众所周知两种常见的梁模型分别是 Euler-Bernulli 梁和 Timoshenko 梁. 当梁的横截面维数与梁的长度相比而言较小时,即横截面维数可以忽略不计时,最常用的模型是 Euler-Bernulli 梁^[1-4]. 然而,当由剪切力引起的旋转惯性和偏转都被考虑时,Timoshenko 梁^[5],作为一个精确的模型,它是 Euler-Bernulli 梁的一种改进. 正如在文献[6]所述,在预测梁的响应方面 Timoshenko 梁可能是优于 Euler-Bernulli 梁,但是对于 Timoshenko 梁来讲,由于它的高阶,控制器的设计问题是比较困难的^[7]. 因此,在近几十年,Timoshenko 梁系统引起了相当大的关注. 对于这个系统,最重要和最具有挑战性的问题是如何设计反馈控制器使得系统稳定. 在该梁模型的稳定性分析方面存在许多重要的成果(参见文献[8-12]). 不过,上述所涉及的成果都是基于理想的环境没有来自内部(结构或参数)或外部(扰动)的不确定性. 当 Timoshenko 梁受到来自边界或空间域内部的未知的外部扰动时,现存的控制器可能失效. 也就是说在某种程度上控制器对额外的扰动没有鲁棒性. 然而,扰动是一种普遍的现象,几乎存在每个工程实践中,因此必须考虑额外扰动对系统的负面影响,必须重新设计恰当的反馈控制器来抑制额外扰动的影响.

近几年,抗干扰问题已经成为现代控制理论领域最感兴趣的研究课题之一. 为了处理不确定性,许多控制方法已经被提出,例如自适应控制^[12-14],Lyapunov 方法^[15-16],滑模控制 (SMC)和自抗扰控制 (ADRC)^[17-19]. 在上述方法中,滑模控制被视为有限维系统中抑制额外扰动最流行的一种控制方法^[20]. 在最近的研究中,滑模控制已经被顺利地拓展到无穷维系统中^[21-23]. 关于这方面的研究存在许多优秀的工作,比如: 文献 [24]中 Cheng 等通过设计边界滑模控制器研究了一个带有参数变化和边界不确定性的抛物型 PDE 系统; 文献[25]中 Pisano 等考虑了带有分布扰动的波方程的追踪控制问题,利用二阶滑模控制的技巧证明了闭环系统是渐近稳定的. 然而,当滑模控制被应用到无穷维线性系统中,由于不连续的非线性项导致闭环系统是一个非线性系统,闭环系统的适定性和稳定性分析称为主要的困难. 因此,当我们设计反馈控制器时,我们必须考虑这两个挑战性的问题: 闭环系统的可解性和稳定性.

在这篇文章中,我们将考虑带有未知的分布扰动的 Timoshenko 梁系统,给出其动力学方程为

$\label{TB-G-D-equ} \left\{ \begin{array}{l} \rho w_{tt}(x,t)-K[w_{xx}(x,t)-\varphi _x(x,t)]=u_1(x,t)+r_1(x,t),\; x\in(0,1),\; t> 0,\\ I_{\rho}\varphi _{tt}(x,t)-E\!I\varphi _{xx}(x,t)-K[w_x(x,t)-\varphi (x,t)]=u_2(x,t)+r_2(x,t),\;x\in(0,1),t> 0,\\ K[w_x(1,t)-\varphi (1,t)]=0,\; t> 0,\\ E\!I\varphi _x(1,t)=0,\; t> 0,\\ w(0,t)=\varphi (0,t)=0,\; t> 0,\\ w(x,0)=w_0(x),\; w_t(x,0)=w_1(x),\; \varphi (x,0)=\varphi _0(x),\; \varphi _t(x,0)=\varphi _1(x),\\y(t) = (w_{t}(1,t),\varphi _{t}(1,t)). \end{array} \right.$

(1.1)

此处,$t$ 和 $x$ 分别是独立的时间和空间变量. $w(x,t)$ 是在 $t$ 时刻 $x$ 处梁的横向位移,$\varphi (x,t)$ 是在 $t$ 时刻 $x$ 处梁的旋转角. $\rho,I_{\rho},E\!I,K$ 分别是弹性梁的质量密度,质量惯性矩,刚性系数和剪切模量. $u_1(x,t)$ 和 $u_2(x,t)$ 是分布控制,$r_1(x,t)$ 和 $r_{2}(x,t)$ 是沿着 Timoshenko 梁的未知的时空变化的分布扰动,简称他们为"分布扰动" 或者"内部扰动". 通常情况下,未知的分布扰动具有有限的能量,也就是说存在一个常数 $M\in {\Bbb R}^{+}$,使得 $\sup\limits_{t>0}|r_{i}(x,t)|\leq M$. 关于他们更精确的物理意义,可以参考 Timoshenko 的书^[5]. 本文我们将用缩写 $w_{t}$(或 $\dot{w}$ )代表 $w$ 关于时间 $t$ 的导数,$w_x$ (或 $w'$ )代表 $w$ 关于位移 $x$ 的导数.

众所周知,当系统 (1.1) 不存在扰动时,即 $r_1(x,t)=r_2(x,t)\equiv 0$. Shi 和 Feng 在文献[27]中用频率域乘子方法研究了系统 (1.1),并且证明了该系统可以通过下面的局部分布反馈控制律达到指数稳定

$u_1(x,t)=-\rho(x) b_{1}(x) w_t(x,t) \mbox{ 和 } u_2(x,t)=-I_{\rho}(x) b_{2}(x)\varphi _t(x,t).$

(1.2)

当系统 (1.1) 存在扰动时,控制器对于额外的扰动没有鲁棒性需要重新设计控制器.

首先我们介绍下面两个辅助变量

$\left\{ \begin{array}{ll} w_{\alpha }(x,t)=w_{t}(x,t)+\alpha w(x,t),\\ \varphi _{\beta}(x,t)=\varphi _{t}(x,t)+\beta\varphi (x,t). \end{array} \right.$

(1.3)

定义 $\|w_{\alpha }(x,t)\|_{2}=(\int_{0}^{1}w_{\alpha }^{2}(x,t){\rm d}x)^{\frac{1}{2}}$ 和 $\|\varphi _{\beta}(x,t)\|_{2}=(\int_{0}^{1}\varphi _{\beta}^{2}(x,t){\rm d}x)^{\frac{1}{2}}$. 通过分析系统的能量,我们设计了下面的分布反馈控制器

$\left\{ \begin{array}{ll} u_1(x,t)=-2\rho\alpha w_t(x,t)-\rho\alpha ^2 w(x,t)-M_1S_{f}(w_{\alpha }(x,t)),\\ u_2(x,t)=-2I_{\rho}\beta \varphi _t(x,t)-I_{\rho}\beta^2\varphi (x,t)-M_2S_{f}(\varphi _{\beta}(x,t)) ,\end{array} \right.$

(1.4)

其中 $\alpha ,\beta>0$ 是控制参数且 $\alpha >\beta$; $M_{i}=\sup\limits_{t>0}\{|r_{i}(x,t)|\}\geq0,\ i=1,2$.

在控制器 (1.4) 下,系统 (1.1) 的闭环系统是

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \rho {{w}_{tt}}(x,t)-K[{{w}_{xx}}(x,t)-{{\varphi }_{x}}(x,t)]=-2\rho \alpha {{w}_{t}}(x,t)-\rho {{\alpha }^{2}}w(x,t) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~-{{M}_{1}}{{S}_{f}}({{w}_{\alpha }}(x,t))+{{r}_{1}}(x,t),\ x\in (0,1),\ t>0, \\ {{I}_{\rho }}{{\varphi }_{tt}}(x,t)-EI{{\varphi }_{xx}}(x,t)-K[{{w}_{x}}(x,t)-\varphi (x,t)]=-2{{I}_{\rho }}\beta {{\varphi }_{t}}(x,t)-{{I}_{\rho }}{{\beta }^{2}}\varphi (x,t) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~-{{M}_{2}}{{S}_{f}}({{\varphi }_{\beta }}(x,t)+{{r}_{2}}(x,t),\ x\in (0,1),t>0, \\ K[{{w}_{x}}(1,t)-\varphi (1,t)]=0,\ t>0, \\ EI{{\varphi }_{x}}(1,t)=0,\ t>0, \\ w(0,t)=\varphi (0,t)=0,\ t>0, \\ w(x,0)={{w}_{0}}(x),\ {{w}_{t}}(x,0)={{w}_{1}}(x),\ \varphi (x,0)={{\varphi }_{0}}(x),\ {{\varphi }_{t}}(x,0)={{\varphi }_{1}}(x).% \\ y(t)=({{w}_{t}}(1,t),{{\varphi }_{t}}(1,t)). \\ \end{array} \right.$

(1.5)

注意,由于下面的非线性项,闭环系统 (2.1) 是一个非线性系统

$S_{f}(w_{\alpha }(x,t))=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{w_{\alpha }(x,t)}{\|w_{\alpha }(x,t)\|},& \hbox{当} w_{\alpha }(x,t)\neq 0,\\[2mm] \left[-1,1\right] ,& \hbox{当} w_{\alpha }(x,t)= 0.\\ \end{array} \right.$

(1.6)

$S_{f}(\varphi _{\beta}(x,t))=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\varphi _{\beta}(x,t)}{\|\varphi _{\beta}(x,t)\|},& \hbox{当} \varphi _{\beta}(x,t)\neq 0,\\[2mm] \left[-1,1\right],& \hbox{当} \varphi _{\beta}(x,t)=0.\\ \end{array} \right.$

(1.7)

显然,所设计的控制器 (1.4) 包含两部分,前两项使得系统 (1.1) 在没有扰动的影响下是指数稳定的,第三项用来抑制额外扰动的影响. 特别地,值得强调的是第三项在所设计的控制器中的重要性,它不仅包含速度项也包含位移项. 由于不连续项的存在,闭环系统 (2.1) 的解的存在唯一性成为主要的障碍. 我们应用非线性极大单调算子理论和变分原理证明闭环系统 (2.1) 的适定性. 而且,由于系统包含扰动项,使得受控系统是一个非自治系统. 因此,闭环系统 (2.1) 的稳定性分析成为另一个难点. 我们利用乘子方法、构造合适的 Lyapunov 函数证明闭环系统的指数稳定性.

本文的结构安排如下,第二节利用所提出的分布反馈控制器证明了闭环系统的适定性. 第三节利用 Lyapunov 方法证明了受控系统是指数稳定的.

本节主要讨论闭环系统 (2.1) 的适定性. 为了读者方便,我们将系统 (2.1) 重新写为

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \rho {{w}_{tt}}(x,t)-K[{{w}_{xx}}(x,t)-{{\varphi }_{x}}(x,t)]=-2\rho \alpha {{w}_{t}}(x,t)-\rho {{\alpha }^{2}}w(x,t) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~-{{M}_{1}}{{S}_{f}}({{w}_{\alpha }}(x,t))+{{r}_{1}}(x,t),\ x\in (0,1),\ t>0, \\ {{I}_{\rho }}{{\varphi }_{tt}}(x,t)-EI{{\varphi }_{xx}}(x,t)-K[{{w}_{x}}(x,t)-\varphi (x,t)]=-2{{I}_{\rho }}\beta {{\varphi }_{t}}(x,t)-{{I}_{\rho }}{{\beta }^{2}}\varphi (x,t) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~-{{M}_{2}}{{S}_{f}}({{\varphi }_{\beta }}(x,t))+{{r}_{2}}(x,t),\ x\in (0,1),t>0, \\ K[{{w}_{x}}(1,t)-\varphi (1,t)]=0,\ t>0, \\ EI{{\varphi }_{x}}(1,t)=0,\ t>0, \\ w(0,t)=\varphi (0,t)=0,\ t>0, \\ w(x,0)={{w}_{0}}(x),\ {{w}_{t}}(x,0)={{w}_{1}}(x),\ \varphi (x,0)={{\varphi }_{0}}(x),\ {{\varphi }_{t}}(x,0)={{\varphi }_{1}}(x).% \\ y(t)=({{w}_{t}}(1,t),{{\varphi }_{t}}(1,t)). \\ \end{array} \right.$

(2.1)

注2.1 由于函数 $S_{f}(\cdot)$ 是一个集值函数,(2.1) 式的前两个方程将被表述成下面微分包含的形式

$% to remove numbering (before each equation) \left\{ \begin{array}{ll} \rho w_{tt}(x,t)-K[w_{xx}(x,t)-\varphi _x(x,t)]+2\rho\alpha w_t(x,t)+\rho\alpha ^2 w(x,t)-r_1(x,t) \\[2mm] ~~~~~~~~~~~~~~~+M_1\frac{w_t(x,t)+\alpha w(x,t)}{\|w_t(x,t)+\alpha w(x,t)\|}\ni 0,\; x\in(0,1),\; t> 0,\\ [2mm] I_{\rho}\varphi _{tt}(x,t)-E\!I\varphi _{xx}(x,t)-K[w_x(x,t)-\varphi (x,t)]+2I_{\rho}\beta \varphi _t(x,t)+I_{\rho}\beta^2 \varphi (x,t)-r_2(x,t) \\[2mm] ~~~~~~~~~~~~~~ +M_2\frac{\varphi _t(x,t)+\beta\varphi (x,t)}{\|\varphi _t(x,t)+\beta\varphi (x,t)\|}\ni 0,\;x\in(0,1),\; t> 0. \end{array} \right.$

但是,由于函数 (1.6) (或 (1.7)) 仅仅在原点处的取值在集合 [-1, 1]中,在接下来的分析中,为了方便 ,我们仍然写成 (2.1)式的形式.

为了下面可解性分析,接下来我们回顾一些关于极大单调算子的概念和引理.

定义2.1 $^{\mbox{[28,定义 2.1]}}$ 令 ${\Bbb X}$ 是一个实的 Banach 空间,${\Bbb X}^{*}$ 是 ${\Bbb X}$ 的对偶空间. 集合 $A\subset {\Bbb X}\times {\Bbb X}^{*}$(等价地,算子 $A: {\Bbb X}\rightarrow {\Bbb X}^{*}$) 被称为单调的,如果

$ (x_1-x_2,y_1-y_2)\geq 0,\forall [x_{i},y_{i}]\in A,~i=1,2. $

一个单调算子 $A$ 称为极大单调的,如果它不真包含在 ${\Bbb X}\times {\Bbb X}^{*}$ 的任意的单调子集中.

引理2.1 $^{\mbox{[28,定理 2.2]}}$ 令 ${\Bbb X}$ 是一个实的 Hilbert 空间,$A$ 是 ${\Bbb X}\times {\Bbb X}$ 的一个单调子集. 那么,$A$ 是极大单调的当且仅当对于任意的 $\lambda>0$ (等价地,对于某些 $\lambda>0$),$R(\lambda I+A)={\Bbb X}$.

引理2.2 $^{\mbox{[28,推论 4.1]}}$ 令 ${\Bbb X}$ 是一个实的 Hilbert 空间,$A\subset{\Bbb X}\times {\Bbb X}$ 是一个极大单调算子. 考虑下面的柯西问题

$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}(t)+Ay(t)\ni f(t),& t\in (0,T),\\[2mm] y(0)=y_{0},\end{array} \right.$

(2.2)

其中 $y_{0}\in {\Bbb X}$ 和 $f\in L^{1}(0,T;{\Bbb X})$. 那么,对每个 $y_{0}\in\overline{D(A)}$ 和 $f\in L^{1}(0,T,{\Bbb X})$,柯西问题 (2.2) 存在一个唯一的温和解.

为了应用极大单调算子理论证明闭环系统 (2.1) 的适定性,我们选择下面的状态空间

${\cal H}=H_{E}^1(0,1)\times L_\rho^2(0,1)\times H_{E}^1(0,1)\times L_{I_\rho}^2(0,1),$

(2.3)

其中 $H_E^k(0,1)=\{f \in H^k(0,1)|f(0)=0\}$,$H^k(0,1)$ 是通常的 $k $ $(k=1,2)$ 阶 Sobolev 空间. 令 $Y_1=(w_1,z_1,\varphi _1,\psi_1)^\top,Y_2=(w_2,z_2,\varphi _2,\psi_2)^\top\in {\cal H}$,其中上标 "$\top$" 表示矩阵或向量的转置. 在状态空间 ${\cal H}$ 中,定义内积

$\langle Y_1,Y_2\rangle_{{\cal H}} =\int_0^1 K[\varphi _1(x)-w_1'(x)][\varphi _2(x)-w_2'(x)] {\rm d}x +\int_0^1 E\!I\varphi _1'(x) \varphi _2'(x) {\rm d}x \\ +\int_0^1\rho z_1(x)z_2(x){\rm d}x+\int_0^1 I_\rho\psi_1(x)\psi_2(x){\rm d}x. %\\ %+\alpha \int_0^1w_1(x)w_2(x){\rm d}x+\beta\int_0^1\varphi _1(x)\varphi _2(x){\rm d}x.$

(2.4)

显然,空间 ${\cal H}$ 是一个具有下列范数的 Hilbert 空间

$\|(w,z,\varphi ,\psi)^{\top}\|_{{\cal H}}^2=\int_0^1K|\varphi (x)-w'(x)|^2{\rm d}x +\int_0^1E\!I|\varphi '(x)|^2{\rm d}x \\ +\int_0^1\rho |z(x)|^2{\rm d}x+\int_0^1I_{\rho} |\psi(x)|^2{\rm d}x.%+\alpha \int_0^1|w(x)|^2{\rm d}x+\beta\int_0^1|\varphi (x)|^2{\rm d}x. %+\int_0^1\alpha w^2(x,t){\rm d}x+\int_0^1\beta \varphi ^2(x,t){\rm d}x.$

(2.5)

在 Hilbert 空间 ${\cal H}$ 中定义一个非线性算子 ${\cal A}$ 如下

${\cal A} \left(\begin{array}{c} w \\ z \\ \varphi \\ \psi\\ \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} z-\alpha w\\[2mm] \frac{K}{\rho}(w_{xx}-\varphi _x)-\alpha z-\frac{M_1}{\rho}\frac{z}{\|z\|}\\[2mm] \psi-\beta \varphi \\[2mm] \frac{E\!I}{I_\rho}\varphi _{xx}+\frac{K}{I_\rho}(w_x-\varphi )-\beta\psi-\frac{M_2}{I_{\rho}}\frac{\psi}{\|\psi\|}\\ \end{array}\right),$

(2.6)

其定义域

$D({\cal A})=\left\{ (w,z,\varphi ,\psi)^{\top}\in {\cal H}\left| \begin{array}{l} w,\varphi \in H^2_E(0,1),z,\psi\in H^1_E(0,1)\\ K(w'(1)-\varphi (1))=0,\\ E\!I\varphi '(1)=0. \end{array} \right.\right\}.$

(2.7)

那么,闭环系统 (2.1) 可以写成空间 ${\cal H}$ 中的一个非线性发展方程

$\left\{ \begin{array}{ll} \dot{Y}(t)={\cal A}Y(t)+f(t),t>0,\\ Y(0)=Y_0(t),\end{array} \right.$

(2.8)

其中 $Y(t)=(w(\cdot,t),\dot{w}(\cdot,t)+\alpha w(\cdot,t),\varphi (\cdot,t),\dot{\varphi }(\cdot,t)+\beta\varphi (\cdot,t))^\top$,$f(t)=(0,r_1(.,t),0,r_2(.,t),0)^\top$ 和 $Y_0=(w_0(x),w_1(x)+\alpha w_0(x),\varphi _0(x),\varphi _1(x)+\beta\varphi _0(x))^\top$.

由 (2.6) 和 (2.7)式所定义的算子 ${\cal A}$ 满足下面的性质.

命题2.1 令空间 ${\cal H}$ 和算子 ${\cal A}$ 分别由 (2.3) 和 (2.6) 式定义. 那么 $-{\cal A}$ 是一个极大单调算子.

证 接下来,命题 2.1 的证明需要分为两步. 而且在下面的分析中需要不等式

$a^2+ b^2\ge 2|ab|,\; \forall a,b\in {\Bbb R}.$

(2.9)

Step 1 算子 ${\cal A}$ 的单调性.

对任意的 $Y_1,Y_2 \in D({\cal A})$,通过分部积分,由此得到

$\langle{\cal A}Y_1-{\cal A}Y_2,Y_1-Y_2\rangle_{{\cal H}} \\= \int_0^1\Big\{K[(w_1"(x)-w_2"(x)-(\varphi _1'(x)-\varphi _2'(x))]-\rho\alpha (z_1(x)-z_2(x)) \\ -M_1(\frac{z_1(x)}{\|z_1(x)\|}-\frac{z_2(x)}{\|z_2(x)\|})\Big\}(z_1(x)-z_2(x)){\rm d}x \\ +\int_0^1\Big\{EI(\varphi _1"(x)-\varphi _2"(x))+K[(w_1'(x)-w_2'(x))-(\varphi _1(x)-\varphi _2(x))] \\ -I_{\rho}\beta(\psi_1(x)-\psi_2(x)) -M_2(\frac{\psi_1(x)}{\|\psi_1(x)\|}-\frac{\psi_2(x)}{\|\psi_2(x)\|})\Big\}(\psi_1(x)-\psi_2(x)){\rm d}x \\ +K\int_0^1[(z_1'(x)-z_2'(x))-\alpha (w_1'(x)-w_2'(x))][(w_1'(x)-w_2'(x))-(\varphi _1(x)-\varphi _2(x))]{\rm d}x \\ -K\int_0^1[(\psi_1(x)-\psi_2(x))-\beta(\varphi _1(x)-\varphi _2(x))][(w_1'(x)-w_2'(x))-(\varphi _1(x)-\varphi _2(x))]{\rm d}x \\ +EI\int_0^1[(\psi_1'(x)-\psi_2'(x))-\beta(\varphi _1' (x)-\varphi _2'(x))](\varphi _1'(x)-\varphi _2'(x)){\rm d}x \\ \leq -\alpha \rho \int_0^1(z_1(x)-z_2(x))^2{\rm d}x -\beta I_{\rho}\int_0^1(\psi_1(x)-\psi_2(x))^2{\rm d}x \\ -\alpha K\int_0^1[(w_1'(x)-w_2'(x))-(\varphi _1(x)-\varphi _2(x))]^2{\rm d}x-\beta EI\int_0^1(\varphi _1'(x)-\varphi _2'(x))^2{\rm d}x \\ %-\alpha ^2\int_0^1(w_1(x)-w_2(x))^2{\rm d}x-\beta^2\int_0^1(\varphi _1(x)-\varphi _2(x))^2{\rm d}x %\\ -M_1\int_0^1\left[\frac{z_1(x)}{\|z_1(x)\|}-\frac{z_2(x)}{\|z_2(x)\|}\right](z_1(x)-z_2(x)){\rm d}x \\ -M_2\int_0^1\left[\frac{\psi_1(x)}{\|\psi_1(x)\|}-\frac{\psi_2(x)}{\|\psi_2(x)\|}\right](\psi_1(x)-\psi_2(x)){\rm d}x.$

(2.10)

现在,我们讨论不等式 $(2.10)$ 最后两项的符号. 如果 $z_1,z_2\neq 0$,应用柯西不等式,那么

$\left[\frac{z_1(x)}{\|z_1(x)\|}-\frac{z_2(x)}{\|z_2(x)\|}\right](z_1(x)-z_2(x))\geq 0. $

如果 $z_1\cdot z_2=0$,那么

$\left[\frac{z_1(x)}{\|z_1(x)\|}-\frac{z_2(x)}{\|z_2(x)\|}\right](z_1(x)-z_2(x))\ge 0.$

利用同样的方法,可以得到 $\left[\frac{\psi_1(x)}{\|\psi_1(x)\|}-\frac{\psi_2(x)}{\|\psi_2(x)\|}\right](\psi_1(x)-\psi_2(x))\ge 0$. 因此,(2.10) 式表明下面的不等式成立

$ \langle{\cal A}Y_1-{\cal A}Y_2,Y_1-Y_2\rangle_{{\cal H}}\le 0,$

该不等式表明 $-{\cal A}$ 是一个单调算子.

Step 2 极大性.

根据引理 2.1,仅仅需要证明 $R(I-{\cal A})={\cal H}$. 对于 $\forall (f,g,h,q )^\top\in {\cal H}$,存在一个 $(w,z,\varphi ,\psi)^{\top}\in D({\cal A})$,考虑下面的方程

$ (I-{\cal A})(w,z,\varphi ,\psi)^\top=(f,g,h,q)^\top,$

即

$\left\{ \begin{array}{l} w(x)-(z(x)-\alpha w(x))=f(x),\\[2mm] z(x)-\frac{K}{\rho}(w_{xx}(x)-\varphi _x(x))+\alpha z+\frac{M_1}{\rho}\frac{z(x)}{\|z(x)\|}=g(x),\\[2mm] \varphi (x)-(\psi(x)-\beta \varphi (x))=h(x),\\[2mm] \psi(x)-\frac{EI}{I_{\rho}}\varphi _{xx}(x)-\frac{K}{I_{\rho}}(w_x(x)-\varphi (x))+\beta\psi +\frac{M_2}{I_{\rho}}\frac{\psi(x)}{\|\psi(x)\|}=q(x). \end{array} \right.$

(2.11)

因此

$\left\{ \begin{array}{l} z(x)=(1+\alpha )w(x)-f(x),\\ \psi(x)=(1+\beta)\varphi (x)-h(x). \end{array} \right.$

(2.12)

(2.11)式中的第三和第四个等式可以重写为

$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha _0w(x)-K(w_{xx}(x)-\varphi _x(x)) +M_1\frac{(1+\alpha )w(x)-f(x)}{\|(1+\alpha )w(x)-f(x)\|}=\rho(1+\alpha )f(x)+\rho g(x),\\[2mm] \beta_0\varphi (x)-EI\varphi _{xx}(x)-K(w_x(x)-\varphi (x)) \\[2mm] \ +M_2\frac{(1+\beta)\varphi (x)-h(x)}{\|(1+\beta)\varphi (x)-h(x)\|} =I_{\rho}(1+\beta)h(x)+I_{\rho}q(x),\end{array} \right.$

(2.13)

其中 $\alpha _0=\rho(1+\alpha )^2>0$,$\beta_0=I_{\rho}(1+\beta)^2>0$.

注意 $H_E^1(0,1)$ 是一个 Hilbert 空间,内积为

$ \langle v,\phi\rangle_{H_E^1(0,1)} = \int_0^1 v'(x)\phi'(x) {\rm d}x,$

范数

$%_{H_E^1(0,1)} \|\phi\|^2 = \int_0^1 |\phi'(x)|^2 {\rm d}x. $

因此,直积空间 $H_E^1(0,1)\times H_E^1(0,1)$ 也是一个 Hilbert 空间,它的范数定义为

$%_{H_E^1(0,1)\times H_E^1(0,1)} \|(w,\varphi )^{\top}\|^2= \|w\|_{H_E^1(0,1)}^2 +\|\varphi \|_{H_E^1(0,1)}^2. $

因此,对 $\forall v,\phi\in H_E^1(0,1)$,在 (2.13) 式的两边分别乘以 $v$ 和 $\phi$,然后从 $0$ 到 $1$ 积分,得

$% to remove numbering (before each equation) \int_0^1[\rho(1+\alpha )f(x)+\rho g(x)]v(x){\rm d}x+\int_0^1[I_{\rho}(1+\beta)h(x)+I_{\rho}q(x)]\phi(x){\rm d}x \\ =\int_0^1\alpha _0 w(x)v(x){\rm d}x-K\int_0^1(w_{xx}(x)-\varphi _x(x))v(x){\rm d}x \\ + M_1\int_0^1\frac{(1+\alpha )w(x)-f(x)}{\|(1+\alpha )w(x)-f(x)\|}v(x){\rm d}x +\int_0^1\beta_0\varphi (x)\phi(x){\rm d}x-EI\int_0^1\varphi _{xx}(x)\phi(x){\rm d}x \\ -K\int_0^1(w_x(x)-\varphi (x))\phi(x){\rm d}x +M_2\int_0^1\frac{(1+\beta)\varphi (x)-h(x)}{\|(1+\beta)\varphi (x)-h(x)\|}\phi(x){\rm d}x \\ =\int_0^1\alpha _0 w(x)v(x){\rm d}x+\int_0^1\beta_0\varphi (x)\phi(x){\rm d}x \\ +K\int_0^1(w_x(x)-\varphi (x))(v_x(x)-\phi(x)){\rm d}x+EI\int_0^1\varphi _x(x)\phi_x(x){\rm d}x \\ + M_1\int_0^1\frac{(1+\alpha )w(x)-f(x)}{\|(1+\alpha )w(x)-f(x)\|}v(x){\rm d}x +M_2\int_0^1\frac{(1+\beta)\varphi (x)-h(x)}{\|(1+\beta)\varphi (x)-h(x)\|}\phi(x){\rm d}x.$

(2.14)

我们在空间 $H_{E}^1(0,1)\times H_{E}^1(0,1)$ 引入一个泛函

$J(\left(\begin{array}{c} v \\ \phi \\ \end{array}\right))=\frac{1}{2}\int_0^1\alpha _0 v^2(x){\rm d}x +\frac{1}{2}\int_0^1\beta_0\phi^2(x){\rm d}x \\ +\frac{1}{2}K\int_0^1(v_x(x)-\phi(x))^2{\rm d}x+\frac{1}{2}EI\int_0^1\phi_x^2(x){\rm d}x \\ +\frac{ M_1}{1+\alpha }\|(1+\alpha )v(x)-f(x)\|+\frac{M_2}{1+\beta}\|(1+\beta)\phi(x)-h(x)\| \\ -\int_0^1[\rho(1+\alpha )f(x)+\rho g(x)]v(x){\rm d}x \\ -\int_0^1[I_{\rho}(1+\beta)h(x)+I_{\rho}q(x)]\phi(x){\rm d}x.$

(2.15)

经过一个简单的计算,有

$\lim_{\|(v,\phi)^{\top}\|\to\infty}\frac{J((v,\phi)^{\top})} {\|(v,\phi)^{\top}\|}=+\infty,$

(2.16)

称泛函 $J((v,\phi)^{\top})$ 在空间 $H_{E}^1(0,1)\times H_{E}^1(0,1)$ 上是强的,因此存在一个常数 $c$ 使得

$c=\inf_{(v,\phi)^{\top}\in H_{E}^1(0,1)\times H_{E}^1(0,1) } J(\left(\begin{array}{c} v \\ \phi \\ \end{array}\right)),$

(2.17)

(2.17) 式表明泛函 $J((v,\phi)^{\top})$ 在空间 $H_{E}^1(0,1)\times H_{E}^1(0,1)$ 上存在最小值 .

此外,$J((v,\phi)^{\top})$ 也是空间 $H_{E}^1(0,1)\times H_{E}^1(0,1)$ 上的一个强凸泛函,即

$% to remove numbering (before each equation) sJ(\left(\begin{array}{c}v_1\\ \phi_1 \\ \end{array}\right))+(1-s)J(\left(\begin{array}{c}v_2\\ \phi_2 \\ \end{array}\right))- J(s\left(\begin{array}{c}v_1\\ \phi_1 \\ \end{array}\right)+(1-s)\left(\begin{array}{c}v_2\\ \phi_2 \\ \end{array}\right)) \\ geq\frac{s(1-s)\mu}{2}\left\|\left(\begin{array}{c}v_1\\ \phi_1 \\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}v_2\\ \phi_2 \\ \end{array}\right)\right\|^2,$

(2.18)

其中 $s\in \left[ 0,1 \right]$,$\mu>0$.

事实上

$\frac{s}{2}\int_0^1\alpha _0v_1^2(x){\rm d}x+\frac{s}{2}\int_0^1\beta_0\phi_1^2(x){\rm d}x+\frac{s}{2}\int_0^1K(v_{1x}(x)-\phi_1(x))^2{\rm d}x+\frac{s}{2}\int_0^1EI\phi_{1x}^2(x){\rm d}x \\ +\frac{1-s}{2}\int_0^1\alpha _0v_2^2(x){\rm d}x+\frac{1-s}{2}\int_0^1\beta_0\phi_2^2(x){\rm d}x+\frac{1-s}{2}\int_0^1K(v_{2x}(x)-\phi_2(x))^2{\rm d}x\\ +\frac{1-s}{2}\int_0^1EI\phi_{2x}^2(x){\rm d}x -\frac{1}{2}\int_0^1\alpha _0(sv_1+(1-s)v_2)^2{\rm d}x-\frac{1}{2}\int_0^1\beta_0(s\phi_1+(1-s)\phi_2)^2{\rm d}x \\ -\frac{1}{2}\int_0^1K[(sv_{1x}+(1-s)v_{2x})-(s\phi_1-(1-s)\phi_2)]^2{\rm d}x-\frac{1}{2}\int_0^1(s\phi_{1x}-(1-s)\phi_{2x})^2{\rm d}x \\ +sM_1\|v_1(x)-\frac{f(x)}{1+\alpha }\|+sM_2\|\phi_1(x)-\frac{h(x)}{1+\beta}\| \\ +(1-s)M_1\|v_2-\frac{f(x)}{1+\alpha }\|+(1-s)M_2\|\phi_2(x)-\frac{h(x)}{1+\beta}\| \\ -M_1\|(sv_1(x)+(1-s)v_2)-\frac{f(x)}{1+\alpha }\|-M_2\|(s\phi_1(x)+(1-s)\phi_2(x))-\frac{h(x)}{1+\beta}\| \\ +s\int_0^1[\rho(1+\alpha )f(x)+\rho g(x)]v_1(x){\rm d}x+s\int_0^1[I_{\rho}(1+\beta)h(x)+I_{\rho}q(x)]\phi_1(x){\rm d}x \\ +(1-s)\int_0^1[\rho(1+\alpha )f(x)+\rho g(x)]v_2(x){\rm d}x+(1-s)\int_0^1[I_{\rho}(1+\beta)h(x)+I_{\rho}q(x)]\phi_2(x){\rm d}x \\ -\int_0^1[\rho(1+\alpha )f(x)+\rho g(x)](sv_1(x)+(1-s)v_2(x)){\rm d}x \\ -\int_0^1[I_{\rho}(1+\beta)h(x)+I_{\rho}q(x)](s\phi_1(x)+(1-s)\phi_2(x)){\rm d}x \\ geq\frac{s(1-s)}{2}\int_0^1\alpha _0(v_1(x)-v_2(x))^2{\rm d}x+\frac{s(1-s)}{2} \int_0^1\beta_0(\phi_1(x)-\phi_2(x))^2{\rm d}x \\ +\frac{s(1-s)}{2}\int_0^1K[(v_{1x}-\phi_1)(x)-(v_{2x}- \phi_2)(x)]^2{\rm d}x\\ +\frac{s(1-s)}{2}\int_0^1EI(\phi_{1x}(x)-\phi_{2x}(x))^2{\rm d}x \\ geq\frac{s(1-s)}{2}\int_0^1((\phi_1-\phi_2),(v_{1x}-v_{2x})) A\left(\begin{array}{c} \phi_1-\phi_2 \\ v_{1x}-v_{2x}\\\end{array}\right){\rm d}x \\ +\frac{s(1-s)}{2}\int_0^12^{-1}EI(\phi_{1x}-\phi_{2x})^2{\rm d}x \\ geq\frac{s(1-s)}{2}\mu\left\|\left(\begin{array}{c}v_1(x)-v_2(x)\\ \phi_1(x)-\phi_2(x)\\\end{array}\right)\right\|_{H_{E}^1(0,1)\times H_{E}^1(0,1)}^{2},$

其中 $\mu=\min\{2^{-1},\lambda_{\min}(A)\}>0$,$\lambda_{\min}(A)$ 是下面所定义的正定矩阵 $A$ 的最小特征值

$A=\left(\begin{array}{cc} K+2^{-1}E\!I~ & -K \\ -K ~~& K\\ \end{array}\right).$

(2.19)

接下来,应用下面的变分原理 (定理 2.1) 证明最小值点 $(w,\varphi )^{\top}\in D({\cal A})$,该最小值点可以唯一地解方程 (2.11).

定理2.1 $H_{E}^1(0,1)\times H_{E}^1(0,1)$ 是一个 Hilbert 空间,$J((v,\phi)^{\top})$ 是空间 $H_{E}^1(0,1)\times H_{E}^1(0,1)$ 上的强凸泛函. 那么,存在唯一一点 $(w,\varphi )^{\top}$ 使得

$\inf_{(v,\phi)^{\top}\in H_{E}^1(0,1)\times H_{E}^1(0,1)}J(\left(\begin{array}{c} v \\ \phi \\ \end{array}\right))=J((w,\varphi )^{\top}).$

由此得到

$ \left.\frac{\rm d}{{\rm d}s}J(\left(\begin{array}{c} w \\ \varphi \\ \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} v \\ \phi \\ \end{array}\right))\right|_{s=0}=0. $

这表明对于任意的 $(w,\varphi )^{\top}\in H_{E}^1(0,1)\times H_{E}^1(0,1)$,有

$\int_0^1\alpha _0 w(x)v(x){\rm d}x+\int_0^1\beta_0\varphi (x)\phi(x){\rm d}x \\ +K\int_0^1(w_x(x)-\varphi (x))(v_x(x)-\phi(x)){\rm d}x+EI\int_0^1\varphi _x(x)\phi_x(x){\rm d}x \\ + M_1\int_0^1\frac{(1+\alpha )w(x)-f(x)}{\|(1+\alpha )w(x)-f(x)\|}v(x){\rm d}x +M_2\int_0^1\frac{(1+\beta)\varphi (x)-h(x)}{\|(1+\beta)\varphi (x)-h(x)\|}\phi(x){\rm d}x \\ -\int_0^1[\rho(1+\alpha )f(x)+\rho g(x)]v(x){\rm d}x-\int_0^1[I_{\rho}(1+\beta)h(x)+I_{\rho}q(x)]\phi(x){\rm d}x=0.$

特别地,对于任意的 $(v,\phi)^{\top}\in C_0^{\infty}(0,1)$,

$\int_0^1\alpha _0w(x)v(x){\rm d}x-\int_0^1K(w_{xx}-\varphi _{x})v(x){\rm d}x \\ +M_1\int_0^1\frac{(1+\alpha )w(x)-f(x)}{\|(1+\alpha )w(x)-f(x)\|}v(x){\rm d}x +\int_0^1\beta_0\varphi (x)\phi(x){\rm d}x-\int_0^1EI\varphi _{xx}\phi(x){\rm d}x\\ -\int_0^1K(w_x-\varphi )\phi(x){\rm d}x +M_2\int_0^1\frac{(1+\beta)\varphi (x)-h(x)}{\|(1+\beta)\varphi (x)-h(x)\|}\phi(x){\rm d}x \\ -\int_0^1(\rho(1+\alpha )f(x)\rho g(x))v(x){\rm d}x-\int_0^1(I_{\rho}(1+\beta)h(x)-q(x))\phi(x){\rm d}x=0,$

通过分部积分,得

$\left\{ \begin{array}{ll} w,\varphi \in H_{E}^2(0,1),\\ K(w_x(1)-\varphi (1))=0,\\ EI\varphi _x(1)=0. \end{array} \right.$

那么,$(w,\varphi )^{\top}\in D({\cal A})$ 可以唯一地解方程 (2.11).

到目前为止,我们可以说泛函 $J((w,\varphi )^{\top})$ 有一个惟一的极小值点满足方程 (2.11). 因此,$R(I-{\cal A})={\cal H}$ 得证,命题 2.1 的证明完成.

根据命题 2.1 和引理 2.2,非线性发展方程 (2.8),也就是闭环系统 (2.1) 的适定性得到证明.

定理2.2 令 ${\cal A}$,$\overline{D({\cal A})}$ 分别如 (2.6) 和 (2.7) 式所定义. 那么,对于每个初值 $Y_0\in\overline{D({\cal A})}$,方程 (2.8) 存在一个唯一的温和解.

本节将利用 Lyapunov 直接方法分析闭环系统 (2.1) 的指数稳定性. 我们需要下面的 Poincar\'{e} 不等式

$\int_0^1 |\phi(x)|^2{\rm d}x\leq \int_0^1 |\phi'(x)|^2{\rm d}x,~ |\phi(1)|^2\leq\int_0^1|\phi'(x)|^2{\rm d}x ,\forall \phi\in H_{E}^1(0,1).$

(3.1)

考虑下面的 Lyapunov 候选函数

$V(t)=V^{\alpha ,\beta}(t)=\frac{1}{2}\int_0^1K|\varphi (x,t)-w_x(x,t)|^2{\rm d}x +\frac{1}{2}\int_0^1E\!I|\varphi _x(x,t)|^2{\rm d}x \\ +\frac{1}{2}\int_0^1\rho |z(x,t)|^2{\rm d}x+\frac{1}{2}\int_0^1I_{\rho} |\psi(x,t)|^2{\rm d}x.$

(3.2)

定义系统 (2.1) 的能量函数

$E(t)=\frac{1}{2}\int_0^1K|\varphi (x,t)-w_x(x,t)|^2{\rm d}x +\frac{1}{2}\int_0^1E\!I|\varphi _x(x,t)|^2{\rm d}x \\ +\frac{1}{2}\int_0^1\rho |w_t(x,t)|^2{\rm d}x+\frac{1}{2}\int_0^1I_{\rho} |\varphi _t(x,t)|^2{\rm d}x.$

(3.3)

现在介绍一个函数

$V_0(t)=\int_0^1 w_x^2(x,t){\rm d}x+ w_t^2(x,t){\rm d}x+\varphi _x^2(x,t){\rm d}x+\varphi _t^2(x,t){\rm d}x+\varphi ^2(x,t){\rm d}x,$

(3.4)

那么,应用不等式 (3.1),可以容易地得到下面不等式

$\gamma_1V_0(t)\leq E(t)\leq\gamma_2V_0(t),$

(3.5)

其中 $\gamma_1=\frac{1}{2}\max\{\rho,I_{\rho},EI/2,\lambda_{\min}(A)\}$,$\gamma_2=\frac{1}{2}\max\{\rho,I_{\rho},2K,EI\}$.

根据 (3.2) 和 (3.3)式,$V^{\alpha ,\beta}(t)$ 可以重写为

$V^{\alpha ,\beta}(t)=\frac{1}{2}\int_0^1\rho w_t^2(x,t){\rm d}x+\frac{1}{2}\int_0^1\rho\alpha ^2w^2(x,t){\rm d}x+\rho\alpha \int_0^1w_t(x,t)w(x,t){\rm d}x \\ +\frac{1}{2}\int_0^1I_{\rho}\varphi _t^2(x,t){\rm d}x+\frac{1}{2}\int_0^1I_{\rho}\beta^2\varphi ^2(x,t){\rm d}x+\int_0^1I_{\rho}\beta\varphi _t(x,t)\varphi (x,t){\rm d}x \\ +\frac{1}{2}\int_0^1K|\varphi (x,t)-w'(x,t)|^2{\rm d}x +\frac{1}{2}\int_0^1E\!I|\varphi '(x,t)|^2{\rm d}x \\ =E(t)+\frac{\rho\alpha ^2}{2}\int_0^1w^2(x,t){\rm d}x+\frac{I_{\rho}\beta}{2}\int_0^1\varphi ^2(x,t){\rm d}x \\ +\alpha \int_0^1\rho w_t(x,t)w(x,t){\rm d}x+\beta\int_0^1I_{\rho}\varphi _t(x,t)\varphi (x,t){\rm d}x.$

(3.6)

令

$ \left\{ \begin{array}{ll} \Delta_{1}(t)=\frac{\alpha ^2}{2}\int_0^1\rho w^2(x,t){\rm d}x+\alpha \int_0^1\rho w_t(x,t)w(x,t){\rm d}x,\\[3mm] \Delta_{2}(t)=\frac{\beta^2}{2}\int_0^1 I_{\rho}\varphi ^2(x,t){\rm d}x+\beta\int_0^1I_{\rho}\varphi _t(x,t)\varphi (x,t){\rm d}x,\end{array} \right. $

利用 Young 不等式 (2.9)式,有

$ \left\{ \begin{array}{ll} \Big|\alpha \int_0^1\rho w_t(x,t)w(x,t){\rm d}x\Big|\leq\frac{\rho}{2}\int_0^1(w^2_t(x,t)+\alpha ^2w^2(x,t)){\rm d}x ,\\[3mm] \Big|\beta\int_0^1I_{\rho}\varphi _t(x,t)\varphi (x,t){\rm d}x\Big|\leq\frac{I_{\rho}}{2}\int_0^1(\varphi _t^2(x,t)+\beta^2\varphi ^2(x,t)){\rm d}x,\end{array} \right. $

然后利用 Poincaré 不等式 (3.1),可得

$\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{\rho}{2}\int_0^1w_t^2(x,t){\rm d}x\leq\Delta_1(t)\leq\rho\alpha ^2\int_0^1w_x^2(x,t){\rm d}x+\frac{\rho}{2}\int_0^1w_t^2(x,t){\rm d}x,\\ [3mm] -\frac{I_{\rho}}{2}\int_0^1\varphi _t^2(x,t){\rm d}x\leq\Delta_2(t)\leq I_{\rho}\beta^2\int_0^1\varphi _x^2(x,t){\rm d}x+\frac{I_{\rho}}{2}\int_0^1\varphi _t^2(x,t){\rm d}x,\end{array} \right.$

(3.7)

因此

$\Delta_1(t)+\Delta_2(t)\leq\gamma_3V_0(t),$

(3.8)

其中 $\gamma_3=\frac{1}{2}\max\{\rho,I_{\rho},2\rho \alpha ^2,2 I_{\rho}\beta^2\}>0$. 根据不等式 (3.5) 和 (3.8),得到 $V^{\alpha ,\beta}(t)$ 的一个上界估计

$V^{\alpha ,\beta}(t)\leq c_1V_0(t),$

(3.9)

其中 $c_1=\gamma_2+\gamma_3>0$. 另一方面,给出函数 $V^{\alpha ,\beta}(t)$ 的一个下界估计

$V^{\alpha ,\beta}(t)geq\frac{1}{2}\int_0^1K(w_x(x,t)-\varphi (x,t))^2{\rm d}x+\frac{1}{2}\int_0^1EI\varphi _x^2(x,t){\rm d}x \\ +\rho\alpha ^2\int_0^1w_x^2(x,t){\rm d}x+I_{\rho}\beta^2\int_0^1\varphi _x^2(x,t){\rm d}x \\ geq\frac{1}{2} \Big[\int_0^1Kw_x^2(x,t)+(K+\frac{EI}{2})\varphi ^2(x,t)-2Kw_x(x,t)\varphi (x,t)\Big]{\rm d}x \\ +\frac{1}{2} \Big[\frac{EI}{2}\int_0^1\varphi _x^2(x,t){\rm d}x+2\rho\alpha ^2\int_0^1w_x^2(x,t){\rm d}x+2I_{\rho}\beta^2\int_0^1\varphi _x^2(x,t){\rm d}x\Big] \\ =\left((\varphi (x,t),w_x(x,t))A(\varphi (x,t),w_x(x,t))^{\top}\right) \\ +\frac{1}{2}\Big[\frac{EI}{2}\int_0^1\varphi _x^2(x,t){\rm d}x+2\rho\alpha ^2\int_0^1w_x^2(x,t){\rm d}x+2I_{\rho}\beta^2\int_0^1\varphi _x^2(x,t){\rm d}x\Big] \\ geqc_2V_0(t),$

(3.10)

其中 $c_2=\frac{1}{2}\min\{\lambda_{\min}(A),\frac{EI}{2},2\rho \alpha ^2,2I_{\rho}\beta^2\}$. 因此,根据不等式 (3.5),(3.9)和 (3.10),得到

$ \frac{c_2}{\gamma_2}E(t)\leq V^{\alpha ,\beta}(t)\leq\frac{c_1}{\gamma_1}E(t),$

这个不等式表明 Lyapunov 函数 $V^{\alpha ,\beta}(t)$ 等价于系统的能量函数.

定理3.1 假设额外扰动 $|r_{i}(x,t)|\leq M_{i},i=1,2$,在分布反馈控制器 (1.4) 下,$\alpha ,\beta>0$ 和 $\alpha >\beta$ 是控制参数. 那么,对于任意的初始值 $(w_{0},w_{1},\varphi _{0},\varphi _{1})\in {\cal H}$,系统 (2.1) 是指数稳定的. 也就是说,存在一个正常数 $\omega>0$ 使得

$\label{Lya-Ineq} V^{\alpha ,\beta}(t)\leq V(0){\rm e}^{-2\omega t}. $

证 对 (3.2) 式关于时间 $t$ 微分,得到

$\label{V(t)-D-eq} \dot{V}^{\alpha ,\beta}(t)%=\int_0^1\rho z(x,t)z_t(x,t){\rm d}x+K\int_0^1(w_x(x,t)-\varphi (x,t))(w_{xt}(x,t)-\varphi _{t}){\rm d}x =\int_0^1[K(w_{xx}-\varphi _{x})(x,t)-\rho\alpha z(x,t)]z(x,t){\rm d}x \\ +\int_0^1[EI\varphi _{xx}(x,t)+K(w_x(x,t)-\varphi (x,t))-I_{\rho}\beta\psi(x,t)]\psi(x,t){\rm d}x \\ -\int_0^1 \Big[M_1\frac{z(x,t)}{\|z(x,t)\|}-r_1(x,t)\Big]z(x,t){\rm d}x-\int_0^1 \Big[M_2\frac{\psi(x,t)}{\|\psi(x,t)\|}-r_2(x,t)\Big]\psi(x,t){\rm d}x \\ +K\int_0^1(w_x(x,t)-\varphi (x,t))(w_{xt}-\varphi _{t})(x,t){\rm d}x+EI\int_0^1\varphi _x(x,t)\varphi _{xt}(x,t){\rm d}x,$

利用不等式 (2.9) 以及分部积分,得

$\label{V(t)-In-D-eq1} \dot{V}^{\alpha ,\beta}(t)=K[w_x(x,t)-\varphi (x,t)]z(x,t)|_0^1-K\int_0^1z_x(x,t)(w_x(x,t)-\varphi (x,t)){\rm d}x \\ +K\int_0^1(w_x(x,t)-\varphi (x,t))(w_{xt}(x,t)-\varphi _{t}(x,t)){\rm d}x \\ +K\int_0^1(w_x(x,t)-\varphi (x,t))\psi(x,t){\rm d}x +EI\psi(x,t)\varphi _x(x,t)|_0^1\\ -EI\int_0^1\varphi _x(x,t)\psi_x(x,t){\rm d}x+EI\int_0^1\varphi _{xt}(x,t)\varphi _x(x,t){\rm d}x \\ -\alpha \rho\int_0^1z^2(x,t){\rm d}x-\beta I_{\rho}\int_0^1\psi^2(x,t){\rm d}x \\ -\|z(x,t)\|(M_1-r_1(x,t))-\|\psi(x,t)\|(M_2-r_2(x,t)) \\ = -\alpha \int_0^1\rho z^2(x,t){\rm d}x-\beta\int_0^1 I_{\rho}\psi^2(x,t){\rm d}x \\ -K\int_0^1(w_x(x,t)-\varphi (x,t))(\alpha w_x(x,t)-\beta\varphi (x,t)){\rm d}x-\beta\int_0^1EI\varphi _x^2(x,t){\rm d}x \\ -\|z(x,t)\|(M_1-r_1(x,t))-\|\psi(x,t)\|(M_2-r_2(x,t)) \\ leq -\alpha \int_0^1\rho z^2(x,t){\rm d}x-\beta\int_0^1 I_{\rho}\psi^2(x,t){\rm d}x \\ -\alpha \int_0^1 K(w_x(x,t)-\varphi (x,t))^2{\rm d}x-\beta\int_0^1EI\varphi _x^2(x,t){\rm d}x \\ leq -2\beta V^{\alpha ,\beta}(t).$

进而得到

$ V^{\alpha ,\beta}(t)\leq V^{\alpha ,\beta}(0){\rm e}^{-2\beta t}. $

该不等式表明闭环系统 (2.1) 是指数稳定的且 $\omega=\beta$.证毕.

本文主要研究了带有内部控制和扰动的 Timoshenko 梁系统的稳定性问题. 为了抑制额外扰动对系统的影响,应用滑模控制的思想设计了非线性分布反馈控制器. 不连续的分布反馈控制器包含两部分: 第一部分使得系统在没有扰动影响下是指数稳定的,第二部分是不连续的非线性项,它是为了抑制额外扰动的影响. 我们利用变分原理和非线性极大单调算子理论证明了非线性闭环系统的可解性. 最后,应用 Lyapunov 方法证明了相应的闭环系统是指数稳定的.