本文研究了如下Cauchy问题

$ \begin{equation} \label{1-1} \rho(x)u_{tt}(x, t)+\Delta^2 u(x, t)-\int^t_0g(t-s)\Delta^2 u(x, s){\rm d}s=0, \ x\in {\mathbb{R}}^n, \ t>0, \end{equation} $

(1.1)

$ \begin{equation} \label{1-2}u(x, 0)=u_0(x), \ \ \ u_t(x, 0)=u_1(x), \ \ x\in {\mathbb{R}}^n, \end{equation} $

(1.2)

其中, 初值$u_0(x)$和$u_1(x)$属于恰当的空间, 函数$g(t)$表示松弛函数, 密度函数$\rho(x)$满足如下条件:

(A) $\rho(x):{\mathbb{R}}^n\rightarrow {\mathbb{R}}^+$ $(n\geq 4)$, $\rho(x)\in C^{0, \gamma}({\mathbb{R}}^n)$, 其中$\gamma\in(0, 1)$, $\rho(x)\in L^{s}({\mathbb{R}}^n)\cap L^\infty({\mathbb{R}}^n)$, 这里$s=\frac{2n}{2n-qn+4q}$.

带有粘弹项$\int^t_0g(t-s)\Delta^2 u(s){\rm d}s$的方程(1.1)一般称为是粘弹方程, 它也可以被看作是一个具有某种记忆效应的弹塑性流动方程.众所周知, 当空间维数$n=2$时, 该方程为粘弹板方程.

近年来, 越来越多的数学工作者研究了发展型偏微分方程(组)解的能量衰减性, 尤其是有界区域中波方程的一致衰减性.例如, Messaoudi^[1]研究了一个粘弹波方程

$ u_{tt}-\Delta u+\int^t_0g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s=0. $

作者得到了该方程解能量的一致衰减性. Messaoudi^[2]研究了一个带有非线性项的粘弹波方程

$ u_{tt}-\Delta u+\int^t_0g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s=|u|^\gamma u, $

在对松弛函数和初值适当的假设下, 作者得到了解能量和松弛函数$g$具有相同的衰减性.在文献[3], Messaoudi考虑了一个弱粘弹方程

$ u_{tt}-\Delta u+\alpha(t)\int^t_0g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s=0, $

建立了该方程解能量的一致衰减性, 并且该衰减性取决于势函数$\alpha(t)$和松弛函数$g(t)$.更多关于波方程解能量的一致衰减性, 可参见文献[4-8].值得注意的是, 以上结果都是建立在有界区域中.

1950年, Woinowsky-Krieger^[9]引入了一维梁的非线性振动方程

$ u_{tt}+\alpha u_{xxxx}-\bigg(\beta+\gamma\int^L_0|u_x|^2{\rm d}x\bigg)u_{xx}=0, $

其中$L$是梁的长度, 正常数$\alpha, \beta, \gamma$是物理系数.方程中的非线性部分表示一个两端固定相隔遥远的横向振动的梁的可扩展效果.自此以后, 有很多数学学者研究该方程和其相关模型在一维和高维空间中解的整体存在性, 渐近性以及长时间动力行为.例如, 在文献[10]中, Rivera等人研究了如下方程

$ u_{tt}+\Delta^2u-\gamma\Delta u_{tt}-\int^t_0g(t-s)\Delta^2u(s){\rm d}s=0, $

证明了如果松弛函数是指数(多项式)衰减的, 那么解能量也是以指数(多项式)形式衰减的. Andrade等^[11]研究了一个带有$p$-Laplacian的强耗散粘弹板方程

$ \begin{equation}\label{1-3} u_{tt}+\Delta^2u-\Delta_pu+\int^t_0g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s-\Delta u_t+f(u)=0.\end{equation} $

(1.3)

由于该方程是带有强耗散项$\Delta u_t$的强耗散方程, 所以作者考虑了一个弱粘弹项.他们研究了该方程的初边值问题, 在对松弛函数$g$和非线性项$f$适当的假设下, 证明了解的整体适定性和解的指数衰减性. Jorge Silva和Ma^[12]研究了带有消失记忆项的板方程(1.3), 即粘弹项为

$ -\int^t_{-\infty}g(t-s)\Delta^2 u(s){\rm d}s, $

证明了解的整体适定性和能量的指数衰减性. Ferreira和Messaoudi^[13]考虑了一个$\vec{p}(x, t)$-Laplacian板方程

$ u_{tt}+\Delta^2u-\Delta_{\vec{P}(x, t)}u+\int^t_0g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s-\epsilon\Delta u_t+f(u)=0. $

该方程为强耗散的板方程, 作者证明了该方程解能量的一致衰减性. Jorge Silva等^[14]研究了如下的粘弹Kirchhoff板方程

$ u_{tt}-\sigma(t)\Delta u_{tt}+\Delta^2u-\mbox{div}F(\nabla u)-\int^t_0g(t-s)\Delta^2 u(s){\rm d}s=0, $

证明了$\sigma(t)=0$和$\sigma(t)>0$这两种情况下解的整体适定性.而且作者建立了解能量的一致衰减性.最近, Guesmia和Messaoudi^[15]研究了一个带有消失记忆项的抽象方程

$ u_{tt}+Au+\int^\infty_0g(s)Au(t-s){\rm d}s=0, $

其中$A$是自伴正定算子.他们建立了解能量的一致衰减性结果, 并且该衰减性依赖于松弛函数.更多关于板方程的衰减性结果, 可参见文献[16-22].同样, 以上结果也都是建立在有界区域内.

对于Cauchy问题, 当密度函数$\rho(x)$不是常数时, Karachalios和Stavrakakis^[23]考虑了如下半线性双曲方程的初值问题

$ u_{tt}-\phi(x)\Delta u+\delta u_t+\lambda f(u)=\eta(x), \ \ x\in {\mathbb{R}}^n, \ t>0, \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u(x, 0)=u_0(x), \ \ \ u_t(x, 0)=u_1(x), \ \ x\in {\mathbb{R}}^n. $

当$(\phi(x))^{-1}:=g(x)\in L^{\frac{n}{2}}({\mathbb{R}}^n)$ ($n\geq 3$)时, 利用紧嵌入${\mathcal {D}}^{1, 2}({\mathbb{R}}^n)\subset L^2_g({\mathbb{R}}^n)$, 他们证明了解的局部存在性以及在空间${\mathcal {D}}^{1, 2}({\mathbb{R}}^n)\times L^2_g({\mathbb{R}}^n)$中整体吸引子的存在性.紧接着, Papadopoulos和Stavrakakis^[24]研究了一个带有弱耗散项Kirchhoff型的退化非局部拟线性波动方程

$ u_{tt}-\phi(x)\|\nabla u(t)\|^2\Delta u+\delta u_t=|u|^au, \ \ x\in {\mathbb{R}}^n, \ t>0, \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u(x, 0)=u_0(x), \ \ \ u_t(x, 0)=u_1(x), \ \ x\in {\mathbb{R}}^n, $

当$n\geq 3$, $\delta\geq0$并且正函数$(\phi(x))^{-1}:=g(x)$属于空间$L^{\frac{n}{2}}({\mathbb{R}}^n)\cap L^\infty({\mathbb{R}}^n)$时, 他们证明了解的整体存在性, 能量衰减性和解的爆破结果. Kafini^[25]研究了一个${\mathbb{R}}^n$ $(n\geq 2)$中带有密度函数的粘弹波方程, 当连续函数$\rho(x)\in L^{\frac{n}{2}}({\mathbb{R}}^n)\cap L^\infty({\mathbb{R}}^n)$时, 证明了解能量的一致衰减性.更多关于波方程的Cauchy问题, 可参见文献[26-32]. 值得注意的时, 目前关于四阶方程的Cauchy问题的结果很少, 我们仅仅找到一个相关结果, 参见文献Charão等^[33].在这篇论文中, 作者考虑了一个强耗散的板方程

$ u_{tt}+A^2u+aAu_{tt}+bAu_{t}=0, \ \ \ x\in {\mathbb{R}}^n, \ t>0, $

其中

$ A=-\frac{\partial}{\partial x_k}\Big(a_{kl}(x)\frac{\partial}{\partial x_l}\Big). $

利用Bloch波分解, 他们证明了该线性模型阶的渐近性.

就我们所知, Cauchy问题(1.1)-(1.2)解能量的一致衰减性还没有得到.所以本文的主要目标是建立初值问题(1.1)-(1.2)解能量的一致衰减性.很显然, 密度函数$\rho(x)$不能是常数.本文的主要特点如下:

(1) 由于在全空间中Poincaré不等式和一些Sobolev嵌入不等式不成立, 类似于文献[23], 我们引入了一个加权空间来弥补Poincaré不等式在${\mathbb{R}}^n$空间中的不足;

(2) 我们建立了解能量的一致衰减性, 包括了前人所得出了指数衰减性和多项式衰减性, 从而推广了前人的结果;

(3) 我们考虑的粘弹项可以看成是一个弱耗散项, 而不需要强耗散项.

本文的结构如下:在第二部分我们给出一些预备知识, 在第三部分给出本文的主要结果, 在第四部分我们利用能量扰动方法证明解能量的一致衰减性结果, 本文的结论会在第五部分给出.

为方便起见, 我们用$\|\cdot\|_B$表示空间$B$中的范数, 特别地, 我们用$\|\cdot\|$来表示$L^2$空间中的范数.

为了弥补Poincaré不等式在${\mathbb{R}}^n$空间中的不足, 我们引入如下空间：${\mathcal {D}}^{2, 2}({\mathbb{R}}^n)$和$L^p_{\rho}({\mathbb{R}}^n)$, $(1<p<\infty)$, 参见文献[23].

(1) 定义$C^\infty_0({\mathbb{R}}^n)$函数的闭包为空间${\mathcal {D}}^{2, 2}({\mathbb{R}}^n)$:

$ {\mathcal {D}}^{2, 2}({\mathbb{R}}^n)=\{u\in L^{\frac{2n}{n-4}}({\mathbb{R}}^n):\Delta u\in L^2({\mathbb{R}}^n)\}, $

范数为

$ \|u\|_{{\mathcal {D}}^{2, 2}({\mathbb{R}}^n)}=\int_{{\mathbb{R}}^n}|\Delta u|^2{\rm d}x. $

(2) 定义$C^\infty_0({\mathbb{R}}^n)$函数的闭包为空间$L_\rho^2({\mathbb{R}}^n)$, 关于内积

$ (u, v)_{L_\rho^2({\mathbb{R}}^n)}=\int_{{\mathbb{R}}^n}\rho uv{\rm d}x, $

那么可知空间$L^2_{\rho}({\mathbb{R}}^n)$是可分的Hilbert空间, 并且$ \|u\|^2_{L_\rho^2({\mathbb{R}}^n)}=(u, u)_{L^2_{\rho}({\mathbb{R}}^n)}.$

(3) 如果$u$是空间${\mathbb{R}}^n$中的可测函数, 我们定义

$ \|u\|^p_{L_\rho^p({\mathbb{R}}^n)}({\mathbb{R}}^n)=\left(\int_{{\mathbb{R}}^n}\rho|u|^p{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}}, \ \ \ 1<p<\infty, $

那么$u\in L_\rho^p({\mathbb{R}}^n)$也即$\|u\|_{L_\rho^p({\mathbb{R}}^n)}<\infty.$

我们很容易地得到如下引理:

引理2.1  假设密度函数$\rho(x)$满足条件(A), 那么对任意的$u\in {\mathcal {D}}^{2, 2}({\mathbb{R}}^n)$, 有

$ \|u\|_{L^q_\rho}\leq \|\rho\|_{L^s}\|\Delta u\|, $

其中

$ s=\frac{2n}{2n-qn+4q}, \ \ \ \ 2\leq q\leq \frac{2n}{n-4}. $

推论2.1  当$q=2$时, 我们有

$ \|u\|_{L^2_\rho}\leq \|\rho\|_{L^{\frac{n}{4}}}\|\Delta u\|. $

如果$\rho\in L^{\frac{n}{4}}({\mathbb{R}}^n)$, 可得到

$ \begin{equation} \label{2-1}\|u\|_{L^2_\rho}\leq c_*\|\Delta u\|, \end{equation} $

(2.1)

其中$c_*>0$是常数.

对于松弛函数$g$, 我们假设:

(G1) $g:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$是可微函数, 满足

$ g(0)>0, \ \ 1-\int^\infty_0g(s){\rm d}s=l>0. $

(G2)存在一个非增可微函数$\zeta(t):\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$使得

$ \int^\infty_0\zeta(s){\rm d}s=+\infty, \ \ g'(t)\leq -\zeta(t)g(t), \ \ \ \ t\geq0. $

在这部分中, 我们给出本文的主要的结果.首先我们定义问题(1.1)-(1.2)的弱解.

定义3.1  给定$T>0$, 我们称函数$U(t)=(u, u_t)\in C([0, T], {\mathcal {D}}^{2, 2}({\mathbb{R}}^n)\times L^2_\rho({\mathbb{R}}^n))$是问题(1.1)-(1.2)的弱解, 如果

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\rho u_{t}(t), \omega)_{L^2_\rho}+(\nabla u(t), \nabla\omega)-\bigg(\int^t_0g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s, \Delta\omega\bigg)=0, ~~{\rm a.e.}~[0, T], $

对所有的$\omega\in {\mathcal {D}}^{2, 2}({\mathbb{R}}^n)$和

$ u(x, 0)=u_0(x), \ \ u_t(x, 0)=u_1(x). $

下面我们给出问题(1.1)-(1.2)解的整体存在性和唯一性.

定理3.1  假设(A)和(G1)成立, 那么对任意的初值$u_0\in {\mathcal {D}}^{2, 2}({\mathbb{R}}^n)$和$u_1\in L^2_{\rho}({\mathbb{R}}^n)$, 问题(1.1)-(1.2)存在唯一的弱解, 使得对任意的$T>0$, 有

$ u\in C(0, T;{\mathcal {D}}^{2, 2}({\mathbb{R}}^n)), \ \ \ \ \ \ u_t\in C(0, T;L^2_{\rho}({\mathbb{R}}^n)). $

注3.1  该定理的证明可以分为两个部分.首先, 利用Faedo-Galerkin方法, 证明方程限制在$B_R\times (0, T)$满足边值条件$u=\Delta u=0$解的整体存在性, 其中$B_R$是半径为$R$的球, 可参见文献Andrade等^[11], Feng^[34], Jorge Silva和Ma^[12], Cavalcanti等^[17].其次, 把此解推广到全空间${\mathbb{R}}^n$, 我们可以采用Babin和Vishik^[35]的方法, 也可参见文献Karachalios和Stavrakakis^[23].这里我们省略证明细节.

定义问题(1.1)-(1.2)解能量为

$ \begin{equation}\label{3-1} E(t)=\frac{1}{2}\|u_t(t)\|^2_{L^2_\rho}+\frac{1}{2}\left(1-\int^t_0g(s){\rm d}s\right)\|\Delta u(t)\|^2+\frac{1}{2}(g\circ\Delta u)(t), \end{equation} $

(3.1)

这里

$ (g\circ\Delta u)(t)=\int^t_0g(t-s)\|\Delta u(t)-\Delta u(s)\|^2{\rm d}s. $

我们可以得到问题(1.1)-(1.2)解能量的一致衰减性结果.

定理3.2  假设$u_0\in {\mathcal {D}}^{2, 2}({\mathbb{R}}^n)$, $u_1\in L^2_{\rho}({\mathbb{R}}^n)$, 并且假设(G1)-(G2)成立.那么存在两个常数$\beta>0$和$\gamma>0$使得解能量$E(t)$满足

$ \begin{equation}\label{3-2} E(t)\leq \beta\exp\left(-\gamma\int^t_0\zeta(s){\rm d}s\right), \ \ \ \forall\ t\geq0. \end{equation} $

(3.2)

注3.2  一般来说, 问题(1.1)-(1.2)的解能量定义为

$ F(t)=\frac{1}{2}\|u_t(t)\|^2_{L^2_\rho}+\frac{1}{2}\|\Delta u(t)\|^2. $

我们也可以断定

$ \begin{equation}\label{3-3} F(t)\leq\beta'\exp\left(-\gamma\int^t_0\zeta(s){\rm d}s\right), \ \ \ \forall \ t\geq0. \end{equation} $

(3.3)

事实上, 利用(3.1)式和假设(G1), 我们可以得到

$ E(t)=F(t)-\frac{1}{2}\int^t_0g(s){\rm d}s\cdot\|\Delta u\|^2+\frac{1}{2}(g\circ\Delta u)\geq l F(t). $

然后利用(3.2)式, 可推得(3.3)式, 并且$\beta'=\frac{\beta}{l}$.

在这部分中, 我们建立问题(1.1)-(1.2)解能量的一致衰减性, 从而证明定理3.2.我们需要下面几个引理.

引理4.1  在定理3.2的假设下, 解能量(3.1)满足对任意的$t\geq0$,

$ \begin{equation}\label{4-1} E'(t)=-\frac{1}{2}g(t)\|\Delta u\|^2+\frac{1}{2}(g'\circ\Delta u)\leq \frac{1}{2}(g'\circ\Delta u)\leq0 .\end{equation} $

(4.1)

证  通过直接计算可得到

$ \begin{eqnarray} E'(t)&=&\int_{{\mathbb{R}}^n}\rho(x)u_{tt}u_t{\rm d}x-\frac{1}{2}g(t)\|\nabla u\|^2+\left(1-\int^t_0g(s){\rm d}s\right)\int_{{\mathbb{R}}^n}\nabla u\cdot\nabla u_t{\rm d}x\nonumber\\ &&+\frac{1}{2}(g'\circ\nabla u)+\int_{{\mathbb{R}}^n}\Delta u_t(t)\cdot\int^t_0g(t-s)(\Delta u(t)-\Delta u(s)){\rm d}s{\rm d}x.\nonumber\end{eqnarray} $

利用方程(1.1)和分部积分, 得到(4.1)式.证毕.

引理4.2  在定理3.2的假设下, 假设$(u, u_t)$是问题(1.1)-(1.2)的解.定义泛函$\Phi(t)$

$ \begin{equation}\label{4-2} \Phi(t)=\int_{{\mathbb{R}}^n}\rho uu_t{\rm d}x, \end{equation} $

(4.2)

那么对任意的$\delta>0$,

$ \begin{equation}\label{4-3} \Phi'(t)\leq -(l-\delta)\|\Delta u\|^2+\|u_t\|^2_{L^2_\rho}+\frac{1-l}{4\delta}(g\circ\Delta u).\end{equation} $

(4.3)

证  对$\Phi(t)$关于$t$求导, 利用方程(1.1), 我们可知

$ \begin{eqnarray}\label{4-4} \Phi'(t)&=&\int_{{\mathbb{R}}^n}\rho u_{tt}u{\rm d}x+\|u_t\|^2_{L^2_\rho}\nonumber\\ &=&\int_{{\mathbb{R}}^n}\left(-\Delta^2 u+\int^t_0g(t-s)\Delta^2 u(s){\rm d}s\right)u{\rm d}x+\|u_t\|^2_{L^2_\rho}\nonumber\\ &=&-\|\Delta u\|^2+\|u_t\|^2_{L^2_\rho}+\int_{{\mathbb{R}}^n}\Delta u(t)\cdot\int^t_0g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s{\rm d}x.\end{eqnarray} $

(4.4)

利用Young不等式, Hölder不等式和假设(G1), 得到对任意的$\delta>0$,

$ \begin{eqnarray}\label{4-5} &&\quad\ \int_{{\mathbb{R}}^n}\Delta u(t)\cdot\int^t_0g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s{\rm d}x\nonumber\\ &&=\int_{{\mathbb{R}}^n}\Delta u(t)\cdot\int^t_0g(t-s)(\Delta u(s)-\Delta u(t)+\Delta u(t)){\rm d}s{\rm d}x\nonumber\\ &&=\left(\int^t_0g(s){\rm d}s\right)\|\Delta u\|^2+\int_{{\mathbb{R}}^n}\Delta u(t)\cdot\int^t_0g(t-s)(\Delta u(s)-\Delta u(t)){\rm d}s{\rm d}x\nonumber\\ &&\leq \left(\int^t_0g(s){\rm d}s\right)\|\Delta u\|^2+\delta\|\Delta u\|^2+\frac{1}{4\delta}\int_{{\mathbb{R}}^n}\left(\int^t_0g(t-s)(\Delta u(s)-\Delta u(t))\right)^2\\&&{\rm d}s{\rm d}x\nonumber\\ &&\leq \left(\int^t_0g(s){\rm d}s\right)\|\Delta u\|^2+\delta\|\Delta u\|^2+\frac{1}{4\delta}\left(\int^t_0g(s){\rm d}s\right)(g\circ\Delta u)\nonumber\\ &&\leq (\delta+1-l)\|\Delta u\|^2+\frac{1-l}{4\delta}(g\circ\Delta u).\end{eqnarray} $

(4.5)

将(4.5)式带入(4.4)式, 可得(4.3)式.证毕.

引理4.3  在定理3.2的假设下, 假设$(u, u_t)$是问题(1.1)-(1.2)的解.定义泛函

$ \begin{equation}\label{4-6} \Psi(t)=-\int_{{\mathbb{R}}^n}\rho u_{t}\int^t_0g(t-s)(u(t)-u(s)){\rm d}s{\rm d}x, \end{equation} $

(4.6)

满足对任意的$\delta>0$,

$ \begin{eqnarray}\label{4-7} \Psi'(t)&\leq& \left(\delta-\int^t_0g(s){\rm d}s\right)\|u_t\|^2_{L^2_\rho}+[\delta+2\delta(1-l)^2]\|\Delta u\|^2\nonumber\\ &&+c_1(g\circ\Delta u)-\frac{g(0)c_*^2}{4\delta}(g'\circ\Delta u), \end{eqnarray} $

(4.7)

其中$c_1>0$是常数, 依赖于$\delta$和$l$.

证  利用方程(1.1), 可得

$ \begin{eqnarray}\label{4-8} \Psi'(t)&=&-\int_{{\mathbb{R}}^n}\rho u_{tt}\int^t_0g(t-s)(u(t)-u(s)){\rm d}s{\rm d}x-\int^t_0g(s){\rm d}s\cdot \|u_t\|^2_{L^2_{\rho}}\nonumber\\ &&-\int_{{\mathbb{R}}^n}\rho u_t\int^t_0g'(t-s)(u(t)-u(s)){\rm d}s{\rm d}x\nonumber\\ &=&\underbrace{\int_{{\mathbb{R}}^n}\Delta^2 u\int^t_0g(t-s)(u(t)-u(s)){\rm d}s{\rm d}x}_{:=I_1}\nonumber\\ &&\underbrace{-\int_{{\mathbb{R}}^n}\left(\int^t_0g(s)\Delta^2 u(s){\rm d}s\right)\left(\int^t_0g(t-s)(u(t)-u(s)){\rm d}s\right){\rm d}x}_{:=I_2}\nonumber\\ &&\underbrace{-\int_{{\mathbb{R}}^n}\rho u_t\int^t_0g'(t-s)(u(t)-u(s)){\rm d}s{\rm d}x}_{:=I_3}-\left(\int^t_0g(s){\rm d}s\right)\cdot\|u_t\|^2_{L^2_\rho}.\end{eqnarray} $

(4.8)

利用分部积分, Young不等式和Hölder不等式, 可得到对任意的$\delta>0$,

$ \begin{eqnarray}\label{4-9} |I_1|&=&\left|\int_{{\mathbb{R}}^n}\Delta u\int^t_0g(t-s)(\Delta u(t)-\Delta u(s)){\rm d}s{\rm d}x\right|\nonumber\\ &\leq&\delta\int_{{\mathbb{R}}^n}|\Delta u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4\delta}\left(\int^t_0g(s){\rm d}s\right)(g\circ\Delta u)\nonumber\\ &\leq&\delta\|\Delta u\|^2+\frac{1-l}{4\delta}(g\circ\Delta u), \end{eqnarray} $

(4.9)

$ \begin{eqnarray}\label{4-10} |I_2|&=&\left|\int_{{\mathbb{R}}^n}\left(\int^t_0g(t-s)(\Delta u(t)-\Delta u(s)){\rm d}s\right)\cdot\left(\int^t_0g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s\right){\rm d}x\right|\nonumber\\ &\leq& \delta\int_{{\mathbb{R}}^n}\left(\int^t_0g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s\right)^2{\rm d}x+\\&&\frac{1}{4\delta}\int_{{\mathbb{R}}^n} \left(\int^t_0g(t-s)(\Delta u(t)-\Delta u(s)){\rm d}s\right)^2{\rm d}x\nonumber\\ &\leq& 2\delta\int_{{\mathbb{R}}^n}\left[\left(\int^t_0g(t-s)(\Delta u(s)-\Delta u(t)){\rm d}s\right)^2 +\left(\int^t_0g(t-s)\Delta u(t){\rm d}s\right)^2\right]\\&& {\rm d}x\nonumber\\ &&+\frac{1}{4\delta}\int_{{\mathbb{R}}^n}\left(\int^t_0g(t-s)(\Delta u(t)-\Delta u(s)){\rm d}s\right)^2{\rm d}x\nonumber\\ &\leq& \left(2\delta+\frac{1}{4\delta}\right)\left(\int^t_0g(s){\rm d}s\right)(g\circ\Delta u)+2\delta\left(\int^t_0g(s){\rm d}s\right)^2\|\Delta u\|^2\nonumber\\ &\leq& \left(2\delta+\frac{1}{4\delta}\right)(1-l)(g\circ\Delta u)+2\delta (1-l)^2\|\Delta u\|^2 \end{eqnarray} $

(4.10)

和

$ \begin{eqnarray}\label{4-11} |I_3|&\leq&\delta\|u_t\|^2_{L^2_\rho}+\frac{1}{4\delta}\int_{{\mathbb{R}}^n}\left(\int^t_0g'(t-s)(u(t)-u(s)){\rm d}s\right)^2{\rm d}x\nonumber\\ &\leq& \delta\|u_t\|^2_{L^2_\rho}-\frac{g(0)c_*^2}{4\delta}(g'\circ\Delta u).\end{eqnarray} $

(4.11)

因此, 将(4.8)-(4.11)式结合起来, 可得(4.7)式, 其中

$ c_1:=(1-l)\left[\left(2\delta+\frac{1}{4\delta}\right)+\frac{1}{4\delta}\right]. $

证毕.

接下来, 我们定义Lyapunov泛函

$ \begin{equation} \label{4-12} {\mathcal {L}}(t):=E(t)+\varepsilon_1\Phi(t)+\varepsilon_2\Psi(t), \end{equation} $

(4.12)

其中$\varepsilon_1$和$\varepsilon_2$是正常数.

我们首先得到如下引理.

引理4.4  对于充分小的$\varepsilon_1>0$和$\varepsilon_2>0$, 可得到对任意的$t\geq0, $

$ \begin{equation} \label{4-13} \frac{1}{2} E(t)\leq {\mathcal {L}}(t)\leq 2 E(t).\end{equation} $

(4.13)

证  利用Hölder不等式, Young不等式和(2.1)式, 可得对任意的$\epsilon>0$,

$ \begin{eqnarray*} &&\quad |{\mathcal {L}}(t)-E(t)|\nonumber\\ &&\leq\varepsilon_1\int_{{\mathbb{R}}^n}|\rho uu_t|{\rm d}x+\varepsilon_2 \int_{{\mathbb{R}}^n}\left|\rho u_t\int^t_0g(t-s)(u(t)-u(s)){\rm d}s\right|{\rm d}x\nonumber\\ &&\leq\varepsilon_1\left(\epsilon\|u_t\|^2_{L^2_\rho}+\frac{1}{4\epsilon}\|u\|^2_{L^2_\rho}\right) +\varepsilon_2\left(\epsilon\|u_t\|^2_{L^2_\rho}+\frac{1}{4\epsilon}\int^t_0g(t-s)\|u(t)-u(s)\|_{L^2_\rho}^2{\rm d}s\right)\nonumber\\ &&\leq \varepsilon_1\left(\epsilon\|u_t\|^2_{L^2_\rho}+\frac{c_*^2}{4\epsilon}\|\Delta u\|^2\right) +\varepsilon_2\left(\epsilon\|u_t\|^2_{L^2_\rho}+\frac{c_*^2}{4\epsilon}(1-l)(g\circ\Delta u)\right)\nonumber\\ &&\leq \epsilon(\varepsilon_1+\varepsilon_2)\|u_t\|^2_{L^2_\rho}+\frac{\varepsilon_1 c_*^2}{4\epsilon}\|\Delta u\|^2+\frac{\varepsilon_2c_*^2}{4\epsilon}(1-l)(g\circ\Delta u).\nonumber\end{eqnarray*} $

那么可得到, 存在一个正常数$\varepsilon>0$使得

$ |{\mathcal {L}}(t)-E(t)|\leq \varepsilon E(t), $

即

$ \begin{equation}\label{4-14} (1-\varepsilon)E(t)\leq {\mathcal {L}}(t)\leq (1+\varepsilon)E(t).\end{equation} $

(4.14)

注意到当$\varepsilon_1$和$\varepsilon_2$充分小时, $\varepsilon>0$是充分小的.因此, 当我们取$\varepsilon_1$和$\varepsilon_2$充分小时, 可得到(4.13)式.证毕.

定理3.2的证明  对任意固定的$t_0>0$, 我们可得到, 当$t\geq t_0$时, 有

$ \int^t_0g(s){\rm d}s\geq\int^{t_0}_0g(s){\rm d}s:=g_0. $

利用(4.1), (4.3)和(4.7)式, 可知对任意的$t\geq t_0$,

$ \begin{eqnarray}\label{4-15} {\mathcal {L}}'(t)&=&E'(t)+\varepsilon_1\Phi'(t)+\varepsilon_2\Psi'(t)\nonumber\\ &\leq&-\Big[\varepsilon_2(g_0-\delta)-\varepsilon_1\Big]\|u_t\|^2_{L^2_\rho}- \Big[\varepsilon_1(l-\delta)-\varepsilon_2\delta\Big(1+2(1-l)^2\Big)\Big]\|\Delta u\|^2\nonumber\\ &&+\left(\frac{1}{2}-\varepsilon_2\frac{g(0)c_*^2}{4\delta}\right)(g'\circ\Delta u)+\left(\frac{1-l}{4\delta}\varepsilon_1+c_1\varepsilon_2\right)(g\circ\Delta u).\end{eqnarray} $

(4.15)

首先选取$\delta>0$充分小, 使得

$ \max\{g_0-\delta, l-\delta\}>\frac{1}{2}g_0, \ \ \ \ \ \ \ \ \delta\Big[1+2(1-l)^2\Big]<\frac{1}{4}g_0. $

对任意固定的$\delta>0$, 选取$\varepsilon_1>0$和$\varepsilon_2>0$满足

$ \begin{equation}\label{4-16} \frac{1}{4}g_0\varepsilon_2<\varepsilon_1<\frac{1}{2}g_0\varepsilon_2\end{equation} $

(4.16)

充分小, 使得

$ \varepsilon_2(g_0-\delta)-\varepsilon_1>0 $

和

$ \varepsilon_1(1-\delta)-\varepsilon_2\delta\Big(1+2(1-l)^2\Big)>0. $

最后选取$\varepsilon_1>0$和$\varepsilon_2>0$足够小, 使得(4.13)和(4.16)式成立, 并且使得

$ \frac{1}{2}-\varepsilon_2\frac{g(0)c_*^2}{4\delta}>0. $

从以上可以看出, 存在两个正常数$\gamma_1$和$\gamma_2$使得对任意的$t\geq t_0$,

$ \begin{equation} \label{4-17} {\mathcal {L}}'(t)\leq -\gamma_1E(t)+\gamma_2(g\circ\Delta u).\end{equation} $

(4.17)

将(4.17)式乘以$\zeta(t)$, 并利用$\zeta(t)(g\circ\Delta u)\leq-(g'\circ\Delta u)\leq -2E'(t)$, 可得对任意的$t\geq t_0$,

$ \begin{eqnarray} \zeta(t){\mathcal {L}}'(t)&\leq&-\gamma_1E(t)\zeta(t)+\gamma_2\zeta(t)(g\circ\Delta u)\nonumber\\ &\leq&-\gamma_1\zeta(t)E(t)-2\gamma_2E'(t), \nonumber\end{eqnarray} $

那么

$ \begin{equation} \label{4-18} \zeta(t){\mathcal {L}}'(t)+2\gamma_2E'(t)\leq-\gamma_1\zeta(t)E(t).\end{equation} $

(4.18)

记${\mathcal {E}}(t)=\zeta(t){\mathcal {L}}(t)+2\gamma_2E(t)$, 很显然, ${\mathcal {E}}(t)$和解能量$E(t)$等价, 即存在两个正常数$\beta_1$和$\beta_2$使得

$ \begin{equation}\label{4-19} \beta_1E(t)\leq {\mathcal {E}}(t)\leq \beta_2E(t).\end{equation} $

(4.19)

利用(4.18)-(4.19)式和$\zeta'(t)\leq 0$, 可得对任意的$t\geq t_0$,

$ {\mathcal {E}}'(t)\leq-\gamma_1\zeta(t)E(t)\leq-\frac{\gamma_1}{\beta_2}\zeta(t){\mathcal {E}}(t), $

那么

$ {\mathcal {E}}(t)\leq {\mathcal {E}}(t_0)\exp\left(-\frac{\gamma_1}{\beta_2}\int^t_{t_0}\zeta(s){\rm d}s\right). $

再次利用(4.19)式, 可得

$ E(t)\leq \frac{\beta_2}{\beta_1}E(t_0)\exp\left(-\frac{\gamma_1}{\beta_2} \int^t_{t_0}\zeta(s){\rm d}s\right). $

通过重新定义常数, 以及利用$E(t)$的连续性和有界性, 我们很容易得到(3.2)式.证毕.

注4.1  我们举例说明几种能量的衰减, 这些例子可参见文献[1, 2, 6, 15].

例1  若$g$以指数形式衰减, 即, $\zeta(t)=a$, 那么, 利用(3.2)式可得

$ E(t)\leq \beta {\rm e}^{-\gamma at}. $

例2  若$\zeta(t)=\frac{a}{1+t}$, 那么, 利用(3.2)式可得

$ E(t)\leq \frac{\beta}{(1+t)^{\gamma a}}. $

例3  当$g(t)=a{\rm e}^{-b(1+t)^{\alpha}}$, 其中$a, b>0$和$0<\alpha\leq1$, 选取$\zeta(t)=b\alpha(1+t)^{\alpha-1}$, 那么, 利用(3.2)式可得

$ E(t)\leq\beta \exp\left(-b\gamma(1+t)^{\alpha}\right). $

例4  若$g(t)=a\exp(-b\ln^{\alpha}(1+t))$, 其中$a, b>0$和$\alpha>1$, 选取$\zeta(t)=\frac{b\alpha \ln^{\alpha-1}(1+t)}{1+t}$, 那么, 利用(3.2)式可得

$ E(t)\leq \beta \exp\left(-\gamma b\ln^{\alpha}(1+t)\right). $

本文研究了全空间${\mathbb{R}}^n$ ($n\geq4$)中一个带有密度函数的线性四阶粘弹方程.为了弥补Poincaré不等式在${\mathbb{R}}^n$空间中的不足, 我们考虑了加权空间中的方程的解.通过对松弛函数适当的假设, 我们利用能量扰动的方法建立了初边值问题解的一致衰减性结果, 该结果包括前人所建立的解能量的指数衰减性和多项式衰减性, 从而推广了前人的结果.