本文考虑如下平面多项式微分系统

$ \begin{equation}\label{qh1} \dot{x}=P(x, y), \quad\ \dot{y}=Q(x, y), \end{equation} $

(1.1)

其中, $P$ 和 $Q$ 是多项式.若它们的最大次数为 $n$ , 则称系统(1.1)为 $n$ 次多项式微分系统(以下简称为 $n$ 次系统).

众所周知, Hilbert第十六问题的后半部分是: $n$ 次系统最多有几个极限环(这个数字记为 $H(n)$ , 习惯上称之为Hilbert数)?这些环又如何分布?尽管人们已经证明了, 每个确定的多项式系统只有有限个极限环, 但至今人们连 $H(2)$ 是否为有限整数都尚未得知.

为了在一定程度上探讨第十六问题, 前苏联数学家Arnold于1977年提出了所谓的弱化的Hilbert第十六问题：设 $H(x, y)$ 是 $n+1$ 次多项式且 $\{H(x, y)=h| 0<h< h_0\}$ (允许 $h_0=\infty$ )为闭轨族, $\bar{P}(x, y)$ 和 $\bar{Q}(x, y)$ 是两个多项式且其最大次数为 $m$ .问阿贝尔积分

$ \begin{equation}\label{Ah}I(h)=\int_{H=h}\bar{Q}(x, y){\rm d}x-\bar{P}(x, y){\rm d}y, \quad h\in (0, h_0)\end{equation} $

(1.2)

的孤立零点的个数 $N(m, n, H, \bar{P}, \bar{Q})$ 是多少？

这个问题实际上起源于对哈密顿系统进行单参数扰动产生极限环的研究.事实上, 考虑系统

$ \begin{equation}\label{qh20} \dot{x}=-H_y(x, y)+\varepsilon \bar{P}(x, y), \quad\ \dot{y}=H_x(x, y)+\varepsilon \bar{Q}(x, y), \end{equation} $

(1.3)

其中 $0<|\varepsilon|\ll 1$ .当未扰系统(1.3) $_{\varepsilon=0}$ 是通有的哈密顿系统时, $N(m, n, H, \bar{P}, \bar{Q})$ 就是那些从未扰系统的周期环域分支出来的极限环个数, 见文献[1].

倘若允许 $H$ 取遍所有 $n+1$ 次多项式, 而 $\bar{P}$ 和 $\bar{Q}$ 取遍所有次数不超过 $m$ 的多项式(但保持 $\max$ $\{\deg\bar{P}, $ $\deg\bar{Q}\}$ $=m$ ), 得到 $\{N(m, n, H, \bar{P}, \bar{Q})\}$ 的上确界 $N(m, n)$ .则显然 $N(m, n)$ 是Hilbert数 $H(\max\{m, n\})$ 的一个下界.因此, 通过探索弱化的十六问题可以在一定程度上解决Hilbert第十六问题.但是, 诚如Yakovenko在文献[2]中所言, 寻找 $N(m, n)$ 或其上界的表达式依然是一个富有挑战的课题.

Khovansky和Varchenko分别在文献[3]和[4]证明了每个 $N(m, n, H, \bar{P}, \bar{Q})$ 都是有限的. 2010年, Binyamini等人给出了 $N(n+1, n)$ 的双指数上界^[5].此外, 有很多文献针对固定的 $H$ 或某些特殊形式的 $\bar{P}$ 和 $\bar{Q}$ , 获得 $N(m, n, H, \bar{P}, \bar{Q})$ 的表达式, 具体可参看文献[6]的介绍.其中, 文献[7]探讨了 $H$ 为拟齐次多项式的情形.随后, 一些学者开始探讨更一般的拟齐次系统(不一定是哈密顿系统)在多项式扰动下的极限环分支, 并获得了很好的结果, 见文献[6, 8-10].为了阐述这些工作, 下面首先介绍一些相关的基本概念.

一个二元函数 $f$ 被称为是 $(p, q)$ -拟齐次函数, 是指存在一个正整数 $m$ 使得 $f(\lambda^px, \lambda^qy)=\lambda^mf(x, y)$ 对一切 $\lambda\in {\Bbb R}^+$ 都成立, 并称 $m$ 为权指数.若 $P$ 和 $Q$ 分别是带权指数 $p-1+m$ 和 $q-1+m$ 的 $(p, q)$ -拟齐次多项式, 则称(1.1)为带权指数 $m$ 的 $(p, q)$ -拟齐次多项式系统.

拟齐次多项式系统具有很多独特的性质.如:它的中心一定是全局的(即所有轨线都是围绕中心的闭轨线), 中心的周期函数是单调的, 系统具有倒积分因子

$ \begin{equation}\label{invf}V(x, y)=pxQ(x, y)-qyP(x, y), \end{equation} $

(1.4)

等.因此, 研究拟齐次系统的中心(以下简称为拟齐次中心)的极限环分支引起了人们的浓厚兴趣.设系统(1.1)为 $(p, q)$ -拟齐次多项式系统, 则系统

$ \begin{equation}\label{qh2} \dot{x}=P(x, y)+\varepsilon \bar{P}(x, y), \quad\ \dot{y}=Q(x, y)+\varepsilon \bar{Q}(x, y) \end{equation} $

(1.5)

的阿贝尔积分(即一阶Melnikov函数)为

$ \begin{equation}\label{LLYZs3} I(h)=\oint_{H=h}\frac{\bar{Q}(x, y){\rm d}x-\bar{P}(x, y){\rm d}y}{V(x, y)}, \end{equation} $

(1.6)

其中 $V$ 如(1.4)式所示.当 $I(h)$ 不恒为零时, $I$ 的孤立零点的个数就是从系统(1.1)的周期环域分支出的极限环个数.而当 $V$ 为非零常函数时, (1.6)式实际上就是(1.2)式.

约定:为简洁起见, 下面我们总是假设(1.1)式是 $(p, q)$ -拟齐次多项式微分系统且以原点为中心, 并设(1.5)式是它的 $n$ 次扰动, 即 $\bar{P}$ 和 $\bar{Q}$ 都是多项式且 $\max\{\deg{\bar{P}}, \deg{\bar{Q}}\}=n$ .用 $\#{I}$ 表示阿贝尔积分 $I$ 在其定义域内的孤立零点的个数, 其中 $k$ 重零点按 $k$ 个零点计算.

2005年, 赵育林和张芷芬教授在文献[7]中给出了系统(1.1)为哈密顿系统时 $\#{I}$ (此时 $V(x, y)\equiv1 $ )的上界:

定理1.1^[7] 设 $s$ 是 $p$ 和 $q$ 的最大公约数, $\mu=\max\{p/s, q/s\}$ , $I$ 由(1.2)式定义.则

(ⅰ) 当 $p=q=1$ 时, $\#{I}\leq n-1$ ;

(ⅱ) 当 $p\neq q$ 且 $n<\mu$ 时, $\#{I}\leq n(n+3)/2-1$ ;

(ⅲ) 当 $p\neq q$ 且 $n\geq\mu$ 时, $\#{I}\leq \mu(2n-\mu+3)/2-2$ .

而文献[7]的另一个结果表明, 对某些特殊的哈密顿系统而言, 定理1.1的上界还可以进一步缩小.

定理1.2^[7] 设 $H(-x, y)=H(x, y)$ 和 $H(x, -y)=H(x, y)$ .令 $\lambda=[(n-1)/2], $ $\mu=\max\{p/s, q/s\}$ , 其中 $[\cdot]$ 表示最大取整函数. $I$ 由(1.2)式定义.则

(ⅰ) 当 $p=q=1$ 时, $\#{I}\leq\lambda$ ;

(ⅱ) 当 $p\neq q$ 且 $\lambda<\mu$ 时, $\#{I}\leq \lambda(\lambda+3)/2$ ;

(ⅲ) 当 $p\neq q$ 且 $\lambda\geq\mu$ 时, $\#{I}\leq \mu(2\lambda-\mu+3)/2-1$ .

定理1.2的结果与文献[11]给出的弱化的Hilbert第16问题的下界是一致的.

2009年, 李伟固教授等人在文献[6]中, 允许系统(1.1)是非哈密顿系统, 研究了一般情况下 $\#{I}$ 的上界, 并通过考虑一类具体的拟齐次系统, 证明部分上界是可达的. 2015年, Gine等人在文献[10]中, 把文献[6]的主要定理中的上界 $4p_1-8$ 改进为 $2p_1-4$ .他们还针对一类7次拟齐次系统证明了 $ \#{I}$ 可以达到5.另外, 文献[9]证明了当 $(P, Q)=(-y^{2l-1}(1+x), x^{2k-1}(1+x))$ 时 $\#{I}\leq (n-1)k_1+(t+1)l-1+2rk_1l_1(l+3)+2t l r k_1l_1$ , 其中 $t=[n/2l]+2, (l, k)=r(l_1, k_1)$ , $ l_1$ 与 $ k_1$ 互质.此外, 文献[8]还考虑了解析的拟齐次向量场 $(P, Q)$ 在多项式扰动下的阿贝尔积分的零点个数.

必须指出, 以上所提到的结果中, 大部分上界都未能被证明是最小的.如同定理1.2和文献[6, 命题6]那样, 为了证明上界可达或可进一步缩小, 较为可行的方法是考虑特定类型的系统.

但是, 要确定拟齐次多项式系统具有中心(从而才能考虑其极限环分支)的条件并非易事.事实上, 上述提及的文献都只考虑非常特殊的系统.例如, 文献[9]考虑的系统是可约的, 文献[10]考虑的仅是一类7次系统, 文献[6]考虑的系统必须要求 $(n+1)/2$ 为偶数.

本文的主要目的是找到一类具有中心的 $n$ 次拟齐次平面哈密顿系统, 研究它的极限环分支, 并考察当系统的首次积分不满足定理1.2的对称性时, 定理1.2的上界是否可达.

最近, 唐异垒和张祥在文献[12]中, 证明了任一平面5次拟齐次但非齐次的多项式系统, 一定可以经过等价变换化为如下形式的系统

$ \begin{equation}\label{tzs} \dot{x}=-3bxy^2-y^5, \quad\ \dot{y}=x+by^3, \end{equation} $

(1.7)

其中 $3b^2<1$ .我们发现, 系统(1.7)可被推广到更一般的具有中心的奇数次拟齐次系统, 见下面的系统(1.8).我们还考虑其极限环分支, 得到如下结论.

定理1.3 考虑带权指数 $\frac{n+1}{2}$ 的 $(\frac{n+1}{2}, 1)$ -拟齐次多项式系统

$ \begin{equation}\label{s1p} \dot{x}=\frac{n+1}{2}axy^{\frac{n-1}{2}}-y^n, \quad\ \dot{y}=x-ay^{\frac{n+1}{2}}, \end{equation} $

(1.8)

其中 $n$ 为奇数.则当且仅当 $(n+1)a^2<2$ 时, 原点是该系统的一个全局中心, 且在 $n$ 次多项式扰动下, 相应的阿贝尔积分 $I$ (即一阶Melnikov函数), 最多有

$ m(n):= \frac{3n^2+6n-11-2(-1)^{(n+1)/2}}{16} $

个孤立零点.此外, 存在适当的 $n$ 次扰动, 使得 $I$ 恰有 $ m(n)$ 个孤立零点.

注1.1 因偶数次拟齐次多项式系统总是存在通过原点的不变曲线, 因此原点不是中心.故我们在定理1.3中, 假设 $n$ 为奇数是非常自然的.

由于 $\# I$ 给出了当阿贝尔积分 $I$ 不恒为零时, 从系统的周期环域分支出来的极限环的个数, 因此由定理1.3还可以立即得到

推论1.1 设在 $n$ 次多项式扰动下, 从 $n$ 次拟齐次多项式系统的中心的周期环域分支出来的极限环的个数为 $Q(n)$ , 则 $Q(n)\geq m(n)$ .

利用定理1.3, 我们还将证明如下更一般的结论.

定理1.4 若(1.1)式是以 $\frac{n+1}{2}$ 为权指数的 $(\frac{n+1}{2}, 1)$ -(或 $(1, \frac{n+1}{2})$ -)拟齐次多项式哈密顿系统, 则在形如(1.5)的 $n$ 次多项式扰动下, 其阿贝尔积分最多有 $m(n)$ 个孤立零点, 且上界是可达的.

注1.2 定理1.3或定理1.4均验证了文献[6]中定理B的正确性.该定理指出, 存在 $n$ 次拟齐次多项式系统, 其周期环域在 $n$ 次多项式扰动下, 由一阶Melnikov函数确定的极限环的最大个数的主部为 $3n^2/16$ .

为简洁起见令 $(n+1)/2=m$ , 系统(1.8)变为

$ \begin{equation}\label{s1} \dot{x}=am xy^{m-1}-y^{2m-1}, \quad\ \dot{y}=x-ay^{m}, \end{equation} $

(2.1)

其中 $m\in {\Bbb N}\setminus \{0, 1\}$ .容易看出, 系统(2.1)是带有权指数 $m$ 的 $(m, 1)$ -拟齐次多项式哈密顿系统.首先我们有如下重要的结论.

命题2.1 当且仅当 $ma^2<1$ 时, 系统(2.1的原点是一个中心, 且该中心是全局的.

证 由于系统(2.1)的原点是一个幂零奇点, 因此, 我们将借助幂零奇点定理(见文献[13]第117页的定理3.5)来证明.

记 $A(x, y)=-ay^{m}, B(x, y)=am xy^{m-1}-y^{2m-1}$ .由 $x+A(x, y)=0$ 得 $x=ay^{m}:=f(y)$ .算得 $F(y):=B(f(y), y)=(m a^2-1)y^{2m-1}$ , $G(y):=(A_y+B_x)(f(y), y)=0$ .由幂零奇点定理知系统(2.1)的原点是一个中心或者焦点的充要条件是 $m a^2-1<0$ .

注意到当 $m$ 是奇数时, 系统(2.1)关于原点对称; 当 $m$ 是偶数时, 系统(2.1)关于 $x$ 轴对称, 因此不管何种情形原点都只能是一个中心.最后, 根据文献[11], 任何平面拟齐次多项式系统的中心都是全局的.证毕.

经直接计算得到系统(2.1)的一个首次积分

$ \begin{equation}\label{fi} H(x, y)=mx^2-2maxy^m+y^{2m}=h. \end{equation} $

(2.2)

由命题2.1可以看出, $H(x, y)=h=0$ 和 $H(x, y)=h>0$ 分别对应系统的中心和环绕中心的闭轨线.

现写出扰动项 $\bar{P}$ 和 $\bar{Q}$ 的表达式

$ \begin{eqnarray*} \bar{P}(x, y)= \sum\limits_{i+j=0}^{2m-1}a_{i, j}x^iy^j, \ \ \bar{Q}(x, y)= \sum\limits_{i+j=0}^{2m-1}b_{i, j}x^iy^j. \end{eqnarray*} $

令

$ \begin{eqnarray*} I_{i, j}(h)=\oint_{H=h}x^iy^j{\rm d}x, \ \ J_{i, j}(h)=\oint_{H=h}x^iy^j{\rm d}y, \end{eqnarray*} $

其中沿 $H=h$ 的积分是逆时针方向.从(1.2)式立得

$ \begin{equation}\label{ai2} I(h)=\sum\limits_{i+j=0}^{2m-1}(b_{i, j} I_{i, j}(h)-a_{i, j} J_{i, j}(h)). \end{equation} $

(2.3)

利用格林公式, 有 $ I_{i, 0}(h)\equiv0, \ \ J_{0, j}(h)\equiv 0.$ 而当 $i>0$ 且 $i+j\leq 2m-1$ 时, 通过分部积分可得

$ \begin{equation}\label{IJ} J_{i, j}(h)=-\frac{i}{j+1}I_{i-1, j+1}(h).\end{equation} $

(2.4)

作变换 $x=r^m\tilde{x}, y=r \tilde{y}$ .为方便起见仍用 $x, y$ 代替 $\tilde{x}, \tilde{y}$ , 得

$ \begin{equation}\label{Ii0} I_{i, j}(h)=r^{(i+1)m+j}\oint_{H=r^{-2m}h}x^iy^j{\rm d}x=r^{(i+1)m+j}I_{i, j}(r^{-2m}h).\end{equation} $

(2.5)

取 $r=\sqrt[2m]{h/m}$ , 上式变为

$ \begin{equation}\label{Ii1} I_{i, j}(h)=\alpha_{i, j}(m) I_{i, j}(m)z^{(i+1)m+j}, \end{equation} $

(2.6)

其中 $\alpha_{i, j}(m)=m^{-\frac{(i+1)m+j}{2m}}, z=h^{\frac{1}{2m}}$ .由(2.3), (2.4)及(2.6)式推出

$ \begin{equation}\label{ai3} I(h)=\sum\limits_{i+j=0}^{2m-1}c_{i, j}(m)I_{i, j}(m)z^{(i+1)m+j}, \end{equation} $

(2.7)

这里

$ \begin{equation}\label{ij} c_{i, j}(m)=\left\{\begin{array}{ll} \bigg(b_{i, j}+\frac{i+1}{j} a_{i+1, j-1}\bigg)\alpha_{i, j}(m),&{j\geq1, } \\ 0,&{ j=0 .} \end{array} \right. \end{equation} $

(2.8)

为了证明定理1.3, 我们首先需要证明如下命题.

命题2.2 (ⅰ) 若 $m$ 为奇数, 则 $I_{i, j}(m)\neq 0$ 当且仅当 $i+j$ 是奇数且 $j>0$ ;

(ⅱ) 若 $m$ 为偶数, 则 $I_{i, j}(m)\neq 0$ 当且仅当 $j$ 是奇数.

证 令 $D=\{(x, y)| H(x, y)<m\}$ ,

$ D_1=D\cap\{(x, y)| x>0, y>0\}, \ D_2=D\cap\{(x, y)| x<0, y>0\}, \\ D_3=D\cap\{(x, y)| x<0, y<0\}, \ D_4=D\cap\{(x, y)| x>0, y<0\}. $

根据格林定理, 有

$ \begin{equation}\label{IGf} I_{i, j}(m)=-j\iint_Dx^iy^{j-1}{\rm d}\sigma=-j\sum\limits_{k=1}^4\iint_{D_k}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma. \end{equation} $

(2.9)

因此, 当 $i$ 为偶数而 $j$ 为奇数时必有 $I_{i, j}(m)<0$ .下面分两种情况来讨论余下情况.

情形1   $m$ 是奇数.此时闭曲线 $H=m$ 和区域 $D$ 均关于原点对称.这意味着

$ \begin{equation}\label{intonD1D21}\iint_{D}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma=(1+(-1)^{i+j-1})\iint_{D_1\cup D_2}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma.\end{equation} $

(2.10)

显然, 当 $i+j$ 为偶数时 $\iint_Dx^iy^{j-1}{\rm d}\sigma=0$ , 从而 $I_{i, j}(m)=0$ .

断言, 若 $i+j$ 为奇数且 $j>0$ , 则 $I_{i, j}(m)\neq 0$ .

事实上, 当 $a=0$ 时, 根据(2.10)式以及 $H(x, y)=h$ 关于两条坐标轴都对称进一步得知

$ \begin{eqnarray*}\iint_{D}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma=2(1+(-1)^{i+j-1})\iint_{D_1}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma.\end{eqnarray*} $

此时断言为真.

不失一般性, 下面假定 $a>0$ ( $a<0$ 的情形完全相似).倘若 $i$ 是偶数而 $j$ 是奇数时, 由(2.9)式已得 $I_{i, j}(m)<0$ .故以下设 $i$ 是奇数而 $j$ 是偶数.

曲线 $\Gamma^+:=\{(x, y)|H(x, y)=m, y\geq 0\}$ (即半条周期轨)从点 $A(1, 0)$ 开始, 按逆时针方向相继与曲线 $y^m-\max=0$ 交于点 $B$ , 与曲线 $ay^m-x=0$ 交于点 $C$ , 与 $y$ 轴正半轴交于点 $D(0, \sqrt[2m]{m})$ , 最后到达 $x$ 轴负半轴上的点 $E(-1, 0)$ (如图 1所示).

由(2.1)式可知:

(a) $B$ 点为 $\Gamma^+$ 上横坐标最大的点. $\Gamma^+$ 在 $A\to B$ 段横坐标严格单调递增, 在 $B\to C\to D\to E$ 段横坐标严格单调递减.

(b) $C$ 点为 $\Gamma^+$ 上纵坐标最大的点. $\Gamma^+$ 在 $A\to B\to C$ 段纵坐标严格单调递增, 在 $C\to D\to E$ 段纵坐标严格单调递减.

设 $\Gamma_2$ 是 $\Gamma^+$ 上从点 $D$ 到 $E$ 的部分.令

$ \tilde{\Gamma}_2=\{(x, y)|(-x, y)\in \Gamma_2\}, $

即 $\tilde{\Gamma}_2$ 与 $\Gamma_2$ 关于 $y$ 轴对称.设 $D_2$ 是由 $\Gamma_2$ , 线段 $EO$ 和 $OD$ 围成的区域(如图 1所示), $\tilde{D}_2=\{(x, y)|(-x, y)\in D_2\}$ 是由 $\tilde{\Gamma}_2$ , 线段 $OA$ 和 $OD$ 围成的区域.再令

$ D_r=\{(x, y)|(x, y)\in D_1, x>1\}. $

根据上述性质(a)不难看出int $D_r\neq \emptyset$ .此外, $\tilde{D}_2\subset D_1\setminus D_r$ .事实上, 设 $\tilde{G}(x, \tilde{y})$ 是 $\tilde{\Gamma}_2$ 上任意一点, 而 $G(x, y)$ 是 $\Gamma^+$ 上与 $\tilde{G}$ 具有相同横坐标的点.由 $H(-x, \tilde{y})=H(x, y)=m$ 立得 $y^m-\tilde{y}^m=2amx>0$ .故 $G$ 在 $\tilde{G}$ 上方.因为 $\tilde{G}$ 是任意的, 所以 $\tilde{\Gamma}_2$ 位于 $\Gamma^+|_{0\leq x\leq 1}$ 的下方, 于是 $\tilde{D}_2\subset D_1\setminus D_r$ .

注意到 $i$ 为奇数 $j$ 为偶数, 所以

$ \begin{eqnarray*} \iint_{D_2\cup \tilde{D}_2}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma=0. \end{eqnarray*} $

再根据(2.10)式便得

$ I_{i, j}(m)=-2j\iint_{D_1\cup D_2}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma=-2j\iint_{D_1\setminus\tilde{D}_2}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma\leq -2j\iint_{D_r}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma<0. $

这就证明了结论(ⅰ).

情形2   $m$ 是偶数.此时闭曲线 $H=m$ 和区域 $D$ 均关于 $x$ 轴对称.当 $j>0$ 时, 作变换 $x\to x, y\to -y$ , 得

$ \iint_{D_4}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma=(-1)^{j-1}\iint_{D_1}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma, \ \iint_{D_3}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma=(-1)^{j-1}\iint_{D_2}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma. $

显然, 当 $j$ 是偶数时

$ \iint_Dx^iy^{j-1}{\rm d}\sigma=0, $

从而 $I_{i, j}(m)=0$ .

当 $j$ 为奇数时

$ I_{i, j}(m)=-2j\iint_{D_1\cup D_2}x^iy^{j-1}{\rm d}\sigma. $

类似于情形1, 可证得 $I_{i, j}(m)\neq 0$ .故结论(ⅱ)成立.

有了以上准备工作, 下面可以证明定理1.3了.

定理1.3的证明 由命题2.1知, 当 $m a^2<1$ 时, 原点是系统(1.8)的一个全局中心.

令 $M_m=\{(i, j)\in {\Bbb Z}^2: 0\leq i+j\leq 2m-1, j+\frac{1-(-1)^m}{2}i \ \mbox{是奇数且} j>0\}$ 和 $N_m=\{(i+1)m+j: (i, j)\in M_m\}$ .由命题2.2知, 当且仅当 $(i, j)\in M_m$ 时, $I_{i, j}(m)\neq 0$ .因此, 根据(2.7)式得

$ \begin{equation}\label{ai5} \bar{I}(z):=I(z^{2m})=\sum\limits_{(i, j)\in M_m}c_{i, j}(m)I_{i, j}(m)z^{(i+1)m+j}=\sum\limits_{(i, j)\in M_m}c_{i, j}(m)I_{i, j}(m)\bar{I}_{i, j}(z), \end{equation} $

(2.11)

其中 $\bar{I}_{i, j}(z)=z^{(i+1)m+j}$ .

从(2.8)式不难看出, 存在多项式 $\bar{P}$ 和 $\bar{Q}$ , 使得所有 $c_{i, j}(m)$ 可以取到任意事先给定的值.因此, $N_m$ 的势(即元素个数)就是集合 $\{\bar{I}_{i, j}(z)\}$ 中非零单项式的个数的最小上界.如常, 用 $\# I$ 表示函数 $I$ 在 $(0, \infty)$ 的孤立零点的最大个数.由Descartes定理(见文献[6]或文献[7]), $\# I=\# N_m-1$ .

首先考虑 $m$ 是偶数时 $N_m$ 的势.令 $j=2k-1$ , $k=1, 2, 3, \cdots, m$ .对任一给定的 $k$ , 让 $i$ 取 $0$ 到 $2m-2k$ 之间的任何整数.按这种方式可得到

$ \# M_m=\sum\limits_{k=1}^{m}(2m-2k+1)=m^2. $

由于存在 $(i_1, j_1), (i_2, j_2)\in M_m$ 使得

$ \begin{equation}\label{ijn1}(i_1+1)m+j_1=(i_2+1)m+j_2, \ i_1>i_2, \end{equation} $

(2.12)

所以 $\# M_m>\# N_m$ .注意到当(2.12)式成立时必有

$ \begin{equation}\label{ijn2}i_1=i_2+1, j_2=j_1+m, \ \mbox{其中}\ 0\leq i_1+j_1\leq m, i_1\geq 1\ \mbox{且} \ j_1\leq m-1.\end{equation} $

(2.13)

这意味着, 要确定 $N_m$ 的势, 必须找出有多少对满足(2.13)式的 $\{(i_1, j_1), (i_2, j_2)\}$ .

对任意 $j_1=2k-1$ , 其中 $k\in \{1, 2, \cdots, m/2\}$ , $i_1$ 可取遍 $1$ 到 $m-2k+1$ 的任何整数.所以满足(2.13)式的 $\{(i_1, j_1), (i_2, j_2)\}$ 共有

$ \sum\limits_{k=1}^{m/2}(m-2k+1)=\frac{m^2}{4} $

对.于是 $\# I=\# M_m-\frac{m^2}{4}-1=\frac{3m^2-4}{4}$ .

下面考虑 $m$ 是奇数时 $N_m$ 的势.跟前面一样, 首先讨论 $M_m$ 的势.令 $i+j=2k-1, k\in \{1, 2, \cdots, m\}$ .易见对每个 $k$ , 使 $i+j=2k-1$ 成立的 $(i, j)$ 都有 $2k-1$ 种不同的选择.故

$ \# M_m=\sum\limits_{k=1}^{m}(2k-1)=m^2. $

假设 $(i_1, j_1), (i_2, j_2)\in M_m$ 且 $i_1>i_2$ 使(2.12)式(从而(2.13)式)成立.对每个 $i_1=2k-1$ , 其中 $k\in \{1, 2, \cdots, \frac{m-1}{2}\}, $ $j_1$ 可取到 $2$ 至 $m-2k+1$ 的任何偶数.且对每个 $i_1=2k$ , 其中 $k\in \{1, 2, \cdots, \frac{m-1}{2}\}, $ $j_1$ 可取到 $1$ 至 $m-2k$ 的任何奇数.所以, 满足(2.13)式的 $\{(i_1, j_1), (i_2, j_2)\}$ 共有

$ \sum\limits_{k=1}^{(m-1)/2}\frac{m-2k+1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{(m-1)/2}\frac{m-2k+1}{2}=\frac{m^2-1}{4} $

对.于是, $\# I=\# M_m-\frac{m^2-1}{4}-1=\frac{3m^2-3}{4}$ .

最后, 代回 $n=2m-1$ , 综合以上两种情形便得 $\# I=3(n+3)(n-1)/16$ (当 $(n+1)/2$ 是奇数)或 $\# I=(3n^2+6n-13)/16$ (当 $(n+1)/2$ 是偶数).证毕.

定理1.4的证明 根据文献[14, 定理2.3], 任何具有权指数 $d$ 的 $(d, 1)$ -(或 $(1, d)$ -)拟齐次多项式微分系统, 只要以原点为中心, 则可经过线性变换化为系统

$ \begin{equation}\label{xiong1} \dot{x}=y^{d-1}(\tilde{a}x+by^d), \quad\ \dot{y}=x+y^d. \end{equation} $

(2.14)

其中, 当 $d$ 是偶数时 $(\tilde{a}-d)^2+4bd<0$ ; 当 $d$ 是奇数时 $b<\tilde{a}=-d$ .

若系统(2.14)为哈密顿系统, 则

$ \frac{\partial}{\partial x}(y^{d-1}(\tilde{a}x+by^d))+\frac{\partial}{\partial y}(x+y^d)=0, $

从而 $\tilde{a}=-d$ .作变换 $X=-\alpha x, T=-t/\alpha$ (其中 $\alpha$ 为非零常数), 系统(2.14) (注意 $\tilde{a}=-d$ )化为

$ \begin{equation}\label{xiong2} \frac{{\rm d}X}{{\rm d}T}= \alpha {\rm d}Xy^{d-1}+\alpha^2by^{2d-1}, \quad\ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}T}=X-\alpha y^d. \end{equation} $

(2.15)

注意到 $b<0$ , 取 $ \alpha=\pm \sqrt{-1/b}$ 作为自由参数, 便得到系统(1.8) (此时 $d=(n+1)/2$ ).

总而言之, 任何具有权指数 $\frac{n+1}{2}$ 的 $(\frac{n+1}{2}, 1)$ -(或 $(1, \frac{n+1}{2})$ -)的拟齐次哈密顿系统, 均可经过线性变换化为系统(1.8).于是, 由定理1.3立即得到本定理的结论.证毕.