问题

$ \begin{equation} \varphi_t(x, t)-\Delta \varphi(x, t)-(1-\varphi(x, t))^{-6}+(1-\varphi(x, t))^{-3}=0 , ~~(0, 1)\times (0, 0.0001), \label{1.16} \end{equation} $

(4.1)

$ \begin{equation} \varphi(0, t)=0, \varphi(1, t)=0, ~~ (0, 0.0001), \label{1.17} \end{equation} $

(4.2)

$ \begin{equation} \varphi(x, 0)=0.95\label{1.18}. \end{equation} $

(4.3)

绘制了图 1和图 2. 图 1描述了问题(4.1)-(4.3)的淬火现象. 图 2描述了$\varphi$在$x=0.15$关于时间$t$的走向.