本文考虑下面具有 Lotka-Volterra 的竞争模型

$\left\{\begin{array}{ll} u_{t}= \mu \Delta u + u(a + \tau g - (1 + \tau l) u - (1 + \tau m) v),& \mathrm{in} \Omega \times (0,\infty),\\ v_{t}= \mu \Delta v + v(a + \tau h - (1 + \tau n) u - (1 + \tau k) v),& \mathrm{in}~\Omega \times (0,\infty),\\ _{\upsilon}u = _{\upsilon}v = 0 ,& \mathrm{on}~\partial \Omega \times (0,\infty), \end{array}\right.$

(1.1)

其中,$ u(x,t) $ 和 $ v(x,t) $ 代表两个竞争物种的密度,$ \Omega $ 是 $ {\Bbb R}^{n} $ 的一个有界区域,$ \Omega $ 是一个光滑边界,齐次纽曼边界代表没有物种在区域的边界通过; $ _{\upsilon} = \upsilon \cdot \nabla $,其中,$ \upsilon $ 代表单位边界外法向量; 扩散系数 $ \mu $ 是一个正常数,函数 $ a $ 代表物种的内禀增长率.

经典的 Lotka-Volterra 二维竞争物种已经被许多学者所研究,可参见文献 [2-4, 6-8, 10-15]. 特别地,Dockery 等^[2] 考虑了在空间分布不均匀的情形下,两个竞争物种 $ u $ 和 $ v $ 除了扩散系数不同而其余系数都相同的情形,他们发现扩散快的物种将完全被扩散慢的物种所淘汰. Hutson 等^[8] 讨论了在空间分布不均匀的情形下,两个竞争物种 $ u $ 和 $ v $ 除了内禀增长率不同而其他系数相同的情形. 结果表明在扩散系数 $ \mu $ 和扰动参数 $ \tau $ 充分小的情形下,两个竞争物种可以共存,并且两个竞争物种的稳定性随着扩散系数的增大变得非常的复杂. 进一步,Lou 等^[13] 研究了两个竞争物种除了种间竞争系数不同而其他参数相同的情形. 结果表明两竞争物种可在扩散系数 $ \mu $ 更大范围内共存并且会产生稳定的环.

本文讨论了一类具有扩散的 Lotka-Volterra 二维竞争模型. 然而,两个竞争物种有一些轻微的不同. 特别地,我们假定两个竞争物种 $ u $ 和 $ v $ 拥有相同的扩散系数,但是他们却拥有不同的内禀增长率,不同的种内竞争系数和不同的种间竞争系数,也就是说,两竞争物种的内禀增长率分别是 $ a + \tau g $,$ a + \tau h $; 种内竞争系数分别是 $ 1 + \tau l $ 和 $ 1 + \tau k $; 种间竞争系数分别是 $ 1 + \tau m $ 和 $ 1 + \tau n $,其中,$ \tau $ 是一个扰动常数,$ g $,$ h $,$ l $,$ k $,$ m $ 和 $ n $ 是光滑函数.

首先,我们假定函数 $ a (x) $ 具有下面的性质:

(H1) $ a(x) \in C^{\alpha }(\bar{\Omega }),\alpha \in (0,1) $,$ a(x) $ 是非常数且 $ \int_{\Omega } a(x) > 0 $.

显然,如果 (H1) 成立 (参见文献 [1]),则下面的单物种模型

$\mu \Delta \theta + \theta (a - \theta ) = 0, _{\upsilon} \theta = 0 $

(1.2)

存在惟一的正解,记为 $ \theta_{\mu} $. 显然,我们知道,$ \mu \rightarrow \theta_{\mu} $ 是从 ${\Bbb R}^{+} $ 到 $ W^{2,p} (\Omega ) \cap C^{2} (\bar{\Omega }) $ 的连续函数. 特别地,$ \|\theta_{\mu}\|_{\infty} ＜ \|a\|_{\infty} $,$ \lim\limits_{\mu \rightarrow 0_{+}} \theta_{\mu} = a_{+} $,$ \lim\limits_{\mu \rightarrow \infty} \theta_{\mu} = \frac{1}{|\Omega |} \int_{\Omega } a $ 在 $ L^{\infty} (\Omega ) $,其中,$ a_{+} = \max \{ a,0\} $. 进一步,$ \theta_{\mu} $ 是非退化,线性稳定的.

事实上,我们断言当扰动参数 $ \tau \ll 1 $ 时,模型 (1.1) 的动力学行为被含参数 $ \mu $ 的函数所决定. 在此,我们定义下面的关于 $ \mu $ 的函数

$ G(\mu) = \int_{\Omega } g(x) \theta_{\mu}^{2},H(\mu) = \int_{\Omega } h(x) \theta_{\mu}^{2},L(\mu) = \int_{\Omega } l(x) \theta_{\mu}^{3},$

$ K(\mu) = \int_{\Omega } k(x) \theta_{\mu}^{3},M(\mu) = \int_{\Omega } m(x) \theta_{\mu}^{3},N(\mu) = \int_{\Omega } n(x) \theta_{\mu}^{3}. $

本文主要证明了下面的结果. 特别地,我们主要阐述了当扰动参数 $ \tau $ 充分小时,模型 (1.1) 共存解的存在性、稳定性、惟一性及其全局动力学行为.

定理1.1 假设函数 $ G + N - H - L $ 和函数 $ G + K - M - H $ 无相同根. 令 $ \mu_{1} $ 和 $ \mu_{2} $ 是函数 $ (G + N - H - L)(G + K - M - H) $ 相邻的单根,则

(i) 如果 $ (G + N - H - L)(G + K - M - H) > 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,当 $ 0 ＜ \tau \ll 1 $,模型 (1.1) 无共存解;

(ii) 如果 $ (G + N - H - L)(G + K - M - H) ＜ 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,当 $ 0 ＜ \tau \ll 1 $,存在两个光滑函数 $ \underline{\mu}(\tau) $,$ \bar{\mu}(\tau) $ 满足 $ \underline{\mu}(0) = \mu_{1} $,$ \bar{\mu}(0) = \mu_{2} $,如果 $ \mu \in (\underline{\mu}(\tau),\bar{\mu}(\tau)) $,则模型 (1.1) 存在共存解 $ (u(\mu,\tau),v(\mu,\tau)) $; 如果 $ \mu = \underline{\mu}(\tau) $ 或者 $ \mu = \bar{\mu}(\tau) $,则 $ (u (\underline{\mu}(\tau)),v (\underline{\mu}(\tau)) $ 和 $ (u (\bar{\mu}(\tau)),v (\bar{\mu}(\tau))) $ 是模型 (1.1) 的半平凡解. 特别地,如果 $ G + K - M - H > 0 $ 且 $ G + N - H - L ＜ 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,则模型 (1.1) 存在惟一的共存解,并且该共存解是全局吸引的; 如果 $ G + K - M -H ＜ 0 $ 且 $ G + N - H - L > 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,则模型 (1.1) 存在一个不稳定的共存解.

全文安排如下: 第二节是预备工作; 第三节研究了模型 (1.1) 共存解的存在性和不存在性; 最后,第四节建立了模型 (1.1) 共存解的稳定性及其全局动力学行为.

在本节中,我们给出了一些预备知识和讨论了模型 (1.1) 半平凡解的稳定性. 特别地,在 (H1) 的假设下,模型 (1.1) 存在两个半平凡解,我们分别记为 $ (\tilde{u},0) $ 和 $ (0,\tilde{v}) $.

对于经典的二维竞争模型,我们有下面著名的结果 (参见文献[5]):

(a) 如果系统无共存解,则一个半平凡解不稳定,而另一个半平凡解是全局吸引的;

(b) 如果系统存在惟一的稳定的共存解,则该共存解是全局吸引的;

(c) 如果系统的所有共存解都是渐进稳定的,则系统存在惟一的共存解,并且该共存解是全局吸引的 (如果存在).

为了建立模型 (1.1) 解的稳定性,我们考虑如下的特征值问题

$\left\{\begin{array}{ll} \mu \Delta \varphi + [a + \tau g - 2(1 + \tau l)u - (1 + \tau m)v] \varphi - u (1 + \tau m) \psi + \lambda\varphi = 0 ,& \mathrm{in} \Omega ,\\ \mu \Delta \psi + [a + \tau h - (1 + \tau n) u- 2 (1 + \tau k)v] \psi - v (1 + \tau n)\varphi + \lambda\psi = 0 ,& \mathrm{in} \Omega ,\\ _{\upsilon} \varphi = _{\upsilon} \psi = 0,& \mathrm{on} \Omega . \end{array}\right. $

(2.1)

显然,问题 (2.1) 存在主特征值 $ \lambda_{1} (\mu,\tau) $,并且该主特征值是实的,代数重数是简单的,问题 (2.1) 其它的所有特征值的实部都大于该主特征值的实部. 进一步,我们可以选取该主特征值对应的主特征函数 $ (\varphi _{1},\psi_{1}) $,满足 $ \varphi _{1} > 0 > \psi_{1} $ 在 $ \bar{\Omega } $. 特别地,解 $ (u,v) $ 的线性稳定性由该主特征值 $ \lambda_{1} (\mu,\tau) $ 的符号所决定,也就是说,如果主特征值 $ \lambda_{1} (\mu,\tau) > 0 $,则 $ (u,v) $ 是线性稳定的; 如果主特征值 $ \lambda_{1} (\mu,\tau) ＜ 0 $,则 $ (u,v) $ 是不稳定的.

特别地,如果 $ (u,v) = (0,\tilde{v}) $,则半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 的稳定性将完全由下面特征值问题的主特征值 $ \tilde{\lambda}_{1} (\mu,\tau) $ 所决定

$\mu \Delta \varphi + [a + \tau g - (1 + \tau m) \tilde{v}] \varphi + \tilde{\lambda} \varphi = 0,~ _{\upsilon} \varphi = 0. $

(2.2)

对于任意的扩散系数 $ \mu > 0 $,我们定义

$C(\mu) : = \inf_{\phi \in S_{\mu}} \frac{\int_{\Omega } \tilde{v}^{2} |\nabla \phi|^{2}}{\int_{\Omega } (g-h) \phi^{2} \tilde{v}^{2} - \int_{\Omega } (m-k) \phi^{2} \tilde{v}^{3}},$

其中 $ S_{\mu} = \{ \phi \in H^{1}(\Omega ) : \int_{\Omega } (g-h) \phi^{2} \tilde{v}^{2} - \int_{\Omega } (m-k) \phi^{2} \tilde{v}^{3} > 0 \}. $

为了方便起见,我们定义下面四个关于参数 $ \mu $ 的函数

$ \tilde{G} (\mu) = \int_{\Omega } g (x) \tilde{v}^{2},~~ \tilde{H} (\mu) = \int_{\Omega } h (x) \tilde{v}^{2},$

$ \tilde{M} (\mu) = \int_{\Omega } m (x) \tilde{v}^{3},~~\tilde{K} (\mu) = \int_{\Omega } k (x) \tilde{v}^{3}. $

事实上,我们知道如果 $ \tilde{G}(\mu) - \tilde{H}(\mu) ＜ \tilde{M}(\mu) - \tilde{K}(\mu) $,则 $ C(\mu) > 0 $; 如果 $ \tilde{G}(\mu) - \tilde{H}(\mu) \geq \tilde{M}(\mu) - \tilde{K}(\mu) $,则 $ C(\mu) = 0 $. 特别地,下面的引理表明半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 的稳定性由函数 $ \tau - \mu C (\mu) $ 的符号所决定.

引理2.1 假设 $ (\mathrm{H1}) $ 成立且 $ \tau > 0 $,则 $ \tilde{\lambda}_{1} > 0 \Leftrightarrow \tau ＜ \mu C(\mu) $; $ \tilde{\lambda}_{1} = 0 \Leftrightarrow \tau = \mu C(\mu) $; $ \tilde{\lambda}_{1} ＜ 0 \Leftrightarrow \tau > \mu C(\mu) $.

证 令 $ \varphi _{1} > 0 $ 是问题 (2.2) 的主特征值对应的主特征函数,也就是说

$\mu \Delta \varphi _{1} + [a + \tau g - (1 + \tau m) \tilde{v}] \varphi _{1} + \tilde{\lambda}_{1} \varphi _{1} = 0,~ _{\upsilon} \varphi _{1} = 0. $

(2.3)

设 $ \phi = \frac{\varphi _{1}}{\tilde{v}} $,则

$\mu (\tilde{v} \Delta \phi + 2 \nabla \tilde{v} \nabla \phi) + \tau (g-h) \phi \tilde{v} - \tau (m-k) \phi \tilde{v}^{2} = - \tilde{\lambda}_{1} \phi \tilde{v}, _{\upsilon}\phi = 0. $

(2.4)

在 (2.4)式的两边同时乘以 $ \tilde{v} $,有

$\mu \nabla \cdot (\tilde{v}^{2} \nabla \phi) + \tau (g-h) \phi \tilde{v}^{2} - \tau (m-k) \phi \tilde{v}^{3} = - \tilde{\lambda}_{1} \phi \tilde{v}^{2}, _{\upsilon}\phi = 0. $

(2.5)

假设 $ \int_{\Omega } (g - h)\tilde{v}^{2} - \int_{\Omega } (m - k)\tilde{v}^{3} > 0 $. 在 (2.5)式的两边除以 $ \phi $ 再进行分部积分,有

$\tilde{\lambda}_{1}\int_{\Omega } \tilde{v}^{2} = - [\mu \int_{\Omega } \frac{\tilde{v}^{2}}{\phi^{2}} |\nabla \phi|^{2} + \tau \int_{\Omega } (g-h) \tilde{v}^{2} - \tau \int_{\Omega } (m - k) \tilde{v}^{3}] ＜ 0.$

因此,$ \tilde{\lambda}_{1} ＜ 0 $.

假设 $ \int_{\Omega } (g-h) \tilde{v}^{2} - \int_{\Omega } (m - k) \tilde{v}^{3} = 0 $. 类似地,我们有 $ \tilde{\lambda}_{1} ＜ 0 $.

假设 $ \int_{\Omega } (g-h) \tilde{v}^{2} - \int_{\Omega } (m - k) \tilde{v}^{3} ＜ 0 $. 在 (2.5)式的两边乘以 $ \phi $ 再进行分部积分,有

$\tilde{\lambda}_{1}\int_{\Omega } \phi^{2} \tilde{v}^{2} = \mu \int_{\Omega } \tilde{v}^{2}|\nabla \phi|^{2} - \tau [\int_{\Omega } (g-h) \phi^{2} \tilde{v}^{2} - \int_{\Omega } (m-k) \phi^{2} \tilde{v}^{3}].$

因此存在函数 $ \tilde{\phi} > 0 $ 满足

$\nabla \cdot (\tilde{v}^{2} \nabla \tilde{\phi}) + C(\mu)[\int_{\Omega } (g-h) \tilde{v}^{2} - \int_{\Omega } (m-k) \tilde{v}^{3}] \tilde{\phi} = 0, _{\upsilon}\tilde{\phi} = 0.$

特别地,我们知道主特征值 $ \tilde{\lambda}_{1} = \tilde{\lambda}_{1} (\mu,\tau) $ 关于参数 $ \tau $ 是凸的 (参见文献[9]). 进一步,$ \tilde{\lambda}_{1} (\mu,0) = 0 $,$ \tilde{\lambda}_{1} (\mu,\mu C(\mu)) = 0 $. 因此,我们知道如果 $ 0 ＜ \tau ＜ \mu C(\mu) $,则 $ \tilde{\lambda}_{1} (\mu,\tau) > 0 $; 如果 $ \tau > \mu C(\mu) $,则 $ \tilde{\lambda}_{1} (\mu,\tau) ＜ 0 $. 证毕.

下面我们将说明函数 $ \tilde{G} $,$ \tilde{H} $,$ \tilde{M} $ 和 $ \tilde{K} $ 如何影响半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 的稳定性. 特别地,我们假设

(H2) $ \tilde{G}(0) - \tilde{H}(0) \neq \tilde{M}(0) - \tilde{K}(0) $,$ \tilde{G}(\infty) - \tilde{H}(\infty) \neq \tilde{M}(\infty) - \tilde{K}(\infty) $ 和 $ \tilde{G}(\mu) - \tilde{H}(\mu) = \tilde{M}(\mu) $ $ - \tilde{K}(\mu) $ 有有限多个单根,我们记它们为 $ 0 ＜ \mu_{1} ＜ \mu_{2} ＜ \cdot \cdot \cdot ＜ \mu_{k} ＜ \infty $ 在 $ (0,\infty) $.

(H3) $ \{ x \in \Omega : g (x)- h (x)- (m(x) - k (x)) (a (x) + \tau h (x))_{+} > 0 \} \neq \emptyset $.

在 (H2) 的假设下,有下面四种情形:

(i) $ \tilde{G}(0) - \tilde{H}(0) > \tilde{M}(0) - \tilde{K}(0),\tilde{G}(\infty) - \tilde{H}(\infty) ＜ \tilde{M}(\infty) - \tilde{K}(\infty) $;

(ii) $ \tilde{G}(0) - \tilde{H}(0) > \tilde{M}(0) - \tilde{K}(0),~\tilde{G}(\infty) - \tilde{H}(\infty) > \tilde{M}(\infty) - \tilde{K}(\infty) $;

(iii) $ \tilde{G}(0) - \tilde{H}(0) ＜ \tilde{M}(0) - \tilde{K}(0),~\tilde{G}(\infty) - \tilde{H}(\infty) > \tilde{M}(\infty) - \tilde{K}(\infty) $;

(iv) $ \tilde{G}(0) - \tilde{H}(0) ＜ \tilde{M}(0) - \tilde{K}(0),~\tilde{G}(\infty) - \tilde{H}(\infty) ＜ \tilde{M}(\infty) - \tilde{K}(\infty) $.

引理2.2 ^[13] 假设 $ (\mathrm{H3}) $ 成立,则

$\lim_{\mu \rightarrow 0_{+}} \mu C(\mu) = 0. $

(2.6)

引理2.3 ^[13] 假设函数 $ g - h - (m - k) \bar{v} $ 变号,$ \int_{\Omega } (g - h - (m - k) \bar{v}) ＜ 0 $,$ \int_{\Omega } (a + \tau h) > 0 $,则

$\lim_{\mu \rightarrow \infty} C(\mu) = \inf_{\{ \phi \in H^{1}(\Omega ):\int_{\Omega } (g - h - (m - k) \bar{v}) \phi^{2} > 0\}} \frac{\int_{\Omega } |\nabla \phi|^{2}}{\int_{\Omega } (g - h - (m - k) \bar{v}) \phi^{2}}, $

(2.7)

其中,$ \bar{v} = \frac{\int_{\Omega }(a + \tau h)}{\int_{\Omega }(1 + \tau k)} $.

在情形 (i) 下,$ \tilde{G} - \tilde{H} = \tilde{M} - \tilde{K} $ 有奇数 $ k $ 个根,$ k = 2 l - 1 $,其中 $ l \geq 1 $. 现在我们建立半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 的稳定性.

定理2.1 假设函数 $ \tilde{G} - \tilde{H} - \tilde{M} + \tilde{K} $ 满足情形 $ (\mathrm{i}) $ 且假设 $ (\mathrm{H1})-(\mathrm{H3}) $ 成立,对固定的 $ \tau > 0 $,当 $ \mu $ 充分小时,半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 是不稳定的; 当 $ \mu $ 充分大时,半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 是稳定的. 进一步,存在函数 $ \{\tau_{i}\}_{i = 0}^{l} $ 满足 $ 0 = \tau_{0} \leq \tau_{1} \leq \cdot\cdot\cdot \leq \tau_{l} $ 且对任意的 $ \tau \in (\tau_{i -1},\tau_{i}) $,半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 的稳定性至少改变 $ 2 (l - i) + 1 $ 次,其中,$ 1 \leq i \leq l $.

证 由引理 2.2,我们知道如果 $ \mu \ll 1 $,则 $ \tau > \mu C(\mu) $. 因此,由引理2.1 知,当 $ \mu $ 充分小时,半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 是不稳定的; 由引理 2.3 知,如果 $ \mu \gg 1 $,则 $ \tau ＜ \mu C(\mu) $. 因此,由引理 2.1 知,当 $ \mu $ 充分大时,半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 是线性稳定的.

令$ \mu_{0} = 0 $. 显然,函数 $ \mu C (\mu) > 0 $ 在 $ \cup_{i = 1}^{l-1} (\mu_{2i-1},\mu_{2i}) \cup (\mu_{2l-1},\infty) $; 函数 $ \mu C (\mu) = 0 $ 在 $ \cup_{i = 0}^{l-1} [\mu_{2i},\mu_{2i+1}] $. 令 $ M_{i} = \max\limits_{\mu \in [\mu_{2i-1},\mu_{2i}]} \mu C(\mu) $,其中,$ i = 1 $,$ \cdot \cdot \cdot,l - 1 $. 特别地,我们知道当 $ \mu \rightarrow \infty $,$ \mu C (\mu) \rightarrow \infty $. 我们将 $ \{ M_{i}\}_{i = 1}^{l} $ 按一定的顺序重新排列,记为 $ \{ \tau _{i} \}_{i = 1}^{l} $,满足 $ 0 = \tau_{0} \leq \tau_{1} \leq \cdot\cdot\cdot \leq \tau_{l-1} \leq \tau_{l} \leq \infty $. 因此,我们知道对任意的 $ \tau \in (\tau_{i - 1},\tau_{i}) $,方程 $ \mu C(\mu) = \tau $ 至少有 $ 2 (l - i) $ 个根,其中,$ 1 \leq i \leq l -1 $; 对 $ \tau \in (\tau_{l-1},\tau_{l}) $,方程 $ \mu C(\mu) = \tau $ 至少有一个根. 进一步,我们断言函数 $ \mu C(\mu) - \tau $ 至少改变符号 $ 2 (l-i) + 1 $ 次. 否则,存在区间 $ [\acute{\mu},\grave{\mu}] \subseteq \cup_{i = 1}^{l-1} (\mu_{2i-1},\mu_{2i}) \cup (\mu_{2l},\infty) $ 满足 $ \mu C(\mu) \equiv \tau $ 在 $ [\acute{\mu},\grave{\mu}] $. 由引理 2.1,我们知道对于任意的 $ \mu \in [\acute{\mu},\grave{\mu}] $,$ \tilde{\lambda}_{1} (\mu,\tau) \equiv 0 $. 又因为 $ \tilde{\lambda}_{1} (\mu,\tau) $ 关于 $ \mu $ 是解析的,从而,对于任意的 $ \mu > 0 $,我们都有 $ \tilde{\lambda}_{1} (\mu,\tau) \equiv 0 $. 然而,当 $ \mu $ 充分大时,我们有 $ \tilde{\lambda}_{1} (\mu,\tau) > 0 $,矛盾. 证毕.

在情形 (ii) 下,$ \tilde{G} - \tilde{H} = \tilde{M} - \tilde{K} $ 有偶数 $ k $ 个根,$ k = 2 l $,其中 $ l \geq 1 $. 由于证明过程是类似的,我们省略其证明过程仅陈述结论.

定理2.2 假设函数 $ \tilde{G} - \tilde{H} - \tilde{M} + \tilde{K} $ 满足情形 $ (\mathrm{ii}) $ 且假设 $ (\mathrm{H1})-(\mathrm{H3}) $ 成立,则存在惟一的 $ \tilde{\tau} > 0 $ 满足

$ (\mathrm{i}) $ 如果 $ \tau > \tilde{\tau} $,则对任意的 $ \mu > 0 $,半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 是不稳定的;

$ (\mathrm{ii}) $ 如果 $ \tau ＜ \tilde{\tau} $,则当 $ \mu $ 充分小或充分大时,半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 是不稳定的; 存在 $ \{\tau_{i}\}_{i = 0}^{l} $ 满足 $ 0 = \tau_{0} \leq \tau_{1} \leq \cdot\cdot\cdot \leq \tau_{l} $,对任意的 $ \tau \in (\tau_{i -1},\tau_{i}) $,半平凡解 $ (0,\tilde{v}) $ 至少改变 $ 2 (l - i) + 2 $ 次稳定性,其中,$ 1 \leq i \leq l $.

注2.1 情形 $ (\mathrm{iii}) $ 和 $ (\mathrm{iv}) $ 结论是类似的,我们在此省略.

在本节中,我们讨论了模型 (1.1) 共存解的存在性和不存在性. 我们发现当扰动参数 $ \tau \ll 1 $,函数 $ G,H,L,K,M $ 和 $ N $ 对模型 (1.1) 共存解的存在性将起到重要的作用. 特别地,后面的定理3.1 建立了定理1.1 共存解的存在性.

显然,当扰动参数 $ \tau = 0 $ 时,模型 (1.1) 有非负非平凡解

$ \gamma_{\mu} = \{(s\theta_{\mu},(1-s)\theta_{\mu}): s \in \left[ 0,1 \right] \}. $

我们将寻找当扰动参数 $ \tau \ll 1 $ 时,模型 (1.1) 靠近 $ \gamma_{\mu} $ 的共存解.

令 $ p > n $,我们定义

$ X = \{(y,z) \in W^{2,p}(\Omega ) \times W^{2,p}(\Omega ): _{\upsilon} y = _{\upsilon} z = 0~~\mathrm{on}~~\partial \Omega \},$

$ X_{1} ={\rm span} ~\{(\theta_{\mu},-\theta_{\mu})\},~~Y = L^{p}(\Omega ) \times L^{p}(\Omega ),$

$ X_{2} = \{(y,z) \in X: \int_{\Omega } (y-z) \theta_{\mu} = 0 \}. $

下面的引理说明 $ s_{0} (\mu),1 - s_{0} (\mu) \in (0,1) $,其中,$ s_{0} $ 由后面的 (3.2)式给出. 由于证明比较简单,我们在此略去证明过程仅陈述其结论.

引理3.1 假设函数 $ G + N - H - L $ 和函数 $ G + K - M - H $ 无相同根. 令 $ \mu_{1} $ 和 $ \mu_{2} $ 是函数 $ (G + N - H - L)(G + K - M - H) $ 相邻的两个单根,满足 $ (G + N - H - L)(G + K - M - H) ＜ 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,则 $ L(\mu_{1}) + K (\mu_{1})- M(\mu_{1}) - N(\mu_{1}) \not= 0 $ 和 $ L(\mu_{2}) + K(\mu_{2})- M(\mu_{2}) - N(\mu_{2}) \not= 0 $. 特别地,对于任意的 $ \tilde{\mu} \in (\mu_{1},\mu_{2}) $,我们有

$ \frac{G(\tilde{\mu}) + K(\tilde{\mu})- M(\tilde{\mu}) - H(\tilde{\mu})}{L(\tilde{\mu}) + K(\tilde{\mu})- M(\tilde{\mu}) - N(\tilde{\mu})} \in (0,1),\frac{L(\tilde{\mu}) + H(\tilde{\mu}) - N(\tilde{\mu}) - G(\tilde{\mu}) }{L(\tilde{\mu}) + K(\tilde{\mu}) - M(\tilde{\mu}) - N(\tilde{\mu})} \in (0,1). $

现在我们通过 Lyapunov-Schmidt 分解法来构造模型 (1.1) 的共存解.

定理3.1 假设函数 $ G + N - H - L $ 和函数 $ G + K - M - H $ 无相同根. 令 $ \mu_{1} $ 和 $ \mu_{2} $ 是函数 $ (G + N - H - L)(G + K - M - H) $ 相邻的单根,则

$ (\mathrm{i}) $ 如果 $ (G + N - H - L)(G + K - M - H) > 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,当 $ \tau \ll 1 $ 时,模型 (1.1) 在 $ \gamma_{\mu} $ 附近无共存解;

$ (\mathrm{ii}) $ 如果 $ (G + N - H - L)(G + K - M - H) ＜ 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,当 $ \tau \ll 1 $ 时,模型 (1.1) 在 $ (\mu_{1} - \delta \leq \mu \leq \mu_{2} + \delta ) \times \gamma_{\mu} $ 有共存解 $ (u(\mu,\tau),v(\mu,\tau)) $,其中

$u(\mu,\tau) = s_{*}(\mu,\tau)[\theta_{\mu} + \bar{y}(\mu,\tau)],v(\mu,\tau) = [1 - s_{*}(\mu,\tau)][\theta_{\mu} + \bar{z}(\mu,\tau)] $

(3.1)

且 $ s_{*}(\mu,\tau) \in (0,1) $,$ (\bar{y},\bar{z}) \in X_{2} $. 特别地,有

$s_{*}(\mu,0) = s_{0}(\mu): = \frac{G(\mu) + K(\mu) - M(\mu)- H(\mu)}{L(\mu) + K(\mu) - M(\mu) - N(\mu)}, $

(3.2)

$ \bar{y}(\mu,0) = \bar{z}(\mu,0) = 0 $. 进一步,存在两个光滑函数 $ \underline{\mu}(\tau) $,$ \bar{\mu}(\tau) $ 满足 $ \underline{\mu}(0) = \mu_{1} $,$ \bar{\mu}(0) = \mu_{2} $.

证 当 $ \tau \ll 1 $ 时,我们知道模型 (1.1) 的解 $ (u,v) $ 可以写成

$(u,v) = (s\theta_{\mu},(1-s)\theta_{\mu}) + (y,z),$

其中 $ s \in {\Bbb R},(y,z) \in X_{2} $.

对于充分小的 $ \delta _{1} > 0 $,我们定义 $ F: X \times (\mu_{1} - \delta _{1},\mu_{2} + \delta _{1}) \times (- \delta _{1},\delta _{1}) \times (- \delta _{1},1 + \delta _{1}) \rightarrow Y $,

$F(y,z,\mu,\tau,s) = {\mu \Delta y + (a-\theta_{\mu})y - s \theta_{\mu} (y+z) +f_{1}(y,z,\mu,\tau,s) \choose \mu \Delta z + (a-\theta_{\mu})z - (1-s) \theta_{\mu} (y+z) +f_{2}(y,z,\mu,\tau,s)}, $

(3.3)

其中

$f_{1}(y,z,\mu,\tau,s) = -y(y+z) + \tau g y + s \theta_{_{\mu}} \tau g- s \theta_{\mu} \tau l (s \theta_{\mu} + y) - s \theta_{\mu} \tau m [(1 - s) \theta_{\mu} + z] \\ - \tau l y(s \theta_{\mu} + y) - \tau m y [(1 - s)\theta_{\mu} + z],\\ f_{2}(y,z,\mu,\tau,s) = -y(y+z) + \tau h z + (1 - s) \theta_{_{\mu}} \tau h - (1 - s) \theta_{\mu} \tau n (s \theta_{\mu} + y) \\ - (1 - s) \theta_{\mu} \tau k [(1 - s) \theta_{\mu} + z] - \tau n z (s \theta_{\mu} + y) - \tau k z [(1 - s)\theta_{\mu} + z].$

因此,我们只需考虑方程 $ F(y,z,\mu,\tau,s) = (0,0)^{T} $. 特别地,$ F $ 满足以下的性质

$F(0,0,\mu,0,s) = 0,F(0,\tilde{v}-\theta_{\mu},\mu,\tau,0) = 0,F(\tilde{u}-\theta_{\mu},0,\mu,\tau,1) = 0. $

(3.4)

为了使用 Lyapunov-Schmidt 分解法,我们令 $ L(\mu,s) = D_{(y,z)} F(0,0,\mu,0,s) \in L(X,Y) $.

$L(\mu,s) = \left(\begin{array}{cc} \mu \Delta + a - \theta_{\mu} - s \theta_{\mu} &-s \theta_{\mu} \\ -(1-s) \theta_{\mu} & \mu \Delta + a - \theta_{\mu} -(1-s) \theta_{\mu}. \end{array}\right)$

为方便起见,我们将 $ L(\mu,s) $ 简记为 $ L $. 由于 $ \theta_{\mu} > 0 $,我们知道 0 是 $ L $ 的主特征值. 因此

$\mathrm{ker}~(L) = \mathrm{span} ~\{(\theta_{\mu},-\theta_{\mu})\} = X_{1}.$

根据 Fredholm 选择公理,我们知道 $ L $ 的值域

$R(L) = \{(y,z) \in Y: (1-s)\int_{\Omega }\theta_{\mu} y - s \int_{\Omega } \theta_{\mu} z = 0\}.$

我们定义在空间 $ Y $ 上的投影算子 $ P = P(\mu,s) $

$P {y \choose z} = \frac{1}{\int_{\Omega }\theta_{\mu}^{2}} [(1-s)\int_{\Omega }\theta_{\mu} y - s \int_{\Omega } \theta_{\mu} z]{\theta_{\mu} \choose - \theta_{\mu}}.$

显然,我们有 $ R(P) = X_{1} $,$ P^{2} = P $,$ PL = 0 $.

现在,我们分解系统

$ P(\mu,s) F(y,z,\mu,\tau,s) = 0, $

(3.5a)

$ [I-P(\mu,s)] F(y,z,\mu,\tau,s) = 0. $

(3.5b)

显然,算子 $ L $ 是从 $ X_{2} $ 到 $ R(L) $ 的同构映射. 根据隐函数定理,我们知道方程 (3.5b) 存在惟一的解 $ (y,z) = (y_{1} (\mu,\tau,s),z_{1}(\mu,\tau,s)) $ 在 $ (0,0) $ 的附近. 进一步,根据有限覆盖定理,我们知道存在充分小的 $ \delta _{2} > 0 $ 和光滑函数 $ (y_{1}(\mu,\tau,s),z_{1}(\mu,\tau,s)):(\mu_{1} - \delta _{2},\mu_{2} + \delta _{2}) \times (- \delta _{2},\delta _{2}) \times ( - \delta _{2},1 + \delta _{2}) \rightarrow X_{2} $,满足 $ y_{1}(\mu,0,s) = z_{1}(\mu,0,s) = 0 $. 因此,我们只需考虑方程 (3.5a),也就是说

$P(\mu,s) F( y_{1}(\mu,\tau,s),z_{1}(\mu,\tau,s),\mu,\tau,s) = 0. $

(3.6)

由 (3.4)式,我们知道 $ y_{1}(\mu,\tau,s) $,$ z_{1}(\mu,\tau,s) $ 有以下的性质

$ y_{1}(\mu,0,s)= 0,~~z_{1}(\mu,0,s)= 0,~~y_{1}(\mu,\tau,0)= 0, $

(3.7a)

$ z_{1}(\mu,\tau,0)= \tilde{v}-\theta_{\mu},~~y_{1}(\mu,\tau,1) = \tilde{u} - \theta_{\mu},~ z_{1}(\mu,\tau,1) = 0. $

(3.7b)

根据 (3.6)式和算子 $ P $ 的定义知: 存在一个光滑的函数 $ \xi(\mu,\tau,s) $ 满足

$\xi(\mu,\tau,s){\theta_{\mu} \choose - \theta_{\mu}} = P(\mu,s) F( y_{1}(\mu,\tau,s),z_{1}(\mu,\tau,s),\mu,\tau,s). $

(3.8)

由 (3.7)式,我们知道

$\xi(\mu,0,s) = \xi(\mu,\tau,0) = \xi(\mu,\tau,1) = 0.$

因此,存在一个光滑函数 $ \xi_{1}(\mu,\tau,s) $ 满足 $ \xi(\mu,\tau,s) = \tau s (1-s)\xi_{1}(\mu,\tau,s) $. 从而,我们只需考虑方程

$ \xi_{1}(\mu,\tau,s) = 0. $

对 (3.8)式两边关于 $ \tau $ 在 $ \tau = 0 $ 处求导,我们有

$\xi_{\tau}(\mu,\tau,s){\theta_{\mu} \choose - \theta_{\mu}} = P(\mu,s) L { y_{1,\tau}(\mu,0,s) \choose z_{1,\tau}(\mu,0,s)} + P(\mu,s) F_{\tau}(0,0,\mu,0,s) \\ = P(\mu,s) F_{\tau}(0,0,\mu,0,s).$

由 (3.3)式,我们知道

$ F_{\tau}( 0,0,\mu,0,s) = {s g \theta_{\mu} - s^{2} l \theta_{\mu}^{2} -s(1-s)m \theta_{\mu}^{2} \choose (1-s) h \theta_{\mu} - (1-s)^{2} k \theta_{\mu}^{2} -s(1-s)n \theta_{\mu}^{2}},$

$P(\mu,s)F_{\tau}(0,0,\mu,0,s) \\ = s(1-s) \frac{G(\mu) - H(\mu) + s (N(\mu) - L(\mu)) + (1-s) (K(\mu) - M(\mu))}{\int_{\Omega }\theta_{\mu}^{2}} {\theta_{\mu} \choose - \theta_{\mu}},$

也就是说

$\xi_{1}(\mu,0,s) = \frac{ s(G(\mu) + N(\mu) - H(\mu) - L(\mu)) + (1 - s) (G(\mu) + K(\mu) - M(\mu) - H(\mu))}{\int_{\Omega }\theta_{\mu}^{2}}. $

(3.9)

对任意的 $ \tilde{\mu} \in (\mu_{1},\mu_{2}) $,如果函数 $ (G(\tilde{\mu}) + N(\tilde{\mu}) - H(\tilde{\mu}) - L(\tilde{\mu}))(G(\tilde{\mu}) + K(\tilde{\mu}) - M(\tilde{\mu}) - H(\tilde{\mu})) > 0 $,则存在充分小的 $ \delta _{3} > 0 $,对任意的 $ s \in \left[ 0,1 \right] $,方程 $ \xi_{1}(\tilde{\mu},\tau,s) = 0 $ 在区间 $ (\tilde{\mu} - \delta _{3},\tilde{\mu} + \delta _{3}) \times ( - \delta _{3},\delta _{3}) \times ( - \delta _{3},1 + \delta _{3}) $ 无正解. 进一步,根据有限覆盖定理,我们知道方程 $ \xi_{1}(\mu,\tau,s) = 0 $ 在区间 $ (\mu_{1} - \delta _{3},\mu_{2} + \delta _{3}) \times (- \delta _{3},\delta _{3}) \times (- \delta _{3},1 + \delta _{3}) $ 无正解. 从而,模型 (1.1) 在 $ \gamma_{\mu} $ 附近无共存解.

对任意的 $ \tilde{\mu} \in (\mu_{1},\mu_{2}) $,如果函数 $ (G(\tilde{\mu}) + N(\tilde{\mu}) - H(\tilde{\mu}) - L(\tilde{\mu}))(G(\tilde{\mu}) + K(\tilde{\mu}) - M(\tilde{\mu}) - H(\tilde{\mu})) ＜ 0 $,则 $ s_{0}(\tilde{\mu}) = \frac{G(\tilde{\mu}) + K(\tilde{\mu}) - M(\tilde{\mu})- H(\tilde{\mu})}{L(\tilde{\mu}) + K (\tilde{\mu}) - M(\tilde{\mu}) - N(\tilde{\mu})} $ 是方程 $ \xi_{1} (\tilde{\mu},0,\cdot) = 0 $ 的惟一解. 进一步,由引理 3.1 知,$ \xi_{1,s} (\tilde{\mu},0,\cdot) = \frac{M(\tilde{\mu}) + N(\tilde{\mu}) - L (\tilde{\mu}) - K (\tilde{\mu})}{\int_{\Omega }\theta_{\tilde{\mu}}^{2}} \not= 0 $. 因此,根据隐函数定理,我们知道对任意的 $ \tilde{\mu} \in [\mu_{1},\mu_{2}] $,存在充分小的 $ \delta _{4} > 0 $ 和一个光滑函数 $ s = s_{*}(\mu,\tau) $ 满足 $ s_{*}(\mu,0) = s_{0}(\mu) $ 在邻域 $ (\tilde{\mu} - \delta _{4},\tilde{\mu} + \delta _{4}) \times (- \delta _{4},\delta _{4}) \times (- \delta _{4},1 + \delta _{4}) $ 是方程 $ \xi_{1} (\mu,\tau,s) = 0 $ 的惟一解,其中,$ \tau \in (-\delta _{4},\delta _{4}) $,$ \mu \in (\tilde{\mu} - \delta _{4},\tilde{\mu} + \delta _{4}) $. 进一步,根据有限覆盖定理,我们知道上面的结论对整个区间 $ \mu $ 都成立,其中,$ (\mu,\tau,s) \in (\mu_{1} - \delta _{4},\mu_{2} + \delta _{4}) \times ( - \delta _{4},\delta _{4}) \times ( - \delta _{4},1 + \delta _{4}) $. 进而,我们知道方程 $ \xi(\mu,\tau,s) = 0 $ 的解集合包含 $ \tau = 0 $,$ s = 0 $,$ s = 1 $ 和 $ s = s_{*}(\mu,\tau) $.

由 (3.7)式,我们知道存在光滑函数 $ \tilde{y}_{1},\tilde{z}_{1} $ 使得 $ (y_{1}(\mu,\tau,s),z_{1}(\mu,\tau,s)) = (s \tilde{y}_{1}(\mu,\tau,s ),$ $(1 - s )\tilde{z}_{1}(\mu,\tau,s)) $. 因此,模型 (1.1) 的解可以写成 (3.1)式的形式,其中

$ \bar{y}(\mu,\tau) = \tilde{y}_{1}(\mu,\tau,s_{*}(\mu,\tau)),\bar{z}(\mu,\tau) = \tilde{z}_{1}(\mu,\tau,s_{*}(\mu,\tau)). $

最后,我们考虑情形 $ s_{0}(\mu_{i}) = 0 $ 或者 $ 1 - s_{0}(\mu_{i}) = 0 $,$ i = 1,2 $. 假设 $ s_{0}(\mu_{1}) = 0 $,则 $ G(\mu_{1}) + K(\mu_{1}) - M(\mu_{1}) - H(\mu_{1}) = 0 $. 我们可以证明当扰动参数 $ \tau $ 充分小时,方程 $ s_{*}(\mu,\tau) = 0 $ 在 $ \mu_{1} $ 附近存在惟一的解. 事实上,由于 $ s_{*}(\mu,0) = \frac{G(\mu) + K(\mu) - M(\mu)- H(\mu)}{L(\mu) + K(\mu) - M(\mu) - N(\mu)} $,$ s_{*}(\mu_{1},0) = 0 $ 和 $ s_{*,\mu}(\mu_{1},0) = \frac{G'(\mu_{1}) + K'(\mu_{1}) - M'(\mu_{1}) - H'(\mu_{1})}{L(\mu_{1}) + K(\mu_{1}) - M(\mu_{1}) - N(\mu_{1})} $ $ \not = 0 $,根据隐函数定理,我们知道存在充分小的 $ \delta _{5} > 0 $ 和一个光滑函数 $ \mu = \underline{\mu}(\tau) $ 满足 $ \underline{\mu}(0) = \mu_{1} $ 是方程 $ s_{*}(\mu,\tau) = 0 $ 在 $ \mu_{1} $ 附近的惟一解. 类似地,我们可以证明存在一个光滑函数 $ \mu = \bar{\mu}(\tau) $ 满足 $ \bar{\mu}(0) = \mu_{2} $ 是方程 $ s_{*}(\mu,\tau) = 0 $ 在 $ \mu_{2} $ 附近的惟一解. 情形 $ 1 - s_{0}(\mu_{i}) = 0 $,$ i = 1,2 $,我们可以类似地处理,我们在此省略其证明. 证毕.

在本节中,我们讨论当扰动参数 $ \tau $ 充分小时,模型 (1.1) 共存解 $ (u(\mu,\tau),v(\mu,\tau)) $ 的稳定性及其共存解的全局动力学行为,从而我们完成了定理 1.1 的证明. 为方便起见,我们假定 $ \tau > 0 $,情形 $ \tau ＜ 0 $ 有类似的结论. 特别地,共存解 $ (u(\mu,\tau),v(\mu,\tau)) $ 的稳定性由问题 (2.1) 的主特征值 $ \lambda_{1}(\mu,\tau) \approx 0 $ 的符号所决定,即

$\left\{\begin{array}{ll} \mu \Delta \varphi + [a + \tau g - 2(1 + \tau l)u - (1 + \tau m)v] \varphi - u (1 + \tau m) \psi + \lambda\varphi = 0 ,& \mathrm{in} \Omega ,\\ \mu \Delta \psi + [a + \tau h - (1 + \tau n) u- 2 (1 + \tau k)v] \psi - v (1 + \tau n)\varphi + \lambda\psi = 0 ,& \mathrm{in} \Omega ,\\ _{\upsilon} \varphi = _{\upsilon} \psi = 0 ,& \mathrm{on} \Omega . \end{array}\right.$

(4.1)

当 $ 0 ＜ \tau \ll 1 $,我们令

$ \varphi (\mu,\tau) = \theta_{\mu} + \tau \varphi _{1} (\mu,\tau),~\psi(\mu,\tau) = -\theta_{\mu} + \tau \psi_{1} (\mu,\tau),$

其中,$ \varphi _{1} (\mu,\tau) $ 和 $ \psi_{1} (\mu,\tau) $ 是光滑函数. 为了讨论共存解 $ (u(\mu,\tau),v(\mu,\tau)) $ 的稳定性,我们在此考虑三种情形: $ \mu $ 接近 $ \mu_{1} $,$ \mu $ 接近 $ \mu_{2} $ 与 $ \mu $ 同时远离 $ \mu_{1} $ 和 $ \mu_{2} $. 首先,我们给出判断主特征值 $ \lambda_{1}(\mu,\tau) $ 符号的一般表达式.

引理4.1 假设 $ 0 ＜ \tau \ll 1 $,则问题 (4.1) 的主特征值 $ \lambda_{1} (\mu,\tau) $ 满足

$\frac{\lambda_{1}(\mu,\tau)}{\tau} \int_{\Omega } (\varphi v - \psi u) = \int_{\Omega } (h - g) (\psi u + \varphi v) + \int_{\Omega } (l - n) \psi u^{2} + \int_{\Omega }(m-k) \varphi v^{2} \\ + 2 \int_{\Omega } (l - n) u v \varphi + 2 \int_{\Omega } (m - k) u v \psi. $

(4.2)

证 在 (4.1)式的第一个方程两边同时乘以 $ v $ 再分部积分,我们有

$-\lambda_{1}(\mu,\tau) \int_{\Omega } \varphi v = \tau \int_{\Omega } g \varphi v - \tau \int_{\Omega } h \varphi v - \int_{\Omega } u v \varphi - \int_{\Omega } u v \psi + \tau \int_{\Omega } n u v \varphi \\ - 2 \tau \int_{\Omega }l u v \varphi - \tau \int_{\Omega } m \varphi v^{2} - \tau \int_{\Omega } m u v \psi + \tau \int_{\Omega } k \varphi v^{2}. $

(4.3)

类似地,我们有

$- \lambda_{1}(\mu,\tau) \int_{\Omega } \psi u = \tau \int_{\Omega } h \psi u - \tau \int_{\Omega } g \psi u - \int_{\Omega } u v \varphi - \int_{\Omega } u v \psi - \tau \int_{\Omega } n \psi u^{2} \\ - 2 \tau \int_{\Omega } k \psi u v + \tau \int_{\Omega } l \psi u^{2} - \tau \int_{\Omega } n u v \varphi + \tau \int_{\Omega } m \psi u v. $

(4.4)

因此,由 (4.3)和 (4.4)式,我们得到 (4.2)式. 证毕.

其次,当扩散系数 $ \mu $ 同时远离 $ \mu_{1} $ 和 $ \mu_{2} $ 时,我们给出在 (4.2)式的基础上,判断主特征值 $ \lambda_{1}(\mu,\tau) $ 符号的具体表达式.

引理4.2 对任意的 $ \eta > 0 $ 和 $ \mu \in [\mu_{1} + \eta,\mu_{2} - \eta] $,我们有

$\lim_{\tau \rightarrow 0_{+}} \frac{\lambda_{1}(\mu,\tau)}{\tau} = \frac{[G(\mu) + K(\mu) - M(\mu)- H(\mu)][L(\mu) + H(\mu) - N(\mu) - G(\mu)]}{L(\mu) + K(\mu) - M(\mu)- N(\mu)}\frac{1}{\int_{\Omega }\theta_{\mu}^{2}}. $

(4.5)

证 当 $ \tau \rightarrow 0_{+} $,我们有 $ (u(\mu,\tau),v(\mu,\tau)) \rightarrow (s(\mu)\theta_{\mu},(1 - s(\mu)) \theta_{\mu}) $ 和 $ (\varphi (\mu,\tau),\psi(\mu,\tau)) \rightarrow (\theta_{\mu},- \theta_{\mu}) $,则 $ \int_{\Omega } (\varphi v - \psi u ) \rightarrow \int_{\Omega } \theta_{\mu}^{2} $,

$ \int_{\Omega } (h - g) (\psi u + \varphi v) + \int_{\Omega } (l - n) \psi u^{2} + \int_{\Omega }(m-k) \varphi v^{2} + 2 \int_{\Omega } (l - n) u v \varphi + 2 \int_{\Omega } (m - k) u v \psi \\ = \frac{[G(\mu) + K(\mu) - H(\mu)- M(\mu)][L(\mu) + H(\mu) - N(\mu) - G(\mu)]}{L(\mu) + K(\mu) - N(\mu)- M(\mu)}.$

由 (4.2)式知,我们有 (4.5)式. 证毕.

再次,我们考虑当扩散系数 $ \mu $ 接近 $ \mu_{1} $ 或者 $ \mu_{2} $ 时,我们给出在 (4.2)式基础上,判断主特征值 $ \lambda_{1} (\mu,\tau) $ 符号的具体表达式. 特别地,当 $ \mu \rightarrow \mu_{1+} $,我们假设 $ G(\mu_{1+}) + K(\mu_{1+}) - M(\mu_{1+})- H(\mu_{1+}) = 0 $,则 $ s_{*} (\underline{\mu},\tau) = 0 $,其中,$ \underline{\mu} = \underline{\mu}(\tau) $. 当 $ \tau \rightarrow 0_{+} $,$ (u(\underline{\mu},\tau),v(\underline{\mu},\tau)) $ $ = (0,\tilde{v}) \rightarrow (0,\theta_{\underline{\mu}}) $.

引理4.3 假设 $ G(\mu_{1+}) + K(\mu_{1+}) - M(\mu_{1+}) - H(\mu_{1+}) = 0 $ 且 $ \mu_{1+} $ 是单根,则

$\lim_{(\mu,\tau) \rightarrow (\mu_{1+},0_{+})} \frac{\lambda_{1}(\mu,\tau)}{\tau(\mu - \underline{\mu}(\tau))} = \frac{G'(\mu_{1+}) + K'(\mu_{1+})- M' (\mu_{1+}) - H'(\mu_{1+})}{\int_{\Omega }\theta_{\mu_{1+}}^{2}}. $

(4.6)

证 显然,我们有

$\underline{\mu} \Delta \varphi + \varphi (a + \tau g - (1 + \tau m) v(\underline{\mu},\tau)) = 0,~~\partial _{\upsilon} \varphi = 0. $

(4.7)

在 (4.7)式的两边同时乘以 $ v(\underline{\mu},\tau) $ 再进行分部积分,我们有

$ \int_{\Omega } ((g - h) \varphi (\underline{\mu},\tau) v(\underline{\mu},\tau) - (m - k) \varphi (\underline{\mu},\tau) v^{2}(\underline{\mu},\tau)) = 0. $

令 $ I (\mu,\tau) $ 为 (4.2)式的右端,我们有 $ I (\underline{\mu},\tau) = 0 $. 由微分中值定理,我们知道存在 $ \mu^{*} = \mu^{*} (\mu,\tau) \in (\underline{\mu},\mu) $ 使得

$ I (\mu,\tau) = (\mu - \underline{\mu}) I_{\mu} ' (\mu^{*},\tau). $

对 $ I $ 两边关于 $ \mu $ 求导,我们有

$I'_{\mu} (\mu,\tau) = \int_{\Omega } (h - g) (\psi_{\mu} u + \psi u_{\mu} + \varphi _{\mu} v + \varphi v_{\mu}) + \int_{\Omega } (l - n) (\psi_{\mu} u^{2} + 2 \psi u u_{\mu}) \\ + \int_{\Omega } (m - k) (\varphi _{\mu} v^{2} + 2 \varphi v v_{\mu}) + 2 \int_{\Omega } (l - n) (u_{\mu} v \varphi + u v_{\mu} \varphi + u v \varphi _{\mu}) \\ + 2 \int_{\Omega } (m - k) (u_{\mu} v \psi + u v_{\mu} \psi + u v \psi_{\mu}).$

显然,当 $ \tau \rightarrow 0_{+},\mu \rightarrow \mu_{1+} $,我们有 $ u\rightarrow 0 $,$ v \rightarrow \theta_{\mu_{1}} $,$ \varphi \rightarrow \theta_{\mu_{1}} $,$ \psi \rightarrow - \theta_{\mu_{1}} $,$ u_{\mu} \rightarrow s_{0}' (\mu_{1}) \theta_{\mu_{1}} $,$ v_{\mu} \rightarrow - s_{0}'(\mu_{1}) \theta_{\mu_{1}} + \theta_{\mu_{1}}' $,$ \varphi _{\mu} $ $ \rightarrow \theta_{\mu_{1}}' $ 和 $ \psi_{\mu} $ 是一致有界的. 由于 $ G(\mu_{1+}) + K(\mu_{1+}) - M(\mu_{1+}) - H(\mu_{1+}) = 0 $,我们有

$I_{\mu}'(\mu_{1+},0) = 2 s_{0}'(\mu_{1+}) (L(\mu_{1+}) + K(\mu_{1+})- M(\mu_{1+}) - N(\mu_{1+})) \\ + (H'(\mu_{1+}) - G' (\mu_{1+}) + M' (\mu_{1+}) - K' (\mu_{1+})).$

显然,$ s_{0}'(\mu_{1+}) = \frac{G'(\mu_{1+}) + K'(\mu_{1+}) - H'(\mu_{1+}) - M'(\mu_{1+})}{L(\mu_{1+}) + K(\mu_{1+})- M(\mu_{1+}) - N(\mu_{1+})} $. 因此

$ I'_{\mu}(\mu_{1+},0) = G'(\mu_{1+}) + K'(\mu_{1+}) - M'(\mu_{1+}) - H'(\mu_{1+}). $

由 (4.2)式,我们有 (4.6)式. 证毕.

当 $ \mu \rightarrow \mu_{2-} $,我们假设 $ G(\mu_{2-}) + K(\mu_{2-}) - M(\mu_{2-}) - H(\mu_{2-}) = 0 $,则 $ s_{*} (\bar{\mu},\tau) = 0 $,其中,$ \bar{\mu} = \bar{\mu} (\tau) $. 由于下面引理的证明与引理 4.3 的证明类似,我们略去其证明过程仅陈述其结论.

引理4.4 假设 $ G(\mu_{2-}) + K(\mu_{2-}) - M(\mu_{2-}) - H(\mu_{2-}) = 0 $ 且 $ \mu_{2-} $ 是单根. 则

$\lim_{(\mu,\tau) \rightarrow (\mu_{2-},0_{+})} \frac{\lambda_{1}(\mu,\tau)}{\tau(\mu - \bar{\mu} (\tau))} = \frac{G'(\mu_{2-}) + K'(\mu_{2-}) - M'(\mu_{2-}) - H'(\mu_{2-})}{\int_{\Omega }\theta_{\mu_{2-}}^{2}}. $

(4.8)

最后,通过引理 4.1-4.4,我们建立了模型 (1.1) 共存解的稳定性及其全局动力学行为.

定理4.1 假设 $ \mu_{1} $ 和 $ \mu_{2} $ 是函数 $ (G + N - H - L)(G + K - M - H) $ 相邻的两个单根,且函数 $ (G + N - H - L)(G + K - M - H) ＜ 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,则存在充分小的 $ \tau_{*} > 0 $,使得对任意的 $ \tau \in (0,\tau_{*}) $,$ \mu \in (\underline{\mu}(\tau),\bar{\mu} (\tau)) $,我们有:

$ (\mathrm{i}) $ 如果 $ G + K - M - H > 0 $ 且 $ G + N - H - L ＜ 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,则 $ \lambda_{1} (\mu,\tau) > 0 $,也就是说,模型 (1.1) 存在惟一的共存解,并且该共存解是全局吸引的;

$ (\mathrm{ii}) $ 如果 $ G + K - M -H ＜ 0 $ 且 $ G + N - H - L > 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,则 $ \lambda_{1} (\mu,\tau) ＜ 0 $,也就是说,模型 (1.1) 存在一个不稳定的共存解.

证 我们仅考虑情形 (i). 我们采用反证法. 假设存在 $ \tau_{i} \rightarrow 0_{+},\mu_{i} \in (\underline{\mu}(\tau_{i}),\bar{\mu}(\tau_{i})) $ 使得 $ \lambda_{1} (\mu_{i},\tau_{i}) \leq 0 $ 对 $ i = 1,2,\cdot \cdot \cdot $. 取极限,我们有 $ \underline{\mu}(\tau_{i}) \rightarrow \mu_{1+},\bar{\mu} (\tau_{i}) \rightarrow \mu_{2-},\mu_{i}\rightarrow \mu^{*} \in [\mu_{1},\mu_{2}] $.

当 $ \mu^{*} \in (\mu_{1},\mu_{2}) $,由引理 4.2,我们有

$\lim_{(\mu_{i},\tau_{i}) \rightarrow (\mu^{*},0_{+})} \frac{\lambda_{1}(\mu,\tau)}{\tau} \\ = \frac{[G(\mu^{*}) + K(\mu^{*}) - M(\mu^{*})- H(\mu^{*})][L(\mu^{*}) + H(\mu^{*}) - N(\mu^{*}) - G(\mu^{*})]}{L(\mu^{*}) + K(\mu^{*}) - N(\mu^{*}) - M(\mu^{*})}\frac{1}{\int_{\Omega }\theta_{\mu^{*}}^{2}} > 0.$

因此,对充分大的 $ i $,我们有 $ \lambda_{1}(\mu_{i},\tau_{i}) > 0 $,矛盾.

当 $ \mu^{*} = \mu_{1} $ 或 $ \mu^{*} = \mu_{2} $,我们考虑 $ \mu^{*} = \mu_{1} $ 的情形. 假设 $ G(\mu_{1+}) + K(\mu_{1+}) - M(\mu_{1+})- H(\mu_{1+}) = 0,G(\mu) + K(\mu) - M(\mu) $ $ - H(\mu) > 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $ 且 $ \mu_{1} $ 是单根,则 $ G'(\mu_{1+}) + K'(\mu_{1+}) - M'(\mu_{1+}) $ $ - H'(\mu_{1+}) > 0 $. 由引理 4.3 知

$ \lim_{(\mu_{i},\tau_{i}) \rightarrow (\mu_{1+},0_{+})} \frac{\lambda_{1}(\mu_{i},\tau_{i})}{\tau_{i}(\mu_{i} - \underline{\mu}(\tau_{i}))} = \frac{G'(\mu_{1+}) + K'(\mu_{1+}) - H'(\mu_{1+})- M'(\mu_{1+})}{\int_{\Omega }\theta_{\mu_{1+}}^{2}} > 0. $

因此,对充分大的 $ i $,我们有 $ \lambda_{1}(\mu_{i},\tau_{i}) > 0 $,矛盾. $ \mu^{*} = \mu_{2} $ 的情形可以类似的证明,我们省略其证明过程.

根据单调动力系统理论,我们知道如果 $ G + K - M - H > 0 $,$ G + N - H - L ＜ 0 $ 在 $ (\mu_{1},\mu_{2}) $,则模型 (1.1) 存在惟一的共存解,并且该共存解是全局吸引的. 情形 (ii) 可以类似的证明,我们省略其证明过程. 证毕.