近几十年,已有许多学者致力于研究抛物型方程解的整体存在性与爆破现象以及定性性质,且已有大量专著和综述性的成果 (见文献[1-6]). 特别是,Quittner 和 Souplet 在专著 ^[3]的第五章中详细介绍了具有 Dirichlet 边界条件的非局部反应-扩散方程解的定性性质. 实际上,非局部模型与局部模型相比更加接近于实际问题. 但是非局部模型的理论相对于局部模型还不够完善,且许多局部理论不再成立于非局部情形. 本文中,我们的兴趣在于导出具有 Robin 边界条件的非局部反应-扩散方程解的爆破时间下界的估计. 据我们所知,已有大量的方法可用于研究抛物型方程解的爆破时间上界 (见文献[7]中六种方法). 然而,爆破解的爆破时间下界一般较难确定. 最近,关于非局部抛物型问题爆破解的爆破时间下界估计的研究方面有了新的进展,我们提供给读者阅读文献[8-13](常系数情形) 及 ^[14] (时变系数情形).

尤其是,我们关注最近 Song 和 Lv^[15-16] 的研究. 他们考虑了如下具有加权局部源项的半线性抛物型方程

$u_{t}=\Delta u+a(x)f(u),(x,t)\in\Omega \times(0,t^{\ast}),$

其中加权函数 $a(x)\in C^{2}(\Omega )\bigcap C^{0}(\bar{\Omega })$ 满足

(a$_{1}): a(x)>0,x\in\Omega ,a(x)=0,x\in\partial \Omega ; $ 或 (a$_{2}): a(x)\geq c>0,\ \forall x\in\bar{\Omega }; $ 或

($a_{3}): a(x)\equiv 0,\ \forall x\in\bar{\Omega }; $ 或 (a$_{4}): 0＜c_{1}＜a(x)＜c_{2},\ \forall x\in\bar{\Omega }.$

当初边值问题具有非线性 Neumann 边界条件,且权函数 $a(x)$ 满足 $(\rm a_{1})$ 或 $(\rm a_{3})$ 或 $(\rm a_{4})$ 时,他们得到了三维空间中解的爆破时间界的估计^[15]. 在文献 [16]中,他们考虑了初边值问题具有齐次 Dirichlet 和齐次 Neumann 边界条件且权函数 $a(x)$ 满足 $(\rm a_{1})$ 或 $(\rm a_{2})$ 的情形,在具有光滑边界的有界区域 $\Omega \subset{\Bbb R}^{N}(N\geq3)$ 中得到了解的爆破时间界与爆破速率的估计. 注意到,他们的结论中也包含一些非线性项 $f(u)$ 满足非局部条件的情形.最近,Ma 和 Fang 在文献[17-18]中分别研究了具有加权的局部或非局部内部吸收项和非线性边界流的反应- 扩散模型.

综上所述,在高维空间中具有加权非局部源项的 Robin 初边值问题解的爆破时间下界的研究还未得到展开. 主要难点在于找到加权函数对爆破现象的影响.受如上文献启发,我们研究如下具有加权非局部源项的反应-扩散方程

$u_{t}=\Delta u+a(x)f(u),(x,t)\in\Omega \times(0,t^{\ast})$

(1.1)

满足 Robin 边界条件及初始条件

$\frac{\partial u}{\partial \nu}+\sigma u=0,(x,t)\in\partial \Omega \times(0,t^{\ast}),$

(1.2)

$u(x,0)=u_{0}(x)\geq0,x\in\Omega ,$

(1.3)

其中 $\sigma＜0$,$\Omega \subset{\Bbb R}^{N}$ $(N\geq2)$ 是具有光滑边界 $\partial \Omega $ 的有界星形区域,$\nu$ 是 $\partial \Omega $ 上的单位外法向量,且 $t^{\ast}$ 表示可能发生爆破的时间,反之,$t^{\ast}=+\infty$.此外,非线性项 $f(u)$ 为满足适当非局部条件的连续函数,权函数 $a(x)\in C^{0}(\bar{\Omega })$ 满足

${\rm (a_{1}):}$ $a(x)>0$,$x\in\Omega $,$a(x)=0$,$x\in\partial \Omega $; \\ 或者

${\rm (a_{2}):}$ $a(x)\geq c>0$,$\forall x\in\bar{\Omega }$,

其中 $c$ 是正常数.同时,初始值 $u_{0}(x)$ 为 $C^{1}$ -类连续函数且满足相容性条件.注意到,当 $\sigma$ 为正常数且非线性项 $f(u)$ 是非负的,由经典的抛物型方程理论易知问题 (1.1)-(1.3) 存在唯一的非负光滑解.然而,当 $\sigma$ 为负常数时无法保证解的非负性,这就是本文的难点和区别点.我们的非局部模型 (1.1) 出现在许多自然现象中,比如爆炸模型、可压缩的反应性气体模型、人口动力学模型、具有人为控制分布的生物种群模型以及二元合金的相分离模型等,参考文献[19-22]及相关文献. 下面,我们将在高维空间中按两种不同的测度意义下建立问题 (1.1)-(1.3) 的解发生爆破时爆破时间下界的估计.

文献[16]表明当权函数 $a(x)$ 和非线性项 $f(u)$ 满足一定的条件时,具有齐次 Neumann 边界条件的模型 (1.1) (1.3) 的非负解在有限时刻发生爆破且得到了爆破时间的上界. 因此,利用 ^[16] 中介绍的方法,在相同的条件下对我们研究的模型 (1.1)-(1.3) 中非负解可导出爆破结论. 证明中唯一的不同点是我们去掉了正项. 这意味着我们所研究的具有 Robin 边界条件的模型中解的爆破时间在具有齐次 Nuemann 边界条件的模型中解的爆破时间的前面. 因此,在全文中我们假设问题 (1.1)-(1.3) 的解在有限时刻发生爆破.

因为问题 (1.1)-(1.3) 解的非负性不可知,所以我们假设 $f(u)$ 满足如下非局部条件

${\rm (H_{1}):}$ $s(x,t)f(s(x,t))\leq |s(x,t)|^{k+1}(\int_{\Omega }|s(x,t)|^{l+1}{\rm d}x)^{m}$.

为了导出爆破时间的下界,我们建立辅助函数

$\varphi (t)=\int_{\Omega }|u|^{l+1}{\rm d}x.$

方便起见,我们令 $\varphi (t)=\varphi _{+}(t)+\varphi _{-}(t)$,其中

$\varphi _{+}(t)=\int_{\Omega _{+}}u^{l+1}{\rm d}x,\Omega _{+}=\{x\in\Omega |u(x,t)>0\},t\in(0,t^{\ast}),$

$\varphi _{-}(t)=\int_{\Omega _{-}}|u|^{l+1}{\rm d}x,\Omega _{-}=\{x\in\Omega |u(x,t)＜0\},t\in(0,t^{\ast}).$

下面,我们将按两种情形讨论.

首先,给出如下第一种情形的主要结论：

情形 1 $0\leq k\leq1$.

定理2.1 假设 $u(x,t)$ 是问题 (1.1)-(1.3) 的古典解,且 $u(x,t)$ 在有限时间 $t^{\ast}$ 发生爆破,函数 $f$ 满足 ${\rm (H_{1})}$,其中 $0\leq k\leq1$,$l>0$,$m>0$,且 $k+(l+1)m>1$. 同时,权函数 $a(x)\in C^{0}(\bar{\Omega })$ 满足 ${\rm (a_{1})}$ 或 ${\rm (a_{2})}$. 则在 $\varphi (t)$ 测度意义下,爆破时间 $t^{\ast}$ 的下界为

$t^{\ast}\geq T_{1}=\int_{\varphi (0)}^{\infty}\frac{{\rm d}\eta}{K_{1}\eta+K_{2}\eta^{m+\frac{l+k}{l+1}}},$

其中 $\varphi (0)=\int_{\Omega }u_{0}^{l+1}{\rm d}x$,且 $K_{1}$,$K_{2}$ 为可计算的正常数.

证 首先,对 $\varphi _{-}(t)$ 求微分并利用 (1.1) (1.2)式,条件 ${\rm (H_{1})}$ 以及 Green 公式,有

$\varphi '_{-}(t)=-(l+1)\int_{\Omega _{-}}|u|^{l}u_{t}{\rm d}x =-(l+1)\int_{\Omega _{-}}|u|^{l}\big(\Delta u+a(x)f(u)\big){\rm d}x \\ =-\sigma(l+1)\int_{\partial \Omega _{-}}|u|^{l+1}{\rm d}s-(l+1)l\int_{\Omega _{-}}|u|^{l-1}|\nabla u|^{2}{\rm d}x+(l+1)\int_{\Omega _{-}}a(x)|u|^{l-1}uf(u){\rm d}x \\ \leq -\sigma(l+1)\int_{\partial \Omega _{-}}|u|^{l+1}{\rm d}s-(l+1)l\int_{\Omega _{-}}|u|^{l-1}|\nabla u|^{2}{\rm d}x \\ +(l+1)\int_{\Omega _{-}}a(x)|u|^{l+k}{\rm d}x \bigg(\int_{\Omega _{-}}|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m}.$

(2.1)

类似地,我们可以算出

$\varphi '_{+}(t) \leq -\sigma(l+1)\int_{\partial \Omega _{+}}u^{l+1}{\rm d}s-(l+1)l\int_{\Omega _{+}}u^{l-1}|\nabla u|^{2}{\rm d}x \\ +(l+1)\int_{\Omega _{+}}a(x)u^{l+k}{\rm d}x \bigg(\int_{\Omega _{+}}u^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m}.$

(2.2)

将 (2.1) 和 (2.2)式相加,我们得到

$\varphi '(t) \leq -\sigma(l+1)\int_{\partial \Omega }|u|^{l+1}{\rm d}s-(l+1)l\int_{\Omega }|u|^{l-1}|\nabla u|^{2}{\rm d}x \\ +(l+1)\int_{\Omega }a(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\bigg(\int_{\Omega }|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m}.$

(2.3)

下面,我们先估计(2.3)式不等号右端第一项. 由散度定理,我们可导出

$\int_{\partial \Omega }|u|^{l+1}{\rm d}s\leq \frac{N}{\rho_{0}} \int_{\Omega }|u|^{l+1}{\rm d}x +\frac{(l+1)d}{\rho_{0}}\int_{\Omega }|u|^{l}|\nabla u|{\rm d}x,$

(2.4)

其中

$\rho_{0}=\min_{x\in\partial \Omega }(x\cdot \nu) > 0,d=\max_{x\in\bar{\Omega }}|x|.$

注意到,若 $\Omega $ 是关于原点的有界星形区域,则 $d$ 存在;而当 $\Omega $ 是关于 $x_{0}\neq 0$ 的有界星形区域,则利用平移技巧并取

$\rho_{0}=\min_{x\in\partial \Omega }((x-x_{0})\cdot \nu),d=\max_{x\in\bar{\Omega }}|x-x_{0}|,$

易知不等式 (2.4) 仍成立. 之后,对(2.4)式不等号右端第二项,运用 Schwarz 不等式及 Young 不等式,我们有

$\int_{\Omega }|u|^{l}|\nabla u|{\rm d}x \leq \bigg(\int_{\Omega }|u|^{l-1}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg(\int_{\Omega }|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \\ \leq \frac{\delta _{1}}{2}\int_{\Omega }|u|^{l-1}|\nabla u|^{2}{\rm d}x+\frac{1}{2\delta _{1}}\int_{\Omega }|u|^{l+1}{\rm d}x,$

(2.5)

其中 $\delta _{1}$ 是待定的正常数.

下面,对(2.3)式不等号右端最后一项,利用 Hölder 不等式,我们得到

$\int_{\Omega }a(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\leq \bigg(\int_{\Omega }|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{\frac{l+k}{l+1}} \bigg(\int_{\Omega }(a(x))^{\frac{l+1}{1-k}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1-k}{l+1}},$

(2.6)

并由 $0\leq k\leq 1$ 且 $l>0$,可知 $\frac{l+k}{l+1},\frac{1-k}{l+1}\in\left[ \text{0,1} \right]$.

因此,将 (2.4)-(2.6) 式代入到 (2.3)式中,我们可以导出

$\varphi '(t)\leq K_{1}\varphi (t)+K_{2}(\varphi (t))^{m+\frac{l+k}{l+1}}+K_{3}\int_{\Omega }|u|^{l-1}|\nabla u|^{2}{\rm d}x,%\eqno(2.7)$

(2.7)

其中

$K_{1}=\frac{-\sigma d(l+1)^{2}}{2\delta _{1}\rho_{0}}+\frac{-\sigma N(l+1)}{\rho_{0}},\\ K_{2}=(l+1)\bigg(\int_{\Omega }(a(x))^{\frac{l+1}{1-k}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1-k}{l+1}},\\ K_{3}=\frac{-\sigma d(l+1)^{2}}{2\rho_{0}}\delta _{1}-(l+1)l.$

我们选取 $\delta _{1}=\frac{2l\rho_{0}}{-\sigma(l+1)d}>0$ 使得 $K_{3}=0$,则 (2.7) 式变为

$\varphi '(t)\leq K_{1}\varphi (t)+K_{2}(\varphi (t))^{m+\frac{l+k}{l+1}}.$

(2.8)

如果 $\displaystyle\lim_{t\rightarrow t^{\ast}}\varphi (t)=\infty$,对 (2.8)式从 $0$ 到 $t^{\ast}$ 积分,我们得到

$t^{\ast}\geq T_{1}=\int_{\varphi (0)}^{\infty}\frac{{\rm d}\eta}{K_{1}\eta+K_{2}\eta^{m+\frac{l+k}{l+1}}}.$

(2.9)

定理2.1证毕.

情形 2 $k>1$.

由于分析情形 2 时应用了高维空间中的 Sobolev 型不等式,所以我们这里要求 $\Omega \subset {\Bbb R}^{N}(N\geq3)$ 是具有光滑边界的有界凸区域.

定理2.2 假设 $u(x,t)$ 是问题 (1.1)-(1.3) 的古典解,且 $u(x,t)$ 在有限时间 $t^{\ast}$ 发生爆破,函数 $f$ 满足 ${\rm (H_{1})}$,其中

$k>1,\ l+1>\max\bigg\{1,\frac{2(k-1)(N-2)}{2N-3-2(N-2)(m+1)}\bigg\},\ 0＜m＜\frac{1}{2N-4}.$

同时,权函数 $a(x)\in C^{0}(\bar{\Omega })$ 满足 ${\rm (a_{1})}$ 或 ${\rm (a_{2})}$. 则在 $\varphi (t)$ 测度意义下,爆破时间 $t^{\ast}$ 的下界为

$t^{\ast}\geq T_{2}=\int_{\varphi (0)}^{\infty}\frac{{\rm d}\eta} {L_{1}+L_{2}\eta+L_{3}\eta^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}+ L_{4}\eta^{\frac{3(N-2)}{3N-8}}},$

其中 $L_{1}$,$L_{2}$,$L_{3}$ 和 $L_{4}$ 为可计算的正常数.

注2.1 由 $k>1$,$l+1>\max\{1,\frac{2(k-1)(N-2)}{2N-3-2(N-2)(m+1)}\}$,且 $0＜m＜\frac{1}{2N-4}$,易知 $k+(l+1)m>1$ 成立.

证 首先,类似于定理 2.1 的证明过程,可得到

$\varphi '(t) \leq \left[\frac{-\sigma d(l+1)^{2}}{2\mu_{1}\rho_{0}}+\frac{-\sigma N(l+1)}{\rho_{0}}\right]\varphi (t)+ \bigg(\frac{-2\sigma d}{\rho_{0}}\mu_{1}-\frac{4l}{l+1}\bigg)\int_{\Omega }|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x \\ +(l+1)\int_{\Omega }a(x)|u|^{l+k}{\rm d}x \bigg(\int_{\Omega }|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m},$

(2.10)

其中 $\mu_{1}$ 是待定的正常数. 由 $k>1$,我们对 (2.10) 式不等号右端的最后一项,利用两次 Hölder 不等式,可分别导出

$\bigg(\int_{\Omega }|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m}\leq\bigg(\int_{\Omega }(a(x))^{-\frac{l+1}{k-1}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(k-1)m}{l+k}} \bigg(\int_{\Omega }a(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(l+1)m}{l+k}},$

(2.11)

$\int_{\Omega }a(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\leq\bigg(\int_{\Omega }(a(x))^{\frac{(l+1)m+l+k}{(l+1)m}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(l+1)m}{(l+1)m+l+k}} \bigg(\int_{\Omega }|u|^{(l+1)m+l+k}{\rm d}x\bigg)^{\frac{l+k}{(l+1)m+l+k}}.$

(2.12)

现在,将 (2.11) 和 (2.12) 式代入到 (2.10)式中的最后一项,我们有

$(l+1)\int_{\Omega }a(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\bigg(\int_{\Omega }|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m} \\ \leq (l+1)\bigg(\int_{\Omega }(a(x))^{-\frac{l+1}{k-1}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(k-1)m}{l+k}} \bigg(\int_{\Omega }(a(x))^{\frac{(l+1)m+l+k}{(l+1)m}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(l+1)m}{l+k}}\int_{\Omega }|u|^{(l+1)m+l+k}{\rm d}x.$

(2.13)

之后,对 (2.13)式运用 Hölder 不等式以及 Young 不等式,我们算出

$\int_{\Omega }|u|^{(l+1)m+l+k}{\rm d}x \leq \bigg(\int_{\Omega }|u|^{\frac{(l+1)(2N-3)}{2(N-2)}}{\rm d}x\bigg)^{q_{1}}|\Omega |^{1-q_{1}} \\ \leq q_{1}\int_{\Omega }|u|^{\frac{(l+1)(2N-3)}{2(N-2)}}{\rm d}x+(1-q_{1})|\Omega |,$

(2.14)

其中

$q_{1}=\frac{2(N-2)((l+1)m+l+k)}{(l+1)(2N-3)}.$

(2.15)

注意到,由于 $l+1>\frac{2(k-1)(N-2)}{2N-3-2(N-2)(m+1)}$ 且 $0＜m＜\frac{1}{2N-4}$,可知 $q_{1}\in (0,1)$.

下面,对 (2.14) 式不等号右端第一项,再次利用 Hölder 不等式,我们得到

$\int_{\Omega }|u|^{\frac{(l+1)(2N-3)}{2(N-2)}}{\rm d}x\leq\bigg(\int_{\Omega }(|u|^{\frac{l+1}{2}})^{\frac{2N}{N-2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{4}}(\varphi (t))^{\frac{3}{4}}.$

(2.16)

对 (2.16) 式利用文献[23]中高维空间 $(N\geq3)$ 中的 Sobolev 不等式,可知

$\||u|^{\frac{l+1}{2}}\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Omega )}\leq C_{s}\||u|^{\frac{l+1}{2}}\|_{w^{1,2}(\Omega )},$

其中 $C_{s}$ 是 Sobolev 最优化常数. 同时,由 Jensen 不等式可导出

$\bigg(\int_{\Omega }(|u|^{\frac{l+1}{2}})^{\frac{2N}{N-2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{4}}\leq C_{b}\left[(\varphi (t))^{\frac{N}{4(N-2)}}+ \bigg(\int_{\Omega }|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{N}{4(N-2)}}\right],$

(2.17)

其中

$C_{b}= \left\{\begin{array}{ll} 2^{\frac{1}{2}}(C_{s})^{\frac{3}{2}},~~&\mbox{对$ N=3$,}\\ (C_{s})^{\frac{N}{2(N-2)}},& \mbox{对 $N>3.$} \end{array}\right.$

(2.18)

将 (2.14)-(2.17) 式代入到 (2.13) 式中,并由 Young 不等式,我们有

$(l+1)\int_{\Omega }a(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\bigg(\int_{\Omega }|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m} \\ \leq (l+1)\bigg(\int_{\Omega }(a(x))^{-\frac{l+1}{k-1}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(k-1)m}{l+k}} \bigg(\int_{\Omega }(a(x))^{\frac{(l+1)m+l+k}{(l+1)m}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(l+1)m}{l+k}} \\ \times\bigg [(1-q_{1})|\Omega |+q_{1}C_{b}(\varphi (t))^{\frac{2N-3}{2(N-2)}} +\frac{q_{1}N\mu_{2}}{4(N-2)}\int_{\Omega }|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x \\ +\frac{q_{1}(3N-8)C_{b}^{\frac{4(N-2)}{3N-8}}} {4(N-2)\mu_{2}^{\frac{N}{3N-8}}}(\varphi (t))^{\frac{3(N-2)}{3N-8}}\bigg],$

(2.19)

其中 $\mu_{2}$ 是待定的正常数.

最后,将 (2.19)式代入到 (2.10)式,整理得到

$\varphi '(t)\leq L_{1}+L_{2}\varphi (t)+L_{3}(\varphi (t))^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}+L_{4}(\varphi (t))^{\frac{3(N-2)}{3N-8}} +L_{5}\int_{\Omega }|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x,$

其中

$L_{1}=(1-q_{1})L_{6}|\Omega |,\\ L_{2}=\frac{-\sigma d(l+1)^{2}}{2\mu_{1}\rho_{0}}+\frac{-\sigma N(l+1)}{\rho_{0}},\\ L_{3}=q_{1}C_{b}L_{6},\\ L_{4}=\frac{q_{1}(3N-8)C_{b}^{\frac{4(N-2)}{3N-8}}}{4(N-2)\mu_{2}^{\frac{N}{3N-8}}}L_{6},\\ L_{5}=\frac{-2\sigma d}{\rho_{0}}\mu_{1}+\frac{q_{1}NL_{6}}{4(N-2)}\mu_{2}-\frac{4l}{l+1},\\ L_{6}=(l+1)\bigg(\int_{\Omega }(a(x))^{-\frac{l+1}{k-1}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(k-1)m}{l+k}}\bigg(\int_{\Omega }(a(x))^{\frac{(l+1)m+l+k}{(l+1)m}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(l+1)m}{l+k}}.$

我们选取 $\mu_{1}>0$ 充分小且 $\mu_{2}>0$,使得 $L_{5}=0$.

因此,我们得到

$\varphi '(t)\leq L_{1}+L_{2}\varphi (t)+L_{3}(\varphi (t))^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}+L_{4}(\varphi (t))^{\frac{3(N-2)}{3N-8}}.$

(2.20)

若 $\displaystyle\lim_{t\rightarrow t^{\ast}}\varphi (t)=\infty$,则对 (2.20) 式从 $0$ 到 $t^{\ast}$ 积分,我们导出

$t^{\ast}\geq T_{2}=\int_{\varphi (0)}^{\infty}\frac{{\rm d}\eta}{L_{1}+L_{2}\eta+L_{3}\eta^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}+L_{4}\eta^{\frac{3(N-2)}{3N-8}}}.$

定理 2.2 证毕.

我们研究问题 (1.1)-(1.3) 的解在加权的 $L^{l+1}$ -范数意义下发生爆破时爆破时间的下界. 这里我们假设非线性项 $f$ 满足如下非局部条件

${\rm (H_{2}):}$ $a(x)s(x,t)f(s(x,t))\leq |s(x,t)|^{k+1}(\int_{\Omega }b(x)|s(x,t)|^{l+1}{\rm d}x)^{m}$,\\ 其中加权函数 $b(x)\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}(\bar{\Omega })$ 满足

${\rm (b_{1}):}$ $b(x)>0$,$x\in\Omega $,$b(x)=0$,$x\in\partial \Omega $;

或者

${\rm (b_{2}):}$ $b(x)\geq c_{0}>0$,\ $\forall x\in\bar{\Omega }$,\\ 其中 $c_{0}$ 是正常数,以及

${\rm (b_{3}):}$ $-b(x)B\leq\nabla b(x)\leq b(x)B\Longleftrightarrow|\frac{\partial b(x)}{\partial x_{i}}|\leq B_{i}b(x),\ \forall x\in\Omega $,

其中 $B=(B_{1},B_{2},\cdots,B_{N})$ 是正常数向量.

我们现在定义如下辅助函数

$\Phi(t)=\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x.$

方便起见,我们令 $\Phi(t)=\Phi_{+}(t)+\Phi_{-}(t)$,其中

$\Phi_{+}(t)=\int_{\Omega _{+}}b(x)u^{l+1}{\rm d}x,\Omega _{+}=\{x\in\Omega |u(x,t)>0\},t\in(0,t^{\ast}),$

$\Phi_{-}(t)=\int_{\Omega _{-}}b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x,\Omega _{-}=\{x\in\Omega |u(x,t)＜0\},t\in(0,t^{\ast}).$

同样地,我们分两种情形来考虑.

首先,来看第一种情形时的主要结论.

情形 1 $0\leq k\leq1$.

定理2.3 假设 $u(x,t)$ 是问题 (1.1)-(1.3) 的古典解,且 $u(x,t)$ 在有限时间 $t^{\ast}$ 发生爆破,函数 $f$ 满足 ${\rm (H_{2})}$,其中 $0\leq k\leq1$,$l>0$,$m>0$,$k+(l+1)m>1$. 同时,权函数 $b(x)\in C^{1}(\Omega )\bigcap C^{0}(\bar{\Omega })$ 满足 ${\rm (b_{1})}$ 或 ${\rm (b_{2})}$ 以及 ${\rm (b_{3})}$. 则在 $\Phi(t)$ 测度意义下,爆破时间 $t^{\ast}$ 的下界为

$t^{\ast}\geq T_{3}=\int_{\Phi(0)}^{\infty}\frac{{\rm d}\eta}{I_{1}\eta+I_{2}\eta^{m+\frac{l+k}{l+1}}},$

其中 $\Phi(0)=\int_{\Omega }b(x)u_{0}^{l+1}{\rm d}x$,且 $I_{1}$,$I_{2}$ 为可计算的正常数.

证 首先,对 $\Phi(t)$ 求微分,并利用 (1.1) (1.2)式,条件 ${\rm (H_{2})}$ ${\rm (b_{3})}$ 和 Green 公式,我们有

$\Phi_{-}'(t)=-(l+1)\int_{\Omega _{-}}b(x)|u|^{l}(\Delta u+a(x)f(u)){\rm d}x \\ =-\sigma(l+1)\int_{\partial \Omega _{-}}b(x)|u|^{l+1}{\rm d}s +(l+1)\int_{\Omega _{-}}\nabla(b(x)|u|^{l})\cdot\nabla u{\rm d}x \\ +(l+1)\int_{\Omega _{-}}b(x)|u|^{l-1}ua(x)f(u){\rm d}x \\ \leq -\sigma(l+1)\int_{\partial \Omega _{-}}b(x)|u|^{l+1}{\rm d}s +(l+1)|B|\int_{\Omega _{-}}b(x)|u|^{l}|\nabla u|{\rm d}x \\ -\frac{4l}{l+1}\int_{\Omega _{-}}b(x)|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x +(l+1)\int_{\Omega _{-}}b(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\bigg(\int_{\Omega _{-}}b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m}.$

(2.21)

类似地,我们可以算出

$\Phi_{+}'(t) \leq -\sigma(l+1)\int_{\partial \Omega _{+}}b(x)u^{l+1}{\rm d}s+(l+1)|B|\int_{\Omega _{+}}b(x)u^{l}|\nabla u|{\rm d}x \\ -\frac{4l}{l+1}\int_{\Omega _{+}}b(x)|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x+(l+1)\int_{\Omega _{+}}b(x)u^{l+k}{\rm d}x\bigg(\int_{\Omega _{+}}b(x)u^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m}.~$

(2.22)

将 (2.21) 和 (2.22)式相加,我们得到

$\Phi'(t) \leq -\sigma(l+1)\int_{\partial \Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}s+(l+1)|B|\int_{\Omega }b(x)|u|^{l}|\nabla u|{\rm d}x \\ -\frac{4l}{l+1}\int_{\Omega }b(x)|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x +(l+1)\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\bigg(\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m}.$

(2.23)

下面,由散度定理,可以导出

$\int_{\partial \Omega }b(x)|u|^{l+1}x\cdot \nu {\rm d}s =\int_{\Omega }{\rm div}(b(x)|u|^{l+1}x){\rm d}x \\ \leq N\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x+\int_{\Omega }|u|^{l+1}\nabla b(x) \cdot x{\rm d}x\\ +(l+1)\int_{\Omega }b(x)|u|^{l}|\nabla u||x|{\rm d}x.$

然后,利用条件 ${\rm (b_{3})}$ 来估计 (2.23) 式不等号右端第一项,我们有

$\int_{\partial \Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}s\leq \frac{N+|B|d}{\rho_{0}}\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x+\frac{(l+1)d}{\rho_{0}}\int_{\Omega }b(x)|u|^{l}|\nabla u|{\rm d}x,$

(2.24)

其中 $\rho_{0}$ 和 $d$ 在定理 2.1 中定义. 其次,对 (2.24) 式不等号右端第二项,利用 Schwarz 不等式及 Young 不等式,可算出

$\int_{\Omega }b(x)|u|^{l}|\nabla u|{\rm d}x \leq \bigg(\int_{\Omega }b(x)|u|^{l-1}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \\ \leq \frac{2\varepsilon _{1}}{(l+1)^{2}}\int_{\Omega }b(x)|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x+\frac{1}{2\varepsilon _{1}}\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x,$

(2.25)

其中 $\varepsilon _{1}$ 是待定的正常数. 之后对 (2.23) 式不等号右端最后一项,运用 Hölder 不等式得到

$\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\leq\bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{\frac{1-k}{l+1}}\bigg(\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{\frac{l+k}{l+1}}.$

(2.26)

由此,将 (2.24)-(2.26) 式代入到 (2.23)式中,我们可以导出

$\Phi'(t) \leq \left[\frac{-\sigma(l+1)(N+|B|d)}{\rho_{0}}+\frac{1}{2\varepsilon _{1}}\bigg(\frac{-\sigma d(l+1)^{2}}{\rho_{0}}+(l+1)|B|\bigg)\right]\Phi(t) \\ +\left[\bigg(\frac{|B|}{l+1}-\frac{\sigma d}{\rho_{0}}\bigg)2\varepsilon _{1}-\frac{4l}{l+1}\right]\int_{\Omega }b(x)|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x \\ +(l+1)\bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{\frac{1-k}{l+1}}(\Phi(t))^{m+\frac{l+k}{l+1}}.$

(2.27)

我们选取 $\varepsilon _{1}=\frac{2l\rho_{0}}{|B|\rho_{0}-\sigma(l+1)d}>0$,则 (2.27) 式变为

$\Phi'(t)\leq I_{1}\Phi(t)+I_{2}(\Phi(t))^{m+\frac{l+k}{l+1}},$

(2.28)

其中

$I_{1}=\frac{-\sigma(l+1)(N+|B|d)}{\rho_{0}}+\frac{1}{2\varepsilon _{1}}\bigg(\frac{-\sigma d(l+1)^{2}}{\rho_{0}}+(l+1)|B|\bigg),$

$I_{2}=(l+1)\bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{\frac{1-k}{l+1}}.$

最后,若 $\displaystyle\lim_{t\rightarrow t^{\ast}}\Phi(t)=\infty$,则对 (2.28)式在 $[0,t^{\ast}]$ 上积分,我们导出

$t^{\ast}\geq T_{3}=\int_{\Phi(0)}^{\infty}\frac{{\rm d}\eta}{I_{1}\eta+I_{2}\eta^{m+\frac{l+k}{l+1}}}.$

定理2.3证毕.

情形 2 $k>1$

类似于 2.1 中的情形 2,我们假设 $\Omega \subset {\Bbb R}^{N}(N\geq3)$ 是具有光滑边界的有界凸区域.

定理2.4 假设 $u(x,t)$ 是问题 (1.1)-(1.3) 的古典解,且 $u(x,t)$ 在有限时间 $t^{\ast}$ 发生爆破,函数 $f$ 满足 ${\rm (H_{2})}$,其中

$k>1,\ l+1>\max\bigg\{1,\frac{2(k-1)(N-2)}{2N-3-2(N-2)(m+1)}\bigg\},\ 0＜m＜\frac{1}{2N-4}.$

同时,权函数 $b(x)\in C^{1}(\Omega )\bigcap C^{0}(\bar{\Omega })$ 满足 ${\rm (b_{1})}$ 或 ${\rm (b_{2})}$,以及 ${\rm (b_{3})}$. 则在 $\Phi(t)$ 测度意义下,爆破时间 $t^{\ast}$ 的下界为

$t^{\ast}\geq T_{4}=\int_{\Phi(0)}^{\infty}\frac{{\rm d}\eta}{J_{1}+J_{2}\eta+J_{3}\eta^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}+J_{4}\eta^{\frac{3(N-2)}{3N-8}}},$

其中$J_{1}$,$J_{2}$,$J_{3}$ 和 $J_{4}$ 为可计算的正常数.

证 首先,类似于定理 2.3 的分析过程,我们有

$\Phi'(t) \leq \left[\frac{-\sigma(l+1)(N+|B|d)}{\rho_{0}}+\frac{1}{2\varsigma _{1}}\bigg(\frac{-\sigma d(l+1)^{2}}{\rho_{0}}+(l+1)|B|\bigg)\right]\Phi(t) \\ +\left[\bigg(\frac{|B|}{l+1}-\frac{\sigma d}{\rho_{0}}\bigg)2\varsigma _{1}-\frac{4l}{l+1}\right] \int_{\Omega }b(x)|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x \\ +(l+1)\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\bigg(\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m},$

(2.29)

对于待定的 $\varsigma _{1}>0$. 由于 $k>1$,我们对 (2.29) 式不等号右端的最后一项,利用两次 Hölder 不等式,分别得到

$\bigg(\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m}\leq \bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{\frac{(k-1)m}{l+k}} \bigg(\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(l+1)m}{l+k}},$

(2.30)

$\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\leq\bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{\frac{(l+1)m}{(l+1)m+l+k}} \bigg(\int_{\Omega }b(x)|u|^{(l+1)m+l+k}{\rm d}x\bigg)^{\frac{l+k}{(l+1)m+l+k}}.$

(2.31)

现在,将 (2.30) 和 (2.31) 式代入到 (2.29)式的最后一项,我们导出

$(l+1)\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\bigg(\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1}{\rm d}x\bigg)^{m} \\ \leq (l+1)\bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{m}\int_{\Omega }b(x)|u|^{(l+1)m+l+k}{\rm d}x.$

(2.32)

下面,对 (2.32) 式利用 Hölder 不等式以及 Young 不等式,我们有

$\int_{\Omega }b(x)|u|^{(l+1)m+l+k}{\rm d}x \\ \leq \bigg(\int_{\Omega }(b(x))^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}|u|^{\frac{(l+1)(2N-3)}{2(N-2)}}{\rm d}x\bigg)^{q_{1}} \bigg(\int_{\Omega }(b(x))^{\frac{(l+1)(1-m)-l-k}{(l+1)(1-q_{1})}}{\rm d}x\bigg)^{1-q_{1}} \\ \leq q_{1}\int_{\Omega }(b(x))^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}|u|^{\frac{(l+1)(2N-3)}{2(N-2)}}{\rm d}x +(1-q_{1})\int_{\Omega }(b(x))^{\frac{(l+1)(1-m)-l-k}{(l+1)(1-q_{1})}}{\rm d}x,$

(2.33)

其中 $q_{1}$ 在 (2.15) 式中给出. 然后,对 (2.33) 式不等号右端第一项,由 Hölder 不等式可得

$\int_{\Omega }(b(x))^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}|u|^{\frac{(l+1)(2N-3)} {2(N-2)}}{\rm d}x\leq\bigg(\int_{\Omega }\Big((b(x))^ {\frac{1}{2}}|u|^{\frac{l+1}{2}}\Big)^{\frac{2N}{N-2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{4}}(\Phi(t))^{\frac{3}{4}}.$

(2.34)

其次,利用高维空间 $(N\geq3)$ 中加权的 Sobolev 不等式可知

$\|(b(x))^{\frac{1}{2}}|u|^{\frac{l+1}{2}}\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Omega )}\leq C_{s}\|(b(x))^{\frac{1}{2}}|u|^{\frac{l+1}{2}}\|_{w^{1,2}(\Omega )},$

其中 $C_{s}$ 是 Sobolev 最优化常数. 同时,由 ${\rm (b_{3})}$ 及 Jensen 不等式,我们算出

$\bigg(\int_{\Omega }\Big((b(x))^{\frac{1}{2}}|u|^{\frac{l+1}{2}}\Big)^{\frac{2N}{N-2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{4}}\leq C_{B}\left[(\Phi(t))^{\frac{N}{4(N-2)}}+\bigg(\int_{\Omega }b(x)|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{N}{4(N-2)}}\right],$

(2.35)

其中 $C_{B}=\max\left\{(1+(\frac{1}{2}|B|^{2})^{\frac{N}{4(N-2)}})C_{b},2^{\frac{N}{4(N-2)}}C_{b}\right\}$,且 $C_{b}$ 是 (2.18) 式中定义的正常数. 将 (2.33)-(2.35) 式代入到 (2.32)式中,并利用 Young 不等式,可以导出

$(l+1)\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+k}{\rm d}x\bigg(\int_{\Omega }b(x)|u|^{l+1} {\rm d}x\bigg)^{m} \\ \leq (l+1)\bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{m} \bigg[q_{1}C_{B}(\Phi(t))^{\frac{2N-3}{2(N-2)}} +\frac{q_{1}N\varsigma _{2}}{4(N-2)}\int_{\Omega }b(x)|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x \\ +\frac{q_{1}(3N-8)C_{B}^{\frac{4(N-2)}{3N-8}}}{4(N-2)\varsigma _{2}^{\frac{N}{3N-8}}}(\Phi(t))^{\frac{3(N-2)}{3N-8}} +(1-q_{1})\int_{\Omega }(b(x))^{\frac{(l+1)(1-m)-l-k}{(l+1)(1-q_{1})}}{\rm d}x\bigg],$

(2.36)

其中 $\varsigma _{2}>0$ 是待定的正常数.

之后,将 (2.36) 式代入到 (2.29)式,整理得到

$\Phi'(t)\leq J_{1}+J_{2}\Phi(t)+J_{3}(\Phi(t))^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}+J_{4}(\Phi(t))^{\frac{3(N-2)}{3N-8}}+J_{5}\int_{\Omega }b(x)|\nabla u^{\frac{l+1}{2}}|^{2}{\rm d}x,$

其中

$J_{1}=(l+1)(1-q_{1})\bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{m}\int_{\Omega }(b(x))^{\frac{(l+1)(1-m)-l-k}{(l+1)(1-q_{1})}}{\rm d}x,\\ J_{2}=\frac{-\sigma(l+1)(N+|B|d)}{\rho_{0}}+\frac{1}{2\varsigma _{1}}\bigg(\frac{-\sigma d(l+1)^{2}}{\rho_{0}}+(l+1)|B|\bigg),\\ J_{3}=(l+1)q_{1}C_{B}\bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{m},\\ J_{4}=(l+1)\frac{q_{1}(3N-8)C_{B}^{\frac{4(N-2)}{3N-8}}}{4(N-2)\varsigma _{2}^{\frac{N}{3N-8}}}\bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{m},\\ J_{5}=\bigg(\frac{|B|}{l+1}-\frac{\sigma d}{\rho_{0}}\bigg)2\varsigma _{1}+(l+1)\frac{q_{1}N\varsigma _{2}}{4(N-2)}\bigg(\int_{\Omega }b(x){\rm d}x\bigg)^{m}-\frac{4l}{l+1}.$

因此,对于 $\varsigma _{1}>0$ 充分小,我们选取 $\varsigma _{2}>0$ 使得 $J_{5}=0$. 由此导出

$\Phi'(t)\leq J_{1}+J_{2}\Phi(t)+J_{3}(\Phi(t))^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}+J_{4}(\Phi(t))^{\frac{3(N-2)}{3N-8}}.$

(2.34)

若 $\displaystyle\lim_{t\rightarrow t^{\ast}}\Phi(t)=\infty$,我们对 (2.37)式在 $[0,t^{\ast}]$ 上积分,最终得到

$t^{\ast}\geq T_{4}=\int_{\Phi(0)}^{\infty}\frac{{\rm d}\eta}{J_{1}+J_{2}\eta+J_{3}\eta^{\frac{2N-3}{2(N-2)}}+J_{4}\eta^{\frac{3(N-2)}{3N-8}}}.$

定理2.4证毕.