本文研究下面带有强耗散项的非线性高阶波动方程的初边值问题

$ u_{tt}+(-\Delta)^mu+\mu u_t+a(-\Delta)^ku_t=|u|^{r-2}u, \ x\in\Omega, \ t>0 $

(1.1)

$ u(x, 0)=u_0(x), \ u_t(x, 0)=u_1(x), \ x\in\Omega, $

(1.2)

$ \frac{\partial^i u}{\partial \nu^i}=0, \ i=0, 1, 2, \cdots, m-1, \ x\in\partial\Omega, \ t\geq0, $

(1.3)

其中$m, \ k\geq1$是正整数, $r>2$及$\mu, a>0$是常数. $\Omega\subset {\mathbb{R} }^n$是具有光滑边界$\partial\Omega$的有界区域, $\nu$是边界$\partial\Omega$上的单位外法向量, $\frac{\partial^iu}{\partial\nu^i}$表示$u$的$i$阶法向导数.

当$m=k=1$时, 许多人用不同的方法和技巧在不同的假设条件下, 研究了方程(1.1)的初边值问题和Cauchy问题局部解和整体解的存在唯一性、解的衰减估计及解在有限时间内发生爆破, 参见文献[1-4]及其引用的文献.

当$m=2, \ a=0$时, Guesmia^[5]考虑了方程

$ u_{tt} +\Delta^2 u +q(x)u+g(u_t)=0, \ \ x\in \Omega, \ t>0 $

(1.4)

满足条件(1.2)和(1.3)的初边值问题, 其中$g(\cdot)$是一个连续增函数, 且$g(0)=0$, $q:\Omega\longrightarrow [0, +\infty)$是一个有界函数, 并证明了此问题整体解的存在性和正则性结果.在$g(\cdot)$的适当增长条件下, 进而建立了弱解和强解的衰减性.准确地说, 在文献[5]中, Guesmia给出了如下结果：如果$g(\cdot)$是线性函数, 则解呈指数衰减；否则, 解呈多项式衰减.当方程(1.4)和半线性波动方程耦合时, Guesmia^[6]得到了与文献[5]类似的结果.

当$\Delta^2u_t+\Delta g(\Delta u)$代替(1.4)式中的$q(x)u+g(u_t)$时, Aassila和Guesmia^[7]应用文献[8]中的引理建立了解的指数衰减性.此外, Messaoudi^[9]研究了下面的初边值问题

$ \left\{\begin{array}{ll}\displaystyle u_{tt}+\Delta^2u+a|u_t|^{p-2}u_t=b|u|^{r-2}u, \ \ &(x, t)\in\Omega\times {\mathbb{R} }^+, \\ u(x, 0)=u_0(x), \ u_t(x, 0)=u_1(x), \ \ &x\in \Omega, \\[2mm] \displaystyle u(x, t)=\frac{\partial u}{\partial\nu}=0, \ &x\in\partial\Omega, \ t\in {\mathbb{R} }^+, \end{array}\right. $

(1.5)

其中$a, b>0, \ p, r>2$是实数.他证明了$p\geq r$时解整体存在, $p<r$及初始能量为负时解在有限时间内发生爆破.当$r>p\geq2$及初始能量为正时, Chen和Zhou^[10]建立了问题(1.5)整体解的不存在性；并证明了$p=2$及初始能量消失时, 解在有限时间内爆破. Wu和Tsai^[11]也考虑了初边值问题(1.5), 并给出了整体解的衰减率及初始能量非负时解的爆破结果.应用文献[12]中的引理, 文献[13]得到了$p=2$时问题(1.5)的解呈指数衰减, $p>2$时解呈多项式衰减.有关问题(1.5)的相关工作, 读者可参见文献[14-15].

对于$m>1, a=0$, Nakao^[16]应用Galerkin方法研究了问题(1.1)-(1.3)的有界解、周期和殆周期解的存在唯一性.当方程(1.1)具有退化耗散项$a(x)u_t$时, Nakao和Kuwahara^[17]应用差分不等式建立了问题(1.1)-(1.3)整体解的衰减估计.当方程(1.1)不含耗散项(即$\mu=a=0$)时, Brenner和Von Wahl^[18]证明了问题(1.1)-(1.3)在Hilbert空间中经典解的存在唯一性. Pecher^[19]利用位势井方法^[20-21]证明了方程(1.1)的Cauchy问题解的存在唯一性.此外, 当非线性项在$H^s$空间中有临界或次临界幂时, Wang^[22]给出了方程(1.1)的Cauchy问题的散射算子把$H^s$中的带映射到$H^s$的结果.Miao^[23]使用时空估计和非线性估计的方法得到了低能量下的散射理论及整体解的存在唯一性.

当方程(1.1)中的耗散项$\mu u_t+a(-\Delta)^ku_t$是非线性耗散项$a|u_t|^{q-2}u_t$时, Ye^[24]解决了问题(1.1)-(1.3)的整体解的存在性和渐近性质.利用方程(1.1)对应线性问题的$L^p-L^q$估计, Aliev和Lichaei^[25]给出了方程(1.1)的Cauchy问题整体解的存在和不存在性准则, 并建立了解及其导数在$t\rightarrow+\infty$时的稳定性.然而, 他们的方法不能用于问题(1.1)-(1.3).

受上述研究的启发, 本文证明了问题(1.1)-(1.3)的整体解的存在性及指数衰减估计, 同时给出了此问题的解在不稳定集中发生爆破的结果.

本文采用通常的记号和习惯. $H^m(\Omega)$表示具有通常的数量积和范数的Sobolev空间. $H_0^m(\Omega)$表示$C_0^\infty(\Omega)$在空间$H^m(\Omega)$中的闭包.为简便起见, 以后用$\|\cdot\|_s$表示Lebesgue空间$L^s(\Omega)$的范数, $\|\cdot\|$表示$L^2(\Omega)$空间范数, 用等价范数$\|D^m\cdot\|$替代空间$H^{m}_0(\Omega)$范数$\|\cdot\|_{H^{m}_0(\Omega)}$, 其中$D$是梯度算子, 即

$ Du=\nabla u=\Big(\frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial u}{\partial x_n}\Big), $

并且$m=2j$时, $D^mu=\Delta ^ju$；$m=2j+1$时$D^mu=D\Delta ^ju$.此外, $C_i\ (i=0, 1, 2, \cdots)$表示依赖于已知常数的正常数, 并且每次出现时可能都不相同.

本文安排如下：下一节给出一些预备知识.第三节研究问题(1.1)-(1.3)整体解的存在性.第四节致力于建立整体解的指数衰减估计.第五节证明问题(1.1)-(1.3)的解在有限时间内发生爆破.

首先, 对参数$k, m$和$r$作如下假设：

(A) $k$和$m$是正整数, $k, m, r$满足$1\leq k\leq m$及

$ \begin{array}{rl} \displaystyle 2<r<+\infty, \ n\leq 2m;\ \ \displaystyle 2<r\leq\frac{2n}{n-2m}, \ n>2m. \end{array} $

(2.1)

为了研究主要结果, 定义泛函

$ J(t)=J[u(t)]=\frac1{2}\|D^mu\|^{2} -\frac 1 r\|u\|_r^r, $

(2.2)

$ I(t)=I[u(t)]=\|D^mu\|^{2} -\|u\|_r^r, $

(2.3)

与方程(1.1)有关的总能量记为

$ \begin{array}[b]{rl} E(t)&=E[u(t), u_t(t)]=\displaystyle\frac12\|u_t\|^2 +\frac1{2}\|D^mu\|^{2}-\frac 1 r\|u\|_r^r\\[3mm] & \displaystyle =\frac12\|u_t\|^2+J(t), \ \ u\in H_0^{m}(\Omega), \ t\geq0. \end{array} $

(2.4)

$E(0)=\frac12\|u_1\|^2+J(0)$是初始总能量.

如文献[20], 位势井的深度定义为

$ d=\inf\{\sup\limits_{\lambda\geq0}J(\lambda u):\ u\in H_0^m(\Omega)/\{0\}\}. $

(2.5)

此外, 定义Nehari流形(参见文献[26-27])

$ {{\cal N}}=\{u\in H_0^m(\Omega)/\{0\};\ I(t)=0\}. $

${\cal N}$分为两个无界集

$ {{\cal N}}^+=\{u\in H_0^m(\Omega)/\{0\};\ I(t)>0\}\cup\{0\} $

及

$ {{\cal N}}^-=\{u\in H_0^m(\Omega)/\{0\};\ I(t)<0\}. $

则稳定集${\cal W}$和不稳定集${\cal U}$分别定义如下

$ {{\cal W}}=\{u\in H_0^m(\Omega):\ \ J(t)\leq d\}\cap {{\cal N}}^+, \\ {{\cal U}}=\{u\in H_0^m(\Omega):\ \ J(t)\leq d\}\cap {{\cal N}}^-. $

容易看出, 由(2.5)式定义的位势井的深度$d$亦可用下面的式子刻画

$ d=\inf\limits_{u\in {\cal N}}J(u). $

(2.6)

如文献[4]所述, $d$的这种相互替代表明

$ \beta={\rm dist}(0, {{\cal N}})=\inf\limits_{u\in{{\cal N}}}\|D^mu\| =\bigg(\frac{2rd}{r-2}\bigg)^{\frac1{2}}>0. $

(2.7)

由文献[4, 28]知, 嵌入$H^m_0(\Omega)\hookrightarrow L^r(\Omega)$的最优Sobolev常数$B_*$为

$ B_*^{-1}=\inf\{\|D^m u\|:\ u\in H_0^m(\Omega), \ \|u\|_r=1\}. $

(2.8)

根据假设(A), 这个嵌入是紧的, 并且(2.8) (即(2.5))式中的下确界可以取到.在这种情况下, 由(2.8)式知, 问题(1.1)-(1.3)的任何山路解是极小的(参见文献[20]中第3节), 并且$B_*$与其能量有关

$ d=\frac{r-2}{2r}B_*^{-\frac{2r}{r-2}}. $

(2.9)

下面给出问题(1.1)-(1.3)解的定义(参见文献[4])及几个有用的引理.

定义2.1  如果

$ u\in C([0, T], H_0^{m}(\Omega))\cap C^2([0, T], H^{-m}),\\ u_t\in C([0, T], L^2(\Omega))\cap L^2([0, T], H_0^k(\Omega)), $

并满足

$ \int_\Omega u_{tt}\varphi {\rm d}x+\int_\Omega D^m uD^m\varphi {\rm d}x+\mu\int_\Omega u_t\varphi {\rm d}x +a\int_\Omega D^k u_tD^k\varphi {\rm d}x=\int_\Omega |u|^{r-2}u\varphi {\rm d}x, $

其中$\varphi\in H_0^{m}(\Omega), \ t\in [0, T]$, 则称函数$u$是问题(1.1)-(1.3)的弱解.

引理2.1  设$s$满足：$ n\leq2m$时, $2\leq s<+\infty$; $n>2m$时, $2\leq s\leq\frac{2n}{n-2m}$.则存在依赖于$\Omega$和$s$的常数$B$, 使得

$ \|u\|_s\leq B\|D^m u\|, \ \forall u\in H_0^m(\Omega). $

引理2.2 (Young不等式)  设$X, Y$和$\varepsilon$是正常数, 并且$\xi, \ \zeta\geq1, \ \frac1\xi+\frac1\zeta=1$.则

$ ab\leq\frac{\varepsilon^\xi X^\xi}\xi+\frac{Y^\zeta}{\zeta\varepsilon^\zeta}. $

引理2.3  设$u(t)$是问题(1.1)-(1.3)的解, 则$t>0$时, $E(t)$是非增函数, 且

$ E'(t)=-(\mu\|u_t\|_{2}^{2}+a\|D^ku_t\|^2)\leq0. $

(2.10)

证  方程(1.1)的两边同乘以$u_t$, 并在$\Omega\times[0, t]$上积分.由分部积分得

$ E(t)=E(0)-\int_0^t(\mu\|u_t(s)\|_{2}^{2}+a\|D^ku_t(s)\|^2){\rm d}s, \ t\geq0. $

(2.11)

由此可知, $E(t)$是可积函数的原函数, 故对于任一正则解$u(t)$, 能量$E(t)$关于$t$绝对连续并满足等式(2.10).因此, 由稠密性原理知, 结论成立.

类似于文献[4, 9, 29-30]的方法, 可建立问题(1.1)-(1.3)的局部解的存在唯一性, 其结果叙述如下:

定理2.1 (局部存在性)   假设(A)成立, 如果$(u_0, u_1)\in H_0^{m}(\Omega)\times L^2(\Omega)$, 则存在$T>0$使得问题(1.1)-(1.3)存在唯一的局部解$u(t)$, 并满足

$ u\in C([0, T); H_0^m(\Omega)), \ u_t\in C([0, T); L^2(\Omega))\cap L^{2}([0, T); H^k_0(\Omega)). $

此外, 下面的结论至少有一个是正确的

(1) $t\rightarrow T^-$时, $\|u_t\|^2+\|D^mu\|^{2}\rightarrow +\infty$; (2) $T=+\infty$.

本节研究问题(1.1)-(1.3)整体解的存在性及指数衰减估计.为此, 需要下面的引理.

引理3.1  假设(A)满足, 且$E(0)<d$.如果$u_0\in{{\cal N^+}}, \ u_1\in L^2(\Omega)$, 则$u(t)\in {{\cal N^+}}, $ $ \forall t\in[0, T)$.

证  由$u_0\in{{\cal N^+}}$知, $I(0)>0$.根据$I(t)$的连续性, 存在$t^*\in[0, T)$使得$I(t)\geq0, $ $ t\in[0, t^*)$.由(2.2)和(2.3)式有

$ J(t)=\frac{r-2}{2r}\|D^mu\|^{2}+\frac1rI(t), $

即

$ 0<\frac{r-2}{2r}\|D^mu\|^{2}\leq J(t), \ \forall t\in[0, t^*). $

(3.1)

因此

$ \|D^mu\|^{2}\leq \frac{2r}{r-2}J(t). $

(3.2)

联合(2.4), (3.1), (3.2)式及引理2.3得

$ \|D^mu\|^{2}\leq \frac{2r}{r-2}E(t)\leq \frac{2r}{r-2}E(0), \ \forall t\in[0, t^*). $

(3.3)

由(2.1)式和引理2.1知

$ \|u\|_r^r\leq B_*^r\|D^mu\|^r=B_*^r\|D^mu\|^{r-2}\|D^mu\|^{2}. $

(3.4)

从(3.3)和(3.4)式可推出

$ \|u\|_r^r\leq \theta\|D^mu\|^{2}, $

(3.5)

其中

$ \theta=B_*^r\bigg(\frac{2r}{r-2}E(0)\bigg)^\frac{r-2}{2}. $

根据$E(0)<d$和(2.9)式得

$ \theta=B_*^r\bigg(\frac{2r}{r-2}E(0)\bigg)^\frac{r-2}{2}<1. $

(3.6)

由(3.5)和(3.6)式知

$ \|u\|_r^r<\|D^mu\|^{2}. $

(3.7)

因此, $I(t)=\|u\|_r^r-\|D^mu\|^{2}>0, \ \forall t\in[0, t^*)$, 即$u(t)\in{{\cal N}^+}, \ \forall t\in[0, t^*)$.

注意到

$ B_*^r\bigg(\frac{2r}{r-2}E(t^*)\bigg)^\frac{r-2}{2}< B_*^r\bigg(\frac{2r}{r-2}E(0)\bigg)^\frac{r-2}{2}<1, $

重复(3.1)-(3.7)式的推导过程, 可把$t^*$延拓到$2t^*$.连续进行上述步骤可得$u(t)\in{{\cal N}^+}, $ $ \forall t\in[0, T)$.

下述定理表明定理2.1得到的局部解是整体存在的.

定理3.1  假设(A)成立, 且$E(0)<d$.如果$u_0\in{{\cal W}}, \ u_1\in L^2(\Omega)$, 则定理2.1所得的局部解是整体解, 即$T$可取无穷大($T=+\infty$).

证  只需证明$\|u_t\|^2+\|D^mu\|^{2}$是有界(不依赖于$t$)的即可.在定理3.1的假设条件下, 由引理3.1知, $u(t)\in{{\cal W}}, \ \forall t\in[0, T)$.

由(2.4), (3.1)式和引理2.3得

$ \frac12\|u_t\|^2+\frac{r-2}{2r}\|D^mu\|^{2} \leq\frac12\|u_t\|^2+ J(t)=E(t)\leq E(0). $

(3.8)

故

$ \|u_t\|^2+\|D^mu\|^{2}\leq\max\bigg(2, \ \frac{2r}{r-2}\bigg)E(0)<+\infty. $

由此不等式和连续性原理知, 问题(1.1)-(1.3)存在整体解$u(t)$.定理3.1证毕.

有关问题(1.1)-(1.3)整体解的指数衰减估计叙述如下:

定理3.2  假设(A)满足, 并且$E(0)<d$.如果$u_0\in{{\cal N^+}}, \ u_1\in L^2(\Omega)$, 则存在不依赖于$t$的正常数$C_0, \ \eta>0$, 使得问题(1.1)-(1.3)的整体解具有下面的指数衰减性质

$ 0<E(t)\leq C_0{\rm e}^{-kt}, \forall t\geq0. $

证  由定理3.2的假设条件和引理3.1知, $u(t)\in{{\cal N^+}}, \ t\geq0$.故$0<E(t)<d, \ t\geq0$.为证明整体解具有指数衰减性质, 定义

$ F(t)=E(t)+\varepsilon\int_\Omega (uu_t+\frac a2|D^ku|^2){\rm d}x, $

(3.9)

其中$\varepsilon>0$是待定参数.容易证明, 存在依赖于$\varepsilon$的正常数$\xi_1, \ \xi_2>0$使得

$ \xi_1E(t)\leq F(t)\leq\xi_2E(t), \ t\geq0. $

(3.10)

事实上, 由(2.1)式, 引理2.1和(3.8)式得

$ \begin{array}{rl} F(t)&\displaystyle\leq E(t)+\frac \varepsilon2\|u_t\|^2+\frac\varepsilon2\|u\|^2+\frac {a\varepsilon}2\|D^ku\|^2\\[4mm] &\displaystyle\leq (1+\varepsilon)E(t)+\frac{\varepsilon B_*^2}2(a+1)\|D^mu\|^2\\[4mm] &\displaystyle\leq \bigg[(1+\varepsilon)+\frac{(a+1)rB_*^2}{r-2}\varepsilon\bigg]E(t)=\xi_2E(t), \end{array} $

(3.11)

另一方面, 由引理2.2知

$ \int_\Omega uu_t{\rm d}x\leq\frac1{4\gamma}\|u_t\|^2+\gamma\|u\|^2. $

(3.12)

由(3.10)和(3.12)式有

$ \begin{array}[b]{rl} F(t)&\displaystyle\geq E(t)-\frac\varepsilon{4\gamma}\|u_t\|^2-\varepsilon\gamma\|u\|^2 +\frac {a\varepsilon}2\|D^ku\|^2\\[3mm] &\displaystyle\geq E(t)-\frac\varepsilon{4\gamma}\|u_t\|^2+(\frac a2-B_*^2\gamma)\varepsilon\|D^ku\|^2. \end{array} $

(3.13)

选取足够小的$\gamma$, 使得$\gamma\leq \frac a{2B_*^2}$, 根据(2.4)和(3.13)式可推出

$ F(t)\geq E(t)-\frac\varepsilon{4\gamma}\|u_t\|^2\geq J(t) +\bigg(\frac12-\frac\varepsilon{4\gamma}\bigg)\|u_t\|^2. $

然后选取足够小的$\varepsilon>0$(即$\varepsilon\leq 2\gamma$), 使得

$ F(t)\geq \min\bigg\{1, \ 1-\frac\varepsilon{2\gamma})\bigg\}\bigg(J(t)+\frac12\|u_t\|^2\bigg) =\xi_1E(t). $

(3.14)

由(3.11)和(3.14)式知, 不等式(3.10)成立.

(3.9)式两边关于$t$求导, 由方程(1.1)和引理2.3得

$ F'(t)=-a\|D^ku_t\|^2-\mu\|u_t\|^2+\varepsilon\|u_t\|^2 -\varepsilon\|D^mu\|^2+\varepsilon\|u\|_r^r -\mu\varepsilon\int_\Omega uu_t{\rm d}x. $

(3.15)

联合(3.5)式, 引理2.2和(3.15)式得

$ \begin{array}{rl} F'(t)\displaystyle\leq -a\|D^ku_t\|^2+\bigg[\varepsilon(1+\frac\mu{4\delta})-\mu\bigg]\|u_t\|^2 \displaystyle+\varepsilon(\mu\delta B_*^2+\theta-1)\|D^mu\|^2. \end{array} $

(3.16)

由(3.6)式知, $\theta-1<0$.选取$0<\delta<\frac{1-\theta}{\mu B_*^2}$, 使得$\mu\delta B_*^2+\theta-1<0$.

令$\eta=1-\theta-\mu\delta B_*^2$, 则$\eta>0$.因此, 对于任意正常数$\Lambda>0$, 由(2.4)和(3.16)式有

$ F'(t)\displaystyle\leq -\Lambda\varepsilon E(t)+\bigg[\varepsilon(1+\frac \Lambda2+\frac\mu{4\delta})-\mu\bigg]\|u_t\|^2 -a\|D^ku_t\|^2 \displaystyle+\\ \varepsilon\bigg(\frac \Lambda2-\eta\bigg)\|D^mu\|^2. $

(3.17)

选取$\Lambda\leq 2\eta$及充分小的$\varepsilon$, 使得

$ \bigg[\varepsilon(1+\frac \Lambda2+\frac\mu{4\delta})-\mu\bigg]<0. $

由(3.17)式知

$ F'(t)\leq -\Lambda\varepsilon E(t), \ \forall t\geq0. $

(3.18)

从(3.10)和(3.18)式可推得

$ F'(t)\leq -k F(t), \ \forall t\geq0, $

(3.19)

其中$k=\Lambda\varepsilon/\xi_2>0$.

(3.19)式两边从$0$到$t$积分得$F(t)$的指数衰减估计

$ F(t)\leq F(0){\rm e}^{-kt}, \ \forall t\geq0. $

故, 由(3.10)式知

$ E(t)\leq C_0{\rm e}^{-kt}, \ \forall t\geq0, $

其中$C_0=F(0)/\xi_1$.

定理3.2证毕.

本节研究初边值问题(1.1)-(1.3)解的爆破性质, 并给出解的生命区间估计.为此, 需要下面的引理：

引理4.1^[31]  设$P(t)\in C^2, \ P(t)\geq0$满足不等式

$ P(t)P''(t)-(1+\rho)P'^2(t)\geq0, $

其中$\rho>0, \ P(0)>0, \ P'(0)>0$, 则存在实数$T_*$使得$0<T_*\leq \frac{P(0)}{\rho P'(0)}$, 并且$t\rightarrow T_*^-$时, $P(t)\rightarrow\infty$.

引理4.2  设$u(t)$是问题(1.1)-(1.3)由定理2.1给出的解, 如果$u_0\in{{\cal U}}, \ E(0)<d$, 则$u(t)\in{{\cal U}}, \ E(t)<d$, $\forall t\geq0$.

证  由引理2.3和引理4.2中的条件得

$ E(t)\leq E(0)<d, \ \forall t\in[0, T). $

由(2.4)式知

$ J(t)\leq E(t)< d, \ \forall t\in[0, T). $

(4.1)

假设存在$t^*\in[0, T)$, 使得$u(t^*)\not\in{{\cal U}}$, 则根据$I(t)$的连续性知, $I(t^*)=0$.由此可知, $u(t^*)\in{{\cal N}}$.由(2.6)式得$J(t^*)\geq d$, 这和(4.1)式矛盾.因此, 引理4.2的结论成立.

定理4.1  假设(A)成立, 且$u_0\in{{\cal U}}, \ u_1\in L^2(\Omega)$满足$0<E(0)<d$, 则问题(1.1)-(1.3)由定理2.1得到的解$u(t)$在时刻$T_*<+\infty$发生爆破, 即

$ \lim\limits_{t\rightarrow T_*^-}\|D^m u(t)\|^2=\infty. $

证  由位势井深度$d$的定义(2.5)知

$ d\leq\sup\limits_{\lambda>0}J(\lambda u)=\frac{r-2}{2r} \bigg(\frac{\|D^mu\|^{2}}{\|u\|_r^{2r}}\bigg)^{\frac1{r-2}}. $

(4.2)

由$u_0\in{{\cal U}}$, $E(0)<d$和引理4.2得, $u\in{{\cal U}}, \ \forall t\in[0, T]$.因此

$ I(t)=\|D^mu\|^2-\|u\|_r^r<0, \ \forall t\in[0, T]. $

由此式和(4.2)式推得

$ d\leq\frac{r-2}{2r}\|D^mu\|^{2}, \ \forall t\in[0, T], $

即

$ \|D^mu\|^{2}\geq\frac{2dr}{r-2}, \ \forall t\in[0, T]. $

(4.3)

假设$u(t)$是整体解, 则对于$\forall T>0$, 定义函数$\Theta(t): [0, T]\rightarrow [0, +\infty)$如下

$ \Theta(t)=\|u(t)\|^2+\int_0^t(\mu\|u(s)\|^2+a\|D^ku(s)\|^2){\rm d}s +(T-t)(\mu\|u_0\|^2+a\|D^ku_0\|^2). $

(4.4)

注意到$\Theta(t)>0, \ \forall t\in[0, T]$.由函数$\Theta(t)$的连续性, 存在$\lambda>0$ (不依赖于$T$的选择)使得

$ \Theta(t)\geq \lambda, \ \forall t\in[0, T]. $

(4.5)

(4.4)式的两边同时关于$t$求导得

$ \begin{array}[b]{rl} \Theta'(t)&=\displaystyle2\int_\Omega uu_t{\rm d}x+(\mu\|u(t)\|^2+a\|D^ku(t)\|^2) -(\mu\|u_0\|^2+\omega\|D^ku_0\|^2)\\[3mm]& \displaystyle=2\int_\Omega uu_t{\rm d}x+2\mu\int_0^t\int_\Omega u(s) u_t(s){\rm d}x{\rm d}s+2a\int_0^t\int_\Omega D^ku(s) D^ku_t(s){\rm d}x{\rm d}s. \end{array} $

(4.6)

对(4.6)式的两边再次关于$t$求导得

$ \begin{array}{rl} \Theta''(t)=2\|u_t(t)\|^2+\displaystyle2\int_\Omega uu_{tt}{\rm d}x+\displaystyle2\mu\int_\Omega uu_t{\rm d}x+2a\int_\Omega D^kuD^ku_t{\rm d}s. \end{array} $

(4.7)

由(1.1)和(4.7)式知

$ \Theta''(t)=2(\|u_t(t)\|^2+\|u(t)\|_r^r-\|D^mu(t)\|^2). $

(4.8)

联合(4.4), (4.6)和(4.8)式有

$ \begin{array}[b]{rl} \displaystyle \Theta\Theta''(t)-\frac{r+2}4\Theta'(t)^2 =&2\Theta(t)[\|u_t(t)\|^2+\|u(t)\|_r^r-\|D^mu(t)\|^2]\\[3mm] &-(r+2)[\Theta(t)-(T-t)(\mu\|u_0\|^2+a\|D^ku_0\|^2)]\\[3mm] &\times\bigg[\|u_t(t)\|^2+\displaystyle\mu\int_0^t\|u_t(s)\|^2{\rm d}s+a\int_0^t\| D^ku_t(s)\|^2{\rm d}s\bigg]\\[2mm] &+(r+2)\chi(t), \end{array} $

(4.9)

其中

$ \begin{array}[b]{rl} \chi(t)=&\displaystyle\bigg[\|u(t)\|^2+\int_0^t(\mu\|u(s)\|^2+a\|D^ku(s)\|^2){\rm d}s\bigg]\\[4mm] &\times\displaystyle\bigg[\|u_t(t)\|^2+\int_0^t(\mu\|u_t(s)\|^2+a\|D^k_tu(s)\|^2){\rm d}s\bigg]\\[4mm] &\displaystyle-\bigg[\int_\Omega uu_t{\rm d}x+\mu\int_0^t\int_\Omega u(s) u_t(s){\rm d}x{\rm d}s+a\int_0^t\int_\Omega D^ku(s) D^ku_t(s){\rm d}x{\rm d}s\bigg]^2. \end{array} $

(4.10)

应用Schwarz不等式得

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bigg(\int_\Omega uu_t{\rm d}x\bigg)^2\leq\|u(t)\|^2\|u_t(t)\|^2, \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bigg(\mu\int_0^t\int_\Omega uu_t{\rm d}x{\rm d}s\bigg)^2\leq\mu^2\int_0^t\|u(s)\|^2{\rm d}s\int_0^t\|u_t(s)\|^2{\rm d}s, \\ \bigg(a\int_0^t\int_\Omega D^ku(s) D^ku_t(s){\rm d}x{\rm d}s\bigg)^2 \leq a^2\int_0^t\|D^ku(s)\|^2{\rm d}s\int_0^t\|D^ku_t(s)\|^2{\rm d}s, $

及

$ \begin{eqnarray*} &&2a\int_0^t\int_\Omega D^ku(s) D^ku_t(s){\rm d}x{\rm d}s\int_\Omega uu_t{\rm d}x \\ &\leq& a\|u_t(t)\|^2\int_0^t\|D^ku(s)\|^2{\rm d}s+a\|u(t)\|^2\int_0^t\|D^ku_t(s)\|^2{\rm d}s, \\[2mm] &&2\mu\int_0^t\int_\Omega u(s) u_t(s){\rm d}x{\rm d}s\int_\Omega uu_t{\rm d}x \\ &\leq& \mu\|u_t(t)\|^2\int_0^t\|u(s)\|^2{\rm d}s+\mu\|u(t)\|^2\int_0^t\|u_t(s)\|^2{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

由上面的五个不等式可知$\chi(t)\geq0, \ \forall t\in[0, T]$.因此, 由(4.9)式可得下面的微分不等式

$ \Theta\Theta''(t)-\frac{r+2}4\Theta'(t)^2 \geq\Theta(t)\Gamma(t), \ \forall t\in[0, T], $

(4.11)

其中

$ \begin{eqnarray*} \Gamma(t)&\displaystyle=&2[\|u_t(t)\|^2+\|u(t)\|_r^r-\|D^mu(t)\|^2]\\ &&- (r+2)\bigg[\|u_t(t)\|^2+\displaystyle\mu\int_0^t\|u_t(s)\|^2{\rm d}s+a\int_0^t\| D^ku_t(s)\|^2{\rm d}s\bigg]. \end{eqnarray*} $

由(2.4)式知

$ \begin{eqnarray*} \Gamma(t)\displaystyle&=&-2rE(t)+(r-2)\|D^mu(t)\|^2\\ &&- (r+2)\bigg[\displaystyle\mu\int_0^t\|u_t(s)\|^2{\rm d}s+a\int_0^t\| D^ku_t(s)\|^2{\rm d}s\bigg]. \end{eqnarray*} $

根据(2.11)式, 下式成立

$ \begin{eqnarray*} \Gamma(t)&\displaystyle=&-2rE(0)+(r-2)\|D^mu(t)\|^2\\ &&+ (r-2)\bigg[\displaystyle\mu\int_0^t\|u_t(s)\|^2{\rm d}s+a\int_0^t\| D^ku_t(s)\|^2{\rm d}s\bigg]. \end{eqnarray*} $

因此, 由(4.3)式和$E(0)\leq d$可推出

$ \begin{array}[b]{rl} \Gamma(t)&>\displaystyle 2r(d-E(0))+ (r-2)\bigg[\displaystyle\mu\int_0^t\|u_t(s)\|^2{\rm d}s+a\int_0^t\| D^ku_t(s)\|^2{\rm d}s\bigg]\\[3mm] &\geq(r-2)\bigg[\displaystyle\mu\int_0^t\|u_t(s)\|^2{\rm d}s+a\int_0^t\| D^ku_t(s)\|^2{\rm d}s\bigg]\geq0. \end{array} $

(4.12)

故, 存在$\vartheta>0$ (不依赖于$T$)使得

$ \Gamma(t)\geq\vartheta, \ \forall t\geq0. $

(4.13)

联合(4.3), (4.11)和(4.13)式可得

$ \Theta\Theta''(t)-\frac{r+2}4\Theta'(t)^2 \geq\lambda\vartheta, \ \forall t\in[0, T]. $

(4.14)

设$\rho=\frac{r-2}4>0$, 则由引理4.1, 存在$T_*$使得

$ 0<T_*<\frac{\Theta(0)}{\rho \Theta'(0)}\leq T $

(4.15)

且

$ \displaystyle \lim\limits_{t\rightarrow T_*^-}\Theta(t)=\infty. $

(4.16)

由引理2.1, $\Theta(t)$的定义和(4.16)式知

$ \lim\limits_{t\rightarrow T_*^-}\|D^mu(t)\|^2=\infty. $

由此可知, 问题(1.1)-(1.3)的解不是整体存在的.

定理4.1证毕.